Wiskunde voor 2 havo

(1)

Wiskunde voor

2 havo

Deel 1

Versie 2013

Samensteller

(2)

bende zoals bedoeld in de hieronder vermelde creative commons licentie.

Het lesmateriaal is met zorg samengesteld en getest. Stichting Math4All aanvaart geen enkele aansprakelijkheid voor onjuistheden en/of onvolledigheden in de module. Ook aanvaarden ze geen enkele aansprakelijkheid voor enige schade, voortkomend uit (het gebruik van) dit lesmateriaal

Voor deze module geldt een Creative Commons Naamsvermelding-Niet-commercieel 3.0 Nederland Licentie. (zie http://creativecommons.org/licenses/by/3.0).

Dit lesmateriaal is open, gratis en vrij toegankelijk lesmateriaal afkomstig van www.math4all.nl en is speciaal ontwikkeld voor het vak wiskunde in het voortgezet onderwijs. Het lesmateriaal op de website www.math4all.nl is afgestemd op kerndoelen wiskunde, tussendoelen wiskunde en eindtermen voor de vakken wiskunde A, B en C. Dit lesmateriaal is mediumneutraal ontwikkeld en op diverse manieren te bekijken en te gebruiken. Voor informatie en vragen kunt u contact opnemen via info@math4all.nl.

Ook houden we ons altijd aanbevolen voor suggesties, verbeteringen en/of aanvullingen.

(3)

Inhoud

Voorwoord 3

1 Machten en wortels 5 1.1 Kwadraten 6 1.2 Wortels 11

1.3 Rekenen met wortels 16 1.4 Machten 21

1.5 Meneer Van Dalen 27

1.6 Wetenschappelijke notatie 31 1.7 Totaalbeeld 37

2 Symmetrie 41 2.1 Lijnsymmetrie 42 2.2 Puntsymmetrie 49 2.3 Draaisymmetrie 55 2.4 Driehoeken 62 2.5 Vierhoeken 67 2.6 Totaalbeeld 75

3 Formules voor omtrek en oppervlakte 81 3.1 Oppervlakteformules 82

3.2 Oppervlakte van driehoeken 88 3.3 Oppervlakte van vierhoeken 94 3.4 Omtrek cirkel 102

3.5 Oppervlakte cirkel 107 3.6 Eenheden 113

3.7 Totaalbeeld 120

4 Vergelijkingen 125 4.1 Rekenschema's 126 4.2 Balansmethode 131 4.3 Haakjes in formules 137 4.4 Machten in formules 143 4.5 Totaalbeeld 149

Register 153

(4)

(5)

Voorwoord

Het lesmateraal in dit boek is gebaseerd op het materiaal dat je kunt vinden op de website www.math4all.nl. In de tekst staan dan ook regelmatig verwijzingen naar die website. Waar je precies moet zijn op die website kun je zien in de kopregel van iedere pagina.

Bij bestudering van het lesmateriaal kom je in de tekst ook aanwijzingen tegen. Je ziet dan bijvoorbeeld in de tekst:

Bekijk eerst:

www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Afstanden > Toepassen

Je kunt met de muis elk deel van de wereld bekijken en er op inzoomen.

Als zo’n aanwijzing in een opgave staat, kun je die opgave waarschijnlijk alleen maar maken als je inderdaad op de website hebt gekeken.

Ieder hoofdstuk bestaat uit een aantal paragrafen en wordt steeds afgesloten met een paragraaf To- taalbeeld waar de leerstof wordt samengevat en/of herhaald. Iedere paragraaf is ingedeeld in vaste rubrieken die houvast geven bij de bestudering van het lesmateriaal.

> Verkennen

> Uitleg

> Theorie en Voorbeelden

> Verwerken

> Toepassen

Indien er in het lesmateriaal wordt verwezen naar werkbladen dan kun je deze terugvinden op de website.

(6)

(7)

1 Machten en wortels

Kwadraten 6 Wortels 11

Rekenen met wortels 16 Machten 21

Meneer Van Dalen 27

Wetenschappelijke notatie 31 Totaalbeeld 37

(8)

Verkennen

Opgave 1

De oppervlakte van een vierkant bereken je door de lengte van zijde met zichzelf te vermenigvuldigen.

a Hoe groot is de oppervlakte van dit vierkant?

b Hoeveel bedragen de afmetingen van een vierkant met een oppervlakte van 441 eenheden?

c Waarom wordt de oppervlakte-eenheid ‘vierkante’ meter geschreven als m²?

Opgave 2

Bekijk alleen vierkanten met gehele getallen als lengtes van de zijden.

Welke afmetingen heeft het grootste vierkant dat een oppervlakte heeft van minder dan 100000? En het kleinste vierkant dat een oppervlakte heeft van meer dan 100000?

Uitleg

Dit vierkant heeft vier zijden van 4 cm.

De oppervlakte van het vierkant is 4 × 4 = 16 cm². In plaats van 4 × 4 schrijf je ook wel 4².

Je spreekt dit uit als ‘vier tot de tweede’ of ‘vier kwadraat’.

‘Kwadraat’ (vroeger ‘quadraat’) komt van het latijnse ‘quadra’

dat ‘vier’ betekent; een kwadraat is eigenlijk gewoon een andere naam voor (oppervlakte van een) vierkant. Het berekenen van een kwadraat heet kwadrateren.

Voor een vierkant geldt: u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u� = u�u�u�u�u�². Met de rekenmachine bereken je 4²zo:

of zo:

Opgave 3

De lengte van een van de zijden van een vierkant is 7 cm.

a Hoe bereken je de oppervlakte van het vierkant? Bereken ook de gevraagde oppervlakte.

b In plaats van 7 × 7 schrijf je ook wel 7². Hoe spreek je dat uit?

(9)

WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > REKENEN > MACHTEN EN WORTELS

Opgave 4

Bereken de volgende kwadraten zonder rekenmachine:

a 6² b 25² c 3,5² d (¹₃)²

e 2,2² f (2²₃)²

Opgave 5

Maak een lijst met kwadraten van de eerste 20 gehele getallen en leer die uit je hoofd.

Theorie en voorbeelden

Voorbeeld 1

Meestal worden alleen de kwadraten van gehele positieve getallen ook echt ‘kwadraten’ genoemd. Dat komt omdat men in de Oudheid geen andere getallen kende dan 1, 2, 3, enzovoorts...

Hier zie je dus een heleboel kwadraten:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 4 9 16 25 36 49 64 81

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

100 121 144 169 196 225 256 289 324 361

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

400 441 484 529 576 625 676 729 784 841

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521

40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401

Opgave 6

Bekijk de lijst met kwadraten in Voorbeeld 1 op pagina 7.

a Hoe kun je hieruit het kwadraat van 3,8 halen?

(10)

b Hoe kun je hieruit het kwadraat van ₁₇⁵ halen?

c Welke positieve waarde heeft u� als u�²= 5,29?

d Laat zien, dat 20²+ 3²∅23².

Laat dit ook zien in een tekening met vierkanten.

Opgave 7

Hoe zit het met de kwadraten van negatieve getallen?

a Bereken (−3)².

b En waarom zijn de haakjes nodig? Met andere woorden: wat is het verschil tussen (−3)²en −3²? c Welke twee waarden kan u� aannemen als u�²= 9?

Voorbeeld 2

De oppervlakte van dit vierkant is 2 cm².

Maar van welk getal is 2 het kwadraat?

Dit was al in de Oudheid een boeiende vraag.

Niemand wist er het antwoord op...

Alleen door proberen kun je het vinden. Speel een ‘hoger/la- ger’-spelletje:

getal kwadraat omhoog/omlaag

1 1 omhoog

2 4 omlaag

1,1 1,21 omhoog

1,2 1,44 omhoog

1,3 1,69 omhoog

1,4 1,96 omhoog

1,5 2,25 omlaag 1,41 1,9881 omhoog 1,42 2,0164 omlaag

Na lang proberen vind je ongeveer 1,414213562, maar zelfs dat is niet het exacte antwoord...

(11)

Opgave 8

Bekijk de roosterﬁguur hiernaast.

a Waarom weet je zeker dat het een vierkant betreft?

b Hoe groot is de oppervlakte van dit vierkant?

c Bereken nu de lengte van de zijde op dezelfde manier als in Voor- beeld 2 op pagina 8in twee decimalen nauwkeurig.

Opgave 9

c Bereken nu de lengte van de zijde op dezelfde manier als in Voor- beeld 2 op pagina 8in twee decimalen nauwkeurig.

Verwerken

Opgave 10

Bereken zonder rekenmachine:

a 3,3² b 0,9² c −2,7² d (−0,1)²

e 15²− 13² f (15 − 13)²

Opgave 11

a (²₅)² b (−³₈)² c (−1¹₄)² d − (2²₅)²

Opgave 12

Laat met behulp van vierkanten zien dat 1,5²≠ 2,25.

(12)

Opgave 13

c Bereken nu de lengte van de zijde in twee decimalen nauwkeurig.

Opgave 14

Bepaal de twee waarden van u� waarvoor geldt:

a u�²= 121 b u�²= 4,41 c u�²= 1⁷₉

Toepassen

Geef bij elk van de volgende opgaven een uitgebreide toelichting.

Opgave 15: Kwadraten en vierkanten

Je kunt de kwadraten van sommige getallen uit het hoofd uitrekenen door je er vierkanten bij voor te stellen. Lees hierover

> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Kwadraten > Toepassen

a Bereken op deze manier 51². b Bereken op deze manier 98². c Bereken op deze manier 10,4².

Opgave 16: Kwadraten van getallen die eindigen op 5

Soms moet je een kwadraat uitrekenen van een getal dat eindigt op een 5. Daarvoor kan je een ‘truc’

gebruiken. Hiermee kun je bijvoorbeeld 35²uitrekenen.

> Deel het getal door 10. Tussen welke twee gehele getallen ligt het antwoord?

> Vermenigvuldig die twee getallen met elkaar.

> Je krijgt nu het antwoord door 25 achter het antwoord te plaatsen.

Ga na of deze ‘truc’ echt werkt. En probeer hem daarna te verklaren.

(13)

1.2 Wortels

Verkennen

Opgave 1

Een probleem uit de Oudheid was het verdubbelen van een vierkant. Hier zie je hoe een vierkant wordt verdubbeld: de oppervlakte van vierkant 𝑃𝑄𝑅𝑆 is het dubbele van de oppervlakte van vierkant 𝐴𝐵𝐶𝐷. De oppervlakte van 𝐴𝐵𝐶𝐷 is 1 cm².

a Hoe groot is de oppervlakte van vierkant 𝑃𝑄𝑅𝑆?

b Hoe lang is elke zijde van vierkant 𝑃𝑄𝑅𝑆? Geef een benadering in twee decimalen nauwkeurig.

c Leg uit waarom de lengte van de zijde 𝑃𝑄𝑅𝑆 geen geheel getal is.

Uitleg

De lengte van elke zijde is 4 cm, want 4²= 4 × 4 = 16.

Je zegt: de wortel van 16 is 4.

Je schrijft dit als: √16 = 4.

Dat noem je wortel trekken. Je rekenmachine kan ook wortel trekken. Bijvoorbeeld √441 = 21 gaat waarschijnlijk zo:

441

Maar misschien heeft je rekenmachine wel een afzonderlijke worteltoets...

De bewerkingen ‘kwadraat nemen’ en ‘wortel trekken’ heﬀen elkaar op. Meetkundig gezien gaat het bij kwadrateren om het bepalen van de oppervlakte van een vierkant vanuit de zijde:

4² = 16. En bij wortel trekken gaat het om het bepalen van de zijde vanuit een gegeven oppervlakte √16 = 4.

En dus is: √4²= 4 en ook (√4)²= 4

Opgave 2

De oppervlakte van een vierkant is 64 cm².

a Hoe bereken je de zijde van het vierkant? Bereken ook die zijde.

b De zijde van een vierkant heeft een lengte van √7. Hoeveel bedraagt de oppervlakte?

(14)

Opgave 3

Bereken de volgende wortels zonder rekenmachine:

a √49 b √144 c √2,25 d √⁴9

e √0,64 f √49

Opgave 4

Tussen welke gehele getallen ligt √140?

Theorie en voorbeelden

Voorbeeld 1

Uit een kwadraat kun je gemakkelijk wortel trekken.

Bijvoorbeeld:

> √1024 = √32²= 32

> √1⁷9 = √¹⁶9 =√(⁴₃)²=⁴₃

> √1,44 = √(1,2)²= 1,2

Opgave 5 Bereken:

a √64 b √100 c √144 d √225 e √2,25

f √6,25 g √0,09 h √0,36

Opgave 6 Bereken:

a √¹9

b √25¹

c √16⁹

d √²⁵36

(15)

e √116⁹

f √2¹4

g √2⁷9

h √20¹4

Opgave 7

Hoe zit het met de wortels van negatieve getallen?

a Welk antwoord zou je √−16 willen geven?

b Hoe reken je √(−4)²uit?

c Waarom kun je de wortel uit een negatief getal niet trekken?

Opgave 8

Je voert nu de bewerkingen "kwadrateren" en "worteltrekken" na elkaar uit.

a Hoe bereken je √4²? En wat komt er uit?

b Hoe bereken je √4²? En wat komt er uit?

c Vervang in a en b het getal 4 door een willekeurig ander niet-negatief getal. Wat gebeurt er telkens?

Voorbeeld 2

De lengte van de zijde is daarom √2.

Maar hoe groot is √2 nu precies?

Dit was al in de Oudheid een boeiende vraag.

Niemand wist er het antwoord op...

Na lang proberen (zie Voorbeeld 2 op pagina 8) vind je ongeveer 1,414213562, maar zelfs dat is niet het exacte antwoord...

√2 is niet exact te berekenen, dit getal kan alleen worden benaderd!

√2 ≈ 1,4142 gaat waarschijnlijk zo:

Hetzelfde geldt voor getallen als √3, √5, √20, kortom voor vrijwel alle wortels.

Alleen de wortels uit zuivere kwadraten ‘komen uit’: bijvoorbeeld √9 = 3 en √0,04 = 0,2

(16)

Opgave 9

Bekijk Voorbeeld 2 op pagina 13.

a Teken zelf zo’n vierkant op een cm-rooster en leg uit waarom de oppervlakte van dit vierkant 2 is.

b De lengte van de zijde van het vierkant is daarom √2. Meet eens op hoe lang de zijde van het vierkant is in mm nauwkeurig en leg uit waarom dit nooit de exacte lengte van de zijde kan zijn.

c Waarom kan ook 1,414213562 niet de exacte waarde van √2 zijn?

d Waarom zal √2 nooit een exact decimaal getal kunnen zijn?

e Wat maakt jouw rekenmachine van √2? En wat gebeurt er als je met die benadering in beeld op de kwadraattoets drukt? Hoe komt dat, denk je?

Opgave 10

Schat bij de volgende wortels eerst tussen welke gehele getallen ze liggen. Bereken ze dan met je rekenmachine en rond af op vier decimalen nauwkeurig:

a √3

b √50

c √0,4 d √1000

e √5¹3

f √−21 g −√21 h √50 − √5

Verwerken

Opgave 11

Bereken de volgende wortels zonder de rekenmachine te gebruiken:

a √121 b √196 c √4,41 d √0,0025

e √73 − 8 f √1¹⁵49

g √625 − √361 h −√0,36

Opgave 12

Een vierkant heeft een oppervlakte van 20 cm². a Hoe groot is de exacte lengte van elke zijde?

b Tussen welke opeenvolgende gehele getallen ligt de lengte van deze zijde?

c Benader de lengte van de zijden van dit vierkant in drie decimalen nauwkeurig.

d Waarom kan dit nooit meer dan een benadering van de werkelijke lengte zijn?

(17)

Opgave 13

Schat bij de volgende wortels eerst tussen welke gehele getallen ze liggen. Bereken ze dan met je rekenmachine en rond af op vier decimalen nauwkeurig:

a √5

b √96

c √0,0014 d √1700

e √15¹5

f 12 ⋅ √5

Opgave 14

De oppervlakte van een vierkant is 25 cm². a Hoeveel bedraagt de omtrek van dit vierkant?

De oppervlakte van een vierkant is 24 cm². b Hoeveel bedraagt de omtrek van dit vierkant?

c Van welk(e) vierkanten zijn oppervlakte en omtrek gelijk?

Opgave 15

a √13² b √13²

c √7²− 2 ⋅ √49 d √256 − √15²

Toepassen

Opgave 16: Wortels en vierkanten

Hoe je de lengte van een lijnstuk tussen twee roosterpunten bepaalt door er een vierkant op te tekenen zie je via

> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Wortels > Toepassen

a Ga na dat het vierkant op 𝐴𝐵 inderdaad een oppervlakte van 10 heeft.

b Bereken op deze manier de lengte van 𝐴𝐵 als punt 𝐵 4 eenheden rechts en 2 eenheden boven punt 𝐴 ligt.

c Oefen dit met een medeleerling, het zal je later nog van pas komen.

(18)

Verkennen

Opgave 1

Je ziet hier hoe je van negen vierkanten met een oppervlakte van 2 cm²één groter vierkant kunt maken.

a Hoe groot is de oppervlakte van het grote vierkant?

b Hoe lang is elke zijde van het grote vierkant?

c Leg uit hoe je vanuit de lengtes van de zijden van het grote vierkant de oppervlakte ervan kunt berekenen.

Uitleg

√2 is de lengte van de zijde van een vierkant met oppervlakte 2. Dit getal is niet als decimaal getal te schrijven, het is alleen te benaderen. Omdat een oppervlakte altijd positief is, kun je alleen worteltrekken uit positieve getallen en uit 0. Al in de tijd van de Oude Grieken (zo’n 600 jaar v.Chr.) was dit bekend. Zij beschouwden elke wortel als een lijnstuk. Omdat ze van veel wortels geen mooie gehele getallen of nette breuken konden maken, noemden ze wortels ‘onmeetbare getallen’. Ze konden er alleen mee rekenen door ze als lijnstukken voor te stellen.

Maak je het lijnstuk dat √2 voorstelt drie keer zo lang, dan krijg je 3 ⋅ √2 of kortweg 3√2.

Dit zijn twee lijnstukken met gelijke wortels, je kunt ze daarom optellen:

√2 + 3√2 = 4√2.

Deze optelling bestaat uit twee termen. In beide termen komen dezelfde wortels voor en daarom spreek je van gelijksoortige termen.

Gelijksoortige termen kun je altijd samennemen.

Bovendien zie je: 3√2 = √9 ⋅ 2 = √18.

Dit is het begin van rekenen met wortels, ook andere wortels dan

√2...

Opgave 2

Je ziet hier een vierkant met oppervlakte 5 cm². a Hoe lang is de zijde van het vierkant?

b Hoe krijg je een vierkant waarvan de zijden 2√5 zijn?

c Waarom noem je 2√5 en 3√5 wel gelijksoortige wortels?

d Hoeveel is 2√5 + 3√5?

e Hoeveel is 3√5 − 2√5?

(19)

Opgave 3

In de vorige opgave had je een vierkant met oppervlakte 5 en dus zijde √5. Neem nu een vierkant waarvan de zijden 2√5 zijn.

a Teken dit vierkant. Bepaal de oppervlakte ervan door de ﬁguur te verdelen in een vierkant en vier halve rechthoeken.

b Hoe kun je die oppervlakte uitrekenen door de zijden te vermenigvuldigen?

Theorie en voorbeelden

Voorbeeld 1

Meestal kun je berekeningen met wortels alleen benaderen met de rekenmachine. Alleen gelijksoortige wortels kun je optellen tot één wortelvorm.

Voorbeelden van optellingen en aftrekkingen met wortels zijn:

> √2 + √3 kun je niet als één wortel schrijven want er zijn geen gelijksoortige termen, maar wel benaderen met je rekenmachine: √2 + √3 ≈ 3,14626437.

> √2 + √2 + √2 = 3 ⋅ √2 (drie gelijksoortige termen)

> 6√2 − 4√2 = 2√2 (twee gelijksoortige termen)

> √4 + √9 = 2 + 3 = 5

> √9 + 4 = √13 ≈ 3,605551275, dit kan ook in één keer op de rekenmachine:

> √7 + √25 + 4√7 − 3√7 = 2√7 + 5 (alleen gelijksoortige termen kun je samen nemen)

Opgave 4

Voer de volgende berekeningen met wortels uit. Benader alleen waar nodig het eindantwoord in twee decimalen nauwkeurig.

a √2 + 3 + 4 b √2 + √3 + √4 c √5 + √5 + √5 d 6√5 + 3√5 − 5√5

Opgave 5

Bereken en laat in het eindantwoord de wortel staan:

a √6 + √6 b 2√3 + 5√3 c 4√7 + √7 d 4√7 + 2√9

e 5√3 − 3√3 f 4√7 − 3√7 g 8√6 − √16 h 8√6 − √6

(20)

Voorbeeld 2

Vermenigvuldigen en delen van wortels is eigenlijk heel eenvoudig.

Dat kun je in deze voorbeelden zien:

> √2 ⋅ √3 = √2 ⋅ 3 = √6 wat je kunt controleren door kwadrateren.

> ^√6

√2= √⁶2 = √3 wat je ook kunt controleren door kwadrateren.

Op dezelfde manier kun je de volgende berekeningen uitvoeren:

> 3 ⋅ √2 ⋅ 5 ⋅ √3 = 3 ⋅ 5 ⋅ √2 ⋅ 3 = 15 ⋅ √6

> 2 ⋅ √7²= 2 ⋅ √7 ⋅ √7 = 2 ⋅ √49 = 2 ⋅ 7 = 14

> ^15⋅√6

3⋅√2 =¹⁵₃ ⋅ √⁶2= 5 ⋅ √3 Opgave 6

a Laat zien dat √2 ⋅ √3 = √6 door beide zijden te kwadrateren.

b Laat ook door kwadrateren zien, dat ^√6

√2= √3.

Opgave 7

Geef van de volgende berekeningen aan of ze waar zijn of niet.

a √2 ⋅ √5 = √10 b √2 + √5 = √7 c √3 × √2 = √5 d 2 ⋅ √7 = √14

e 3 ⋅ √3 = √27 f 2√2 ⋅ √8 = 8

Opgave 8

Maak de volgende berekeningen. Laat wortels die niet op een geheel getal uitkomen in het antwoord staan.

a √7 ⋅ √5 b √3 ⋅ √3 c 4√2 ⋅ 2√7 d √18 /√2

e √15 /√3 f ^8√6

2√2

(21)

Verwerken

Opgave 9

Maak de volgende berekeningen zonder de rekenmachine te gebruiken. Laat wortels die niet op een geheel getal uitkomen in het antwoord staan.

a √7 + √7 b 3√5 + 2√5 c 5√7 − 2√7 d 3√5 − √5

e √2 ⋅ √8 f 3√2 ⋅ 2√7 g √125 /√5 h 5√10 /√2

Opgave 10

Hier zie je in een assenstelsel de punten 𝐴 (1, 1), 𝐵 (7, 3), 𝐶 (6, 6) en 𝐷 (0, 4) en rechthoek 𝐴𝐵𝐶𝐷.

a Bereken de oppervlakte van rechthoek 𝐴𝐵𝐶𝐷.

b Verdeel de rechthoek in twee vierkanten en leg uit hoe je daarmee de lengtes van de zijden kunt berekenen. Bereken de lengtes van 𝐴𝐵 en 𝐴𝐷.

c Laat zien hoe je met behulp van deze twee zijden ook de oppervlakte van de rechthoek kunt berekenen.

d Bereken ook de exacte omtrek van de rechthoek.

Opgave 11

Geef van de volgende berekeningen aan of ze waar of niet waar zijn.

a √7 + √8 = √15 b √9 + √49 = √100 c √7 + 6√7 = 7√7 d 3√3 + 2√3 = 5√6

Opgave 12

Uit een aantal van de volgende berekeningen komt een geheel getal. Bij de andere laat je de wortel in het antwoord staan.

a √2 ⋅ √12,5 b 3√3 ⋅ √10 c 2√6 ⋅ 3√6

(22)

d √50 /√5 e ^2√72

√2

f ^6√12,5

3√2

Opgave 13

Je ziet hier twee vierkanten in elkaar.

a Bereken de lengte van 𝐴𝐵 en diagonaal 𝐴𝐶 als de oppervlakte van vierkant 𝐴𝐵𝐶𝐷 6 is.

b Bereken de lengte van 𝐴𝐵 en diagonaal 𝐴𝐶 als de oppervlakte van vierkant 𝐴𝐵𝐶𝐷 10 is.

c Bereken de lengte van de diagonaal van een vierkant met oppervlakte 8.

Opgave 14

Een vierkant 𝐴𝐵𝐶𝐷 is verdeeld in twee kleinere vierkanten en twee rechthoeken. De oppervlaktes van beide kleinere vierkanten zijn gegeven, zie ﬁguur.

Bereken de oppervlakte van 𝐴𝐵𝐶𝐷.

Toepassen

Opgave 15: Wortels herleiden

Hoe je wortels van getallen die een kwadraat bevatten kunt vereenvoudigen zie je via

> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Rekenen met wortels > Toepassen

a Laat zien dat √8 = 2√2.

b Vereenvoudig op dezelfde manier √45.

c Herleid op dezelfde manier: √18, √12, √32, √40 en √75

(23)

1.4 Machten

Verkennen

Opgave 1

De inhoud van een kubus bereken je door de lengte van een ribbe twee keer met zichzelf te vermenigvuldigen.

a Hoe groot is de inhoud van een kubus met een ribbe van 3 cm?

b Hoeveel bedragen de afmetingen van een kubus met een inhoud van 125 eenheden?

c Waarom wordt de oppervlakte-eenheid "kubieke" meter geschreven als m³?

Opgave 2

Bekijk alleen vierkanten met gehele getallen als lengtes van de zijden.

Welke afmetingen heeft het grootste vierkant dat een oppervlakte heeft van minder dan 100000? En het kleinste vierkant dat een oppervlakte heeft van meer dan 100000?

Uitleg

Als je een getal met zichzelf vermenigvuldigt, krijg je een kwadraat: 3 ⋅ 3 = 3².

Er is een meer algemene schrijfwijze voor het vermenigvuldigen met steeds hetzelfde getal. Bijvoor- beeld:

3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 3⁵.

Reken je zo’n getal uit, dan wordt de uitkomsten machtig groot: 3⁵= 243.

Je spreekt van machtsverheﬀen en je zegt ‘3 tot de macht 5’, of kortweg

‘3 tot de vijfde’.

En 3⁵heet een macht met grondtal 3 en exponent 5.

Een kwadraat is een macht met exponent 2.

Zo is 2⁷= 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 128.

Op de rekenmachine:

Opgave 3

Bekijk in de Uitleg op pagina 21wat een macht is en hoe je een macht uitrekent. Bereken nu:

a 2⁵ b 3³ c 1¹² d 3,5³

e (¹₃)⁴ f (²₅)⁴

(24)

Opgave 4

Je kunt ook van negatieve getallen machten nemen. Daarbij zijn haakjes nodig.

a Wat betekent (−4)⁵? En hoeveel komt daar uit?

b Wat betekent −4⁵? Wat komt er uit?

Opgave 5

Eerder heb je een lijst met kwadraten uit het hoofd geleerd, erg handig bij het berekenen van wortels.

Om een vergelijkbare reden is het handig om de eerste tien derde machten uit het hoofd te leren.

Schrijf de derde machten van 1, 2, 3, ..., 10 op en leer ze uit je hoofd.

Theorie en voorbeelden

Voorbeeld 1

Het rekenen met machten is eenvoudig als je de betekenis kent:

> 17⁴= 17 ⋅ 17 ⋅ 17 ⋅ 17 = 83521

> (−17)⁴= −17 ⋅ −17 ⋅ −17 ⋅ −17 = 83521

> −17⁴= −17 ⋅ 17 ⋅ 17 ⋅ 17 = −83521

> 100000 − 17⁴= 100000 − 17 ⋅ 17 ⋅ 17 ⋅ 17 = 100000 − 83521 = 16479 Je ziet dat machten voorrang hebben op optellen en aftrekken. En verder:

> 2³⋅ 2⁴= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2⁷

Bij vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal tel je de exponenten op.

> ²₂⁷4 =2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2

2⋅2⋅2⋅2 =^2⋅2⋅2₁ = 2³

Bij delen van machten met hetzelfde grondtal trek je de exponenten af.

> ²₂³3 =^2⋅2⋅2_2⋅2⋅2= 1 en ²₂³3= 2⁰.

Een getal tot de macht 0 is altijd 1.

> (2³)⁴= 2³⋅ 2³⋅ 2³= 2³⁺³⁺³= 2¹²

Bij machten van machten vermenigvuldig je de exponenten.

Opgave 6 Bereken:

a 3⁴ b 3 ⋅ 2⁶ c 7¹ d (¹₂)⁴

e (2²₃)³ f (²₇)⁰ g (−3)⁵ h −3 ⋅ 2⁴

i −2 ⋅ (−3)²

(25)

Opgave 7

Schrijf de volgende machten eenvoudiger. Je hoeft ze niet te berekenen!

a 3⁹⁵⋅ 3¹¹⁴ b ³₃¹¹⁴95

c 3⁸⁰⋅³₃⁵⁴11

d (3¹²)⁵ e ⁽³

15)¹⁰ 3⁵⁰⋅3¹⁰⁰

Voorbeeld 2

De inhoud van een kubus met ribben van 4 is: 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 4³. De inhoud van een kubus is altijd een derde macht.

Een beroemd probleem uit de Oudheid is de ‘verdubbeling van de kubus’: Het altaar van de tempel van Delphi is een kubus van 1 bij 1 bij 1 m, welke afmetingen moet eenzelfde altaar krijgen met een 2 keer zo grote inhoud?

Omdat het bestaande altaar een inhoud heeft van 1³ = 1 m³, moet de vergrote kubus een inhoud hebben van 2 m³. Dus geldt voor de zijde u� van dit altaar: u�³= 2.

Bij terugrekenen vanuit een kwadraat moet je worteltrekken.

Zo heet het terugrekenen vanuit een derde macht wel ‘derdemachts wortel trekken’.

De oplossing van het probleem van Delphi is de derdemachts wortel uit 2.

Je schrijft: u� =√2.³

De uitkomst hiervan vind je door inklemmen, net als bij Voorbeeld 2 op pagina 8. Probeer maar eens:

√2 ≈ 1,25992105.3

Opgave 8

a Hoe bereken je de lengte van de zijde van een kubus als je de inhoud van die kubus weet?

b Ga uit van een kubus met een inhoud van 8 m³. Leg uit waarom √8 = 2.³

c Bij het probleem van de verdubbeling van de kubus gaat het om een kubus met een inhoud van 2 m³. Leg uit waarom √2 geen geheel getal is.³

d Benader met behulp van inklemmen √2 in drie decimalen nauwkeurig. Controleer je antwoord met³ behulp van je rekenmachine.

Opgave 9

Bereken (probeer dit zoveel mogelijk uit het hoofd te doen):

a √216³ b √1728³ c √3,375³ d √³27⁸

(26)

Opgave 10

Benader met je rekenmachine op twee decimalen nauwkeurig:

a √18³ b √100³ c √49³ d √400³

Verwerken

Opgave 11 Bereken:

a 4⁵ b 3⁴⋅ 2³ c (²₃)⁴ d (1³₅)³

e (−2)⁶ f −2⁴⋅ 3³

Opgave 12

Je ziet hier een kruisgetallenpuzzel. Vul de puzzel in.

Horizontaal Verticaal

1 11⁴ 1 5³

4 24² 2 26²

6 2⁶ 3 2¹⁰

7 92² 5 4²⋅ 7²

6 4³

Opgave 13

Schrijf de volgende machten eenvoudiger. Je hoeft ze niet te berekenen!

a 2¹⁶⋅ (2¹⁰)³ b ^4⋅2₂20²⁶

c ²¹⁴^⋅2²⁶

(2²⁰)²

(27)

Opgave 14 Bereken:

a √1000³ b √1000000³ c √10³ ⁶ d √0,001³

e √0,000001³ f √0,125³

Opgave 15

Je hebt een kubus met een inhoud van 20 liter.

a Hoeveel bedraagt de lengte van elke ribbe van deze kubus in mm nauwkeurig?

b Bereken de totale oppervlakte van deze kubus in mm²nauwkeurig.

Opgave 16

Je kunt van een getal eerst de derde macht uitrekenen en dan op de uitkomst de derde machtswortel toepassen. En ook de omgekeerde volgorde is mogelijk.

a Neem het getal 6 en bereken √6³ ³. Wat doe je eerst, de derde macht of de derde machtswortel?

b Bereken ook √6³ ³.

c Doe hetzelfde als bij a en b maar nu met het getal 17.

Kennelijk heﬀen de bewerkingen derde macht en derde machtswortel elkaar op.

d Onderzoek of dit ook voor negatieve getallen geldt.

Toepassen

Opgave 17: Papier vouwen

Als je een blaadje papier steeds opnieuw dubbel vouwt, krijg je steeds meer lagen. Lees hierover in

> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Machten > Toepassen

a Laat zien dat je na 8 keer vouwen 256 lagen papier hebt.

b Hoeveel lagen heb je na 10 keer vouwen?

c Hoeveel keer moet je vouwen om een laag papier van 10 cm dik te krijgen?

d En na hoeveel keer vouwen heb je een laag papier van 10 m dik?

(28)

Opgave 18: Rente op rente

Als je bepaald bedrag tegen een vaste rente op de bank laat staan en er verder niets mee doet, dan wordt het door de rente steeds meer. Lees hierover in

> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Machten > Toepassen

a Reken de bedragen na 1 jaar, na 2 jaar en na 3 jaar zelf na. Hoe reken je?

b Hoeveel heb je na 10 jaar?

c Na hoeveel jaar is het beginbedrag verdubbeld?

(29)

1.5 Meneer Van Dalen

Verkennen

Opgave 1

‘Meneer Van Dalen Wacht Op Antwoord’ was vroeger een ezelbruggetje om de voorrangsregels voor het rekenen te onthouden: eerst Machten, dan Vermenigvuldigen, daarna Delen, vervolgens Worteltrekken, dan Optellen en tenslotte Aftrekken.

a Bereken 144 /4 × 3 − 4 + 2³ door deze ezelsbrug letterlijk op te volgen.

b Wat maakt je rekenmachine van 144 /4 × 3 − 4 + 2³? Leg uit hoe je dit tegenwoordig uitrekent.

c Laat zien hoe je dit tegenwoordig uitrekent.

Opgave 2

In deWikipedia: Bewerkingsvolgordestaat deze rekenopgave uit een rekenboekje uit 1958.

Een leuke uitdaging: Wat komt er uit als je de ezelsbrug uit de vorige opgave hanteert?

Uitleg

‘Meneer Van Dalen Wacht Op Antwoord’ was vroeger een ezelbruggetje om de voorrangsregels voor het rekenen te onthouden: eerst Machten, dan Vermenigvuldigen, daarna Delen, vervolgens Worteltrekken, dan Optellen en tenslotte Aftrekken. Tegenwoordig wordt die volgorde niet langer strikt gehanteerd, maar toch zijn er (vanwege de moderne rekenapparatuur) een aantal duidelijke afspraken.

Bij het rekenen moet je deze rekenvolgorde hanteren:

> H: eerst doe je wat binnen haakjes staat;

> MW: vervolgens machten en wortels van links naar rechts;

> VD: daarna vermenigvuldigen en delen van links naar rechts;

> OA: tenslotte optellen en aftrekken van links naar rechts.

Je ziet dat machten en wortels gelijkwaardig zijn, dat hetzelfde geldt voor vermenigvuldigen en delen en optellen en aftrekken. Met haakjes kun je de volgorde beïnvloeden: wat daarbinnen staat doe je eerst.

Ezelsbrug nodig? Bijvoorbeeld: ‘Heel Mooi Weer VanDaag Op Ameland’ als je dit gebruikt als H-MW-VD-OA.

Opgave 3

Bekijk de berekening 8 + √9 ⋅ 2³.

a In deze berekening komen vier bewerkingen voor. In welke volgorde moet je die uitvoeren?

b Bereken de uitkomst.

c Door haakjes toe te voegen, verander je de rekenvolgorde. Wat komt er bijvoorbeeld uit (8 + √9) ⋅ 2³?

(30)

Opgave 4

In de volgende berekeningen zijn de voorrangsregels niet goed toegepast. Verbeter ze.

a 2 ⋅ 3³= 6³= 216 b √36 /4 = √9 = 3 c √9 + √16 = √25 = 5

d 36 /4 + 2³= 36/ 4 + 8 = 36 /12 = 3 e 6⁵− 6³= 6²= 36

f (2 + 3)⁴= 2⁴+ 3⁴= 16 + 81 = 97

Theorie en voorbeelden

Voorbeeld 1

Bereken: 2 ⋅ √16 + 2 ⋅ 3 − 4 ⋅ (2 + 6) /2³. 2 ⋅ √16 + 2 ⋅ 3 − 4 ⋅ (2 + 6) /2³=

= 2 ⋅ 4 + 2 ⋅ 3 − 4 ⋅ 8 /8 =

= 8 + 6 − 32 /8 =

= 14 − 4 = 10

Opgave 5

Let op de voorrangsregels en bereken:

a 4 ⋅ 2⁵− 400 /√16 b (2³+ 3²)²/17 −√64³ c (2 ⋅√2)³ ³

Opgave 6

Door op de goede plaats haakjes te zetten krijg je een correcte berekening.

a 3⁴/8 − 5 = 27 b 2⁵− √256 /2³= 2 c 3 ⋅ 3²/√49 − 4 = 27

Voorbeeld 2

Je hebt gezien dat je de rekenvolgorde Haakjes-MachtenWortels-VermenigvuldigenDelen-OptellenAf- trekken moet hanteren. Maar soms kun je door een bijzondere schrijfwijze te gebruiken de volgorde wijzigen.

Drie bekende voorbeelden zijn:

> de lange breukstreep: ₅₋₃^6⋅2 =¹²₂ = 6 (aftrekken gaat hier voor delen)

> de lange streep aan het wortelteken: √6 + 2 ⋅ 15 = √6 + 30 = √36 = 6 (vermenigvuldigen en optellen gaan hier voor worteltrekken)

> de notatie voor machten: 2⁴⁺¹= 2⁵= 32 (optellen gaat hier voor machtsverheﬀen)

(31)

Op je rekenmachine moet je in deze gevallen de weggelaten haakjes weer toevoegen.

Opgave 7

Bereken zonder rekenmachine: _12−2⋅6/3²^1+√25 .

Controleer je antwoord achteraf door de gehele berekening in één keer door je rekenmachine te laten uitvoeren.

Opgave 8

Bereken zonder rekenmachine: √2 +2²¹²+2.

Controleer je antwoord achteraf door de gehele berekening in één keer door je rekenmachine te laten uitvoeren.

Verwerken

Opgave 9

Bereken zonder de rekenmachine te gebruiken:

a 3⁵/3²+ 3⁴ b 3⁴⋅ 2³ c (√196 − 3²)³ d (2 ⋅√15)³ ³

e 6 ⋅ 2³/(4³− 7 ⋅ 2³) f (²₃)^√9⋅ 1,5³

Opgave 10

Bereken eerst zonder de rekenmachine te gebruiken en controleer daarna je berekening door hem in zijn geheel in de rekenmachine in te voeren.

a √2 ⋅ 70 + 4 = 12 b ₂^12⋅33−4

c ²^4+√16₂5

d ³

√

1

3 − (¹₃)³

Opgave 11

Onderzoek of de volgende berekeningen correct zijn. Licht steeds je antwoord toe.

a 2³⋅ 2⁴= 2⁷ b 2⁶/2³= 2^6/3 = 2² c (2²)³= 2⁵

d 2⁰= 1

(32)

Opgave 12

Bij het rekenen met wortels kun je door slim herleiden soms wortels optellen die op de eerste blik niet gelijksoortig zijn.

a Laat zien, dat √18 = 3√2 en dat √8 = 2√2.

b Bereken nu de exacte uitkomst van (√18 + √8)². Geeft je rekenmachine dezelfde uitkomst als je de berekening in één keer invoert?

c Bereken (√75 − √27)²door beide wortels te herleiden. Controleer je antwoord met de rekenmachine.

Toepassen

Opgave 13: Graankorrels op een schaakbord

Lees over de legende van de uitvinding van het schaakspel in

> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Meneer Van Dalen > Toepassen

Om een idee te krijgen van het aantal graankorrels dat koning Shirham moest uitbetalen kun je eens kijken naar machten van 2.

a Waarom moet je naar machten van 2 kijken?

b Bereken nu:

> 2⁰

> 2⁰+ 2¹

> 2⁰+ 2¹+ 2²

> 2⁰+ 2¹+ 2²+ 2³

> 2⁰+ 2¹+ 2²+ 2³+ 2⁴

> 2⁰+ 2¹+ 2²+ 2³+ 2⁴+ 2⁵

> 2⁰+ 2¹+ 2²+ 2³+ 2⁴+ 2⁵+ 2⁶

c Vergelijk alle uitkomsten bij b. Wat valt je op? (Tel er eventueel telkens 1 bij op.)

d Hoeveel graankorrels wilde Sissa dus van de koning hebben? Schrijf je antwoord met een macht van 2.

e Nu je weet dat Sissa meer dan 18.000.000.000.000.000.000 (18 triljoen) graankorrels zou moeten krijgen, kun je misschien wel schatten hoeveel m³graan dat zou moeten zijn. Stel dat je dit graan wilt opslaan in een grote schuur met een vloeroppervlakte van 1000 m². Hoe hoog moet die schuur dan worden?

(33)

1.6 Wetenschappelijke notatie

Verkennen

Opgave 1

Onze planeet Aarde heeft (ongeveer) de vorm van een bol. De omtrek van die bol is de lengte van de evenaar en bedraagt 40.000 km.

a Hoeveel mm is 1 km? En hoeveel mm is dus de omtrek van de Aarde?

b Je had voor de berekening bij a natuurlijk geen rekenmachine nodig. Maar doe hem eens op je rekenmachine. Waarschijnlijk krijg je als antwoord 4 ⋅ 10¹⁰. (Of iets wat dit moet voorstellen zoals 4E10.) Leg uit waarom dit hetzelfde is als jouw antwoord bij b.

c Waarom is het beter om 4 ⋅ 10¹⁰te schrijven dan 40000000000?

d Voor getallen met veel nullen worden ook wel woorden als miljoen en miljard en dergelijke gebruikt.

1 miljoen hetzelfde als 1 ⋅ 10⁶. Hoeveel is 1 miljard?

Opgave 2

Wij werken met getallen in het tientallig stelsel. We hebben dus tientallen, honderdtallen, duizendtallen, enzovoorts. Dat zijn allemaal machten van 10. Dus kun je getallen schrijven als machten van 10. Zo is 1234 = 1 ⋅ 10³+ 2 ⋅ 10²+ 3 ⋅ 10¹+ 4.

Op dewebsite van het C.B.S.staat een bevolkingsteller. Nederland telde 16.736.398 inwoners op vrij- dag 6 april 2012 om 11:25.15 uur.

Schrijf dit getal in het tientallig stelsel met machten van 10.

Uitleg

Omdat je in het tientallig stelsel werkt, spelen machten van 10 een grote rol bij het opschrijven van getallen. Met behulp van de rekenregels voor machten kun je bij eenheden, tientallen, honderdtallen, duizendtallen, etc., werken met machten van 10. Dat zelfde geldt voor tienden, honderdsten, duizendsten, etc.

De rekenregels voor machten van 10 (en ook voor andere machten) zijn:

> bij vermenigvuldigen van machten tel je de exponenten op: 10⁵⋅ 10³= 10⁸

> bij het delen van machten trek je de exponenten van elkaar af: 10⁵/10³= 10² Hieruit volgt:

> 1 = 10¹/10¹= 10¹⁻¹= 10⁰ dus 10⁰= 1

> ₁₀¹ = 10⁰/10¹= 10⁻¹

> ₁₀₀¹ = 10⁰/10²= 10⁻²

> ₁₀₀₀¹ = 10⁰/10³= 10⁻³

enzovoorts.

Hele grote getallen zoals 135 miljard = 135.000.000.000 zijn door het grote aantal cijfers moeilijk te lezen. Je schrijft zo’n getal daarom als:

135.000.000.000 = 1,35 100.000.000.000 = 1,35 ⋅ 10¹¹.

Ook hele kleine getallen zoals 31 miljoenste = 0,000032 zijn door het grote aantal cijfers moeilijk te lezen. Je schrijft zo’n getal daarom als:

0,000032 = 3,2 ⋅ 0,00001 = 3,2 ⋅₁₀₀₀₀₀¹ = 3,2 ⋅ 10⁻⁵.

(34)

Deze manier van opschrijven van getallen noem je de wetenschappelijke notatie.

Je schrijft een groot getal dan in de vorm u� ⋅ 10^u� en een klein getal in de vorm u� ⋅ 10^−u�, waarbij 1 ≤ u� < 10.

Opgave 3

Bekijk de Uitleg op pagina 31.

a Schrijf 100000 als macht van 10.

Het getal 304586 bestaat uit 3 honderdduizendtallen, 0 tienduizendtallen, 4 duizendtallen, 5 honderdtallen, 8 tientallen en 6 eenheden.

b Laat zien, hoe je dit kunt schrijven met machten van 10.

c Schrijf 0,00001 als macht van 10.

Het getal 30,4586 bestaat uit 3 tientallen, 0 eenheden, 4 tienden, 5 honderdsten, 8 duizendsten en 6 tienduizendsten.

d Laat zien, hoe je dit kunt schrijven met machten van 10.

Opgave 4

Grote getallen zijn bijvoorbeeld 1 miljoen en 1 miljard.

a Schrijf deze getallen als macht van 10.

Kleine getallen zijn bijvoorbeeld 1 miljoenste en 1 miljardste.

b Schrijf deze getallen als macht van 10.

Opgave 5

Enkele uitspraken met grote en kleine getallen.

> Ongeveer 3 miljoen jaar geleden zijn de dinosauriërs uitgestorven.

> Sommige eencelligen zijn slechts 2,5 miljoenste mm breed.

> Volgens het ministerie komt ons nationaal inkomen uit op 468 miljard.

Schrijf deze getallen in de wetenschappelijke notatie.

Theorie en voorbeelden

Voorbeeld 1

Delichtsnelheidis in vacuüm (het luchtledige) gelijk aan 299.792.458 m/s. Deze waarde is exact door- dat ze wordt gebruikt als definitie van de lengte van de standaardmeter: een meter is gedefinieerd als de afstand die het licht in 1/299792458 seconde aflegt.

Het licht legt dus ongeveer 3,0 ⋅ 100000000 m per seconde af.

De wetenschappelijke notatie van de lichtsnelheid is 3,0 ⋅ 10⁸m/s.

Hoeveel km/uur is dat.

Om de lichtsnelheid in m/s om te rekenen naar km per uur moet je dit getal vermenigvuldigen met 3600 (het aantal seconden in een uur) en vervolgens delen door 1000 (het aantal m in een km).

Dus is de lichtsnelheid ongeveer 3,6 ⋅ 3,0 ⋅ 10⁸= 10,8 ⋅ 10⁸= 1,08 ⋅ 10⁹km/uur.

(35)

Opgave 6

Bekijk Voorbeeld 1 op pagina 32. Je ziet hoeveel de lichtsnelheid in m/s bedraagt.

a Waarom is dit getal in de wetenschappelijke notatie 3,0 ⋅ 10⁸en niet 2,99792458 ⋅ 10⁸?

b Het omrekenen van m/s naar km/uur kan in twee stappen. Bereken eerst de lichtsnelheid in m/uur.

c Reken de lichtsnelheid in m/uur nu om naar km/uur.

Opgave 7

De omtrek van de Aarde is 40.000 km. Als mensen hand in hand staan met de armen gespreid zitten de middens van hun lichamen ongeveer 1,5 m van elkaar.

a Hoeveel mensen moeten er hand in hand staan met de armen gespreid om de Aarde te omspannen?

Geef je antwoord in de wetenschappelijke notatie in één decimaal nauwkeurig.

Er zijn ongeveer 7 miljard mensen op Aarde.

b Hoeveel keer kunnen die op de beschreven manier de Aarde te omspannen? Geef je antwoord in de wetenschappelijke notatie in één decimaal nauwkeurig.

Voorbeeld 2

Een meter is gedefinieerd als de afstand die het licht in 1/299792458 seconde aflegt. Hoe lang doet het licht over het afleggen van 1 seconde? Geef je antwoord in de wetenschappelijke notatie in drie decimalen nauwkeurig.

Als je deze deling met de rekenmachine uitvoert, dan krijg je waarschijnlijk 3 ⋅ 10⁻⁹ seconden. Dat is niet in twee decimalen nauwkeurig.

Maar je kunt de rekenmachine in de wetenschappelijke notatie zetten. Dan wordt de berekening ineens veel nauwkeuriger. Je vindt dan ongeveer 3,336 ⋅ 10⁻⁹. De vraag is natuurlijk wel of je die nauwkeurig- heid nodig hebt...

Opgave 8

Neem voor de lichtsnelheid 3,0 ⋅ 10⁸m/s. De afstand van de Aarde tot de Zon is ongeveer 1,5 ⋅ 10⁸km.

Hoe lang is het licht onderweg vanaf de Zon naar de Aarde?

Opgave 9

Hier zie je een foto van de huisstofmijt. Deze diertjes leven van menselijke huidschilfers, in een hoofdkussen van je bed kunnen er wel 12000 voor- komen en dan ben je echt niet onhygiënisch. Sommige mensen zijn aller- gisch voor hun uitwerpselen. Zo’n huisstofmijt weegt gemiddeld slechts 1,5 ⋅ 10⁻³ gram en heeft afmetingen van ongeveer 0,3 mm breed tot 0,5 lang. Je kunt ze met het blote oog niet zien.

Hoeveel wordt je kussen zwaarder tengevolge van de huisstofmijt er in?

(36)

Voorbeeld 3

Voor 1 ⋅ 10¹⁰⁰bestaat de naam googol.

Deze naam is omstreeks 1920 bedacht door een negenjarig neefje van de Amerikaanse wiskun- dige Edward Kasner. De naam Google is een ver- bastering hiervan gemaakt door Larry Page, één van de grondleggers van deze zoekmachine.

Veel rekenmachines hebben dit getal als grens van de getallen die erop kunnen worden weer- gegeven.

Het is ongeveer zo groot als 70⋅69⋅68⋅...⋅3⋅2⋅1.

1 googolplex = 1 ⋅ 10^googol, een 1 met googol nullen. Best groot...

Opgave 10

Bekijk Voorbeeld 3 op pagina 34. Je ziet hoeveel ‘googol’ is.

a Hoeveel is 1 googol²? b En hoeveel is √^googol?

Opgave 11

In de strip spreekt Schröder van een kans van ‘googol to one’.

Hoe groot is die kans als je hem in de wetenschappelijke notatie schrijft? En in procenten?

Verwerken

Opgave 12

Schrijf als macht van 10:

a 1000 b 100000000 c 10 miljard d 0,001

e ₁₀₀₀₀₀¹ f 10 miljardste

Opgave 13

Schrijf in de wetenschappelijke notatie:

a 123 miljoen b 614000000000

(37)

c 0,00001496 d 0,00000000000042

Opgave 14

Gebruik bij de volgende berekeningen de wetenschappelijke notatie. Geef je antwoord ook in die vorm.

a In Nederland wonen ongeveer 16 miljoen mensen. Het gemiddeld inkomen van een Nederlander is ongeveer €18.000,=. Bereken het nationaal inkomen (het inkomen van alle Nederlanders samen).

b In Nederland zijn er jaarlijks ongeveer 1,5 miljoen middelbare scholieren. Zo’n scholier kost de overheid gemiddeld €4500,=. Hoeveel geeft de overheid jaarlijks ongeveer uit aan middelbaar onderwijs?

Opgave 15

Bacteriën zijn micro-organismen. Een bepaald soort bacterie heeft een gewicht van 2,4 ⋅ 10⁻⁸ kg.

a Op een plant bevinden zich 3,2 miljoen van deze bacteriën. Hoeveel wegen deze bacteriën samen?

b Hoeveel van deze bacteriën wegen samen 1 kg?

Opgave 16

Uit Wikipedia (13-11-2009):

Een amoebe (spreek uit als ‘ameube’) is een eencellig organisme dat bestaat uit protoplasma met één of meerdere kernen. Het endoplasma (binnenste laagje) is troebel en korrelig terwijl het ectoplasma (buitenste laagje) meestal helder is. Het organisme behoort tot de wortelpotigen en varieert afhankelijk van de soort tussen de 30 en 800 μm.

1 μm is₁₀₀₀¹ mm. Hoeveel meter is een amoebe van 800 μm? Geef je antwoord in de wetenschappelijke notatie.

Toepassen

Opgave 17: Lichtjaren

Een lichtjaar is de afstand die het licht in een jaar aﬂegt. De lichtsnelheid is ongeveer 3 ⋅ 10⁸ m/s.

Een astronomische eenheid is de gemiddelde afstand van de Aarde tot de Zon: 1 AE = 149,6 miljoen kilometer. Vooral in de sterrenkunde zijn lichtjaar en AE nuttige maten.

Dedubbelster Alpha Centaurivormt samen met de veel zwakkere Proxima Centauri een drievoudig systeem, dat zich van alle sterren het dichtst bij ons zonnestelsel bevindt. De afstand tot de Zon bedraagt 4,36 lichtjaar.

a Hoeveel km is 1 lichtjaar? En hoeveel AE?

b Hoeveel km is Alpha Centauri van onze Zon verwijderd? En van de Aarde?

c Stel je voor dat je in een ruimteschip met 20000 km/uur van de Aarde rechtstreeks naar de Zon zou kunnen vliegen. Hoe lang doe je daar dan over? En hoe lang doe je over de reis naar Alpha Centauri?

(38)

Opgave 18: Schaalmodel

OnsZonnestelselbestaat uit een ster (de Zon) en 8 planeten.

Je wilt een schaalmodel maken van het zonnestelsel dat nog in een schoollokaal past. Zoek de afmetingen van deze planeten en hun onderlinge afstanden op.

Bereken hoe groot je de afmetingen van de planeten moet maken en hoe groot je de (bijna) cirkelvormige banen om de Zon moet maken. Geef een overzicht van alle afmetingen.

(39)

1.7 Totaalbeeld

Samenvatten

Wanneer je een getal herhaaldelijk met zichzelf vermenigvuldigt, krijg je een macht van dit getal. Kwa- draten zijn voorbeelden van machten. Wil je omgekeerd vanuit de macht van een getal het oorspronke- lijke getal weer terugvinden dan moet je worteltrekken. Omdat je de bewerkingen machtsverheﬀen en worteltrekken in komende onderwerpen regelmatig zult tegenkomen, leer je er in dit onderwerp mee werken. Verder zul je machten van 10 gebruiken bij het weergeven van heel grote en heel kleine (dicht bij 0) getallen.

De volgende opgaven zijn bedoeld om overzicht over het onderwerp ‘Machten en wortels’ te krijgen.

Dit betreft de onderdelen 1, 2, 3, 4, 5 en 6 van dit onderwerp. Het is nuttig om er een eigen samenvatting bij te maken.

Je hebt geleerd

> kwadrateren en werken met kwadraten (Uitleg op pagina 6);

> terugrekenen vanuit kwadraten, worteltrekken (Uitleg op pagina 11);

> rekenen met wortels (Uitleg op pagina 16);

> werken met hogere machten dan bij kwadrateren (Uitleg op pagina 21);

> de uitgebreide voorrangsregels voor het rekenen ook met machtsverheﬀen en worteltrekken (Uitleg op pagina 27);

> de wetenschappelijke notatie van hele grote getallen en getallen dicht bij 0 (Uitleg op pagina 31).

Voorkennis

> rekenen met decimale getallen en de voorrangsregels voor het rekenen gebruiken;

> rekenen met breuken;

> rekenen met negatieve getallen.

Opgave 1

Kwadrateren en worteltrekken hangen met elkaar samen.

a Maak dat duidelijk in een begrippennet zoals dit. Vul het volledig in.

b De meeste wortels kun je alleen benaderen. Geef een voorbeeld van zo’n wortel met de bijbehorende benadering in twee decimalen nauwkeurig.

(40)

Opgave 2

Met wortels kun je in veel gevallen rekenen zonder ze te benaderen.

a Maak met twee voorbeelden duidelijk hoe je gelijksoortige wortels kunt optellen en aftrekken.

b Maak met twee voorbeelden duidelijk hoe je wortel kunt vermenigvuldigen en delen.

Opgave 3

Hier zie je een macht.

Zet de begrippen ‘grondtal’ en ‘exponent’ in de ﬁguur.

Opgave 4

Derde machten en derdemachtswortels hangen met elkaar samen.

a Maak dat duidelijk in een begrippennet zoals dit. Vul het volledig in.

b De meeste derdemachtswortels kun je alleen benaderen. Geef een voorbeeld van zo’n wortel met de bijbehorende benadering in twee decimalen nauwkeurig.

Opgave 5

Je hebt nu machtsverheﬀen en worteltrekken aan de mogelijke bewerkingen toegevoegd.

a Machten met hetzelfde grondtal kun je vermenigvuldigen en delen door de exponenten op te tellen respectievelijk af te trekken. Geef daarvan voorbeelden.

b Wat doe je met de exponenten bij machten van machten? Geef een voorbeeld.

c Geef een voorbeeld van rekenen met wortels en machten waaruit de voorrangsregels duidelijk worden.

Opgave 6

Schrijf de getallen 12000000000 en 0,0000000035 in de wetenschappelijke notatie.

(41)

Testen

De volgende opgaven zijn bedoeld om na te gaan of je de onderdelen 1 tot en met 6 van het onderwerp

‘Machten en wortels’ voldoende beheerst.

Opgave 7

Bereken (gebruik alleen waar nodig je rekenmachine om het antwoord in twee decimalen nauwkeurig te geven):

a 7² b 1,5² c (²₅)² d √6,25

e √81⁴

f √116⁹

g √70

h (3√6)²

Opgave 8

Rechthoek 𝐴𝐵𝐶𝐷 is opgebouwd uit zes vierkanten die elk een oppervlakte van 2 hebben.

a Bereken de exacte omtrek van rechthoek 𝐴𝐵𝐶𝐷.

b De oppervlakte van de rechthoek kun je op twee manieren berekenen, namelijk door de oppervlaktes van de afzonderlijke vierkanten op te tellen en door twee verschillende zijden te vermenigvuldigen.

Laat zien dat je in beide gevallen dezelfde oppervlakte krijgt.

Opgave 9

a Je hebt een kubus met ribben van 2,5 cm. Hoe groot is de inhoud van de kubus?

b Je hebt een kubus met een inhoud van 40 cm³. Tussen welke twee opeenvolgende gehele getallen ligt de lengte van een ribbe?

c Je hebt een kubus met een inhoud van 40 cm³. Geef de exacte lengte van elke ribbe van deze kubus en benader deze lengte in drie decimalen nauwkeurig?

(42)

Opgave 10

Maak de volgende berekeningen, geef steeds exacte antwoorden.

a 7⁴ b 5⁰ c (²₃)⁴ d 1,6³

e √2 ⋅ 2²+ 17 f (√75 + √3)² g ₆₋₃^6⋅3²2

h 5^1+√25/25 − 5

Opgave 11

Schrijf als macht van 7:

a 7 ⋅ 7¹⁴⁰ b 7¹⁴¹/7¹⁵ c (7⁷⁰)⁷ d ⁷⁴⁰^⋅7¹⁴⁰

(7²⁰)⁹

Opgave 12

In Australië woonden in 2001 ongeveer 16,6 miljoen mensen. Het nationaal inkomen van Australië bedroeg in dat jaar ongeveer €270580000000,=.

a Schrijf beide getallen in de wetenschappelijke notatie.

b Bereken het gemiddeld inkomen van een inwoners van Australië.

De landoppervlakte van Australië bedraagt ongeveer 7,7 ⋅ 10⁶km². c Hoeveel grond heeft een Australiër gemiddeld tot zijn beschikking?

Toepassen

Opgave 13: Wortels benaderen

Voor het benaderen van wortels bestaan verschillende technieken. Deze gaat vrij snel:

> Stap 1: Doe een gok.

> Stap 2: Deel het getal waarvan je de wortel wilt benaderen door je gok.

> Stap 3: Bereken het gemiddelde van het getal dat je bij stap 2 hebt gevonden en je gok.

Je hebt nu een nieuwe gok en daarmee herhaal je de stappen 2 en 3 tot je de gewenste benadering hebt gevonden.

a Probeer deze techniek uit en laat zien dat √12 ≈ 3,644 in drie decimalen nauwkeurig.

b Benader op dezelfde manier √40 ≈ 3,644 in drie decimalen nauwkeurig.

c Geef een verklaring voor deze methode met behulp de oppervlakte van rechthoeken.