Een voorspoedig en gezond nieuw jaar!
Parti¨ ele differentiaalvergelijkingen
Voorbeelden van parti¨ele differentiaalvergelijkingen zijn:
de warmte-of diffusievergelijking de golfvergelijking
de Laplace- of potentiaalvergelijking
Al deze differentiaalvergelijkingen zijn op te lossen door de variabelen te scheiden. Er ontstaan daarbij een beginwaardeprobleem en een randwaardeprobleem waarvan de eerste kan worden opgelost door gebruik te maken van de zogenaamdeFourierreeksen.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
6 januari 2020 1
De warmte-of diffusievergelijking
Is L de lengte van de staaf en u(x , t) de temperatuur van de staaf op tijdstip t en positie x dan kan voor u de volgende
differentiaalvergelijking
ut = α2uxx (0 < x < L, t > 0) (1)
worden afgeleid.
Deze differentiaalvergelijking heetwarmtevergelijkingof
diffusievergelijking. De constante α2heetdiffusieconstante. Deze constante hangt voornamelijk af van materiaalkenmerken van de staaf.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
6 januari 2020 2
Nemen we aan dat de begintemperatuur van de staaf gegeven is dan
u(x , 0) = f (x ) (0 ≤ x ≤ L) (2)
en verder dat aan de uiteinden van de staaf dezelfde constante temperatuur heerst, die we nemen als nulniveau van de temperatuur dan
u(0, t) = u(L, t) = 0 (t > 0) (3)
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
6 januari 2020 3
De parti¨ele differentiaalvergelijking (1) samen met de beginvoorwaarde (3) en de randvoorwaarden (2) heet eenbegin-randwaardeprobleem.
Dit probleem is lineair en homogeen en zou de triviale oplossing hebben als f (x ) = 0 voor 0 ≤ x ≤ L.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
6 januari 2020 4
Om dit begin-randwaardeprobleem op te kunnen lossen maken we gebruik van de methode van het scheiden der variabelen.
Substitutie van u(x , t) = X (x )T (t) in (1) leidt tot de gewone differentiaalvergelijking:
T0+ λ α2T = 0 (t > 0) (4)
en het homogene randwaardeprobleem:
( X00 + λ X = 0 (0 < x < L)
X (0) = 0, X (L) = 0 (5)
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
6 januari 2020 5
Omdat (4) voor elke waarde van λ een niet-triviale oplossing heeft gaan we eerst de vraag beantwoorden voor welke waarden van λ het randwaardeprobleem (5) een niet-triviale oplossing heeft en
onderscheiden daarbij de volgende drie gevallen:
1. λ = 0, 2. λ < 0 en 3. λ > 0.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
6 januari 2020 6
Niet-triviale oplossingen, 1
Als λ = 0 wordt de algemene oplossing van de differentiaal- vergelijking gegeven door:
y (x ) = c1x + c2 (c1, c2∈ R).
Substitutie van de randvoorwaarden geeft:
c2 = 0 c1L + c2 = 0
zodat c1 = c2 = 0.
Blijkbaar heeft het randwaardeprobleem (5) voor λ = 0 alleen de triviale oplossing.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
6 januari 2020 7
Niet-triviale oplossingen, 1
Als λ = 0 wordt de algemene oplossing van de differentiaal- vergelijking gegeven door:
y (x ) = c1x + c2 (c1, c2∈ R).
Substitutie van de randvoorwaarden geeft:
c2 = 0 c1L + c2 = 0
zodat c1 = c2 = 0.
Blijkbaar heeft het randwaardeprobleem (5) voor λ = 0 alleen de triviale oplossing.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
6 januari 2020 7
