EERSTE DEELTENTAMEN WISB 212 Analyse in Meer Variabelen

EERSTE DEELTENTAMEN WISB 212 Analyse in Meer Variabelen

14-04-2004 14–17 uur

• Zet uw naam en collegekaartnummer op elk blad, alsmede het totaal aantal ingeleverde bladzij- den.

• De verschillende onderdelen van de vraagstukken zijn zoveel als mogelijk is, onafhankelijk van elkaar. Indien u een bepaald onderdeel niet of slechts ten dele kunt maken, mag u de resultaten daaruit gebruiken bij het maken van de volgende onderdelen.

• Bij dit tentamen mogen syllabi, aantekeningen en/of rekenmachine NIET worden gebruikt.

Exercise 0.1 (Autotoeteroppervlak). Definieer


R^3 R door ^{ } ₁²

 2

2 ^

1

 

3

 2

3 en ^{ } R^{3   } 0^

(i) Ga na dat^{ } R^{3  } 3  1^ .

Dit resultaat suggereert om voor een punt^{ } te schrijven dat^ 3

1

2met 

R.

(ii) Concludeer

 im^{ !} met ^"
R^2 R³ gegeven door ^#%$'&

(1)

2^

 cos&*$' sin&*$ 1^{ }

Bewijs dat in feite ^ im^{ !} .

(iii) Toon aan dat een immersie is in alle punten van R³met uitzondering van de punten ^+ 1$'&



en ^0

$'&

 , voor

& 

R willekeurig. Preciezer, bewijs dim ker(^{, -+} 1$'&

 ) dim ker(^{, -}0$'&

 ) 1^

Bewijs ^#+ 1

$*&

 0 en ^#0

$'&

(0

$

0

$

1^/. , voor alle

& 

R.

In de bijgaande illustratie is niets bijzonders te zien in^.0 R³(wel daarentegen in 0 ^ R³).

(iv) Bewijs m.b.v. de Submersiestelling dat ^ een¹³² deelvariëteit in R³van dimensie 2 is in alle punten behorende tot ^{54 } 0^ .

Achtergrond. Het feit dat niet-immersief is in de punten^0

$*&

 is dus een “hebbelijkheid” van en impliceert in dit geval geen singulier gedrag nabij^. van im^{ } zelf. Tot slot delen we zonder bewijs mee dat ^ geen deelvariëteit in R³van dimensie 2 in 0 is.

1

Dit tentamen is in elektronische vorm beschikbaar gemaakt door de TBC van A–Eskwadraat.

A–Eskwadraat kan niet aansprakelijk worden gesteld voor de gevolgen van eventuele fouten in dit tentamen.

1

Exercise 0.2 (Viètetransformatie). Veronderstel dat^{6 } R²voldoet aan⁶ ₁²  6 2 ⁷ 0 en laten^ 1en



2

 R de wortels zijn van het monisch kwadratisch polynoom^{8 9}

$ 6

:
;9 2

2⁶ 1

9 6 2 in de variabele⁹ met coëfficiënten 2⁶ 1en⁶ 2.

(i) Bewijs de volgende formules van Viète:⁶ 1



1 2



1 

2

 en⁶ 2



1



2.

Beschouw nu de volgende Viètetransformatie (van het vlak van wortels naar het vlak van coëfficiënten):

<

R^2 R² met ^{<   6} (



1 2



1 

2

 $ 

1



2)^

In de onderstaande illustratie zien we het beeld onder ^< van een raster van equidistante rechte lijnen parallel aan de coördinaatassen (met andere woorden: ruitjespapier). Het lijkt dat deze lijnen onder^<

overgaan in lijnen die allemaal raken aan een parabool. We zullen dit opmerkelijke resultaat bewijzen in het onderstaande.

(ii) Bewijs dat ^{< } 1$ 

2

=

<



2$ 

1

 en leidt hieruit af dat het voldoende is voor het bewijs om alleen horizontale lijnen te beschouwen.

(iii) Beschouw^> 1$ 

2

? R^{2  } 1

 R^ , de horizontale lijn op hoogte^ 2

 R. Toon aan dat het beeld van deze lijn onder ^< wordt gegeven door

@



2



6 

R^{2  8 } 2$ 6

 0^A

Ga na dat^{@ } 2

 een rechte lijn in R²is met richtingscoëfficiënt gelijk aan 2^ 2.

(iv) Bepaal de verzameling^BC R²van singuliere punten van ^< (d.w.z.,^{D B} dan en slechts dan als det^{, <  } 0) en verifieer dat^{E < B } een parabool in R²is.

Definieer ^{ / 6 } R^{2  6} ₁²

F 6 2^ .

(v) Bewijs dat^ de verzameling van punten in R²is die onder^E liggen. Toon aan dat^<
R^{24GB  } surjectief is; in het bijzonder, laat zien dat

<

H

R^{2  } 1 F 

2^

 

een¹³² diffeomorfisme is. Concludeer dat^{6  } impliceert dat^{6  @ } 1

JI

@



2

 met^ 1 ^K

/

2. 2

2

(vi) Zij^ 2

 R vast maar willekeurig gekozen. Bewijs dat ^ 2

LI

E 

2$ 

2

 , bereken de geometrische raaklijn aan ^E in dit punt, en laat zien dat deze raaklijn gelijk is aan^{@ } 2

 .

(vii) Concludeer uit het voorgaande dat door ieder punt^{6  } er precies twee verschillende raaklijnen aan ^E gaan en dat de richtingscoëfficiënten van die raaklijnen gelijk zijn aan tweemaal de tegengestelden van de wortels van het polynoom^{8 9} $ 6 

in⁹ .

3 2