β-ontwikkelingen en λ-kettingbreuken

F. P. Bos

Een duivelse trap tussen

β-ontwikkelingen en λ-kettingbreuken

Bachelorscriptie

Scriptiebegeleider: dr. C. C. C. J. Kalle

Datum Bachelorexamen: 16 juli 2016

Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden

Inhoudsopgave

1 Inleiding 2

2 Constructie van φ_λ 5

2.1 Dynamische systemen . . . 5

2.2 β-ontwikkelingen . . . . 5

2.3 λ-kettingbreuken . . . . 8

2.4 De afbeeldingen λ 7→ β(λ) en φλ . . . 11

3 Singulariteit van φλ 12 3.1 Maattheoretische definities en stellingen . . . 12

3.2 Bewijs van het hoofdresultaat . . . 15

4 Conclusie 19

Bibliografie 20

1 Inleiding

Een afbeelding f : I → R van een interval I naar de re¨ele getallen R vertoont soms fijne structuren zoals constantheid, strikte stijging, continu¨ıteit, absolute continu¨ıteit of differentieer- baarheid. Aan de grenzen van zulke structuren bevinden zich interessante, vaak tegenintu¨ıtieve afbeeldingen. In deze scriptie bewijzen we de singulariteit van een afbeelding.

Zij I een (open, gesloten, halfopen, begrensd, onbegrensd) interval van R. Een afbeelding f : I → R heet singulier als aan de volgende eisen voldaan wordt:

• f is monotoon op I,

• f is niet constant,

• f is continu op I,

• f⁰(x) = 0 voor Lebesgue-bijna alle x ∈ I.

Men kan zich allereerst afvragen of er wel zo’n functie bestaat. Het antwoord hierop is positief.

We geven twee voorbeelden: De Cantorfunctie en Minkowski’s vraagtekenfunctie.

In 1883 introduceerde de Duitse wiskundige George Cantor (1845-1918), nota bene in een voetnoot, een verzameling die nu de Cantorverzameling wordt genoemd:

“Als ein Beispiel einer perfekten Punktmenge, die in keinem noch so kleinen Intervall uberall dicht ist, f¨¨ uhre ich den Inbegriff aller reellen Zahlen an, die in der Formel

z = c₁ 3 +c₂

3² + ... + c_v 3^v + ...

enthalten sind, wo die Koeffizienten c_vnach Belieben die beiden Werte 0 und 2 anzu- nehmen haben und die Reihe sowohl aus einer endlichen, wie aus einer unendlichen Anzahl von Gliedern bestehen kann.”

[Can83, p. 194], zie ook [Got80, p. 207]

De Cantorverzameling C is dus de verzameling van re¨ele getallen in [0, 1] die een basis-3- ontwikkeling zonder 1 hebben:

C := {z =X

n≥1

cn

3ⁿ : cn ∈ {0, 2}}.

In 1884 gebruikte Cantor zijn verzameling voor het defini¨eren van een afbeelding, die later bekend is geworden als de Cantorfunctie ([Can84], zie ook [Got80, p. 256]). De Cantorfunctie is de afbeelding c : [0, 1] → [0, 1] gegeven door x 7→ c(x), waarbij c(x) als volgt gevonden wordt:

• Schrijf x in basis-3-ontwikkeling¹ (xn)n≥1∈ {0, 1, 2}^N≥1, dus zodanig dat x =P

n≥1 xn

3ⁿ.

• Als (xn)n≥1een 1 bevat, vervang dan na de eerste 1 alles door 0.

• Vervang elke 2 door een 1.

• Interpreteer de zo verkregen rij (˜x_n)_n≥1∈ {0, 1}^N≥1 als een basis-2-ontwikkeling: Neem c(x) =X

n≥1

˜ x_n 2ⁿ.

1Een opgave voor de lezer is te bewijzen dat het niet uitmaakt welke basis-3-ontwikkeling van x men kiest.

00

1 1

x c(x)

Figuur 1: Grafiek van de Cantorfunctie.

De Cantorfunctie is stijgend en continu op [0, 1], maar niet constant. De Cantorfunctie c heeft overal afgeleide 0, behalve op de Cantorverzameling C. De afgeleide is Lebesgue-bijna overal 0, want C heeft Lebesgue-maat 0. Zodoende is de Cantorfunctie singulier. Omdat de Cantorfunctie

‘bijna nergens’ stijgt, is hij ook wel bekend onder de naam ‘duivelse trap’ (‘devil’s staircase’).

Zie [DMRV06] voor een uitgebreid overzicht van de eigenschappen van de Cantorfunctie.

Een ander voorbeeld van een singuliere functie is Minkowski’s vraagtekenfunctie. Dat is de functie ? : [0, 1] → [0, 1] gegeven door

?(x) = 1

2^a1−1 − 1

2^a1+a2−1 + 1

2^a1+a2+a3−1 − ...

voor alle x ∈ [0, 1], waarbij (a_n)_n≥1een eindige of oneindige rij is met a_n ∈ N≥1 voor alle n ≥ 1 en zodanig dat (a_n)_n≥1 een reguliere kettingbreukontwikkeling² van x is, dat wil zeggen

x = [0; a1, a2, ...] := 1 a1+ 1

a2+. .. .

Minkowski’s vraagtekenfunctie is niet alleen singulier, maar bovendien strikt stijgend. Daarom is hij ook wel bekend onder de naam ‘glibberige duivelse trap’ (‘slippery devil’s staircase’). Zie [Sal43] voor een uitgebreid overzicht van de eigenschappen van Minkowski’s vraagtekenfunctie.

Zoals we hierboven hebben gezien ontstaat de Cantorfunctie als relatie tussen basis-3- en basis- 2-ontwikkelingen, en Minkowski’s vraagtekenfunctie als relatie tussen reguliere kettingbreukont- wikkelingen en een variant op basis-2-ontwikkelingen. In deze scriptie bekijken we twee andere getalsontwikkelingen: λ-kettingbreukontwikkelingen en basis-β-ontwikkelingen.

Een λ-kettingbreuk is een uitdrukkingen van de vorm

x = [a₀; a1, a₂, ...]_λ:= λa0+ 1 λa₁+ 1

λa₂+. ..

2Een opgave voor de lezer is te bewijzen dat het niet uitmaakt welke reguliere kettingbreukontwikkeling van x men kiest. Irrationale x hebben een oneindige unieke reguliere kettingbreukontwikkeling. Rationale x hebben twee ongelijke eindige reguliere kettingbreukontwikkelingen: [0; a1, ..., an] = [0; a1, ..., an− 1, 1].

voor een parameter λ ∈ (0, 2) en een eindige of oneindige rij (an)n≥0 waarvoor a₀ ∈ Z en an∈ Z \ {0} voor alle n ≥ 1. Deze λ-kettingbreuken zijn ge¨ıntroduceerd in [Ros54]. Voor elke λ is elk re¨eel getal te schrijven als een λ-kettingbreuk. Deze λ-kettingbreukontwikkeling is over het algemeen niet uniek. In deze scriptie kijken we naar λ-kettingbreuken waar λ = λk := 2 cos(π/k) en k ∈ N≥3.

Een β-ontwikkeling is generalisatie van geheeltallige ontwikkelingen, zoals basis-2-, basis-3- en basis-10-ontwikkelingen. Het is een uitdrukking van de vorm

x =X

n≥1

a_n βⁿ

voor een parameter β ∈ (1, ∞) en een eindige of oneindige rij (an)n≥1waarbij an∈ {0, ..., dβe − 1}

voor alle n ≥ 1. Met dβe bedoelen we het kleinste gehele getal groter dan β, dus β ≤ dβe < β + 1.

Deze β-ontwikkelingen zijn ge¨ıntroduceerd in [R´en57]. Voor elke β heeft elk re¨eel getal in [0, 1) een β-ontwikkeling. Deze β-ontwikkelingen is niet per se uniek. Voor β = 10 representeren de rijen (5, 0, 0, 0, ...) en (4, 9, 9, 9, ...) beide het getal x = 1/2. Voor niet-geheeltallige β kunnen zelfs twee eindige ontwikkelingen hetzelfde getal representeren: Voor β = ¹⁺

√5

2 , de gulden snede, wordt β⁻¹bijvoorbeeld gerepresenteerd door de eindige rijen (1) en (0, 1, 1), omdat _β¹ = _β¹2+_β¹3. In [JRD11] worden λ-kettingbreuken en β-ontwikkelingen verder onderzocht. [JRD11] geeft een methode om, gegeven een λ ∈ (0, 2), de λ-kettingbreukontwikkeling van een getal x ∈ [0, ∞) te vinden. Deze methode maakt dus een keuze voor de ontwikkeling van x (want de ontwik- keling is over het algemeen niet uniek). Ook bespreekt [JRD11] het greedy-algorithm voor het vinden van een β-ontwikkeling van een getal t ∈ [0, 1). Ook hier wordt dus een keuze gemaakt voor de ontwikkeling van x. Niet alle mogelijk rijen worden op deze manier gevonden als λ- kettingbreukontwikkeling of β-ontwikkeling. Door de λ-kettingbreukontwikkeling op een alterna- tieve manier te schrijven, blijkt er een sterk verband tussen de twee ontwikkelingen: Voor elke λ bestaat er een unieke β zodat de rijruimtes van λ-kettingbreukontwikkelingen en β-ontwikkelingen gelijk zijn. Door de λ-kettingbreukontwikkeling te interpreteren als β-ontwikkeling, verkrijgen we de afbeelding φ_λ. De afbeelding φ_λ is dus net zoals de Cantorfunctie en Minkowski’s vraag- tekenfunctie een relatie tussen getalsonwikkelingen. In deze scriptie bewijzen we de volgende stelling:

Hoofdresultaat. De afbeelding φλ is singulier voor λ = λk:= 2 cos(π/k) en k ∈ N≥3.

Het bewijs dat φλ_k singulier is vertoont overeenkomsten met [Arr15]. Hier wordt de singulariteit van de afbeelding ?α, een verband tussen reguliere kettingbreukontwikkelingen en α-L¨uroth- ontwikkelingen, bewezen. [Arr15] gebruikt de stelling dat twee ergodische kansmaten gelijk of onderling singulier zijn. In deze scriptie werken we echter met oneindige maten. We hebben de stelling daarom gegeneraliseerd. Het resultaat is Stelling 3.4, die zegt dat twee ergodisch maten (niet noodzakelijk kansmaten) equivalent of onderling singulier zijn.

De rest van deze scriptie is als volgt opgebouwd: Om het hoofdresultaat te bewijzen construeren we de afbeelding φ_λin Hoofdstuk 2 door β-ontwikkelingen en λ-kettingbreuken te beschrijven via dynamische systemen. In Hoofdstuk 3 geven we enkele maattheoretische definities en stellingen, om ten slotte met Stelling 3.15 het hoofdresultaat te bewijzen.

Verder gebruiken we N = {0, 1, 2, ...}.

2 Constructie van φ

In Hoofdstuk 2 construeren we de afbeelding φλ. Hiervoor beschrijven we eerst in Paragraaf 2.1 dynamische systemen, banen en baancoderingen in de meest algemene vorm. In Paragraaf 2.2 en 2.3 beschrijven we twee dynamische systemen waarvan de baancoderingen verband houden met respectievelijk β-ontwikkelingen en λ-kettingbreuken. Uit Stelling 2.6 van Paragraaf 2.4 construeren we de afbeelding φλ.

2.1 Dynamische systemen

Zij X een verzameling. Een transformatie op X is een afbeelding T : X → X. Een paar (X, T ) met X een verzameling en T een transformatie op X heet een dynamisch systeem.

Zij (X, T ) een dynamisch systeem. De baan van een element x ∈ X is het rijtje xT (x)T²(x)... := (x, T (x), T²(x), ...) = (Tⁿ(x))n≥0∈ X^N. Met een partitie X = ˙S

i∈IXi met indexverzameling I kan men voor elke n ≥ 0 kijken in welk deel van de partitie de n-de iteratie van T op x ligt. Door de index van dit deel van de partitie te onthouden codeert men de baan van x:

x₀x₁x₂... := (x₀, x₁, x₂, ...) = (x_n)_n≥0∈ I^N zodanig dat Tⁿ(x) ∈ Xx_n voor alle n ≥ 0.

Zij (X, T ) en (Y, S) twee dynamische systemen. Een afbeelding φ : X → Y waarvoor het diagram X −−−−→ X^T

φ y

 y^φ Y −−−−→ Y^S

commuteert, dat wil zeggen φ ◦ T = S ◦ φ, heet een conjugatie van (X, T ) naar (Y, S).

Voor juiste keuzes van X, T , Xi en I is er een verband tussen de codering van de baan van een element x ∈ X en een β-onwikkeling of λ-kettingbreukontwikkeling van x.

2.2 β-ontwikkelingen

Zoals we in de inleiding hebben gezien, zijn β-ontwikkelingen een veralgemenisering van basis-n- ontwikkelingen voor een positief geheel getal n. Een β-ontwikkeling van een re¨eel getal kan ge- vonden worden via een eenvoudig dynamisch systeem, dat we nu zullen bespreken. Zij β ∈ (1, ∞) een parameter (ook wel grondtal, basis of radix). Beschouw het interval [0, 1) en de transformatie Sβ: [0, 1) → [0, 1) gegeven door t 7→ βt mod 1. Partitioneer [0, 1) als volgt:

J₀^β:=

 0,1

β



, J₁^β:= 1 β,2

β



, ..., J_dβe−2^β := dβe − 2

β ,dβe − 1 β



, J_dβe−1^β := dβe − 1 β , 1



met indexverzameling J = J_β:= {0, ..., dβe − 1}. Met dβe bedoelen we het kleinste gehele getal groter dan β: β ≤ dβe < β + 1. Dan is dβe − 1 het grootste gehele getal strikt kleiner dan β. Zie Figuur 2.

00

1 1

β − dβe

1 β

2 β

dβe−1 β

J₀^β J₁^β J₂^β J_dβe−1^β

Figuur 2: Grafiek van Sβ voor β = ¹⁰₃.

We coderen de baan van een element t ∈ [0, 1) als

O_β(t) = t₀t₁t₂... ∈ J^N zodanig dat S_βⁿ(t) ∈ J_t^β_n voor alle n ≥ 0.

Stelling 2.1. Zij t ∈ [0, 1) en Oβ(t) = (tn)n≥0. Dan geldt t =X

n≥0

tn

βⁿ⁺¹.

Bewijs. De rij Oβ(t) = {tn}n≥0 is precies zo gedefinieerd dat Sβ(t) = βt − t0, S_βⁿ⁺¹(t) = βS_βⁿ(t) − t_n voor alle n ≥ 1. Er geldt dus

t = t₀+ S_β(t) β =t₀

β +S_β(t) β ,

Sⁿ_β(t) =tn+ S_βⁿ⁺¹(t)

β = tn

β +Sⁿ⁺¹_β (t) β voor alle n ≥ 1. Hieruit volgt dat

t = t₀

β +S_β(t) β =t₀

β + t₁

β²+S_β²(t)

β² = ... = t₀ β + t₁

β²+ ... + t_n

βⁿ⁺¹+S_βⁿ⁺¹(t) βⁿ⁺¹

voor alle n ≥ 1. Omdat S_βⁿ⁺¹(t) ∈ [0, 1) voor alle n ≥ 1 en β > 1, geldt

n→∞lim

Sⁿ⁺¹_β (t) βⁿ⁺¹ = 0,

en dus

t = t0

β + t1

β² + ... + tn

βⁿ⁺¹ + ... =X

n≥0

tn

βⁿ⁺¹.

We noemen (tn)n≥0de β-ontwikkeling van t (via transformatie Sβ).

Het gedrag van Oβ(t) voor t → 1 geeft aan welke rijtjes in J^Neen β-ontwikkeling van een t ∈ [0, 1) zijn. Orden daarvoor J^Nlexicografisch door ≺ en voer een natuurlijke afstandsfunctie (metriek) d in. Dat wil zeggen dat voor alle x = x0x1x2..., y = y0y1y2... ∈ J^Ngeldt

x ≺ y ⇔ ∃n ≥ 0 : ∀m < n, x_m= ymen xn < y_n. Als afstandsfunctie nemen we bijvoorbeeld

d(x, y) := 1 2^{min{n≥0:xn6=yn}}

voor alle x 6= y en d(x, x) = 0 voor alle x. De rijtjesverzameling J^N wordt hiermee een volledige topologische ruimte. Omdat de afbeelding t 7→ Oβ(t) strikt stijgend is [zie bijvoorbeeld JRD11, p. 13], en begrensd door het maximum (dβe − 1)(dβe − 1)(dβe − 1)... van J^N, bestaat de limiet

Oβ(1) := lim

t→1Oβ(t).

De volgende stelling geeft aan hoe O_β(1) bepaalt welke rijtjes in J^Neen β-ontwikkeling van een t ∈ [0, 1) zijn.

Stelling 2.2 ([Par60, Stelling 3]). Als (an)n≥0∈ J^Nvoor alle n ≥ 0 voldoet aan

anan+1an+2... ≺ Oβ(1), (1)

dan bestaat er een t ∈ [0, 1) met Oβ(t) = a0a1a2....

Het omgekeerde van de stelling is ook waar. Een t ∈ [0, 1) heeft per definitie ontwikkeling Oβ(t) = t0t1t2... ≺ Oβ(1), en voor alle n ≥ 0 geldt tntn+1tn+2... = Oβ(Sⁿ_β(t)) ≺ Oβ(1).

Voorbeeld 2.3. Zij β = ¹⁺

√5

2 de gulden snede. Dan geldt J = {0, 1} en Oβ(1) = 110 = 11000...

en

{Oβ(t) : t ∈ [0, 1)} = {(an)n≥0∈ {0, 1}^N: (∀n ≥ 0 : anan₁an+2... ≺ 110)}.

De β-ontwikkelingen voor β = ¹⁺

√ 5

2 zijn dus de rijtjes in {0, 1}^N die nooit twee enen achter elkaar hebben staan. Zie Figuur 3.

0 0

y = x

1

1 S_β

1/φ φ − 1

Figuur 3: Voor β = (1 +√

5)/2 geldt Oβ(1) = 110. Voor β = (1 +√

5)/2 heeft een β-ontwikkeling dus nooit twee enen achter elkaar.

0

y = x

1 λ

m^λ₀ m^λ₁ m^λ₂ m^λ_iλ

h

λ

Figuur 4: De waarden van m^λ_i worden gevonden door, beginnend in de startwaarde m^λ₀ = 0, steeds te ‘weerkaatsen’ in h en in de lijn y = x. Omdat h strikt stijgend en onbegrensd is op [0, λ), en vol- ledig boven de lijn y = x ligt, is de rij (m^λ_i) stikt stijgend en eindig. (λ = ³₂)

2.3 λ-kettingbreuken

Zoals we in de Inleiding hebben gezien, is een λ-kettingbreuk een uitdrukking van de vorm x = [a₀; a₁, a₂, ...]_λ:= λa₀+ 1

λa₁+ 1 λa₂+. ..

met λ ∈ (0, 2) een parameter. We bespreken nu een dynamisch systeem, zoals beschreven in [JRD11], waarvan de baancoderingen verband houden met λ-kettingbreuken. Zij λ ∈ (0, 2) een parameter. Beschouw het interval [0, ∞). Definieer h(y) := _λ−y¹ en de punten m^λ₀ := 0, m^λ₁ := h(m^λ₀) en, zolang m^λ_i < λ, m^λ_i+1:= h(m^λ_i).

Stelling 2.4. De rij (m^λ_i) is stikt stijgend en eindig.

Bewijs. De afbeelding h is stikt stijgend op [0, λ), want de afgeleide h⁰(y) = _(λ−y)¹ 2 > 0 voor alle y ∈ [0, λ). Bovendien heeft h geen dekpunten op [0, λ): Uit _λ−y¹ = y volgt dat y²− λy + 1 = 0, maar deze vergelijking heeft geen re¨ele oplossing. Merk op dat m^λ₁ = ¹_λ > 0 = m^λ₀. Als _λ¹ ≥ λ, dan zijn we klaar. Stel ¹_λ < λ. Omdat h stikt stijgend is op [0, λ) geldt h(m^λ₁) > h(m^λ₀), oftewel m^λ₂ > m^λ₁. Met volledige inductie volgt dat m^λ_i+1 > m^λ_i voor alle i met m^λ_i < λ. De rij (m^λ_i) is dus stikt stijgend. De rij (m^λ_i) is tevens begrensd door λ (met uitzondering van eventueel het laatste element), dus (m^λ_i) is oneindig en convergeert naar een limiet kleiner dan λ, of (m^λ_i) is eindig.

Stel dat (m^λ_i) convergeert naar limietwaarde m ≤ λ. Dat wil zeggen dat lim_i→∞m^λ_i = m. Als m < λ, dan geldt h(m) = h(lim_i→∞m^λ_i) = lim_i→∞h(m^λ_i) = lim_i→∞m^λ_i+1 = lim_i→∞m^λ_i = m, dus m is een dekpunt van h, een tegenspraak. Ook het geval lim_i→∞m^λ_i = m = λ leidt tot tegenspraak. Er geldt namelijk lim_y↑λh(y) = ∞. Daaruit volgt dat lim_i→∞h(m^λ_i) = ∞. Maar lim_i→∞h(m^λ_i) = lim_i→∞m^λ_i+1 = lim_i→∞m^λ_i = m = λ, een tegenspraak. Zie Figuur 4.

De grootste index van (m^λ_i) noemen we iλ. Met de rij (m^λ_i) = (m^λ_i)_0≤i≤iλ partitioneren we [0, ∞) als volgt:

I₀^λ:=m^λ₀, m^λ₁
, I₁^λ:=m^λ₁, m^λ₂
, ..., I_i^λ_λ−1:=m^λ_iλ−1, m_i^λ_λ
, I_i^λ_λ :=m^λ_iλ, ∞
,

met indexverzameling I = Iλ:= {0, ..., iλ}. Definieer h0(y) := _λy+1^y en, zolang i < iλ, hi+1(y) = h(hi(y)). Er geldt

h_i(0) = hⁱ(h₀(0)) = hⁱ(m^λ₀) = m^λ_i voor alle i ∈ I,

y→∞lim hi(y) = lim

y→∞hⁱ(h₀(y)) = hⁱ( lim

y→∞h₀(y)) = hⁱ(m^λ₁) = m^λ_i+1 voor alle i ∈ I \ {iλ}.

Verder is h0 strikt stijgend op [0, ∞), want h⁰₀(y) = _(λy+1)¹ 2 > 0. Er geldt dus h0([0, ∞)) = [m^λ₀, m^λ₁). Omdat h strikt stijgend is op [0, λ), vinden we met volledige inductie dat voor alle i ∈ I \ {i_λ}, hi strikt stijgend is op [0, ∞) en dat hi([0, ∞)) = [m^λ_i, m^λ_i+1). De eigenschappen van hiλ hangen af van de positie van m^λ_iλ ten opzichte van λ. Als m^λ_iλ > λ, dan passeert h_iλ−1 de waarde λ: Er is een unieke l_λ ∈ [0, ∞) zo dat hiλ−1(l_λ) = λ. De functie h_iλ is dan dus niet gedefinieerd op l_λ, en h_iλ is strikt stijgend op [0, l_λ) met lim_y→lλh_iλ(y) = ∞. Als m^λ_i

λ = λ, definieer dan l_λ := ∞ en er volgt weer dat h_iλ is strikt stijgend is op [0, l_λ) met lim_y→lλh_iλ(y) = ∞. Zie Figuur 5.

λ

m^λ₀ m^λ₁ m^λ₂ m^λ_i

λ

I₀^λ I₁^λ I₂^λ I_i^λ

λ

h₀(y) h1(y) h2(y) hi_λ(y)

lλ

y x

Figuur 5: Grafieken van hi voor λ = ³₂.

λ

m^λ₀ m^λ₁m^λ₂ m^λ_i I₀^λ I₁^λ I₂^λ λ I_i^λ

λ

Tλ(x)

lλ

y

x

Figuur 6: Grafiek van Tλ voor λ = ³₂.

We defini¨eren de transformatie Tλ: [0, ∞) → [0, ∞) door x 7→ h⁻¹_i (x) voor alle x ∈ I_i^λ(voor alle i ∈ I). Zie Figuur 6.

We coderen de baan van een element x ∈ [0, ∞) als

ω_λ(x) = x₀x₁x₂... ∈ I^N zodanig dat T_λⁿ(x) ∈ I_x^λ_n voor alle n ≥ 0.

Schrijf

ω_λ(x) = x0x₁x₂... = 00...0

| {z }

e₀termen

a₀ 00...0

| {z }

e₁termen

a₁ 00...0

| {z }

e₂termen

a₂... (ai6= 0, ei≥ 0). (2)

In [JRD11, 3.3] wordt het volgende verband met λ-kettingbreuken aangetoond:

x =Je⁰+ 1, 1, ..., 1

| {z }

a0termen

, e1+ 2, 1, ..., 1

| {z }

a1termen

, e2+ 2, 1, ..., 1

| {z }

a2termen

, ...K^λ (3)

voor alle x ∈ [0, ∞), waarbij

Jb¹, b2, b3, ...K^λ:= [0; b1, −b2, b3, ...]λ= 1

b1λ − 1

b2λ − 1 b3λ −. ..

(4)

voor alle rijen natuurlijke getallen (bn)n≥1. In het geval dat ωλ(x) = x0x₁x₂...x_n000... zijn de rijen (e_i) en (a_i) van (2) eindig en zijn ook de uitdrukkingen in (3) en (4) eindig.

De transformatie T_λhoudt dus verband met λ-kettingbreuken, al is het verband niet zo duidelijk als bij de transformatie S_β. We noemen voor het gemak (x_n)_n≥0 de λ-kettingbreukontwikkeling van x (via transformatie Tλ).

Het gedrag van ωλ(x) voor x → ∞ geeft aan welke rijtjes in I^N een λ-kettingbreuk van een x ∈ [0, ∞) zijn. Op dezelfde wijze als bij J^Nmaken we van de rijtjesverzameling I^Neen volledige topologische ruimte. Omdat de afbeelding x 7→ ωλ(x) strikt stijgend is ([JRD11, Lemma 2.2, Stelling 3.1]), en begrensd door het maximum iλiλiλ... van I^N, bestaat de limiet

ωλ(∞) := lim

x→∞ωλ(x).

De volgende stelling geeft aan hoe ω_λ(∞) bepaalt welke rijtjes in I^Neen λ-kettingbreukontwikkeling van een x ∈ [0, ∞) zijn.

Stelling 2.5 ([JRD11, Stelling 4.4]). Als (an)n≥0∈ I^Nvoor alle n ≥ 0 voldoet aan

anan+1an+2... ≺ ωλ(∞), (5)

dan bestaat er een x ∈ [0, ∞) met ωλ(x) = a0a1a2....

Het omgekeerde van de stelling is ook waar. Een x ∈ [0, ∞) heeft per definitie ontwikkeling ωλ(x) = x0x1x2... ≺ ωλ(∞), en voor alle n ≥ 0 geldt xnxn+1xn+2... = ωλ(T_λⁿ(t)) ≺ ωλ(∞).

2.4 De afbeeldingen λ 7→ β(λ) en φ

Merk op dat ωλ(∞) en Oβ(1) op dezelfde wijze (Stelling 2.5 en 2.2) vastleggen welke rijtjes een λ-kettingbreukontwikkeling of β-ontwikkeling zijn van een x ∈ [0, ∞) of t ∈ [0, 1). De natuurlijke vraag is of er paren (λ, β) zijn waarvoor ωλ(∞) = Oβ(1). Het antwoord wordt gegeven door de volgende stelling.

Stelling 2.6 ([JRD11, Propositie 2.6, Stelling 4.6, Stelling 4.8, Gevolg 4.22, 4.2.3]).

Voor alle λ ∈ (0, 2) bestaat een unieke β = β(λ) ∈ (1, ∞) met ω_λ(∞) = O_β(1). De afbeelding λ 7→ β(λ) is strikt stijgend, surjectief en continu, maar niet analytisch. Voor λ = λ_k := 2 cos(π/k) en k ∈ N≥3 geldt β(λ) = k − 1.

Omdat de afbeeldingen x 7→ ωλ(x) en t 7→ Oβ(t) strikt stijgend zijn, en surjectief naar de rijtjes die voldoen aan respectievelijk (5) en (1), bestaat er voor elke λ een strikt stijgende bijectie

φλ: [0, ∞) → [0, 1), x 7→ t

zodanig dat ωλ(x) = O_β(λ)(t). Het volgende diagram commuteert:

x ∈ [0, ∞) −−−−→ T^Tλ _λ(x) ∈ [0, ∞)

φ_λ y

 y^φλ

t ∈ [0, 1) −−−−→ S^Sβ(λ) _β(λ)(t) ∈ [0, 1)

De afbeelding φλ is dus een conjugatie van ([0, ∞), Tλ) naar ([0, 1), S_β(λ)).

Voor λ = 1 wordt φλ gegeven door [JRD11, p. 15]:

φ_λ(x) = φ1(x) =







1

2?(x), als x ∈ [0, 1],

1 2+¹₂?

 1 − 1

x



, als x ∈ [1, ∞),

waarbij met ?(x) weer Minkowski’s vraagtekenfunctie, ge¨ıntroduceerd in de Inleiding, wordt bedoeld. We weten dat Minkowski’s vraagtekenfunctie singulier is. Omdat 1 − 1/x continu en strikt stijgend is, is ?(1 − 1/x) ook singulier. Vermenigvuldigen met een constante ongelijk aan 0 behoudt singulariteit, evenals een constante optellen, dus ?(x)/2 en 1/2+?(1 − 1/x)/2 zijn singulier. De continue aaneenschakeling van twee singuliere functie is ook weer singulier. We concluderen dat φ1singulier is.

In Hoofdstuk 3 wordt het hoofdresultaat van deze scriptie, dat ook voor alle λ = λk := 2 cos(π/k) en k ∈ N^≥3 de afbeelding φλ singulier is, bewezen.

3 Singulariteit van φ

In Hoofdstuk 3 wordt met Stelling 3.15 aangetoond dat de afbeelding φλ singulier is voor λ = λk = 2 cos(π/k) en k ∈ N^≥3. Daarvoor hebben we enkele definities en stellingen uit de maattheorie nodig. Deze behandelen we in Paragraaf 3.1. Enkele maattheoretische voorkennis is hierbij vereist. Deze vindt men bijvoorbeeld in [EW11, bijlage A]. In Paragraaf 3.2 bewijzen we het hoofdresultaat.

3.1 Maattheoretische definities en stellingen

We beginnen met enkele wat minder basale maattheoretische definities.

Vaak beschouwt men een maatruimte (X, A) met een maat µ waarvoor µ(X) = 1. Zulke maten heten kansmaten. In deze scriptie komen we ook maten tegen die geen kansmaten zijn. Oneindige maten zijn maten waarvoor µ(X) = ∞. Oneindige maten heten σ-eindig als X een aftelbare vereniging van onderling disjuncte meetbare verzamelingen van eindige maat is.

Zij µ₁ en µ₂ twee maten op een meetbare ruimte (X, A). Dan heet µ₁ absoluut continu (t.o.v.

µ₂), notatie µ₁  µ₂, als elke nulverzameling van µ₂ een nulverzameling van µ₁ is. De twee maten heten equivalent als ze gelijke nulverzamelingen hebben, oftewel als elk van beide absoluut continu is t.o.v. de ander. Dit wordt genoteerd als µ₁  µ₂  µ₁. De maten µ₁ en µ₂ heten onderling singulier als er een A ∈ A bestaat met µ₁(A) = 0 en µ₂(A^c) = 0. Met A^c bedoelen we het complement van A in X.

Zij (X, A, µ) een maatruimte en T een meetbare transformatie op X. Dan heet T niet-singulier voor (X, A, µ) als voor alle A ∈ A, µ(T⁻¹(A)) = 0 dan en slechts dan als µ(A) = 0. Als zelfs voor alle A ∈ A, µ(T⁻¹(A)) = µ(A), dan heet T maatbehoudend voor (X, A, µ). We zeggen ook wel dat µ invariant is voor (X, A, T ). Als voor alle A ∈ A, T⁻¹(A) = A impliceert dat µ(A) = 0 of µ(A^c) = 0, dan heet T ergodisch voor (X, A, µ). In een ergodisch maatbehoudend dynamisch systeem (een kansruimte met een ergodische maatbehoudende transformatie) is het tijdgemiddelde bijna overal gelijk aan het ruimtegemiddelde (“Birkhoff’s Ergodic Theorem”, zie bijvoorbeeld [Aar97, Stelling 2.2.6]).

Een standaard maatruimte is een maatruimte (X, A, µ) waar X een complete, separabele metri- sche ruimte is en A de σ-algebra voortgebracht door de open verzamelingen van X is.

Zij (X, A, µ) een standaard maatruimte en T een meetbare transformatie op X. Als voor alle A ∈ A met µ(A) > 0 er een n ≥ 1 bestaat zodanig dat µ(A ∩ T⁻ⁿ(A)) > 0, dan heet T conserva- tief voor (X, A, µ). In een conservatief dynamisch systemen keert elke meetbare verzameling van positieve maat na een aantal iteraties terug naar zichzelf: De doorsnijding heeft positieve maat.

Zodoende keert elke meetbare verzameling van positieve maat oneindig vaak terug naar zichzelf.

Elke maatbehoudende kansmaat is conservatief: Er is niet genoeg plek voor een meetbare ver- zameling van positieve maat om voortdurend te ‘ontsnappen’. Conservativiteit is daarom alleen van belang bij oneindige maten.

Op R beschouwen we vaak de Borel-meetbare deelverzamelingen, die we noteren met B, en de Borel-maat, die we noteren we met m. De Lebesgue-meetbare deelverzamelingen van R noteren we met L, en de Lebesgue-maat mL.

Nu geven we twee stellingen uit de maattheorie. De eerste stelling geeft een criterium voor conservativiteit.

Stelling 3.1 (Maharams Recurrentiestelling [Aar97, Stelling 1.1.7]). Zij (X, A, µ) een σ- eindige standaard maatruimte en T een transformatie op X die maatbehoudend is voor (X, A, µ).

Als er een A ∈ A bestaat met µ(A) 6= ∞ en

µ _∞

[

i=0

T⁻ⁱ(A)

!^c!

= 0,

dan is T conservatief voor (X, A, µ).

De tweede stelling geeft aan dat onder bepaalde voorwaarden twee maten slechts een factor verschillen.

Stelling 3.2 (Uniciteit van invariante maten [Aar97, Stelling 1.5.6]). Zij (X, A, µ) een standaard maatruimte en T een transformatie op X die conservatief, ergodisch en niet-singulier is voor (X, A, µ). Zij µ₁, µ₂ twee σ-eindige maten op (X, A) met µ₁ µ en µ₂ µ en zodanig dat T maatbehoudend is voor (X, A, µ1) en voor (X, A, µ2). Dan geldt µ1 = cµ2 voor een c ∈ R≥0.

De volgende stelling zegt dat ergodische kansmaten gelijk of onderling singulier zijn.

Stelling 3.3 (Gelijkheid of singulariteit van invariante maten [DD08, Stelling 2.1.2]).

Zij (X, A) een meetbare ruimte en µ1en µ2twee kansmaten op (X, A) en zij T een transformatie op X die ergodisch en maatbehoudend is voor zowel (X, A, µ1) als (X, A, µ2). Dan geldt µ1= µ2

of µ1 en µ2zijn onderling singulier.

In deze scriptie werken we met oneindige maten en willen we een soortgelijke stelling als Stelling 3.3 toepassen. We laten daarom de aanname dat de maten kansmaten zijn weg. Ergodische maten blijken equivalent of onderling singulier te zijn.

Stelling 3.4 (Equivalentie of singulariteit van invariante maten). Zij (X, A) een meetbare ruimte en µ₁ en µ₂ twee maten op (X, A) en zij T een transformatie op X die ergodisch en maatbehoudend is voor zowel (X, A, µ₁) als (X, A, µ₂). Dan geldt µ₁  µ₂  µ₁ of µ₁ en µ₂ zijn onderling singulier.

Bewijs. Stel µ₁ en µ₂ zijn niet equivalent. Dan bestaat er (z.v.v.a.) een A ∈ A met µ₁(A) = 0 en µ₂(A) > 0. Definieer B :=S∞

i=0T⁻ⁱ(A). Dan geldt

B = A ∪ T⁻¹(A) ∪ T⁻²(A) ∪ T⁻³(A) ∪ ..., T⁻¹(B) = T⁻¹(A) ∪ T⁻²(A) ∪ T⁻³(A) ∪ ..., T⁻²(B) = T⁻²(A) ∪ T⁻³(A) ∪ ...,

T⁻³(B) = T⁻³(A) ∪ ...,

... Definieer C :=T∞

i=0T⁻ⁱ(B). Dan

C = B ∩ T⁻¹(B) ∩ T⁻²(B) ∩ ..., T⁻¹(C) = T⁻¹(B) ∩ T⁻²(B) ∩ ...,

en omdat

B ⊇ T⁻¹(B) ⊇ T⁻²(B) ⊇ T⁻³(B) ⊇ ... (6) geldt C = T⁻¹(C). Dit is ook in te zien via de volgende equivalenties:

a ∈ C ⇔ ∀i ≥ 0 ∃j ≥ i : a ∈ T^−j(B) ⇔ ∀i ≥ 1 ∃j ≥ i : a ∈ T^−j(B) ⇔ a ∈ T⁻¹(C).

Verder geldt wegens de maatbehoudendheid van T dat

0 = µ1(A) = µ1(T⁻¹(A)) = µ1(T⁻²(A)) = ..., dus

0 = µ1(B) = µ1(T⁻¹(B)) = µ1(T⁻²(B)) = ..., dus

µ₁(C) = 0.

Ook geldt

0 < µ2(A) = µ2(T⁻¹(A)) = µ2(T⁻²(A)) = ..., dus

0 < µ2(B) = µ2(T⁻¹(B)) = µ2(T⁻²(B)) = .... (7) Omdat T⁻¹(C) = C, geldt wegens de ergodiciteit van T dat µ2(C) = 0 of µ2(C^c) = 0. Het geval µ2(C) = 0 is onmogelijk, want wegens (6) geldt

C = B ∩ T⁻¹(B) ∩ T⁻²(B) ∩ ...

= B \

∞

[

i=0

T⁻ⁱ(B) \ T⁻⁽ⁱ⁺¹⁾(B)

! ,

en met (7) geldt voor alle i ≥ 0 dat µ₂

T⁻ⁱ(B) \ T⁻⁽ⁱ⁺¹⁾(B)

= 0, dus

µ2

∞

[

i=0

T⁻ⁱ(B) \ T⁻⁽ⁱ⁺¹⁾(B)

!

= 0, dus µ2(C) = µ2(B) 6= 0. Voor C geldt dus µ1(C) = 0 en µ2(C^c) = 0.

Tenslotte volgen nog twee stellingen die betrekking hebben op re¨ele functies.

Stelling 3.5 (Differentieerbaarheid van monotone functies, [Rub63, Lemma 1]). Zij f : [a, b] → R een continue, stijgende functie, dan bestaat f⁰(x) voor Lebesgue-bijna alle x ∈ [a, b].

Gevolg 3.6. Zij f : [a, ∞) → R een continue, stijgende functie, dan bestaat f⁰(x) voor Lebesgue- bijna alle x ∈ [a, ∞).

Stelling 3.7 (Stelling van singuliere functies, [Leo09, Stelling 3.72]). Zij I een (open, gesloten, halfopen, begrensd, onbegrensd) interval van R. Zij f : I → R een niet-constante functie waarvoor de afgeleide f⁰(x) bestaat voor Lebesgue-bijna alle x ∈ I. Dan is f singulier dan en slechts dan als er een Lebesgue-meetbare deelverzameling A ⊆ I bestaat met mL(A^c) = 0 en m_L(f (A)) = 0 (herinner dat m_L de Lebesguemaat is).

3.2 Bewijs van het hoofdresultaat

Via een aantal proposities zal worden aangetoond dat de afbeelding φλvoor λ = λk := 2 cos(π/k) en k ∈ N^≥3 singulier is. Het bewijs lijkt op een bewijs van singulariteit in [Arr15]. Daar wordt echter eenvoudiger de onderlinge singulariteit van twee maten aangetoond met Stelling 3.3. Wij gebruiken Stelling 3.4, omdat we in deze scriptie te maken hebben met oneindige maten.

Beschouw ([0, ∞), B_∞, m_∞) en ([0, 1), B₁, m₁) als standaard maatruimten, waarbij B_∞ en B₁ de Borel-meetbare deelverzamelingen van respectievelijk [0, ∞) en [0, 1) zijn, en m_∞en m₁de Borel- maten beperkt tot deze intervallen. We kiezen hier bewust voor Borel, en niet voor Lebesgue, omdat de Borel-meetbare deelverzamelingen worden voortgebracht door de open intervallen.

Neem vanaf nu aan dat λ = λk:= 2 cos(π/k) en k ∈ N≥3 en β = β(λ) = k − 1. We beginnen het bewijs van het hoofdresultaat met het vinden van invariante en ergodische maten voor Sβ en Tλ. Omdat β geheeltallig is, is de transformatie Sβ: [0, 1) → [0, 1) een stuksgewijs lineaire afbeelding, waarvan ook de laatste tak van 0 naar 1 stijgt: Sβ(J_β^k−2) = Sβ([^k−2_k−1, 1)) = [0, 1). Zie Figuur 7.

00

1 1

Figuur 7: Grafiek van S_β voor β = 3. De laatste tak van S_β is ‘volledig’: Hij stijgt van 0 naar 1.

0 λ

y

x

Figuur 8: Grafiek van T_λ voor λ = λ₄ =

√2. De laatste tak van T_λ is lineair en vol- doet aan Tλ(x) = x − λ.

Propositie 3.8. De transformatie S_β is maatbehoudend en ergodisch voor ([0, 1), B₁, m₁).

Bewijs. Een bekend resultaat uit de ergodische theorie luidt dat maatbehoudendheid alleen op een voortbrengende verzameling deelverzamelingen hoeft te worden aangetoond (zie bijvoorbeeld [EW11, Stelling A.8] en [Hun11, Propositie 3.2]). De open intervallen van [0, 1) brengen B1voort.

Zij (a, b) ⊆ [0, 1) een open interval. Het inversebeeld van (a, b) is een eindige vereniging van open intervallen:

S_β⁻¹((a, b)) = a β, b

β



∪ a + 1 β ,b + 1

β



∪ ... ∪ a + dβe − 1

β ,b + dβe − 1 β



= [

i=0,...,dβe−1

 a + i β ,b + i

β



en deze intervallen zijn disjunct, want (^a+i_β ,^b+i_β ) ⊆ J_βⁱ. De maten van (a, b) en S_β⁻¹((a, b)) zijn gelijk:

m1( [

i=0,...,dβe−1

 a + i β ,b + i

β

 ) =

dβe−1

X

i=0

m1( a + i β ,b + i

β

 )

=

dβe−1

X

i=0

b − a

β = b − a = m1((a, b)).

De derde gelijkheid berust op de geheeltalligheid van β. We concluderen dat Sβ maatbehoudend is. De ergodiciteit van Sβ wordt bewezen in [R´en57, p. 491].

Voor het vinden van een invariante maat voor T_λbewijzen we eerst dat T_λ een ‘volledige’ laatste tak heeft.

Propositie 3.9. Voor λ = λ_k := 2 cos(π/k) en k ∈ N≥3 geldt m^λ_i

λ = λ en T_λ(x) = x − λ voor alle x ∈ I_i^λ

λ.

Bewijs. Zij k ∈ N^≥3. Uit [JRD11, Propositie 2.6] volgt dat λ = λk de maximale waarde van λ is waarvoor iλ = k − 2. Zij β = β(λk) = k − 1 de overeenkomende β. Omdat dan Oβ(1) = (k − 2)(k − 2)(k − 2)..., geldt ook ωλ(∞) = (k − 2)(k − 2)(k − 2)... = iλiλiλ.... Dit kan alleen als m^λ_iλ = λ. Stel namelijk dat m^λ_iλ > λ, dan stijgt de laatste tak van Tλ maar tot lλ: Er geldt lim_x→∞T_λ(x) = l_λ < ∞ (zie pagina 9). Schrijf ω_λ(l_λ) = a₁a₂a₃.... Zij x ∈ I_i^λ

λ en schrijf ωλ(x) = x₀x₁x₂x₃.... Omdat Tλ(x) < lλ geldt x₁x₂x₃... ≺ a₁a₂a₃.... Omdat limx→∞ωλ(x) = ωλ(∞) = iλiλiλ..., volgt dat dat iλiλiλ...  a1a2a3..., dus a1a2a3... = iλiλiλ.... Tegenspraak, want er moet ook a1a2a3... ≺ iλiλiλ... gelden. Er geldt dus m^λ_i

λ = λ. Er volgt dat hi_λ strikt stijgend is op [0, ∞) en limy→∞hi_λ(y) = ∞. Zoals wordt besproken in [JRD11, 2.3] wordt hi_λ

gegeven door y 7→ ^ay+b_cy+d voor zekere a, b, c, d ∈ R waarvoor ad − bc = 1. Omdat hⁱλ(0) = λ en limy→∞h_iλ(y) = ∞ geldt b/d = λ, c = 0, a > 0, en dus ad = 1. Wegens vergelijking (1) in [JRD11, p. 6] geldt ook a, d ≤ 1, dus a = d = 1 en b = λ. De functie h_iλ wordt dus gegeven door ^1y+λ_0y+1 = y + λ. De laatste tak van T_λ wordt dus gegeven door T_λ(x) = x − λ voor alle x ∈ I_i^λ_λ= [λ, ∞). Zie Figuur 8.

Definieer de maat m⁰_∞ door m⁰_∞:=R ₁

xdm_∞.

Propositie 3.10. De transformatie Tλ is ergodisch voor ([0, ∞), B_∞, m⁰_∞).

Bewijs. We bewijzen dat Tλ ergodisch is voor ([0, ∞), L_∞, (mL)⁰_∞), waarbij L_∞ de Lebesgue- meetbare deelverzamelingen van [0, ∞) zijn en (mL)⁰_∞ := R 1

xd(mL)_∞, waarbij (mL)_∞ de Lebesgue-maat beperkt tot [0, ∞) is. Omdat (mL)⁰_∞ een uitbreiding is van m⁰_∞, volgt de er- godiciteit van Tλ voor m⁰_∞ uit de ergodiciteit van Tλ voor (mL)⁰_∞.

Er geldt (mL)⁰_∞ (mL)∞en Tλis maatbehoudend voor ([0, ∞), L∞, (mL)⁰_∞) en (mL)⁰_∞is uniek met deze eigenschappen (op vermenigvuldiging van een constante na) ([JRD11, 5.1]).

Zij A ∈ L∞ met T_λ⁻¹(A) = A en stel (mL)_∞⁰ (A) 6= 0 en (mL)⁰_∞(A^c) 6= 0. Definieer de maat ν(B) := 2(m_L)⁰_∞(A ∩ B) + 3(m_L)⁰_∞(A^c∩ B)