1. Beschouw een vectorveld ~ v = v 1 ~ u 1 + v 2 ~ u 2 + v 3 ~ u 3 . Bereken de eerste component van de vector

1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen 1ste Bachelor Fysica en Sterrenkunde Academiejaar 2016-2017 1ste semester 7 november 2016

Wiskundige Technieken

1. Beschouw een vectorveld ~ v = v ₁ ~ u ₁ + v ₂ ~ u ₂ + v ₃ ~ u ₃ . Bereken de eerste component van de vector

∇( ~ ~ ∇ · ~v) − ~ ∇ × ( ~ ∇ × ~v),

en laat zien dat deze onafhankelijk is van v 2 en v 3 . Je mag veronderstellen dat de parti¨ele gemengde afgeleiden van orde twee gelijk zijn.

2. Bepaal de complexe nulpunten van de complexe veelterm P (Z) = Z ⁴ + 8 + 8 √

3i.

Schrijf deze zo expliciet mogelijk uit, door eventuele goniometrische of exponenti¨ele func- ties die bij de berekening optreden uit te rekenen. Ontbind daarna P in lineaire complexe factoren.

3. Integreer de volgende differentiaalvergelijkingen (a) e ^−x y ⁰ − (1 + y ² ) cos x = 0,

(b) 2y ⁰⁰ − y ⁰ + y

8 = x cos x 4 .

4. We bekijken een viervlak met hoekpunten O, A, B en C. Het viervlak bestaat uit vier driehoeken. Onderstel dat de drie ribben die het punt O bevatten loodrecht op elkaar staan.

Toon dan aan dat de som van de kwadraten van de oppervlaktes van de drie driehoeken die O als een van de hoekpunten hebben gelijk is aan het kwadraat van de oppervlakte van de vierde driehoek, die met hoekpunten A, B en C.

Het examen duurt 3 uur. Het gebruik van de cursus, cursusnota’s en rekenmachine is niet toegelaten. Punten- verdeling: vraag 1: 8 punten, vraag 2: 8 punten, vraag 3a: 6 punten, vraag 3b: 8 punten; vraag 4: 10 punten.

Gelieve elke vraag op een apart blad op te lossen.

Veel succes!

Oplossingen

1. De eerste component van ~ ∇( ~ ∇ · ~v) is

∂

∂x

 ∂v ₁

∂x + ∂v ₂

∂y + ∂v ₃

∂z



~ u 1 =  ∂ ² v ₁

∂x ² + ∂ ² v ₂

∂x∂y + ∂ ² v ₃

∂x∂z



~ u 1 .

De eerste component van ~ ∇ × ( ~ ∇ × ~v) is

 ∂

∂y

 ∂v ₂

∂x − ∂v ₁

∂y



− ∂

∂z

 ∂v ₁

∂z − ∂v ₃

∂x



~

u ₁ =  ∂ ² v ₂

∂y∂x − ∂ ² v ₁

∂y ² − ∂ ² v ₁

∂z ² + ∂ ² v ₃

∂z∂x



~ u ₁ .

Als we deze van mekaar aftrekken vinden we dat de eerste component van ~ ∇( ~ ∇ · ~v) − ~ ∇ × ( ~ ∇ × ~v) gelijk is aan

 ∂ ² v ₁

∂x ² + ∂ ² v ₁

∂y ² + ∂ ² v ₁

∂z ²



~ u ₁ = (∆v ₁ )~ u ₁ , en deze hangt niet af van v ₂ en v ₃ .

2. We moeten de complexe vierdemachtswortels van −(8 + 8 √

3i) bepalen. We zoeken dus z ∈ C, waarvoor,

z ⁴ = −(8 + 8 √ 3i).

Als we linker- en rechterlid schrijven in exponenti¨ele gedaante, dan krijgen we, z ⁴ = r ⁴ e ^i4θ = 16(− 1

2 −

√ 3

2 i) = 16(cos 4π

3 + i sin 4π

3 ) = 16e ⁱ

. Hieraan is voldaan als

 r ⁴ = 16

4θ = ^4π ₃ + 2kπ, k ∈ Z . of

z = 2e(

) ⁱ , k ∈ Z.

Als we k = 0, k = 1, k = 2 en k = 3 nemen, dan krijgen we de vier vierdemachtswortels z ₀ , z 1 , z 2 en z 3 :

z ₀ = 2e

ⁱ = 2 cos ^2π ₆
+ i sin ^2π ₆

= 1 + i √ 3 z 1 = 2e

ⁱ = 2 cos ^5π ₆
+ i sin ^5π ₆

= − √

3 + i z ₂ = 2e

ⁱ = −z ₀ = −1 − i √

3 z ₃ = 2e

ⁱ = −z ₁ = − √

3 − i De ontbinding in lineaire en kwadratische factoren is dan,

Z ⁴ + 8 + 8 √

3i = (Z − 1 − i √

3)(Z + 1 + i √

3)(Z + √

3 − i)(Z − √ 3 + i).

1

3a. Scheiding van veranderlijken geeft dy

1 + y ² = cos xe ^x dx.

We integreren beide leden:

Bgtg y = e ^x

2 (cos x + sin x) + c en vinden als uiteindelijke oplossing

y = tg e ^x

2 (cos x + sin x) + c
.

3b. De geassocieerde homogene vergelijking is 16y ⁰⁰ − 8y ⁰ + y = 0.

Karakteristieke vergelijking: 16λ ² − 8λ + 1 = (4λ − 1) ² = 0.

De oplossing van de homogene vergelijking is dus

y _h (x) = [c ₁ + xc ₂ ] e ^x/4 . We zoeken een particuliere oplossing van de vorm

y _p (x) = [Ax + B] cos x

4 + [Cx + D] sin x 4 . De eerste en tweede afgeleiden zijn gelijk aan

y _p ⁰ (x) =



A + Cx + D 4

 cos x

4 +



C − Ax + B 4

 sin x

4 , (1)

y _p ⁰⁰ (x) = 1 2



C − Ax + B 8

 cos x

4 − 1 2



A + Cx + D 8

 sin x

4 . (2)

De differentiaalvergelijking legt dus het volgende stelsel op



 



 



C − A − ^D ₄ = 0, C = −4, A + C − ^B ₄ = 0,

A = 0.

(3)

De co¨effici¨enten hebben dus de volgende waardes: A = 0, B = −16, C = −4 en D = −16.

De particuliere oplossing is dus

y _p (x) = −16 h cos x

4 + sin x 4

i − 4x sin x 4 . De integraal van de volledige vergelijking is dus

y(x) = [c ₁ + xc ₂ ] e ^x/4 − 16 h cos x

4 + sin x 4

i − 4x sin x

4 . (4)

2

4 We kiezen de oorsprong in O en de drie co¨ordinaatassen langs de ribben OA, OB en OC.

De lengtes van deze drie ribbes noemen we respectievelijk a, b en c. Dan is OA = a~ ~ u 1 ; OB = b~ ~ u 2 ; OC = c~ ~ u 3 ,

en dus

Opp(∆(OAB)) = 1

2 ka~ u ₁ × b~ u ₂ k = ab 2 Opp(∆(OAC)) = 1

2 ka~ u ₁ × c~ u ₃ k = ac 2 Opp(∆(OBC)) = 1

2 kb~ u ₂ × c~ u ₃ k = bc 2 Tenslotte is

Opp(∆(ABC)) = 1

2 k(b~ u 2 − a~ u 1 ) × (c~ u 3 − a~ u 1 )k

= 1

2 kbc~ u 1 + ab~ u 3 + ac~ u 2 k|

= 1 2

√ b ² c ² + a ² b ² + a ² c ²

Hieruit volgt onmiddellijk dat

Opp(∆(OAB)) ² + Opp(∆(OAC)) ² + Opp(∆(OBC)) ² = Opp(∆(ABC)) ² .

3