EERSTE DEELTENTAMEN WIS 212 Analyse in Meer Variabelen

EERSTE DEELTENTAMEN WIS 212 Analyse in Meer Variabelen

28 februari 2003 14–17 uur

• Zet uw naam en collegekaartnummer op elk blad, en op het eerste blad de naam van uw practicum- leider (Pieter Eendebak of Phillip Getto) alsmede het totaal aantal ingeleverde bladzijden.

• Zet NIET meer vraagstukken tegelijk op één blad, want de vraagstukken worden afzonderlijk nagekeken door verschillende correctoren.

• De verschillende onderdelen van de vraagstukken zijn zoveel als mogelijk is, onafhankelijk van elkaar. Indien u een bepaald onderdeel niet of slechts ten dele kunt maken, mag u de resultaten daaruit gebruiken bij het maken van de volgende onderdelen.

• Bij dit tentamen mogen syllabi en/of rekenmachine NIET worden gebruikt.

Exercise 0.1. [20 pt.] Definieer^
R^3 R door^{ } ₁²

 2

2 ^

 2

3en zij^{   1} 0^{ } 0^ . 1. Beschrijf^ lokaal als een grafiek en bewijs dat^ een^ deelvariëteit van R³is. Bepaal de

dimensie van^ .

2. Geef een parametrisering van^ verschillend van die in onderdeel (i), bij voorbeeld, door het snijden van^ met sferen met middelpunt in 0.

Exercise 0.2. [30 pt.] Zij^ 0 vast gekozen. Definieer de logarithmische spiraal R²als beeld onder de^{ } afbeelding



R^ R² met  ! "#%$'& cos

sin ⁽

1. Toon aan dat ^{)+*   , ) -# $'&/.  2}

1, voor alle ¹⁰ R, en leid hieruit af dat overal een immersie is.

2. Bewijs dat de afbeelding  injectief is en verder, dat ^{ ,32} continu is als afbeelding im^{  } R.

3. Geef een kort bewijs, gebaseerd op de onderdelen (i) en (ii), dat een^ deelvariëteit in R² van dimensie 1 is.

4. Gebruik onderdeel (i) om aan te tonen dat de hoek⁴ tussen de raaklijn aan in^{! "} enerzijds en de vector^{! ,} anderzijds, onafhankelijk is van ; en geef⁴ als functie van de constante^ .

ZIE OMMEZIJDE ZIE OMMEZIJDE ZIE OMMEZIJDE

1

Dit tentamen is in elektronische vorm beschikbaar gemaakt door de TBC van A–Eskwadraat.

A–Eskwadraat kan niet aansprakelijk worden gesteld voor de gevolgen van eventuele fouten in dit tentamen.

1

Exercise 0.3. [20 pt.] Zij^{5 0} R⁶ willekeurig maar vast gekozen en defineer ^7/8
R^{6 } R door

7%8

 :9

5,;

 <

.

1. Zij ^=?> 0. Bewijs met behulp van multiplicatoren van Lagrange dat ^@A)+5B)C= de extremale waarden zijn van de restrictie van ^{7 8} tot de sfeer^D0 R^{6FEG)  ) =}.

2. Toon m.b.v. onderdeel (i) aan dat voor alle⁵ en^H0 R⁶ de ongelijkheid ^{E95,;  <} E IJ)+5B)K)

 ) van

Cauchy–Schwarz geldt.

Exercise 0.4. [30 pt.] Veronderstel dat⁷
R^2 R een^{ 1}functie is met^{7 }2^;  1^ 1, en definieer

L

R^{2 M} R^ R² door ^{L !ONQP }

7

!

1^;

P 

 

2



2

!

1 

1^

P 3 ⁽

1. Ga na dat ^{L }2^; 1^N  1^R 0. Geef een conditie op ^*S7 die het bestaan garandeert van een omgeving^T van



1 in R en van een afbeelding^{U
T } R²zó, dat^L (^{U !P QNQP} ) 0, voor alle

PH0

T .

2. Neem aan dat de conditie uit onderdeel (i) van toepassing is en dat ^{*S7 }2^;



1^VW1^;



3^ . Bereken nu^{USXY }  1^ , voor 1 ^I[Z\I 2.

2 2