M´ e´ er dan re¨ ele getallen

M´ e´ er dan re¨ ele getallen

Jaap Top

JBI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl

Marten Toonder, verhaal ‘de minionen’ (1980)

Niccol`o Tartaglia (1500–1557)

Tartaglia gebruikte vierkantswortels uit negatieve getallen.

Zo loste hij vergelijkingen als de volgende op:

x³ = 21x + 20.

Zijn methode, versimpeld weergegeven:

substitueer x = a + b, dan

x³ = (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

= 3ab(a + b) + a³ + b³

= 3abx + a³ + b³.

(x³ = 21x + 20 volgens Tartaglia, vervolg.)

Oplossing(en): x = a + b waarbij ab = 7 en a³ + b³ = 20.

De condities impliceren a³b³ = 7³ en a³ + b³ = 20,

dus a³, b³ zijn de twee oplossingen van X² − 20X + 7³ = 0.

Wortelformule: ∆ = −3 × 18², dus oplossingen 10 ± 9√

−3.

(x³ = 21x + 20 volgens Tartaglia, vervolg.)

Oplossing(en): x = a + b met, na eventueel a en b omwisselen, ab = 7 en a³ = 10 + 9√

−3.

Dit levert (zie verderop!) drie mogelijkheden:

• a = −2 + √

−3, dan b = 7/a = −2 − √

−3 en x = a + b = −4;

• a = ⁵₂ + ¹₂√

−3, dan b = 7/a = ⁵₂ − ¹₂√

−3 dus x = a + b = 5;

Controle: inderdaad

(−4)³ = 21 × (−4) + 20, 5³ = 21 × (5) + 20, (−1)³ = 21 × (−1) + 20.

Dus ondanks dat de methode ”niet bestaande” getallen gebruikt,

leidt het tot correcte antwoorden (en niet alleen in dit voor- beeld!).

Twee manieren om complexe getallen te beschrijven:

algebra¨ısch, als uitdrukkingen a + b√

−1 met re¨ele a, b;

meetkundig, als punten met co¨ordinaten (a, b) in het xy-vlak.

Een complex getal is een uitdrukking van de vorm a + bi, met a en b re¨ele getallen, en i een nieuw symbool.

De verzameling van alle complexe getallen geven we aan met C.

Optellen en vermenigvuldigen in C: Laten z = a+bi en w = c+di complexe getallen zijn. Dan

z + w = (a + bi) + (c + di) := (a + c) + (b + d)i en

zw = (a + bi) · (c + di) := (ac − bd) + (ad + bc)i.

We vatten R op als een deel van C, door r ∈ R te zien als het complexe getal r + 0i.

Dus C is een uitbreiding van R. Rekenen in R (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen) breidt uit tot rekenen in C, met dezelfde eigenschappen.

De rekenregels zeggen in het bijzonder dat i² = −1.

Dus i is een wortel uit −1.

Leonhard Euler (1707–1783) voerde de notatie i in.

De complex geconjugeerde van een complex getal z = a + bi is het complexe getal genoteerd als ¯z, gegeven door

z := a − bi.¯

Merk op dat voor elke z = a + bi 6= 0 het product z¯z = a² + b² een positief re¨eel getal is. Er geldt

1

z = z¯ z¯z en

w

z = w¯z z¯z

In de praktijk kan hiermee snel een quotient van complexe getallen in de vorm a + bi geschreven worden.

Voorbeelden:

1

2 + i = 2 − i

(2 + i)(2 − i) = 2 − i

5 = 2

5 − 1 5i.

Zo ook

3 + 5i

1 + i = (3 + 5i)(1 − i)

(1 + i)(1 − i) = (3 + 5i)(1 − i)/2 = 4 + i.

Deze algebra¨ısche benadering is afkomstig van Rafael Bombelli (1526–1572), die probeerde iets zinvols te maken van de vreemde methoden van Tartaglia en diens tijdgenoten.

Je kan ook meetkundig naar C kijken door z = a + bi te zien als het punt (a, b) in het xy-vlak R². Optellen in C is zo de parallellogramwet voor het optellen van vectoren: a + bi optellen bij c + di is het optellen van de vectoren met beginpunt (0, 0) en eindpunt resp. (a, b) en (c, d).

Complexe conjugatie is het overgaan van (a, b) naar (a, −b), dus het spiegelen in de x-as. In het bijzonder zie je zo, dat z = ¯z dan en slechts dan, als z met een punt op de x-as correspondeert, oftewel, als z ∈ R.

We spreken van het complexe vlak.

De formule z · z = a²+ b² als z = a + bi laat zien, dat z · z gelijk is aan het kwadraat van de afstand tussen (0, 0) en (a, b). Kortom, met

|z| := √

z · z =

q

a² + b²

wordt een re¨eel getal gedefini¨eerd dat in het meetkundige plaatje de lengte van z (als vector) weergeeft. We noemen dit de abso- lute waarde van z. Voor re¨ele z stemt dit overeen met de daar gebruikelijke absolute waarde.

Er geldt |zw| = |z| · |w| en |z + w| ≤ |z| + |w|.

Door z ∈ C (mits z 6= 0) te delen door z’n absolute waarde |z|, houden we een complex getal over met absolute waarde 1. Dit ligt dus in het complexe vlak op de cirkel om 0 met straal 1.

Elk punt op die cirkel heeft co¨ordinaten (cos α, sin α) waarbij α de hoek is die de lijn door 0 en het punt maakt ten opzichte van de positieve re¨ele as (x-as).

De hoek α heet het argument van het complexe getal z, notatie:

arg(z).

Er geldt z = r · (cos α + (sin α)i) waarbij r = |z| en α = arg(z).

Notatie: e^αi := cos α + (sin α)i. Dit is het complexe getal op de eenheidscirkel, met argument gelijk aan α.

Merk op: e⁰ⁱ = 1 + 0i = 1, en ook voor de gebruikelijke e-macht is e⁰ = 1.

Een berekening waarbij bekende goniometrische identiteiten wor- den gebruikt, laat zien

(cos α + (sin α)i) · (cos β + (sin β)i) = cos(α + β) + (sin(α + β))i.

Gegeven complexe getallen z en w, schrijf r = |z| en s = |w| en α = arg(z) en β = arg(w). Dan

z · w = r · e^αi · s · e^βi = rs · e^(α+β)i.

Meetkundig is vermenigvuldigen dus: de lengtes (absolute waar- den) vermenigvuldigen, en de hoeken (argumenten) optellen.

Opnieuw ons Tartaglia voorbeeld: los op a³ = 10 + 9√

−3.

a×a×a is: hoek arg(a) met 3 vermenigvuldigen, absolute waarde

|a| tot de derde macht nemen.

Hier: |a|³ =

q

10² + 3 · 9² = √

343, dus |a| = √ 7.

En arg(a³) = arctan(₁₀⁹ √

3) ≈ 1.0004 rad, dus arg(a) ≈ 0.3335 rad (mod 2π/3). Dan:

a ≈ √

7 · e^0.3335i = √

7(cos(0.3335) + i sin(0.3335))

≈ 2.4999 + 0.8661 · i ≈ ⁵₂ + ¹₂√

−3,

De accountant/boekhouder Jean Robert Argand (1768–1826) uit Parijs schreef in 1806 een boek over het meetkundig inter- preteren van C. Het complexe vlak heet ook wel het Argand diagram.

Iets eerder, op 20 juni 1805 presenteerde William Morgan (de grondlegger van het moderne actuariaat, 1750–1833) voor de Royal Society in Londen het werk van de Franse priester Adrien- Quentin Bu´ee (1748–1826) die vanwege de Franse Revolutie naar Engeland was gevlucht. Onderwerp: meetkundig inter- preteren van negatieve getallen en complexe getallen.

De Noorse landmeter Caspar Wessel (1745–1818) gaf al in 1799 dezelfde meetkundige interpretatie. Maar hij schreef in het Deens...

Bu´ee vermeldt dat al eerder, in 1750, H. K¨uhn (wiskundeleraar uit Danzig) een meetkundige interpretatie van complexe getallen gaf.

Bu´ee is laatdunkend (“Ik denk niet dat ik hoef te praten over . . . omdat hij daar veronderstelt dat √

−1 = −√

1”), hij noemt

“Mr. Khun” (verkeerde naam), en hij verwijst naar het derde nummer van de “M´emoires de Petersbourg” (verkeerde tijd- schrift).

Toch had Heinrich K¨uhn (1690–1769) het prima begrepen. Euler schreef hem in 1735 een serie brieven, bij gebrek aan een adres maar naar de Danzigse (toen nog K¨onigsberg) burgemeester C.L.G. Ehler gestuurd. Onderwerp: hoe maak je, uitgaande

Plaatjes uit K¨uhns artikel

Voor z = a + bi schrijven we e^z = e^a+bi := e^a · e^bi. Voor a = 0 is dat de hiervoor gegeven e^bi.

Voor b = 0 is dat de gewone, re¨ele e^a. Er geldt e^z+w = e^z · e^w.

Voor a = 0 en b = π staat er e^πi = cos π + (sin π)i = −1, dus e^πi + 1 = 0.

Formule van Leonhard Euler (1707–1783).

Euler voerde e^z anders in: hij schreef e^z = lim

n→∞(1 + z n)ⁿ.

Invullen z = ix met x re¨eel, en gebruiken dat 1 ≈ cos(x/n) en x/n ≈ sin(x/n) als n heel groot, brengt Euler dan, via de “formule van de Moivre”

(cos(α) + i sin(α))ⁿ = cos(nα) + i sin(nα), tot de conclusie e^ix = cos(x) + i sin(x).

Zie scholierentijdschrift ‘Pythagoras’, april 2011 (“De mooiste

Wat commercieler, lovelymath.com, 2011:

Voorbeeld: de cosinusregel.

a² = |be^αi − c|² = (be^αi − c)(be^−αi − c)

= b² + c² − bc(e^αi + e^−αi)

= b² + c² − 2bc cos α.

Toepassing/voorbeeld (H.W. Lenstra, Leiden) Zie http://escherdroste.math.leidenuniv.nl/

Gegeven een figuur (tekening) in C. We spreken van een figuur met een Droste effect als er een re¨eel getal r 6= ±1 is zodat de figuur onder vermenigvuldigen met r in zichzelf overgaat.

Door de schaling over r bij een Droste effect te combineren met een rotatie over α, krijg je een figuur dat in zichzelf wordt overgevoerd onder vermenigvuldigen met r · e^αi.

Voorbeeld: Escher’s Prentententoonstelling (1956): r ≈ 22, 6 en α ≈ 2, 75, dus invariant onder verm. met ≈ −20, 89 + 8, 63i.

Stelling: Elke veelterm f (z) over C van positieve graad heeft een nulpunt in C.

Dit heet ‘hoofdstelling van de algebra’. O.a. bewezen door Ar- gand (1806) en door Carl Friedrich Gauss (1777–1855) in diens proefschrift (1799).

Bewijsschets: zou f (z) geen nulpunt hebben, dan is 1/|f (z)|

overal gedefinieerd. Deze neemt een maximum aan. Na schuiven z 7→ z + a: maximum voor z = 0. Na ook nog f (z) delen door f (0): mag aannemen f (0) = 1.

Schrijf f (z) = 1 + re^αiz^k+hogere machten, met k > 0, r > 0.

Door voor z een handig gekozen waarde  · r^−1/ke^βi in te vullen,

Gevolg: Op R² of R³ of algemener Rⁿ in analogie met C “=” R², met R ⊂ Rⁿ als (zeg) de vectoren {(x, 0, . . . , 0)}, naast de gewone optelling een vermenigvuldiging maken waarbij de gebruikelijke regels gelden (associatief, distributief, commutatief, en ieder ele- ment 6= 0 heeft een inverse), lukt alleen als n = 1 (en dus Rⁿ = R) en als n = 2 (en dan R² = C).

Oorzaak: hebben we zo’n structuur op Rⁿ, dan voldoet elke v ∈ Rⁿ aan een vergelijking v^m + a_m−1v^m−1+ . . . + a₀ = 0 waarbij alle a_j ∈ R en bovendien is xⁿ + a_m−1x^m−1 + . . . + a₀ over R niet in factoren van lagere graad te ontbinden. Het resultaat van Gauss impliceert hier m ≤ 2, en daarmee is het bewijs zonder

Dus na R en R² = C niks “meer”?!

Toch wel! De Ierse wiskundige/natuurkundige/sterrenkundige William Rowan Hamilton, en eigenlijk drie jaar voor hij zijn vondst deed ook al de Franse wiskundige (en bankier) Benjamin Olinde Rodrigues, beseften dat als de voorwaarde van ‘commutativiteit’

(v · w = w · v) wordt losgelaten, dan bestaat ook op R⁴ een vermenigvuldiging met alle nog resterende eigenschappen.

Vanwege de ‘4’ in R⁴ sprak Hamilton van quaternionen.

William Rowan Hamilton (1805–1865)

Het verhaal over Hamiltons ontdekking van de quaternionen is beroemd: naar eigen zeggen, bedacht hij ze tijdens een wande- ling met z’n vrouw Helen Maria Bayly langs het Royal Canal (Iers:

An Chan´ail R´ıoga) in Dublin op maandag 16 Oktober 1843.

Hij kerfde het resultaat op een van de stenen van een brug over dat kanaal (Brougham Bridge, nu Broome Bridge).

Tegenwoordig staat daar een gedenksteen.

Hamilton: begin niet met ´e´en, maar met drie (onafhankelijke) wortels uit −1. Die noem je i, j en k.

Een punt (a, b, c, d) ∈ R⁴ noteren we als a + bi + cj + dk.

Vermenigvuldigen ervan gaat met de regels

i² = j² = k² = −1, ij = −ji = k, jk = −kj = i, ki = −ik = j.

Zo kom je tot

(a + bi + cj + dk) · (a⁰ + b⁰i + c⁰j + d⁰k)

=

(aa⁰ − bb⁰ − cc⁰ − dd⁰ +

(ab⁰ + ba⁰ + cd⁰ − dc⁰)i +

(ac⁰ − bd⁰ + ca⁰ + db⁰)j +

(ad⁰ + bc⁰ − cb⁰ + da⁰)k.

De geconjugeerde van z = a + bi + cj + dk defini¨eren we als z = a − bi − cj − dk.¯

Dan z · ¯z = a² + b² + c² + d², dit is voor elke quaternion z een re¨eel getal, en het is zelfs 6= 0 als z 6= 0.

Zo is, net als bij complexe getallen, te zien dat elke z 6= 0 een inverse heeft:

z⁻¹ = 1

z · ¯z · ¯z.

Als eerbetoon aan W.R. Hamilton worden de quaternionen aange- duid met H.

We hebben dus

R ⊂ C ⊂ H.

Quaternionen worden toegepast in Natuurkunde, in Robotica, in Getaltheorie en veel meer. Zoals complexe getallen allerlei meetkunde in R² kunnen beschrijven, geldt dat voor quaternionen en meetkunde in R³ en R⁴.

Voorbeeld: realiseer R³ als de ruimte R · i + R · j + R · k ⊂ H. Alle afbeeldingen R³ → R³ die de oorsprong op z’n plek houden en die zowel afstand- als ori¨entatie behouden, zijn weer te geven als

v 7→ z · v · z⁻¹ voor een z ∈ H.

In H hebben we behalve ±i, ±j, ±k nog veel meer wortels uit −1:

Stel z = a + bi + cj + dk voldoet aan z² = −1.

Dan volgt dat z · ¯z = 1 en dus z = −¯z.

Conclusie: a = 0 en b² + c² + d² = 1, en elke z met deze eigen- schappen is een oplossing! (De oplossingen vormen de rand van een bol)

Houdt het na C en H dan wel op?

Ja, als we niet meer eigenschappen willen kwijtraken dan alleen commutativiteit.

Nee, als we bovendien bereid zijn de associativiteit

(u · v) · w = u · (v · w) op te offeren. Daarmee kan op R⁸ een

“Oktaven” vermenigvuldiging worden gezet, eerst bedacht in 1843 door Hamiltons vriend John Thomas Graves (1806–1870), maar vooral bekend geworden door de Engelsman Arthur Cayley (1821–1895).

Kees Stip (‘Trijntje Fop’, 1913–2001): Op een bok

In Siddeburen was een bok

die machtsverhief en worteltrok.

Die bok heeft onlangs onverschrokken de wortel uit zichzelf getrokken,

waarna hij zonder ongerief

zich weer in het kwadraat verhief.

Maar ’t feit waardoor hij voort zal leven is, dat hij achteraf nog even

de massa die hem huldigde met vijf vermenigvuldigde.