v v 1 De kogel heeft een massa m en een straal r. Het traagheidsmoment is hierdoor gegeven door:

(1)

Bladzijde 2

Universiteit Twente – Faculteit der Elektrotechniek Mechanica & Transductietechniek (vakcode 122816) Vrijdag 23 augustus 2002, 9:00-12:30 uur Ref: TT.0332 knn/bld

Opgave 1 Rollende kogel

Een kogel wordt bovenaan een helling kom losgelaten en rolt onder invloed van de zwaartekracht naar beneden.

De rotatiesnelheid (in [rad/s]) noemen we ω. De translatiesnelheid noemen we v. De helling eindigt horizontaal en de kogel valt verder totdat deze op een afstand L de grond bereikt. Zie onderstaande figuur. De invloed van wrijving wordt in deze opgave verwaarloosd.

v

1

v

2

h

₁

h

L

2

We willen door gebruik te maken van behoud van energie de snelheid v1 berekenen die de kogel aan het eind van de helling bereikt.

A Met welke energievormen moeten we nu rekening houden?

De kogel heeft een massa m en een straal r. Het traagheidsmoment is hierdoor gegeven door:

k mr2

5 I = 2

B Laat zien hoe dit traagheidsmoment berekend kan worden.

C Wat is het verband tussen de rotatiesnelheid ω (in [rad/s]) en de translatiesnelheid v van de kogel?

D1 Geef een uitdrukking voor de snelheid v₁ welke de kogel aan het eind van de helling bereikt.

D2 Is deze snelheid afhankelijk van de massa m en is dit in overeenstemming met hetgeen je verwacht?

We willen nu de afstand L berekenen vanaf het eind van de helling tot aan het punt waar de kogel de grond bereikt.

E1 Bereken deze afstand.

E2 Is deze afstand afhankelijk van de massa m en is dit in overeenstemming met hetgeen je verwacht?

E3 Is deze afstand afhankelijk van de gravitatieversnelling g en is dit in overeenstemming met hetgeen je verwacht?

(2)

Opgave 1 Rollende kogel

A Met welke energievormen moeten we nu rekening houden?

Potentiele energie t.g.v. de zwaartekracht, kinetische energie door de translatiebeweging van de kogel en kinetische energie door de rotatiebeweging van de kogel.

B Geef aan hoe dit traagheidsmoment berekend kan worden.

Het traagheidsmoment is gedefinieerd als:

∑

=

i i2 ir m I

We moeten dus de som berekenen van ieder “stukje massa” van de kogel vermenigvuldigd met het kwadraat van de afstand tot de rotatieas.

In integraalvorm kunnen we dit als volgt schrijven:

∫

^ρ

= (r)r dV

I ²

Hierbij integreren we dus het produkt van de massadichtheid en het kwadraat van de afstand tot de rotatieas over het gehele volume van de kogel. Een volledige uitwerking van deze integraal is te vinden op bladzijde 30 in het diktaat.

C Wat is het verband tussen de rotatiesnelheid ω (in [rad/s]) en de translatiesnelheid v van de kogel?

De rotatiesnelheid is gerelateerd aan de translatiesnelheid door de omtrek van de kogel: bij een complete omwenteling (= hoek van 2π radialen) wordt een afstand 2πr afgelegd. Dus ω=2π rad/s komt overeen met v=2πr m/s, oftewel:

r

= v ω

Evt. anders uitgedrukt: als de cilinder ∆α radiaal in een tijd ∆t verdraait dan is de verplaatsing ∆x=r∆α. Oftewel:

ω

=

∆ ⇒ α

= ∆

∆

= ∆ v r

r t t v x

D1 Geef een uitdrukking voor de snelheid v₁ welke de kogel aan het eind van de helling bereikt.

We berekenen eerst het verschil in potentiële energie van de kogel tussen het begin en eind van de helling. Deze is gegeven door de massa vermenigvuldigd met g en het hoogteverschil. Het hoogteverschil is h1, dus:

1

pot mgh

E =

Voor de toename in kinetische energie geldt:

12 2 k 2

k 1 12 k 2

12 rot

kin, trans kin, tot

kin, v

r m I 2 1 r I v 2 mv 1 2 I 1 2 mv 1 2 E 1

E

E ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

= ω +

= +

=

Dit moet gelijk zijn aan de afname in potentiële energie:

1

2 2 52

1

2 k 1 1

2 1 2 1

k gh

7 10

r m mr 2 1

mgh

r m I 2 1 v mgh mgh

r v m I 2

1 =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

=

⇒

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

D2 Is deze snelheid afhankelijk van de massa m en is dit in overeenstemming met hetgeen je verwacht?

Nee, de snelheid is dus niet afhankelijk van m, hetgeen te verwachten was omdat zowel de potentiele als de kinetische energie evenredig met de massa toenemen.

(3)

Bladzijde 9

E1 Bereken deze afstand.

We berekenen hiervoor eerst de hoogte van de kogel als functie van de tijd t. We stellen t=0 op het moment dat de kogel de helling verlaat. Op dat moment is de hoogte h2 en de snelheid in vertikale richting is nul.

Voor de hoogte z vinden we eenvoudig:

2 gt2

2 h 1 ) t (

z = −

Het tijdstip waarop de kogel de grond bereikt is dus gegeven door:

g h t_z₌₀ = 2 ²

De horizontale snelheid van de kogel blijft na het verlaten van de helling gelijk aan v1. De afstand L is dus gelijk aan:

2 2 1

1 0

z

1 h h

7 20 g

h gh 2 7 t 10 v

L= ⋅ ₌ = ⋅ =

E2 Is deze afstand afhankelijk van de massa m en is dit in overeenstemming met hetgeen je verwacht?

Nee. De snelheid v1 was onafhankelijk van de massa en de versnelling g die de kogel na het verlaten van de helling ondervindt is ook onafhankelijk van de massa. Er is dus geen reden waarom L wel afhankelijk van de massa zou zijn.

E3 Is deze afstand afhankelijk van de gravitatieversnelling g en is dit in overeenstemming met hetgeen je verwacht?

Nee. De tijdsduur waarover de kogel valt is natuurlijk wel afhankelijk van g. Echter, omdat de beginsnelheid v1

dezelfde afhankelijkheid heeft valt deze weg in de uitdrukking voor L.

(4)

Universiteit Twente – Faculteit der Elektrotechniek Mechanica & Transductietechniek (vakcode 122816) Woensdag 10 januari 2001, 9.00–12.30 uur Ref: TT.0165/wgk/bld

Opgave 1 De harmonische trilling

We beschouwen een lineaire snelheidswijzer in een auto. De wijzer is bevestigd via een veer en wordt verschoven d.m.v. een kracht F zoals in onderstaande figuur is aangegeven.

De wijzer heeft een massa m en de veer een veerconstante K. De veer mag verondersteld worden geen massa te hebben.

A Stel de bewegingsvergelijking op voor de wijzer.

Indien de wijzer kort wordt aangestoten (waarna de kracht F weer 0 is) zal deze een harmonische trilling gaan uitvoeren.

B Hoe ziet deze trilling eruit en wat is de frequentie (ω₀) van deze trilling? Laat m.b.v. het resultaat van A zien dat de door u gegeven oplossing inderdaad voldoet aan de bewegingsvergelijking.

Aangezien een snel trillende wijzer geen prettig instrument is om af te lezen besluit men een demper aan het mechaniek toe te voegen zoals weergegeven in onderstaande figuur. De demper is gebaseerd op viskeuze demping.

C Hoe ziet de kracht t.g.v. een demper, die gebaseerd is op viskeuze demping, eruit? Geef een uitdrukking voor deze kracht

D Stel de bewegingsvergelijking op voor het systeem met demper.

De wijzer wordt wederom aangestoten (bij F=0). Deze zal nu een gedempte trilling gaan uitvoeren.

E Laat zien dat

( )

t cos Ae ) t (

x = ⁻^t^/^τ ω

met τ en ω constanten, een oplossing is van de bewegingsvergelijking voor het gedempte systeem en geef een uitdrukking voor τ.

Tip: bepaal eerst de afgeleiden van bovenstaande uitdrukking. Vul deze in de bewegingsvergelijking in en sorteer op gelijke termen in ωt.

N.B: de frequentie van deze trilling is ongelijk aan de frequentie van de trilling van het ongedempte systeem: ω≠ω₀!

(5)

Bladzijde 8

Opgave 1, De harmonische trilling.

A Stel de bewegingsvergelijking op voor de wijzer.

Op de massa werken twee krachten: de veerkracht en de kracht F waarmee de wijzer verplaatst moet worden. De som van deze krachten moet volgens newton gelijk zijn aan de versnelling van de wijzer maal de massa van de wijzer:

m x F m K dt

x F d

dt Kx x md dt

x md ma F

F Kx F F F

2 2 2

2

2 2 tot

veer tot

= +

⇒ +

−

=

⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

+

−

= +

=

(I)

B Hoe ziet deze trilling eruit en wat is de frequentie (ω₀) van deze trilling? Laat m.b.v. het resultaat van A zien dat de door u gegeven oplossing inderdaad voldoet aan de bewegingsvergelijking.

De trilling zal een harmonische trilling zijn. Gecombineerd met F=0 in formule (I) levert dit:

( )

( ) ( )

m 0 K

t cos mA t K cos A 0

mx K dt

x d

t cos A ) t ( x

0 0

0 2

2

0

±

= ω

⇒

= ϕ + ω +

ϕ + ω ω

−

⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎬

⎫

= +

ϕ + ω

=

(II)

C Hoe ziet de kracht t.g.v. een demper, die gebaseerd is op viskeuze demping, eruit? Geef een uitdrukking voor deze kracht

Bij een demper gebaseerd op viskeuze demping geldt dat de tegenwerkende kracht evenredig is met de grootte van de snelheid en tegengesteld aan de richting van de snelheid.

dt v dx

F_demper =−γ =−γ (III)

D Stel de bewegingsvergelijking op voor het systeem met demper.

We moeten de dempingskracht toevoegenaan de krachtenbalans. We vinden:

m F dt x dx dt

x d m

F dt dx x m m K dt

x d

dt F dx dt Kx

x md dt

x md ma F

dt F dx Kx F

F F F

2 2 0 2 2

2

2 2

2 2 tot

demper veer

tot

= Γ + ω +

⇒ γ =

+ +

⇒

γ

− +

−

=

⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

γ

− +

−

= +

+

=

(III)

E Laat zien dat

( )

t cos e A ) t (

x = ₀ ⁻^t^/^τ ω (IV)

met τ en ω constanten, een oplossing is van de bewegingsvergelijking voor het gedempte systeem en geef een uitdrukking voor τ en ω.

We bepalen eerst de eerste en tweede afgeleiden van

(6)

( )

( ) ( )

( )

2 Ae sin

( )

t Ae cos

( )

t t

cos Ae

dt x d

t sin Ae t cos Ae

dt dx

t cos Ae x

/ t 2 /

t /

t 2 2 2

/ t /

t / t

ω ω

− τ ω

+ ω τ ω

=

ω ω

− τ ω

−

=

ω

=

τ

− τ

−

τ

− τ

−

(V)

We gaan uit van (III) waarin we F=0 zetten. De termen van (V) vullen we in (III):

( ) ( ) ( ) ( )

1cos

( )

t sin

( )

t 0 t

cos t

2 sin t 1 cos

Ae ^t^/ ₂ ² ²₀ ⎥=

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ω +ω ω

Γ τ

− ω ω

⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ω −ω ω

τ + ω τ ω

τ

−

Vervolgens sorteren we in termen cos(ωt) en sin(ωt):

( )

t 1 Ae sin

( )

t 2 0

cos

Ae ^t^/ ₂ ² ₀² ^t^/ ⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −Γω τ ω ω

⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

τ

−Γ ω + ω τ −

ω ⁻ ^τ

τ

− (VI)

Formule (VI) moet voor alle t gelden. Dus voor niet triviale oplossingen (A≠0) moet gelden:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

= Γ τ

−Γ ω

±

= ω

⇒

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

= Γ τ

−Γ ω

= ω

⇒

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

=Γ τ

= ω + ω Γ − Γ −

⇒

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

= Γ τ−

= ω + ω τ−

−Γ τ

2

4 2

2 0 4 2 0

1 0 ₂ ²

0 2 2

2 2 0 2 2

Hiermee is x(t) volledig bepaald.

(7)

Blad 7

Universiteit Twente – Faculteit der Elektrotechniek Mechanica & Transductietechniek (vakcode 122816) Woensdag 7 oktober 1998, 13:30 – 17:00 uur.

Opgave 6 Een luidspreker

N Z i

F λ x

K

λ N Z F

i

x B

Bovenstaande figuur laat links een schematisch vooraanzicht en dwarsdoorsnede zien van een luidspreker.

Rechts staat een uitwerking van het hart van de luidspreker. In deze luidspreker zit een bewegende spoel die bekrachtigd kan worden m.b.v. een stroom i door de aanvoer draden. Voor deze opgave mag u aannemen dat de zelfinductie van de spoel niet veranderd als functie van de positie van de spoel. T.g.v. de permanente magneet is er, naast het eigen veld van de spoel, een magnetische veld dat door de spoel omvat wordt. In deze opgave gaan we ervan uit dat de totaal omvatte flux van de spoel wordt gegeven door

Br

x i L +

= λ

Verder is de luidsprekerspoel met een veer met veerconstante K bevestigd aan het chassis van de luidspreker.

Deze veer is ontspannen voor x=0 en wordt tot de transducent gerekend. De massa van het bewegende gedeelte van de luidspreker is m.

A) Wat is de energiefunctie van bovenstaande transducent?

B) Leid uitdrukkingen af voor de stroom en de externe kracht op de transducent.

C) Wat is de karakteristieke vergelijking van bovenstaande transducent?

D) Kan deze transducent voor een bepaalde combinatie van i en x instabiel worden?

De luidspreker wordt nu dynamisch bedreven met een harmonisch signaal.

E) Wat is de resonantie frequentie van de luidspreker? Neem hierbij aan dat de luidspreker spanninggestuurd is.

F) Bereken de impedantie u/i als functie van de frequentie ω van de luidspreker.

(8)

Opgave 6 Een luidspreker

A) Wat is de energiefunctie van bovenstaande transducent?

De transducent heeft twee poorten: een magnetische en een mechanische poort. Energie kan worden toegevoerd aan het systeem via deze twee poorten. De totale differentiaal van de energie van de transducent wordt gegeven door:

Fdx id

dE= λ+ (I)

De energie functie kunnen we eenvoudig vinden uit de som van de energiebuffers in het magnetisch en het mechanisch domein:

mech

mag E

E

E= +

Voor het magnetisch domein drukken we nu eerst λ uit in i:

L B i=λ−x ^r

en maken gebruik van de relatie tussen E en i:

( )

L 2

B L x

2i E 1

2 2 r

mag

−

= λ

= (II)

Deze relatie is verre van triviaal. Indien we de integraal netjes willen berekenen dan ziet deze er als volgt uit:

( )

L 2

B L x

' 2i ' 1 Ldi ' i '

'di di 'd i '

id E

r 2 L

' xB i

0 ' i 2 L

' xB i

0 ' i L

' xB i

0 ' i '

xB ' mag

r r

r

−

= λ

= λ =

= λ

=

−

=λ

=

−

=λ

=

−

=λ

= λ

=

λ

∫ ∫ ∫

^(II)

(de ' tekentjes dienen om aan te geven dat het integratie variabelen betreft en dus niet de eindwaarden van de stroom of de gekoppelde flux). Hierbij is Emag dus de energie die wordt toegevoerd aan het magnetisch domein t.g.v. een stroom die van 0 af aan toeneemt. Het is op zich vrij voor de hand liggend de stroom vanaf 0 te integreren en we zien dus dat dit overeenkomt met het integreren van de flux vanaf xBr.

De totale energie is nu gelijk aan:

( )

2

r x

2 K L

2 B

E λ−x +

=

Let er hierbij op dat in dit geval de veer onbelast is voor x=0 (er is dus geen term (x-x0) o.i.d.).

B) Leid uitdrukkingen af voor de stroom en de externe kracht op de transducent.

De totale differentiaal van de energie van de transducent is gegeven in (I). Hieruit volgt onmiddelijk dat:

( )

L B i x

E _r

x

−

= λ

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ λ

∂

( )

L Kx B B x

x F

E r

r

ext=− λ− +

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

λ

(9)

Blad 22

C) Wat is de karakteristieke vergelijking van bovenstaande transducent?

We vinden de karakteristieke vergelijking door de totale differentialen van i en Fext te nemen:

dx L K B L dx B x d F dF F

L dx d B L dx 1 x d i di i

2 r r x

r x

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +

+

−

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

⎟⎟ λ

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ λ

∂

= ∂

− λ

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

⎟⎟ λ

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ λ

∂

= ∂

λ λ

Of in matrix notatie:

( )

^⎟^⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ λ

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ λ

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

+

−

⎟=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

dx d b b

b b dx d KL B B

B 1

L 1 dF di

22 21

12 11

2 r r

r

D) Kan deze transducent voor een bepaalde combinatie van i en x instabiel worden?

We vinden de koppel factor uit de karakteristieke vergelijking:

2 r 2

r 2 r 22

11 21 12

B / KL 1

1 KL

B B b

b b b

= +

= κ

Aangezien K, L en (Br)² groter dan 0 zijn is de noemer groter dan 1 en daarmee κ kleiner dan 1. De transducent is dus altijd stabiel.

E) Wat is de resonantie frequentie van de luidspreker? Neem hierbij aan dat de luidspreker spanninggestuurd is.

Spanningsturing wil zeggen dat we dλ/dt sturen hetgeen betekent dat we direct uit kunnen gaan van de karakteristieke vergelijking zoals we die boven hebben afgeleid. We gaan nu eerst de karakteristieke vergelijking aan beide zijden differentiëren naar de tijd.

( )

^⎟^⎟^⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ λ

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

+

−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

dt dx dt d

KL B B

B 1

L 1 dt dF dt di

2 r r

r

Vervolgens vullen we harmonische signalen in (dus zowel de efforts als de extensieve variabelen kunnen worden geschreven als een complexe exponentiële functie):

( )

^⎟^⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ ω ω

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

+

−

⎟=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ ω ω

0 0

2 r r

r

0 0

j j KL B B

B 1

L 1 j

j

x λ F

i

Nu maken we gebruik van de volgende relaties:

(10)

0 0 t

j 0 t j 0 t j

0 j e e j

dt e u d dt

dλ = = λ ^ω = ωλ _ω =u _ω ⇒ ωλ =u

0 0 t

j 0 t j 0 t j

0 j e e j

dt e v d dt

dx = = x ^ω = ωx ^ω =v ^ω ⇒ ωx =v

Verder is volgens het tweede axioma van Newton en met gebruikmaking van de interne kracht:

0 0

t j 0 t

j t 0

j 0 int

t j 0 int

m j e

m dt j

e md e dt

mdv ma F

e F

v F

v v F

F

ω

−

=

⇒ ω

=

−

⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

−

=

ω ω ω

ω

Dit ingevuld levert:

( )

^⎟^⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

+

−

⎟=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ ω

ω

0 0

2 r r

r

0 2

0

KL B B

B 1

L 1 m j

v u v

i

Met behulp van de tweede verglijking drukken we v0 uit in u0:

( ) ( )

ω − λ

= − +

− ω

= −

⇒ +

+

−

= ω

LK m L

B KL

B m L KL B

B B m

L ₂ ₂ ^r

r 2

r 0

0 0

2 r 0 r 0 2

u v v

u v

Er is nu een resonantie als de noemer 0 wordt. Voor dit geval (zonder demping) is de resonantie piek oneindig hoog en treedt op voor:

( ) ( )

m K K

L B m

1 Lm

KL 0 B

KL B m L

2 r 2

r

2 ⎟⎟= λ

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +

= ω + ⇒

= ω

⇒

= +

− ω

F) Bereken de impedantie u/i als functie van de frequentie ω van de luidspreker.

De uitdrukking die we boven gevonden hebben voor v0 gebruiken we in de eerste vergelijking van de karakteristieke vergelijking:

( )

^⎟^⎟⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

− ω

− ω ω

=

⎟ ⇒

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

− ω

−

= ω ω

⎟ ⇒

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

− ω

−

= ω ω

− ⇒

− + ω

= ω

λ

λ i

2 2

0 0 2

2 0 0

2 r 2

2 0

2 0 r 2

2 r 0

0 0

K m

K L m

K j m L

K m L L

j

KL B m L

KL m L L

j KL B m L L B

j

i u u

i

u i u

u i

(11)

Universiteit Twente

Universiteit Twente – Elektrotechniek Mechanica & Transductietechniek (vakcode 122816) Donderdag 27 januari 2005, 9:00 -12:30 uur Ref: TST / Knn

Opgave 3 Side pull-in van een elektrostatische combdrive

We beschouwen een comb-drive (zie figuur links onder). Deze bestaat uit twee vinger-kammen, waarvan er één kan bewegen in de richting evenwijdig aan de tanden. Althans, tijdens normaal gebruik. Echter in bepaalde gevallen kan de bewegende kam zich ook in de richting loodrecht op de normale bewegingsrichting verplaatsen. Deze richting is in de schematische figuur (rechtsonder) aangegeven als x-richting.

We gaan bekijken onder welke omstandigheden deze beweging in de x-richting kan plaatsvinden.

Daartoe onderzoeken we een klein gedeelte van de comb-drive. De stator is verankerd aan de "vaste wereld" en kan niet bewegen (noch in x- noch in de parallele richting). T.g.v. de eindige stijfheid van de ophanging van de rotor kan deze enigszins in de x-richting bewegen. We geven dit aan met de veer met veerkonstante K. De veer is ontspannen voor x=0, de rotor is dan in de rust positie. De overlap van de vingers is L en we veronderstellen deze constant in deze opgave. De hoogte van de vingers van de kammen is h. De transducent word d.m.v. ladingsturing bekrachtigd.

g

+dq -dq

L

K x,F

_ext

g

U

A Verwacht je dat onder normale omstandigheden de rotor zal bewegen in de x-richting?

Motiveer je antwoord.

B1 Hoeveel poorten en hoeveel energiebuffers heeft deze transducent en welke zijn dit?

B2 Geef een uitdrukking voor de capaciteit tussen de rotor en stator vingers voor de generieke situatie dat x≠0.

B3 Bereken de totale energie in de transducent voor de generieke situatie dat x≠0.

C Bereken de externe kracht Fext en de spanning U.

D Geef de karakteristieke vergelijkingen voor de transducent voor (q,x) sturing.

E Geef een uitdrukking voor de effectieve veerconstante Keff rond x=0 voor variabele q.

F Verwacht u dat het systeem instabiel kan worden bij toenemende q? Motiveer uw

antwoord. Indien u verwacht dat het systeem instabiel kan worden bepaal dan de lading q waarbij de transducent instabiel wordt.

Bladzijde 4

(12)

Universiteit Twente

Opgave 3 Side pull-in van een elektrostatische combdrive

A Verwacht je dat onder normale omstandigheden de rotor zal bewegen in de x-richting?

Motiveer je antwoord.

Onder normale omstandigheden is beweging in x-richting niet te verwachten. De elektrostatische krachten in positieve en negatieve richting zijn immers gelijk en daardoor zal er geen beweging optreden. Wanneer er echter kleine verstoringen zijn (thermische bewegingen bijvoorbeeld) zal de rotor tijdelijk even uit het midden gaan. Daardoor worden de krachten op boven en onderkant ongelijk zodat er wel een netto kracht overblijft. Wanneer deze kracht groter is dan de veerkracht kan het gebeuren dat de rotor wordt door getrokken (pull-in) naar één van de stator platen.

B1 Hoeveel poorten en hoeveel energiebuffers heeft deze transducent en welke zijn dit?

De transducent kent twee mogelijke manieren om er energie in te stoppen: via mechanische arbeid en via elektrische arbeid. Hij heeft dus twee poorten. De transducent heeft feitelijk ook gewoon twee energie buffers: de capaciteit tussen de vingers en de veer. Echter: de capaciteit kunnen we opgedeeld denken uit twee kleinere, parallele capaciteiten die weliswaar op dezelfde spanning staan maar waartussen de lading nog verdeeld kan worden in afhankelijkheid van de grootte van beide capaciteiten (afhankelijk van x).

B2 Geef een uitdrukking voor de capaciteit tussen de rotor en stator vingers voor de generieke situatie dat x≠0.

Er staan twee capaciteiten parallel die aan elkaar gerelateerd zijn via de variabele x. De één wordt gevonden tussen de bovenste stator en de rotor vingers (C1) met een afstand g-x, de andere (C2) tussen de onderste stator en de rotor vingers met een afstand g+x. Hiermee wordt de totale capaciteit:

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ε − + = +ε

−

= ε +

= ₁ ₂ ⁰ ⁰ ₀ ₂ ₂

x g

g hL 2 x g

hL x g C hL C

C (1)

B3 Bereken de totale energie in de transducent uit de som van de opgeslagen energie in de afzonderlijke buffers.

Voor de veer geldt dat de geleverde kracht evenredig is met de uitrekking. In het gekozen coordinaatstelsel is dit x. De opgeslagen energie wordt hiermee:

2 x

0 2 x

0 0 q x

0 ext

veer Kx

2 ' 1 2Kx ' 1 dx ' Kx '

dx ) ' x ( F

E =

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=

⎟ =

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

=⎛

∫ ∫

=

Voor de capaciteit is de energie gegeven door q²/2C. Dit betekent:

( )

Lhg 4

x g q C 2 E q

0 2 2 2 2

C ε

= −

=

De totale opgeslagen energie wordt hiermee:

( )

Lhg 4

x g Kx q 2 E 1 E

0 2 2 2 2 a

tot ε

+ − +

= (2)

C Bereken de externe kracht Fext en de spanning U.

Met gebruikmaking van (2) vinden we:

( )

hLg 2

x Kx q

hLg 4

x q g

2Kx E 1 x x F E

0 2

0 q 2 2 2

a 2 q

ext ⎟⎟ = − ε

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ε

⋅ − +

∂ +

= ∂

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

= ∂

(3) Evenzo:

(13)

Universiteit Twente

( ) ( )

g 2 hL

x q g hLg 4

x q g

2Kx E 1 q q U E

0 2 2

0 x 2 2 2

a 2

x ε

⋅ −

⎟ =

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ε

⋅ − +

∂ +

= ∂

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

= ∂

D Geef de karakteristieke vergelijkingen voor de transducent voor (q,x) sturing.

We vinden de karakteristieke vergelijkingen door de variaties te bepalen van de spanning en de externe kracht rond een instelpunt (q0,x0):

( )

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

ε + −

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

− ε

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

− ε

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

− ε

=

⇒

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

= ∂

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

= ∂

gdq 2 hL

x dx g

hLg x dU q

hLg dq x dx q hLg 2 K q dF q dq

dx U x dU U

q dq dx F

x dF F

0 20 2

0 0 0

0 0 0 0

20 ext

q x

x ext q

ext ext

of in matrix notatie:

( )

_⎥^⎥^⎥_⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

ε

⎟ −

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

− ε

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

− ε

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

− ε

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

dq dx

g 2 hL

x g hLg

x q

hLg x q hLg

2 K q

dU dF

0 20 2

0 0 0

0 0 0 0

20 ext

(4)

E Geef een uitdrukking voor de effectieve veerconstante Keff voor x=0.

De effectieve veerconstante wordt gevonden door de partiële afgeleide te nemen van Fext naar x:

hLg 2 K q hLg Kx

2 q x x x

K F

0 2

0 2 q

eff ext ⎟⎟= − ε

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

ε

⋅ −

∂

= ∂

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

= ∂ (5)

F Verwacht u dat het systeem instabiel kan worden bij toenemende q? Motiveer uw

antwoord. Indien u verwacht dat het systeem instabiel kan worden bepaal dan de lading q waarbij de transducent instabiel wordt.

Uit (5) valt op te maken dat bij toenemende q de effectieve veerkonstante steeds kleiner wordt. Als q dus groot genoeg is kan Keff<0 zijn hetgeen betekent dat bij iedere infinitisimale verplaatsing uit x=0 het systeem zal meewerken om de verplaatsing te vergroten. Met andere woorden: voor Keff=0 vinden we de grens van stabiliteit. De lading q die hierbij hoort is:

Lh gK 2 q Lhg 0

2 K q

K ₀

0 2

eff = ⇒ = ε

− ε

=

Deze situatie wijkt dus duidelijk af van een enkelvoudig plaatcondensator waar de kracht t.g.v. de lading onafhankelijk is van de afstand tussen de platen. In het huidige geval kunnen de twee condensatoren (boven en onder) lading uitwisselen waardoor bij verplaatsing uit het midden een netto kracht ontstaat die alleen te compenseren is door de veer indien de totale lading niet te groot is.

Bladzijde 14