De 15-stelling
Dennis Buijsman
23 augustus 2015
Begeleiding: S. R. Dahmen
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde
Samenvatting
English
In this thesis, we will look at the 15 theorem of Conway and Schneeberger. This theorem is proven by Bhargava. In this thesis, we will look at the proof of Bhargava. The calculations will be discussed. The calculations are done in Sage. In addition, we will apply calculations on some cases and examples and explain this. We also provide methods for these calculations.
Nederlands
In dit verslag zullen we de 15-stelling van Conway en Schneeberger behandelen. Deze stelling is bewezen door Bhargava. In dit verslag zullen we het bewijs van Bhargava behandelen. De berekeningen worden uitgebreid behandeld. De berekeningen worden gedaan in het computerprogramma Sage. Daarnaast zullen we berekeningen toepassen op een aantal gevallen en voorbeelden en deze toelichten. We geven ook methodes voor deze berekeningen.
Titel: De 15-stelling
Auteur: Dennis Buijsman, d.buysman@student.uva.nl, 10143815 Begeleiding: S. R. Dahmen
Einddatum: 23 augustus 2015
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam
Science Park 904, 1098 XH Amsterdam http://www.science.uva.nl/math
Inhoudsopgave
1. Inleiding 5
2. Definities 6
2.1. Kwadratische vormen en roosters . . . 6
2.2. Geslacht . . . 12 3. De 15-stelling 17 3.1. Schets bewijs . . . 17 3.2. Twee-dimensionale uitbreidingen . . . 18 3.3. Drie-dimensionale uitbreidingen . . . 18 3.4. Vier-dimensionale uitbreidingen . . . 22
3.4.1. Uitbreidingen van diagonaalmatrices . . . 22
3.4.2. Uitbreidingen van niet-diagonaalmatrices . . . 25
3.4.3. Equivalentieklassen . . . 29
3.5. Niet-gerepresenteerde getallen . . . 30
3.5.1. Methode . . . 30
3.5.2. De uitzondering . . . 32
3.6. Op zoek naar een bovengrens . . . 34
3.7. Schrijfwijze bovengrens . . . 35
3.7.1. Methode . . . 35
3.7.2. Weer een uitzondering of toch niet? . . . 36
3.8. Expliciete bovengrens . . . 37
3.8.1. Bovengrens voor diagonaalmatrices . . . 38
3.8.2. Bovengrens voor de andere gevallen . . . 39
3.9. Uizonderingen op de bovengrens . . . 40 3.10. Niet-universele uitbreidingen . . . 42 3.11. Vijf-dimensionale uitbreidingen . . . 43 3.12. Opmerkingen . . . 44 4. Uitbreiding 46 5. Populaire samenvatting 48 Bibliografie 50 A. Basisalgebra 51
B. Berekeningen 56 B.1. Drie-dimensionale roosters . . . 56 B.1.1. Niet-gerepresenteerde getallen . . . 56 B.2. Vier-dimensionale uitbreidingen . . . 57 B.2.1. Schrijfwijze bovengrens . . . 58 B.2.2. Niet-universele uitbreidingen . . . 59 B.3. Tabellen . . . 60 C. Code 63 C.1. Drie-dimensionale roosters . . . 63
C.1.1. Uitbreiden naar dimensie 3 . . . 63
C.1.2. Niet-gerepresenteerde getallen in Z/ZM . . . 65
C.2. Vier-dimensionale roosters . . . 65
C.2.1. Uitbreiden van diagonaalmatrices . . . 66
C.2.2. Uitbreiden van niet-diagonaalmatrices . . . 68
1. Inleiding
In 1770 heeft Lagrange de vier-kwadratenstelling van Lagrange bewezen. Deze stelling zegt dat elk natuurlijk getal geschreven kan worden als de som van vier kwadraten. Oftewel, de functie f = x2 + y2 + z2 + w2 representeert elk natuurlijk getal. Hiermee bedoelen we dat er voor elk natuurlijk getal N er x, y, z, w ∈ Z bestaan zodat x2+y2+z2+
w2 = N . We noemen f dan universeel. De functie f is niet de enige universele functie.
We bekijken alleen polynomen met gehele co¨effici¨enten. Wanneer is een dergelijke functie universeel? Conway en Schneeberger formuleerden in 1993 een stelling hiervoor. Deze stelling heet de 15-stelling en gaat als volgt:
Hoofdstelling. Laat f een positief-definiete kwadratische vorm met een geheeltallige matrix. Als f de natuurlijke getallen 1 tot en met 15 representeert, dan representeert f alle natuurlijke getallen.
Met een kwadratische vorm met een geheeltallige matrix bedoelen we dat f een poly-noom is zodat elke term graad 2 heeft, de co¨effici¨enten geheel zijn en de co¨effici¨enten van de kruistermen even zijn. Het is verrassend dat de getallen 1 tot en met 15 voldoende zijn. Het blijkt dat zelfs maar 8 van deze getallen voldoende zijn voor de stelling. Deze stelling is in 2000 bewezen door Bhargava. We zullen in dit verslag het bewijs van Bhargava behandelen. De berekeningen en de gebruikte code worden ook behandeld.
2. Definities
Voordat we de stelling en het bewijs gaan bekijken, zullen we eerst gaan kijken naar basisalgebra, kwadratische vormen en roosters. Deze basisalgebra staat in Appendix A. We zullen ook de link tussen de onderwerp bekijken. Dit is nodig om de stelling te kunnen bewijzen.
2.1. Kwadratische vormen en roosters
We zullen in deze sectie kijken naar specifieke definities. Zoals de titel doet vermoeden, gaan we kwadratische vormen en roosters defini¨eren. De 15-stelling gaat over kwadra-tische vormen. Het is dus logisch dat we kwadrakwadra-tische vormen defini¨eren. De rol van roosters is niet meteen duidelijk. Dit zal duidelijker worden in Stelling 2.18. We be-ginnen met de kwadratische vormen. Daarvoor hebben we eerst de volgende definitie nodig.
Definitie 2.1. Een homogeen polynoom is een polynoom, waarvoor geldt dat alle mo-nomen dezelfde graad hebben.
Een lineaire afbeelding is een voorbeeld van een homogeen polynoom. Elke lineaire afbeelding is een homogeen polynoom van graad 1. Andere voorbeelden van homogene polynomen zijn x2 of 5x3+ 6xy2 + xyz + πz3. We kunnen ook polynomen over andere
ringen bekijken. Niet elke polynoom is homogeen. Het polynoom 3x2+y is niet homogeen, omdat de eerste term graad 2 heeft en de tweede term heeft graad 1.
We hebben nu een definitie geven voor hetgene waarmee we willen werken.
Definitie 2.2. Een kwadratische vorm is een homogeen polynoom van graad 2 in een aan-tal variabelen met co¨effici¨enten in een commutatieve ring R. Oftewel, een kwadratische vorm definieert een functie f : Rn → R die te schrijven is als
f (x1, x2, . . . , xn) = n X i,j=1 i≥j cijxixj, cij ∈ R voor een n ∈ Z≥0.
Opmerking. In het vervolg zullen we niet overal de ring R noemen. Hier bedoelen we dan de ring Z. We mogen dan een polynoom ook een functie noemen.
We willen niet steeds een kwadratische vorm f over Z uitschrijven. We kunnen f ook compacter opschrijven. Dit doen we met behulp van matrices.
Lemma 2.3. Voor elke kwadratische vorm f over Z bestaat er een unieke symmetrische matrix Af zodat f (x1, x2, . . . , xn) = x1, x2, . . . , xn Af x1 x2 .. . xn
Bewijs. Als we beide kanten uitschrijven, dan volgt dat f (x1, x2, . . . , xm) = n X i,j=1 i≥j cijxixj x1, x2, . . . , xn Af x1 x2 .. . xn = n X i=1 aiixixi+ n X i,j=1, i>j (aij + aji)xixj.
We weten dat A symmetrisch is, dus aij = aji. Beide kanten zijn gelijk als aii = cii
en aij = 12cij voor alle i, j ∈ {1, 2, . . . , n} met i 6= j. Hieruit volgt dat er een unieke
symmetrische matrix Af bestaat die voldoet.
Opmerking. In het bewijs is te zien dat Af niet alleen maar gehele elementen hoeft te
bevatten. De matrix Af bevat wel alleen maar rationale getallen. Voor onze hoofdstelling
is het alleen maar interessant om te kijken naar kwadratische vormen met een geheeltallige matrix.
De volgende definities hebben we wel nodig, maar deze termen zullen we niet veel zien in het bewijs.
Definitie 2.4. De determinant van een kwadratische vorm is gelijk aan de determinant van de bijbehorende matrix.
Definitie 2.5. We noemen een kwadratische vorm singulier als de determinant gelijk is aan 0. Als dit niet het geval is, dan noemen we de vorm regulier.
Naast deze twee definities, defini¨eren we ook een paar interessante eigenschappen van een kwadratische vorm. Deze eigenschappen hebben we nodig voor de stelling en voor het bewijs.
Definitie 2.6. Een kwadratische vorm f representeert een natuurlijk getal n ∈ N als er een x ∈ Zm bestaat zodat f (x) = n.
We zijn op zoek naar kwadratische vormen die alle natuurlijke getallen representeren. Deze eigenschap geven we ook een naam.
Definitie 2.7. Een kwadratische vorm f noemen we universeel als f alle natuurlijke getallen representeert.
Het is duidelijk dat niet alle kwadratische vormen universeel zijn. De functie x2 is
duidelijk een kwadratische vorm. Deze kwadratische vorm representeert het getal twee niet. Dit is het kleinste natuurlijke getal die niet gerepresenteert wordt door x2. Deze eigenschap geven we ook een naam.
Definitie 2.8. Laat f een kwadratische vorm die niet universeel is. De truant van f is het kleinste natuurlijk getal die niet door f gerepresenteerd wordt.
De truant is erg belangrijk in ons bewijs. We willen alleen kijken naar de kwadratische vormen die interessant zijn voor onze hoofdstelling. Daarvoor hebben we kwadratische vormen nodig die voldoen aan de volgende definitie.
Definitie 2.9. Een kwadratische vorm heet positief-definiet als f (x) > 0 ∀x 6= 0. De functie x2 + y2 + z2 + w2 uit de vier-kwadratenstelling van Lagrange is duidelijk positief-definiet. De functie f = x2+ 2xy + y2 is daarentegen niet positief-definiet. Deze
functie f kunnen we schrijven als f = (x+y)2. We zien dat (x+y)2 ≥ 0 voor alle x, y ∈ Z.
Als we y = −x nemen en x 6= 0, dan volgt dat (x+y)2 = 0, terwijl (x, y) 6= (0, 0). We zien daarnaast dat we f op meerdere manieren kunnen schrijven, namelijk als x2 + 2xy + y2
en als z2 = (x + y)2. Het is handig als we maar ´e´en van deze twee vormen hoeven te
bekijken. Daarvoor gebruiken we de volgende definitie.
Definitie 2.10. Laat f en g twee kwadratische vormen. Laat Af en Ag de bijbehorende
symmetrische matrices. We noemen f en g equivalent over Z als er een M ∈ GLn(Z)
bestaat zodat
MTAfM = Ag.
Opmerking. In het vervolg zullen we ook gaan praten over het vermenigvuldigen van een matrix Af, die hoort bij een kwadratische vorm f , met een M ∈ GLn(Z). Hiermee
bedoelen we dat we de bewerking MTA
fM toepassen. Dit doen we ook voor het
ver-menigvuldigen van een matrix met een vector. Als we verver-menigvuldigen met een scalair, dan praten we niet over deze vermenigvuldiging.
Twee equivalente kwadratische vormen hebben een aantal gelijke eigenschappen. De determinant, universaliteit en de truan zijn een paar van deze eigenschappen. Dit zullen we wel eerst moeten bewijzen.
Lemma 2.11. Als twee kwadratische vormen equivalent zijn, dan hebben ze een gelijke determinant.
Bewijs. Laat f en g twee equivalente kwadratische vormen. We weten dat er dan een M ∈ GLn(Z) bestaat zodat MTAfM = Ag. We weten ook dat de determinant van
elementen uit GLn(Z) gelijk is aan ±1. Hieruit volgt het gewenste resultaat.
Propositie 2.12. Laat f en g twee kwadratische vormen. Als f en g equivalent zijn, dan representeren f en g dezelfde getallen. In het bijzonder geldt dan dat: f is universeel ⇐⇒ g is universeel en dat de truant van f gelijk is aan de truant van g.
Bewijs. Laat f en g twee equivalente kwadratische vormen. We weten dat er een ma-trix M bestaat zodat MTA
fM = Ag. Laat n ∈ N gerepresenteerd worden door f . Dan
bestaat er een x ∈ Zn zodat f (x) = n. Nu volgt dat
n = f (x) = xTAfx = xT(MT)−1MTAfM M−1x
= xT(M−1)TAgM−1x = (M−1x)TAg(M−1x) = g(M−1x).
Dit geldt voor alle n die gerepresenteerd worden door f . Dus g reperenteert alle getallen die gerepresenteerd worden door f . Met hetzelfde argument volgt dat f alle getallen representeert die ook door g gerepresenteerd worden. Hieruit volgt dat f universeel is ⇐⇒ g universeel is. Ook geldt de f en g gelijke truant hebben.
Met de equivalentierelatie voor kwadratische vormen kunnen we equivalentieklassen vinden. Het fijne van de bovenstaande eigenschappen is dat zij gelijk zijn binnen een equivalentieklasse. We gaan later uit elke equivalentieklasse een bepaalde representant nemen. We kijken dan naar universaliteit en de truant van deze representant. We hoeven ons dan niet druk te maken over de keuze van representant.
We hebben nu gepraat over kwadratische vormen. De titel van deze sectie doet al vermoeden dat we ook gaan kijken naar roosters.
Definitie 2.13. Laat b1, b2, . . . , bn een aantal lineair onafhankelijke punten in Rm,
zo-dat deze verzameling uit te breiden is tot een basis van Rm. Laat L
3 een verzameling
punten opgespannen door (b1, b2, . . . , bn) door lineaire combinaties te nemen met gehele
co¨effici¨enten. Dan noemen we L3 een rooster.
Opmerking. Uit de definitie volgt dat een rooster een vectorruimte over Z is. We kunnen dan ook praten over een rooster met een inproduct.
Net als bij vectorruimtes en deelruimtes, kunnen we nu ook praten over deelroosters. Definitie 2.14. Met een deelrooster bedoelen we een deelverzameling van een rooster. Deze deelverzameling moet zelf ook een rooster zijn.
Net als equivalente matrices en equivalente kwadratische vormen, bestaan er ook equi-valente roosters. We zullen eerst een concept geven. Deze definitie zullen we niet aan blijven houden, maar het geeft wel een idee van wat we willen hebben.
Definitie 2.15 (concept). Twee roosters L1 en L2 in Rn noemen we equivalent over R
als er een rotatie φ ∈ On(R) bestaat zodanig dat L1 = φL2.
We willen een bepaalde afbeelding vinden zodat we het ene rooster over kunnen voeren in het andere. Dit moet andersom ook mogelijk zijn. We hebben nu rotaties. Deze definitie past niet goed bij onze andere definities. Op deze manier wordt het lastiger om de link tussen kwadratische vormen en roosters te vinden. We gaan proberen om een definitie te geven met matrices. Dit werkt handiger in het bewijs en het is handiger voor de link tussen kwadratische vormen en roosters. We zullen gebruik maken van de volgende definitie.
Definitie 2.16. Laat V ∈ Rm een inproductruimte met inproduct h·, ·i en geordende
basis b = (b1, b2, . . . , bn). De gramiaan van b is een nxn-matrix A met elementen:
aij = hbi, bji
met i, j ∈ {1, 2, . . . , n}.
Opmerking. We zullen gaan praten over roosters met een bepaalde gramiaan. Hier noe-men we niet de gebruikte basis en we noenoe-men ook de specifieke ruimte niet. Dit is niet interessant voor ons. Het gaat om de bijbehorende gramiaan.
We gaan nu een goede definitie voor equivalente roosters geven. We maken hier gebruik van de gramiaan.
Definitie 2.17. Laat L1, L2 twee roosters zijn in Rm. Laat G1 en G2 de bijbehorende
gramianen. We noemen L1 en L2 equivalent over Z als er een M ∈ GLn(Z) bestaat zodat
MTG1M = G2.
Opmerking. De matrices M die we gebruiken in de bovenstaande definitie, zijn niets anders dan basistransformaties.
Opmerking. Als we twee roosters hebben die in een verschillende ruimte leven, dan kunnen we alsnog over equivalentie spreken. Laat L1 een rooster in Rn en L2 een rooster in Rm,
waarbij n ≤ m. We kunnen dan Rn inbedden in Rm. Met behulp van de bovenstaande
definitie kunnen we praten over equivalentie.
We hebben niet voor niets gezocht naar matrices voor kwadratische vormen en roosters. We gebruiken deze matrices voor het bewijs. De voornaamste reden is de link tussen kwadratische vormen en roosters. Deze link wordt duidelijk in de volgende stelling. Stelling 2.18. Er bestaat een bijectie tussen equivalentieklassen van positief-definiete kwadratische vormen met geheeltallige matrices en roosters met een geheeltallig inproduct. Bewijs. Laat F de ruimte van equivalentieklassen van positief-definiete kwadratische vor-men met geheeltallige matrices. Laat R de ruimte van equivalentieklassen van roosters met een geheeltallig inproduct. We defini¨eren de functie φ : F → R : [f ] 7→ [Af]. We
laten eerst zien dat φ goed gedefinieerd is.
Laat f een positief-definiete kwadratische vorm met een geheeltallige matrix. Laat Af
de bijbehorende matrix zijn. Het is duidelijk dat Af bilineair, symmetrisch en
positief-definiet is. Hieruit volgt dat Af een geheeltallige gramiaan is van een rooster. Uit
Definitie 2.10 en Definitie 2.17 volgt nu dat φ goed gedefinieerd is.
We moeten nu nog laten zien dat φ een bijectie is. Laat f en g twee positief-definiete kwadratische vormen met geheeltallige matrix, zodat φ(f ) equivalent is aan φ(g). Oftewel, er bestaat een nxn-matrix M zodat MTA
fM = Ag waarbij de elementen van M en M−1
geheeltallig zijn. Dus dan zijn f en g equivalent. Hieruit volgt dat φ injectief is. Laat nu r een basis op een rooster. Laat G de bijbehorende gramiaan. Dan geldt dat B(x, x) = xTGx =Pn
i,j=1gijxixj. Er geldt dan dat B(x, x) een positief-definiete kwadratische vorm
met een geheeltallige matrix is. Samen met Definitie 2.10 en Definitie 2.17 volgt nu dat φ surjectief is. Dus φ is een bijectie.
Opmerking. In het vervolg nemen we aan dat een kwadratische vorm positief-definiet is en een geheeltallige matrix heeft. Met een rooster bedoelen we een rooster met een geheeltallig inproduct. Daarnaast zullen we over roosters praten in plaats van de equiva-lentieklassen van roosters. We zullen ook niet meer praten over equivaequiva-lentieklassen van kwadratische vormen. We zullen dus de termen kwadratische vormen en roosters gebrui-ken. Als we van de ene term overgaan naar de andere, dan gebruiken we de bovenstaande equivalentierelatie. We zullen de notatie voor een kwadratische vorm ook gebruiken voor roosters. Dit doen we ook andersom. Dankzij de stelling zal dit niet verkeerd gaan.
We hebben nu een link tussen kwadratische vormen en roosters. Met behulp van Lemma 2.18 kunnen we nu praten over universele roosters en over de truant van een rooster. We maken gebruik van het feit de truant binnen een equivalentieklasse gelijk blijft.
Definitie 2.19. Een rooster met geheeltallig inproduct heet universeel als de kwadrati-sche vormen in de bijbehorende equivalentieklasse universeel zijn.
Als een rooster niet universeel is, dan is de truant van een rooster gelijk aan de truant van de kwadratische vormen in de equivalentieklasse die hoort bij het rooster.
Een belangrijk ingredi¨ent van het bewijs is het uitbreiden van roosters. Het idee is simple, maar we moeten dit wel nog defini¨eren.
Definitie 2.20. Laat L een niet-universeel rooster zijn. De uitbreiding van L is een rooster dat gegenereerd wordt door L en een vector x, zodat de uitbreiding een vector bevat met norm gelijk aan de truant van L.
We hebben nog een belangrijk ingredi¨ent niet gedefinieerd. Dit is het begrip Minkowski-gereduceerd. We geven twee definities voor dit begrip. ´E´en voor kwadratische vormen en de ander voor roosters. We beginnen bij de kwadratische vormen.
Definitie 2.21. Laat f een positief-definiete kwadratische vorm met een geheeltallige matrix A. We noemen A Minkowski-gereduceerd als er geldt dat
xTAx ≥ eTi Aei
met i ∈ {1, 2, . . . , n}, x1, x2, . . . , xn ∈ Z, xi 6= 0. De vector ei is de i-e basisvector.
Dan volgt nu de definitie voor roosters.
Definitie 2.22. Laat b = (b1, b2, . . . , bn) een geordende basis voor het rooster L met
een geheeltallig inproduct. We noemen deze basis Minkowski-gereduceerd als voor alle i ∈ {1, 2, . . . , n} en voor alle x1, x2, . . . xn ∈ Z met xi, xi+1, . . . , xnrelatief priem geldt dat
||x1b1+ x2b2, · · · + xnbn|| ≥ ||bi||.
We hebben nu twee verschillende definities voor Minkowski-gereduceerd. We laten zien dat deze definities equivalent zijn. Laat L een Minkowski-gereduceerd rooster met een geheeltallig inproduct. Dan geldt voor alle i ∈ {1, 2, . . . , n} en voor alle x1, x2, . . . , xn∈ Z
met xi, xi+1, . . . xn relatief priem dat
We gaan deze vergelijking omschrijven in termen van de gramiaan G. Dan krijgen we de vergelijking n X k,j=1 xkxjhbk, bji ≥ hbi, bii n X k,j=1 xkgk,jxj ≥ gi,i xTGx ≥ eTi Gei.
Uit Stelling 2.18 volgt nu dat de tweede definitie voldoet aan de eerste definitie. Op dezelfde manier kunnen we het omgekeerde bewijzen. De twee definities zijn equivalent aan elkaar.
In het bewijs van de 15-stelling zullen we veel gebruik maken van roosters met een Minkowski-gereduceerde gramiaan. We kunnen met Minkowski-gereduceerde matrices makkelijk rekenen. We zullen in deze paragraaf nog een definitie geven.
Definitie 2.23. We noemen een nxn-matrix A geordend als geldt dat ai,i ≤ aj,j voor
alle i ≤ j met i, j ∈ {1, 2, . . . , n}. We hebben ook een lexicografische ordening ≤ voor vectoren uit Rn of uit een deelruimte ervan. We schrijven f ≤ g als geldt dat f = g of
als er een m ≤ n bestaat zodat fm < gm en fi ≤ gi ∀i ≤ m.
Als we nu een Minkowski-gereduceerde kwadratische vorm hebben, dan geldt dat de bijbehorende matrix geordend is. Dit volgt direct uit de definitie van Minkowski-gereduceerd.
2.2. Geslacht
We hebben nog ´e´en ingredi¨ent nodig voor het bewijs. Dit gaat over het geslacht van een kwadratische form. De term ’geslacht’ is nu nog nietszeggend. Om dit te kunnen defini¨eren, hebben we eerst een definitie voor Zp nodig. Dit is de verzameling van de
p-adische getallen. We hebben de definitie nodig om te kijken naar equivalentie over Zp.
We gaan nu aan de slag om Zp te defini¨eren. We beginnen met bepaalde afbeeldingen.
Definitie 2.24. Laat F een lichaam. Een afbeelding | · | : F → F heet een valuatie als: 1. |a| ≥ 0 ∀a ∈ F .
2. |a| = 0 ⇐⇒ a = 0. 3. |ab| = |a||b| ∀a, b ∈ F . 4. |a + b| ≤ |a| + |b| ∀a, b ∈ F .
Een voorbeeld van een valuatie is de absolute waarde. De absolute waarde voldoet duidelijk aan de 4 voorwaarden. Een norm is een ander voorbeeld van een evaluatie. We gaan kijken naar een bepaalde valuatie over Q.
Definitie 2.25. Laat p een priemgetal. Dan kunnen we elke q ∈ Q6=0 schrijven als
q = pαa b
met α, a, b ∈ Z, p - a en p - b. De afbeelding | · |p : Q → Q : q 7→ p−α met |0|p = 0 noemen
we de p-adische valuatie.
Uit de schrijfwijze voor q volgt dat α uniek bepaald wordt door p en q. De afbeelding is goed gedefinieerd. We moeten nog wel laten zien dat de p-adische valuatie een valuatie is. Het bewijs, dat de p-adische valuatie aan de eerste drie eisen voldoet, is triviaal. We laten niet alleen zien dat |·| ook aan de vierde eis voldoet, maar ook dat de afbeelding aan een sterkere ongelijkheid voldoet. Laat p een priemgetal. Laat q, r ∈ Q6=0. We kunnen q
en r schrijven als q = pαa/b en r = pβc/d, waarbij a, b, c en d niet deelbaar zijn door p en α, β, a, b, c, d ∈ Z. Zonder verlies van algemeenheid geldt dat α ≤ β. Nu volgt dat
q + r = pα(ad + pβ−αbc)/cd = pα+γe/cd.
met ad + pβ−αbc = pγe, p - e en γ ≥ 0. We weten dat p - cd, dus dan volgt dat |a + b|p = p−α−γ ≤ p−α = |a|p = max(|a|p, |b|p) ≤ |a|p+ |b|p.
De p-adische valuatie is dus een valuatie. De afbeelding voldoet ook aan de ongelijkheid |a + b|p ≤ max(|a|p, |b|p).
Definitie 2.26. Een valuatie | · | over een lichaam F noemen we niet-archimedisch als, voor alle a, b ∈ F geldt dat
|a + b| ≤ max(|a|, |b|).
We zullen gaan praten over een volledig lichaam. Voordat we dit kunnen doen, geven we eerste nog een paar andere definities.
Definitie 2.27. Een rij (xn)n≥1 in een metrische ruimte M heet convergent als er een
x ∈ M bestaat, zodat geldt:
∀ > 0 ∃N ∈ N, zodanig dat ∀n > N geldt dat d(xn, x) < .
We noemen x dan het limiet van de rij.
Definitie 2.28. Een rij (xn)n≥1 in een metrische ruimte M heet Cauchy-convergent als
de rij aan het volgende voldoet:
∀ > 0 ∃N ∈ N, zodanig dat∀i, j > N geldt dat d(xi, xj) < .
De rij noemen we een Cauchy-rij.
Het is duidelijk dat elke convergente rij een Cauchy-rij is. Het omgekeerde is niet altijd waar. De vorige twee definities zijn nodig om het volgende te defini¨eren.
Niet elk lichaam is volledig. Als we een niet-volledig lichaam hebben, dan willen we een manier hebben om dit lichaam volledig te maken. Dit heet het completeren van een lichaam.
Definitie 2.30. Elk lichaam met een valuatie kunnen we inbedden in een volledig li-chaam. Dit volledige lichaam noemen we de completering van een lili-chaam.
We gaan straks rekenen over de completering van Q. Een voorbeeld van een comple-tering van Q is R. Het lichaam R is duidelijk volledig en bevat Q. Dan volgt dat R de completering is van Q ten opzichte van de absolute waarde. We kunnen de completering van Q vinden ten opzichte van bepaalde andere valuaties. Deze bepaalde andere valuaties zijn de p-adische valuaties.
Lemma 2.31. Er bestaat een lichaam Qp ⊃ Q en een niet-archemedische valuatie | · |p
op Qp die voldoet aan:
1. Op Q is | · |p gelijk aan de p-adische valuatie.
2. Het lichaam Qp is volledig ten opzichte van | · |p.
3. Het lichaam Qp is de afsluiting van Q ten opzichte van de topologie gedefinieerd
door | · |p.
Ook geldt dat Qp uniek is op isomorfisme na.
Het lemma komt uit [3]. Hier wordt het lemma ook bewezen. We zullen niet ons niet verder verdiepen in Qp, maar in een deelverzameling ervan.
Definitie 2.32. Laat p een priemgetal en laat q ∈ Qp met |q|p ≤ 1. Deze getallen q
vormen samen de p-adische gehele getallen Zp.
Naast de p-adische gehele getallen, defini¨eren we ook eenheden.
Definitie 2.33. Laat p een priemgetal en laat q ∈ Qp met |q|p = 1. Deze getallen q
vormen samen de p-adische eenheden Up.
Definitie 2.34. Laat p een priemgetal ongelijk aan -1. We noemen een kwadratische vorm f over Zp een eenheidsvorm als de determinant van f en p relatief priem zijn. Als
geldt dat p = −1, dan heet een kwadratische vorm f een eenheidsvorm als f positief-definiet is.
Opmerking. In de bovenstaande definitie wordt er gesproken over een priemgetal ongelijk aan -1. We zullen -1 behandelen als een priemgetal. Dit is handig voor onze berekeningen. Als we praten over priemgetallen, dan praten we dus ook over het priemgetal -1.
We kunnen kwadratische vormen over Zp bekijken. We kunnen dan ook over het
representeren van getallen over Zp praten.
Definitie 2.35. Laat f een kwadratische vorm. Een getal a wordt door f lokaal ge-representeerd over Zp als f a representeert over Zp. Een getal a wordt door f lokaal
We hebben nu een hoop termen zien langskomen, maar we hebben nog nergens de term ’geslacht’ gezien. We zullen dit defini¨eren aan de hand van kwadratische vormen.
Definitie 2.36. Twee kwadratische vormen zitten in hetzelfde geslacht als ze equivalent zijn over Zp voor alle priemgetallen p (inclusief p = −1).
We hebben nu wel een definitie voor het geslacht. We weten wel wat equivalent be-tekent, maar we willen een paar eisen om te bewijzen dat twee kwadratische vormen equivalent zijn over Zp. Hiervoor gebruiken we twee proposities uit [4]. Voordat we deze
geven, gaan we eerst een paar invarianten defini¨eren. We gebruiken hiervoor wel een andere propositie uit [4]
Propositie 2.37. Laat p een priemgetal ongelijk aan 2. Elke kwadratische vorm over Zp
is diagonaliseerbaar. Als p = 2, dan is elke kwadratische vorm te schrijven als de directe som van kwadratische vormen met matrices
qx ,qa qb qb qc
met q gelijk aan een macht van 2, a en c deelbaar door 2 en x, b en d = ac − b2 niet
deelbaar door 2.
Deze propositie komt uit [4]. Met deze propositie kunnen we elke kwadratische vorm f over Zp schrijven als
f = f1⊕ pfp⊕ p2fp2 ⊕ · · · ⊕ qfq⊕ · · · (2.1)
met fq een eenheidsvorm.
Definitie 2.38. De termen in vergelijking 2.1 heten Jordancomponenten. De vergelijking zelf heet de Jordandecompositie.
We gaan eerst kijken naar kwadratische vormen f over Zp met p 6= 2. We zullen twee
invarianten bekijken. We schrijven nq= dim(f ) en q =
det(f
q)
p
. Voor p = −1 laten we q = 1. De volgende propositie komt uit [4].
Propositie 2.39. Laat p 6= 2 een priemgetal. Twee kwadratische vormen zijn equivalent over Zp, dan en alleen dan als ze dezelfde invarianten nq en q hebben voor alle q gelijk
aan een macht van p.
Het bewijs staat ook in [4]. We willen een soortgelijke uitspraak vinden voor p = 2. We zullen kijken naar de invarianten nq = dim(fq) en
q =
1 als det(fq) een kwadratisch residu modulo 8is
−1 als det(fq) een kwadratisch non-residu modulo 8 is
0 als 8 | det(fq)
.
We gaan nog een derde invariant defini¨eren. Daarvoor hebben we eerst een andere definitie nodig.
Definitie 2.40. Laat p een priemgetal. We noemen een getal a een p-adisch antikwadraat als a te schrijven is als p2n+1u−
p (voor p 6= 2) of als 22n+1(±3 + 8k).
Nu defini¨eren we onze nieuwe invariant.
Definitie 2.41. De vreemdheid tq van een kwadratische vorm fq = diag(2αa, 2βb, . . . )
over Z2 met een gehele matrix is gelijk aan 4m + a + b + . . . . Hier is m gelijk aan het
aantal antikwadraten in de verzameling {2αa, 2βb, . . . }. Als de vreemdheid van fq gelijk
is aan nul, dan is fq van type-II. Anders is fq van type-I.
Uit [4] volgt de volgende uitspraak.
Propositie 2.42. Twee kwadratische vormen f en f0 zijn equivalent over Z2 alleen als
• fq en fq0 zijn van gelijke type voor alle q gelijk aan een macht van 2,
• nq = n0q voor alle q gelijk aan een macht van 2 en
• voor alle m ∈ Z met f2m van type-II geldt
X
q<2m
(tq− t0q) ≡ 4(min(a1, m) + min(a2, m) + . . . ) mod 8
met 2a1, 2a2, . . . zodat ai 6=
0 ai.
We kunnen nu controleren of twee kwadratische vormen in hetzelfde geslacht zitten. Dit doen we met het computerprogramma Magma [2]. Er is een algoritme binnen Magma beschikbaar om de equivalentieklassen te vinden die in het zelfde geslacht vinden. Stelling 2.43. Laat f een reguliere kwadratische vorm en laat a ∈ Z6=0. Als f het getal a
representeert over elke Zp, dan is er een f∗ in hetzelfde geslacht die a representeert over
Z.
Deze stelling komt uit [1]. Hier staat ook het bewijs voor deze stelling. Voordat we beginnen met het bewijs, geven we nog een definitie.
Definitie 2.44. We noemen een kwadratische vorm uniek in zijn geslacht als het geslacht uit ´e´en equivalentierelatie bestaat.
We gebruik dit begrip een aantal keer in het bewijs. Door middel van het computer-programma Magma controleren we of een kwadratische vorm uniek in zijn geslacht is. Als dit niet het geval is, dan geven we de kwadratische vormen die samen het geslacht vormen.
3. De 15-stelling
We zullen, ter herinnering, de 15-stelling noemen.
Hoofdstelling. Laat f een positief-definiete kwadratische vorm met een geheeltallige matrix. Als f de natuurlijke getallen 1 tot en met 15 representeert, dan representeert f alle natuurlijke getallen.
We zullen in dit hoofdstuk de stelling bewijzen.
3.1. Schets bewijs
De opbouw van het bewijs komt uit [1]. Het bewijs bestaat, globaal gezien, uit het uit-breiden van kwadratische vormen. We beginnnen bij de vorm 0. We willen weten tot welke dimensie we kunnen uitbreiden. Het aantal uitbreidingen kan snel oplopen. Om dit te beperken, maken we gebruik van Cauchy-Schwarz, het feit dat we alleen ge¨ınteresseerd zijn in positief-definiete uitbreidingen en de equivalentierelatie. Met de propositie van Cauchy-Schwarz kunnen we een bovengrens stellen voor de co¨effici¨enten van de kruister-men. Daarna kunnen we een aantal mogelijkheden wegstrepen, omdat deze de eigenschap positief-definiet niet hebben. Met behulp van de equivalentierelatie kunnen we dit aan-tal verder omlaag brengen. Het is niet nuttig om te kijken naar equivalente gramianen. Daarom kijken we, per equivalentierelatie, naar ´e´en representant. Deze representant is Minkowski-gereduceerd. Hiermee kunnen we gemakkelijker rekenen. Daarnaast verkleint deze het aantal uitbreidingen van deze gramiaan. We gaan in dimensie vier pas kijken naar universaliteit. Dit doen we door eerst te kijken naar drie-dimensionale deelmatrices. Deze deelmatrices representeren een groot aantal natuurlijke getallen. We kunnen een schrijfwijze vinden voor alle niet-gerepresenteerde getallen. Daarna gaan we weer terug naar de vier-dimensionale uitbreidingen. We bekijken eerst deelroosters. Deze deelroos-ters worden opgespannen door de drie-dimensionale deelroosdeelroos-ters die we bekeken hebben en een bepaalde vector. We kunnen dan namelijk, voor de meeste uitbreidingen, een bovengrens vinden. We gaan voor de andere gevallen ook op zoek naar een bovengrens. Dit doen we door een ander deelrooster te nemen. Deze bovengrens is voor de niet-gerepresenteerde getallen. De uitbreidingen representeren dan alle getallen boven deze grens. We hoeven dan, per deelrooster, te controleren of ze alle natuurlijke getallen tot deze grens representeren. We houden dan een paar niet-universele gramianen over. Deze gramianen breiden we uit. Dit levert veel uitbreidingen op. Gelukkig hoeven we deze uitbreidingen niet expliciet te vinden. Het is voldoende om alleen te spreken over de uitbreidingen. De niet-universele vier-dimensionale uitbreidingen representeren namelijk bijna alle natuurlijke getallen. We kunnen dan gemakkelijk laten zien dat elke uitbreiding universeel is. Daarna sluiten we het bewijs af met een paar opmerkingen.
3.2. Twee-dimensionale uitbreidingen
We gaan eerst naar uitbreidingen kijken. We beginnen met de uitbreiding van het 0-dimensionale rooster. Dit is het rooster dat gegenereerd wordt door de vector [1]. Deze matrix is duidelijk Minkowski-gereduceerd. De kwadratische vorm, die bij dit rooster hoort, is x2. De truant van deze vorm is 2. De gramiaan, die hoort bij de uitbreiding van
[1], is van de vorm
1 a a 2
.
We willen het aantal mogelijke uitbreidingen beperken. Dit doen we met de volgende propositie. Deze staat ook in Appendix A als Propositie A.12.
Propositie 3.1 (Cauchy-Schwarz). Laat R een inproductruimte. Voor alle x, y ∈ R geldt dat
|hx, yi|2 ≤ hx, xihy, yi.
Uit Cauchy-Schwarz volgt nu dat a2 ≤ 2. Dus a = 0, ±1. Voor a = 0 is het duidelijk
het rooster met gramiaan 1 0 0 2
Minkowski-gereduceerd is. Nu bekijken we het geval a = ±1. We gaan op zoek naar een equivalente matrix die Minkowski-gereduceerd is. Als we de gramiaan vermenigvuldigen met1 −a
0 1
, dan volgt dat de gramiaan equivalent is aan 1 0 −a 1 1 a a 2 1 −a 0 1 =1 0 0 2 − a2 =1 0 0 1 . De gramiaan I2 is Minkowski-gereduceerd.
3.3. Drie-dimensionale uitbreidingen
De truant van I2 is gelijk aan 3. De gramiaan, die hoort bij de uitbreiding van I2, is van
de vorm 1 0 a 0 1 b a b 3 .
Uit Cauchy-Schwarz volgt nu dat a2 ≤ 3 en b2 ≤ 3. Dus a = 0, ±1 en b = 0, ±1.
De truant van 1 0 0 2
is gelijk aan 5. De gramiaan, die hoort bij de uitbreiding van deze matrix, is van de vorm
1 0 a 0 2 b a b 5
Uit Cauchy-Schwarz volgt nu dat a2 ≤ 5 en b ≤ 10. Dus a = 0, ±1, ±2 en b = 0, ±1, ±2, ±3. We hebben nu alle drie-dimensionale uitbreidingen gevonden.
We bekijken alleen de positief-definiete uitbreidingen. Uit elke equivalentieklasse kiezen we een representant die Minkowski-gereduceerd is. Dit doen we met de Code C.1. We
zullen hier ook de methode behandelen om deze Minkowski-gereduceerde gramianen te vinden. We hoeven alleen maar te kijken naar uitbreidingen met niet-negatieve elementen. Dit komt door de volgende propositie
Propositie 3.2. Laat L een rooster, zodat de bijbehorende gramiaan een (n − 1)xn − 1-diagonaalmatrix is (met n ∈ Nneq2). Laat nu L0 = L ⊕ [x] een uitbreiding van L. Dan is
de bijbehorende gramiaan G equivalent aan de matrix H met hi,j = |gi,j| (i, j ∈ Nleqn).
Bewijs. De gramiaan van L is een diagonaalmatrix. Dan kunnen we de gramiaan G schrijven als G = g1,1 0 · · · 0 g1,n 0 g2,2 . .. ... g2,n .. . . .. ... 0 ... 0 · · · 0 gn−1,n−1 gn−1,n gn,1 gn,2 · · · gn,n−1 gn,n .
Laat nu B een diagonaalmatrix zijn. De diagonaalelementen van B bepalen we als volgt: als gi,n < 0, dan stellen we bi,i = −1 en anders stellen we bi,i = 1 (met i ∈ {1, 2, . . . n}).
Als we G met B vermenigvuldigen, dan krijgen we een matrix H. Voor de diagonaal-elementen ci,i geldt dat hi,i = (±)2 · gi,i = gi,i. De matrix G is positief-definiet. De
diagonaalelementen van G zijn dan strikt positief. Daaruit volgt dat de diagonaalele-menten van H ook strikt positief zijn. Voor de elediagonaalele-menten hi,j met i < j < n geldt dat
hi,j = ±1 · 0 · ±1 = 0. De matric G is symmetrisch, dus dan is H ook symmetrisch.
We hoeven dan alleen nog naar de elementen hi,n te kijken met i < n. We weten dat
gn,n > 0, dus dan geldt bn,n = 1. Hieruit volgt dat hi,n = gi,n als gi,n ≥ 0 en hi,n= −gi,n
als gi,n< 0. Hieruit volgt het gewenste resultaat.
Deze propositie zullen we vaker in het bewijs gebruiken. Als we uitbreidingen van dia-gonaalmatrices gaan bekijken, dan kijken we alleen naar uitbreidingen met niet-negatieve niet-diagonaalelementen.
Om de gewilde matrices te vinden, gaan we eerst elke gramiaan A vermenigvuldigen met een matrix B ∈ GL3(Z). Deze B is van de vorm
1 0 −b1 0 1 −b2 0 0 1 .
Als we A met B vermenigvuldigen, dan krijgen we 1 0 −b1 0 1 −b2 −b1 −b2 1 1 0 a 0 x b a b y 1 0 −b1 0 1 −b2 0 0 1 = 1 0 α 0 x β α β γ
met α = a − b1, β = b − b2x en γ = y − ab1− bb2− b1α − b2β. We gaan proberen om
de absolute waarde van de niet-diagonaalelementen van deze matrix zo klein mogelijk te maken. Het maakt niet uit of deze elementen negatief worden. We kunnen dan
Propositie 3.2 gebruiken. Voor α is dit makkelijk. Als we b1 = a nemen, dan is α gelijk
aan nul. Voor β volgt dat we b2 kunnen vinden zodat β gelijk is aan 0 of 1. We hebben
nu, voor elke uitbreiding, een b1 en b2 gevonden. Laat C = BTAB. Dan weten we dat
C symmetrisch is en maximaal twee niet-diagonaalelementen heeft ongelijk aan 0. Voor elke C die we gevonden hebben, voeren we de volgende transformatie uit. Als c3,3 kleiner
is dan c2,2, dan vermenigvuldigen we C met de matrix
T = 1 0 0 0 0 1 0 1 0 .
Op deze manier is de matrix geordend. Nadat we dit gedaan hebben, houden we 10 matrices over. Dit zijn de gramianen
1 0 0 0 1 1 0 1 2 , 1 0 0 0 1 0 0 0 1 , 1 0 0 0 1 0 0 0 2 , 1 0 0 0 1 0 0 0 3 , 1 0 0 0 2 0 0 0 2 , 1 0 0 0 2 0 0 0 3 , 1 0 0 0 2 0 0 0 4 , 1 0 0 0 2 0 0 0 5 , 1 0 0 0 2 1 0 1 4 , en 1 0 0 0 2 1 0 1 5 .
We willen weten welke van deze gramianen Minkowski-gereduceerd zijn. Hiervoor gebrui-ken we de volgende propositie
Propositie 3.3. Laat A een symmetrische geordende matrix zijn. Als A een diagonaal-matrix is, dan is A Minkowski-gereduceerd. Als A precies twee niet-diagonaalelementen, aij en aji, ongelijk aan nul heeft, dan geldt: de matrix A is Minkowski-gereduceerd, dan
en alleen dan als geldt 2|aij| ≤ min(aii, ajj).
Bewijs. Als A een diagonaalmatrix is, dan volgt het resultaat direct uit de eerste definitie van Minkowski-gereduceerd. Laat nu A een symmetrische matrix met precies twee niet-diagonaalelementen ongelijk aan 0 is. We bekijken de twee-dimensionale deelmatrix A0 die geen diagonaalmatrix is. We schrijven deze A0 als
x z z y
.
Zonder verlies van algemeenheid geldt dat z ≥ 0. De matrix is geordend. Dus dan weten we dat x ≤ y. We gaan kijken of er een equivalente matrix C is met c2,2 < y. We hoeven
niet te kijken of we een C kunnen vinden met c1,1 < x. Het eerste is namelijk voldoende.
We gaan A0 vermenigvuldigen met
B =1 a 0 b
.
Deze matrix B is een element van GLn(Z). Dan volgt dat b = ±1. Dan volgt dat
C =1 0 a ±1 x y y z 1 a 0 ±1 = x ax ± z ax ± z a2x ± 2az + y
Zonder verlies van algemeenheid mogen we c2,2 schrijven als c2,2= a2x − 2az + y en a > 0.
We bekijken eerst het geval 2|z| > x. Dan nemen a = ±1, zodat A equivalent is aan
x z − x z − x y − 2z + x
.
Dan geldt dat y − 2z + x < x. Nu concluderen we dat A0 niet Minkowski-gereduceerd is. Nu kijken we naar het geval 2|z| ≤ x. Dan volgt voor alle a ∈ Z dat 2az ≤ a2x. Dus dan volgt dat a2x − 2az + y ≥ y. Deze A0 is wel Minkowski-gereduceerd. Hieruit volgt het gewenste resultaat.
Uit de bovenstaande propositie volgt dat 9 van de 10 gramianen Minkowski-gereduceerd zijn. Er is een gramiaan die niet Minkowski-gereduceerd is, namelijk de gramiaan
1 0 0 0 1 1 0 1 2 .
Als we deze matrix vermenigvuldigen met de matrix 1 0 0 0 1 −1 0 0 1 ,
dan krijgen we de matrix I3. We houden dus 9 Minkowski-gereduceerde matrices over.
Deze 9 matrices hebben een verschillende determinant. Dat betekent dat deze 9 matrices inequivalent zijn. Dit volgt uit het feit dat matrices uit GLn(Z) een determinant gelijk
aan ±1 hebben.
Van deze 9 matrices berekenen we de truant. De truant van de diagonaalmatrices is gemakkelijk te bepalen. Als we deze matrices schrijven als kwadratische vormen, dan krijgen we drie termen. Dit zijn kwadraten. Als we een vector in deze vorm stoppen, dan krijgen we drie niet-negatieve termen. Op deze manier valt er gemakkelijk te contro-leren of een diagonaalmatrix een bepaald natuurlijk getal representeert. In het volgende voorbeeld zullen we voor een diagonaalmatrix de truant bepalen.
Voorbeeld 3.4. We bekijken de gramiaan
L3 = 1 0 0 0 2 0 0 0 2 .
We gaan op zoek naar de truant van L3. Deze matrix is een uitbreiding van
1 0 0 2
. Dit betekent dat L3 in ieder geval de getallen 1 tot en met 4 representeert. We gaan
nu een vector x zoeken zodat xTL3x = x21 + 2x22 + 2x32 gelijk is aan 5. Dit geldt voor
x1 = x2 = x3 = 1. Als we x1 = 2, x2 = 1 en x3 = 0 nemen, dan krijgen we het getal
6. We gaan nu het getal 7 proberen te representeren. We weten dat de termen 2x2 2 en
Dit kan alleen als x1 = ±1. We houden nu 6 over. Als we kijken naar de tweede term,
dan zien we dat 2x2
2 ≤ 6 ⇐⇒ |x2| ≤ 1. Dan volgt dat 2x22 = 0 of 2x22 = 2. Dit geldt
ook voor x3. We zien dan dat voor alle x2, x3 ∈ Z geldt dat x21+ 2x22+ 2x23 6= 7. Dus de
truant van L3 is gelijk aan 7.
Het vinden van de truant voor de andere diagonaalmatrices gaat op gelijke wijze. We moeten nog de truants van de andere twee matrices vinden. De twee matrices zijn uitbreidingen van1 0
0 2
, dus ze representeren de getallen 1 tot en met 4. Voor de getallen 5 en 6 vermenigvuldigen we de matrices met een vector x, waarbij x2 = 0 of x3 = 0. Dan
houden we een vorm over zonder kruistermen. Het lukt dan niet om het getal 7 te maken. Dit volgt uit dezelfde methode als in het voorbeeld. We kunnen alleen nog kijken naar de vectoren x met x2 6= 0 en x3 6= 0. We kijken eerst naar |x2| = |x3| = 1. Dan krijgen
we de getallen x21+ 4, x21+ 5 of de som van x21 met een getal groter dan 7. Hiermee volgt niet de representatie 7. Als we nu x2 of x3 vermenigvuldigen met een α ∈ Z met |α| > 1,
dan krijgen we alleen maar getallen groter dan 7. De factoren x2
2 en x23 groeien sneller
dan de kruisterm, dus er is geen mogelijkheid tot het verkrijgen van 7. Dus de truant van deze matrices is gelijk aan 7. De truants van deze 9 matrices staan in Tabel B.1. We gaan onze kwadratische vormen opnieuw uitbreiden.
3.4. Vier-dimensionale uitbreidingen
Het uitbreiden van drie-dimensionale vormen gaat hetzelfde als met het uitbreiden van twee-dimensionale vormen. We hebben nu een extra variabele. De uitbreidingen moet voldoen aan Cauchy-Schwarz en moet positief definiet zijn. We zijn nu weer op zoek naar de equivalentieklassen. Uit elke equivalentieklasse willen we een representant die Minkowski-gereduceerd is. Dit gebeurt in Code C.3 en Code C.4. We zullen in deze sectie op zoek gaan naar de equivalentieklassen en proberen voor iedere klasse een Minkowski-gereduceerde gramiaan te vinden. We beginnen bij de diagonaalmatrices.
3.4.1. Uitbreidingen van diagonaalmatrices
Bij het uitbreiden van een drie-dimensionale matrix hebben we drie variabalen. Deze moeten voldoen aan Cauchy-Schwarz. Net als in het geval van drie-dimensionale uitbrei-dingen, hoeven we alleen te kijken naar matrices met niet-negatieve elementen. Hiervoor gebruiken we hetzelfde argument als in het drie-dimensionale geval. We houden nu uit-breidingen over van de vorm
A = 1 0 0 a 0 x 0 b 0 0 y c a b c z .
We gaan A vermenigvuldigen met een matrix B ∈ GL4(Z). Deze B is van de vorm 1 0 0 −b1 0 1 0 −b2 0 0 1 −b3 0 0 0 1 .
Als we A met B vermenigvuldigen, dan volgt dat 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 −b1 −b2 −b3 1 1 0 0 a 0 x 0 b 0 0 y c a b c z 1 0 0 −b1 0 1 0 −b2 0 0 1 −b3 0 0 0 1 = 1 0 0 α 0 x 0 β 0 0 y γ α β γ δ .
Het product noemen we C. Hierbij geldt dat α = a − b1, β = b − xb2, γ = c − yb3 en
δ = z − ab1− bb2− cb3− αb1− βb2− γb3. We willen dat δ zo klein mogelijk is. We weten
dat δ > 0. Dit komt doordat A positief-definiet is.
We gaan eerst proberen om de absolute waarde van elk niet-diagnonaalelement zo klein mogelijk te maken. Voor de eerste vergelijking is dit makkelijk. Hiervoor nemen we b1 = a. Dan geldt dat α = 0. Daarnaast nemen b2 = db/xc en b3 = dc/yc. Op
deze manier is de absolute waarde van elk niet-diagonaalelement zo klein mogelijk. Uit hetzelfde argument als eerder gegeven werd, volgt dat C equivalent is aan
C0 = 1 0 0 0 0 x 0 |β| 0 0 y |γ| 0 |β| |γ| δ .
Nu kunnen we de diagonaal van C0 ordenen. We houden nu 192 matrices over. Helaas zijn niet alle matrices Minkowski-gereduceerd. Een aantal matrices hebben een niet-diagaonaalelement c0i,j die gelijk is aan c0i,ien zijn de elementen c0i,k gelijk aan nul (hiervoor geldt i < j en i 6= k 6= j). Deze matrices kunnen we vermenigvuldigen met een matrix B ∈ GL4(Z). Deze B is gelijk aan I4 met bi,j = −1. Nadat we deze vermenigvuldiging
hebben uitgevoerd en de diagonalen van de nieuwe matrices geordend hebben, houden we 183 matrices over. Van 6 matrices kunnen we nog laten zien dat deze niet Minkowski-gereduceerd zijn. Voor deze 6 matrices C geldt namelijk dat 2c3,4 >= c3,3, c2,2 = c2,3
of c2,2 = c2,4. We hebben nu 177 gramianen over. We willen weten of deze gramianen
Minkowski-gereduceerd zijn. Voordat we dit doen, bewijzen we eerst twee proposities. Propositie 3.5. Laat A een symmetrische geordende matrix van de vorm
x 0 a 0 y b a b z
Bewijs. Zonder verlies van algemeenheid geldt dat a ≥ 0 en b ≥ 0. Het bewijs van deze propositie gaat hetzelfde als het bewijs van Propositie 3.3. We gaan A vermenigvuldigen met een matrix B ∈ GL3(Z). Dit product noemen we C. Uit hetzelfde argument als in
het bewijs van Propositie 3.3, volgt dat B van de volgende vorm is: 1 0 −b1 0 1 −b2 0 0 ±1 .
Zonder verlies van algemeenheid laten we b3,3 gelijk aan 1. Nu volgt dat
C = 1 0 0 0 1 0 −b1 −b2 1 x 0 a 0 y b a b z 1 0 −b1 0 1 −b2 0 0 1 = x 0 α 0 y β α β γ
met α = a − b1x, β = b − b2y en γ = z − b1a − b2b − b1α − b2β. Als we γ uitschrijven,
dan krijgen we γ = z + b2
1x − 2b1a + b22y − 2b2b. We weten dat 2a ≤ x en 2b ≤ y,
dus dan volgt dat 2b1a ≤ b21x en 2b2b ≤ b22b voor alle b1, b2 ∈ Z. Hieruit volgt dat
γ = z + b21x − 2b1a + b22y − 2b2b ≥ z.
Propositie 3.6. Laat A een symmetrische geordende matrix van ´e´en van de volgende twee vormen: x 1 a 1 y 0 a 0 z , x 1 0 1 y b 0 a z .
met x > 1. Als geldt dat 2|a| ≤ x of 2|b| ≤ y, dan is A Minkowski-gereduceerd.
Bewijs. Het bewijs gaat hetzelfde als in de vorige propositie. Zonder verlies van algemeen-heid geldt dat a ≥ 0 en b ≥ 0. We gaan A vermenigvuldigen met een matrix B ∈ GL3(Z).
Dit product noemen we C. We kunnen nu weer B schrijven als 1 0 −b1 0 1 −b2 0 0 ±1 .
Zonder verlies van algemeenheid laten we b3,3 gelijk aan 1. Nu volgt dat
C = 1 0 −b1 0 1 −b2 −b1 −b2 1 A 1 0 −b1 0 1 −b2 0 0 1 = x 1 α 1 y β α β γ .
We hebben in de propositie twee gevallen genoemd. Als we A voldoet aan het eerste geval, dan volgt dat α = a − b1x − b2, β = −b1− b2y en γ = z − b1a − b1α − b2β. Hieruit
volgt dat γ = z + b2
1x + 2b1b2 + b22y − 2b1a. Als A voldoet aan het tweede geval, dan
volgt dat α = −b1x − b2, β = b − b1− b2y en γ = z − b2b − b1α − b2β. Hieruit volgt dat
γ = z + b2
De vergelijkingen voor γ lijken erg op elkaar. Daarom gaan we alleen het eerste geval behandelen. Het tweede geval gaat hetzelfde. We kunnen, in het eerste geval, γ schrijven als γ = z + b22(y − 1) + (b1 + b2)2 + b1(b1(x − 1) − 2a). We willen weten of er b1, b2 ∈ Z
bestaan zodat γ < z. De enige term, in de vergelijking van γ, die negatief zou kunnen worden is b1(b1(x − 1) − 2a), want y > 1. We gaan eerst kijken wanneer b1(x − 1) − 2a
negatief is. Deze term is negatief als b1 <
2a x − 1. We weten dat 2|a| ≤ x. Dan volgt dat 2a
x−1 ≤ x
x−1. We weten dat b1 ∈ Z, dus b1 ≤ 1. Als
we b1 ∈ Z6=1 nemen, dan geldt b1(b1(x − 1) − 2a) ≥ 0. We laten nu b1 = 1. Dan volgt
voor alle b2 ∈ Z dat
γ = z + b22(y − 1) + (b2+ 1)2+ (x − 1) − 2a ≥ z + b22(y − 1) + (b2+ 1)2− 1 ≥ z.
Uit Propositie 3.3 en de twee bovenstaande proposities volgt nu dat de 177 gramianen Minkowski-gereduceerd zijn. De twee bovenstaande proposities gelden weliswaar alleen voor drie-dimensionale matrices, maar we kunnen alle uitbreidingen schrijven als 1 ⊕ L3
en de proposities toepassen op L3. Daaruit volgt alsnog het gewenste resultaat.
3.4.2. Uitbreidingen van niet-diagonaalmatrices
We moeten nog twee drie-dimensionale roosters uitbreiden. De gramianen die bij deze matrices horen, zijn
1 0 0 0 2 1 0 1 4 en 1 0 0 0 2 1 0 1 5 .
Bij het uitbreiden hebben we drie variabelen. Deze variabelen moeten voldoen aan Cauchy-Schwarz. We kunnen nu niet alleen maar kijken naar matrices met niet-negatieve elementen. We kunnen wel eisen dat twee van de drie variabelen niet-negatief zijn. Dit doen we als volgt: we beginnen met een uitbreiding L4. De gramiaan is dan te schrijven
als: 1 0 0 a 0 2 1 b 0 1 x c a b c 7 .
We noteren sign(x) als het teken van een getal x. We vermenigvuldigen L4 met de matrix
B = α 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 β
met α = sign(a)sign(c) en β = sign(c). Als we L4 vermenigvuldigen met B, dan krijgen we de matrix 1 0 0 |a| 0 2 1 ±|b| 0 1 x |c| |a| ±|b| |c| 7 .
Het teken van b in de matrix hangt af van het teken van c. Dit is namelijk het teken van c vermenigvuldigt met het teken van b.
We gaan dus kijken naar roosters met gramianen A met alleen maar niet-negatieve elementen, behalve de elementen a2,4 en a4,2. Deze twee elementen mogen we negatief
zijn. We gaan deze gramiaan vermenigvuldigen met een matrix B, die van de volgende vorm is: 1 0 0 −b1 0 1 0 −b2 0 0 1 −b3 0 0 0 1 .
Als we deze vermenigvuldiging uitvoeren, dan krijgen we de matrix
C = 1 0 0 α 0 2 1 β 0 1 x γ α β γ δ
met α = a−b1, β = b−2b2−b3, γ = c−b2−xb3en δ = y −ab1−bb2−cb3−αb1−βb2−γb3.
We willen dat δ zo klein mogelijk wordt. Doordat A positief-definiet is, geldt dat δ > 0. We gaan eerst proberen om de absolute waarde van de diagonaalelementen te verklei-nen. Als we b1 = a nemen, dan volgt dat α = 0. Verder kiezen we b2 = bb/2c. We nemen
b3 zodanig dat 0 ≤ c − b2− b3 < x en we voeren de vermenigvuldigen van A en B uit. We
gaan proberen om elke gramiaan Minkowski-gereduceerd te maken. Als we een gramiaan vinden die gelijk is aan een uitbreiding van een drie-dimensionale diagonaalmatrix, dan weten we dat deze gramiaan Minkowski-gereduceerd is. We hebben nu 93 gramianen waarvan we nog niet weten of ze Minkowski-gereduceerd zijn. Van een aantal gramianen kunnen we de elementen niet-negatief maken door ze met een diagonaalmatrix B te ver-menigvuldigen. Deze B heeft op de diagonaal de elementen −1 en 1. Voor een aantal gramianen geldt dat 2ai,j > ai,i met i < j. Deze zijn niet-Minkowski-gereduceerd. In
Conde C.4 gaan we deze gramianen vermenigvuldigen met een nieuwe B zodat 2ai,j ≤ ai,i
voor alle i < j. we zullen ook zorgen dat de matrices geordend zijn. We houden nu 30 gevallen over. Voor een paar gevallen geldt dat niet-diagonaalelementen a2,3, a2,4 en a3,4
gelijk zijn aan 1. Deze gramiaan A gaan we vermenigvuldigen met de matrix 1 0 0 0 0 −1 0 −1 0 0 −1 0 0 0 0 1 .
Dan krijgen we de matrix a1,1 0 0 0 0 a2,2 1 a2,2− 1 0 1 a3,3 0 0 a2,2− 1 0 a4,4+ a2,2− 2 .
Met deze gramiaan gaan we verder werken. De gramianen zijn uitbreidingen van de gramiaan 1 0 0 0 2 1 0 1 x
met x = 4 of x = 5. Dit betekent dat a2,2 ≤ 2. Dus dan geldt dat a4,4 + a2,2 − 2 ≤
a4,4. We voeren in Code C.4 alle vermenigvuldigingen uit tussen een gramiaan A en een
matrix B. Tussendoor ordenen we de gramianen. Als A een niet-Minkowski-gereduceerd twee-dimenionaal deelrooster bevat, dan kunnen we een vermenigvulding uitvoeren tussen A en een matrix B zodat elk twee-dimensionaal deelrooster MInkowski-gereduceerd is. Daarnaast gaan we nog ´e´en geval behandelen. De gramiaan is te schrijven als
1 0 0 0 0 2 1 1 0 1 4 2 0 1 2 5 .
Als we deze matrix vermenigvuldigen met 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 −1 ,
dan krijgen we de matrix
1 0 0 0 0 2 1 0 0 1 4 2 0 0 2 5 .
Beide matrices hebben een gelijke diagonaal. Uit Propositie 3.6 volgt dat de tweede matrix gereduceerd is. Dit betekent dat de eerste matrix ook Minkowski-gereduceerd is. Een equivalentieklasse kan dus meer dan ´e´en Minkowski-gereduceerde matrix bevatten. Dit is niet erg. Het gaat erom dat we uit elke equivalentieklasse een Minkowski-gereduceerde matrix nemen.
We houden nu 30 gramianen over die niet voorkomen in de lijst met uitbreidingen van diagonaalmatrices. Van 27 van deze gramianen kunnen we, met behulp van Propositie 3.3, Propositie 3.5 en Propositie 3.6, laten zien dat ze Minkowski-gereduceerd zijn. We houden
nu drie gramianen over. Dit zijn de gramianen 1 0 0 0 0 2 1 1 0 1 5 2 0 1 2 5 , 1 0 0 0 0 2 1 1 0 1 5 2 0 1 2 6 , en 1 0 0 0 0 2 1 1 0 1 5 2 0 1 2 7 .
We gaan laten zien dat de drie gramianen Minkowski-gereduceerd zijn. De drie gramianen lijken erg op elkaar. We gaan daarom kijken naar de gramiaan
L4 = 1 0 0 0 0 2 1 1 0 1 5 2 0 1 2 5 + α
met α ∈ {0, 1, 2}. We zien dat L4 een Minkowski-gereduceerde deelrooster bevat, namelijk
het rooster met gramiaan
L3 = 1 0 0 0 2 1 0 1 5 .
Om te laten zien dat L4 Minkowski-gereduceerd is, gaan we laten zien dat er geen vector
v = (x, y, z, w)T bestaat, zodat vTL
4v < 5 + α en w 6= 0. Om dit te laten zien, gaan we
(tevergeefs) op zoek naar een vector die voldoet. Als x 6= 0, dan volgt dat vTL4v > v0TL4v0
met v0 = (0, y, z, w)T. We nemen x = 0. Als we de vermenigvuldiging van L
4 met v
uitschrijven, dan krijgen we
vTL4v = 2y2+ 2yz + 5z2+ 2yw + 4zw + (5 + α)w2
= (y + z)2+ (y + w)2+ 4z2+ 4zw + (4 + α)w2. (3.1) We willen dat dit kleiner is dan 5 + α met w 6= 0. Als er y, z, w ∈ Z bestaat die hieraan voldoen, dan geldt dat 4z2+ 4zw + (4 + α)w2 ≤ 4 + α. We gaan eerst op zoek naar z en w die aan deze eis voldoen. Daarvoor kijken we naar de gramiaan
4 2 2 4 + α
.
Uit Propositie 3.3 volgt dat deze gramiaan Minkowski-gereduceerd is. Dan volgt dat z w4 2 2 4 + α z w ≥ 4 + α
voor alle z, w ∈ Z met w 6= 0. Het is snel in te zien dat dit een gelijkheid is als (z, w) ∈ {(−1, 1), (0, 1), (1, −1)}. We gaan nu, met deze kennis, kijken naar vergelijking (3.1). We willen dat vTL
4v < 5 + α met w 6= 0. We weten dat 4z2 + 4zw + (4 + α)w2 ≥ 4 + α.
voldoen. Nu willen we dat (y + z)2 + (y + w)2 = 0. Als we dit uitschrijven voor onze
mogelijkheden, dan krijgen we
(y − 1)2+ (y + 1)2 = 2y2+ 2 = 0, (y + 1)2+ (y − 1)2 = 2y2+ 2 = 0, of
y2+ (y + 1)2 = 0.
Uit de eerste vergelijking volgt dat y2 = −1. Dit is niet mogelijk voor y ∈ Z. Voor de tweede gelijkheid geldt hetzelfde. We weten dat een kwadraat van een getal in Z altijd groter dan nul is. Dan volgt uit de derde vergelijking dat x2 = 0 en (x + 1)2 = 0. Dit is
ook niet mogelijk. Hieruit volgt dat L4 Minkowski-gereduceerd is. Dit is niet afhankelijk
van α. Dus dan zijn de drie overgebleven gramianen ook Minkowski-gereduceerd.
3.4.3. Equivalentieklassen
We hebben nu 207 gramianen die Minkowski-gereduceerd zijn. We hebben laten zien dat alle vier-dimensionale uitbreidingen equivalent zijn aan deze 207 gramianen. We hebben nog niet laten zien dat deze gramianen inequivalent aan elkaar zijn. Met twee voorwaar-den kunnen we, voor bijna alle gramianen, gemakkelijk laten zien dat ze inequivalent zijn aan de andere uitbreidingen. De eerste voorwaarde is dat de diagonalen van twee equi-valente Minkowski-gereduceerde gramianen gelijk aan elkaar moeten zijn. Dit volgt uit de definitie van Minkowski-gereduceerd. De tweede voorwaarde is dat twee equivalente Minkowski-gereduceerde gramianen een gelijke determinant moeten hebben. Dit volgt uit de definitie van equivalente matrices. Een matrix in GLn(Z) heeft determinant ±1.
We gaan op zoek naar matrices met een gelijke diagonaal en een gelijke determinant. Uit Tabel B.2 volgt dat er vijf tweetallen zijn die aan deze twee voorwaarden voldoen. Dit zijn de volgende tweetallen:
1 0 0 0 0 2 1 1 0 1 4 0 0 1 0 4 en 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 4 2 0 0 2 4 , 1 0 0 0 0 2 1 0 0 1 4 1 0 0 1 6 en 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 4 2 0 0 2 6 , 1 0 0 0 0 2 1 0 0 1 4 0 0 0 0 6 en 1 0 0 0 0 2 0 1 0 0 4 1 0 1 1 6 , 1 0 0 0 0 2 1 0 0 1 5 1 0 0 1 6 en 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 5 2 0 0 2 6 , en 1 0 0 0 0 2 1 0 0 1 5 0 0 0 0 7 en 1 0 0 0 0 2 0 1 0 0 5 1 0 1 1 7 .
We gaan kijken welke tweetallen equivalent zijn. Als twee gramianen equivalent zijn, dan moet er een B ∈ GL4(Z) bestaan, zodat als we de ene gramiaan met deze B
eerste tweetal. We bekijken de tweede gramiaan van dit tweetal: L = 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 4 2 0 0 2 4 .
We willen deze gramiaan met een matrix B ∈ GL4(Z) vermenigvuldigen, zodat de
diago-naal gelijk blijft. We gaan de mogelijke matrices B zoeken. Dit doen we met behulp van vectoren. We beginnen met L1,1. We willen, na het vermenigvuldigen, op deze positie
nog steeds het getal 1 hebben. Dit betekent dat de eerste kolom van B norm 1 moet hebben. Dit geldt alleen voor de vector (1, 0, 0, 0)T. Dus moet de eerste kolom van B gelijk zijn aan deze vector. We doen hetzelfde voor de tweede kolom. Deze kolom moet norm √2 hebben. Dit geldt alleen voor de vector (0, 1, 0, 0)T. De tweede kolom moet
gelijk zijn aan deze vector. Als we hetzelfde doen voor de derde kolom, dan vinden we de vectoren (2, 0, 0, 0)T, (0, 0, 1, 0)T en (0, 0, 0, 1)T. Het inproduct tussen een van deze
vectoren en de tweede kolom is gelijk aan 0. Hieruit volgt dat we geen basistransformatie kunnen vinden zodat L equivalent is aan de gramiaan
1 0 0 0 0 2 1 1 0 1 4 0 0 1 0 4 .
Bij de andere gevallen kunnen we dit ook gemakkelijker laten zien. De andere gevallen hebben een deelmatrix gelijk aan ´e´en van de negen drie-dimensionale uitbreidingen. Deze deelmatrices zijn inequivalent aan elkaar. Elk tweetal heeft een verschillend paar deel-matrices. Daarnaast zijn de matrices Minkowski-gereduceerd. Dit betekent dat we geen matrix B ∈ GL4(Z) kunnen vinden zodat de vermenigvuldiging, van de ene gramiaan van
het paar met B, dezelfde drie-dimensionale deeluitbreiding heeft als de andere matrix. Beide matrices kunnen dan niet equivalent zijn aan elkaar.
3.5. Niet-gerepresenteerde getallen
We hebben nu 207 inequivalente Minkowski-gereduceerde uitbreidingen. We laten nu een methode zien waarmee we een bovengrens vinden voor een aantal van deze roosters. Voor deze roosters hoeven we dan alleen nog te controleren dat ze alle natuurlijke getallen tot deze bovengrens representeren. Door een- of tweemaal een variant van deze methode toe te passen, kunnen we dit ook voor de overige roosters doen.
3.5.1. Methode
De methode gaat als volgt. We nemen een rooster L4. We bekijken daarvan een
Minkowski-gereduceerde matrices zijn er 8 uniek in hun geslacht. Het rooster wat over-blijft is niet uniek in zijn geslacht. Dit is het rooster met de gramiaan
1 0 0 0 2 1 0 1 4 .
We bekijken eerst de roosters die wel uniek in hun geslacht zijn. We kunnen de volgende dingen toepassen op de roosters die wel uniek zijn in hun geslacht. Uit Stelling 2.43 volgt dan dat als f alle natuurlijke getallen representeert die f lokaal representeert. We bekijken de getallen die L3 niet representeert. Door middel van voorbeelden proberen we
de methode duidelijk te maken. Voordat we dit doen geven we eerst nog een definitie en een lemma. Dit lemma is nodig voor onze methode.
Definitie 3.7. Laat f een kwadratische vorm zijn in n variabelen. Laat dan A =
∂2f
∂xi∂xj
met i, j ∈ {1, 2, . . . , n}. We defini¨eren het niveau van f als het kleinste getal N ∈ N zodat N A−1 een matrix is met alle elementen geheel en de elementen op de diagonaal even.
Het lijkt erop dat we hier een compleet nieuwe A defini¨eren, maar dit is niet zo. Deze A is gelijk aan 2Af. Deze definitie hebben we nodig voor het volgende lemma. In dit lemma
schrijven we n als het aantal variabelen waarin de kwadratische vorm f beschreven is en N als het niveau van f .
Lemma 3.8. Laat f een kwadratische vorm zijn. Stel n ≥ 3 en p - N . Dan geldt voor alle m ∈ N dat m door f lokaal gerepresenteerd wordt in p. Stel dat n ≥ 3 en p | N . Dan geldt dat m ∈ N door f lokaal gerepresenteerd wordt over Zp dan en alleen dan als
elk quoti¨ent van m en een kwadraat door f gerepresenteerd wordt modulo pordp(4N )+2.
Het bewijs van het lemma staat in [6].
We laten, door middel van een voorbeeld, zien hoe de methode werkt. We bekijken het rooster waar de volgende gramiaan bij hoort:
L3 = 1 0 0 0 2 0 0 0 2 .
De kwadratische vorm f , die bij dit rooster hoort, is uniek in zijn geslacht. We gaan eerst het niveau N van f berekenen. De matrix A die we hiervoor gebruiken is de matrix
A = 2 0 0 0 4 0 0 0 4 .
Dan volgt dat A−1 = 1/2 0 0 0 1/4 0 0 0 1/4 .
Dus dan krijgen we N = 8. Uit Lemma 3.8 volgt dat we alleen naar de getallen mo-dulo 2ord2(32)+2 = 128 hoeven te kijken die niet deelbaar zijn door een kwadraat. Uit
Code C.2 krijgen we een lijst van deze getallen. Deze getallen, die L3niet lokaal
represen-teert, zijn congruent aan 7 mod 8. De getallen x die niet gerepresenteerd worden door f zijn te schrijven als x = a2b met a ∈ Z en b ≡ 7 mod 8. We kunnen a dan weer schrijven als a = 2nq met q ∈ Z
≥0 oneven en n ∈ Z≥0. Nu volgt dat x = a2b = 22nq2b = 22n(7 + 8k)
met k ∈ Z≥0, want een oneven getal in het kwadraat is congruent aan 1 mod 8. Dus de
kwadratische vorm f (x, y, z) = x2 + 2y2 + z2 representeert alle natuurlijke getallen die niet van de vorm 22n(7 + 8k) zijn met n, k ∈ Z
≥0.
In paragraaf B.1.1 passen we deze methode toe op een aantal andere roosters. Deze methode werkt voor 8 van de 9 drie-dimensionale Minkowski-gereduceerde uitbreidings-matrices. Er is ´e´en uitzondering. Dit is de gramiaan
1 0 0 0 2 1 0 1 4 .
Voor deze matrix moeten we een andere methode gebruiken.
3.5.2. De uitzondering
Hier behandelen we het rooster met de bijbehorende gramiaan
L3 = 1 0 0 0 2 1 0 1 4 .
Deze gramiaan is niet uniek in zijn geslacht. We maken hiervoor weer gebruik van het computerprogramma Magma [2]. Het geslacht van L3 bestaat uit twee
equivalentieklas-sen. We nemen de representanten
L03 = 1 0 0 0 1 0 0 0 7 en L3 = 1 0 0 0 2 1 0 1 4 .
We gebruiken [5] om de niet-gerepresenteerde getallen te vinden. We beginnen met L03. Deze gramiaan heeft niveau 14. Uit Lemma 3.8 volgt dat we alleen naar de getallen modulo 25 = 32 en de getallen modulo 73 = 343 hoeven te kijken die niet deelbaar zijn door een kwadraat. We kijken eerst naar de getallen modulo 32 die niet deelbaar zijn door een kwadraat. Uit Code C.2 volgt dat L03 alle getallen, die niet deelbaar zijn door een kwadraat, lokaal representeert over Zp. Nu kijken we naar de getallen modulo 343
die niet lokaal gerepresenteert worden door L03, zijn te schrijven als 7(3 + 7k), 7(5 + 7k) en 7(6 + 7k). We kunnen deze methode ook toepassen op L3. Het niveau van L3 is
gelijk aan 7. Uit Lemma 3.8 volgt dat we alleen naar de getallen modulo 73 = 343. We gaan weer op zoek naar de getallen die niet lokaal gerepresenteerd worden door L3. We
kijken in het bijzonder naar getallen van de vorm 7(3 + 7k), 7(5 + 7k) en 7(6 + 7k). Als we Code C.2 toepassen, dan zien we dat L3 niet alle getallen van de vorm 7(3 + 7k),
7(5 + 7k) of 7(6 + 7k) lokaal representeert. We kunnen nu uit Stelling 2.43 het volgende concluderen: elk natuurlijk getal, die niet van de vorm 72n+1(a + 7k) met a ∈ {3, 5, 6} is,
wordt gerepresenteerd door L03 of L3.
We zijn nu nog niet klaar. We gaan nu de natuurlijke getallen bekijken, die niet van de vorm 72n+1(a + 7k) met a ∈ {3, 5, 6} zijn. Dit noemen we tijdelijk de overgebleven
getallen. We gaan zoeken naar de natuurlijke getallen die door L3gerepresenteerd worden.
We gebruiken hiervoor 2 lemma’s. Deze lemma’s komen uit het artikel van Kaplansky [5]. De bewijzen van de lemma’s komen uit hetzelfde artikel.
Lemma 3.9. De kwadratische vorm L3 representeert alle overgebleven natuurlijke
getal-len die congruent zijn aan 0, 2 mod 3.
Bewijs. Uit [7] volgt dat de kwadratische vorm g = x2 + 2y2 + 7z2 alle overgebleven getallen representeert die congruent zijn aan 0, 1 mod 3. We hebben nu een uitspraak voor de kwadratische vorm g, maar deze is niet gelijk aan de kwadratische vorm f = x2+ 2y2+ 2yz + 4z2 die bij L3 hoort. We gaan de relatie tussen f en g bekijken.
We kunnen 2f schrijven als
2f = 2x2+ 4y2+ 4yz + 8z2 = 2x2+ (2y + z)2+ 7z2. (3.2) Als f een natuurlijk getal N representeert, dan representeert g het getal 2N . We kunnen ook het omgekeerde laten zien. We stellen nu dat g het getal 2N representeert. Dan volgt dat g = u2 + 2v2 + 7w2 = 2N . We zien dat u en w beide even of beide oneven moeten zijn. Het verschil moet dan even zijn. Hieruit volgt dat we u kunnen schrijven als u = 2y + w voor een y ∈ Z. Dan volgt uit vergelijking 3.2 dat 2f het getal 2N representeert. We weten nu dat f een natuurlijk getal N representeert dan en alleen dan als g het natuurlijke getal 2N representeert.
Als we dit combineren met het resultaat uit [7], dan volgt het gewenste resultaat. Lemma 3.10. De kwadratische vormen L3 en L03 representeren alle overgebleven
natuur-lijke getallen congruent aan 0, 1 mod 4.
Bewijs. We beginnen met een overgebleven natuurlijk getal N ≡ 0, 1 mod 4. We weten dat dit getal door L3of L03 gerepresenteerd wordt. We schrijven f als de functie behorende
bij L3 en g als de functie behorende bij L03. Dan volgen de volgende twee vergelijkingen:
f (x, 2y − z, z) = x2+ 2(2y − z)2+ 2(2y − z)z + 4z2 = x2+ 8y2− 4yz + 4z2
en
f (x, −y − z, z) = x2+ 2(−y − z)2+ 2(−y − z)z + 4z2 = x2+ 2y2+ 2yz + 4z2
f (x, y, z) (3.4)
We beginnen met het geval dat L3het getal N representeert. Dan bestaan er u, v, w ∈ Z
zodat f (u, v, w) = N . Als v en w beide even of beide oneven zijn, dan bestaat er een y zodat v = 2y − w. Dan volgt uit vergelijking (3.3) dat g het getal N representeert. De tweede mogelijkheid is als v even is en w oneven. Dan gebruiken we vergelijking (3.4). Het verschil tussen −v − w en w is dan even. Uit vergelijking (3.3) volgt nu dat g het getal N representeert. We houden nu alleen het geval over dat v oneven is en w even. Als we f uitschrijven, dan krijgen we N = f (u, v, w) = u2+ 2v2+ 2uv + 4v2. De termen 2uv
en 4v2 zijn een veelvoud van 4. Voor de andere twee termen geldt u2 ≡ 0, 1 mod 4 en 2v2 ≡ 2 mod 4. De som van deze twee termen is congruent aan 2 of 3 modulo 4, maar
N ≡ 0, 1 mod 4. Dit laatste geval is dus niet mogelijk. Dus kunnen we concluderen dat L03 het getal N representeert.
We bekijken nu het geval dat L03 het getal N representeert. Dan bestaan er u, v, w ∈ Z zodat g(u, v, w) = N . Als het verschil tussen v en w even is, dan bestaat er een y zodat v = w − 2y. Uit vergelijking (3.3) volgt nu dat f het getal N representeert. We bekijken nu de mogelijkheid dat het verschil tussen u en w oneven is. Vanwege het feit dat g symmetrisch is in zijn eerste twee argumenten, volgt dat er twee gevallen zijn. Het eerste geval is dat u en v even zijn en w oneven is. Dan volgt dat
g(u, v, w) = u2+ v2+ 7w2 ≡ 3 mod 4.
Dit is niet mogelijk, omdat f (u, v, w) = N ≡ 0, 1 mod 4. Het tweede geval is dat u en v oneven zijn en w even. Dan volgt dat
g(u, v, w) = u2+ v2+ 7w2 ≡ 2 mod 4.
Dit is dus ook niet mogelijk. We concluderen nu dat L3 het getal N representeert.
Uit de twee lemma’s volgt dat L3alle overgebleven getallen representeert die te schrijven
zijn als 3k, 2 + 3k, 4k en 1 + 4k. Dit zijn alle overgebleven getallen die niet van de vorm 7 + 12k en 10 + 12k zijn. We concluderen dat L3 alle natuurlijke getallen representeert
die niet van de vorm 7 + 12k,10 + 12k en 72n+1(a + 7k) met a ∈ {3, 5, 6} zijn.
3.6. Op zoek naar een bovengrens
Van alle 9 drie-dimensionale Minkowski-gereduceerde uitbreidingsmatrices weten we van welke vorm de niet-gerepresenteerde getallen zijn. We gaan nu op zoek naar de bo-vengrens. We hoeven daarna alleen de getallen van de betreffende vorm te controleren die kleiner zijn dan onze bovengrens. Om deze bovengrens te vinden, gebruiken we de volgende methode.
We nemen een vier-dimensionale Minkowski-gereduceerde uitbreiding L4. Dit rooster
