Wiskunde voor 2 havo

(1)

2 havo

Deel 2

Versie 2013

Samensteller

(2)

Het auteursrecht op dit lesmateriaal berust bij Stichting Math4All. Math4All is derhalve de rechtheb- bende zoals bedoeld in de hieronder vermelde creative commons licentie.

Het lesmateriaal is met zorg samengesteld en getest. Stichting Math4All aanvaart geen enkele aansprakelijkheid voor onjuistheden en/of onvolledigheden in de module. Ook aanvaarden ze geen enkele aansprakelijkheid voor enige schade, voortkomend uit (het gebruik van) dit lesmateriaal

Voor deze module geldt een Creative Commons Naamsvermelding-Niet-commercieel 3.0 Nederland Licentie. (zie http://creativecommons.org/licenses/by/3.0).

Dit lesmateriaal is open, gratis en vrij toegankelijk lesmateriaal afkomstig van www.math4all.nl en is speciaal ontwikkeld voor het vak wiskunde in het voortgezet onderwijs. Het lesmateriaal op de website www.math4all.nl is afgestemd op kerndoelen wiskunde, tussendoelen wiskunde en eindtermen voor de vakken wiskunde A, B en C. Dit lesmateriaal is mediumneutraal ontwikkeld en op diverse manieren te bekijken en te gebruiken. Voor informatie en vragen kunt u contact opnemen via info@math4all.nl.

Ook houden we ons altijd aanbevolen voor suggesties, verbeteringen en/of aanvullingen.

(3)

Voorwoord 3

1 Lineair en hyperbolisch 5 1.1 Recht evenredig 6 1.2 Lineaire verbanden 12 1.3 Lineaire vergelijkingen 20 1.4 Omgekeerd evenredig 25 1.5 Hyperbolische verbanden 30 1.6 Totaalbeeld 37

2 Meetkundige berekeningen 43 2.1 Pythagoras 44

2.2 Lengtes berekenen 52 2.3 Oppervlakte ruimteﬁguur 60 2.4 Inhoud ruimteﬁguur 67 2.5 Doorsneden 74

2.6 Vergroten 81 2.7 Totaalbeeld 89

3 Kwadratisch en exponentieel 95 3.1 Kwadratische verbanden 96 3.2 Kwadratische vergelijken 105 3.3 Exponentiële verbanden 111 3.4 Exponentiële vergelijkingen 120 3.5 Ongelijkheden 126

3.6 Totaalbeeld 133

4 Statistiek 139

4.1 Centrummaten 140 4.2 Spreidingsmaten 147 4.3 Klassenindeling 155 4.4 Schattingen 163

4.5 Statistische uitspraken 169 4.6 Totaalbeeld 171

Register 176

(4)

(5)

Het lesmateraal in dit boek is gebaseerd op het materiaal dat je kunt vinden op de website www.math4all.nl. In de tekst staan dan ook regelmatig verwijzingen naar die website. Waar je precies moet zijn op die website kun je zien in de kopregel van iedere pagina.

Bij bestudering van het lesmateriaal kom je in de tekst ook aanwijzingen tegen. Je ziet dan bijvoorbeeld in de tekst:

Bekijk eerst:

www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Afstanden > Toepassen

Je kunt met de muis elk deel van de wereld bekijken en er op inzoomen.

Als zo’n aanwijzing in een opgave staat, kun je die opgave waarschijnlijk alleen maar maken als je inderdaad op de website hebt gekeken.

Ieder hoofdstuk bestaat uit een aantal paragrafen en wordt steeds afgesloten met een paragraaf To- taalbeeld waar de leerstof wordt samengevat en/of herhaald. Iedere paragraaf is ingedeeld in vaste rubrieken die houvast geven bij de bestudering van het lesmateriaal.

> Verkennen

> Uitleg

> Theorie en Voorbeelden

> Verwerken

> Toepassen

Indien er in het lesmateriaal wordt verwezen naar werkbladen dan kun je deze terugvinden op de website.

(6)

(7)

1 Lineair en hyperbolisch

Recht evenredig 6 Lineaire verbanden 12 Lineaire vergelijkingen 20 Omgekeerd evenredig 25 Hyperbolische verbanden 30 Totaalbeeld 37

(8)

1.1 Recht evenredig

Verkennen

Opgave 1

Niet overal op de wereld wordt de euro als munteenheid gebruikt. In Denemarken bijvoorbeeld is de munteenheid de Deense Kroon (DKK). Een Deense Kroon is ongeveer

€0,13.

a Hoeveel betaal je bij deze koers voor DKK 600,00?

b En als je twee keer zoveel Deense Kronen wilt, betaal je dan ook twee keer zoveel?

c Als je de kosten voor het kopen van Deens Kronen voorstelt door 𝐸 (in €) en het aantal Deense Kronen door 𝐷, welke formule geldt er dan als er geen bijkomende kosten zijn? En hoe ziet de bijbehorende graﬁek er uit?

Uitleg

Een winkelier koopt een bepaald artikel in voor €7,00 per stuk en verkoopt het voor €12,50 per stuk.

De opbrengst 𝑅 (in euro) is dan afhankelijk van het aantal u� dat hij verkoopt. Als hij twee keer zoveel van die artikelen verkoopt, krijgt hij ook twee keer zoveel geld binnen. Er geldt: 𝑅 = 12,50 ⋅ u�.

Hierbij hoort een graﬁek die door (0, 0) gaat: als er niets wordt verkocht is er ook geen opbrengst.

Verder gaat de graﬁek door (500, 6250) en (1000, 12500).

Het is een rechte lijn door de oorsprong van het assenstelsel.

Met de kosten staat het heel anders. Daar moet de winkelier ook rekening houden met bijvoorbeeld transportkosten, opslagkosten, kosten voor artikelen die hij niet verkoopt, e.d.

Dus de kosten zijn niet recht evenredig met u�.

Bekijk de applet.

Je zegt dat de variabele u� recht evenredig is met de variabele u� als een verdubbeling van u� ook altijd een verdubbeling van u� betekent. Hierbij hoort een formule van de vormu� = u� ⋅ u�.

De graﬁek bij een recht evenredig verband is een rechte lijn door (0, 0).

> u� heet de evenredigheidsconstante.

> u� bepaalt hoe steil de rechte lijn loopt en heet daarom wel het hellingsgetal van die rechte lijn.

Hier zie je hoe het veranderen van u� de graﬁek beïnvloedt.

In de wiskunde is het gebruikelijk om voor de variabelen de letters u� en u� te gebruiken in formules.

Meestal is dan u� de afhankelijk variabele en dus komt u� op de verticale as. Die as heet daarom de 𝑦-as.

De horizontale as is de 𝑥 -as.

(9)

Opgave 2

Bekijk de Uitleg op pagina 6. Je ziet een formule voor het berekenen van de opbrengst 𝑅 afhankelijk van het aantal verkochte exemplaren u� van een bepaald artikel.

a Hoeveel bedraagt 𝑅 als u� = 100? En als u� = 200?

b Laat zien dat de opbrengst altijd twee keer zo groot wordt als het aantal verkochte exemplaren twee keer zo groot wordt.

c Als u� drie keer zo groot wordt, wat gebeurt er dan met 𝑅?

d Je hebt nu gezien dat 𝑅 recht evenredig is met u�. Hoe blijkt dat uit de graﬁek van 𝑅 afhankelijk van u�?

e Welke betekenis heeft het getal 12,50 voor de graﬁek van 𝑅?

Opgave 3

In een inkjetprinter gaan inktpatronen. Zo’n inktpatroon kost €42,50. Je kunt er gemiddeld 500 velletjes papier mee afdrukken.

a Hoeveel ben je aan inkt kwijt als je 1800 afdrukken per jaar maakt?

b Met welke formule kun je de jaarlijkse kosten voor inkt afhankelijk van het aantal afgedrukte velletjes papier berekenen?

c Zijn de jaarlijkse kosten voor inkt recht evenredig met het aantal afdrukken? Zo ja, wat is dan de evenredigheidsconstante?

d Teken een bijpassende graﬁek. Waarom heb je daar geen tabel bij nodig?

e Welke betekenis heeft de evenredigheidsconstante voor de graﬁek bij d?

Theorie en voorbeelden

Voorbeeld 1

Een ﬁetser rijdt met een vrijwel constante snelheid op een rechte polderweg van 𝐴 naar 𝐵. Op tijdstip u� = 0 startte hij bij 𝐴, en 12 minuten en 26 seconden later heeft hij precies 5 km afgelegd.

Met hoeveel km/uur ﬁetst hij? Geef een formule voor de afgelegde afstand u� vanaf 𝐴 in km afhankelijk van de tijd u� in uren.

Hij legt 5 km in 746 seconden af, dat is ₇₄₆⁵ km/seconde.

In een uur legt hij daarom 3600 ⋅₇₄₆⁵ ≈ 24,129 km af.

Hij ﬁetst met ongeveer 24,1 km/uur.

De bijbehorende formule is u� = 24,1 ⋅ u�, want bij een constante snelheid is de afgelegde afstand recht evenredig met de tijd.

Opgave 4

Bekijk in Voorbeeld 1 op pagina 7hoe de snelheid in km/uur van een ﬁetser wordt uitgerekend.

a Waarom is er sprake van 746 seconden?

b Waarom is u� recht evenredig met u�?

c Hoe ziet de graﬁek van u� afhankelijk van u� er uit?

d Na hoeveel tijd heeft deze ﬁetser 12 km afgelegd?

(10)

WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > GRAFIEKEN EN FORMULES > LINEAIR EN HYPERBOLISCH

Opgave 5

Een automobilist is onderweg naar Berlijn en zet zijn cruisecontrol (snelheidsbegrenzer) op 120 km/uur. Dat moment geldt als u� = 0 waarin u� de tijd in uren is.

a Waarom is vanaf dat moment zijn afgelegde afstand u� (in km) recht evenredig met u�? Hoeveel is de evenredigheidsconstante?

b Hoe ziet de graﬁek van u� afhankelijk van u� er uit?

c Na hoeveel tijd heeft deze automobilist 300 km afgelegd?

Voorbeeld 2

Van oudsher bestaan er naast de temperatuurschaal van Celsius die we meestal gebruiken nog andere temperatuurschalen. In sommige landen worden die nog steeds gebruikt:

> De temperatuurschaal van Fahrenheit (nog gangbaar in de V.S.):

Je krijgt het aantal graden Fahrenheit door het aantal graden Celsius te delen door 10, dan te vermenigvuldigen met 18 en vervolgens nog 32 erbij te tellen.

> De temperatuurschaal van Réamur:

Je krijgt het aantal graden Réamur door het aantal graden Celsius te delen door 10 en dan te vermenigvuldigen met 8.

Laat zien dat het aantal graden Fahrenheit 𝐹 niet recht evenredig is met het aantal graden Celsius 𝐶, maar het aantal graden Réamur 𝑅 wel.

Voor het omrekenen van °C naar °F kun je uit de gegevens de formule 𝐹 = 1,8 ⋅ 𝐶 + 32 aﬂeiden. De graﬁek bij deze formule gaat niet door (0, 0) maar door (0, 32). En daarom is 𝐹 niet recht evenredig met 𝐶.

Voor het omrekenen van °C naar °R kun je uit de gegevens de formule 𝐹 = 0,8 ⋅ 𝐶 aﬂeiden. De graﬁek bij deze formule gaat wel door (0, 0) en is een rechte lijn. En daarom is 𝑅 recht evenredig met 𝐶.

Opgave 6

Bekijk in Voorbeeld 2 op pagina 8je kunt omrekenen van °C naar °F of °R.

a Laat zien hoe je de formule voor 𝐹 uit de tekst kunt aﬂeiden.

b Teken bij beide formules een graﬁek. Maak eerst een tabel met voor 𝐶 de getallen 0, 10, 20, ..., 100.

c Hoe kun je aan de formules zien dat de graﬁek van 𝐹 behoorlijk steiler omhoog loopt dan die van 𝑅?

d Laat met een getallenvoorbeeld zien dat het verdubbelen van de waarde van 𝐶 wel betekent dat de waarde van 𝑅 verdubbelt, maar niet dat de waarde van 𝐹 verdubbelt.

Opgave 7

Er bestaat ook nog de temperatuurschaal van Kelvin. Het omrekenen van K (graden Kelvin, je zegt gewoon ‘Kelvin’) naar °C gaat zo: 𝐾 = 𝐶 + 273.

a Is 𝐾 recht evenredig met 𝐶? Licht het antwoord toe.

b 𝐾 = 0 is het absolute nulpunt. Hoeveel °C hoort daar bij?

(11)

Verwerken

Opgave 8

Mevrouw Willems krijgt een kilometervergoeding voor de kilometers die ze voor haar werk met de auto aﬂegt. Ze krijgt €0,19 per km. Noem het aantal werkkilometers per maand u�.

a Welke formule geldt voor de kilometervergoeding per maand 𝐾 afhankelijk van u�?

b Is 𝐾 recht evenredig met u�? En waarom dan?

c Hoe ziet de graﬁek van 𝐾 er uit?

d Zijn de brandstofkosten voor het werk ook recht evenredig met u�?

e Zijn haar totale kosten voor de werkkilometers recht evenredig met u�? Motiveer je antwoord.

Opgave 9

De prijs die je voor een rit met een taxi betaalt, hangt af van de afstand die je rijdt. Je ziet hieronder van drie taxibedrijven de graﬁek van het verband tussen prijs u� (in €) en gereden afstand u� (in km).

a Bij welke ﬁrma’s betaal je alleen een bedrag per gereden km?

b Geef bij die twee taxibedrijven een formule voor u� afhankelijk van u�.

c Als taxi’s bijna uitsluitend in de stad rijden, zijn zij minder zuinig met de brandstof. Welke van deze beide ﬁrma’s heeft vrijwel alleen taxi’s in de grote stad? Verklaar je antwoord.

d Hoeveel bedragen die voorrijkosten?

e Stel ook voor die derde ﬁrma een formule op voor u�.

f Hoe kun je aan de graﬁek en de formule zien dat bij die derde ﬁrma de prijs u� niet recht evenredig is met het aantal gereden km?

Opgave 10

Zuiver cilindervormige kaarsen branden gelijkmatig op: elk uur verdwijnt er (in theorie) evenveel kaarslengte. Hier zie je twee graﬁeken bij opbrandende kaarsen.

a Welke van deze twee graﬁeken hoort bij een cilindervormige kaars en waarom?

b Waarom is de kaarslengte niet recht evenredig met de brandtijd?

c Met hoeveel cm per uur brandt de cilindervormige kaars op?

(12)

Opgave 11

Hier zie je vier formules die een verband tussen u� en u� beschrijven.

> formule I: u� = 0,85u�

> formule II: u� = 0,85 + u�

> formule III: u� = 8,5 ⋅ u�

> formule IV: u� = 8,5 − 1,5u�

a Bij welke van deze formules is u� recht evenredig met u�?

b Bereken bij elk van deze vier formules de waarde van u� waarvoor u� = 5.

Bij formule I: u� = 5 /0,85 = ¹⁰⁰₁₇

Opgave 12

In de natuurkunde spreek je van een éénparige beweging als de snelheid waarmee je beweegt constant is. Voor de afgelegde weg u� (in m) geldt dan u� = u� ⋅ u� waarin

> u� de snelheid in m/s is;

> u� de tijd in s is.

a Leg uit waarom bij een éénparige beweging de afgelegde weg recht evenredig is met de tijd.

b Een voorwerp beweegt 20 s met een snelheid van 40 m/s. Hoeveel bedraagt zijn afgelegde weg?

c Een voorwerp beweegt 20 s en legt daarin 700 m af. Met welke snelheid bewoog dit voorwerp?

d Een voorwerp beweegt 1500 m met een snelheid van 60 m/s af. Hoe lang doet het daar over?

e Je kunt de gegeven formule ook in de vorm u� = ... schrijven. Hoe ziet hij er dan uit?

f Schrijf de gegeven formule in de vorm u� = ....

(13)

Toepassen

Opgave 13: Auto op benzine

Deze tabel is gemaakt door de bestuurder van een auto die op benzine rijdt. De ki- lometerstand en de hoeveelheid getankte benzine is steeds op hetzelfde moment opgeschreven. (Je kunt misschien zelf ook wel dergelijke gegevens bemachtigen.

Dan heb je nog wat aan het rekenwerk!)

a Laat zien dat deze bestuurder gemiddeld ongeveer 0,08 liter benzine per gereden km verbruikte.

b De gemiddelde benzineprijs was in die periode €1,75/liter. Hoeveel bedragen zijn brandstofkosten per kilometer?

c Waarom is dat een aanname?

d Stel een formule op bij het verband tussen 𝐾 en u� en bereken hiermee de brandstofkosten voor een jaar waarin deze auto ongeveer 18000 km rijdt.

e Is een onkostenvergoeding van €0,19 per km voor de kilometers die iemand voor zijn werk rijdt dus zonder meer voordelig voor de automobilist? Licht je antwoord toe.

Opgave 14: Auto op benzine, op diesel, op gas, of electrisch?

Er zijn ook auto’s die niet op benzine rijden, zelfs in dezelfde prijsklasse. Ook daarvan kun je de brandstofkosten per jaar schatten. Wat is het voordeligst?

Houd een vergelijkend onderzoek naar de jaarlijkse brandstofkosten van auto’s uit dezelfde prijsklasse die op verschillende brandstoﬀen rijden. Zoek zoveel mogelijk echte gegevens en/of zoek op internet.

Kies zelf een prijsklasse.

(14)

1.2 Lineaire verbanden

Verkennen

Opgave 1

Niet overal op de wereld wordt de euro als munteenheid gebruikt. In Denemarken bijvoorbeeld is de munteenheid de Deense Kroon (DKK). Een Deense Kroon is ongeveer

€0,13. Wil je bij een bank Deens Kronen kopen dan betaal je vaak ook nog transactiekosten, dat zijn kosten voor het werk dat de bank heeft aan het afhandelen van jouw betalingsopdracht. Stel dat die kosten €2,50 per transactie zijn.

a Hoeveel betaal je bij deze koers en deze transactiekosten voor DKK 600,00?

b En als je twee keer zoveel Deense Kronen wilt, betaal je dan ook twee keer zoveel?

c Als je de kosten voor het kopen van Deens Kronen voorstelt door 𝐸 (in €) en het aantal Deense Kronen door 𝐷, welke formule geldt er dan? En hoe ziet de bijbehorende graﬁek er uit?

Uitleg

Voor een telefoonabonnement betaal je abonnementskosten en belkosten.

Stel je voor je betaalt €30,00 abonnementskosten per maand en nog €0,25 per minuut. Van de kosten per maand kun je een graﬁek maken. Je kosten per maand zien er zo uit:

> 0 minuten gebeld: 30,00 euro

> 1 minuten gebeld: 30 + 1 ⋅ 0,25 = 30,25 euro

> u� minuten gebeld: 30 + u� ⋅ 0,25 = 30 + 0,25 ⋅ u� euro Dus geldt de formule: 𝐾 = 30 + 0,25 ⋅ u�.

𝐾 stelt dan de belKosten per maand voor.

Omdat de graﬁek een rechte lijn is, heet dit een lineair verband. Het getal 30 is het startgetal. Het getal 0,25 bepaalt de helling van de graﬁek, je noemt dit het hel-

lingsgetal. Dit hellingsgetal is de vaste toename (of afname) van 𝐾 bij een toename van u� met 1 eenheid.

Bij elk lineair verband is sprake van zo’n vaste toename van de uitkomst per stap. Omdat dit getal de richting van de lijn bepaalt spreek je ook wel van richtingscoëﬃciënt.

Opgave 2

Bekijk de Uitleg op pagina 12. Je ziet een formule voor het berekenen van de maandelijkse belkosten 𝐾 afhankelijk van het aantal belminuten u�.

a Teken zelf de graﬁek van 𝐾 afhankelijk van u�. Vul daartoe eerst deze tabel in.

(15)

u� 0 10 20 30 40 50

𝐾 30,00

b Geef in je graﬁek het startgetal en het hellingsgetal aan.

c De aanbieder van dit abonnement verlaagt de abonnementskosten tot €20,00. Wat betekent dit voor de graﬁek van 𝐾?

d De aanbieder van dit abonnement verlaagt de belkosten per minuut tot €0,20. Wat betekent dit voor de graﬁek van 𝐾 als de abonnementskosten €30,00 blijven?

Opgave 3

Telefoneren met een mobiele telefoon kost geld. Er zijn verschillende soorten abonnementen. Stel je voor dat je alleen tijdens werktijd binnen Nederland wilt bellen. De belkosten per maand (in €) hangen af van het aantal belminuten. Je vergelijkt twee aanbieders van mobiele telefonie en je hebt een telefoon waarmee je alleen kunt bellen (geen sms, geen internet, etc.).

> Bedrijf A: abonnement €9,90 per maand en €0,25 per belminuut.

> Bedrijf B: geen abonnementskosten en €0,36 per belminuut.

a Geef voor beide bedrijven een formule voor het verband tussen de kosten u� en het aantal belminuten u�.

b Maak een tabel zoals die hieronder en teken bij beide formules een graﬁek in één assenstelsel.

belminuten u� 0 50 100

bedrijf A u� (in €) bedrijf B u� (in €)

c Bij welk van beide bedrijven zijn de kosten recht evenredig met het aantal belminuten?

d Waarom is bij beide bedrijven sprake van een lineair verband? Geef bij elk van beide graﬁeken de richtingscoëﬃciënt.

e Je belt per maand 85 minuten. Bij welk bedrijf neem jij een abonnement en waarom?

Theorie en voorbeelden

Voorbeeld 1

Je kunt ook pre-paid telefoneren: je koopt dan vooraf een beltegoed van bijvoorbeeld €50,00.

Als elke minuut bellen dan €0,25 kost, hangt je beltegoed 𝐵 nog uitsluitend af van het aantal belminuten u�. Er geldt:

𝐵 = 50 − 0,25 ⋅ u�

Ook hier is sprake van een lineair verband. Het startgetal is 50.

De richtingscoëﬃciënt is −0,25.

De bijbehorende graﬁek is een dalende rechte lijn. Na 50 /0,25 = 200 minuten is het beltegoed op.

(16)

Opgave 4

Bekijk in Voorbeeld 1 op pagina 13hoe je beltegoed afhangt van het aantal minuten u� dat je hebt gebeld.

a Bereken je beltegoed na 60 minuten bellen.

b Controleer met een berekening dat na 60 minuten bellen je beltegoed op is. Waarom nemen ouders vaak zo’n abonnement voor hun kinderen?

c Wat betekent een negatieve richtingscoëﬃciënt voor een lineaire graﬁek?

d Wat gebeurt er met de formule en de graﬁek als deze aanbieder van mobiele telefonie zijn belkosten per minuut verhoogt naar €0,30?

Opgave 5

Een cilindervormige kaars brandt gelijkmatig op, u� is de brandtijd in uren. Hij wordt elk uur 1,5 cm korter. De kaars is op zeker moment (u� = 0) nog 25 cm lang.

a Waarom is de lengte van het stuk kaars dat is opgebrand recht evenredig met de brandtijd?

b Waarom is de kaarslengte 𝐿 (in cm) niet recht evenredig met de brandtijd?

c Geef een formule voor 𝐿 afhankelijk van u�.

d Laat met een berekening zien dat deze kaars na 16 uur branden nog niet op is.

e Hoe ziet de graﬁek van 𝐿 afhankelijk van u� er uit? Welk startgetal en welke richtingscoëﬃciënt heeft hij?

Voorbeeld 2

Je ziet hier hoe de temperatuur 𝑇 afhangt van de hoogte ℎ boven de zeespiegel. Welke formule hoort bij het lineaire verband tussen 𝑇 en ℎ?

(17)

Het startgetal is 20°C.

Om het hellingsgetal te weten te komen zoek je twee ‘mooie’ punten op de graﬁek. Hier zijn dat (0, 20) en (5, −10).

Als de hoogte toeneemt van ℎ = 0 tot ℎ = 5, dan neemt de temperatuur af van 20°C naar −10°C. Bij elke hoogtestijging van 5 − 0 = 5 km, neemt de temperatuur toe met −10 − 20 = −30°C. Per km dus met −30 /5 = −6 °C.

Het hellingsgetal per km is daarom −6.

De gevraagde formule is: 𝑇 = 20 − 6 ⋅ ℎ met ℎ in km en 𝑇 in °C.

Nu kun je een nauwkeurige tabel maken...

Opgave 6

In Voorbeeld 2 op pagina 14heb je een graﬁek van het verband tussen de temperatuur 𝑇 en de hoogte ℎ boven de zeespiegel. Je wilt er een formule bij maken om op bepaalde hoogtes de temperatuur toch minstens op een graad nauwkeurig te kunnen berekenen.

a Waarom neem je twee ‘mooie’ punten op de graﬁek? Wat wordt daar eigenlijk mee bedoeld?

b Waarom is het aﬂezen van het snijpunt van de graﬁek met de verticale 𝑇-as erg handig?

c Hoe is in het voorbeeld het hellingsgetal berekend?

d Bereken met behulp van de gevonden formule de temperatuur op 1,5 km hoogte.

e Stel zelf een formule op voor het verband tussen de temperatuur 𝑇 (in °C) en de hoogte ℎ (in km) boven de zeespiegel als op ℎ = 0 de temperatuur 15°C is en ℎ = 4 de temperatuur −9°C is?

Opgave 7

Je hebt nu een manier gezien om een formule op te stellen bij een lineair verband als van de bijbehorende graﬁek het punt op de verticale as en nog een ander punt is gegeven. In het Practicumtref je een applet aan om dit mee te oefenen. Door nieuwe punten 𝐴 en 𝐵 te kiezen, krijg je steeds een nieuw lineair verband. Laat punt 𝐴 op de u�-as liggen.

a Neem eerst 𝐴(0, 6) en 𝐵(4, 8). Stel een bijpassende formule op.

b Neem eerst 𝐴(0, 6) en 𝐵(4, 2). Stel een bijpassende formule op.

c Oefen dit met een medeleerling.

d Hoe ziet je formule er uit als 𝐴(0, 6) en 𝐵(4, 6) kiest? Hoe groot is de richtingscoëﬃciënt van een horizontale lijn?

e En wanneer lukt het maken van een formule van de vorm u� = ... niet? Hoe komt dat?

(18)

Opgave 8

Je kunt ook wel een formule van een lineair verband opstellen als het snijpunt van de graﬁek met de verticale as niet goed is af te lezen. Hiernaast zie je zo’n situatie. Er zijn drie punten goed af te lezen, maar het startgetal niet.

a De punten 𝐴(2, 3) en 𝐵(6, 8) liggen op de graﬁek. Bereken met behulp van deze twee punten het hellingsgetal van de lijn.

b Als je vanuit punt 𝐴 één roosterlijn naar links gaat, welk punt op die roosterlijn ligt dan op de graﬁek?

c Bepaal nu het punt van de graﬁek op de verticale as. Welk startgetal heeft de graﬁek?

d Schrijf nu een passende formule voor dit lineaire verband op.

e Controleer of je formule correct is door het punt 𝐶 te substitueren.

Opgave 9

In het Practicumtref je een applet aan om het opstellen van een formule bij een lineair verband te oefenen. Door nieuwe punten 𝐴 en 𝐵 te kiezen, krijg je steeds een nieuw lineair verband.

a Neem eerst 𝐴(2, 6) en 𝐵(4, 8). Stel een bijpassende formule op.

b Neem eerst 𝐴(−2, 6) en 𝐵(4, 2). Stel een bijpassende formule op.

c Oefen dit met een medeleerling.

d Hoe ziet je formule er uit als 𝐴(2, 6) en 𝐵(4, 6) kiest? Hoe groot is de richtingscoëﬃciënt van een horizontale lijn?

e En wanneer lukt het maken van een formule van de vorm u� = ... niet? Hoe komt dat?

Verwerken

Opgave 10

Voor het verbruik van water betaal je twee soorten kosten:

> een vast bedrag per jaar, het vastrecht;

> een bedrag per m³water die je verbruikt.

Die bedragen kunnen per gebied verschillend zijn, afhankelijk van de leverancier van het water. In de tabel worden twee gebieden vergeleken:

verbruik u� (in m³) 0 50 100 150 200

kosten 𝐾 in gebied A (in €) 36,00 126,00 216,00 kosten 𝐾 in gebied B (in €) 48,00 125,50 203,00

a In beide gevallen is er sprake van een lineair verband tussen 𝐾 en u�. Leg uit waarom en vul de tabel verder in.

(19)

b Uit de tabel kun je aﬂeiden hoeveel je in beide gevallen per m³betaalt. Doe dat voor beide gebieden en stel formules op voor 𝐾 afhankelijk van u�.

c Teken de graﬁeken van 𝐾 voor beide gebieden in één ﬁguur.

d Bereken de kosten voor een waterverbruik van 120 m³in beide gebieden.

e Hoe kun je aan de twee hellingsgetallen zien in welk gebied je het goedkoopste uit bent als je veel water verbruikt?

Opgave 11

Je ziet hier drie graﬁeken die elk een verband tussen de variabelen u� en u� weergeven.

a Bij welke van deze graﬁeken is u� recht evenredig met u�?

b Hoe groot is bij die graﬁek het hellingsgetal?

c Bij welke van deze graﬁeken is het hellingsgetal negatief?

d Maak bij elke graﬁek een formule voor u� afhankelijk van u�.

Opgave 12

Zuiver cilindervormige kaarsen branden gelijkmatig op. Je ziet hier de graﬁeken van de lengte 𝐿 (in cm) van twee van die kaarsen afhankelijk van de brandtijd u� (in uur).

a Welke graﬁek hoort bij de dikste kaars? Waarom?

b Waarom is er bij beide graﬁeken sprake van een lineair verband?

c Stel formules op voor het verband tussen 𝐿 en u�.

d Je steekt beide kaarsen tegelijk aan. Welke is het langst na 4 brand- uren?

(20)

Opgave 13

De graﬁek van een lineair verband tussen u� en u� gaat door de punten 𝐴(0, 10) en 𝐵(5, 12).

a Stel een formule op voor u� afhankelijk van u�.

De graﬁek van een lineair verband tussen u� en u� gaat door de punten 𝐴(0, 10) en 𝐶(5, 0).

b Stel een formule op voor u� afhankelijk van u�.

De graﬁek van een lineair verband tussen u� en u� gaat door de punten 𝑂(0, 0) en 𝐵(5, 12).

c Stel een formule op voor u� afhankelijk van u�.

De graﬁek van een lineair verband tussen u� en u� gaat door de punten 𝐴(0, 10) en 𝐷(5, 10).

d Stel een formule op voor u� afhankelijk van u�.

Opgave 14

Het gewicht van een kabelhaspel hangt af van de lengte van de kabel die er omheen gewonden is. Zo’n grote kabelhaspel bevat nieuw wel 1000 m kabel. Hij weegt dan 800 kg. Leeg weegt deze haspel nog 50 kg.

Hoeveel weegt de kabelhaspel als er 200 m kabel af is? Geef een duidelijke berekening.

Toepassen

Opgave 15: Benzine of diesel

Bekijk via

> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Lineaire verbanden > Toepassen

schattingen van de diverse kosten die je maakt als je in een eigen auto wilt rijden. Ga in deze opgave uit van die gegevens.

a Welke van deze kosten zijn vaste kosten per jaar?

b Hoeveel bedragen de brandstofkosten per kilometer voor de auto op benzine? En voor de auto op diesel?

c Stel voor de auto op benzine een formule op van de totale kosten per jaar (𝐾 in euro) afhankelijk van het aantal gereden kilometers per jaar (u� in km). Doe dit ook voor de auto die op diesel rijdt.

d Bereken hiermee de kosten voor een jaar waarin de auto ongeveer 18000 km rijdt. Doe dit zowel voor de auto op benzine als die op diesel.

e Maak graﬁeken bij het verband tussen 𝐾 en u� en bepaal daarmee vanaf hoeveel km per jaar je goedkoper uit bent met een auto die op diesel rijdt.

Opgave 16: Auto op benzine, op diesel, op gas, of electrisch?

Je hebt in de voorgaande opgave het verschil in kosten bekeken van een auto die op benzine rijdt en een auto op diesel. Natuurlijk is het beter als je zelf actuele gegevens zoekt en gebruikt voor de berekening.

Je kunt daarbij ook denken aan het vergelijken met een auto op gas of een auto die een elektromotor

(21)

Houd een vergelijkend onderzoek naar de jaarlijkse kosten van auto’s uit dezelfde prijsklasse die op verschillende brandstoﬀen rijden. Zoek zoveel mogelijk echte gegevens en/of zoek op internet. Kies zelf een prijsklasse.

(22)

1.3 Lineaire vergelijkingen

Verkennen

Opgave 1

De productie van een nieuw soort verf kost €3,50 per liter. Verder zijn er vaste kosten (machines, gebouwen, etc.). Voor de productie van deze verf zijn die berekend op €24000,00. De fabrikant van deze verf wil ze verkopen voor €7,20 per liter.

Hoeveel liter moet hij verkopen om winst te gaan maken?

a Stel een formule op voor de kostprijs 𝐾 van u� blikken verf.

b Stel ook een formule op voor de opbrengst 𝑅 als alle u� blikken verf zijn verkocht.

c Bij welke van beide formules is sprake van een recht evenredig verband?

d Leg uit dat de vraag van de fabrikant kan worden vertaald in 7,20 ⋅ u� > 24000 + 3,50 ⋅ u�.

e Hoe zou je de ongelijkheid bij d oplossen?

Uitleg

De productie van een nieuw soort verf kost €3,50 per liter. Verder zijn er vaste kosten (machines, gebouwen, etc.). Voor de productie van deze verf zijn die berekend op €24000,00. De fabrikant van deze verf wil ze verkopen voor €7,20 per liter.

Hoeveel liter moet hij verkopen om winst te gaan maken?

Je kunt dit probleem oplossen door een vergelijking op te stellen...

De productiekosten 𝐾 hangen af van het geproduceerde aantal liter u�: 𝐾 = 24000 + 3,50 ⋅ u�.

Als hij alle geproduceerde verf verkoopt, hangt de opbrengst 𝑅 ook af van u�: 𝑅 = 7,20 ⋅ u�.

Dan zijn opbrengst en kosten gelijk als 7,20 ⋅ u� = 24000 + 3,50 ⋅ u�.

Omdat hier twee lineaire verbanden worden vergeleken is dit een lineaire vergelijking. Zo’n vergelijking kun je oplossen met de balansmethode. Dit levert op u� ≈ 6486.

Er wordt winst gemaakt bij een verkoop van 6487 liter of meer. Dit is de oplossing van de lineaire ongelijkheid 7,20 ⋅ u� > 24000 + 3,50 ⋅ u�

Opgave 2

Bekijk het probleem in deUitleg op pagina 20nog eens. Er wordt gesteld dat je de vergelijking 7,20⋅u� = 24000 + 3,50 ⋅ u� kunt oplossen met de balansmethode.

a Hier zie je een onvolledig uitwerking daarvan. Maak deze uitwerking volledig.

=

b Waarom hoort bij aan de het begin van de uitleg gestelde vraag eigenlijk een ongelijkheid?

c De oplossing van het probleem is dat het aantal geproduceerde liters 6487 liter of meer zou moeten zijn. Ga na dat bij 6487 liter inderdaad winst wordt gemaakt en bij 6486 niet.

(23)

Opgave 3

Bij het oplossen van vergelijkingen en ongelijkheden bij lineaire verbanden speelt de balansmethode een grote rol. Die moet je goed beheersen. Los de volgende vergelijkingen op die manier op en controleer de oplossing.

a 15u� + 38 = 10u� + 53 b 5u� − 36 = −96 − 3u�

c 25u� − 150 = 18u�

d 15200 + 0,8u� = 8400 + 2u�

Theorie en voorbeelden

Voorbeeld 1

Deze graﬁeken laten zien hoe twee cilindervormige kaarsen opbranden. 𝐿 is de lengte van de kaars in cm en u� is de brandtijd in uren.

Bereken in minuten nauwkeurig het moment waarop beide kaarsen even lang zijn.

Stel bij elke graﬁek een formule op:

> kaars I: 𝐿 = 20 − 2u�

> kaars II: 𝐿 = 25 − 3,125u�

Beide kaarsen zijn even lang als: 20 − 2u� = 25 − 3,125u�. Oplossen geeft:

=

Beide kaarsen zijn even lang na ongeveer 4 uur en 27 minuten. (Omrekenen naar minuten!)

Opgave 4

Bekijk in Voorbeeld 1 op pagina 21hoe je kunt berekenen op welk tijdstip twee verschillende cilindervormige kaarsen (die gelijkmatig opbranden) even lang zijn als ze tegelijk worden aangestoken.

a Hoe zie je aan de graﬁek dat beide kaarsen tegelijk worden aangestoken?

b Stel zelf de formules op voor de lengte 𝐿 van deze kaarsen.

c Met de balansmethode wordt het tijdstip berekend waarop beide kaarsen even lang zijn. Bereken dit tijdstip in seconden nauwkeurig.

d Deze nauwkeurigheid is bij opbrandende kaarsen niet erg zinnig, op de minuut nauwkeurig is al bijna overdreven, maar vooruit... Hoeveel minuten (dus afronden op hele minuten) is kaars II langer dan kaars I?

(24)

Opgave 5

Hier zie je twee andere cilindervormige kaarsen die tegelijk worden aangestoken.

Na hoeveel minuten is kaars I langer dan kaars II?

Voorbeeld 2

Hier zie je enkele voorbeelden van het oplossen van wat lastiger lineaire vergelijkingen. Kijk goed wat er elke stap gebeurt.

Dit is het eerste voorbeeld.

=

En dit is het tweede voorbeeld.

=

Opgave 6

Bekijk in Voorbeeld 2 op pagina 22de twee uitwerkingen van wat lastiger lineaire vergelijkingen. In de eerste vergelijking komen breuken voor, in de tweede vergelijking haakjes.

Bekijk eerst de eerste vergelijking.

a Wat gebeurt er in de eerste stap van de oplossing?

b In de tweede stap gebeuren er twee dingen tegelijk, welke twee? Is de volgorde daarbij belangrijk?

Bekijk vervolgens de tweede vergelijking. Zowel links als rechts van het isgelijkteken worden de haakjes uitgewerkt.

c Leg uit hoe dit gebeurt.

d Loop de rest van de uitwerking na. Controleer het antwoord.

(25)

Opgave 7

Los de volgende vergelijkingen op.

a ^2u�+20₆ = 10

b ¹₂(12 − u�) = u� − (27 − u�) c (5 − 2u�) − (u� + 4) = 7 d ¹₅u� − 0,8 = 2 −¹₂u�

Opgave 8

In het Practicumkun je oefenen met het oplossen van lineaire vergelijkingen.

Oefen jezelf daarmee.

Verwerken

Opgave 9

Los de volgende vergelijkingen op:

a 4500 − 15 ⋅ u� = 600 b 12 − 4u� = 36 + 2u�

c −6u� + 55 = 4u� − 25

d 4000 + 14,5u� = 12000 − 10,5u�

Opgave 10

a ^u�₃− 25 = 16 b ¹₃u� − 25 = 16 +¹₂u�

c 5(4 − 2u�) = 5u� − (3 + u�) d ^6−u�₃ = 2(4 − u�)

Opgave 11

Je ziet hier graﬁeken van twee lineaire verbanden, aangegeven met u�₁en u�₂.

a Los op: u�₁= u�₂. b Los op: u�₁< u�₂.

c Controleer je antwoord bij b voor enkele waarden van u�.

(26)

Opgave 12

De temperatuur boven het aardoppervlak hangt onder andere af van de hoogte waarop je je bevindt.

Vooral voor bergbeklimmers is het belangrijk om te weten dat elke 100 m stijgen een daling van de temperatuur van ongeveer 0,6°C betekent. Deze bergbeklimmers meten een temperatuur van 16°C.

a Welke temperatuur meten zij als ze nog 120 m omhoog klimmen?

b Het aantal m dat ze omhoog gaan kun je ℎ noemen. Welke formule geeft dan het verband weer tussen temperatuur 𝑇 (in °C) en ℎ?

c Welke ongelijkheid hoort er bij de vraag: “Na hoeveel m stijgen komt de temperatuur die ze meten onder het vriespunt?”

d Los de ongelijkheid bij c op. Geef je antwoord in tientallen m nauwkeurig.

Opgave 13

Voor de jaarlijkse kosten 𝐾 (in €) voor het waterverbruik u� in twee gebieden A en B gelden de formules:

> in gebied A: 𝐾 = 36 + 1,80 ⋅ u�

> in gebied B: 𝐾 = 48 + 1,55 ⋅ u�

Schrijf bij de volgende vragen steeds de bijbehorende ongelijkheid op en los hem op. Geef je antwoord in m³nauwkeurig.

a Bij welk verbruik zijn de kosten in gebied A lager dan in gebied B?

b Bij welk verbruik zijn de kosten in gebied B hoger dan €200?

Toepassen

Opgave 14: Benzine of diesel

Bekijk via

> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Lineaire vergelijkingen > Toepassen

de formules die iemand heeft opgesteld voor de kosten van het rijden op benzine of het rijden op diesel in een vergelijkbare auto.

a Welke ongelijkheid moet er worden opgelost?

b Los deze ongelijkheid op.

c Welk antwoord geef je nu op de vraag die de automobilist zichzelf heeft gesteld.

Opgave 15: Gastank inbouwen?

Je wilt in een auto die op benzine rijdt een gastank inbouwen. Dat kost €1450. Gas kost €0,40 per liter en je rijdt 16 km op één liter gas. De benzinekosten zijn €0,08 per km. De totale kosten 𝐾_u�voor het rijden op gas hangen af van het aantal km u� dat je rijdt.

a Stel een formule op voor 𝐾u�.

b Stel ook een formule op voor 𝐾_u�, de brandstofkosten aan benzine bij hetzelfde aantal gereden km u� . c Na hoeveel gereden km heb je de kosten van de gastank terug verdiend?

(27)

Verkennen

Opgave 1

Je rijdt met de auto 16 km over de snelweg. Hoe sneller je (gemiddeld) rijdt, hoe korter je over die 16 km doet: rijd je (gemiddeld) twee keer zo snel, dan heb je de helft van de reistijd nodig.

a Als je 16 km met 120 km/uur rijdt, hoe lang doe je daar dan over? Geef je antwoord eerst in uren en dan in minuten.

b Als je 16 km met 60 km/uur rijdt, hoe lang doe je daar dan over? Geef je antwoord eerst in uren en dan in minuten.

Noem de snelheid in km/uur u� en de reistijd in uren u�.

c Waarom is hier geen sprake van een recht evenredig verband?

d Welke formule geeft het verband tussen u� en u� weer?

Opgave 2

Van een rechthoek is de oppervlakte 24 m². a Hoe groot is de breedte als de lengte 8 m is?

b Hoe groot is de breedte als de lengte 4 m is?

c Hoe groot is de breedte als de lengte u� m is?

d Waarom wordt een verband zoals dat tussen de lengte en de breedte van een rechthoek met oppervlakte 24 m²wel ‘omgekeerd evenredig’ genoemd?

Uitleg

Op deAfsluitdijkligt een snelweg van 32 km lengte. Hoe sneller je rijdt, hoe korter je over die 32 km doet. De tijd die je nodig hebt is omgekeerd evenredig met de snelheid: rijd je twee keer zo snel, dan heb je de helft van de reistijd nodig.

> Je rijdt 120 km/h op de snelweg. Je bent dan 32 /120 ⋅ 60 = 16 minuten onderweg.

> Bij grote drukte rijdt je 60 km/h. Je bent dan 32 /60 ⋅ 60 = 32 minuten onderweg.

Je ziet dat je de reistijd u� in minuten kunt berekenen door de afstand van 32 km te delen door de snelheid u� (in km/h) en met 60 te vermenigvuldigen: u� =³²_u� ⋅ 60 =¹⁹²⁰_u� .

De graﬁek van zo’n omgekeerd evenredig verband zie je hiernaast. Voor snelheden dicht bij 0 wordt de reistijd heel erg groot. Voor hele grote snelheden wordt de reistijd vrijwel 0.

Applet: graﬁek omgekeerd evenredig verband

Twee variabelen u� en u� zijn omgekeerd evenredig als het vermenigvuldigen van u� met een getal u� tot gevolg heeft dat u� met¹ wordt vermenigvuldigd. Bijvoorbeeld: wordt u� twee keer zo groot, dan wordt

(28)

u� een half keer zo groot.

Bij een omgekeerd evenredig verband hoort een formule van de vorm u� =_u�^u�met u� constant.

Je kunt die formule ook schrijven als u� ⋅ u� = u�.

De graﬁek van zo’n omgekeerd evenredig verband is een hyperbool.

Opgave 3

Je rijdt 32 km over de snelweg.

a Hoe lang (in minuten) doe je daar over als je 80 km/h rijdt?

b Hoe lang (in minuten) doe je daar over als je 40 km/h rijdt?

c Teken een graﬁek van u� = ¹⁹²⁰_u� . Maak eerst een tabel met voor u� de waarden 10, 20, ..., 120.

d Wat betekent het voor de reistijd als je snelheid bijna 0 wordt? Wat betekent dit voor de graﬁek?

e Wat betekent het voor de reistijd als je snelheid heel groot wordt? Wat betekent dit voor de graﬁek?

Opgave 4

In de applet in de Uitleg op pagina 25zie je de graﬁek van het omgekeerd evenredig verband u� = ^u�_u�

waarin u� een constante is. Je kunt u� aanpassen met een schuifbalkje.

Een applet met de graﬁek van van het omgekeerd evenredig verband u� = ^u�_u� met u� constant zie je via

> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Omgekeerd evenredig > Uitleg

In de applet kun je u� aanpassen met een schuifbalkje.

a Neem u� = 1 en bekijk de graﬁek. De graﬁek gaat door de punten (1, 1), (2, 0,5) en (0,5, 2). Laat zien dat deze punten ook aan de formule voldoen.

b Welke waarde heeft u� als u� = 100? En als u� = 100000?

c Bij welke waarde van u� geldt u� = 100? En welke als u� = 100000?

Voor verschillende waarden van u� krijg je verschillende graﬁeken. Het zijn allemaal hyperbolen.

d Bij welke waarde van u� gaat die hyperbool door het punt (2, 3)?

e Waarom hebben al deze graﬁeken geen punt met u� = 0?

Theorie en voorbeelden

Voorbeeld 1

Applet: rechthoek met vaste oppervlakte

Als een rechthoekig tafelblad een oppervlakte van 1 m²heeft, kunnen lengte u� en breedte u� nog variëren.

Laat zien dat u� en u� omgekeerd evenredig zijn en stel een passende formule op met u� en u� in cm.

Voor de oppervlakte van de rechthoek geldt: u� ⋅ u� = 10000 cm². Dit kun je schrijven als: u� =¹⁰⁰⁰⁰_u� .

> Bij u� = 100 hoort u� =¹⁰⁰⁰⁰₁₀₀ = 100.

> Bij u� = 200 hoort u� =¹⁰⁰⁰⁰= 50.

(29)

Wordt u� twee keer zo groot, dan wordt u� gehalveerd. En dit kun je gemakkelijk ook voor andere waarden nagaan. Inderdaad zijn u� en u� omgekeerd evenredig.

Opgave 5

Bekijk inVoorbeeld 1 op pagina 26hoe er duidelijk wordt gemaakt dat lengte u� en breedte u� omgekeerd evenredig zijn.

a Geef zelf nog een ander voorbeeld.

b Teken een graﬁek van u� afhankelijk van u�. Maak eerst een tabel met voor u� de waarden 10, 20, ..., 100.

Neem aan dat de omtrek van de rechthoek 410 cm is.

c Leg uit, dat dit betekent dat u� = 205 − u�.

d Teken in de graﬁek die je bij d hebt gemaakt nu ook de graﬁek bij de formule van e. Zoek uit welke lengte en breedte de rechthoek heeft die aan beide formules voldoet.

Opgave 6

Bij de productie van bijvoorbeeld verf is er sprake van productiekosten per liter, maar ook van vaste kosten (machine, bedrijfshal, enzovoorts) die niet van het geproduceerde aantal liter verf afhangen. Bij het berekenen van de prijs die de fabrikant per liter verf gaat berekenen moet hij ook met deze vaste kosten rekening houden. Neem aan dat die vaste kosten €32000 bedragen.

a Laat met een voorbeeld zien dat de vaste kosten per liter gerekend (u� in euro/liter) omgekeerd evenredig zijn met het aantal geproduceerde liter u�.

b Welke formule kun je opstellen voor u� afhankelijk van u�?

c Bij welke waarde van u� worden de vaste kosten per liter kleiner dan €0,50?

Verwerken

Opgave 7

Bij het rijden in een auto heb je behalve met de brandstofkosten per gereden km ook te maken met vaste jaarlijkse kosten voor onder andere wegenbelasting, verzekering, garagekosten en afschrijving.

Wanneer je wilt uitrekenen hoeveel een auto kost per gereden km dan moet je ook met die vaste kosten rekening houden.

Mevrouw Jansen schat haar vaste kosten op €3800 per jaar. Als ze dit wil omrekenen naar vaste kosten per km, dan moet ze delen door het aantal km dat ze per jaar rijdt.

a Hoeveel bedragen haar vaste kosten per km als ze 19000 km rijdt in een jaar?

b Leg uit dat haar vaste kosten per km u� omgekeerd evenredig zijn met het jaarlijks aantal gereden km u�.

c Stel een formule op voor u� afhankelijk van u� en teken een bijpassende graﬁek.

d Bij welk jaarlijks gereden aantal km zijn haar vaste kosten per km minder dan €0,10?

(30)

Opgave 8

Een rechthoek met heeft lengte u� en breedte u� en oppervlakte 𝐴.

a Stel je voor dat u� = 10, maar u� nog kan variëren. Welke formule geldt dan voor 𝐴 afhankelijk van u�? Is 𝐴 recht evenredig of omgekeerd evenredig met u�?

b Stel je voor dat u� = 200, maar u� en u� kunnen nog variëren. Welke formule geldt dan voor u� afhankelijk van u�? Is u� recht evenredig of omgekeerd evenredig met u�?

c Stel je voor dat u� = 2 ⋅ u�. Welke formule geldt dan voor 𝐴 afhankelijk van u�? Is er nu sprake van recht of omgekeerd evenredig?

Opgave 9

Een boer wil voor zijn paard een rechthoekig weiland van 1200 m²afzetten. Hij heeft nog zoveel palen en draad, dat de omheining 182 m lang kan worden.

a De oppervlakte van het weiland wordt 1200 m². Leg uit, dat de lengte u� en de breedte u� daarom omgekeerd evenredig zijn. Stel een bijpassende formule op.

b Omdat de omheining 182 m wordt kun je nog een formule van de vorm u� = ... aﬂeiden. Schrijf die formule op.

c Teken de graﬁeken bij deze formules in één assenstelsel.

d Bepaal nu met behulp van de graﬁek en inklemmen welke afmetingen het weiland krijgt.

Opgave 10

Je ziet hier twee hyperbolen en twee rechte lijnen. Schrijf bij elk van deze graﬁeken een passende formule op, gebruik de aangegeven roosterputen. Zet er bij of de variabelen recht evenredig of omgekeerd evenredig zijn, of geen van beide.

(31)

Opgave 11

De heer Rabiat rijdt elke werkdag 60 km naar zijn bedrijf. Omdat hij bijna de hele weg op de autosnel- weg rijdt, heeft hij vrijwel voortdurend dezelfde snelheid.

a Hoeveel minuten reistijd heeft hij als hij 100 km per uur rijdt?

b Hoeveel minuten reistijd heeft hij als hij 80 km per uur rijdt?

c Waarom is de reistijd u� (in minuten) omgekeerd evenredig met de rijsnelheid u� (in km/h)? Stel een bijpassende formule op.

d Donderdag heeft de heer Rabiat 25 minuten over de terugreis van zijn bedrijf naar huis gedaan. Hoe hard heeft hij gereden?

Toepassen

Opgave 12: Hijskraan

Bekijk via

> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Omgekeerd evenredig > Toepassen

de formule voor het gewicht aan een hijskraan afhankelijk van de armlengte.

a Welke ongelijkheid moet er worden opgelost?

b Los de bijbehorende vergelijking op.

c Welk antwoord geef je nu op de vraag die wordt gesteld?

d Om een stapel stenen naar de goede plek te hijsen moet hij 23 m van het steunpunt van de draaiarm kunnen hangen. Hoe zwaar mag die stapel stenen hoogstens zijn?

(32)

1.5 Hyperbolische verbanden

Verkennen

Opgave 1

Je rijdt met de auto 16 km over de snelweg. Je hebt een constante (gemiddelde) snelheid. Maar je moet onderweg wel even stoppen om te tanken en dat kost 5 minuten.

a Als je 16 km met 120 km/uur rijdt, hoe lang doe je daar dan over? Geef je antwoord eerst in uren en dan in minuten.

b Als je 16 km met 60 km/uur rijdt, hoe lang doe je daar dan over? Geef je antwoord eerst in uren en dan in minuten.

Noem de snelheid in km/uur u� en de reistijd in uren u�.

c Waarom is hier geen sprake van een omgekeerd evenredig verband?

d Welke formule geeft het verband tussen u� en u� weer?

Uitleg

Op deAfsluitdijkligt een snelweg van 32 km lengte. Hoe sneller je rijdt, hoe korter je over die 32 km doet. Je gebruikt onderweg 5 minuten voor het tanken van brandstof.

> Je rijdt 120 km/h op de snelweg. Je bent dan 32 /120 ⋅ 60 + 5 = 21 minuten onderweg.

> Bij grote drukte rijdt je 60 km/h. Je bent dan 32 /60 ⋅ 60 + 5 = 37 minuten onderweg.

Nu betekent verdubbeling van de snelheid NIET een halve- ring van de reistijd. Snelheid en reistijd zijn NIET omgekeerd evenredig.

Je ziet dat je de reistijd u� in minuten kunt berekenen door de afstand van 32 km te delen door de snelheid u� (in km/h), met 60 te vermenigvuldigen en tenslotte nog 5 bij de uitkomst op te tellen:

u� = ³²_u� ⋅ 60 = ¹⁹²⁰_u� + 5.

Je spreekt van een hyperbolisch verband. Voor snelheden dicht bij 0 wordt de reistijd heel erg groot.

Voor hele grote snelheden komt de reistijd in de buurt van de 5 minuten.

Applet: hyperbolisch verband

Tussen twee variabelen u� en u� bestaaat een hyperbolisch verband als er een formule van de vorm u� =^u�_u�+ u� met u� en u� constant bij hoort.

De graﬁek van zo’n hyperbolisch verband is een hyperbool.

Er zijn twee lijnen die de graﬁek steeds dichter benadert zonder hem ooit te snijden: de u�-as en de lijn u� = u�. Dergelijke lijnen noem je asymptoten.

> De u�-as is de verticale asymptoot van de graﬁek.

> De lijn u� = u� is de horizontale asymptoot van de graﬁek.

(33)

Opgave 2

Je rijdt 32 km over de snelweg en je stopt onderweg 5 minuten om te tanken.

a Hoe lang (in minuten) doe je over deze 32 km als je 80 km/h rijdt?

b Hoe lang (in minuten) doe je daar over als je 40 km/h rijdt?

c Leg met behulp van je antwoorden bij a en b uit waarom nu de reistijd u� en de constante snelheid u�

niet omgekeerd evenredig zijn.

d Teken een graﬁek van u� = ¹⁹²⁰_u� + 5. Maak eerst een tabel met voor u� de waarden 10, 20, ..., 120.

e Wat betekent het voor de reistijd als je snelheid bijna 0 wordt? Wat betekent dit voor de graﬁek?

f Wat betekent het voor de reistijd als je snelheid heel groot wordt? Wat betekent dit voor de graﬁek?

Opgave 3

In de applet in de Uitleg op pagina 30zie je de graﬁek van het omgekeerd evenredig verband u� =^u�_u�+u�

waarin u� en u� constanten zijn. Je kunt deze constanten aanpassen met de schuifbalkjes.

Een applet met de graﬁek van van het omgekeerd evenredig verband u� = ^u�_u�+ u� met u� en u� constant zie je via

> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Hyperbolische verbanden > Uitleg

Je kunt deze constanten aanpassen met de schuifbalkjes.

a Neem u� = 1 en u� = 2 en bekijk de graﬁek. De graﬁek gaat door de punten (1, 3), (2, 2,5) en (0,5, 4).

Laat zien dat deze punten ook aan de formule voldoen.

b Welke waarde heeft u� als u� = 100? En als u� = 100000?

c Welke waarde heeft u� als u� = 0,01? En welke als u� = 0,00001?

Voor verschillende waarden van u� en u� krijg je verschillende graﬁeken. Het zijn allemaal hyperbolen.

Neem u� = 2.

d Bij welke waarde van u� gaat die hyperbool door het punt (2, 3)?

e Waarom hebben al deze graﬁeken geen punt met u� = 0? Geldt dit ook voor andere waarden van u�?

Neem nu u� = 1.

f Wat gebeurt er met de graﬁek als u� verandert?

Opgave 4

Je kunt zowel bij lineaire als hyperbolische verbanden ook heel goed werken met negatieve getallen.

In de applet van het Practicum tref je graﬁeken aan bij deze verbanden. Door de schuifbalkjes te gebruiken kun je de graﬁeken aanpassen.

Bekijk eerst de graﬁek bij de formule van de vorm u� = u� ⋅ u� + u�.

a Kies zelf waarden voor u� en u� en voorspel hoe de graﬁek er uit komt te zien voordat je die waarden instelt in de applet. (Maak bijvoorbeeld een schets.) Controleer vervolgens je antwoord.

b Van welk soort verband is hier sprake? Wat gebeurt er met de graﬁek als je de constante u� verandert?

En als je de constante u� verandert?

Bekijk nu de graﬁek bij de formule van de vorm u� =_u�^u�+ u�.

(34)

c Stel eerst in u� = 1 en u� = 2. Reken na dat de punten (1, 3), (−1, 1), (4, 2,25), (−4, 1,75), (0,25, 6) en (−0,25, −2) op de graﬁek liggen.

d Hoe komt het dat de graﬁek uit twee losse delen bestaat? Welke asymptoten zijn er?

e Kies zelf waarden voor u� en u� en voorspel hoe de graﬁek er uit komt te zien voordat je die waarden instelt in de applet. (Maak bijvoorbeeld een schets.) Controleer vervolgens je antwoord.

f Van welk soort verband is hier sprake? Wat gebeurt er met de graﬁek als je de constante u� verandert?

En als je de constante u� verandert?

Theorie en voorbeelden

Voorbeeld 1

Voor het laten drukken van folders betaal je een vast bedrag van €10,00 en daar bovenop €0,04 per folder. De kosten per folder zijn daarom hoog als je maar weinig laat drukken.

Noem het aantal folders dat je wilt laten drukken u� en de kosten per folder u�. Maak een bijpassende formule van u� afhankelijk van u� en teken de graﬁek. Voor welke waarde van u� bedragen de kosten per folder 6 cent?

Per folder betaal je in ieder geval €0,04. Verder betaal je per folder 10 u� euro.

In totaal dus u� = 0,04 +¹⁰_u� euro per folder.

Om een goede bijpassende graﬁek te maken moet je bedenken dat je veel folders wilt laten maken om de kosten per folder laag te houden. Misschien wel zo’n 1000 stuks. u� komt op de horizontale as en laat je daarom bijvoorbeeld lopen vanaf 0 tot en met 1000. Voor 1000 folders betaal je €0,05 per stuk, maar voor 100 folders betaal je €14 per stuk. Je kunt zelf wel een goede tabel en graﬁek maken...

Je moet vervolgens oplossen 0,04+¹⁰_u� = 0,06. Dat kun je doen met behulp van de graﬁek en inklemmen, maar je kunt ook ‘slim rekenen’.

Opgave 5

Bekijk welk probleem er in Voorbeeld 1 op pagina 32aan de orde wordt gesteld. Kijk nog niet meteen naar het antwoord.

a Probeer eerst zelf een passende formule te vinden.

b Gebruik de formule uit het voorbeeld. Van welk soort verband is er sprake?

c Maak zelf een tabel (in drie decimalen nauwkeurig) en een graﬁek bij deze formule.

d Je wilt weten bij welk aantal folders u� geldt u� < 0,06. Welke waarde voor u� levert precies 0,06 op? En wat wordt dus je antwoord?

In het voorbeeld staat dat je dit ook kunt vinden door slim te rekenen.

e Leg uit hoe je dan de vergelijking 0,04 +¹⁰_u� = 0,06 oplost.

Opgave 6

Bij de productie van bijvoorbeeld verf is er sprake van productiekosten per liter, maar ook van vaste kosten (machine, bedrijfshal, enzovoorts) die niet van het geproduceerde aantal liter verf afhangen. Bij het berekenen van de prijs die de fabrikant per liter verf gaat berekenen moet hij ook met deze vaste kosten rekening houden. Neem aan dat die vaste kosten €32000 bedragen. De productiekosten per liter

(35)

a Stel een formule op voor de totale kosten per liter (𝐾 in euro/liter) afhankelijk van het aantal geproduceerde liter u�.

b Bereken hiermee de totale kosten per liter bij een productie van 10000 liter van deze verf.

c Bij welke waarde van u� worden de vaste kosten per liter kleiner dan €6,00?

Voorbeeld 2

Voor het laten drukken van folders betaal je een vast bedrag van €10,00 en daar bovenop €0,04 per folder. De kosten per folder zijn daarom hoog als je maar weinig laat drukken.

Noem je het aantal folders dat je wilt laten drukken u� en de kosten per folder u�, dan geldt:

u� = 0,04 +¹⁰_u�

Bereken voor welke waarde van u� de kosten per folder 6 cent bedragen.

Je moet oplossen 0,04 +¹⁰_u� = 0,06. Dat kun je systematisch zo doen.

=

Dus bij 500 folders bedragen de kosten €0,06 per stuk.

Opgave 7

Je rijdt 32 km met een vrijwel constante snelheid over de snelweg en je stopt onderweg 5 minuten om te tanken. Voor je reistijd u� in minuten geldt dan u� =¹⁹²⁰_u� + 5, waarin u� de snelheid in km/h is.

a Je reistijd is 25 minuten. Met welke vergelijking kun je nu je snelheid berekenen?

b Los deze vergelijking systematisch op.

c Met welke snelheden moet je rijden als je niet langer dan 25 minuten over deze rit wilt doen?

Opgave 8

a ⁶⁰⁰_u� + 10 = 22 b ¹⁸⁰_u� = 4,5 c 4 +_u�−20⁴⁴⁰⁰ = 15 d ^2u�−50₁₅₀₀ − 0,4 = 0,1

(36)

Opgave 9

Je wilt systematisch de ongelijkheid ⁹⁶⁰_u� + 5 < 17 oplossen.

a Maak eerst een schets van de graﬁek van u� = ⁹⁶⁰_u� + 5 en geef daarin aan hoe je de waarde van u� kunt vinden waarvoor u� = 17.

b Bereken de waarde van u� waarvoor ⁹⁶⁰_u� + 5 = 17 c Lees uit je schets de oplossing van de ongelijkheid af.

Verwerken

Opgave 10

Op veel scholen kun je ook als leerling kopieën maken. De kosten voor de school zijn:

> de huur en het onderhoud van de kopieermachine: €150,00;

> de kosten per kopie: €0,02;

Noem de maandelijkse kosten per kopie 𝐾 en het aantal kopieën u�.

a Welke formule geldt voor 𝐾 afhankelijk van u�?

b Waarom zijn 𝐾 en u� niet omgekeerd evenredig?

c Teken een graﬁek bij deze formule.

d Stel dat je als leerling €0,05 per kopie betaalt. Hoeveel kopieën moeten er dan maandelijks minstens worden gemaakt als de school er niet bij in wil schieten? Los de bijbehorende ongelijkheid systematisch op.

Opgave 11

a ²⁴⁰⁰_u� + 3,6 = 6,8 b 200 +⁵⁰_u� = 450 c ^u�−15₃₀₀ − 0,5 = 0,8 d _u�−5⁸⁰⁰ = 50

Opgave 12

Je ziet hier graﬁeken bij de formules

> u�1=⁴_u�

> u�2= 6 − 0,5u�

> u�₃=³_u�+ 1

> u�₄= 0,2u� + 4

Welke formule hoort bij welke graﬁek?

Opgave 13

Je wilt de vergelijking⁴_u�+ 2 = u� + 1 oplossen voor positieve waarden van u�. Een vergelijking zoals deze kun je op dit moment alleen graﬁsch oplossen.

(37)

b In de graﬁeken zie je het snijpunt. Bereken de coördinaten ervan door inklemmen in één decimaal nauwkeurig.

c Schrijf de oplossing van deze vergelijking op in één decimaal nauwkeurig.

Opgave 14

Bij een hyperbolisch verband tussen u� en u� hoort een formule van de vorm u� = ^u�_u�+ u�. Hierin zijn u� en u� constanten.

a Bereken de waarde van u� die hoort bij u� = 10 als de graﬁek bij dit hyperbolische verband als horizontale asymptoot u� = 5 heeft en door het punt (2, 7) gaat.

b Bereken de waarde van u� die hoort bij u� = 10 als de graﬁek bij dit hyperbolische verband door de punten (2, 9) en (4, 8) gaat.

Toepassen

Opgave 15: Kilometervergoeding

Bekijk via

> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Hyperbolische verbanden > Toepassen schattingen van de diverse kosten die je maakt als je in een eigen auto wilt rijden. Ga in deze opgave uit van die gegevens.

In deze opgave ga je op zoek naar een formule voor de kosten per jaarlijks gereden kilometer. Je vergelijkt een auto op benzine met een auto op diesel. De kosten per km noem je u� en het jaarlijkse aantal gereden km noem je u�.

Ga eerst uit van een auto die op benzine rijdt.

a Stel op grond van de schattingen een formule op voor u� afhankelijk van u�.

(38)

b Vanaf hoeveel gereden km per jaar is de kilometervergoeding kostendekkend?

Ga nu uit van een auto die op diesel rijdt.

c Stel op grond van de schattingen een formule op voor u� afhankelijk van u�.

d Vanaf hoeveel gereden km per jaar is de kilometervergoeding kostendekkend?

Opgave 16: Drinkwater

De kosten voor leidingwater bestaan uit kosten per verbruikte m³water en een zogenaamd ‘vastrecht’

(een bedrag dat je betaalt voor het hebben van een aansluiting op het waterleidingnet). Je totale kosten per jaar hangen af van de hoeveelheid u� (in m³) water die je verbruikt.

Neem aan dat de kosten per m³€0,96 bedragen en het vastrecht €30,00 per jaar is.

Noem de totale kosten per jaar 𝐾 (in euro).

a Stel een formule op voor 𝐾 afhankelijk van u�.

b Van welk soort verband is hier sprake?

c Voor welke waarden van u� blijven je totale kosten per jaar onder de €100? Geef je antwoord in gehele aantallen m³nauwkeurig.

Noem de totale kosten per m³per jaar u� (in euro).

d Stel een formule op voor u� afhankelijk van u�.

e Van welk soort verband is hier sprake?

f Voor welke waarden van u� blijven je totale kosten per m³per jaar onder de €1,00? Geef je antwoord in gehele aantallen m³nauwkeurig.

(39)

Samenvatten

Vaak is het zo dat als je van iets twee keer zoveel hebt, dat dit dan ook twee keer zoveel waard is (of heeft gekost). Je zegt dan dat hoeveelheid en waarde (kosten) recht evenredig zijn. Maar het komt ook wel voor dat er bijkomende vaste kosten zijn zoals een telefoonabonnement, een abonnement op gas, water en elektra, en dergelijke. Dan zijn hoeveelheid en kosten niet meer recht evenredig.

En dan kun je behalve naar de totale waarde (kosten) ook nog kijken naar de waarde (kosten) per eenheid, per stuk. Dan moet er worden gedeeld en krijg je formules met breuken er in. Over deze zaken gaat dit onderwerp.

De volgende opgaven zijn bedoeld om overzicht over het onderwerp ‘Lineair en hyperbolisch’ te krij- gen. Dit betreft de onderdelen 1, 2, 3, 4 en 5 van dit onderwerp. Het is nuttig om er een eigen samen- vatting bij te maken. De opgaven hieronder zijn bedoeld om je daarbij te helpen.

Je hebt geleerd

> formules en graﬁeken bij recht evenredige verbanden maken en gebruiken (Uitleg op pagina 6);

> formules en graﬁeken bij lineaire verbanden maken en gebruiken (Uitleg op pagina 12);

> vergelijkingen en ongelijkheden bij lineaire verbanden oplossen (Uitleg op pagina 20);

> formules en graﬁeken bij omgekeerd evenredige verbanden maken en gebruiken (Uitleg op pagina 25);

> formules en graﬁeken bij hyperbolische verbanden maken en gebruiken (Uitleg op pagina 30).

Voorkennis

> rekenen met decimale (ook negatieve) getallen;

> werken met breuken;

> werken met tabellen en graﬁeken;

> werken met formules bij verbanden;

> vergelijkingen systematisch oplossen.

Opgave 1

Hiernaast zie je twee rechte lijnen in een assenstelsel. Het zijn gra- ﬁeken van u� afhankelijk van u�.

a Bij welk van beide graﬁeken is sprake van een recht evenredig verband tussen u� en u�? En waarom?

b Bij de in a bedoelde graﬁek hoort een formule van de vorm u� = u� ⋅ u�.

Welke waarde heeft de evenredigheidsconstante u�?

c Als de waarde van u� tien keer zo groot wordt, hoeveel keer zo groot wordt de waarde van u� dan?

(40)

Opgave 2

In de vorige opgave zie je twee rechte lijnen in een assenstelsel. Het zijn graﬁeken van u� afhankelijk van u�. Bij beide graﬁeken is sprake van een lineair verband tussen u� en u�.

a Waarom?

b Bepaal de richtingscoëfficiënt (het hellingsgetal) van grafiek II. Stel een formule op bij deze grafiek.

c Ga met behulp van een berekening na of het punt (41, −16) op graﬁek II ligt.

Opgave 3

Gebruik weer de graﬁeken uit opgave 1 op pagina 37.

a Met welke vergelijking kun je de u�-waarde van het snijpunt van beide graﬁeken berekenen?

b Los de in a bedoelde vergelijking op.

c Bereken de coördinaten van het snijpunt van beide graﬁeken.

d Oefen het oplossen van lineaire vergelijkingen in het Practicum.

Opgave 4

Als je alle waarden van u� wilt bepalen waarvoor 1,5u� < 4,5−0,5u�, dan los je een ongelijkheid op. Daarbij gebruik je de graﬁeken van u�1= 1,5u� en u�2= 4,5 − 1,5u�. Die vind je bij opgave 1 op pagina 37.

a Waarom moet je eerst de vergelijking 1,5u� = 4,5 − 0,5u� oplossen?

b Los de ongelijkheid op.

Opgave 5

Hier zie je een deel van de graﬁek bij de formule u� =⁸_u�. a Waarom is hier sprake van een omgekeerd evenredig verband?

b Welk punt op de graﬁek heeft u�-waarde 16?

c Welk punt op de graﬁek heeft u�-waarde 32?

d Wat gebeurt er met de graﬁek als u� steeds groter wordt?

e Wat gebeurt er met de graﬁek als u� steeds dichter bij 0 komt?

Opgave 6

Gegeven is de formule u� = ⁸_u�+ 2.

(41)

b Welk punt op de graﬁek heeft u�-waarde 16?

c Welk punt op de graﬁek heeft u�-waarde 34?

d Wat gebeurt er met de graﬁek als u� steeds groter wordt?

e Wat gebeurt er met de graﬁek als u� steeds dichter bij 0 komt?

f Bekijk de vergelijking⁸_u� + 2 = 5. Laat duidelijk zien hoe je deze vergelijking oplost.

g Welke oplossing heeft de ongelijkheid ⁸_u�+ 2 > 5.

Testen

De volgende opgaven zijn bedoeld om na te gaan of je de onderdelen 1 tot en met 5 van het onderwerp

‘Lineair en hyperbolisch’ voldoende beheerst.

Opgave 7

Maandag regent het vanaf 8:00 uur voortdurend. Het water in de regenmeter (een cilindervormige buis) stijgt elke 10 minuten gelijkmatig met 6 mm. Om 8:00 uur was de regenmeter leeg. De waterhoogte wordt aangegeven door ℎ (in mm) en de tijd door u� (in minuten).

a Waarom is ℎ recht evenredig met u�?

b Welke formule geeft het verband tussen ℎ en u�?

c Teken een graﬁek van ℎ afhankelijk van u�.

d Welk hellingsgetal heeft deze graﬁek?

e Na hoeveel minuten regenen is de waterhoogte 20 mm?

Opgave 8

’s Maandagsavonds wordt de regenmeter van opgave 7 op pagina 39geleegd. Het regent ’s nachts nog wel een beetje. Om 8:00 uur de volgende dag staat er 21 mm water in de meter. Dan regent het zo hard dat er elke 10 minuten 5,5 mm water bijkomt.

De waterhoogte wordt ook nu aangegeven door ℎ (in mm) en de tijd door u� (in minuten).

a Welke formule geeft het verband tussen ℎ en u�?

b Teken een graﬁek van ℎ afhankelijk van u�.

c Waarom is nu ℎ niet recht evenredig met u�?

d Welk hellingsgetal heeft deze graﬁek?

e Hoe kun je aan de graﬁek zien dat het dinsdag minder hard regent dan het maandag deed?

f Hoe lang na 8:00 uur blijft de waterhoogte in de regenmeter onder de 50 mm? Geef je antwoord in minuten nauwkeurig.

Opgave 9

Los de volgende vergelijkingen systematisch op.

a 60 + 4 ⋅ u� = 150 − 2 ⋅ u�

b 150 − 2,5 ⋅ u� = −300 c 5(u� − 6) = 36 − (4 − u�)