De Stelling van Lamperti

Y.A. Peeters

De Stelling van Lamperti

Bachelorscriptie, 24 juni 2015 Begeleider: Dr. M.F.E. de Jeu

Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden

Inhoudsopgave

1 Voorwoord 2

2 Inleiding 3

2.1 Hoofdstelling . . . 3 2.2 Voorbeelden . . . 3

3 Reguliere verzamelingsisomorfismen 6

3.1 Definitie . . . 6 3.2 Eigenschappen . . . 7 3.3 Voorbeelden . . . 10

4 Ge¨ınduceerde transformatie 11

4.1 Voorbereidingen . . . 12 4.2 Uitbreiding . . . 16 4.3 Voorbeelden . . . 22

5 Lamperti–Clarkson lemma 22

5.1 Eerste deel . . . 23 5.2 Tweede deel . . . 25

6 Bewijs stelling 26

6.1 Radon–Nikodym stelling . . . 26 6.2 Van rechts naar links . . . 27 6.3 Van links naar rechts . . . 29

7 Bibliografie 33

1 Voorwoord

In deze scriptie wordt een stelling behandeld van de wiskundige John W. Lam- perti [1]. De stelling laat op een verrassende manier zien hoe isometrie¨en tussen L^p-ruimten zich laten beschrijven. Hierbij spelen bepaalde afbeeldingen, de reguliere verzamelingsisomorfismen, een belangrijke rol. De stelling zegt dat isometrie¨en in de zogenaamde Lampertivorm te schrijven zijn als 1 ≤ p < ∞ en p 6= 2. Het zal blijken dat voor het geval p = 2 isometrie¨en bestaan die zich niet zo makkelijk laten beschrijven. Dit is intu¨ıtief in te zien door isometrie¨en op (R², || · ||p) te beschouwen. Een isometrie moet de eenheidscirkel voor de p-norm op zichzelf afbeelden. Voor p > 2 en 1 ≤ p < 2 is de eenheidscirkel vierkantvormig en bestaan beperkte mogelijkheden voor een symmetrie en dus ook voor een isometrie. Als p = 2, dan is de verzameling symmetrie¨en overaf- telbaar en zal een isometrie dus niet altijd dezelfde eigenschappen hebben als wanneer p 6= 2. Deze scriptie is bedoeld voor wiskundigen die bekend zijn met maattheorie. De bronnen waarop deze scriptie gebaseerd is, zijn voornamelijk [1] en [2]. Bijna alle idee¨en zijn afkomstig van deze bronnen, echter niet alle uitwerkingen.

2 Inleiding

De isometrie¨en, genoteerd met U , die hier besproken zullen worden, zijn lineaire, normbewarende afbeeldingen tussen L^p₁ en L^p₂ waar geldt

L^p_i = L^p(Ω_i, Σ_i, µ_i), (i = 1, 2).

Hier zijn Ωihet universum, Σide σ-algebra en µide maat behorend bij de i-de maatruimte. Voor i = 1, 2 geldt dan tevens

L^p_i = L^p_i.

=_µi,

waar ’=µ_i’ de equivalentierelatie ’µi-bijna overal gelijk’ is en L^p_i de verzameling is van p-integreerbare functies, re¨eel- of complexwaardige, op Ωi. Als L^p₁ en L^p₂ worden beschouwd als vectorruimten, wordt aangenomen dat ze over hetzelfde lichaam F zijn. Alle maten die besproken zullen worden, zijn σ-eindig.

2.1 Hoofdstelling

Om te beginnen volgt hier formeel de stelling [1, 2].

Stelling 2.1 (Lamperti, 1958). Zij U een lineaire isometrie van L^p(Ω1, Σ1, µ1) naar L^p(Ω2, Σ2, µ2) met 1 ≤ p < ∞ en p 6= 2. Dan bestaan een regulier verzamelingsisomorfisme T van Σ1 naar Σ2 en een functie h gedefinieerd op Ω2

zodanig dat

U f = h · T1f (1)

waar T1 de lineaire transformatie ge¨ınduceerd door T is en h voldoet aan Z

T (A)

|h|^pdµ₂= Z

T (A)

d(µ₁◦ T⁻¹) dµ2

dµ₂= µ₁(A) (2)

voor alle A ∈ Σ₁. Omgekeerd, als h zoals in (2) is en T een regulier verzame- lingsisomorfisme is, dan is U zoals in (1) een lineaire isometrie.

De vorm van U in (1) heet de Lampertivorm. Het zal in het volgende hoofdstuk duidelijk worden wat een regulier verzamelingsisomorfisme precies is. Eerst vol- gen drie voorbeelden, waarbij in de eerste twee de hoofdstelling wordt toegepast.

Het derde is een tegenvoorbeeld voor p=2. In dat laatste voorbeeld wordt een propositie gebruikt die pas verderop bewezen wordt.

2.2 Voorbeelden

Voorbeeld 2.2. De stelling geeft aan dat voor bepaalde lineaire transformaties T₁ een functie h bestaat zodanig dat U f = h · T₁f normbewarend is. De linea- riteit van U volgt uit de lineariteit van T₁. De transformaties T₁ waarvoor dit geldt, zijn de transformaties die ge¨ınduceerd worden door een regulier verzame- lingsisomorfisme. Laat L^p₁ = L^p₂ met p ≥ 1. Zij dan Ω_i = R>0 het universum,

Σ_i = B(R>0) de bijbehorende Borel σ-algebra [3, Definition 6.1] en µ_i = λ de Lebesgue-Borel maat [3, Definition 6.3]. Dan zal blijken dat

T1f (t) = f (√ t)

een lineaire transformatie van B(R^>0)-meetbare functies is die ge¨ınduceerd wordt door een regulier verzamelingsisomorfisme. Er bestaat een functie h zodanig dat U f = h · T1f normbewarend is. Daarvoor kan het volgende geprobeerd worden:

h(t) = ct^α.

Aangezien de maattheoretische integraal overeenkomt met de Riemannintegraal [3, Corollary 16.5], moeten α en c zodanig zijn dat geldt

Z ∞ 0

|ct^α· f (√

t)|^pdt = Z ∞

0

|f (t)|^pdt.

Als s =√

t, dan dt = 2sds en dus volgt Z ∞

0

|c t^α· f (√

t)|^pdt = Z ∞

0

2s · |c s^2α· f (s)|^pds

= Z ∞

0

2|c|^ps^2αp+1· |f (s)|^pds.

Hieruit volgt dat

c = ± 1

√p

2 en α = − 1 2p voldoen en dat bijvoorbeeld de functie

h(t) = 1

2p√ 4t zodanig is dat U normbewarend is.

Voorbeeld 2.3. Zij wederom p ≥ 1 en stel dat

L^p₁:= L^p(N, P(N ), µ) en L^p₂:= L^p(M, P(M ), µ)

de maatruimten zijn met µ de telmaat en N en M eindige verzamelingen van n en m elementen, respectievelijk, met m ≥ n. Dan geldt

L^p₁' (Fⁿ, || · ||p) en L^p₂' (F^m, || · ||p)

waar || · ||p de eindige p-norm. Dan is een lineaire transformatie T1te schrijven als een matrixvermenigvuldiging. Zoals in Voorbeeld 2.2 werd genoemd, moet een regulier verzamelingsisomorfisme T bestaan zodanig dat T1 ge¨ınduceerd wordt door T . Stel dat T1= (aij)i,j zodanig is dat geldt

aij∈ {0, 1}, ∀j :

m

X

i=1

aij ≥ 1 en ∀i :

n

X

j=1

aij ≤ 1.

Met andere woorden, T1 bestaat uit enen en nullen en iedere kolom heeft min- stens ´e´en niet-nul element en iedere rij hoogstens ´e´en. Later zal duidelijk worden

dat T₁een zo transformatie is die ge¨ınduceerd wordt door een regulier verzame- lingsisomorfisme. Dan wordt de j-de kolomsom als volgt genoteerd:

k(j) =

m

X

i=1

aij.

Verder is l(i) de volgende indexfunctie:

l(i) =

 q als aiq= 1, 0 als ∀j : aij = 0.

Dan bestaan er precies k(j) i’s zodanig dat l(i) = j > 0. Met de afspraak dat x₀= 0 geldt,volgt

T1x =





 Pn

j=1a1jxj

... Pn

j=1a_mjx_j





=





 xl(1)

... x_l(m)





.

De vermenigvuldiging in (1) is in dit geval componentsgewijs. Laat k(0) = 1, als dan geldt

h =



















±

 1

k(l(1))

^1/p ...

±

 1

k(l(m))

^1/p

















 ,

dan blijkt U x = h · T1x normbewarend te zijn vanwege het volgende argument:

||h · T₁x||^p_p=

m

X

i=1

|x_l(i)|^p k(l(i)) =

n

X

j=1

k(j)|x_j|^p k(j) =

n

X

j=1

|x_j|^p = ||x||^p_p.

Voorbeeld 2.4. Laat p = 2 en

L²₁= L²₂= L²([0, 1], B([0, 1]), λ), met B en λ zoals in Voorbeeld 2.2. Definieer dan U als volgt:

U f (t) =











f (2t) + f (1 − 2t)

√

2 als 0 ≤ t < 1/2, f (2t − 1) + f (2 − 2t)

√2 als 1/2 ≤ t ≤ 1.

Stel verder dat de spiegeling van f, genoteerd met f^†, als volgt is:

f^†(t) := f (1 − t).

Neem s = 1 − t, dan dt = −dt en

||f^†||²₂= Z 1

0

|f (1 − t)|²dt = − Z 0

1

|f (s)|²ds = Z 1

0

|f (s)|²ds = ||f ||²₂.

Als p = 2, dan is L^p_i een Hilbertruimte met inproduct:

(f, g) = Z 1

0

f ¯g dt.

Dit inproduct induceert als volgt de 2-norm:

||f ||2=p (f, f ).

Vanwege [4, Theorem 3.15] geldt voor f, g ∈ L^p_i de Parallellogramwet:

(f + g, f + g) + (f − g, f − g) = 2(f, f ) + 2(g, g).

In het bijzonder geldt dan voor f ∈ L^p₁:

||f + f^†||²₂+ ||f − f^†||²₂= 4||f ||²₂.

Dit zorgt ervoor dat U daadwerkelijk een isometrie is en dat is als volgt te zien.

Neem s = 2t en r = 2t − 1, dan geldt dt = ds/2 = dr/2 en

||U f ||²₂ = 1 2

Z ¹₂

0

|f (2t) + f (1 − 2t)|²dt +1 2

Z 1

1 2

|f (2t − 1) + f (2 − 2t)|²dt

= 1

4 Z 1

0

|f (s) + f (1 − s)|²ds +1 4

Z 1 0

|f (r) + f (1 − r)|²dr

= 1

4||f + f^†||²₂+1

4||f + f^†||²₂

= ||f ||²₂.

Stel dat U in Lampertivorm te schrijven is en laat f = 1A met A = [0, 1/2].

Dan geldt f^†=λ1A^c en dus f · f^†=λ0. Wegens Propositie 4.12.ii volgt U f · U f^† = h²· T1f · T1f^†

= h²· T1(f · f^†)

= h²· T1(0)

= 0.

Dit levert een tegenspraak op, aangezien U f (t) =λU f^†(t) 6= 0 voor t ∈ A. Dus is voor p = 2, zoals verwacht, de hoofdstelling niet waar.

3 Reguliere verzamelingsisomorfismen

Een belangrijke schakel tussen een isometrie en zijn Lampertivorm zijn de re- guliere verzamelingsisomorfismen. Aan de hand van de simpele definitie zullen vele eigenschappen af te leiden zijn.

3.1 Definitie

Zij (Ωi, Σi, µi) de i-de maatruimte.

Definitie 3.1. Een afbeelding T van Σ₁ naar Σ₂ die voldoet aan (i) T (Ω1\A) = T (Ω1)\T (A) voor alle A ∈ Σ1,

(ii) T F∞

n=1A_n
= S^∞_n=1T (A_n) voor alle onderling disjuncte rijen {A_n}n in Σ₁, en

(iii) µ₂(T (A)) = 0 dan en slechts dan als µ₁(A) = 0,

heet een regulier verzamelingsisomorfisme. De relaties worden modulo nulver- zamelingen beschouwd.

Met ’beschouwd modulo nulverzamelingen’ wordt bedoeld dat voor A, B ∈ Σi

geldt

A = B (modulo nulverzamelingen) ⇔ µi(A\B) = µi(B\A) = 0.

Dit zal in het vervolg altijd zo worden beschouwd. Op gelijke wijze zal met ’A ⊂ B’ impliciet µ_i(A\B) = 0 bedoeld worden, met ’A = ∅’ impliciet µi(A) = 0, enzovoort.

3.2 Eigenschappen

Uit Definitie 3.1.iii volgt direct dat T (∅) = ∅. Daardoor volgt dat Definitie 3.1.ii ook geldt voor eindige rijen {An}^N_n=1, neem namelijk An = ∅ voor alle n > N . Verder laat het volgende lemma zien dat T deelverzamelingen behoudt.

Lemma 3.2. Zij A, B ∈ Σ₁. Als A ⊆ B, dan T (A) ⊆ T (B).

Bewijs. Er geldt B = (B\A) t A en wegens Definitie 3.1 volgt T (B) = T (B\A) ∪ T (A),

en dus T (A) ⊆ T (B).

Definitie 3.1.ii geldt ook voor niet-disjuncte verenigingen. Om tot dit resultaat te komen, moet eerst een aantal lemma’s worden bewezen.

Lemma 3.3. Zij {A_n}^N_n=1 een eindige rij in Σ₁, dan geldt T SN

n=1A_n

= SN

n=1T (A_n).

Bewijs. Voor A, B ∈ Σ1geldt A, B ⊆ A ∪ B en wegens Lemma 3.2 geldt ook T (A), T (B) ⊆ T (A ∪ B),

en volgt daaruit

T (A) ∪ T (B) ⊆ T (A ∪ B).

Wegens B\A ⊆ B en wederom Lemma 3.2 geldt T (B\A) ⊂ T (B) en dus T (A) ∪ T (B\A) ⊆ T (A) ∪ T (B),

waar links vanwege Definitie 3.1 niets anders staat dan T (A ∪ B). Dus moet T (A) ∪ T (B) = T (A ∪ B)

gelden als gevolg van de wederzijdse inclusie. Dit argument kan herhaald worden en dat levert het gewenste resultaat.

Een gelijksoortig resultaat bestaat voor doorsnedes.

Lemma 3.4. Voor iedere eindige rij {An}^N_n=1 in Σ1 geldt T TN

n=1An



= TN

n=1T (An).

Bewijs. Laat A, B ∈ Σ1, dan geldt

T (A ∩ B) = T (Ω1\(A^c∪ B^c))

=^(∗) T (Ω1)\T (A^c∪ B^c)

=^(∗∗) T (Ω1)/

T (A^c) ∪ T (B^c)

=^(∗) T (Ω1)



T (Ω1)\T (A)

∪

T (Ω1)\T (B)

=^(∗∗∗) T (A) ∩ T (B),

waar bij (∗) Definitie 3.1.i wordt toegepast, bij (∗∗) Lemma 3.3 en bij (∗ ∗ ∗) T (A), T (B) ⊆ T (Ω1) wordt gebruikt, wat volgt vanwege Lemma 3.2.

Uit voorgaande volgt dat een regulier verzamelingsisomorfisme relatieve com- plementen ook behoudt.

Lemma 3.5. Voor alle A, B ∈ Σ₁ geldt T (A\B) = T (A)\T (B).

Bewijs. Er geldt

T (A\B) = T (A ∩ B^c)

=^(∗) T (A) ∩ T (Ω1\B)

=^(∗∗) T (A) ∩ T (Ω1)\T (B)

=^(∗∗∗) T (A)\T (B).

Hier wordt bij (∗) Lemma 3.4 toegepast, (∗∗) volgt uit Definitie 3.1.i en bij (∗ ∗ ∗) T (A) ⊆ T (Ω1) wordt gebruikt, wat volgt vanwege Lemma 3.2.

Nu is genoeg voorhanden om het analoge van Definitie 3.1.ii voor niet noodza- kelijk disjuncte verenigingen aan te tonen.

Propositie 3.6. Zij {An}n een willekeurige rij in Σ1, dan geldt T (S∞

n=1An) = S∞

n=1T (An).

Bewijs. Definieer de rij {B_n}_n als volgt:

Bn:= An\(A1∪ · · · ∪ An−1).

Dan geldt namelijk

∞

G

n=1

Bn=

∞

[

n=1

An. Daaruit volgt

T

∞

[

n=1

An

!

= T

∞

G

n=1

Bn

!

=^(∗)

∞

[

n=1

T (Bn)

=

∞

[

n=1

T An\ (A1∪ . . . ∪ An−1)

=^(∗∗)

∞

[

n=1

T (A_n)\ T (A₁) ∪ · · · ∪ T (A_n−1)


=

∞

[

n=1

T (A_n),

waar bij (∗) Definitie 3.1.ii wordt toegepast en bij (∗∗) Lemma 3.5 en Lemma 3.3.

Wederom bestaat een gelijksoortig resultaat voor doorsnedes.

Gevolg 3.7. Zij {An}n een willekeurige rij in Σ1, dan geldt T (T∞

n=1An) = T∞

n=1T (An).

Bewijs. Zij {An}n een rij in Σ1, dan geldt

∞

\

n=1

An=

∞

[

n=1

An

!c

en daardoor:

T

∞

\

n=1

An

!

= T

_∞ [

n=1

A^c_n

!^c!

=^(∗) T (Ω1)/ [^∞

n=1

T (A^c_n)

!

=

∞

\

n=1



T (Ω₁)\T (A^c_n)

=^(∗∗)

∞

\

n=1

T (An),

waar bij (∗) Definitie 3.1.i en Propositie 3.6 worden gebruikt en bij (∗∗) nogeens Definitie 3.1.i wordt gebruikt.

Een ander eigenschap van T is dat T disjuncte verzamelingen afbeeldt op dis- juncte verzamelingen. Om dit resultaat te bereiken moet eerst de injectiviteit van T worden aangetoond.

Lemma 3.8. Ieder regulier verzamelingsisomorfisme T is modulo nulverzame- lingen injectief.

Bewijs. Stel dat A, B ∈ Σ₁ met T (A) = T (B). Dan geldt

∅ = T (A)\T (B) = T (A\B)

vanwege Lemma 3.5. Wegens Definitie 3.1.iii volgt dan dat A\B een µ1-nulverzameling is. Met andere woorden, A\B = ∅. Op gelijke wijze volgt B\A = ∅ en is T modulo nulverzamelingen inderdaad injectief.

Dit wordt vervolgens toegepast in de laatste eigenschap van T die behandeld wordt.

Propositie 3.9. Zij A, B ∈ Σ1, dan geldt T (A) ∩ T (B) = ∅ dan en slechts dan als A ∩ B = ∅.

Bewijs. ”⇒”: Als T (A) ∩ T (B) = ∅, dan geldt vanwege Lemma 3.4

∅ = T (A) ∩ T (B) = T (A ∩ B) en als gevolg van de injectiviteit van T geldt A ∩ B = ∅.

”⇐”: Dit volgt direct uit het Lemma 3.4 en T (∅) = ∅.

3.3 Voorbeelden

Voordat de transformatie wordt besproken die T induceert, wordt eerst een aantal voorbeelden bekeken.

Voorbeeld 3.10. Stel dat de maatruimten zijn zoals in Voorbeeld 2.2. Dan kan een regulier verzamelingsisomorfisme puntsgewijs worden gedefinieerd, bij- voorbeeld als volgt:

T (A) = {t²: t ∈ A}.

Definitie 3.1.i en 3.1.ii volgen vrij direct vanwege de puntsgewijze definitie en het bijectief zijn van t 7→ t². Definitie 3.1.iii is af te leiden met behulp van de Radon–Nikodym stelling [3, Theorem 17.10]. De dichtheidsfuncties zijn namelijk

d(λ ◦ T⁻¹)

dλ = 1

2√

t en dλ

d(λ ◦ T⁻¹)= 2t.

De formele formulering van de Radon–Nikodym stelling, Stelling 6.3, zal ver- derop volgen.

Voorbeeld 3.11. Stel dat de maatruimten zijn zoals in Voorbeeld 3.10. Stel tevens dat Φ een homeomorfisme van R>0naar zichzelf is zodanig dat Φ en Φ⁻¹ differentieerbaar zijn, dan is T van de vorm

T (A) = {Φ⁻¹(t) : t ∈ A}

een regulier verzamelingsisomorfisme. Op gelijke wijze als in Voorbeeld 3.10 wordt aan Definitie 3.1 voldaan. Er geldt namelijk dat

d(λ ◦ T⁻¹)

dλ = dΦ

dt en dλ

d(λ ◦ T⁻¹)= dΦ⁻¹ dt de dichtheidsfuncties zijn.

Voorbeeld 3.12. Laat de maatruimten zijn zoals in Voorbeeld 2.3. Voor de telmaat geldt dat de lege verzameling de enige nulverzameling is. Daarom zijn in dit geval alle eigenschappen van een regulier verzamelingsisomorfisme strikt. Zonder de algemeenheid te schaden, kan worden aangenomen dat N = {1, . . . , n}. Vanwege het behoud van verenigingsstructuren van een regulier verzamelingsisomorfisme T , wordt T precies bepaald door zijn werking op de singletons. Dit komt neer op de volgende vorm:

T ({j}) = B_j voor 1 ≤ j ≤ n.

Wegens Propositie 3.9 moet gelden dat de Bj’s onderling disjunct zijn. Daar- naast moeten de B_j’s niet leeg zijn vanwege Definitie 3.1.iii.

4 Ge¨ınduceerde transformatie

In dit hoofdstuk wordt de transformatie T1 behandeld die ge¨ınduceerd wordt door een regulier verzamelingsisomorfisme. De transformatie kan niet direct ge- definieerd worden, eerst moet namelijk aangetoond worden dat de uiteindelijke formulering welgedefinieerd is. Deze opbouw doet denken aan de opbouw van maattheoretische integralen [3, Chapter II]. Op soortgelijke wijze wordt T1eerst gedefinieerd op een verzameling van elementaire functies. Elementaire functies zijn meetbare functies die slechts eindig veel verschillende, re¨ele waarden aan- nemen. De verzameling van elementaire functies over de i-de maatruimte wordt genoteerd met E_i, de verzameling van meetbare re¨ele functies met E_i^∗. Wegens [3, Theorem 9.8] is iedere f ∈ E_i^∗op te splitsen in twee niet-negatieve, meetbare, unieke functies f⁺ en f⁻ zodanig dat

f = f⁺− f⁻ en f⁺· f⁻= 0.

Verder bestaat vanwege [3, Theorem 11.6] voor iedere niet-negatieve, meetbare functie F een monotoon stijgende rij van niet-negatieve, elementaire functies {un}n zodanig dat

F = sup

n

u_n.

Aangezien L^p_i technisch gezien een verzameling van equivalentieklassen is, wordt met een bewering als ’f = g’ impliciet bedoeld dat f =µ_i g. Verder wordt met 1Ade karakteristieke functie, of indicatorfunctie, van A bedoeld en is T telkens een regulier verzamelingsisomorfisme.

4.1 Voorbereidingen

Iedere u ∈ E₁heeft een normale representatie van de vorm

N

X

n=1

α_n1An,

met α ∈ R, An ∈ Σ₁voor iedere n, alle α_n onderling ongelijk, alle A_n onderling disjunct en niet-leeg en SN

n=1A_n = Ω₁. Een normale representatie is modulo nulverzamelingen en op verwisselingen van de sommatievolgorde na uniek en dus kan T1 als volgt op E1worden gedefinieerd.

Definitie 4.1. Zij u ∈ E₁enPN

n=1α_n1Ande normale representatie van u, dan heet de afbeelding

T1u :=

N

X

n=1

αn1T (A_n)

de transformatie ge¨ınduceerd door T .

Het is nuttig op te merken dat direct uit de definitie volgt dat T₁(α · f ) = α · T₁f geldt voor alle α ∈ R en dat T1u(t) = 0 geldt als t /∈ T (Ω₁). Stel nu dat

N

X

n=1

αn1A_n= u,

waarPN

n=1α_n1An niet noodzakelijk de normale representatie is van u. Uit het volgende zal blijken dat T₁u ook aan de hand van deze som te bepalen is.

Lemma 4.2. Zij u ∈ E1 en stel dat

N

X

n=1

αn1A_n= u.

Dan geldt

T1u =

N

X

n=1

αn1T (A_n).

Bewijs. Stel dat

M

X

m=1

β_m1Bm

de normale representatie is van u. Neem m vast, dan geldt

βm1B_m = u ·1B_m =

N

X

n=1

αn1A_n

!

·1B_m=

N

X

n=1

αn1A_n∩B_m. (3)

Definieer dan de familie van K klassen als volgt. Iedere klasse is een deelverza- meling van {1, . . . , N }, waar de k-de klasse gelijk is aan

Qk =n^k₁, . . . , n^k_lk .

Laat

C_k:= \

i∈Q_k



A_i∩ B_m dan geldt verder

(i) Ck 6= ∅ voor k = 1, . . . , K, (ii) C_k∩ C_k⁰ = ∅ als k 6= k⁰,

(iii) B_m=

K

G

k=1

C_k.

Stel βm 6= 0, dan bestaat er vanwege (3) een dusdanige, niet-lege familie van klasse en is deze tevens uniek. Dan geldt, ook vanwege (3), voor iedere k

X

i∈Q_k

αi= βm. (4)

Verder geldt vanwege (ii), Definitie 3.1 en Propositie 3.9 ook

T (Bm) =

K

G

k=1

T (Ck). (5)

Voor iedere k geldt

Ai∩ Ck=

 Ck als i ∈ Qk,

∅ als i /∈ Qk,

en vanwege Lemma 3.4 en T (∅) = ∅ geldt dan ook voor alle k T (Ai) ∩ T (Ck) =

 T (Ck) als i ∈ Qk,

∅ als i /∈ Qk. (6)

Het voorgaande combineren, levert het volgende resultaat:

βm1T (Bm) =^(∗)

K

X

k=1

βm1T (C_k)

=^(∗∗)

K

X

k=1



 X

i∈Q_k

αi



1T (Ck)

=

K

X

k=1

X

i∈Qk

αi1T (C_k)

=^(∗∗∗)

K

X

k=1

X

i∈Q_k

α_i1T (A_i)∩T (C_k)

=^(∗∗∗)

K

X

k=1 N

X

n=1

αn1T (An)∩T (Ck)

=^(∗)

N

X

n=1

αn1T (A_n)∩T (B_m),

waar (5) wordt toegepast bij (∗), (4) bij (∗∗) en (6) bij (∗ ∗ ∗). Stel nu dat β_m = 0. Als er een i bestaat zodanig dat A_i∩ B_m 6= ∅, dan bestaat er een niet-lege familie die voldoet aan (i), (ii) en (iii) en is het voorgaande argument te herhalen. Als Ai∩ Bm= ∅ voor iedere i, dan geldt vanwege Propositie 3.9 T (Ai) ∩ T (Bm) voor iedere i. Dan volgt

β_m1T (B_m)= 0 =

N

X

n=1

α_n1T (A_n)∩T (B_m).

AangezienFN

n=1T (Bn) = T (Ω1) geldt vanwege Definitie 3.1 en Propositie 3.9, volgt het gewenste resultaat:

T1u =

M

X

m=1

βm1T (B_m)

=

M

X

m=1 N

X

n=1

αn1T (An)∩T (Bm)

=

M

X

m=1 N

X

n=1

α_n1T (A_n)

! 1T (B_m)

=

N

X

n=1

αn1T (An)

! 1T (Ω1)

=

N

X

n=1

αn1T (A_n).

Lemma 4.3. Zij u, v ∈ E1 en zij T1 ge¨ınduceerd door T , dan (i) T₁(u + v) = T₁u + T₁v,

(ii) T₁(u · v) = T₁u · T₁v, (iii) als u ≤ v, dan T1u ≤ T1v,

(iv) {T1u > 0} = T ({u > 0}) en {T1u < 0} = T ({u < 0}).

Bewijs. (i): ZijPN

n=1α_n1An enPM

m=1β_m1Bm de normale representaties van u en v, respectievelijk. Aangezien u, v ∈ E₁, is u + v ook een elementaire functie en geldt

u + v =

N

X

n=1 M

X

m=1

(αn+ βm)1A_n∩Bm.

Dan volgt (i) door het volgende te beschouwen:

T1(u + v) =^(∗)

N

X

n=1 M

X

m=1

(αn+ βm)1T (A_n∩Bm)

=^(∗∗)

N

X

n=1 M

X

m=1

(α_n+ β_m)1T (A_n)∩T (B_m)

=

N

X

n=1 M

X

m=1

αn1T (An)·1T (Bm)+

M

X

m=1 N

X

n=1

βn1T (An)·1T (Bm)

=

N

X

n=1

αn1T (A_n)·1T (Ω₁)+

M

X

m=1

βn1T (Ω₁)·1T (B_m)

=

N

X

n=1

αn1T (A_n)+

M

X

m=1

βm1T (B_m)

= T1u + T1v,

waar bij (∗) Lemma 4.2 wordt gebruikt en bij (∗∗) Lemma 3.4.

(ii): Het aantonen van (ii) gaat op soortgelijke wijze aangezien geldt

u · v =

N

X

n=1 M

X

m=1

(α_n· β_m)1An∩Bm. Wederom met behulp van Lemma 4.2 en 3.4 volgt:

T₁(u · v) =

N

X

n=1 M

X

m=1

(α_n· βm)1T (A_n)∩T (B_m)

=

N

X

n=1 M

X

m=1

αn1T (An)
· βm1T (Bm)

=

N

X

n=1

αn1T (A_n)

!

·

M

X

m=1

βm1T (B_m)

!

= T₁u · T₁v.

(iii): Als u ≤ v geldt, volgt dat v − u een niet-negatieve, elementaire functie is.

Stel dat PL

l=1γ_l1Cl de normale representatie is van v − u. Dan zijn alle γ_l’s niet-negatief en volgt per definitie dat T₁(v − u) niet-negatief is. Dan volgt uit (i) dat geldt

T1(v − u) = T1v + T1(−u) = T1v − T1u, en hieruit volgt (iii).

(iv): Eerst wordt het eerste deel van de uitspraak aangetoond. Laat A = {u >

0}, dan geldt

u|A=

N

X

n=1

αn1A_n∩A

en α_n > 0 als A_n∩ A 6= ∅. Vanwege de injectiviteit van T en Lemma 3.4 volgt:

T (An) ∩ T (A) 6= T (∅) = ∅, (∀n : αⁿ> 0).

Dat betekent dat

T1u =

N

X

n=1

αn1T (An)

precies niet-negatief is op het domein

N

[

n=1

(T (An) ∩ T (A)) = T (A).

Het tweede deel van (iv) volgt op gelijke wijze.

Gevolg 4.4. Als u ∈ E1, dan (T1u)⁺ = T1(u⁺) en (T1u)⁻ = T1(u⁻).

Bewijs. Aangezien u⁺(t) en u⁻(t) nooit beide strikt positief zijn voor dezelfde t, geldt u⁺· u⁻= 0 en vanwege Lemma 4.3.ii volgt

T₁(u⁺) · T₁(u⁻) = T₁(u⁺· u⁻) = T₁(0) = 0.

Vanwege Lemma 4.3.iii, u⁺, u⁻ ≥ 0 en T (0) = 0 zijn T1(u⁺) en T1(u⁻) niet- negatief en het gewenste resultaat volgt dan met behulp van Lemma 4.3.i:

(T1u)⁺− (T1u)⁻= T1u = T1(u⁺− u⁻) = T1(u⁺) − T1(u⁻).

4.2 Uitbreiding

Aangezien voor een f ∈ L^p₁ geldt f (t) 6= ±∞ voor µ1-bijna alle t [3, Theo- rem 13.6], zal het geval f (t) = ±∞ buiten beschouwing worden gelaten. Voor- dat de definitie van de uitbreiding van T1 gegeven kan worden, moet worden aangetoond dat de definitie geldig is. Dit wordt gedaan met behulp van de volgende drie lemma’s.

Lemma 4.5. Zij {un}n een monotoon stijgende rij elementaire functies en v ∈ E1. Als v ≤ sup_nun, dan T1v ≤ sup_nT1un.

Bewijs. Laat  > 0 en

Dn= {v − 1Ω₁> un}, (∀n ∈ N).

Dan geldt Dn↓ ∅, of met andere woorden

∀n : Dn ⊇ Dn+1 en

∞

\

n=1

Dn= ∅.

Vanwege Lemma 3.2 en Gevolg 3.7 volgt hieruit ook

∀n : T (Dn) ⊇ T (D_n+1) en

∞

\

n=1

T (D_n) = T (∅) = ∅,

oftewel T (D_n) ↓ ∅. Aangezien {un}_n monotoon stijgt, geldt wegens Lemma 4.3.iii dat {T₁u_n}_n ook monotoon stijgt. Verder geldt

T (D_n) = T ({v − 1Ω1− un > 0})

=^(∗) {T1(v − 1Ω1− un) > 0}

=^(∗∗) {T1(v − 1Ω₁) > T1un},

waar bij (∗) Lemma 4.3.iv wordt gebruikt en bij (∗∗) Lemma 4.3.i. Dus geldt {T1(v − 1Ω1) > T₁u_n}n ↓ ∅

en volgt hieruit met behulp van Lemma 4.3.i de volgende ongelijkheid:

T1(v − 1Ω₁) = T1v − 1T (Ω)≤ sup

n

T1un. Laat nu  ↓ 0, dan volgt T1v ≤ sup_nT1un.

Lemma 4.6. Laat {u_n}n en {v_n}n twee monotoon stijgende rijen elementaire functies zijn. Als sup_nu_n= sup_nv_n, dan sup_nT₁u_n = sup_nT₁v_n.

Bewijs. Voor iedere i geldt v_i≤ sup_nu_nen wegens Lemma 4.5 geldt voor iedere i ook T₁v_i≤ sup_nT₁u_n en volgt

sup

n

T1vn≤ sup

n

T1un.

Op gelijke wijze volgt de omgekeerde ongelijkheid en dus geldt sup_nT₁u_n = sup_nT₁v_n.

Lemma 4.7. Zij {un}n een monotoon stijgende rij elementaire functies. Als sup un6= ∞ µ1-bijna overal, dan sup_nT1un6= ∞ µ2-bijna overal.

Bewijs. Er geldt

 t : sup

n

T₁u_n(t) = ∞



=

∞

\

k=1

 t : sup

n

T₁u_n(t) > k1Ω2



=^(∗)

∞

\

k=1

∞

[

n=1

{t : T1un(t) > k1Ω₂}

=^(∗∗)

∞

\

k=1

∞

[

n=1

t : T1u_n(t) > k1T (Ω₁)

=^(∗∗∗)

∞

\

k=1

∞

[

n=1

T ({t : un(t) > k1Ω₁})

=^{(∗∗∗∗)} T

∞

\

k=1

∞

[

n=1

{t : un(t) > k1Ω₁}

!

= T



t : sup

n

u_n(t) = ∞



,

waar bij (∗) wordt gebruikt dat {T₁u_n}_n ook monotoon stijgt vanwege Lemma 4.3.iii, bij (∗∗) wordt gebruikt dat T₁u_n(t) = 0 als t /∈ T (Ω₁), bij (∗ ∗ ∗) Lemma 4.3.i en 4.3.iv en bij (∗ ∗ ∗∗) Propositie 3.6 en Gevolg 3.7. Aange- zien {t : sup_nun(t) = ∞} vanwege de aanname een µ1-nulverzameling is, volgt het gewenste resultaat met behulp van Definitie 3.1.iii.

Vervolgens kan T₁worden uitgebreid naar E₁^∗.

Definitie 4.8. Zij f ∈ E₁^∗ en T een regulier verzamelingsisomorfisme. Laat verder {un}n en {vn}n twee monotoon stijgende rijen elementaire functies zijn zodanig dat f⁺= sup_nun en f⁻ = sup_nvn. Dan heet

T1f := sup

n

T1un− sup

n

T1vn

de transformatie ge¨ınduceerd door T, waar T1un en T1vn zijn zoals in Definitie 4.1. Vanwege Lemma 4.6 en 4.7 is T1welgedefinieerd.

Direct uit de definitie volgt T₁(α · f ) = α · T₁f voor alle α ∈ R en f ∈ E1^∗. Verder zal uit het Propositie 4.12 volgen dat de uitbreiding van T₁ dezelfde soort eigenschappen heeft als T₁|_E1. Om dit aan te kunnen tonen, moeten eerst de eigenschappen van T₁voor niet-negatieve functies in E₁^∗ worden bewezen.

Lemma 4.9. Zij f, g ∈ E₁^∗ met f, g ≥ 0 en zij T1 ge¨ınduceerd door T , dan (i) T₁(f + g) = T₁f + T₁g,

(ii) T₁(f · g) = T₁f · T₁g, (iii) als f ≤ g, dan T₁f ≤ T₁g, (iv) {T1f > 0} = T ({f > 0}).

Bewijs. (i): Stel dat {u_n}nen {v_n}ntwee monotoon stijgende rijen zijn zodanig dat ze convergeren naar f en g, respectievelijk. Dan is {u_n+v_n}_neen monotoon stijgende rij die convergeert naar f + g ≥ 0 en volgt met behulp van T (0) = 0:

T1(f + g) = sup

n

(T1(un+ vn))

=^(∗) sup

n

(T1un+ T1vn)

=^(∗∗) sup

n

T₁u_n+ sup

n

T₁v_n

= T1f + T1g,

waar bij (∗) Lemma 4.3.i wordt toegepast en bij (∗∗) het feit dat de suprema bestaan vanwege Lemma 4.7.

(ii): Uitspraak (ii) volgt op analoge wijze door de monotoon stijgende rij {un· vn}n te beschouwen.

(iii): Als f ≤ g, dan u_i≤ g voor iedere i en dus T₁u_i≤ sup

n

T₁v_n, (∀i ∈ N)

wegens Lemma 4.5. Dan volgt sup

n

T1un ≤ sup

n

T1vn, oftewel uitspraak (iii).

(iv): Vanwege het monotoon stijgen van {un}n, geldt

{f > 0} =

∞

[

n=1

{un > 0}.

Aangezien de rij {T1un}n ook monotoon stijgt vanwege Lemma 4.3.iii volgt op gelijke wijze

{T1f > 0} =

∞

[

n=1

{T1un> 0}.

Uitspraak (iv) volgt dan wegens Propositie 3.6 en Lemma 4.3.iv.

Gevolg 4.10. Als f, g1, g2 ∈ E1 met g1, g2 ≥ 0 en f = g1− g2, dan T1f = T1g1− T1g2.

Bewijs. Neem A = {f > 0}, dan zijn

f⁺+ g₂·1A= g₁·1A en f⁻+ g₁·1A^c = g₂·1A^c

niet-negatieve, meetbare functies en geldt

T1g1·1T (A) =^(∗) T1(g1·1A)

= T1(f⁺+ g2·1A)

=^(∗∗) T₁(f⁺) + T₁(g₂·1A)

=^(∗) T₁(f⁺) + T₁g₂·1T (A),

(7)

waar bij (∗) Lemma 4.9.ii wordt toegepast en bij (∗∗) Lemma 4.9.i. Op gelijke wijze geldt

T₁g₂·1T (A^c)= T₁(f⁻) + T₁g₁·1T (A^c), oftewel

T1g1·1T (A^c)= T1g2·1T (A^c)− T1(f⁻). (8) Als vergelijking (7) en (8) bij elkaar worden opgeteld, volgt met behulp van Definitie 3.1:

T1g1(1T (A)+1T (A^c)) = T1g2(1T (A)+1T (A^c)) + T1(f⁺) − T1(f⁻) T1g1·1T (Ω₁)= T1g2·1T (Ω₁)+ T1f

T₁g₁= T₁g₂+ T₁f.

Gevolg 4.11. Als f ∈ E₁, dan (T₁f )⁺= T₁(f⁺) en (T₁f )⁻ = T₁(f⁻).

Bewijs. Aangezien f⁺(t) en f⁻(t) nooit beide strikt positief zijn voor dezelfde t, geldt f⁺· f⁻= 0 en vanwege Lemma 4.9.ii volgt

T₁(f⁺) · T₁(f⁻) = T₁(f⁺· f⁻) = T₁(0) = 0.

Vanwege Lemma 4.9.iii, u⁺, u⁻ ≥ 0 en T (0) = 0 zijn T1(f⁺) en T₁(f⁻) niet- negatief en het gewenste resultaat volgt:

(T1f )⁺− (T1f )⁻= T1f = T1(f⁺) − T1(f⁻).

De eigenschappen van de uitbreiding van T1 kunnen nu met behulp van de voorgaande gevolgen worden aangetoond.

Propositie 4.12. Zij f, g twee re¨ele, meetbare functies en zij T₁ ge¨ınduceerd door T . Dan geldt

(i) T1(f + g) = T1f + T1g, (ii) T₁(f · g) = T₁f · T₁g, (iii) als f ≤ g, dan T1f ≤ T1g,

(iv) {T₁f > 0} = T ({f > 0}) en {T₁f < 0} = T ({f < 0}).

Bewijs. (i): Uitspraak (i) kan als volgt worden aangetoond:

T₁(f + g) = T₁(f⁺− f⁻+ g⁺− g⁻)

= T1 f⁺+ g⁺− (f⁻+ g⁻)

=^(∗) T1(f⁺+ g⁺) − T1(f⁻+ g⁻)

=^(∗∗) T1(f⁺) + T1(g⁺) − T1(f⁻) − T1(g⁻)

= T₁f + T₁g.

Hier geldt (∗) vanwege Gevolg 4.10 en (∗∗) door Lemma 4.9.i.

(ii): Voor het product van f en g geldt f · g = (f · g)⁺− (f · g)⁻

= f⁺· g⁺+ f⁻· g⁻− f⁺· g⁻− f⁻· g⁺. Dit wordt als volgt toegepast:

T₁(f · g) =^(∗) T₁(f⁺· g⁺) + T₁(f⁻· g⁻) − T₁(f⁺· g⁻) − T₁(f⁻· g⁺)

=^(∗∗) T₁(f⁺) · T₁(g⁺) + T₁(f⁻) · T₁(g⁻)

−T1(f⁺) · T1(g⁻) − T1(f⁻) · T1(g⁺)

=^(∗∗∗) (T1f )⁺· (T1g)⁺+ (T1f )⁻· (T1g)⁻

−(T₁f )⁺· (T₁g)⁻− (T₁f )⁻· (T₁g)⁺

= (T1f · T1g)⁺− (T1f · T1g)⁻

= T1f · T1g.

Waar bij (∗) uitspraak (i) wordt gebruikt, bij (∗∗) Lemma 4.9.ii en bij (∗ ∗ ∗) Gevolg 4.11.

(iii): Er geldt f ≤ g dan en slechts dan als f⁺ ≤ g⁺ en f⁻ ≥ g⁻. Vanwege Lemma 4.9.iii geldt

T1(f⁺) ≤ T1(g⁺) en T1(f⁻) ≥ T1(g⁻) en vanwege Gevolg 4.11 geldt ook

(T1f )⁺≤ (T1g)⁺ en (T1f )⁻≥ (T1g)⁻. Hieruit volgt uitspraak (iii).

(iv): Het eerste deel van de uitspraak is als volgt te beargumenteren:

{T1f > 0} = {(T1f )⁺> 0}

=^(∗) {T₁(f⁺) > 0}

=^(∗∗) T ({f⁺> 0})

= T ({f > 0}).

Hier geldt (∗) vanwege Lemma 4.4 en (∗∗) vanwege Lemma 4.3.iv. Het tweede deel van uitspraak (iv) volgt op gelijke wijze.

Een andere eigenschap van T1 die later ook gebruikt wordt, is de volgende.

Lemma 4.13. Zij f een re¨ele, meetbare functie en q > 0, dan geldt T1(|f |^q) =

|T1f |^q.

Bewijs. Zij u ∈ E₁met u ≥ 0 en normale representatiePN

n=1α_n1An. Aangezien de A_n’s onderling disjunct zijn, zijn de T (A_n)’s dat ook vanwege Propositie 3.9 en volgt

T1(u^q) =

N

X

n=1

α^q_n1T (An)= (T1u)^q.

Als f ∈ E₁^∗met f ≥ 0 en {u_n}_nis een monotoon stijgende rij van niet-negatieve, elementaire functies die convergeert naar f , dan is {u^q_n}n een monotoon stij- gende rij die convergeert naar f^q en geldt

T1(f^q) = sup

n

T1(u^q_n) = sup

n

(T1un)^q =

 sup

n

T1un

q

= (T1f )^q. Als f een re¨ele, meetbare functie is, geldt dat |f | ∈ E₁^∗ en dus

T1(|f |^q) = (T1(|f |))^q

= T1(f⁺+ f⁻)
^q

=^(∗) T₁(f⁺) + T₁(f⁻)
q

=^(∗∗) (T1f )⁺+ (T1f )⁻
q

= |T₁f |^q,

waar bij (∗) Lemma 4.9.iii wordt gebruikt en bij (∗∗) Gevolg 4.11.

Voor complexe, meetbare functies f dient T₁nogmaals uitgebreid te worden aan de hand van de definitie

T1f = T1(<(f )) + i · T1(=(f )).

Dan heeft T₁soortgelijke eigenschappen. De uitwerkingen daarvan zullen verder niet worden behandeld, aangezien die vrij eenvoudig volgen.

4.3 Voorbeelden

Voorbeeld 4.14. Stel dat de maatruimten en T zijn als in Voorbeeld 3.10. Dan is de lineaire transformatie die ge¨ınduceerd wordt door T de T1 in Voorbeeld 2.2:

T₁f (t) = f (√ t).

Dit is als volgt in te zien. Laat A = [a, b] met 0 < a < b, dan geldt T (A) = [a², b²] en

T₁1A(t) =1{t : a²≤t≤b²}(t) =1{^{√t : a≤√t≤b}}(

√t) =1A(√ t).

Voorbeeld 4.15. Stel dat de maatruimten zijn zoals in Voorbeeld 4.14. Zoals in Voorbeeld 3.11 is laten zien, geldt dat

T (A) = {Φ⁻¹(t) : t ∈ A}

een regulier verzamelingsisomorfisme is als Φ een homeomorfisme is van Ω2naar Ω1 en Φ en Φ⁻¹ differentieerbaar zijn. Dan induceert T de volgende lineaire transformatie.

T₁f (t) = f (Φ(t))

Voorbeeld 4.16. Stel dat de maatruimten zijn zoals in Voorbeeld 2.2 en 3.10.

Dan komt {1{j}}ⁿ_j=1 overeen met de standaard basis B = {e₁, . . . , e_n} van Fⁿ. Dan geldt voor T₁

T₁1{j}=1Bj

en, als T1voorgesteld wordt als een matrix (aij)i,j, geldt aij =

 1 als i ∈ Bj, 0 anders.

Dus volgt dat de transformaties van een vorm zoals in Voorbeeld 2.2, voor deze maatruimten, de enige zijn die ge¨ınduceerd worden door een regulier verza- melingsisomorfisme. In het geval n = m, is T₁ een permutatiematrix. Stel dan dat U een isometrie van L^p₁ naar zichzelf met 1 ≤ p < ∞ en p 6= 2.

Dan zegt de hoofdstelling dat U enkel en alleen de vorm kan hebben van een permutatiematrix met de variatie van plus of min voor elk niet-nul element van de matrix.

5 Lamperti–Clarkson lemma

Dit hoofdstuk bestaat uit twee delen die bij elkaar een belangrijk lemma, be- schreven in [1, 2], opleveren dat in het uiteindelijke bewijs gebruikt zal worden.

5.1 Eerste deel

Merk op dat een re¨ele functie ψ convex is dan en slechts dan als ψ t + s

2



≤ψ(t) + ψ(s)

2 .

Lemma 5.1. Zij ϕ een continue, strikt stijgende functie gedefinieerd op [0, ∞) met ϕ(0) = 0. Stel verder dat ϕ(√

t) convex is. Als z, w ∈ C, dan geldt

ϕ(|z + w|) + ϕ(|z − w|) ≥ 2ϕ(|z|) + 2ϕ(|w|). (9) Als ϕ(√

t) concaaf is, geldt ongelijkheid (9) omgekeerd en als de convexiteit of concaviteit strikt is, geldt gelijkheid in (9) dan en slechts dan als z · w = 0.

Bewijs. Zij ϕ(√

t) convex, dan geldt voor t, s ≥ 0

ϕ

rt + s 2

!

≤ϕ(√

t) + ϕ(√ s)

2 .

Zij t = |z + w|²en s = |z − w|², dan geldt

ϕ  |z + w|²+ |z − w|² 2

^1/2!

≤ ϕ(|z + w|) + ϕ(|z − w|)

2 .

Aangezien ϕ strikt stijgend is, is ϕ injectief en is de functie ϕ⁻¹: ran(ϕ) → R^>0 goed gedefinieerd en strikt stijgend, wat de volgende implicatie oplevert.

x, y ∈ ran(ϕ) ∧ x ≤ y ⇒ ϕ⁻¹(x) ≤ ϕ⁻¹(y) Daarnaast geldt voor z, w ∈ C vanwege [4, Theorem 3.15]

|z + w|²+ |z − w|²

2 = |z|²+ |w|² en volgt hieruit

|z|²+ |w|^2
1/2

=  |z + w|²+ |z − w|² 2

^1/2

= ϕ⁻¹

"

ϕ  |z + w|²+ |z − w|² 2

^1/2!#

≤ ϕ⁻¹ ϕ(|z + w|) + ϕ(|z − w|) 2

 .

(10)

Zij nu ψ : [0, ∞) → [0, ∞) een willekeurige, strikt stijgende, convexe functie met ψ(0) = 0. Dan geldt

ψ(s) − ψ(r)

s − r ≤ ψ(t) − ψ(r) t − r als r < s < t. Voor r = 0 leidt dit tot de ongelijkheid

ψ(s) s ≤ψ(t)

t , (0 < s < t). (11)

Aangezien ψ strikt stijgend is en ψ(0) = 0, geldt ψ(s) > 0 voor iedere s > 0 en dus is de functie

s ψ(s)

met s > 0 goed gedefinieerd en dalend in s. Zij nu ψ(s) = ϕ(√

s) en s = t², dan volgt dat de functie

t² ϕ(t)

met t > 0 dalend is in t, aangezien t 7→ t² stijgend is. Als ϕ(t) = x geldt, dan geldt

t²

ϕ(t) = (ϕ⁻¹(x))²

ϕ(ϕ⁻¹(x)) =(ϕ⁻¹(x))²

x .

Verder, als t toeneemt, neemt ϕ⁻¹(x) ook toe, aangezien ϕ⁻¹(x) strikt stijgend is, dus is de functie (ϕ⁻¹(x))²/x dalend in x. Stel dat f (x) een functie is zodanig dat f (x)/x een dalende functie is, dan geldt met x, y > 0

f (x + y)

x + y ≤ f (x) x en op gelijke wijze

f (x + y)

x + y ≤f (y) y . Gecombineerd levert dit het volgende op:

(x + y) ·f (x + y)

x + y ≤ x ·f (x)

x + y ·f (y) y

f (x + y) ≤ f (x) + f (y), (x, y > 0). (12) Neem nu f = (ϕ⁻¹)², dan volgt

ϕ⁻¹(x + y)
²

≤ ϕ⁻¹(x)
²

+ ϕ⁻¹(y)
²

, (0 < x, y ∈ ran(ϕ)).

Aangezien ϕ⁻¹(0) = 0 en ϕ⁻¹ een niet-negatieve functie is, volgt ook ϕ⁻¹(x + y)
²

≤ ϕ⁻¹(x)
²

+ ϕ⁻¹(y)
²

, (0 ≤ x, y ∈ ran(ϕ)).

Laat x = ϕ(|z|) en y = ϕ(|w|), dan geldt ϕ⁻¹ ϕ(|z|) + ϕ(|w|)

²

≤ ϕ⁻¹(ϕ(|z|))
2

+ ϕ⁻¹(ϕ(|w|))
2

= |z|²+ |w|².

Dit, samen met ongelijkheid (10), resulteert in de volgende ongelijkheid:

ϕ⁻¹ ϕ(|z + w|) + ϕ(|z − w|) 2



≥ ϕ⁻¹(ϕ(|z|) + ϕ(|w|)).

Wegens het strikt stijgen van ϕ volgt ongelijkheid (9) als links en rechts ϕ nogmaals wordt toegepast. Stel nu dat ϕ(√

t) strikt convex is. Dan geldt met ψ(t) = ϕ(√

t) in (11) een strikte ongelijkheid, oftwel:

ϕ(s)

s² <ϕ(t)

t² , (0 < s < t).