(H4.1) Zij V = C([0, 1]) de re¨ ele vectorruimte van re¨ eel-waardige functies op het eenheidsinterval en beschouw de normen || · ||

Lineaire algebra 2: huiswerkset 4 (Secties 7 en 8)

Deadline: 19 november 2013, 9:00 uur

(H4.1) Zij V = C([0, 1]) de re¨ ele vectorruimte van re¨ eel-waardige functies op het eenheidsinterval en beschouw de normen || · ||

en || · ||

op V zoals gedefini¨ eerd in Example 7.7. Defini¨ eer voor n > 0:

g

(x) =

 √

n als 0 ≤ x ≤ 1/n, 1/ √

x als 1/n ≤ x ≤ 1.

Bewijs lim

||g

||

= 2 en lim

||g

||

= ∞. Leid uit het antwoord af dat de twee normen niet equivalent zijn.

(H4.2) Zij V een eindigdimensionale vectorruimte over F , en zij b : V ×V

→ F een bilineaire afbeelding. Laat zien dat er een endomorfisme f van V bestaat z´ o dat voor alle v ∈ V en φ ∈ V

geldt

b(v, φ) = φ(f (v)).

(H4.3) Zij V = C

en beschouw de afbeelding φ : V × V → C gegeven door φ((z

, z

), (w

, w

)) = z

w

+ z

w

.

1. Is φ bilineair? Is φ symmetrisch? Is φ anti-symmetrisch (skew-symmetric)?

Is φ alternerend? Is φ niet-gedegenereerd? Motiveer je antwoorden.

2. Geef een basis v

, v

van V z´ o dat geldt φ(v

, v

) = δ

:=

 1 als i = j, 0 als i 6= j.

(H4.4) Zij V = R

en beschouw de symmetrische bilineaire vorm φ : V ×V → R die op de standaardbasis gegeven is door de matrix





−1 1 0

1 −1 1

0 1 −1



 . 1. Bereken de determinant van de matrix.

2. Is φ positief definiet? (Dat wil zeggen, geldt voor elke v ∈ V \ {0} dat φ(v, v) > 0? Zie Theorem 8.27 van het dictaat.)

3. Bepaal de rang en de signatuur van φ.

4. Beantwoord dezelfde vragen voor de matrix





1 1 0 1 1 1 0 1 1



 .