Vrije Universiteit Brussel - Faculty of Science and Bio-engineering Sciences
Group representations:
idempotents in group algebras and applications to units
Graduation thesis submitted in fulfillment of the requirements for the degree of Doctor in Sciences
Author:
Inneke Van Gelder
Promotor:
Prof. Dr. Eric Jespers Copromotor:
Prof. Dr. Gabriela Olteanu
A C K N O W L E D G M E N T S
Ik zou graag iedereen willen bedanken die, elk op zijn manier, heeft bijgedragen tot de realisatie van deze doctoraatsthesis.
Eerst en vooral zou ik graag mijn promotor Eric Jespers willen bedanken.
Hij heeft zijn enthousiasme voor groepsringen op mij overgedragen door zijn interessante cursussen en boeiende lezingen. Door zijn ruime kennissenkring kwam ik in contact met verschillende vriendelijke wiskundigen waar ik veel van heb kunnen leren.
I owe a very special thank you to my copromotor Gabriela Olteanu. I would like to thank her for her hospitality during my stays in Romania, for her support, both professional and personal. Thanks for the nice cooperations and the very careful proofreading of our joint works.
Also my gratitude is expressed to my co-authors Andreas B¨achle, Mauricio Caicedo, ´Angel del R´ıo, Florian Eisele and Ann Kiefer for the pleasant and enriching collaborations.
Thanks to Allen Herman and Alexander Konovalov for the very interesting discussions about GAP and wedderga.
Vervolgens zou ik ook graag mijn collega’s Andreas, Ann, Mauricio en Sara willen bedanken voor het nalezen van en hun kritische opmerkingen op een eerste versie van mijn doctoraatsthesis. Graag zou ik alle collega’s van de Vrije Universiteit Brussel, en in het bijzonder Philippe, Sara, Ann, Karen en Timmy, willen bedanken voor de fijne lunches, ontspannende koffiepauzes, toffe babbels, filmavonden, wiskundige nevenactiviteiten en zoveel meer!
Verder ben ik ook dank verschuldigd aan het Fonds voor Wetenschappelijk Onderzoek om mij gedurende vier jaar financieel te ondersteunen. Hierbij moet ik ook Stefaan Caenepeel bedanken om mij gedurende een jaar een assistenten- positie aan te bieden in afwachting van een aanstelling door het FWO.
Mijn familie en vrienden wil ik bedanken om mij onvoorwaardelijk te steunen.
Mijn laatste, maar zeker niet de minste dank gaat uit naar mijn man Giel, om zijn steun en vertrouwen. Ook een heel dikke dankjewel om dit werk van een mooie omslag te voorzien.
Inneke Van Gelder maart 2015
C O N T E N T S
c o n t e n t s i
i n t ro d u c t i o n iii
s u m m a ry ix
p u b l i c at i o n s xix
s a m e n vat t i n g ( s u m m a ry i n d u t c h ) xxi
l i s t o f n o tat i o n s xxxiii
1 p r e l i m i n a r i e s 1
1.1 Fixed point free groups . . . 2
1.2 Quaternion algebras . . . 3
1.3 Normal bases . . . 3
1.4 Number fields . . . 4
1.5 Crossed products . . . 10
1.6 Group rings . . . 11
1.7 Wedderburn-Artin decomposition . . . 14
1.8 Z-orders . . . 24
1.9 Congruence Subgroup Problem . . . 26
1.10 Finite subgroups of exceptional simple algebras . . . 31
1.11 Cyclotomic units . . . 33
1.12 Bass units . . . 34
1.13 Bicyclic units . . . 36
1.14 Central units . . . 39
2 w e d d e r b u r n d e c o m p o s i t i o n a n d i d e m p o t e n t s 41 2.1 The Wedderburn decomposition of F G . . . 41
2.2 Primitive idempotents of QG . . . 55
2.3 Primitive idempotents of FG . . . 61
2.4 Conclusions . . . 66
3 e xc e p t i o n a l c o m p o n e n t s 67
3.1 Group algebras with exceptional components of type EC2 . . . 68
3.2 Group algebras with exceptional components of type EC1 . . . 72
3.3 Examples . . . 93
4 c e n t r a l u n i t s 101 4.1 Abelian groups . . . 101
4.1.1 A new proof of the Bass-Milnor Theorem . . . 103
4.1.2 A virtual basis of Bass units . . . 107
4.2 Strongly monomial groups . . . 110
4.3 Abelian-by-supersolvable groups . . . 113
4.3.1 Generalizing the Jespers-Parmenter-Sehgal Theorem . . 114
4.3.2 Reducing to a basis of products of Bass units . . . 120
4.4 Another class within the strongly monomial groups . . . 124
4.5 Conclusions . . . 133
5 a p p l i c at i o n s t o u n i t s o f g ro u p r i n g s 135 5.1 A subgroup of finite index in U (Z(Cqmo1Cpn)) . . . 135
5.2 A method to compute U (ZG) up to commensurability . . . 137
5.3 Examples . . . 142
5.3.1 U (ZD+16) up to finite index . . . 142
5.3.2 U (ZSL(2, 5)) up to commensurability . . . 143
5.4 Conclusions . . . 144
b i b l i o g r a p h y 147
i n d e x 155
I N T R O D U C T I O N
The notion of a group algebra already appeared in a paper of Arthur Cayley from 1854. However, only after the influential works of Richard Brauer (1901- 1977) and Emmy Noether (1882-1935) on representation theory, the subject gained attention because of the correspondence between modules of group alge- bras and group representations. In 1940, Graham Higman posed the following question in his Ph.D. thesis, for finite groups G and H:
Does ZG ' ZH imply that G ' H?
This problem is referred to as the (integral) isomorphism problem. It was anticipated for a long time for this conjecture to be true. In 1987, Klaus W.
Roggenkamp and Leonard L. Scott showed that this indeed is the case if G is a nilpotent group. It was a surprise when Martin Hertweck gave a counter example to the isomorphism problem in his Ph.D. thesis in 1998. Nowadays, it is still an important problem to decide for which classes of groups the con- jecture does hold. In all these investigations, the unit group U (ZG) of ZG plays a fundamental role. It is essential to consider ZG as a Z-order in the (semisimple) rational group algebra QG and to have a detailed understanding
of the Wedderburn decomposition of QG.
If one proves the equality of two numbers a and b by showing first that
‘a is less than or equal to b’ and then ‘a is greater than or equal to b’, it is unfair. One should instead show that they are really equal by
disclosing the inner ground for their equality — Emmy Noether The Wedderburn-Artin Theorem states that a semisimple ring R is isomor- phic to a product of finitely many ni-by-ni matrix rings over division rings Di, for some integers ni. However, in the mindset of Emmy Noether, such a classification is unfair. One should instead aim to construct an explicit isomor- phism between R and the product of matrix rings. To do this, a first important step is to calculate the primitive central idempotents e of R to distinguish the different matrix rings. Secondly, one needs to construct elements in each com- ponent Re, which play the role of a complete set of matrix units. In particular, one has to construct a complete set of orthogonal primitive idempotents.
A classical method for obtaining the primitive central idempotents of a semi- simple group algebra F G involves computations using the irreducible charac- ters of G over an algebraic closure of F . However, the known methods to com- pute the character table of a finite group are very time consuming. Therefore, in practical applications, the classical description of primitive central idempo- tents sometimes is of limited use. One would like a character-free description that only depends on the lattice of subgroups and the characteristic of the field, i.e. a description completely within F G. Such a description has been obtained by Aurora Olivieri, ´Angel del R´ıo and Juan Jacobo Sim´on in 2004 for the primitive central idempotents of QG when G is a strongly monomial group, for example an abelian-by-supersolvable group. This method relies on pairs of subgroups (H, K) of G satisfying some conditions which can be checked in- side the rational group algebra QG. Such pairs are called strong Shoda pairs of G. It turns out that each primitive central idempotent is the sum of the distinct conjugates of ε(H, K) (corresponding to a natural idempotent in the rational group algebra Q(H/K)) for a strong Shoda pair (H, K), which we de- note by e(G, H, K). Furthermore, each simple component in the Wedderburn decomposition is a matrix ring over a crossed product of the finite abelian group NG(K)/H over a specific cyclotomic field for some strong Shoda pair (H, K). In 2007, Osnel Broche and ´Angel del R´ıo transfered those results to the case of semisimple finite group algebras FG for strongly monomial groups G. For arbitrary semisimple group algebras F G, it remains an open problem to give a character-free description of the primitive central idempotents and the Wedderburn decomposition of F G.
For a rational group algebra QG of a finite nilpotent group G, a complete set of matrix units of an arbitrary simple component QGe(G, H, K) was given, in 2012, by Eric Jespers, Gabriela Olteanu and ´Angel del R´ıo. In joined work with Gabriela Olteanu, we gave a similar result for semisimple finite group algebras FG of nilpotent groups G. Moreover, examples were given to show that the method can not be extended to, for example, finite metacyclic groups.
Chapter 1 is a preliminary chapter. In Chapter 2, we first study the primitive central idempotents and the Wedderburn decomposition of group algebras F G with F a number field and G a strongly monomial group (Theorem 2.1.6). This is a generalization of the results of Aurora Olivieri, ´Angel del R´ıo, Juan Jacobo Sim´on and Osnel Broche. Next, we focus on a complete set of matrix units in the Wedderburn components of QG and FG, with F a finite field, for a class of finite strongly monomial groups containing some metacyclic groups (Theorems 2.2.1 and 2.3.4).
i n t ro d u c t i o n
I have never done anything ‘useful’. No discovery of mine has made, or is likely to make, directly or indirectly, for good or ill, the least difference to the amenity of the world — Godfrey Harold Hardy Regardless of his sayings, much of the work of Godfrey Harold Hardy (1877- 1947) did find applications in different branches of science, other than mathe- matics. Hardy was a number theorist and exactly number theory is the elected area in pure mathematics to have many applications to other areas, such as coding theory and internet security. In 1974, Donald Knuth formulated this as follows: “Virtually every theorem in elementary number theory arises in a natural, motivated way in connection with the problem of making compu- ters do high-speed numerical calculations”. Finite group algebras and their Wedderburn decomposition have applications to coding theory as well. Cyclic codes can be realized as ideals of group algebras of cyclic groups and many other important codes appear as ideals of group algebras of non-cyclic groups, see Section 2.3 for references. A concrete realization of the Wedderburn de- composition also allows applications to many other topics, for example to the investigation of the group of automorphisms of group rings, as shown by Au- rora Olivieri, ´Angel del R´ıo and Juan Jacobo Sim´on in 2006.
In this thesis, we focus on the applications to the group of units of RG, where R is the ring of integers of a number field F . The main example is the group of units of integral group rings. Only for very few finite non-commutative groups G, a presentation of the group U (ZG) is known. However, Carl Ludwig Siegel, Armand Borel and Harish-Chandra showed, in a much more general setting, that U (RG) is always finitely generated, if G is finite. Therefore, we are satisfied with finding finitely many generators of U (RG), and in particular of U (ZG). If E is a complete collection of primitive central idempotents of F G, then
RG ⊆M
e∈E
RGe ⊆M
e∈E
F Ge = F G
and each F Ge ' Mne(De) for some integers ne and some division rings De. Since both RG and L
e∈ERGe are Z-orders in F G, we know that U(RG) is of finite index inL
e∈EU (RGe). If we choose an order Oe in each De, then also GLne(Oe) and U (RGe) have a common subgroup which is of finite index in both. This means that first, we have to find generating sets of units in GLne(Oe), which is generated (up to finite index) by SLne(Oe) and the matri- ces with diagonal entries in U (Z(Oe)). So, the problem reduces to describing SLne(Oe) and U (Z(Oe)).
In Chapter 3, we classify the finite groups G such that, for a fixed abelian number field F , for all Wedderburn components Mn(D) in the group algebra F G, the corresponding SLn(O), for any Z-order O in D, is generated by the elementary matrices over a two-sided ideal in O (Theorems 3.1.2 and 3.2.21).
The components Mn(D) where this is not possible are the so-called exceptional components. This investigation is a generalization of a result from Mauricio Caicedo and ´Angel del R´ıo who dealt with QG. It involves deep results from Hyman Bass, Bernhard Liehl, Leonid N. Vaserˇste˘ın and Tyakal Nanjundiah Venkataramana related to the Congruence Subgroup Problem.
In Chapter 4, we study the central units Z(U (ZG)) for finite groups G. Due to Hyman Bass and John Willard Milnor (1966) it is well known that, for a finite abelian group G, the Bass units of the integral group ring ZG generate a subgroup of finite index in U (ZG). We give a new constructive proof of this result (Proposition 4.1.1). For non-abelian groups, some constructions of central units of ZG have been given by Eric Jespers, Guilherme Leal, Michael M. Parmenter, Sudarshan Sehgal and Raul Antonio Ferraz. This was done mainly for finite nilpotent groups G. We construct generalized Bass units and show that they generate a subgroup of finite index in Z(U (ZG)) for finite strongly monomial groups G (Theorem 4.2.3). For a class within the finite abelian-by-supersolvable groups G, we can do more and describe a multiplica- tively independent set (based on Bass units) which generate a subgroup of finite index in Z(U (ZG)) (Theorem 4.3.8). For another class of finite strongly monomial groups containing some metacyclic groups, we construct such a set of multiplicatively independent elements starting from generalized Bass units (Theorem 4.4.4).
In Chapter 5, we combine the results of the previous chapters to construct a generating set of U (ZG) up to finite index. This work is a continuation of a result from Eric Jespers, Gabriela Olteanu and ´Angel del R´ıo from 2012, that described the unit group of ZG up to finite index for finite nilpotent groups G. We also continue works of J¨urgen Ritter and Sudarshan Sehgal, and Eric Jespers and Guilherme Leal who showed that under some conditions the Bass units together with the bicyclic units generate a subgroup of finite index in U (ZG). If QG does not contain exceptional components, if one can construct matrix units in each Wedderburn component of QG and moreover, if one knows a generating set of Z(U (ZG)), then it is possible to describe U(ZG) up to finite index. We demonstrate this for metacyclic groups Cqmo1Cpn, for different prime numbers p and q (Theorem 5.1.1). However, if QG has only exceptional components of type M2(D), then it turns out that SL2(O) can still
i n t ro d u c t i o n
be generated by elementary matrices for a special (i.e. left norm Euclidean) Z- order O of D (Proposition 5.2.1). This allows us to construct the group of units of ZG up to finite index for finite groups G, such that QG has only exceptional components of one type and such that one knows non-central idempotents in the non-commutative non-exceptional components of QG (Proposition 5.2.2).
Those non-central idempotents are needed to imitate the elementary matrices with (generalized) bicyclic units in ZG.
S U M M A RY
In this summary, we present our main results.
For the convenience of the reader, Chapter 1 is devoted to a preliminary ex- position on quaternion algebras, number fields, crossed products, group rings, Z-orders, cyclotomic units, Bass units and bicyclic units.
In Chapter 2, we give a concrete realization of the Wedderburn decomposi- tion of group algebras F G of finite strongly monomial groups G over number fields F . This description is mainly based on the fact that, for rational group algebras QG of finite strongly monomial groups G, the Wedderburn decompo- sition is completely described using strong Shoda pairs.
Corollary 2.1.7 [8]
If G is a finite strongly monomial group and F is a number field, then every primitive central idempotent of F G is of the form eC(G, H, K) for a strong Shoda pair (H, K) of G and C ∈ CF(H/K). Furthermore, for every strong Shoda pair (H, K) of G and every C ∈ CF(H/K),
F GeC(G, H, K) ' M[G:E] F ζ[H:K] ∗στE/H ,
where E = EF(G, H/K) and σ and τ are defined as follows. Let yK be a generator of H/K and ψ : E/H → E/K be a left inverse of the projection E/K → E/H. Then
σgH(ζk) = ζki, if yKψ(gH) = yiK,
τ (gH, g0H) = ζkj, if ψ(gg0H)−1ψ(gH)ψ(g0H) = yjK, for gH, g0H ∈ E/H and integers i and j.
Next, we obtain more information on the Wedderburn decomposition of QG and determine a complete set of orthogonal primitive idempotents in each component determined by a strong Shoda pair provided the twisting τ is trivial.
Theorem 2.2.1 [3]
Let (H, K) be a strong Shoda pair of a finite group G such that the twisting τ (gH, g0H) = 1 for all g, g0 ∈ NG(K). Let ε = ε(H, K) and e = e(G, H, K). Let F denote the fixed subfield of QHε under the na- tural action of NG(K)/H and [NG(K) : H] = n. Let w be a normal element of QHε/F and B the normal basis determined by w. Let ψ be the F -isomorphism between QNG(K)ε and the matrix algebra Mn(F ) with respect to the basis B determined as follows:
ψ : QNG(K)ε = QHε ∗ NG(K)/H → Mn(F ) xuσ 7→ [x0◦ σ]B,
for x ∈ QHε, σ ∈ Gal(QHε/F ) ' NG(K)/H, where x0 denotes multipli- cation by x on QHε. Let P, A ∈ Mn(F ) be defined as follows:
P =
1 1 1 · · · 1 1
1 −1 0 · · · 0 0
1 0 −1 · · · 0 0
..
. ... ... . .. ... ...
1 0 0 · · · −1 0
1 0 0 · · · 0 −1
and A =
0 0 · · · 0 1 1 0 · · · 0 0 0 1 · · · 0 0
..
. ... . .. ... ... 0 0 · · · 0 0 0 0 · · · 1 0
.
Then
{xcT1εx−1: x ∈ T2hxei}
is a complete set of orthogonal primitive idempotents of QGe where we set xe= ψ−1(P AP−1), T1 is a transversal of H in NG(K) and T2 is a right transversal of NG(K) in G. By cT1 we denote the element |T1
1|
P
t∈T1t in QG.
We apply this result in Corollary 2.2.5 to all metacyclic groups of the form Cqm o1 Cpn, with p and q different prime numbers. We finish the chapter with a translation of the above theorem to finite semisimple group algebras (Theorem 2.3.4, [6]).
In Chapter 3, we classify finite groups G and abelian number fields F such that F G contains an exceptional component in its Wedderburn decomposi- tion. Hyman Bass (1964), Leonid N. Vaserˇste˘ın (1973), Bernhard Liehl (1981), Tyakal Nanjundiah Venkataramana (1994) and Ernst Kleinert (2000) showed that, under some conditions, the elementary matrices En(I) for all non-zero ideals I in any order O in a finite dimensional rational division algebra gen-
s u m m a ry
erate a subgroup of finite index in SLn(O). More precisely, if a matrix ring Mn(D) over a finite dimensional rational division ring D is not of one of the following forms:
n = 1 and D is a non-commutative division ring other than a totally definite quaternion algebra;
n = 2 and D equals Q, a quadratic imaginary extension of Q, or a totally definite quaternion algebra with center Q,
then [SLn(O) : En(I)] < ∞ for any order O in D and any non-zero ideal I in O.
A simple finite dimensional rational algebra is called exceptional if it is in the list above. The exceptional simple algebras occurring as Wedderburn components of a group algebra, are very restricted.
Corollary 1.9.9 [7]
If a simple finite dimensional rational algebra is an exceptional component of some group algebra F G for some number field F , then it is of one of the following types:
EC1: a non-commutative division ring other than a totally definite quater- nion algebra;
EC2: M2(Q), M2(Q(√
−1)), M2(Q(√
−2)), M2(Q(√
−3)), M2Ä−1,−1
Q
ä, M2
Ä−1,−3
Q
ä, M2
Ä−2,−5
Q
ä.
We first classify all exceptional components of type EC2 occurring in the Wedderburn decomposition of group algebras of finite groups over arbitrary number fields. We do this by giving a full list of finite groups G, number fields F and exceptional components M2(D) such that M2(D) is a faithful Wedderburn component of F G.
Theorem 3.1.2 [9]
Let F be a number field, G be a finite group and B a simple exceptional algebra of type EC2. Then B is a faithful Wedderburn component of F G if and only if G, F , B is a row listed in Table 2 on page 70.
Secondly, we classify F -critical groups, i.e. groups G such that F G has an exceptional component of type EC1 in its Wedderburn decomposition, but
no proper quotient has this property. Note that any group H such that F H has a non-commutative division ring (not totally definite quaternion) in its Wedderburn decomposition has an epimorphic F -critical image G such that if an exceptional component D of type EC1 appears as a faithful Wedderburn component of F G, then also F H has D as a simple component.
Theorem 3.2.21 [9]
Let D be a division ring and F an abelian number field, p and q different odd prime numbers. Then D is a Wedderburn component of F G for an F -critical group G if and only if one of the following holds:
(a) D = −1,−1F , G ∈ {SL(2, 3), Q8}, F is totally imaginary and both, e2(F/Q) and f2(F/Q), are odd;
(b) D =Ä−1,−1
F (ζp)
ä, G ∈ {SL(2, 3) × Cp, Q8× Cp}, gcd(p, |G|/p) = 1, op(2) is odd, F is totally real and both, e2(F (ζp)/Q) and f2(F (ζp)/Q), are odd;
(c) D = −1,(ζ
p−ζ−1p )2 F (ζp+ζ−1p )
, G = Cp o2C4, p ≡ −1 mod 4, F totally imaginary, Q(ζp)∩F ⊆ Q(ζp+ζp−1) and both, ep(F/Q) and fp(F/Q), are odd;
(d) D = −1,(ζp−ζ−1
p )2 F (ζq,ζp+ζp−1)
, G = Cq × (Cpo2C4), p ≡ −1 mod 4, oq(p) odd, F is totally real and both, ep(F (ζq)/Q) and fp(F (ζq)/Q), are odd;
(e) D = (K(ζp)/K, σ, ζk) with Schur index nk, G = haipok hbin with n ≥ 8, gcd(p, n) = 1, b−1ab = ar, and both k and nk are divisible by all the primes dividing n. Here K = F (ζk, ζp+ ζpr+ ... + ζr
n k−1
p )
and σ : F (ζpk) → F (ζpk) : ζp7→ ζpr; ζk 7→ ζk. Moreover Q(ζp) ∩ F ⊆ Q(ζp+ ζpr+ ... + ζr
n k−1
p ) and one of the conditions (i) - (iii) from Theorem 3.2.20 holds. Furthermore
min
® l ∈ N
pf− 1
gcd(pf− 1, e) ≡ 0 mod k gcd(k, l)
´
=n k with e = ep(F (ζpk)/K) and f = fp(K/Q).
s u m m a ry
Essential here is to use the classification of finite subgroups of division rings by Shimshon Avraham Amitsur and the classification of maximal finite sub- groups of 2 × 2-matrices over totally definite quaternion algebras with center Q given by Gabriele Nebe.
In Chapter 4, we investigate the group of central units of ZG. First, we give a new constructive proof for the famous Bass-Milnor result avoiding K-theory.
Additionally, we construct a virtual basis in the unit group of ZG for finite abelian groups G.
Corollary 4.1.6 [4]
Let G be a finite abelian group. For every cyclic subgroup C of G, choose a generator aC of C and for every k coprime to the order of C, choose an integer mk,C with kmk,C ≡ 1 mod |C|. Then
ß
uk,mk,C(aC) : C cyclic subgroup of G, 1 < k < |C|
2 , gcd(k, |C|) = 1
™
is a virtual basis of U (ZG). Moreover, for any Bass unit uk,m(g) in ZG we have
uk,m(g)c= h uk0,mk0,C(aC)n0 uk1,mk1,C(aC)n1,
for C = hgi, an element h ∈ G and integers c, n0, n1, k0, k1 such that 1 ≤ k0, k1≤ |C|2 , g = a±kC 1 and k0≡ ±kk1 mod |C|.
For finite non-abelian groups G, we restrict to strongly monomial groups because of the detailed description of QG in this case.
Theorem 4.2.3 [5]
Let G be a finite strongly monomial group. The group generated by the generalized Bass units bnG,H0, with b = uk,m(1 − cH0+ h cH0) for a strong Shoda pair (H, K) of G, h ∈ H and nG,H0 the minimal positive integer such that bnG,H0 ∈ ZG, contains a subgroup of finite index in Z(U(ZG)).
Since we know the rank of Z(U (ZG)), we know a priori the number of elements in a virtual basis of Z(U (ZG)).
Theorem 4.2.1 [3]
Let G be a finite strongly monomial group. The rank of Z(U (ZG)) equals X
(H,K)
Ç φ([H : K])
k(H,K)[NG(K) : H]− 1 å
,
where (H, K) runs through a complete and non-redundant set of strong Shoda pairs of G, h is such that H = hh, Ki and
k(H,K)=
ß 1 if hhn ∈ K for some n ∈ NG(K);
2 otherwise.
Let u ∈ U (Z hgi), for g ∈ G. Consider a subnormal series N : N0= hgi N1 N2 · · · Nm= G.
We define cN0 (u) = u and
cNi (u) = Y
h∈Ti
cNi−1(u)h,
where Ti is a transversal for Ni in Ni−1, and prove that this construction behaves well. Define
Sg= {l ∈ U (Z/|g|Z) : g is conjugate with glin G}
and denote Sg= hSg, −1i. This construction yields a virtual basis of the group Z(U (ZG)) in the following setting.
Theorem 4.3.8 [5]
Let G be a finite abelian-by-supersolvable group, such that every cyclic subgroup of order not a divisor of 4 or 6, is subnormal in G. Let R denote a set of representatives of Q-classes of G. For g ∈ R, choose a transversal Tg of Sg in U (Z/|g|Z) containing 1 and for every k ∈ Tg\ {1} choose an integer mk,g with kmk,g ≡ 1 mod |g|. For every g ∈ R of order not a divisor of 4 or 6, choose a subnormal series Ng from hgi to G, which is normalized by NG(hgi). Then
cNg(uk,mk,g(g)) : g ∈ R, k ∈ Tg\ {1}
is a virtual basis of Z(U (ZG)).
s u m m a ry
Next, we focus on another subclass of the finite strongly monomial groups.
Let H be a finite group and K a subgroup of H such that H/K = hgKi is a cyclic group of order pn. Let k be a positive integer coprime with p and let r be an arbitrary integer. For every 0 ≤ s ≤ n, we set
css(H, K, k, r) = 1
and, for 0 ≤ j ≤ s − 1, we construct recursively the following products of generalized Bass units of ZH:
csj(H, K, k, r) = Ö
Y
h∈hgpn−j,Ki
uk,opn(k)nH,K(grpn−sh “K + 1 − “K)
èps−j−1
Ñ s−1
Y
l=j+1
csl(H, K, k, r)−1
é j−1
Y
l=0
cs+l−jl (H, K, k, r)−1
! .
Theorem 4.4.4 [3]
Let G be a finite strongly monomial group such that there exists a complete and non-redundant set S of strong Shoda pairs (H, K) of G, with the property that each [H : K] is a prime power. For every (H, K) ∈ S, let TK be a right transversal of NG(K) in G, let I(H,K)be a set of representatives of U (Z/[H : K]Z) modulo hNG(K)/H, −1i containing 1 and let [H : K] =
pn(H,K)(H,K), with p(H,K)a prime number. The set
Y
t∈TK
Y
x∈NG(K)/H
cn0(H,K)(H, K, k, x)t: (H, K) ∈ S, k ∈ I(H,K)\ {1}
is a virtual basis of Z(U (ZG)).
The class of groups mentioned in Theorem 4.4.4, contains the metacyclic groups Cqmo1Cpn and we apply our result in Corollary 4.4.5.
In Chapter 5, we first apply Corollaries 2.2.5 and 4.4.5 to construct explicitly generators for three nilpotent subgroups of U (ZG) that together generate a subgroup of finite index in U (Z(Cqmo1Cpn)).
Theorem 5.1.1 [3]
Let p and q be different prime numbers. Let G = Cqmo1Cpn be a finite metacyclic group with Cpn = hbi and Cqm = hai. Assume that either q 6= 3, or n 6= 1 or p 6= 2. For every j = 1, . . . , m, let Kj = ¨
aqj∂ , let Fj be the center of QGε(hai , Kj), fix a normal element wj of Q(ζqj)/Fj
and let ψj be the Fj-isomorphism between QGε(hai , Kj) and the matrix algebra Mpn(Fj) with respect to the normal basis Bj associated to wj, determined as follows:
ψj: QGε(hai , Kj) = Q hai ε(hai , Kj) ∗ G/ hai → Mpn(Fj) xuσ 7→ [x0◦ σ]Bj, for x ∈ Q hai ε(hai , Kj), σ ∈ G/ hai, where x0 denotes multiplication by x on Q hai ε(hai , Kj). Let xj = ψj−1(P )bε(hai , Kj)ψj−1(P )−1, with
P =
1 1 1 · · · 1 1
1 −1 0 · · · 0 0
1 0 −1 · · · 0 0
..
. ... ... . .. ... ...
1 0 0 · · · −1 0
1 0 0 · · · 0 −1
,
and tj be a positive integer such that tjxkj ∈ ZG for all k with 1 ≤ k ≤ pn. The following two groups are finitely generated nilpotent subgroups of
U (ZG):
Vj+=
≠
1 + pnt2jyxhjbbx−kj : y ∈ flhaihbi, h, k ∈ {1, . . . , pn}, h < k
∑ ,
Vj−=
≠
1 + pnt2jyxhjbbx−kj : y ∈ flhaihbi, h, k ∈ {1, . . . , pn}, h > k
∑ .
Hence V+ = Qm
j=1Vj+ and V− = Qm
j=1Vj− are nilpotent subgroups of U (ZG). Furthermore, the group
U, V+, V− ,
with U as in Corollary 4.4.5, is of finite index in U (ZG).
s u m m a ry
Next, we generalize results of J¨urgen Ritter and Sudarshan Sehgal, and of Eric Jespers and Guilherme Leal who developed many classes of finite groups in which U (ZG) is generated up to finite index by the Bass units (denoted B1(G)) and the bicyclic units (denoted B2(G)). The exceptions are the finite groups G such that their rational group algebra QG has exceptional components or such that G has non-abelian fixed point free homomorphic images.
Proposition 5.2.2 [7]
Let G be a finite group and let QG = Ln
i=1QGei ' Lni=1Mni(Di) be the Wedderburn decomposition of QG. Assume that QG does not contain exceptional components of type EC1. Also, assume that for each integer i ∈ {1, . . . , n} such that ni 6= 1 and QGeiis not exceptional (of type EC2), Gei is not fixed point free.
For every exceptional component QGei ' M2(Di), Di has a left norm Euclidean order Oi. Take a Z-basis Bi of Oiand let ψi: M2(Di) → QGei be a Q-algebra isomorphism. For such i, set
Ui:=
ß 1 + ψi
Å 0 x 0 0
ã , 1 + ψi
Å 0 0 x 0
ã
: x ∈ Bi
™ . The subgroup U := hB1(G) ∪ B2(G) ∪S
iUii of QG is commensurable with U (ZG).
To finish this thesis, we demonstrate our technique on the group D+16and the fixed point free group SL(2, 5). As far as we are aware, this is the first technique known to describe the unit group of ZSL(2, 5) up to commensurability.
P U B L I C AT I O N S
All results presented in this document have appeared previously (partially, identically or modified) in the following publications:
[1] Gabriela Olteanu and Inneke Van Gelder. Finite group algebras of nilpo- tent groups: a complete set of orthogonal primitive idempotents. Finite Fields Appl., 17(2):157–165, 2011.
[2] Osnel Broche, Allen Herman, Alexander Konovalov, Aurora Olivieri, Gabriela Olteanu, ´Angel del R´ıo, and Inneke Van Gelder. Wedderga - Wedderburn Decomposition of Group Algebras. Version 4.5.1+, 2013.
www.cs.st-andrews.ac.uk/ alexk/wedderga.
[3] Eric Jespers, Gabriela Olteanu, ´Angel del R´ıo, and Inneke Van Gelder.
Group rings of finite strongly monomial groups: central units and primi- tive idempotents. J. Algebra, 387:99–116, 2013.
[4] Eric Jespers, ´Angel del R´ıo, and Inneke Van Gelder. Writing units of integral group rings of finite abelian groups as a product of Bass units.
Math. Comp., 83(285):461–473, 2014.
[5] Eric Jespers, Gabriela Olteanu, ´Angel del R´ıo, and Inneke Van Gelder.
Central units of integral group rings. Proc. Amer. Math. Soc., 142(7):2193–2209, 2014.
[6] Gabriela Olteanu and Inneke Van Gelder. Construction of minimal non- abelian left group codes. Des. Codes Cryptogr., 2014. doi:10.1007/s10623- 014-9922-z.
[7] Florian Eisele, Ann Kiefer, and Inneke Van Gelder. Describing units of integral group rings up to commensurability. J. Pure Appl. Algebra, 219(7):2901–2916, 2015.
[8] Gabriela Olteanu and Inneke Van Gelder. On idempotents and the number of simple components of semisimple group algebras. arXiv, abs/1411.5929.
preprint.
[9] Andreas B¨achle, Mauricio Caicedo, and Inneke Van Gelder. A classifi- cation of exceptional components in group algebras over abelian number fields. arXiv, abs/1412.5458. preprint.
S A M E N VAT T I N G ( S U M M A RY I N D U T C H )
In deze samenvatting schetsen we kort de geschiedenis van de studie van groeps- ringen en stellen we onze hoofdresultaten voor.
In 1940 stelde Graham Higman de volgende vraag in zijn doctoraatsthesis, voor twee eindige groepen G en H:
Volgt uit het isomorfisme ZG ' ZH dat G ' H?
Dit probleem is gekend als het (gehele) isomorfismeprobleem. Lange tijd werd ervan uitgegaan dat deze conjectuur waar was. In 1987 toonden Klaus W.
Roggenkamp en Leonard L. Scott dat deze stelling inderdaad opgaat als G een eindige nilpotente groep is. Het kwam dan ook als een verrassing toen Martin Hertweck in 1998 in zijn doctoraatsthesis een tegenvoorbeeld gaf voor het isomorfismeprobleem. Desalniettemin is het vandaag de dag nog steeds een belangrijk probleem om te beslissen voor welke klassen van groepen de conjectuur wel geldig blijft. In dit onderzoek speelt de eenhedengroep U (ZG) een fundamentele rol. Hierin is het essentieel om ZG te beschouwen als een Z- order in de (semisimpele) rationale groepsalgebra QG en om een gedetailleerd inzicht te hebben in de Wedderburndecompositie van QG.
Als men de gelijkheid van twee getallen a en b bewijst door eerst te tonen dat ‘a kleiner is of gelijk aan b’ en dan ‘a groter is of gelijk aan b’, is dat oneerlijk. Men zou in plaats daarvan moeten tonen dat ze echt gelijk zijn door de diepere reden van hun gelijkheid te belichten — Emmy Noether De Wedderburn-Artin Stelling stelt dat een semisimpele ring R isomorf is met een product van eindig veel ni× ni matrixringen over (scheve) lichamen Di, voor zekere natuurlijke getallen ni. In de gedachtegang van Emmy Noether is zo’n classificatie echter oneerlijk. In plaats daarvan moet men streven naar de constructie van een expliciet isomorfisme tussen R en het product van ma- trixringen. Een eerste belangrijke stap hiervoor, is het bepalen van primitieve centrale idempotenten e van R, die de verschillende matrixringen van elkaar onderscheiden. Ten tweede moet men elementen in elke component Re con- strueren die de rol spelen van een volledige verzameling matrixeenheden. In
het bijzonder tracht men een volledige verzameling van orthogonale primitieve idempotenten te bepalen.
Een klassieke methode voor het bepalen van primitieve centrale idempoten- ten in een semisimpele groepsalgebra F G brengt berekeningen met zich mee die gebruik maken van de irreduciebele karakters van G, over een algebra¨ısche sluiting van F . De gekende methoden om karaktertabellen van eindige groepen te berekenen zijn echter tijdrovend. Daarom is de klassieke beschrijving van primitieve centrale idempotenten soms slechts beperkt bruikbaar voor prak- tische toepassingen. Men verkiest een karaktervrije beschrijving die enkel af- hangt van de verzameling van deelgroepen en de karakteristiek van het lichaam, d.w.z. een beschrijving volledig in F G. Zo’n beschrijving werd bekomen door Aurora Olivieri, ´Angel del R´ıo en Juan Jacobo Sim´on in 2004 voor de primi- tieve centrale eenheden van QG, in het geval dat G een sterk monomiale groep is, bijvoorbeeld abels-bij-superoplosbaar. Deze methode steunt op paren van deelgroepen (H, K) van G die aan enkele voorwaarden voldoen. Deze paren noemen we sterke Shoda paren van G. Het blijkt dat elke primitieve cen- trale idempotent de som is van de verschillende geconjugeerden van ε(H, K) (een natuurlijk idempotent in de rationale groepsalgebra Q(H/K)), voor een sterk Shoda paar (H, K). We noteren dit element met e(G, H, K). Elke Wed- derburncomponent is bovendien een matrixring over een kruisproduct van de eindige abelse groep NG(K)/H, over een bepaald cyclotomisch lichaam voor een sterk Shoda paar (H, K). In 2007 vertaalden Osnel Broche en ´Angel del R´ıo deze resultaten naar het geval van semisimpele eindige groepsalgebra’s FG voor sterk monomiale groepen G. Voor willekeurige semisimple groepsal- gebra’s F G blijft het een open probleem om een karaktervrije beschrijving van de primitieve centrale idempotenten en de Wedderburndecompositie van F G te geven.
Voor de rationale groepsalgebra QG van een eindige nilpotente groep G be- schreven Eric Jespers, Gabriela Olteanu en ´Angel del R´ıo in 2012 een volledige verzameling van matrixeenheden in een willekeurige enkelvoudige component QGe(G, H, K). In samenwerking met Gabriela Olteanu gaven we een gelijk- aardig resultaat voor semisimpele eindige groepsalgebra’s FG voor nilpotente groepen G. Bovendien tonen voorbeelden aan dat de methode niet kan uitge- breid worden naar, bijvoorbeeld, eindige metacyclische groepen.
In Hoofdstuk 1 geven we een inleiding tot quaternionenalgebra’s, getal- lenlichamen, kruisproducten, groepsringen, Z-orders, cyclotomische eenheden, Bass eenheden en bicyclische eenheden.
s a m e n vat t i n g ( s u m m a ry i n d u t c h )
In Hoofdstuk 2 geven we een concrete realisatie van de Wedderburndecompo- sitie van groepsalgebra’s F G van eindige sterk monomiale groepen over getal- lenlichamen F . Deze beschrijving is hoofdzakelijk gebaseerd op de beschrijving van Aurora Olivieri, ´Angel del R´ıo, Juan Jacobo Sim´on en Osnel Broche en het feit dat voor rationale groepsalgebra’s QG van eindig sterk monomiale groepen G, de Wedderburndecompositie volledig bepaald is door sterke Shoda paren.
Gevolg 2.1.7 [8]
Zij G een eindige sterk monomiale groep en F een getallenlichaam. Dan is elke primitieve centrale idempotent van F G van de vorm eC(G, H, K) voor een sterk Shoda paar (H, K) van G en C ∈ CF(H/K). Bovendien, voor elk sterk Shoda paar (H, K) van G en elke C ∈ CF(H/K),
F GeC(G, H, K) ' M[G:E] F ζ[H:K] ∗στE/H ,
waar E = EF(G, H/K) en σ en τ gedefinieerd zijn als volgt. Zij yK een voortbrenger voor H/K en ψ : E/H → E/K een links inverse van de projectie E/K → E/H. Dan
σgH(ζk) = ζki, als yKψ(gH)= yiK,
τ (gH, g0H) = ζkj, als ψ(gg0H)−1ψ(gH)ψ(g0H) = yjK, voor gH, g0H ∈ E/H en natuurlijke getallen i en j.
Vervolgens verkrijgen we meer informatie over de Wedderburndecompositie van QG en bepalen we een volledige verzameling van orthogonale primitieve idempotenten in elke Wedderburncomponent die bepaald wordt door een sterk Shoda paar met een triviale afbeelding τ .
Stelling 2.2.1 [3]
Zij (H, K) een sterk Shoda paar van een eindige groep G zodat voor alle g, g0 ∈ NG(K) geldt dat τ (gH, g0H) = 1. Zij ε = ε(H, K) en e = e(G, H, K). Zij F het deellichaam van QHε dat invariant is onder de actie van NG(K)/H en stel [NG(K) : H] = n. Zij w een normaal element van QHε/F en B de normale basis bepaald door w. Zij ψ het F -isomorfisme tussen QNG(K)ε en de matrixalgebra Mn(F ) ten opzichte van de basis B bepaald als volgt:
ψ : QNG(K)ε = QHε ∗ NG(K)/H → Mn(F ) : xuσ7→ [x0◦ σ]B,
voor x ∈ QHε, σ ∈ Gal(QHε/F ) ' NG(K)/H, waar x0 staat voor de vermenigvuldiging met x op QHε. Zij P, A ∈ Mn(F ) gedefinieerd als volgt:
P =
1 1 1 · · · 1 1
1 −1 0 · · · 0 0
1 0 −1 · · · 0 0
..
. ... ... . .. ... ...
1 0 0 · · · −1 0
1 0 0 · · · 0 −1
en A =
0 0 · · · 0 1 1 0 · · · 0 0 0 1 · · · 0 0 ..
. ... . .. ... ... 0 0 · · · 0 0 0 0 · · · 1 0
.
Dan is
{xcT1εx−1: x ∈ T2hxei}
een volledige verzameling van orthogonale primitieve idempotenten van QGe met xe= ψ−1(P AP−1), T1een transversaal van H in NG(K) en T2 een rechts transversaal van NG(K) in G. Met cT1 noteren we het element
1
|T1|
P
t∈T1t in QG.
We passen onze resultaten toe in Gevolg 2.2.5 op alle metacyclische groepen van de vorm Cqmo1Cpn, waarbij p en q verschillende priemgetallen zijn. We eindigen het hoofdstuk met een vertaling van bovenstaande resultaten naar semisimpele eindige groepsalgebra’s (Stelling 2.3.4, [6]).
Ik heb nooit iets ‘nuttigs’ gedaan. Geen enkele ontdekking van mij heeft direct of indirect ook maar de minste bijdrage geleverd, ten goede of ten kwade, aan de leefbaarheid van de wereld en zal dat waarschijnlijk ook nooit doen. — Godfrey Harold Hardy Ongeacht zijn uitspraken vond het werk van Godfrey Harold Hardy (1877- 1947) wel toepassingen in verschillende takken van de wetenschap buiten de wiskunde. Hardy was een getaltheoreticus en getaltheorie is nu net het uit- gelezen gebied binnen de zuivere wiskunde om verscheidene toepassingen te hebben, denk maar aan codetheorie en internetbeveiliging. In 1974 formu- leerde Donald Knuth dit als volgt: “Zo goed als elke stelling in de elementaire getaltheorie staat op een natuurlijke manier in verband met het probleem om computers numerieke berekeningen aan hoge snelheid te laten uitvoeren”. Ook eindige groepsalgebra’s en hun Wedderburndecompositie hebben toepassingen binnen de codetheorie. Cyclische codes kunnen gerealiseerd worden als idealen in groepsalgebra’s van cyclische groepen en ook vele andere belangrijke codes
s a m e n vat t i n g ( s u m m a ry i n d u t c h )
verschijnen als idealen in groepsalgebra’s van niet-cyclische groepen, zie Sectie 2.3 voor referenties. Een concrete realisatie van de Wedderburndecompositie laat ook vele andere toepassingen toe, bijvoorbeeld het onderzoeken van de automorfismengroep van groepsringen, zoals aangetoond door Aurora Olivieri, Angel del R´ıo en Juan Jacobo Sim´´ on in 2006.
In deze thesis focussen we op de toepassingen voor de eenhedengroep van RG, met R de ring van gehele getallen van een getallenlichaam F . Het belangrijkste voorbeeld is de eenhedengroep van gehele groepsringen. Slechts voor zeer wei- nig eindige niet-abelse groepen G is een presentatie van de groep U (ZG) gekend.
Nochtans bewezen Carl Ludwig Siegel, Armand Borel en Harish-Chandra, in een veel algemenere context, wel dat U (RG) altijd eindig voortgebracht is voor G een eindige groep. Daarom zijn we al tevreden met het vinden van eindig veel voortbrengers voor U (RG), en in het bijzonder voor U (ZG). Als E een volledige verzameling van primitieve centrale idempotenten van F G is, dan
RG ⊆M
e∈E
RGe ⊆M
e∈E
F Ge = F G
en elke F Ge ' Mne(De) voor bepaalde natuurlijke getallen ne en (scheve) lichamen De. Vermits zowel RG alsL
e∈ERGe een Z-order in F G is, weten we dat U (RG) van eindige index is inL
e∈EU (RGe). Als we een Z-order Oe
in elke De kiezen, dan hebben GLne(Oe) en U (RGe) een gemeenschappelijke deelgroep die van eindige index in beide is. Dit betekent dat we in de eerste plaats een voortbrengende verzameling moeten vinden voor GLne(Oe), die voortgebracht wordt (op eindige index na) door SLne(Oe) en de matrices met diagonale elementen in U (Z(Oe)). Het probleem wordt dus herleid tot het beschrijven van SLne(Oe) en U (Z(Oe)).
In Hoofdstuk 3, classificeren we de eindige groepen G waarvoor, gegeven een willekeurig maar vast abels getallenlichaam F , voor alle Wedderburncomponen- ten Mn(D) in de groepsalgebra F G, de bijhorende SLn(O), voor elk Z-order O in D, voortgebracht is door de elementaire matrices over een tweezijdig ideaal in O. Dit onderzoek is een uitbreiding van een resultaat van Mauricio Caicedo en ´Angel del R´ıo (2014) en gaat terug tot diepe resultaten van Hy- man Bass (1964), Leonid N. Vaserˇste˘ın (1973), Bernhard Liehl (1981), Tyakal Nanjundiah Venkataramana (1994) en Ernst Kleinert (2000) gerelateerd aan het congruentiedeelgroepenprobleem. Beter gezegd, als een matrixring Mn(D) over een eindig dimensionaal rationaal (scheef) lichaam D niet van volgende vorm is:
n = 1 en D is een niet-commutatief scheef lichaam verschillend van een totaal definiete quaternionenalgebra;
n = 2 en D is gelijk aan Q, een kwadratische imaginaire uitbreiding van Q of een totaal definiete quaternionenalgebra met centrum Q,
dan [SLn(O) : En(I)] < ∞ voor elk order O in D en elk niet-nul ideaal I van O.
De componenten Mn(D) van F G die wel voorkomen in de vorige lijst noe- men we de exceptionele componenten. De exceptionele componenten die kun- nen optreden als een Wedderburncomponent van een groepsalgebra zijn zeer beperkt.
Gevolg 1.9.9 [7]
Als een enkelvoudige eindig dimensionale rationale algebra een exceptio- nele component is van een groepsalgebra F G voor een getallenlichaam F , dan is de algebra van een van de volgende types:
EC1: een niet-commutatief scheef lichaam verschillend van een totaal de- finiete quaternionenalgebra;
EC2: M2(Q), M2(Q(√
−1)), M2(Q(√
−2)), M2(Q(√
−3)), M2Ä−1,−1
Q
ä, M2
Ä−1,−3
Q
ä, M2
Ä−2,−5
Q
ä.
We classificeren eerst alle exceptionele componenten van type EC2 in de Wedderburndecompositie van groepsalgebra’s van eindige groepen over wille- keurige getallenlichamen. Dit doen we door een volledige lijst te geven van eindige groepen G, getallenlichamen F en exceptionele componenten M2(D) zodat M2(D) een getrouwe Wedderburncomponent is van F G.
Stelling 3.1.2 [9]
Zij F een getallenlichaam, G een eindige groep en B een enkelvoudige exceptionele algebra van type EC2. Dan is B een getrouwe Wedderburn- component van F G als en slechts als G, F en B een rij vormen in Tabel 2 op pagina 70.
Vervolgens classificeren we F -kritische groepen, d.w.z. groepen G zodat F G een exceptionele component van type EC1 in zijn Wedderburndecompo- sitie bevat, maar geen enkel echt quoti¨ent deze eigenschap heeft. Merk op dat elke groep H waarvoor F H een niet-commutatief scheef lichaam (geen
s a m e n vat t i n g ( s u m m a ry i n d u t c h )
totaal definiete quaternionenalgebra) in zijn Wedderburndecompositie bevat, een epimorf F -kritisch beeld G heeft.
Stelling 3.2.21 [9]
Zij D een scheef lichaam, F een abels getallenlichaam en p en q verschil- lende oneven priemgetallen. Dan is D een Wedderburncomponent van F G voor een F -kritische groep G als en slechts als een van de volgende gevallen geldt:
(a) D = −1,−1F , G ∈ {SL(2, 3), Q8}, F is totaal imaginair, e2(F/Q) en f2(F/Q) zijn oneven;
(b) D = Ä−1,−1
F (ζp)
ä, G ∈ {SL(2, 3) × Cp, Q8× Cp}, ggd(p, |G|/p) = 1, op(2) is oneven, F is totaal re¨eel en e2(F (ζp)/Q) en f2(F (ζp)/Q) zijn oneven;
(c) D = −1,(ζp−ζ−1
p )2 F (ζp+ζp−1)
, G = Cpo2C4, p ≡ −1 mod 4, F is totaal imaginair, Q(ζp) ∩ F ⊆ Q(ζp+ ζp−1) en ep(F/Q) en fp(F/Q) zijn oneven;
(d) D = −1,(ζp−ζ−1
p )2 F (ζq,ζp+ζp−1)
, G = Cq× (Cpo2C4), p ≡ −1 mod 4, oq(p) oneven, F is totaal re¨eel en ep(F (ζq)/Q) en fp(F (ζq)/Q) zijn oneven;
(e) D = (K(ζp)/K, σ, ζk) met Schur index nk, G = haipokhbin waar n ≥ 8, ggd(p, n) = 1, b−1ab = ar, zowel k als nk zijn deelbaar door alle priemdelers van n. Hier K = F (ζk, ζp+ ζpr+ ... + ζr
n k−1
p ) en σ : F (ζpk) → F (ζpk) : ζp 7→ ζpr; ζk 7→ ζk. Bovendien Q(ζp) ∩ F ⊆ Q(ζp+ ζpr+ ... + ζr
n k−1
p ) en een van de voorwaarden (i) - (iii) uit Theorem 3.2.20 gelden. Ook
min
® l ∈ N
pf− 1
ggd(pf− 1, e) ≡ 0 mod k ggd(k, l)
´
= n k met e = ep(F (ζpk)/K) en f = fp(K/Q).
Hier is het essentieel om gebruik te maken van de classificatie van eindige deelgroepen van scheve lichamen door Shimshon Avraham Amitsur en de classi-
ficatie van maximale eindige deelgroepen in 2 × 2-matrices over totaal definiete quaternionenalgebra’s met centrum Q door Gabriele Nebe.
In Hoofdstuk 4, bestuderen we de centrale eenheden Z(U (ZG)) voor eindige groepen G. Eerst geven we een nieuw en constructief bewijs voor de bekende stelling van Hyman Bass en John Willard Milnor waarin we het gebruik van K-theorie vermijden. Bovendien construeren we een virtuele basis in de eenhe- dengroep van ZG voor eindige abelse groepen G.
Gevolg 4.1.6 [4]
Zij G een eindige abelse groep. Kies voor elke cyclische deelgroep C van G een voortbrenger aC van C en kies voor elke k relatief priem met de orde van C een natuurlijk getal mk,C zodat kmk,C ≡ 1 mod |C|. Dan is
ß
uk,mk,C(aC) : C cyclische deelgroep, 1 < k < |C|
2 , ggd(k, |C|) = 1
™
een virtuele basis van U (ZG). Bovendien geldt voor elke Bass eenheid uk,m(g) in ZG dat
uk,m(g)c = h uk0,mk0,C(aC)n0 uk1,mk1,C(aC)n1,
voor C = hgi, een h ∈ G en gehele getallen c, n0, n1, k0, k1zodat g = a±kC 1, 1 ≤ k0, k1≤ |C|2 en k0≡ ±kk1 mod |C|.
Voor sommige niet-abelse groepen zijn constructies van centrale eenheden van ZG gegeven door Eric Jespers, Guilherme Leal, Michael M. Parmenter, Su- darshan Sehgal en Raul Antonio Ferraz. Dit werd gedaan vooral voor eindige nilpotente groepen G. Wij construeren veralgemeende Bass eenheden en to- nen dat deze een deelgroep voortbrengen die van eindige index is in Z(U (ZG)), voor eindige sterk monomiale groepen G.
Stelling 4.2.3 [5]
Zij G een eindige sterk monomiale groep. De groep voortgebracht door de veralgemeende Bass eenheden bnG,H0, met b = uk,m(1 − cH0+ h cH0) voor een sterk Shoda paar (H, K) van G, h ∈ H en nG,H0 minimaal zodat bnG,H0 ∈ ZG, bevat een deelgroep van eindige index in Z(U(ZG)).
Aangezien we de rang van Z(U (ZG)) kennen, weten we op voorhand al exact hoeveel elementen er in een virtuele basis van Z(U (ZG)) moeten zitten.
s a m e n vat t i n g ( s u m m a ry i n d u t c h )
Stelling 4.2.1 [3]
Zij G een eindige sterk monomiale groep. Dan is de rang van Z(U (ZG)) gelijk aan
X
(H,K)
Ç φ([H : K])
k(H,K)[NG(K) : H]− 1 å
,
waar (H, K) loopt doorheen een volledige en niet-redundante verzameling van sterke Shoda paren van G, h is zo dat H = hh, Ki en
k(H,K)=
ß 1 als hhn ∈ K voor een n ∈ NG(K);
2 anders.
Zij u ∈ U (Z hgi), met g ∈ G. Beschouw een subnormale rij N : N0= hgi N1 N2 · · · Nm= G.
We defini¨eren cN0 (u) = u en
cNi (u) = Y
h∈Ti
cNi−1(u)h,
met Ti een transversaal voor Ni in Ni−1, en we bewijzen dat deze constructie zich goed gedraagt. Definieer
Sg= {l ∈ U (Z/|g|Z) : g is geconjugeerd met gl in G}
en noteer Sg = hSg, −1i. Deze constructie leidt tot een virtuele basis van Z(U (ZG)) op de volgende manier.
Stelling 4.3.8 [5]
Zij G een eindige abels-bij-superoplosbare groep zodat elke cyclische deel- groep, van orde niet gelijk aan een deler van 4 of 6, subnormaal is in G.
Zij R een verzameling van representanten van Q-klassen van G. Kies een transversaal Tg van Sg in U (Z/|g|Z) die 1 bevat voor g ∈ R en kies voor elke k ∈ Tg\{1} een natuurlijk getal mk,g, zodat kmk,g ≡ 1 mod |g|. Kies voor elke g ∈ R, van orde niet gelijk aan een deler van 4 of 6, een subnor- male rij Ng van hgi naar G, die genormaliseerd wordt door NG(hgi). Dan is
cNg(uk,mk,g(g)) : g ∈ R, k ∈ Tg\ {1}
een virtuele basis van Z(U (ZG)).
Vervolgens concentreren we ons op een andere deelklasse van de eindige sterk monomiale groepen. Zij H een eindige groep en K een deelgroep van H zodat H/K = hgKi een cyclische groep is van orde pn. Zij k een natuurlijk getal relatief priem met p en zij r een willekeurig geheel getal. Voor elke 0 ≤ s ≤ n, defini¨eren we css(H, K, k, r) = 1 en, voor 0 ≤ j ≤ s−1, construeren we recursief het volgende product van veralgemeende Bass eenheden van ZH:
csj(H, K, k, r) = Ö
Y
h∈hgpn−j,Ki
uk,opn(k)nH,K(grpn−sh “K + 1 − “K)
èps−j−1
Ñ s−1
Y
l=j+1
csl(H, K, k, r)−1
é j−1
Y
l=0
cs+l−jl (H, K, k, r)−1
! .
Stelling 4.4.4 [3]
Zij G een eindige sterk monomiale groep zodat er een volledige en niet- redundante verzameling S van sterke Shoda paren (H, K) van G bestaat zodat elke [H : K] een macht van een priemgetal is. Voor elke (H, K) ∈ S, zij TK een rechts transversaal van NG(K) in G, zij I(H,K)een verzameling representanten van U (Z/[H : K]Z) modulo hNG(K)/H, −1i die 1 bevat en zij [H : K] = pn(H,K)(H,K), met p(H,K)een priemgetal. Dan is
Y
t∈TK
Y
x∈NG(K)/H
cn0(H,K)(H, K, k, x)t: (H, K) ∈ S, k ∈ I(H,K)\ {1}
een virtuele basis van Z(U (ZG)).
De klasse groepen uit Stelling 4.4.4, bevat de eindige metacyclische groepen Cqmo1Cpn en we passen het resultaat toe in Gevolg 4.4.5.
In Hoofdstuk 5 combineren we de resultaten van de voorgaande hoofdstuk- ken om een voortbrengende verzameling van U (ZG) op eindige index na te construeren. Dit is een voortzetting van het werk van Eric Jespers, Gabriela Olteanu en ´Angel del R´ıo uit 2012 waarin ze U (ZG) op eindige index na be- schreven voor eindige nilpotente groepen. Als QG geen exceptionele compo- nenten bevat, als men matrixeenheden in elke Wedderburncomponent van QG kan construeren en als men bovendien een voortbrengende verzameling van
