R.H.teVelde Windsurfen@speed

Windsurfen@speed

R.H. te Velde

Bachelorscriptie Technische Wiskunde

Juni 2010

Windsurfen@speed

Samenvatting

Windsurfen@speed. Dit zal allerlei vragen oproepen. Hoe behaalt een windsurfer zijn maxi- male snelheid? Wat is deze maximale snelheid ongeveer? Hoe ziet de ideale windsurfer er dan uit? Dit gaan we onderzoeken door gebruik te maken van stromingsleer: hydro- en aero- dynamica. Ook gebruiken we vleugeltheorie, want stromingen rond een zeil en zelfs rond een vin kunnen we modelleren met behulp van een vleugel. Uiteindelijk verkrijgen we met behulp van allerlei formules twee krachtenevenwichten: een snelheidsevenwicht van voorwaartse en weerstandskrachten in de vaarrichting en een stabiliteitsevenwicht in zijwaartse richting. Met deze twee evenwichten gaan we op zoek naar de maximale snelheid die een windsurfer kan halen. Het wereldrecord windsurfen ligt nog altijd onder de 50 knopen. Dit is ongeveer een snelheid van 91 km/h. De vraag is: welke snelheid krijgen wij uit ons model?

Bachelorscriptie Technische Wiskunde Auteur: R.H. te Velde

Begeleiders: A.E.P. Veldman, J.A. Helder Datum: Juni 2010

Instituut voor Wiskunde en Informatica Postbus 407

9700 AK Groningen

Inhoudsopgave

1 Introductie 1

1.1 Introductie . . . 1

1.1.1 Vraagstelling . . . 3

1.2 Een voorbeeldsituatie . . . 3

1.3 Mogelijke surfkoersen . . . 4

2 Het mathematische model 7 2.1 Introductie van het model . . . 7

2.1.1 Definities van de variabelen . . . 8

2.1.2 Vooruitblik . . . 9

2.2 Aerodynamische krachten . . . 9

2.2.1 Circulatie . . . 9

2.2.2 De uitdrukking voor de 2D-liftkracht: F_l . . . 11

2.2.3 Eindige hoogte . . . 11

2.2.4 Tipwervels en downwash . . . 13

2.2.5 3D-potentiaaltheorie . . . 14

2.2.6 Uitdrukkingen voor Di, CDi en FL . . . 16

2.3 Hydrodynamische krachten . . . 17

2.3.1 Onze hydrodynamisch krachten . . . 17

2.3.2 Het getal van Reynolds . . . 17

2.3.3 Planeren en het getal van Froude . . . 19

2.3.4 De uitdrukking voor F_Lf . . . 20

3 Krachten & momenten 21 3.1 Het ontbinden van F_L en F_Lf . . . 21

3.2 Het snelheidsevenwicht . . . 22

3.3 Het stabiliteitsevenwicht . . . 23

3.3.1 Het momentenevenwicht: de krachten . . . 23

3.3.2 Het momentenevenwicht: de armen . . . 23

3.3.3 Het krachtenevenwicht: drift . . . 26

4 De numerieke uitwerking van het model 29 4.1 Samenvattende formules . . . 29

4.2 De uitwerking van ons model . . . 31

4.3 De Newton-methode . . . 32

4.3.1 De werking van de Newton-methode . . . 32 iii

4.3.2 Een voorbeeld van de Newton-methode . . . 33

4.3.3 Onze Newton-methode . . . 33

4.4 Een voorbeeld van de werking van ons model . . . 34

5 Parameterstudie 39 5.1 Variatie van het gewicht en de lengte van de surfer bij harde wind . . . 39

5.2 Variatie van zeilgroottes bij harde wind . . . 41

5.3 Variatie van zeilgroottes bij een normaal persoon en normale wind . . . 45

5.4 Variatie van zeilvorm . . . 47

6 Samenvatting en conclusie 51 A Het bewijs van Rπ 0 cos (θ) cos (φ)−cos (θ)dθ = −π 53 B Het aangrijpingspunt van de windkracht op het zeil 55 C Ons programma SurfSimu 57 C.1 Deel 1 . . . 57

C.2 Deel 2 . . . 60

C.3 Samengevat . . . 63

C.4 Newton 1 . . . 64

C.5 Newton 2 . . . 65

C.6 Momentum . . . 66

C.7 Afgeleide momentum . . . 67

C.8 Speed . . . 68

C.9 Afgeleide Speed . . . 69

C.10 Circulation . . . 69

C.11 Afgeleide circulation . . . 69

Hoofdstuk 1

Introductie

1.1 Introductie

In het algemeen zijn surfers erg stoer en zien ze er goed uit. Ze houden er van om vrouwen te imponeren. Er zijn twee mogelijkheden waarmee ze dit kunnen bereiken. Ze kunnen de hoog- ste golven onder ogen zien of ze kunnen een zo hoog mogelijke snelheid behalen. Wij willen een kijkje nemen naar de snelheid. Geoefende surfers kunnen een dermate hoge snelheid be- reiken dat ze gaan ”planeren”. Dit is te vergelijken met wat er gebeurt als je een platte steen vlak over het water gooit met een goede worp. Iedereen heeft dit vast wel eens gedaan. We gaan er in deze thesis vanuit dat een surfer een optimale surftechniek heeft en dat het gewicht van de surfer op een unieke manier de kracht bepaalt waarmee hij het zeil kan vasthouden.

Het huidige wereldrecord werd gehaald met de volgende parameters en bijbehorende waarden:

- Een surfboard van 220 cm - Een vin van 28 cm

- Een zeil van 4 m²

- Een surfer van 100 kg en 185 cm

Deze waarden voor het surfboard, de vin, het zeil en de surfer zijn ook gebruikt in een Duits onderzoek (zie [1]). Wij gaan deze waarden gebruiken, maar met hele andere formules, om tot een conclusie te komen.

Het wereldrecord staat op dit moment op naam van een 36 jarige Fransman: Antoine Al- beau. Hij behaalde in maart 2008 met bovenstaande parameters een snelheid van ongeveer 90.91 km/h. Albeau deed 19.8 seconden over 500 meter. Het was zwaar weer, koud, met soms windstoten tot 65 knopen. Albeau is 1.85 m lang en heeft een gewicht van 100 kg. De allerhoogste snelheid die tot nu toe door een windsurfer gehaald is, werd bereikt door een Nederlander in december 2007: Martin van Meurs. Hij haalde 94.67 km/h over 2 seconden.

Helaas is dit geen officieel record, die worden alleen gehaald over 500 meter. Van Meurs was over 500 meter gezien langzamer dan Albeau. De jacht naar de magische grens van 50 kno- pen door een windsurfer over 500 meter is nog steeds gaande ([2]). Inmiddels is de 50-knopen barri¨erre al wel gebroken door kite-surfers (surfen met een soort parachute). Dit record staat nu op naam van een andere Fransman, Alex Caizergues, en is gesurft op 4 oktober 2008. Het record is 93.66 km/h.

1

Een hele interessante vraag die we ons kunnen stellen is de volgende:

Onder welke omstandigheden hebben de windsurfers de records kunnen bereiken?

Om extreem hoge snelheden te halen wordt er gesurft in een geul van ongeveer 30 meter breed en niet erg diep, waardoor er niet echt golven kunnen ontstaan. Verder doen windsur- fers pas een recordpoging wanneer het zeer zwaar weer is, met harde windstoten. De surfers gebruikten allemaal ”slechts” een zeiltje van rond de 4 m² omdat ze hem anders qua kracht niet kunnen houden. Als er niet zoveel wind staat wordt er meestal gesurft met grotere zei- len. Ze hebben wel allemaal een lichaamsgewicht van rond de 100 kilo, vooral dankzij hun grote spiermassa. De condities in deze geul zijn optimaal voor windsurfen@speed, en niet te vergelijken met de condities op open zee.

Neem een kijkje naar de wereldrecordwaarden en denk aan het volgende feit: Hoe groter het surfboard, hoe stabieler, maar ook langzamer. Dit komt omdat grotere boards meer vo- lume hebben zodat het geheel (inclusief surfer) niet zomaar om kan vallen. Dat een groter board langzamer gaat, komt doordat dit board meer wrijving met het water maakt.

We komen nu tot de conclusie dat een surfer graag een board wil gebruiken dat zo klein mogelijk is, maar niet te klein, want hij wil nog wel op zijn surfplank blijven staan. We zien dat voor ons oude wereldrecord geldt dat de surfer een board van rond de 220 cm lengte nodig heeft voor zijn stabiliteit. Het is daarom dat buiten een geul een surfboard nog langer dan 220 cm moet zijn. Ook zien we dat er een surfer van rond de 100 kg voor nodig is om het wereldrecord te surfen. Dit betekent dat je een zwaar persoon nodig hebt om het zeil vast te houden. Natuurlijk heb je ook een groot zeil nodig om de maximale wind te vangen voor extra snelheid. Bij hoge windsnelheden blijkt dat er maar een zeil van rond de 4 m² gebruikt kan worden, anders kan een zware windsurfer hem al niet meer houden. Er moet dus een tussenweg gevonden worden tussen een zo groot mogelijk zeil en een houdbaar zeil qua gewicht. Verder hebben we een optimale vin nodig om stabiliteit te krijgen en om het surfboard in de goede vaarrichting te laten gaan.

Wat gebeurt er als er niet in een tunnel gesurft wordt?

Als we kijken naar het surfen op open zee komen we tot de volgende conclusie: hier moeten surfers beginnen met een beginnersstart: het zeil optrekken vanaf de plank. Je kunt helaas niet starten met een droog zeil vanaf de kant op open zee. Zo’n soort start kun je wel maken vanaf de rand van een meer of in het bovengenoemde ondiepe geval: met het zeil in je hand stap je op het surfboard zonder dat je dit zeil uit het water hoeft te vissen. De verschillende soorten starts laten we verder in deze thesis buiten beschouwing. Wel zullen we gaan uitzoe- ken of de vorm van een zeil belangrijk is.

1.2. EEN VOORBEELDSITUATIE 3 1.1.1 Vraagstelling

Een surfer wil gaan planeren. Hier gaan we in deze thesis vanuit. Wat voor surfer, zeil, vin en board heb je daarbij nodig en wat is de hoogst haalbare snelheid ongeveer? Wat zijn de optimale windcondities? Dit soort vragen hopen we in deze thesis beantwoord te krijgen.

We gaan deze vragen beantwoorden met de volgende variabelen:

- De grootte en de vorm van het zeil.

- De windkracht

- Het gewicht en de lengte van de surfer.

Uiteindelijk moeten we een model maken van de beweging van de surfer om zijn snelheid te berekenen bij gegeven waarden van deze 5 variabelen. Maar eerst bekijken we een voor- beeldsituatie en leggen het hoe en wat van het surfen uit aan de hand hiervan. Daarna gaan we door naar het mathematische model.

1.2 Een voorbeeldsituatie

Voordat we beginnen doen we eerst een aantal aannames. We gaan er van uit dat de variabe- len in 1.1.1 zijn gegeven en gaan uit van de eerder genoemde surfer met een perfecte techniek.

Als we naar de luchtstroom kijken, nemen we de volgende aannames:

1. De aankomende luchtstroom rond de surfer en het zeil blijft constant vanuit de zelfde richting stromen.

2. De lucht is onsamendrukbaar.

3. De lucht heeft geen viscositeit (stroperigheid).

Nu gaan we kijken naar een voorbeeld situatie:

Figuur 1.1: Het voorbeeld

Figuur 1.1 is een surfplank met een zeil van bovenaf gezien met de daarbij behorende krachten op het zeil. In principe draait het allemaal om de F^L: de zogeheten liftkracht die loodrecht op de aankomende windrichting staat. Deze liftkracht is de motor van het surfen, en ontstaat door de wind in het zeil. De surfplank in deze afbeelding zeilt bijna tegen de wind in. Zo behaal je nooit je maximum snelheid. We zullen later zien waarom. Naast liftkracht veroor- zaakt de wind ook nog een weerstand genaamd F^W. Zoals te zien in de afbeelding vormen de liftkracht en de weerstand van de wind gezamenlijk de resulterende kracht F^Res. Dit is de totale kracht die in werkelijkheid op het zeil werkt. De krachten zijn getekend vanuit het aangrijpingspunt van het zeil.

Als we nog eens een kijkje nemen naar figuur 1.1 zien we dat de resulterende kracht niet in de richting van de surfkoers gaat. Daarom delen we de resulterende kracht weer op in twee delen: de hellende kracht F^H en de voorwaartse kracht F^voorwaarts. Hierbij is de voorwaartse kracht de kracht die de surfer vooruit duwt en mag de hellende kracht niet zo groot zijn dat de surfer wordt omgegooid.

Ook geldt dat een surfer niet helemaal in de richting gaat waar de plank naar toe wijst.

Dit komt door de liftkracht die loodrecht op de aankomende windrichting staat en niet in de richting van de verplaatsing van onze surfplank. Hierdoor gaat een surfer in de richting van de koers in figuur 1.1 in plaats van in de richting van de punt van de surfplank. De hoek tussen beide richtingen heet de drifthoek (zie de γ in het model). De voorwaartse kracht (en dus de koers) worden, zoals we hebben gezien, uiteindelijk bepaald door de ligging van de surfplank, de snelheid die de surfer op dat moment heeft en de grootte en richting van de wind.

1.3 Mogelijke surfkoersen

Om te kunnen verklaren waarom je met de koers van de surfer in ons voorbeeld nooit je maximum snelheid haalt gaan we kijken naar de mogelijke koersen van windsurfers en boten.

Je kunt boten onderverdelen in twee soorten: dwarsgetuigde boten en langsgetuigde boten.

Dwarsgetuigd betekent dat de zeilen zijn bevestigd aan een ra (of spier) die dwarsscheeps aan de mast of steng zijn bevestigd. Langsgetuigd betekent dat de zeilen in de lengte zijn bevestigd aan de mast, al dan niet met behulp van bijvoorbeeld een giek. Een windsurfer kunnen we zien als een langsgetuigd bootje. We gaan kijken naar onze eerste koers, in de wind:

Figuur 1.2: In-de-windse koers

1.3. MOGELIJKE SURFKOERSEN 5 In de wind ligt een schip wanneer de wind (praktisch) recht van voren komt. Dit gebied beslaat voor langsgetuigde schepen ongeveer 30-45 graden van voren gezien. Geen enkel zeil- schip haalt natuurlijk zo zijn maximum snelheid. Ieder schip moet een zig-zag koers varen om tegen de wind in te komen. De tweede koers is dan ook aan de wind:

Figuur 1.3: Aan-de-windse koers

Met aan de wind wordt een koers aangeduid waarbij de wind niet recht van voren maar dwars inkomt. De lengte-as van de boot maakt dan met de windrichting een hoek tussen de 45 en 90 graden. Langsgetuigde schepen kunnen een hoek bereiken van circa 45 graden met de windrichting om nog vooruit te komen. Zo kunnen ze de zig-zag koers tegen de wind in varen.

Dit is de koers die de surfer in figuur 1.1 surft en ook hiermee haalt hij niet zijn hoogste snelheid. Veel mensen denken dat een surfer zijn hoogste snelheid haalt als hij voor de wind surft. We zullen zien. Koers drie is voor de wind:

Figuur 1.4: Voor-de-windse koers

Wanneer men voor de wind vaart, komt de wind van achteren binnen (tussen de 170 en 190 graden). Op de fiets zou het ”wind mee” heten. Voor langsgetuigde schepen is voor de wind varen lang niet de snelste van alle windkoersen. Dit komt vooral doordat de wind in dezelfde richting waait als de boot vaart. De relatieve windsnelheid (de windsnelheid gemeten vanaf de boot) is dan lager dan bij andere koersen en een snelheid groter dan die van de wind is onmogelijk. We gaan nu kijken naar ruime wind:

Figuur 1.5: Ruimwindse koers

Bij een ruimwindse koers komt de wind schuin van achteren. De wind komt binnen met een hoek tussen ongeveer 100 en 170 graden met de lengteas van de boot, dit kan over beide boegen. Uit de praktijk blijkt dat voor dwarsgetuigde schepen de ruimwindse koers de meest optimale koers is, dan werd de hoogste snelheid gehaald. Als laatste werpen we een blik op halve wind varen:

Figuur 1.6: Halfwindse koers

Bij een halfwindse koers komt de wind recht van opzij. De wind komt binnen met een hoek tussen de 80 en 100 graden op de lengteas van de boot. Voor veel langsgetuigde schepen blijkt uit de praktijk dat dit de snelste koers is die ze kunnen varen. We zullen gaan zien of dit voor een windsurfer ook geldt.

Hoofdstuk 2

Het mathematische model

2.1 Introductie van het model

Aan de hand van de voorbeeldsituatie in paragraaf 1.2 maken we een wiskundig model. Het uitgangspunt hierbij is figuur 1.1, maar om het voorbeeld te veralgemeniseren introduceren we in figuur 2.1 een aantal extra variabelen:

Figuur 2.1: Het mathematische model 7

2.1.1 Definities van de variabelen

In het plaatje is een surfer te zien die diagonaal van de wind af surft. Zoals in de figuur te zien is, komt de echte wind Worecht van beneden. Het zeil staat in de richting van de vector s en de windsurfer lijkt te surfen in de schijnbare richting V_a. Dankzij de dwarscomponent van de wind surft de windsurfer niet helemaal in de schijnbare richting V_a, maar door het driften in de richting van Vr met de in paragraaf 1.2 reeds ge¨ıntroduceerde drifthoek γ tussen V_a en V_r. De schijnbare wind W_a krijgen we dan door de volgende formule, zie figuur 2.1:

W−*_a=W^−*_o−^−*V_r

Met de cosinusregel krijgen we het volgende:

|W_a| =p|W_o|²+ |V_r|²− 2|W_o||V_r| cos (180^◦− α − γ) (2.1) In het vervolg schrijven we de groottes van vectoren zonder absoluutstrepen. De schijnbare wind en de stand van het zeil maken een hoek δ met elkaar (de loslatingshoek van de wind in het zeil). α is de hoek die de lengte-as van de plank maakt met W_o (α geeft de surfrichting aan), β is de hoek tussen de plank en het zeil (β geeft de stand van het zeil aan),  ligt tussen de echte bewegingsrichting en de echte wind ( = 180^o− α − γ) en λ ligt tussen de echte bewegingsrichting en de schijnbare wind. Het algemene idee is nu om in dit hoofdstuk een uitdrukking te vinden voor alle relevante krachten, en deze in het volgende hoofdstuk te ontbinden in componenten evenwijdig aan de bewegingsrichting Vr (voor de snelheid) en componenten loodrecht op de bewegingsrichting (voor de stabiliteit). Hiermee gaan we een snelheids-evenwicht en een stabiliteits-evenwicht cre¨eren. Dit doen we met potentiaaltheorie voor vliegtuigvleugels (Kutta-Joukowski).

Hieronder volgt een samenvattende lijst met de variabelen uit het mathematisch model:

W_o= echte wind W_a= schijnbare wind Va= schijnbare surfrichting V_r= echte surfrichting F_L= liftkracht

F_//= component van de liftkracht evenwijdig aan de echte surfrichting F⊥= component van de liftkracht loodrecht op de surfrichting

s = richting van het zeil

Fdb= wrijvingskracht op de plank F_f = kracht op de vin

α = hoek tussen de echte wind en de schijnbare surfrichting β = hoek tussen het zeil en de plank

δ = hoek tussen het zeil en de schijnbare wind

γ = drifthoek (tussen de echte en de schijnbare surfrichting)

De kracht op de vin gaan we later net als de liftkracht op het zeil ontbinden in een com- ponent evenwijdig aan de echte surfrichting en een component loodrecht op de surfrichting.

Dit laten we in de figuur buiten beschouwing om het niet al te verwarrend te maken.

2.2. AERODYNAMISCHE KRACHTEN 9 2.1.2 Vooruitblik

We gaan met onze krachten een evenwicht cre¨eren in voorwaartse en zijwaartse richting. We weten dat een surfer op snelheid is als de krachten in voorwaartse richting in evenwicht zijn met de weerstandskrachten. Ook weten we dat het geheel niet omvalt als de surfer in staat is om de krachten in zijwaartse richting te compenseren. We beginnen met het evenwicht in voorwaartse richting. We introduceren de aerodynamische krachten en vertellen daarna de nodige zaken over circulatie. Hierna gaan we een uitdrukking vinden voor de liftkracht zonder 3D-circulatie. De 3D-situatie gaan we onderzoeken in de paragrafen over 3D-effecten, tipwervels en downwash en 3D-potentiaaltheorie. Uiteindelijk komen we in de paragraaf 2.2 tot een uitdrukking voor onze 3D-kracht. Hierna gaan we de hydrodynamische krachten onder de loep nemen. Als toevoeging hebben we het nog over de twee belangrijkste dimensieloze getallen in de hydrodynamica: Het getal van Reynolds en het getal van Froude en zijn relatie tot planeren. We vinden een uitdrukking voor de weerstandskracht met behulp van het getal van Reynolds.

2.2 Aerodynamische krachten

We hebben een aerdynamische kracht van de wind op het zeil die (volgens een resultaat uit de potentiaaltheorie: Kutta-Joukowski) loodrecht op de schijnbare windrichting staat. Deze kracht noemen we F_L. We gaan deze kracht uiteindelijk ontbinden in twee componenten: F_//

en F⊥. We ontbinden F_L zodanig dat de kracht F_// evenwijdig loopt aan V_r (zie figuur 2.1 voor verduidelijking). Wat we nu eerst gaan doen is FL benaderen met 2D-potentiaaltheorie.

Deze benadering noemen we F_l. Hiervoor beschouwen we de stroming om het zeil als po- tentiaalstroming om een vleugel onder een invalshoek met circulatie (zie [3]). Met de juiste transformatie volgt hieruit de kracht op een vleugel en uiteindelijk de kracht op ons zeil.

Figuur 2.2: Een zeil en een vleugel

2.2.1 Circulatie

Voordat we het over krachten gaan hebben gaan we kijken naar circulatie. Circulatie is name- lijk van groot belang binnen de stromingsleer. Door de invalshoek van de wind ten opzichte van het zeil, stroomt er, als we net beginnen met surfen, meer lucht naar de loefzijde (de scheepszijde waar de wind in komt, de onderkant in de figuur), dan naar de lijzijde (zie figuur 2.3).

Figuur 2.3: Beginsituatie voor de circulatie

Meer luchtstroom zorgt voor een snelheidsverhoging. De wind bereikt aan de loefzijde sneller het achterste deel van het zeil dan aan de lijzijde. De wind krult hierdoor naar de lijzijde.

Hierdoor moet de lucht als het ware een scherpe bocht nemen, wat nooit helemaal goed gaat.

De lucht ”breekt af” en gaat aan de achterkant van het zeil rond bewegen. Dit veroorzaakt circulatie: wervelingen. Deze wervelingen draaien linksom (zie figuur 2.4).

Figuur 2.4: Wervelingen

De aankomende luchtstroom zal door de wervelingen rechtsom worden afgewend. Dit kan gezien worden als twee in elkaar draaiende tandwielen. Hierbij geldt: de totale circulatie moet 0 blijven (afgeleid van de circulatiestelling van Kelvin). Het zorgt voor een potenti¨ele rechtsdraaiende circulatie (zie figuur 2.5). Deze circulatie zorgt namelijk met de luchtstroom zelf voor de uiteindelijke re¨ele luchtstroom.

Figuur 2.5: Snelheidsverandering van lucht door wervelingen

2.2. AERODYNAMISCHE KRACHTEN 11 De potenti¨ele rechtsdraaiende circulatie heeft gevolgen voor de formules in ons model. De circulerende luchtstroom zorgt voor een snelheidsverhoging van de lucht aan de lijzijde (met de circulatie mee) en voor een snelheidsverlaging van de lucht aan de loefzijde (tegen de circulatie in).

2.2.2 De uitdrukking voor de 2D-liftkracht: F_l

Noem de liftkracht F_l en de circulatie Γ, dan krijgen we de volgende formule voor F_l (volgens Kutta Joukowski, zie [3]):

Fl= ρlWaΓ met

Γ = 4πaW sin (δ) (2.2)

Hierin hebben we de volgende variabelen:

- ρl = De dichtheid van lucht - W = De inkomende wind

- δ = De invalshoek tussen de inkomende wind en het zeil - 4a = De koorde van het vleugelprofiel

In ons geval wordt de uitdrukking voor F_l door middel van potentiaaltheorie onder een in- valshoek δ met circulatie de volgende:

Fl= ρlW_a²πB sin (δ)

Met de breedte van een zeil gelijk aan B = 4a en onze schijnbare wind Wa.

Opmerking: deze formule geldt alleen voor kleine δ (15 graden of kleiner, zie figuur 2.1).

Uit de praktijk blijkt dat je bij een δ groter dan ongeveer 15 graden loslating van de wind in het zeil krijgt. Hier gaan we bij onze parameterstudie (hoofdstuk 5) rekening mee houden.

2.2.3 Eindige hoogte

De hierboven beschreven potentiaaltheorie is geldig voor een oneindig vleugelprofiel met con- stante breedte B. In ons geval hebben we echter een zeil met een eindige hoogte en de lengte van de koorde (in ons geval de breedte van het zeil) is afhankelijk van de hoogte. De circulatie zal dus gaan vari¨eren in de hoogte. In dit geval kunnen we de liftkracht uitrekenen met behulp van de spiegelconditie op h = 0, zie [10]:

F_l= ρ_lW_a Z l

0

Γ(z)dz

Hierbij staat de z-richting in de hoogte en l is de hoogte van het zeil. Deze Γ(z) geeft de totale verdeling van de circulatie over een vleugelpaar. In de vleugeltheorie wordt een klassieke oplossing voor Γ(z) gegeven door een elliptische verdeling, Γ₀ is hierbij de circulatieverdeling in het symmetrievlak (zie figuur 2.6).

Figuur 2.6: Circulatie Voor Γ(z) krijgen we nu:

Γ(z) = Γ0

r 1 − (z

l)² Voor de totale liftkracht berekenen we eerst onze integraal:

Z l 0

Γ(z)dz = Z l

0

Γ₀ r

1 − (z

l)²dz = Γ₀ Z l

0

r 1 − (z

l)²dz

De laatste integraal geeft een kwart van de oppervlakte van een ellips weer, met de assen 1 en l. We krijgen nu:

Z l 0

Γ(z)dz = Γ0

Z l 0

r 1 − (z

l)² = Γ0

π · l · 1 4 = Γ0

πl 4

De totale draagkracht (liftkracht) op een vleugelhelft wordt nu gegeven door:

F_l= ρ_lWa

Z l 0

Γ(z)dz = π

4ρ_lWalΓ0 (2.3)

Zonder circulatie hadden we: F_l= ρ_lW_aΓ₀l en met circulatie hebben we nu F_l = ρ_lW_aΓ₀l^π₄. We zien dat de lifkracht met ”3D”-circulatie een factor ^π₄ verschilt van de lifkracht met con- stante circulatie.

Γ₀ was de circulatieverdeling in het symmetrievlak. In ons geval is dat de circulatieverdeling ter hoogte van de plank i.e. de circulatie rond het onderlijk, met (2.2):

Γ0= πB0Wasin (δ) (2.4)

Hierbij is B₀ de breedte van het zeil op hoogte 0 (onderlijk). We krijgen nu voor F_l met behulp van (2.3) de uiteindelijke formule:

F_l= π²

4 ρ_lB₀W_a²l sin (δ) (2.5)

2.2. AERODYNAMISCHE KRACHTEN 13 2.2.4 Tipwervels en downwash

Onder een vleugel heerst overdruk en boven de vleugel heerst onderdruk, daarom verplaatst de lucht zich van onder naar boven de vleugel. Hierdoor onstaan tipwervels (zie figuur 2.7).

Het in stand houden van deze tipwervels kost energie die aan het vliegtuig wordt onttrok- ken. Er ontstaat een weerstand met als gevolg een verlies in snelheid. Hoe sterker de wervel, hoe groter de luchtweerstand. Bij een zeil werken tipwervels net zo: een surfer wil zo min mogelijk tipwervels, want door tipwervels krijgt hij een verlies aan snelheid. Als de surfer zo veel mogelijk kracht naar voren wil hebben, moet hij zoveel mogelijk de wind naar achteren ombuigen (zie figuur 2.8). Door toedoen van tipwervels wordt de stroming voor en achter een vliegtuig naar beneden geduwd. Dit wordt ”downwash” genoemd. Met betrekking tot wind- surfen is het meer ”sidewash” dan downwash omdat een windsurfer zijn zeil verticaal heeft staan in tegenstelling tot een horizontale vleugel. We zullen dit verschijnsel verder wel down- wash blijven noemen, want dit is de algemene benaming hiervoor. Nog even kort: downwash houdt in dat de stroming achter de vleugel naar beneden wordt gedrukt door het ontstaan van tipwervels aan de uiteinden van de vleugels. In afbeelding 2.9 is een schematische samen- vatting hiervan weergegeven. We zien dat de wind met snelheid V bij de vleugel komt. De liftkracht staat hier loodrecht op. Door downwash wordt de aankomende stroming afgebogen (met V_dw de downwash snelheid). Hierdoor ontstaat een ge¨ınduceerde weerstand, want de uiteindelijke kracht op de vleugel staat loodrecht op de afgebogen stroming. In vergelijking met de 2D-potentiaaltheorie zorgt downwash voor een verandering van invalshoek. Noemen we de 2D-invalshoek nog steeds δ, dan volgt voor de 3D-invalshoek δ_3D dat:

δ3D= δ − δi

Hierbij is δ_ide zogeheten ge¨ınduceerde hoek, veroorzaakt door de invloed van de tipwervels.

Figuur 2.7: Tipwervels

Figuur 2.8: Zeilstanden van een surfer

Figuur 2.9: Schematische samenvatting downwash

2.2.5 3D-potentiaaltheorie

Met behulp van (2.4), (2.5) en (2.6) krijgen we voor Γ₀ en daarmee voor de liftkracht het volgende:

Γ₀= πB_oW_asin (δ − δ_i) (2.6)

Fl = π²

4 ρlB0W_a²l sin (δ − δi) (2.7) Hierin moeten we δ_i nog bepalen. Dit doen we met behulp van figuur 2.10 hieronder. Hierin zijn krachten en hoeken rond de inkomende wind op een vleugel te zien. De liftkracht staat naar boven toe. δi is de hoek tussen de lifkracht met en zonder ge¨ınduceerde weerstand, tevens is δi de hoek tussen de schijnbare wind met en zonder downwash.

2.2. AERODYNAMISCHE KRACHTEN 15

Figuur 2.10: Vleugel-meetkunde

In de figuur is te zien dat F_l evenwijdig is met V_dw. Hierdoor geldt:

δi= tan⁻¹(V_dw Wa

) (2.8)

We moeten de downwash-snelheid nog bepalen. Voor de downwash-snelheid geldt het volgende (zie [7] en [8]):

Vdw(z) = 1 4π

Z l

−l

dΓ(η) dη

dη z − η = 1

4π Z l

−l

−Γ₀η l²q

1 − (^η_l)² dη z − η We kunnen nog een aantal termen naar voren halen zodat we krijgen:

V_dw(z) = − Γ0

4πl² Z l

−l

η q

1 − (^η_l)²(z − η) dη

Met −^z_l = cos (τ ) en −^η_l = cos (θ) volgen:

(1 − (η

l)²)⁻¹² = 1 sin (θ) en

dη = −dl cos (θ) = l sin (θ)dθ zodat:

Vdw(z) = V_dw(θ) = − Γ₀ 4πl²

Z π 0

1 sin (θ)

−l cos (θ)l sin (θ)dθ

−l(cos (τ ) − cos (θ))

Dit wordt uiteindelijk (metRπ 0

cos (θ)

cos (τ )−cos (θ)dθ = −π, bijlage A):

V_dw(z) = −Γ₀ 4πl

Z π 0

cos (θ)

cos (τ ) − cos (θ)dθ = Γ₀ 4l Hiermee wordt δi met (2.8) het volgende:

δ_i= tan⁻¹( Γ₀ 4lWa

) (2.9)

Dit geeft een impliciete vergelijking, want δ_i zit ook al in Γ₀via vergelijking (2.6). De waarden van alle andere variabelen in δi en Γ0 zijn gegeven waarden. In ons model rekenen we hiermee uit wat Γ0 is met behulp van de Newton-methode. De vergelijking voor δi kunnen we invullen in de formule voor Γ₀ (2.6) en F_l (2.7). Met de uitdrukking voor δ_i krijgen we nu δ_3D:

δ_3D = δ − tan⁻¹( Γ₀ 4lWa

)

En voor de liftkracht F_l krijgen we uiteindelijk:

F_l= π²

4 ρ_lB₀W_a²l sin (δ − tan⁻¹( Γ₀ 4lWa

)) (2.10)

2.2.6 Uitdrukkingen voor D_i, C_Di en F_L

Met behulp van figuur 2.10 krijgen we de ge¨ınduceerde weerstand:

D_i = F_ltan (δ_i) = ρ_lπΓ²₀ 16

We gebruiken de gebruikelijke formule voor lift: F_l= C_L^ρlW₂^a2A om de bijbehorende ge¨ınduceerde weerstandsco¨effici¨ent te berekenen:

CDi = CLtan (δi) = FlΓ0

4ρ_lW_a³Al (2.11)

Hierin is A de oppervlakte van het zeil en C_L de lift-co¨efficient. Voor de 3D-kracht inclusief ge¨ınduceerde weerstand hebben we Fl en Di nodig. De uitdrukkingen hiervoor zijn (2.10) en (2.11). We krijgen dan voor onze uiteindelijke 3D-kracht (met ge¨ınduceerde weerstand):

FL= q

F_l²+ D_i² (2.12)

2.3. HYDRODYNAMISCHE KRACHTEN 17

2.3 Hydrodynamische krachten

2.3.1 Onze hydrodynamisch krachten

We hebben twee hydrodynamische krachten: de weerstand van het water langs de plank (F_db) en de weerstand van het water langs de vin (F_{f //}). Hiermee gaan we later uitzoeken wanneer een surfer planeert. Wat betreft de weerstand op de vin: wat we weten is dat de hydrodynami- sche stroming recht vanuit de vaarrichting komt. Met potentiaaltheorie (Kutta-Jouwkowski) volgt dat de hydrodynamische kracht loodrecht op deze vaarrichting en de vin staat. Ook gelden dezelfde 3D-effecten als op het zeil, maar dan met betrekking tot de waterstroming in plaats van de luchtstroming: de hydrodynamische kracht staat niet precies loodrecht op de vaarrichting en de vin waardoor er een drifhoek en een bijbehorende drift in het spel is. Om deze reden moeten we deze kracht ook ontbinden in een component loodrecht op de vin en een component evenwijdig aan de vin. De component evenwijdig aan de vaarrichting zal niet zo heel groot zijn, omdat de drifthoek niet zo heel groot wordt.

De weerstand door het water op de plank is gelijk aan (standaard formule voor drag, zie bijvoorbeeld [4]):

F_db= 1

2ρ_wV_r²A_bC_D (2.13)

Met de volgende variabelen:

- ρw = De dichtheid van water

- Vr = De snelheid van de windsurfer (zie figuur 2.1)

- A_b = Het wrijvingsoppervlak van het surfboard (wij nemen A_b = 0.5m²) - CD = De weerstandsco¨efficient van de plank

Hierbij geldt voor C_D de volgende, empirisch bepaalde formule:

C_D = 0.074(ρ_wl_bV_r

µ )⁻¹⁵ = 0.074Re⁻¹⁵ (2.14) waarin µ de dynamische viscositeit van water en l_b de lengte van het surfboard is. Hiervoor nemen wij l_b = 1m. Deze formule is afgeleid van het Reynolds-getal Re (zie 2.3.2). De constante 0.074 en de −¹₅ staan in allerlei bronnen vermeld zoals in [9].

2.3.2 Het getal van Reynolds

Om bij het getal van Reynolds te komen gaan we eerst weer even in op weerstand. Om de weerstandskracht af te leiden wordt een zeer algemeen gebruikte formule voor weerstand ge- bruikt. Deze weerstand (drag) is een kracht in de vloeistof dynamica die een (vast) voorwerp ondervindt als hij zich voortbeweegt door, in ons geval, een vloeistof. Dit heet ook wel een viskeuze kracht. De weerstands-vergelijking bij hoge snelheid in turbulente stromen berekent de kracht als ons voorwerp zich bij hoge snelheid door de vloeistof beweegt. Dit betekent dat het Reynolds getal Re relatief groot is: Re > 1000. Zie hieronder voor een voorbeeld van weerstand. Dit laat een plaatje zien van een bol in een Stokes-stroming, dit betekent een laag Reynoldsgetal:

Figuur 2.11: Weerstand

Het Reynoldsgetal wordt gegeven door de volgende formule:

Re = (ρwVw2)/L

(µ_dV_w)/L² = ρwVwL

µ_d = VwL

ν_k = inertiaal krachten viskeuze krachten

Met de volgende variabelen:

- Vw = Snelheid van het water - L = Karakteristieke lengte

- µ_d = Dynamische water viscositeit - ν_k = Kinematische water viscositeit - ρ_w = Dichtheid van het water

We zien dat het Reynoldsgetal gaat over de ratio van inertiaal (traagheids) krachten (Vwρw) met viskeuze krachten (µ_d/L). Het laat zien hoe relatief belangrijk deze twee krachten zijn als er stromingscondities gegeven zijn. Hierbij is de inertie, ook wel traagheid genoemt, de naam voor het verschijnsel dat er kracht nodig is om een voorwerp een verandering in snelheid te geven. Hoe meer massa (dichtheid) het voorwerp heeft, hoe meer traagheid. De viscositeit is de ”dikte” van de vloeistof (de stroperigheid). Het getal van Reynolds wordt ook wel het belangrijkste dimensieloze getal genoemd in de vloeistof dynamica. In ons geval wordt het gebruikt om te identificeren of een stroming laminair of turbulent is. In het algemeen is een stroming laminair als het getal van Reynolds laag is, dus wanneer viskeuze krachten domi- nant zijn en turbulent wanneer het Reynoldsgetal hoog is, dus wanneer inertiaal krachten dominant zijn. Het Reynoldsgetal van een zeilboot rond zijn zeil van ongeveer 115 cm en een schijnbare wind van 18 km/hr is ongeveer 5 miljoen! Dit betekent dat er duidelijk turbulentie in het spel is. Helaas is het omslagpunt tussen laminair en turbulent voor elke geometrie an- ders, maar in het water is de stroming bij zeilboten ook turbulent. Een grote vis heeft al een Reynolds getal van boven de 50000 en in water treedt er vaak al turbulentie op onder de 4000.

Onze weerstandsvergelijking (2.14) is een vergelijking die geldt voor turbulente stromingen langs een surfboard met een hoge snelheid zodat we een hoog Reynoldsgetal hebben. Hierbij geldt dat ieder object, dus ook iedere surfplank een andere weerstandsco¨efficient heeft.

2.3. HYDRODYNAMISCHE KRACHTEN 19 2.3.3 Planeren en het getal van Froude

Er zijn twee soorten golven: golven met golflengte λ veel groter dan de diepte van het water, de zogeheten lange golven en golven met λ veel kleiner dan de diepte van het water, de korte golven. Rond een surfer bevinden zich kleine golven. In heel ondiep water zullen deze golven groter zijn dan de diepte van het water, maar op zee zullen deze golven veel kleiner zijn dan de diepte van het water. Golven rond een surfer zijn bijvoorbeeld golven op zee die ontstaan zijn door de windkracht of door hem zelf. De voortplantingssnelheid c van een korte golf hangt af van λ door middel van de volgende zeer goede benadering:

(zie [5])

c =r g

ktanh (kd) Met de volgende variabelen:

- d = De diepte van het water - k = Het golfgetal van een golf - g = De zwaartekracht

Het golfgetal k heeft de volgende formule:

k = 2π λ Nu krijgen we:

c = rgλ

2πtanh (2πd λ )

In diep water, waar d ≥ ¹₂λ, geldt: ^2πd_λ ≥ π, dus de tangens hyperbolicus nadert naar 1:

c = rgλ

2π Dit betekent dat c ongeveer gelijk is aan 1.25√

λ m/s met λ in m. Golven met verschillende golflengtes reizen dus met verschillende snelheden. De snelste golven zijn tevens de langste golven bij bijvoorbeeld een storm. Dit zijn de eerste golven die bij de kust arriveren.

William Froude bedacht een formule voor zijn Froude getal F_n. Hiermee kun je de weer- stand die een golf maakt op vaste voorwerpen met verschillende groottes en vormen zoals surfplanken en boten met elkaar vergelijken. Het getal van Froude wordt vaak na het getal van Reynolds genoemd als het op ´e´en na belangrijkste getal zonder dimensie in de vloeistof- dynamica. De formule voor het getal ziet er als volgt uit:

Fr= v

√gL

waarin L de lengte en v de snelheid van de boot is. Als v >> c begint de boot met planeren:

de boot komt over zijn eigen geproduceerde oppervlaktegolf heen. Dit kun je vergelijken met een supersonische vlucht van een vliegtuig, waarbij het vliegtuig sneller vliegt dan de geluidssnelheid. De langste golf die een boot en ook een windsurfer produceert is in lengte

maximaal gelijk aan het natte oppervlak (L = λ). Dit zorgt voor erg veel weerstand. We krijgen dan het volgende: (vul c in de plaats van v in, in de formule voor het Froude getal):

Fr= 1

√

2π ≈ 0, 4

Dit is zeer belangrijk voor de scheepvaart en ook voor windsurfers, want rond dit getal is er een sterke stijging van de weerstand. Als een windsurfer wil planeren zal hij over zijn eigen golf heen moeten komen: λ moet groter zijn dan L. Er volgt ruim na F_r ≈ 0.4 een sterke daling van golfweerstand omdat de windsurfer gaat planeren (zie figuur 2.12).

Figuur 2.12: Grafiek Froude-getal en weerstand

2.3.4 De uitdrukking voor F_Lf

De uitdrukking voor de 2D-liftkracht op de vin ontstaat hetzelfde als de 2D-liftkracht op het zeil, maar dan met de waarden van het zeil (zie paragraaf 2.2):

Flf = π

4ρwVrlfΓ0f

Hierin is ρ_w de dichtheid van water, l_f de lengte van de vin en Γ_0f eenzelfde soort uitdrukking voor de circulatie als de Γ₀ in paragraaf 2.2. De uitdrukking voor Γ_0f is de volgende:

Γ_0f = πB_fV_rsin (γ − γ_i)

Voor γ_i (ge¨ınduceerde drifthoek) hebben we eenzelfde soort uitdrukking als voor δ_i (zie ver- gelijking (2.9):

γi= tan⁻¹( Γ_0f 4l_fVr

) De ge¨ınduceerde weerstand wordt de volgende:

D_if = ρwπΓ_0f 16

Met behulp van deze ge¨ınduceerde weerstand komen we tot onze 3D-kracht:

FLf = q

F_lf² + D²_if

Hoofdstuk 3

Krachten & momenten

Bij het modelleren in het vorige hoofdstuk hebben we alle krachten gezien die we nodig hebben om onze evenwichten op te stellen. We willen een snelheidsevenwicht cre¨eren: een evenwicht van alle krachten in voor- en achterwaartse richting en we willen een stabiliteitsevenwicht cre¨eren: een evenwicht van alle krachten en momenten in de zijwaartse richtingen. Dit bete- kent dat we de krachten die niet in deze richtingen staan moeten gaan ontbinden zodat de ontbonden componenten van deze krachten wel in de goede richtingen staan. Als eerste gaan we de liftkracht op het zeil FL ontbinden in een component evenwijdig aan de vaarrichting en een component hier loodrecht op. Op eenzelfde manier splitsen we de krachten op het surfboard en de vin uiteindelijk ook op in een kracht evenwijdig aan en een kracht loodrecht op de vaarrichting. Zo krijgen we voor zowel ons snelheids- (op het zeil, op de plank en op de vin) als voor ons stabiliteitsevenwicht (op het zeil, op de vin en van de surfer) drie krachten.

3.1 Het ontbinden van F

en F

F_// willen we gaan uitdrukken met behulp van de lifkrachtformule (2.12). Dit doen we als volgt:

We introduceren een nieuwe hoek * als de hoek tussen F⊥ en FL. Zie figuur 3.1:

Figuur 3.1: Hoek *

21

Door middel van elementaire meetkunde met behulp van figuur 2.1 en de cosinus krijgen we dat hoek * gelijk is aan 90^o− γ − β − δ_3D. Tussen F_// en F⊥ zit een rechte hoek. Met de cosinus krijgen we dus:

F_//= cos (90^o− γ − β − δ_3D)FL (3.1) En voor F⊥ krijgen we met behulp van de stelling van Pythagoras:

F⊥=q

F_L²− F_//² (3.2)

De kracht van vergelijking (2.12) kunnen we invullen in de formules voor F_// en F⊥.

De kracht op de vin kunnen we ontbinden in F_{f //} en F_{f ⊥} met behulp van de cosinus en de sinus:

F_{f //}= FLfsin (γi) (3.3)

F_{f ⊥} = F_Lfcos (γi) (3.4)

3.2 Het snelheidsevenwicht

Als een surfer zijn maximale snelheid bereikt, betekent dit dat hij geen versnelling meer heeft.

De som van alle krachten in voor- en achterwaartse richting is dan gelijk aan 0. In ons geval moet daarom het volgende gelden:

F_//+ F_db+ F_{f //}= 0 (3.5)

Uitdrukkingen hiervoor vinden we in (3.1), (2.13) en (3.3). We hebben hier te maken met een impliciete vergelijking. V_r zit namelijk in W_a (zie (2.1)), die op zijn beurt weer in F_//zit.

Ook zit Vr in Fdb en in F_{f //}. In totaal hebben we gebruik gemaakt van vier hoeken: α, β, δ en γ. Kijk maar bij de samenvattende vergelijkingen van paragraaf 4.1. Hierin zijn alleen β, δ en γ te vinden. α zit in de vergelijking voor W_a (2.1). De rest van de hoeken is uit te drukken in deze vier hoeken. We willen uiteindelijk gaan rekenen met de vectoren, krachten en hoeken uit hoofdstuk 2 voor een snelheidsevenwicht.

De hoeken die we gebruiken zijn zeer herkenbaar in de praktijk. We gebruiken hoek α die de vaarrichting aangeeft, hoek β die de zeilstand aangeeft, hoek δ die de loslatingshoek van de wind in het zeil aangeeft en de drifthoek γ. Zoals gezegd kunnen we alle andere hoeken terugbrengen tot deze vier. Zie ook figuur 2.1.

3.3. HET STABILITEITSEVENWICHT 23

3.3 Het stabiliteitsevenwicht

3.3.1 Het momentenevenwicht: de krachten

Voor de stabiliteit van onze windsurfer kijken we naar de componenten van de krachten lood- recht op de vaarrichting. We weten dat de momenten die F⊥op het zeil en F_{f ⊥} op de vin met hun armen maken gecompenseerd moeten worden door de surfer. Hierdoor valt het geheel niet om. We hebben zodanig drie krachten:

1. Een aerodynamische component op het zeil: F⊥.

2. Een effectieve hydrodynamische component op de vin: F_{f ⊥}. 3. De kracht vanuit de surfer zelf: F_s.

De surfer zelf moet de momenten die component 1 en 2 maken compenseren tot een sta- biel geheel. Bij dit verhaal willen we natuurlijk weten wat het moment is dat de surfer zou moeten leveren kan worden in bepaalde gevallen. Natuurlijk gaan we er ook over nadenken wat het maximale moment is die een goede profsurfer kan cre¨eren.

Uitdrukkingen voor F⊥ en F_{f ⊥} hebben wel: voor F⊥ hebben we vergelijking (3.2) en voor Ff ⊥ hebben we vergelijking (3.4).

De kracht die de surfer levert is gelijk aan de zwaartekracht vermenigvuldigd met zijn ge- wicht in kilogram:

F_s= g · surfermassa ≈ 9.81 · surfermassa 3.3.2 Het momentenevenwicht: de armen

Met behulp van figuur 3.2 zien we dat we naast krachten ook armen nodig hebben. De totale formule voor het stabiliteitsevenwicht inclusief armen wordt nu de volgende:

F_s· arm(F_s) = F_⊥· arm(F_⊥) + F_{f ⊥}· arm(F_{f ⊥}) (3.6)

Figuur 3.2: De armen en krachten met daarnaast de werkelijkheid

De bijbehorende armen gaan we benaderen. We nemen aan dat het zwaartepunt van een mens ongeveer bij zijn/haar navel zit. Staand is dit ongeveer op 60% van de lichaamslengte. Een surfer neemt enigszins een zittende houding aan. Dus laten we zeggen dat het zwaartepunt in dat geval op 50% van de lichaamslengte ligt. In de praktijk blijkt dat een surfer geen kleinere hoek met het wateroppervlak kan maken dan ongeveer 25 graden om zijn maximale snelheid te halen. Kijk maar eens naar figuur 3.2. Deze surfer hangt ook met ongeveer 25 graden ten opzichte van het wateroppervlak boven het water.

Met cos (25^o) ≈ 0.91 krijgen we de volgende arm voor een windsurfer:

arm(F_s) ≈ 0.91 · 0.5 · surferlengte = 0.455 · surferlengte Het totale moment van de surfer wordt dan:

F_s· arm(F_s) ≈ 4.46 · surfermassa · surferlengte (3.7) Een surfer met een massa van 100 kilogram en een lengte van 1,85 meter kan dus een totaal moment leveren van ongeveer 4.46 · 100 · 1.85 ≈ 825 N m.

Arm(F⊥) is de hoogte van het aangrijpingspunt van de windkracht op het zeil. Om deze hoogte te benaderen hebben we eerst de mastlengte van het zeil nodig. De oppervlakte van het zeil As is gegeven. Als we hieruit de mastlengte van het zeil willen bepalen moeten we voldoen aan de praktijk. We gebruiken een praktijktabel met de oppervlakte van het zeil en de mastlengte van een surfwebsite (zie [6]). De waarden uit deze tabellen zien er als volgt uit:

zeilgrootte (m²) maximale mastlengte (m)

4.7 3.88

5.1 4.08

5.5 4.18

5.9 4.38

6.3 4.47

6.6 4.66

7.0 4.73

7.6 4.83

8.4 5.04

9.2 5.25

10.0 5.36

11.0 5.62

12.0 5.83

Een lineaire formule die ongeveer voldoet aan deze waarden is de volgende:

l = 1 4A_s+ 3

Hiermee zitten we maximaal 7.1% af van de waarden uit de tabel. Een betere benadering kunnen we krijgen als we de functie polyfit(x, y, n) in matlab gebruiken. Deze functie zoekt een functie f van graad n waarvoor geldt f (x) = y met x en y in ons geval de waarden van As

3.3. HET STABILITEITSEVENWICHT 25 en l. Het maakt gebruik van de kleinste kwadraten methode. Met behulp van matlab komen we zo op de volgende lineaire formule:

l = 0.2570A_s+ 2.8297

Met deze formule zitten we maximaal 3.9% af van de waarden uit de tabel. Zie de grafiek in figuur 3.3. Het eerste punt geeft de grootste afwijking.

Figuur 3.3: Grafiek met punten uit de tabel en de benaderingslijn

We zouden betere benaderingen kunnen krijgen door een functie van hogere graad proberen te vinden, maar met deze 3.9% zijn we tevreden. De laatste formule voor l gebruiken we dus in ons model. Voor het bepalen van de hoogte van het aangrijpingspunt van de windkracht op het zeil hebben we ook nog een benadering voor de breedte aan het onderkant van het zeil B0 nodig als de taper ratio T R gegeven is. Dit doen we als volgt:

Zij de taper ratio T R (lengteverhouding tussen de onderkant en de bovenkant van het zeil) ook gegeven, dan wordt de breedte B0 op hoogte h = 0 gelijk aan:

B0= 2 1 +_{T R}¹

As

l

As

l is de gemiddelde breedte van het zeil. Is de taper ratio 2, dan zijn de de breedtes van het het zeil op hoogte h = 0 en h = l respectievelijk 4/3e en 2/3e deel van het gemiddelde (verhouding 2:1) met onze formule. Voor taper ratio 3 is dit logischerwijs 6/4e en 2/4e deel van het gemiddelde met onze formule (verhouding 3:1).

De hoogte van het aangrijpingspunt van de windkracht op het zeil Arm(F⊥) gaan we nu benaderen met een 2D-voorstelling van het zeil. Hiervoor gebruiken we vier parameters die hierboven al zijn gegeven of uitgerekend, namelijk: de breedte op hoogte h = 0: B₀, de lengte van het zeil l, de oppervlakte van het zeil A_sen de taper ratio T R. We hebben te maken met het volgende figuur:

Figuur 3.4: 2D-zeil

We willen een uitdrukking vinden voor de hoogte van het aangrijpingspunt van de wind- kracht op het zeil. We gaan er vanuit dat de kracht uniform verdeeld is in de hoogte. Er moet dan gelden dat de oppervlakte van het zeil onder deze hoogte gelijk is aan de opper- vlakte boven deze hoogte, namelijk de helft van de oppervlakte van het zeil: ¹₂As. Met deze informatie kunnen we door het gebruik van de abc-formule de gewenste uitdrukking vinden (zie bijlage B). Deze uitdrukking is de volgende:

Arm(F⊥) =

−2B₀+ q

(4B₀²+ 4A_s(_{T Rl}^B0 −^B_l⁰) 2(_{T Rl}^B0 − ^B_l⁰)

Arm(F⊥) hangt dus af van het zeiloppervlak en de taper ratio van het zeil die we in ons model gaan invoeren. Met behulp van de breuken in onze formule zien we dat hoe kleiner de taper ratio, hoe groter de arm zal zijn.

Als laatste nemen we arm(Ff ⊥) ≈ 0.21. Dit is ongeveer de afstand in meters tussen het aangrijpingspunt van de aankomende stroming op de vin en het draaipunt (zie figuur 3.2) bij de vin die wij gekozen hebben. We krijgen dus F_{f ⊥}· arm(F_{f ⊥}) ≈ 0.21 · F_{f ⊥}.

Onder bepaalde hoeken en windsnelheden zal de surfer een te grote kracht moeten leve- ren. De hoge snelheden die je bij deze hoeken en windsnelheden zou kunnen halen worden dus niet bereikt. Het idee van ons model is nu om de hoogste snelheden te vinden met als restrictie een niet te groot moment voor de surfer.

3.3.3 Het krachtenevenwicht: drift

In deze paragraaf gaan we nog even kort in op drift. De drifthoek γ hangt namelijk af van de richting van de wind, de windkracht en de snelheid van de windsurfer. De richting van de wind is gegeven door middel van de hoek α (zie figuur 2.1), de windkracht W_o is ook gegeven, maar de snelheid van de windsurfer V_r willen we juist bepalen. Dit willen we gaan doen met behulp van ons snelheidsevenwicht (3.5). Om de snelheid te bepalen zoeken we een nulpunt in ons snelheidsevenwicht. Helaas is het zo dat zowel de snelheid van de windsurfer V_r als de drifthoek γ in de formule voor ons snelheidsevenwicht zitten (zie paragraaf 4.1) en variabel zijn. Omdat de drifthoek zelf ook afhangt van Vr zal het rekenkracht gaan kosten om de juiste waarden voor deze variabelen te bepalen. We bepalen eerst de snelheid met een gok voor de drifthoek en met deze snelheid bepalen we de echte drifthoek. Dit doen we net zo lang tot we een juiste snelheid ´en drifthoek hebben gevonden die voldoen aan het nulpunt.

3.3. HET STABILITEITSEVENWICHT 27 De uiteindelijke uitwerking van ons model wordt hierdoor wel aanzienlijk langzamer, want het kost behoorlijk wat rekenkracht. Wel wordt onze uitkomst veel preciezer. In de volgende paragraaf geven we een samenvatting met alle formules die belangrijk voor ons model zijn.

Hierin kunt u goed zien in welke formules de snelheid en de drifthoek zitten en waarom er meerdere keren gebruik wordt gemaakt van dezelfde methode om een nulpunt te vinden.

Waar komt de drift vandaan uit onze formules?

In de afgelopen paragrafen over het stabiliteitsevenwicht hebben we kunnen zien dat het moment van de surfer de andere momenten moet compenseren. Als de momenten in balans zijn is er een resulterende kracht ontstaan. Hierin zorgt de drifthoek voor compensatie. De twee zijwaartse krachten F⊥ en F_{f ⊥} uit figuur 3.2 stellen we aan elkaar gelijk en met behulp van de Newton-methode krijgen we onze drifthoek.

Hoofdstuk 4

De numerieke uitwerking van het model

In dit hoofdstuk geven we een korte uitleg over de numerieke uitwerking van ons model. We beginnen met een paragraaf over alle belangrijke formules uit de voorgaande hoofdstukken.

4.1 Samenvattende formules

We zijn in paragraaf 2.1 begonnen met het introduceren van ons model. Hierin hebben we laten zien dat een uitdrukking voor de schijnbare wind wordt gegeven door:

W_a=pW_o²+ V_r²− 2W_oV_rcos (180^◦− α − γ)

In paragraaf 2.2 hebben we de aerodynamische krachten onder de loep genomen. Eerst heb- ben we een vergelijking bepaald voor de circulatie rond het onderlijk van ons zeil en voor de 2D-liftkracht F_l. Door downwash moest in deze formules een ge¨ınduceerde hoek δi worden verwerkt. Voor onze circulatie Γ₀ krijgen we dan:

Γ0= πB0Wasin (δ − tan⁻¹(_4lW^Γ0

a))

Merk op dat Γ₀ in zichzelf zit. Hier is al onze eerste Newton-methode voor nodig. Met behulp van Γ0 krijgen we een uitdrukking voor de 2D-liftkracht Fl:

F_l= ^π₄²ρ_lB₀W_a²l sin (δ − tan⁻¹(_4lW^Γ0

a))

In 3D hadden we ook nog te maken met een ge¨ınduceerde weerstand. Onze 3D-kracht wordt dan:

F_L= q

F_l²(1 + tan²(tan⁻¹(_4lW^Γ0

a)))

Deze 3D-kracht hebben we in paragraaf 3.1 ontbonden in een component evenwijdig aan en een component loodrecht op de vaarrichting:

F_//= cos (90^o− γ − β − (δ − tan⁻¹(_4lW^Γ0

a)))FL

29

F⊥=q

F_L²− F_//²

In paragraaf 2.3 kwamen we aan bij de hydrodynamische krachten. Door een empirisch bepaalde weerstands-co¨efficient inclusief het getal van Reynolds in te vullen in de standaard formule voor weerstand van een nat oppervlak in water kwamen we op een formule voor de weerstand op de plank:

F_db= ¹₂ρwV_r²A_b0.074(^ρwl_µ^bVr)⁻¹⁵

Op eenzelfde manier als de liftkracht op het zeil hebben we de liftkracht op de vin bepaald, maar dan met waarden van water in plaats van lucht. Voor Γ_0f, F_lf en F_Lf krijgen we dan:

Γ_0f = πB_fV_rsin (γ − tan^{−1 Γ}_4l^0f

fVr) F_lf = ^π₄ρ_wV_rl_fΓ_0f

F_Lf = q

F_lf²(1 + tan²(tan⁻¹(_4l^Γ0f

fVr)))

We zien dat deze Γ0f net als Γ0 in zichzelf zit. We maken weer gebruik van de Newton- methode. Dit doen we met een gok voor de drifthoek γ, want ook die bepalen we later met de Newton-methode. Op dezelfde manier als de krachten op het zeil hebben we de de liftkracht in het water in paragraaf 3.1 ontbonden in een component evenwijdig aan en een component loodrecht op de vaarrrichting:

F_{f //}= FLfsin (tan⁻¹(_4l^Γ0f

fVr)) F_{f ⊥}· arm(F_{f ⊥}) = 0.21 · F_{f ⊥}

Met deze formules kwamen we tot de volgende vergelijking voor on snelheidsevenwicht (3.5):

F_//+ Fdb+ F_{f //}= 0 (4.1)

In deze drie krachten zit de snelheid Vr die we willen bepalen. Dit doen we met behulp van de Newton-methode met nog steeds een gok voor de drifthoek γ. In paragraaf 3.4 hebben we de armen bepaald voor ons stabiliteitsevenwicht. Hiermee kregen we voor het moment van de surfer de volgende uitdrukking:

F_s· arm(F_s) = 4, 46 · surfermassa · surferlengte

De zijwaartse momenten op het zeil en op de vin werden respectievelijk:

F⊥· arm(F_⊥) = F⊥·^−2B0+

q

(4B²₀+4As(_{T Rl}^B0−^B0

l ) 2(_{T Rl}^B0−^B0_l )

F_{f ⊥}· arm(F_{f ⊥}) = 0.21 · F_{f ⊥}

Het moment dat de surfer moet compenseren moet gelijk zijn aan de andere zijwaartse mo- menten. We krijgen dan voor ons stabiliteitsevenwicht (3.6):

F_s· arm(F_s) = F⊥· arm(F_⊥) + F_{f ⊥}· arm(F_{f ⊥}) (4.2) Dit lossen we niet op! We kijken alleen hoe groot F⊥· arm(F_⊥) + F_{f ⊥}· arm(F_{f ⊥}) is. Deze uitdrukking moet dus kleiner of gelijk zijn aan het moment dat de surfer kan leveren. Uit het

4.2. DE UITWERKING VAN ONS MODEL 31 resulterende krachtenevenwicht in de dwarsrichting: F⊥ = Ff ⊥ volgt de drifthoek. Alweer met behulp van de Newton-methode. In totaal gebruiken we dus vier Newton-methodes voor Γ₀, Γ_0f, γ en V_r. In de volgende paragrafen zullen we dieper ingaan op de werking hiervan.

4.2 De uitwerking van ons model

Ons model rekent met twee vergelijkingen: de eerste vergelijking heeft krachtcomponenten in voor- en achterwaartse richting (vergelijking (3.5), het snelheidsevenwicht):

F_//+ F_db+ F_{f //}= 0

Waarbij F_//het krachtcomponent in voorwaartse richting van de 3D-kracht in het zeil is, F_db is de weerstandskracht in achterwaartse richting van het surfboard en F_{f //} is de weerstands- kracht in achterwaartse richting van de vin. Hoe deze krachtcomponenten eruit zien kunt u teruglezen in de voorgaande paragraaf. Ook hebben we een vergelijking in zijwaartse richting loodrecht op de voorwaartse richting (vergelijking (4.2), het stabiliteitsevenwicht):

F_s· arm(F_s) = F⊥· arm(F_⊥) + F_{f ⊥}· arm(F_{f ⊥})

Waarbij Fs de kracht is die de surfer levert, F⊥ is de krachtscomponent van de 3D-kracht op het zeil loodrecht op F en F_Lf is de liftkracht op de vin (die staat loodrecht op F_{f //}).

Uitdrukkingen voor deze krachten en armen zijn wederom te vinden in paragraaf 4.1.

De vergelijkingen voor Γ₀, Γ_0f en de vergelijking voor ons snelheidsevenwicht (4.1) uit pa- ragraaf 4.1 zijn niet lineair. Daarom gebruiken we de Newton-methode om Γ₀ en Γ_0f te vinden en we gebruiken de Newton-methode om de drifthoek γ en de snelheid van de wind- surfer V_r te vinden (zie paragraaf 3.5). Alle variabelen uit paragraaf 4.1 zijn bekend, behalve γ en V_r. We geven α’s (de hoek die de vaarrrichting aangeeft) en β’s (de hoek die de zeilstand aangeeft) aan ons model mee en de vergelijking (4.1) wordt voor alle α’s en β’s opgelost. Als γ en V_r eenmaal gevonden zijn kunnen we die invullen in de formule voor het stabiliteits- evenwicht (4.2) en onderzoeken of de momenten op het zeil en op de vin bij elkaar opgeteld gecompenseerd kunnen worden door het moment van de surfer. De snelheden waarbij de sur- fer de andere zijwaartse momenten niet kan compenseren kan de surfer natuurlijk niet halen.

Dit kost teveel kracht. Als eerste letten we dus op de krachten bij de α’s, β⁰s en bijbehorende snelheden. Als tweede kijken we naar de loslatingshoek van de wind in het zeil: δ. Ook dit is belangrijk, want als δ veel groter dan 15 graden wordt krijgen we loslating. Snelheden waarbij δ veel groter is dan 15^o worden dus ook niet gehaald. Als derde kijken we naar de snelheden voor alle α⁰s en β’s zodat we kunnen zien wat voor snelheden we kunnen bereiken.

Een uitleg met behulp van een voorbeeld hoe het allemaal in zijn werk gaat volgt later. We leggen eerst uit hoe de Newton-methode in het algemeen en in ons geval werkt en hoe we daarmee oplossingen voor onze vergelijking zoeken.

4.3 De Newton-methode

4.3.1 De werking van de Newton-methode

De Newton-methode is een numeriek algoritme om nulpunten van een functie te bepalen (in ons geval willen we bijvoorbeeld weten wat de snelheid Vr wordt als we alle krachten met hun richtingen bij elkaar opgeteld gelijk stellen aan 0). Het algoritme convergeert kwadratisch.

Dit betekent: de fout na iteratie n + 1 is evenredig met het kwadraat van de fout na iteratie n.

Hierdoor convergeert het algoritme erg snel. Dit is erg nuttig voor ons programma aangezien we de Newton-methode meerdere keren binnen elkaar gebruiken. Helaas wordt er van het algoritme vaak gezegd dat het niet erg robuust is. In ons geval hoeft het algoritme geen hele moeilijke dingen te doen waardoor het uitstekend werkt. We hebben het algoritme nodig, omdat onze vergelijkingen van paragraaf 4.1 niet allemaal lineair zijn. De vergelijkingen voor Γ₀ en Γ_0f zijn impliciet en met de hand of simpel rekenwerk lastig oplosbaar.

De Newton-methode gebruikt een functie en zijn afgeleide. Laten we deze f (x) en f⁰(x) noemen. Zoals gezegd willen we het nulpunt van die functie zoeken. We starten vanaf een beginwaarde x0 en zoeken een waarde x1 die dichter bij het nulpunt ligt. Dit doet de Newton- methode als volgt: het berekent de raaklijn door f (x₀) aan de kromme f (x). Het snijpunt van de raaklijn met de x-as wordt de nieuwe waarde x₁. Met de Newton-methode krijgen we dus:

x1 = x0− f (x0) f⁰(x₀) We hebben dan de volgende situatie:

Figuur 4.1: Een eerste iteratie van de Newton-methode

Om verder te gaan gebruiken we nu de waarde x₁ om een waarde x₂ te vinden die dich- ter in het buurt van het nulpunt ligt. In het algemeen geldt dus:

x_n+1= x_n− f (x_n) f⁰(x_n)

Zo laten we de Newton-methode net zo lang doorgaan totdat we binnen een vooraf ingestelde foutmarge zitten. Voor de duidelijkheid behandelen we een voorbeeld: