• No results found

(i) Een rij (a n ) is recursief gedefinieerd door a 0 = 0, a 1 = 1 en de recursie a n+1 = 4a n + a n−1 . Geef een expliciete formule voor a n aan.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "(i) Een rij (a n ) is recursief gedefinieerd door a 0 = 0, a 1 = 1 en de recursie a n+1 = 4a n + a n−1 . Geef een expliciete formule voor a n aan."

Copied!
2
0
0

Bezig met laden.... (Bekijk nu de volledige tekst)

Hele tekst

(1)

Discrete Wiskunde 1 voorjaar 2009

Huiswerk week 3

Opgave 1.

(i) Een rij (a n ) is recursief gedefinieerd door a 0 = 0, a 1 = 1 en de recursie a n+1 = 4a n + a n−1 . Geef een expliciete formule voor a n aan.

(ii) Een rij (b n ) is recursief gedefinieerd door b 0 = 0, b 1 = 1 en de recursie b n+1 = 3b n − 2b n−1 . Geef een expliciete formule voor b n aan.

(iii) Een rij (c n ) is recursief gedefinieerd door de recursie c n+1 = c n + 2c n−1 . Er geldt c 0 = 4 en c 2 = 13. Bepaal c 5 .

Opgave 2.

Een Dyck woord van lengte 2n is een keten w van de symbolen X en Y waarin X en Y telkens n keer voorkomen en waarvoor geldt dat in ieder beginstuk (van willekeurige lengte) van w minstens even veel X als Y voorkomen. Het n-de Catalan getal C n is het aantal verschillende Dyck woorden van lengte 2n.

(i) Laat zien dat ieder Dyck woord eenduidig te schrijven is als Xw 1 Y w 2

waarbij w 1 en w 2 Dyck woorden zijn. Het is toegestaan dat w 1 of w 2 lege woorden zijn, d.w.z. woorden van lengte 0.

(ii) Leid uit deel (i) de recursie C n = P n−1

i=0 C i C n−1−i af.

(iii) Bewijs dat C n = 2n n  − n−1 2n  voor n > 0. (Je mag hierbij natuurlijk de expliciete formule C n = n+1 1 2n n  uit het college gebruiken.)

(iv) Laat zien dat de Catalan getallen aan de volgende recursie voldoen:

C 0 = 1, C n+1 = 2(2n + 1)

n + 2 C n voor n ≥ 0.

Opgave 3. (Cameron: Chapter 4, opgave 12)

Zij F (t) een formele machtreeks met constante term 1.

(i) Laat zien dat er een formele machtreeks G(t) bestaat met G(t) · F (t) = 1 (m.a.w. G(t) = F (t) 1 is de multiplicatieve inverse van F (t)) door een recursie voor de co¨effici¨enten van G(t) aan te geven.

(ii) Bewijs dat de co¨effici¨enten van G(t) in Z liggen als dit voor de co¨effici¨enten van F (t) geldt.

(ii) Bepaal voor F (t) = P

n=0 t n

2

= 1 + t + t 4 + t 9 + t 16 + . . . de co¨effici¨enten

b n van de multiplicatieve inverse G(t) voor n ≤ 12.

(2)

Opgave 4. (Cameron: Chapter 4, opgave 13)

Een permutatie π ∈ Sym(n) heet samenhangend als voor geen 1 ≤ k < n de verzameling {1, . . . , k} door π op zich zelf afgebeeld wordt. Zij c n het aantal samenhangende permutaties in Sym(n).

(i) Laat zien dat P n

k=1 c k (n − k)! = n!.

(ii) Laten F (t) = P ∞

n=1 n! t n en G(t) = P ∞

n=1 c n t n de voortbrengende functies van de rijen (n!) en (c n ) zijn. Bewijs dat 1 − G(t) = (1 + F (t)) 1 .

Webpagina: http://www.math.ru.nl/∼souvi/dw1 09/dw1.html

Referenties

GERELATEERDE DOCUMENTEN

BETREFT : Ontwerp van koninklijk besluit tot wijziging van het koninklijk besluit van 14 maart 1991 waarbij aan de griffiers van de hoven en de rechtbanken van de Rechterlijke

telefoongesprekken niet kan worden goedgekeurd indien de oproeper daarover geen gedetailleerde informatie gekregen heeft en hij er niet volledig mee akkoord gaat”), dringt de

De ontwerpbesluiten dat ter advies aan de Commissie worden voorgelegd, kaderen in het project van het overdragen van voorschrijvings- en facturatiegegevens inzake de

De Commissie was, in het kader van voormelde adviezen, bovendien van mening dat de vaststelling van de technische middelen die de operatoren van telecommunicatienetwerken en

In het kader van het beheer van de informatieverwerking overeenkomstig de artikelen 44/1 tot 44/11 van de wet op het politieambt van 5 augustus 1992, zoals gewijzigd door de wet van

Voor de ondernemingen waarop dit laatste koninklijk besluit niet van toepassing is, vult het KB- Sociale Balans de respectievelijke op deze ondernemingen van toepassing

Het aan de Commissie ter advies voorgelegde ontwerp van koninklijk besluit heeft tot doel de Vlaamse Landmaatschappij toegang te verlenen tot het Rijksregister van de

11 De memorie van toelichting inzake artikel 4 is zeer duidelijk op dit punt... d) De Commissie wenst een specifieke opmerking te maken die steunt op de aangewende legistieke