(i) De rij (a n ) is recursief gedefinieerd door a 0 = 0, a 1 = 1 en de recursie a n +1 = 4a n + a n− 1 . Geef een expliciete formule voor a n aan.

Discrete Wiskunde 1 voorjaar 2010

Huiswerk week 3

Opgave 8.

(i) De rij (a n ) is recursief gedefinieerd door a 0 = 0, a 1 = 1 en de recursie a n +1 = 4a ⁿ + a ⁿ⁻ 1 . Geef een expliciete formule voor a ⁿ aan.

(ii) De rij (b ⁿ ) is recursief gedefinieerd door b 0 = 0, b 1 = 1 en de recursie b n +1 = 3b n − 2b n− 1 . Geef een expliciete formule voor b n aan.

(iii) De rij (c ⁿ ) is recursief gedefinieerd door de recursie c ⁿ +1 = c ⁿ + 2c ⁿ⁻ 1 . Er geldt c 0 = 4 en c 2 = 13. Bereken c 5 rechtstreeks uit de recursie en de beginwaarden.

Geef ook een expliciete formule voor c n aan.

Opgave 9.

De Bernoulli getallen b ⁿ zijn gedefinieerd door de recursie

b 0 = 1,

n

X

k=0

n + 1 k



b ^k = 0 voor n ≥ 1,

m.a.w. b n = − _{n +1} ¹ P ⁿ⁻ 1 k =0

n +1 k
b k . (i) Zij F (x) = P ^∞

n =0 b

n ! x ⁿ de exponenti¨ele voortbrengende functie van (b ⁿ ).

Laat zien dat

F (x) = x exp(x) − 1 . (Hint: Bereken F (x) · exp(x).)

(ii) Bewijs dat F (x) + ¹ ₂ x een even functie is en concludeer dat b 1 = − ¹ ₂ en b ⁿ = 0 voor oneven n ≥ 3.

(iii) Gebruik deel (i) en het feit dat S(n, k) voor vaste k de exponenti¨ele voort- brengende functie k ¹ ! (exp(x) − 1) ^k heeft om te bewijzen dat

b n =

n

X

k =0

(−1) ^k k!

k + 1 S(n, k).

Opgave 10.

Een permutatie π ∈ S ⁿ heet samenhangend als voor geen 1 ≤ k < n de ver- zameling {1, . . . , k} door π op zich zelf afgebeeld wordt. Zij c n het aantal samenhangende permutaties in S ⁿ .

(i) Laat zien dat P ⁿ

k =1 c k (n − k)! = n!.

(ii) Laten F (x) = P ^∞

n =1 n! x ⁿ en G(x) = P ^∞

n =1 c n x ⁿ de voortbrengende func- ties van de rijen (n!) en (c ⁿ ) zijn. Bewijs dat

1 − G(x) = 1 1 + F (x) .

Webpagina: http://www.math.ru.nl/∼souvi/dw1 10/dw1.html