Een voorspoedig en gezond nieuw jaar!

Een voorspoedig en gezond nieuw jaar!

Parti¨ ele differentiaalvergelijkingen

Voorbeelden van parti¨ele differentiaalvergelijkingen zijn:

de warmte-of diffusievergelijking de golfvergelijking

de Laplace- of potentiaalvergelijking

Al deze differentiaalvergelijkingen zijn op te lossen door de variabelen te scheiden. Er ontstaan daarbij een beginwaardeprobleem en een randwaardeprobleem waarvan de eerste kan worden opgelost door gebruik te maken van de zogenaamdeFourierreeksen.

De warmte-of diffusievergelijking

Is L de lengte van de staaf en u(x , t) de temperatuur van de staaf op tijdstip t en positie x dan kan voor u de volgende

differentiaalvergelijking

u_t = α²u_xx (0 < x < L, t > 0) (1) worden afgeleid.

Deze differentiaalvergelijking heetwarmtevergelijkingof

diffusievergelijking. De constante α²heetdiffusieconstante. Deze constante hangt voornamelijk af van materiaalkenmerken van de staaf.

Nemen we aan dat de begintemperatuur van de staaf gegeven is dan u(x , 0) = f (x ) (0 ≤ x ≤ L) (2) en verder dat aan de uiteinden van de staaf dezelfde constante temperatuur heerst, die we nemen als nulniveau van de temperatuur dan

u(0, t) = u(L, t) = 0 (t > 0) (3)

De parti¨ele differentiaalvergelijking (1) samen met de beginvoorwaarde (3) en de randvoorwaarden (2) heet eenbegin-randwaardeprobleem.

Dit probleem is lineair en homogeen en zou de triviale oplossing hebben als f (x ) = 0 voor 0 ≤ x ≤ L.

Om dit begin-randwaardeprobleem op te kunnen lossen maken we gebruik van de methode van het scheiden der variabelen.

Substitutie van u(x , t) = X (x )T (t) in (1) leidt tot de gewone differentiaalvergelijking:

T⁰+ λ α²T = 0 (t > 0) (4)

en het homogene randwaardeprobleem:

( X⁰⁰ + λ X = 0 (0 < x < L)

X (0) = 0, X (L) = 0 (5)

Omdat (4) voor elke waarde van λ een niet-triviale oplossing heeft gaan we eerst de vraag beantwoorden voor welke waarden van λ het randwaardeprobleem (5) een niet-triviale oplossing heeft en

onderscheiden daarbij de volgende drie gevallen:

1. λ = 0, 2. λ < 0 en 3. λ > 0.

Niet-triviale oplossingen, 1

Als λ = 0 wordt de algemene oplossing van de differentiaal- vergelijking gegeven door:

y (x ) = c1x + c2 (c1, c2∈ R).

Substitutie van de randvoorwaarden geeft:

c₂ = 0 c₁L + c₂ = 0

zodat c₁ = c₂ = 0.

Blijkbaar heeft het randwaardeprobleem (5) voor λ = 0 alleen de triviale oplossing.

Niet-triviale oplossingen, 2

Als λ < 0, µ = √

−λ wordt de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking gegeven door:

y (x ) = c1e^µx + c2e^−µx (c1, c2∈ R).

Substitutie van de randvoorwaarden geeft:

c1 + c2 = 0

c1e^µL + c2e^−µL = 0 zodat c1 = c2 = 0.

Blijkbaar heeft het randwaardeprobleem (5) voor λ < 0 alleen de

Niet-triviale oplossingen, 3

Als λ > 0, µ = √

λ wordt de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking gegeven door:

y (x ) = c₁cos(µx ) + c₂sin(µx ) (c₁, c₂∈ R).

Substitutie van de randvoorwaarden geeft:

c₁ = 0

c₁cos(µL) + c₂sin(µL) = 0

zodat c₁ = c₂ = 0 of c₁ = 0 en µL = nπ (n ∈ N\{0}).

Laat λ_n = n²π²

L² en laat de functie X_ngegeven worden door X_n(x ) = sin(nπx

L ) (n ∈ N\{0})

Voor λ = λn (n ∈ N\{0}) heeft het randwaardeprobleem (5) blijkbaar de niet-triviale oplossingen X = c Xn(c ∈ R\{0}).

λ_n heet eeneigenwaardevan het randwaardeprobleem (5) en de functie Xn heet deeigenfunctievan (5) bij de eigenwaarde λ_n (n ∈ N\{0}).

Nu weten we dat (4) alleen hoeft te worden opgelost voor λ = λ_n = n²π²

L² (n ∈ N\{0})

De bij λ = λn horende oplossingen van (4) worden gegeven door T = c Tn (c ∈ R\{0}) waarbij

T_n(t) = e⁻

α²n²π²t

L² (n ∈ N\{0}).

Maar dan zijn de functies un = XnTn (n ∈ N\{0}) met

un(x , t) = e⁻

α²n²π²t

L² sinnπx L oplossingen van (1).

De functies u_n (n ∈ N\{0}) worden welfundamentaaloplossingen van (1) genoemd.

Merk op dat de functie u gegeven door

u(x , t) =

∞

X

n=1

c_nu_n(x , t) =

∞

X

n=1

c_ne⁻

α²n²π²t

L² sinnπx

L (6)

voor (cn∈ R, n ∈ N\{0}) een oplossing is van (1) samen met de randvoorwaarden (3).

Er wordt door (6) nu ook voldaan aan (2) als

f (x ) =

∞

X

n=1

cn sinnπx L .

Blijkbaar is f (x ) de som van een sinusreeks

∞

X

n=1

cn sinnπx

L (7)

voor zekere co¨effici¨entenc1, c2, · · · .

Rest ons de vraag te beantwoorden of deze co¨effici¨enten te bepalen zijn en, zo ja, waar ze aan gelijk zijn.

Opmerkingen

Merk op dat alle termen van (7) oneven functies zijn. Bestaat de som van de reeks dan zal dit ook een oneven functie zijn.

Verder hebben alle termen periode 2L en zal de eventuele som dus ook periodiek zijn met dezelfde periode.