TWEEDE DEELTENTAMEN WISB 212 Analyse in Meer Variabelen

TWEEDE DEELTENTAMEN WISB 212 Analyse in Meer Variabelen

30-06-2004 14–17 uur

• Zet uw naam en collegekaartnummer op elk blad, alsmede het totaal aantal ingeleverde bladzij- den.

• De verschillende onderdelen van de vraagstukken zijn zoveel als mogelijk is, onafhankelijk van elkaar. Indien u een bepaald onderdeel niet of slechts ten dele kunt maken, mag u de resultaten daaruit gebruiken bij het maken van de volgende onderdelen.

• Bij dit tentamen mogen syllabi en/of rekenmachine NIET worden gebruikt.

Exercise 0.1 (Catenoïde). We definiëren cosh^
1₂ 

en verder



R^2 R³ door ^{ 
}cosh cos^ cosh sin^{ }

en we beschouwen het oppervlak^
im^ , waarvan zonder bewijs mag worden gebruikt dat het een

 deelvariëteit in R³ van dimensie 2 is. (Zeepvliezen tussen twee concentrische parallelle cirkels hebben dikwijls de vorm van een deel van dit oppervlak.) Zij R willekeurig gekozen.

Voor gebruik in dit vraagstuk herinneren we aan de formules sinh^
1

2











cosh² sinh^2
1^ cosh^{2 } sinh^2
cosh 2^ 2 cosh sinh^!
sinh 2^"

(i) Bewijs dat de lengte van de spiraalvormige kromme^{#%$
'&   )(*( (,+ .-} op^ gelijk is aan 2^/ 2 sinh .

Definieer^{0 } R^ R door ^{0 
21  } cosh sinh .

(ii) Bewijs dat de oppervlakte van de deelverzameling^{ $} van^ bestaande uit de^345 met⁽³ 3

(76

gelijk is aan 2^{0 } .

Voor⁸ R definiëren we^{9 $;:} R³als de begrensde open deelverzameling begrensd door^{ $} en de twee schijven ^<>=

$

2&

38 R^{3 ( 3} ₁^{2 3} ₂^{2 +} cosh^{2  3} 3

2?

.-

"

(iii) Bewijs dat vol3

 9 $
0 

met behulp van 3-dimensionale integratie.

(iv) Pas de Divergentiestelling van Gauss toe met ^{9 $} en het vectorveld ^{0 } R^3 R³gegeven door

0 3
3 1

 3 2

 0 , en verklaar zodoende de relatie tussen de resultaten uit de onderdelen (ii) en (iii).

Exercise 0.2 (Golfoperator). We definiëren de open sector ^@ in R²en de differentiaaloperator^A op R², respectievelijk, door

@

2&

3 1

 3 2

 R^CB R ^(D(3 2

(76

3 1^-

 A
<

2 1

<

2 2



1

Dit tentamen is in elektronische vorm beschikbaar gemaakt door de TBC van A–Eskwadraat.

A–Eskwadraat kan niet aansprakelijk worden gesteld voor de gevolgen van eventuele fouten in dit tentamen.

1

en zij verder^E R^{2 } R een willekeurige^{ } functie met compacte drager. Op twee verschillende manieren zullen we de volgende identiteit bewijzen:

FG H A  3

I

3

2^{ }0 ^"

Definieer voor de eerste manier^JK Mat^2^ R door^J
1

/ 2

1 1 1 1 .

(i) Bewijs dat^JK SO^2^ R en toon aan dat^J de rotatie in R²om de oorsprong over de hoek

ML

4

is. Leid hieruit af dat^{J } R^2 R²een^{ } diffeomorfisme is met de eigenschap^{@
J ON.}

indien ^N
R² . Toon aan dat

< J

QP7

J en bereken det

< J

QP7

, voor alle^P R².

(ii) Schrijf ^{4R J
'} R^{2 } R en bewijs middels de kettingregel de volgende identiteit van afbeeldingen van R²naar Lin^R^ R² :

<

1



<

2


<

1



<

2

 R J
J <

1



<

2

 S

en concludeer

<UT


1

/ 2(^ 1

T

1

<

1

 <

2)^{ }1 ^+WV+ 2 ^"

Pas nu de laatstgenoemde identiteit toe met^ vervangen door

<UT



, met 1 ^+WV+ 2 respectievelijk, en bewijs

A  R J

2

<

1

<

2

 "

Welke stelling is nodig bij het bewijs van de laatste identiteit?

(iii) Toon nu aan m.b.v. de onderdelen (i) en (ii) alsmede de Hoofdstelling van de Integraalrekening dat de identiteit in^QF geldt.

In de nu volgende onderdelen (v) tot en met (vii) geven we een tweede, onafhankelijk, bewijs van^QF

middels de Integraalstelling van Green. Beschouw hiertoe het vectorveld

0

YX grad^

<

2



<

1

 

R^2 R^2 met ^XZ
0 1

1 0  Mat^2^ R ^"

(iv) Bewijs de identiteit curl^{0
A } van functies op R².

(v) Verifieer dat een positieve parametrisering^{P } R^{ [ @} wordt gegeven door

P\
sgn^{ }

 R ^

waarbij sgn de tekenfunctie is. Toon vervolgens aan

<

P\
sgn^

1 en ^X

<

P\

sgn^

<

P\   R^{] &} 0^{- }

en concludeer met de kettingregel sgn^

I*^R P7

I 

'_

0 R P  <

P7`a   R^{] &} 0^{- "}

(vi) Gebruik de compactheid van de drager van^ om aan te tonen dat de identiteit uit de Integraal- stelling van Green geldig is voor de onbegrensde open verzameling ^@ en het vectorveld ⁰ , en concludeer met behulp van deze identiteit alsmede de onderdelen (v) en (vi) dat ^QF volgt.

2 2