Eindhoven University of Technology MASTER Een onderzoek naar de frequentieafhankelijkheid van het Quantum Hall effect in GaAs- AlGaAs heterojuncties Frijns, R.G.W.

MASTER

Een onderzoek naar de frequentieafhankelijkheid van het Quantum Hall effect in GaAs- AlGaAs heterojuncties

Frijns, R.G.W.

Award date:

1988

Link to publication

Disclaimer

This document contains a student thesis (bachelor's or master's), as authored by a student at Eindhoven University of Technology. Student theses are made available in the TU/e repository upon obtaining the required degree. The grade received is not published on the document as presented in the repository. The required complexity or quality of research of student theses may vary by program, and the required minimum study period may vary in duration.

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.

• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research.

• You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

VAKGROEP VASTE STOF FYSICA

Een onderzoek naar de frequentieafhankelijkheld van het Quantum Hall effect in CaAs-AlCaAs heterojunctles.

R.G.W. Frijns

Verslag van het afstudeerwerk verricht in de groep halfgeleiderfysica

Begeleider

Afstudeerhoogleraar

Ir. P. Handriks

Prof. Dr. J.H. Wolter

Augustus 1988

1. Inleiding. 1

2. Theorie. 6

3. Literatuuroverzicht. 16

4. Meetopstelling en Meetmethoden. 26

4.1. Preparaathouder. 26

4.2. Meetmethoden. 31

5. Resultaten van de Quanturn Hall metingen. 38 5.1. Resultaten v/d quasi De-metingen en de AC-metingen. 38

5.2. Resultaten v/d pulsmetingen. 49

6. Het Hot Electron Magnetofonen Effect. 52

6.1. Inleiding. 52

6.2. Resultaten v/d inleidende metingen. 57

7. Conclusies en Suggesties. 62

7.1. Conclusies. 62

7.2. Suggesties. 63

8. Literatuurlijst. 66

Appendix

de eventuele invloed van de frequentie, van de wisselspanning over het preparaat, op het QH-effect. Tijdens deze

afstudeerperiode is een opstelling ontworpen en gebouwd, die het mogelijk maakt deze eventuele frequentieafhankelijkheid van het QH-effect te onderzoeken.

Er worden in het verslag verschillende meetmethoden beschreven.

Een methode waarbij een wisselspanning over het preparaat wordt gezet en een methode waarbij de metingen worden verricht met behulp van gepulste electrische velden over het preparaat.

Het resultaat van het onderzoek is, dat het Quanturn Hall-effect, in GaAs-AlGaAs heterojuncties, zeker voor frequenties tot 100 MHz frequentieonafhankelijk is.

De meetmethode met behulp van gepulste electrische velden is ook gebruikt om inleidende metingen te verrichten aan het

hot-electron magnetofoneneffect in een twee dimensionaal electrenengas (2DEG) van een GaAs-AlGaAs heterojunctie. De resultaten van deze inleidende metingen zijn zeer moeilijk te interpreteren, maar geven toch aanleiding om dit onderzoek, met enige aanpassingen in de meetprocedure, verder voort te zetten.

1. INLEIDING.

In de groep halfgeleiderfysica van de vakgroep Vaste Stof Fysica aan de Technische Universiteit Eindhoven onder leiding van Prof.

]. Wolter spitst het onderzoek zich toe op de fysica van de

transport- en optische eigenschappen van halfgeleiders. Vooral de dimensie effecten, quantisatieverschijnselen en hete electronen- effecten worden bestudeerd.

Enige lopende onderzoeken zijn: time of flight metingen,

tijdopgeloste fotoluminiscentie aan quanturnputten met behulp van picoseconde-laserpulsen, optische metingen (reflectie,

luminiscentie) ter karakterisatie van de gegroeide

heterostructuren en het onderzoek aan het Quanturn Hall effect.

Dit afstudeerwerk is een onderdeel van dit laatste onderzoek en betreft QH-metingen aan GaAs-AlGaAs heterojuncties.

Quanturn Hall Effect.

In 1980 ontdekte von Klitzing [KLI80] dat de hallweerstand van een twee dimensionaal electrenengas (2DEG-laag) bij lage

temperaturen(~ 4.2 K) en hoge magneetvelden (QH-condities), niet lineair stijgt met het toenemende magneetveld, maar plateaus vertoont, zie figuur 1.1.

200 8

5 6

,.... 150 ,..

> >

E E

... ...

:r ^)C

> >

100 ⁴

MAGNETIC FIELD CT>

FIGUUR 1.1: HaLLweerstand en Langsweerstand aLs functie van het magneetveLd bijT= 1.2 K, met Pxy

=

VH/Ix en Pxx ~ Yx/Ix. De stroom is I

=

25.5 ~ en n

=

5.6*1015 m-2, [CAG85].

Von Klitzing ontdekte dat deze plateaus in de Hallweerstand Pxy bleken op te treden voor waarden van Pxy die alleen afhankelijk zijn van natuurconstanten

Pxy

=

^{h ( 1.1)}

en dat de hoogten van de plateaus dus niet preparaatgebonden zijn, met h de constante van Planck, e de eenheidslading en i een natuurlijk getal. Na deze ontdekking van het Quanturn Hall-effect, waarvoor von Klitzing in 1985 de Nobelprijs kreeg, is er veel onderzoek aan gedaan, maar tot op heden is er nog geen afdoende verklaring voor het verschijnsel gegeven (zie hoofdstuk 2

Theorie). Een van de vragen die zich aandienden was de eventuele afhankelijkheid van het QH-effect van de frequentie van de

wisselspanning over het preparaat. Deze frequentieafhankelijkheid werd aan verscheidene instituten onderzocht en de resultaten zijn zeer controversieel. Er wordt enerzijds melding gemaakt van het verdwijnen van de quantisatie van de Hallweerstand voor

frequenties vanaf het lage kHz-gebied [PEPB3], [LON84], [McFAD84], [POW85] en [LEE87]. Anderzijds publiceerde Kuchar [KUC86] en Meiseis [MEI87] resultaten van metingen in het GHz-gebied die aantoonden dat het QH-effect zelfs bij die hoge

frequenties nog steeds aanwezig was. Woltjer [WOL85] verrichtte QH-metingen met gepulste electrische velden en concludeerde dat het QH-effect zeker onafhankelijk was van de frequentie voor frequenties tot 3.5 MHz. In figuur 1.2 wordt een overzicht gegeven van de publicaties die tot nu toe aan dit onderwerp

gewijd zijn. In hoofdstuk 3 van dit verslag worden enige van deze publicaties iets uitgebreider besproken.

quaatity

Pepper tt al. (I SI Si-MOSFET, R 180Hz-10KHz

,.,

llcutclowa abovc

4-contacts I kHz

lwasa tt u/. ( 161 Si-MOSFET, C IOOkHz-50MHz flu No breakdown • u

minima widcr at bithor

r,..._

Lons tt u/. (17] Si-MOSFET, R, C 80Hz-45MHz G,., Blakclown

2 contact! flu

McF addcn tl al. ( 181 GaAs/AIGaAJ, R 500kHz-20 MHz G,., llcutclowa

pte, 2 cont.

Smith tt al. ( 191 Si-MOSFET, R SkHz-IOOkHz fu Nobnoüdowa

capacitivcly

,.,

( ... o(

coupled conl. dill'eradial cap.citaaoe)

Smilh tt al. (201 GaAS/AfGaAt, R 100Hz-100kHz Iu

Plal<aul...,._..,.

capacitivcly

,.,

^minima (clift'cn:alial

coupled cont. capacitaaoe - 0)

Koehar tl al. [211 GaAS/AIGaAs, R I 00 ns pubes v., No bcalulowa

DO gate. 2 contacts ("'SMHz)

' Woltjee tl al. [221 GaAS/AIGaAJ, R IOOns puba Iu No bcalulowa

no gate, 4 cont ("'SMHz)

Powdl tl al. (231 GaAS/ AIGaAs, R Si-MOSFET, R 500kHz-50MHz

'·

G,.,

-

gate, 2 cont.

Goldberg tl al. (241 Si-MOSFET, R; I kHz-50MHz G,., 8rakdowla; ao

GaAS/AIGaAJ, R, bnUdowa

no p!C

Kuchar et al. [25] GaAs/AIGaAt no )) GHz crosscel

"• Nobnoüdowa gate, no cantacts reet. wavquidcs

Volkov tt al. (261 GaAS/AIGaAt no 300Hz cin:ular

...

No . . .

pte. no coatacts pidcwilb

transition1 to croacd reoct. •·

FIGUUR 1.2: Overzicht van de hoogfrequent QH-metingen in

chronologische volgorde, R betreft metingen aan een hallbar, C metingen aan een corbinodisk,

Vso

(S: source, D: drain) en

c

₅₀

zijn bepaald via tweepuntsmetingen. [KUC87].

Uit de bovenstaande figuur blijkt duidelijk dat er zeer tegenstrijdige resultaten door de onderzoekers bereikt zijn.

Binnen de groep halfgeleiderfysica van de TUE bestaat echter de indruk dat niet in alle gevallen voldoende aandacht is besteed aan de meetopstelling en meetmethode. Dit was de aanleiding om dit onderzoek op te starten.

Doel.

Het doel van dit afstudeeronderzoek is a. om een meetopstelling waarmee hoogfrequent Quanturn Hall metingen gedaan kunnen worden

te ontwerpen en te bouwen en b. om de eventuele frequentie- afhankelijkheid van het QH-effect te onderzoeken. Er zal vooral op worden gelet, om de preparaateigenschappen te scheiden van de eventuele invloed van de meetopstelling of meetmethode op het eindresultaat. Aangezien dit onderzoek vanaf de grond moet

worden opgebouwd is de eerste fase van het onderzoek een inventarisatie. Wat is er aan apparatuur, kryostaten en preparaten aanwezig en vooral wat is technisch en financieel haalbaar binnen de beschikbare afstudeerperiode? Aan de hand van deze inventarisatie is de aanpak van het onderzoek bepaald.

Aangezien er geen preparaathouder aanwezig is waarmee bij hoge magneetvelden hoogfrequent metingen gedaan kunnen worden, moet deze ontworpen worden. Bij het ontwerp van de preparaathouder moet een keuze gemaakt worden tussen het transporteren van de electrische signalen met behulp van coaxkabels of golfpijpen. Er is uiteindelijk gekozen voor een preparaathouder met coaxkabels.

Het enige grote voordeel van een opstelling met golfpijpen is dat er contactloos gemeten wordt. Het aanbrengen van goede (ohmse) electrische contacten op het halfgeleidermateriaal levert namelijk nog steeds veel problemen op. De argumenten voor het ontwerpen van een preparaathouder met coaxkabels zijn hieronder weergegeven.

Coaxkabels:

- metingen in frequentiegebied waar problemen in de literatuur gesignaleerd zijn

- een normaal heterostructuurpreparaat

- detektie met behulp van lock-in technieken

Golfpijpen:

- meting in GHz-gebied wegens de dimensies van de golfpijp

- golfpijp-opstelling zowel technisch als financieel moeilijk te realiseren (warmtegeleiding naar heliumbad, beperkte ruimte in de kryostaat)

- problemen met de randeffecten, de doorsnede van de golfpijp moet kleiner zijn dan de preparaatafmetingen.

- detektie met behulp van een bolometer

- in verband met de intensiteit van het signaal is een multi-quantumwell-structuur nodig

- voordeel boven coax-opstelling: geen electrische contacten.

Opbouw van het verslag.

In hoofdstuk 2 wordt de theorie van het Quanturn Hall-effect beschreven en in hoofdstuk 3 wordt een chronologisch overzicht gegeven van enige publicaties die over de eventuele

frequentieafhankelijkheid van het QH-effect zijn verschenen. Het ontwerp van de preparaathouder en de toegepaste meetmethoden worden beschreven in hoofdstuk 4. De resultaten van deze

hoogfrequent QH-metingen worden gepresenteerd in hoofdstuk 5. In hoofdstuk 6 worden de inleidende metingen aan het hot electron magnetofoneneffect in een 2DEG, in een GaAs-AlGaAs heterojunctie, onder QH-condities met behulp van gepulste electrische velden besproken. De wisselwerking tussen electrenen en fononen is net als het QH-effect van belang om het fysisch gedrag van

halfgeleiders beter te begrijpen, zodat er bij het ontwerpen van nieuwe devices rekening mee gehouden kan worden. Tenslotte worden in hoofdstuk 7 de conclusies uit de metingen gepresenteerd en worden enige suggesties gegeven voor nader onderzoek.

2. THEORIE.

Na de ontdekking van het Quanturn Hall effect door von Klitzing zijn er veel publicaties verschenen, waarin het verschijnsel uitvoerig wordt beschreven, bijvoorbeeld de overzichtsartikelen van Cage [CAG83] en van Aoki [AOK87], een artikel van von

Klitzing ter gelegenheid van de uitreiking van de Nobelprijs [KLI85] of een publicatie van Landwehr over de ontdekking van het QH-effect [LAN86]. Wegens deze overvloed aan goede artikelen wordt in dit verslag de theorie van het QH-effect slechts beknopt beschreven.

Twee Dimensionaal Electrenen Gas (2DEG).

Het is tegenwoordig mogelijk met behulp van de kristalgroei- technieken metal organic chemica! vapour deposition (MOCVD) en vooral molecular beam epitaxy (MBE), heterostructuren te groeien, waarbij de overgang tussen de beide halfgeleider- materialen plaatsvindt binnen één atoomafstand. Wanneer er Si-gedoteerd AlxGat-xAs op GaAs wordt gegroeid, zal er, doordat het

ferminiveau door de hele structuur even hoog moet liggen bandbuiging optreden zie figuur 2.1.

>-

C) I..

Q) c:

Lo.J

z direction

FIGUUR 2.1: Bandbuiging in een GaAs-AlGaAs heterojunctie. Het tweedimensionaal electrenengas (2DEG) bevindt zich in de potentiaalput aan het interface. De spaeer is een laag ongedateerd AlGaAs.

Door deze bandbuiging ontstaat aan het interface tussen het AlxGa 1_xAs en het GaAs, aan de GaAs-zijde een potentiaalput. In deze potentiaalput zitten geleidingselectronen die afkomstig zijn van de donoren in het AlxGa 1_xAs. Aangezien deze electronen

ruimtelijk gescheiden zijn van de donoren, bezitten zij een grote mobiliteit ~- Die mobiliteit wordt nog extra verhoogd als er een ongedateerde laag AlxGa 1_xAs (zgn. spacer) van ca. 100 Ä tussen het GaAs en het gedoteerde AlGaAs wordt gegroeid. De

potentiaalput is zo smal dat de energieniveaus van de electronen gequantiseerd worden in subbanden in een richting, loodrecht op het interface. De energie van deze subbanden is afhankelijk van de vorm en de ^di~pte van de potentiaalput. De electronen aan het

interface vormen een zogenaamd twee dimensionaal electronengas (2DEG).

Als een uitwendig magneetveld loodrecht op dit 2DEG wordt aangelegd, zal ook de beweging van de electronen in het vlak evenwijdig aan het interface gequantiseerd worden. De totale energie E bestaat in dat geval uit drie termen. Ten eerste de energie van de laagste subband E1 (meestal de enige band die gevuld is), de tweede term is afkomstig van de Landausplitsing en de derde term brengt de spinsplitsing in rekening. De energie E wordt dus gegeven door de vergelijking

E

=

_{E1 +} (n+~)nwc + sgB~8 (2.1)

metneen natuurlijk getal, n = h/2~. Wc = eB/m* de

cyclotronfrequentie met B de waarde van het magneetveld en m* de effectieve massa van de geleidingselectronen, s het

spinquantumgetal (s

=

^{± ~).} g de Landé-factor en ~B het Bohrmagneton (~a= eh/2m).

Quanturn Hall effect.

Het Quanturn Hall effect houdt in dat de hallweerstand Pxy van een 2DEG bij lage temperatuur en onder invloed van een uitwendig magneetveld loodrecht op het 2DEG, niet recht evenredig met het

B-veld stijgt, maar plateaus vertoont. Deze plateaus in de

hallweerstand treden onafhankelijk van de preparaatparameters op met de vaste waarden

Pxy

=

ie2 h

(2.2)

De voorwaarden voor deze quantisatie zijn dat de temperatuur van het preparaat zo laag is, dat de Landausplitsing nwc groter is dan de temperatuurverbreding kT van de fermiverdeling, en dat deze splitsing nwc groter is dan de natuurlijke breedte van het Landauniveau hiT, met T de botsingsrelaxatietijd van de

electronen.

De langsweerstand van het preparaat Pxx vertoont onder invloed van een magneetveld loodrecht op het 2DEG oscillaties, de Shubnikov-de Haas oscillaties. De plateaus in de hallweerstand Pxy blijken op te treden voor die waarden van het B-veld waarvoor de SdH-oscillaties minima vertonen, zie figuur 1.1.

Een echt sluitende verklaring voor het QH-effect is nog niet gegeven. Er zullen hier twee mogelijke verklaringen iets

uitvoeriger besproken worden. Ten eerste de verklaring die ook volgens von Klitzing de meest aannemelijke is, waarbij er van wordt uitgegaan, dat er zich gelocaliseerde ladingen in het

preparaat bevinden. Ten tweede die van Woltjer [WOL88] die het QH effect verklaart uit de inhomogeniteit van de electrenendichtheid in het preparaat en de daarmee samenhangende stroomverdeling in het preparaat.

Beide theorien hebben als uitgangspunt de Landausplitsing van de energiebanden. Deze Landauniveaus zijn, bij T

=

^0, ó-pieken, maar in de praktijk zijn ze verbreed door verstrooiing en

temperatuurverbreding. Het aantal electrenen per eenheid van oppervlak in een Landauniveau nL bedraagt [KLI86]

eB

h

(2.3)

De vulfactor van de Landauniveaus u wordt gedefinieerd als

(2.4)

met ne de dichtheid van de geleidingselectronen. De vulfactor geeft aan hoeveel niveaus geheel gevuld zijn. De Landausplitsing veroorzaakt dat de langsweerstand Pxx van het preparaat onder

invloed van een uitwendig magneetveld zal gaan oscilleren. Dit kan als volgt worden verklaard. De Landauniveaus bewegen bij een veranderend B-veld als het ware door het ferminiveau heen, figuur 2.2. Stel dat het ferminiveau tussen een gevuld en een hoger gelegen leeg Landauniveau inligt. Een electron uit een gevuld niveau dat aan de stroom bijdraagt zal dan veel energie moeten hebben om naar een onbezette toestand te kunnen verstrooien. Dit veroorzaakt een minimum in de waarde van Pxx· Als het bovenste Landauniveau half gevuld is en het ferminiveau dus in het centrum van een Landauniveau ligt, heeft een stroomvoerend electron wel verstrooiingsmogelijkheden met weinig energieverlies, dit levert een maximum in de waarde van de Pxx· Tot hier toe zijn de beide verklaringen aan elkaar gelijk. Voor het optreden van de plateaus

in de Pxy voor die waarden van het B-veld, waarvoor de Pxx zich in een minimum bevindt, worden er echter verschillende

verklaringen gegeven.

Gelocaliseerde toestanden (ven Klitzing).

Hierbij gaat men ervan uit dat de Landaubanden zijn opgebouwd uit gelocaliseerde en niet gelocaliseerde toestanden, figuur 2.2.

l

•-"~'~wc-

I I

I I

I I I

E,:

E -

FIGUUR 2.2: De Landauniveaus zijn opgebouwd uit gelocaliseerde (gearceerd) en niet-gelocaliseerde toestanden, EF is de

Fermi-energie.

De gelocaliseerde toestanden worden bijvoorbeeld veroorzaakt door onzuiverheden in het sample. Stel dat het ferminiveau zich in het gebied van gelocaliseerde toestanden in de flank van een

Landauband bevindt. De electrenen in die gelocaliseerde

toestanden nemen niet deel aan het stroomtransport. Er wordt bij deze verklaring verondersteld, dat zolang het ferminiveau in dit gebied van gelocaliseerde toestanden blijft, de hallweerstand een constante waarde zal behouden, ondanks een verandering van de waarde van het B-veld. Dat de hoogte van het plateau een waarde heeft die overeenkomt met de waarde van de hallweerstand in een situatie zonder localisatie, wordt verklaard, doordat men

aanneemt dat de electrenen in de niet gelocaliseerde toestanden dan de extra stroom voeren die nodig is om de hallweerstand

constant te houden [AND74]. Op deze wijze worden de plateaus, met een eindige breedte, in de hallweerstand verklaard. De electrenen die de stroom voeren en dus tot de langsweerstand bijdragen

zitten in dit geval ver van het ferminiveau en hebben veel

energie nodig om naar een onbezette toestand te verstrooien. Dit betekent dat de hallweerstand Pxy een plateau vertoont als de Pxx zich in een minimum bevindt.

Inhomogeniteit van het preparaat (Woltjer).

Woltjer beweert dat de localisatie buiten beschouwing kan blijven en dat het QH-effect verklaard kan worden uit de variaties in de electrenendichtheid (en dus van de vulfactor) in het preparaat.

De stroom zal door het preparaat lopen over een pad waarlangs de weerstand het kleinst is. Als er tussen de twee stroomcontacten een pad is waarop een geheel aantal Landau-niveaus gevuld is, zal dus vrijwel de hele stroom langs dit pad lopen. De hallweerstand is langs zo'n pad met heeltallige vulfactor juist gequantiseerd.

Door de inhomogeniteit van de electrenendichtheid in het preparaat zal bij verschillende magneetvelden een pad met

heeltallige vulfactor bestaan. Hoewel de stroom bij verschillende magneetvelden langs verschillende paden loopt, zal de

hallweerstand over een bepaald B-traject steeds hetzelfde

gequantiseerd zijn, aangezien de hallweerstand alleen daar wordt opgebouwd waar stroom loopt. Er ontstaan dus hallplateaus, zonder dat er van gelocaliseerde toestanden wordt uitgegaan. De enige voorwaarde voor het optreden van de plateaus is volgens Woltjer dat het preparaat inhomogeen is. Bij deze verklaring wordt er van uitgegaan dat de waarde van de soortelijke weerstand p alleen van de locale vulfactor afhangt, en dat er inderdaad stroompaden tussen twee stroomcontacten kunnen optreden met een heeltalliga vulfactor. Woltjer toont aan dat, op grond van een

ladingsherverdeling in het preparaat, zo'n pad met heeltalliga vulfactor tussen twee stroomcontacten aannemelijk is.

Definities.

Het verband tussen het electrisch veld over het preparaat 8 en de stroomdichtheid door het preparaat

J

wordt gegeven door de

vergelijkingen

Bx

=

^{Pxxlx + Pxyly}

By ^- Pxylx + Pxxly (2.5)

of

lx

=

^{0xxBx + axyBy}

ly

=

^{-axyBx + axxBy (2.6)}

Tussen de tensoren voor de soortelijke geleidbaarheid a en de soortelijke weerstand p bestaan de volgende relaties

0xx

=

2 Pxx

2 (2.7)

Pxx + Pxy en

- _Pxy axy

=

^{2 2}

Pxx + Pxy

(2.8)

Hieruit blijkt dat de waarde van axx een functie van Pxx en Pxy

is, waarbij de axx een minimum vertoont bij dezelfde waarden van het B-veld als Pxx· Uit de relaties (2.7) en (2.8) volgt dat uit de meting van de waarde van axx geconcludeerd kan worden of het QH-effect wel of niet optreedt. Als het QH-effect namelijk zou verdwijnen als functie van de frequentie van een wisselspanning over het preparaat zal ook het verloop van de Pxy als functie van het B-veld veranderen. In dat geval zal wegens relatie (2.7) ook het verloop van de axx veranderen. Het QH-effect wordt in het algemeen aan twee verschillende preparaatstructuren gemeten, een hallbar of een corbinodisk. Een hallbar heeft twee

stroomcontacten aan de korte zijde van het preparaat en enige spanningscontacten aan de lange zijde, terwijl een corbinodisk slechts twee concentrische contacten heeft over de omtrek van het hele preparaat, figuur 2.3.

1. 2. ^F

I

E-~

0 (

FIGUUR 2.3: 1. Hallbar, de langsspanning wordt gemeten tussen de contacten A en B (VAB) en de hallspanning wordt gemeten tussen A en D (V AD).

2. Corbinodisk met ri en r₀ respectievelijk de binnenstraal en buitenstraal van het preparaat. De spanning tussen het binnen- en het buitencontact is VEF·

Voor de hallbar geldt dat

ly =

0 en dus wordt de vergelijking (2.5) gereduceerd tot

&x

=

Pxxlx

&y = Pxylx

hieruit volgt dat voor de hallspanning VAD geldt dat

V AD/I = Pxy

(2.9)

(2. 10)

en voor de langsspanning VAB

met 1 en b respectievelijk de lengte en de breedte van het preparaat. Voor de corbinodisk geldt dat gy = 0 en gaat vergelijking (2.6) over in

lx = ⁰xxgx

ly

= ⁰xygx

De stroom I door het preparaat is gelijk aan 2lr

I

= of

Jx(r)rd~

=

2vaxxrE(r)

De weerstand van de corbino wordt dan gegeven door de vergelijking

f

^E(r)dr

=

^I

⁼

¹

*

ln( _!:.a.)

2vaxx ri

(2.11)

(2.12)

(2. 13)

(2.14)

Voor de waarden van de tensorcomponenten in vergelijking (2.5) en (2.6) is in

[FON86]

afgeleid dat geldt

Pxx

=

^1/ao

0xy = -J.LBaxx Pxy

=

^J..LBPxx

waarin J.L de mobiliteit van de electrenen voorstelt en

ao

^de

waarde van axx zonder B-veld die gegeven wordt door de vergelijking

met ne de dichtheid van de geleidingselectronen.

(2. 15)

(2.16)

De dichtheid van de geleidingselectrenen ne kan op twee manieren berekend worden, namelijk uit de hallweerstand bij lage

magneetvelden, zoals volgt uit vergelijking (2.15) en (2.16)

(2.17)

of uit de periode P van de oscillaties in de Pxx (of de axx)· De ontaardingsgraad per Landauniveau is als de spinsplitsing wordt meegenomen, gelijk aan 2eB/h (vergelijk f0rmule (2.4)). Het aantal gevulde niveaus is in dat geval

aantal gevulde niveaus

De periode P wordt gegeven door

1 1

p

=

^{A( - B )}

=

^--=,--

Bi

1

*.!_

B

waarin i een natuurlijk getal voorstelt.

Uit deze vergelijkingen (2.18) en (2.19) volgt dat de electrenendichtheid n₉ gegeven wordt door

(2. 18)

(2.19)

(2.20)

De mobiliteit ~van de geleidingselectrenen bij B

=

0 wordt in het algemeen berekend uit de formule

1 (2.21)

dit volgt direct uit vergelijkingen (2.15) en (2.16). Bij de metingen aan een corbinodisk wordt echter niet de Pxx bepaald, maar de axx· In dat geval kan de mobiliteit in benadering berekend worden met behulp van de vergelijking volgens [STA88]

(2.22)

met Rp(B) de weerstand van de corbinodisk bij magneetveld B. De weerstand van de corbinodisk bij B

=

⁰ (vergelijking (2.14)) kan ook geschreven worden als

(2.23)

met Pv

=

^1/ao de vierkantsweerstand van het preparaat.

Deze vergelijkingen moeten enigszins worden aangepast, omdat als de stroom door een corbinodisk gemeten wordt, ermee rekening gehouden moet worden, dat niet alleen de preparaatweerstand, maar ook de circuitweerstand en de weerstand van de contacten van invloed zijn. De gemeten weerstand Rmeet is dus gelijk aan de som van RP en Re, waarbij in Re de weerstand van de contacten en het circuit verdisconteerd zijn. Vergelijking (2.22) en (2.23) gaan dan over in

(2.24)

en

(2.25)

met Rmeet(O) de waarde van de gemeten weerstand bij B

=

0. Als wordt voorondersteld, dat de waarde van Re niet afhankelijk is van het magneetveld, kan vergelijking (2.24) geschreven worden als

(2.26)

Uit de vergelijkingen (2.25) en (2.26) kan nu de term

Rmeet(O) - Re worden geëlimineerd. De mobiliteit ~ volgt dan uit vergelijking

1 1

~

= -sz *

^21rene

* - - - - *

(Rp(B) - Rp(O)) (2.27) In( 2:..a.)

ri

waarbij de waarde van (Rp(B) - Rp(O)) berekend wordt uit de

verandering van de gemeten preparaatstroom Iprep (~ axx) bij laag B-veld.

3. LITERATUUROVERZICHT.

Zoals in de theorie is beschreven, wordt het Quanturn Hall effect meestal verklaard aan de hand van de gelocaliseerde toestanden in de flanken van de Landaubanden. Om meer informatie te verkrijgen over deze gelocaliseerde toestanden is het interessant om het QH-effect te onderzoeken met behulp van een wisselspanning (AC) of gepulste spanning over het preparaat. Er is over dit soort metingen veel in de literatuur verschenen. In dit hoofdstuk zal een historisch overzicht van enkele artikelen uit de literatuur gegeven worden, om duidelijk te maken dat de metingen zeer tegenstrijdige resultaten opleverden. De eventuele

frequentieafhankelijkheid van het fractionele QH-effect, een verschijnsel dat o.a. door Powell [POW85] werd gepubliceerd, wordt hier buiten beschouwing gelaten. Tijdens dit

afstudeeronderzoek is namelijk alleen de invloed van de

frequentie op het heeltalliga Quanturn Hall effect onderzocht.

De eerste artikelen over de invloed van de frequentie van de wisselspanning over een preparaat op het QH-effect verschenen in 1982 [PEP82]. Pepper constateert dat de plateaus in de

hallweerstand bij een frequentie van ca. 5 kHz vlakker zijn dan bij de DC metingen. Iwasa [IWA83] onderzocht de frequentie- afhankelijkheid door metingen te doen aan Si-MOSFET's met een corbino-geometrie. Er werd bij deze metingen gekeken naar de vorm van het reële deel van de axx-curve als functie van de

frequentie. De metingen werden uitgevoerd met behulp van een fasegevoelige detectiemethode voor frequenties tot 50 MHz. lwasa constateert dat de minima in de axx breder worden en dat de

pieken in de axx scherper worden naarmate de frequentie toeneemt.

Hij twijfelt echter zelf aan zijn resultaten, aangezien bij de meting aan een ander preparaat van dezelfde wafer er geen frequentieeffect in de axx zichtbaar is. Het enige verschil tussen beide preparaten is dat het sample waarbij wel een frequentieeffect optreedt de afstand tussen souree en drain 10 keer zo groot is. Aangezien er geen verklaring voor de metingen gegeven kon worden en de geconstateerde frequentieinvloed

preparaatgebonden was, concludeerde lwasa, dat er verder (theoretisch) onderzoek naar het effect moest plaatsvinden.

Vrijwel gelijktijdig met lwasa publiceerde Pepper [PEP83] zijn resultaten van AC-metingen aan het QH-effect. Pepper heeft met de frequentieafhankelijke metingen van het QH-effect de

wonderlijkste resultaten bereikt. Eerst [PEP82] constateert hij, dat bij een verhoging van de frequentie (tot ca. 7 kHz) de

plateauvorming als het ware wordt versterkt, de plateaus worden vlakker. In 1983 echter publiceert Pepper metingen waarbij bij een verhoging van de frequentie de plateaus verdwijnen. Beide metingen werden uitgevoerd aan een Si-MOSFET met

hallbar-geometrie. Het preparaat waarbij bij een verhoging van de frequentie het QH-effect verdween, had een piekmobiliteit van 0.62 m-2/Vs. Pepper geeft geen echte verklaring voor de

meetresultaten, maar hij beweert dat bij een kleine verhoging van de frequentie de plateaus vlakker worden doordat dan zeer zwak gelocaliseerde electronen in het "centrum" van de Landauband gedelocaliseerd worden. Door verdere verhoging van de frequentie zouden ook de sterk gelocaliseerde electronen in de staart van de Landaubanden gedelocaliseerd worden en dat betekent dat de

plateaus verdwijnen. De metingen in [PEP83] vertonen voor lage frequenties echter helemaal geen vlakke plateaus, zodat deze verklaring al gedeeltelijk door Pepper zelf wordt tegengesproken.

Pepper trok uit zijn metingen de conclusie dat het QH-effect essentieel een De-effect was. Het feit dat deze resultaten nooit meer door andere onderzoekers zijn bereikt, doet echter vermoeden dat Pepper tijdens de metingen iets essentieels over het hoofd heeft gezien. Het onderzoek van Pepper naar de

frequentieafhankelijkheid van het QH-effect was daarmee nog niet afgelopen. In 1984 publiceerde hij samen met Long [LON84]

metingen aan Si-MOSFET's. De metingen werden verricht zowel aan een corbinodisk als aan een hallbar met een piekmobili~eit bij T = 4.2 K van~= 0.12 m-2/Vs. In dit geval werd de axx gemeten.

De meetmethode wordt echter, zoals in zoveel artikels, niet (exact) beschreven. Uit de metingen blijkt dat bij een toename van de frequentie, tot 45 MHz, de minima in de axx smaller en de pieken in de axx hoger worden. Het smaller worden van de minima

in de axx• bij een toename van de frequentie, is precies in tegenspraak met het resultaat van lwasa [IWA83]. De verklaring voor de resultaten is volgens Long de door de frequentieverhoging veroorzaakte effectieve delocalisatie van electronen. Deze

verklaring is niet verwonderlijk, aangezien Pepper co-auteur van dit artikel is. In deze publicatie wordt ook voorspeld, dat de

lengte van het preparaat van invloed zal zijn op de waarde van de

drempelfrequenti~ waarbij het QH-effect frequentieafhankelijk wordt. Dit verschijnsel is later door Powell inderdaad

waargenomen en gepubliceerd [POW85].

Door Woltjer [WOL85] wordt als eerste een meetmethode met behulp van gepulste electrische velden toegepast, om de

frequentieafhankelijkheid van het QH-effect te onderzoeken. Er werd gemeten met pulsen met een pulslengte tussen de 0.1 ms en 100 ns, dit komt overeen met frequenties tot 3.5 MHz (bandbreedte in GHz

=

0.35/pulsbreedte in ns). De stijgtijd van de pulsen wordt in het artikel niet gegeven. De experimenten werden uitgevoerd aan een MOCVD-gegroeid Si-gedoopte AlxGal-xAs heterojunctie met de hallbargeometrie (n₉

=

4.1*1015 m-2,

M

=

10.2 m2/Vs). Om er voor te zorgen dat de coaxkabels met 50 0 afgesloten zijn en er toch hocgohmig aan de zijcontacten van het preparaat de Hall- en Shubnikow-de Haas spanningen gemeten kunnen worden, is er een schakeling gerealiseerd als weergegeven in

figuur 3.1.

u 4.5

lAl'DAU LEVEL..

u i=4 .u i=6

~ 6.A Si ~

...

Q: Q:

L2 4.2

5.0 4.1

l.75 4.00 4.25 4.50 4.75 2.7 2.11 2.1 l.O l.1

B (Tesla) B (Tesla}

IxSO _{/ v -}1

PULSE- v

8 v

GENERATOR 6

FIGUUR 3.1: 1. ELectrische schakeLing voor puLsmetingen aan een HaLLbar met 50 0 coaxkabeLs. De 50 0 weerstanden bij het

preparaat zijn overbodig, de coaxkabeLs hoeven sLechts aan een uiteinde met de karakteristieke impedantie te worden afgesLoten.

2 Uitvergroting van de pLateaus voor de vuLfactoren 4 en 6 gemeten via de puLsmethode met puLsen van 100 ns, dit komt overeen met een frequentie van 3.5 MHz.[WOL85].

De combinatie van de MOSFET's en de 1MO weerstanden vormen een impedantie omvormer naar 50 0. Zo is het mogelijk hocgohmig spanningen te meten zonder dat er stroom weglekt vanuit het hoofdkanaal door een zijarm van het preparaat, terwijl de

coaxkabels toch met 50 0 zijn afgesloten. Woltjer toonde aan dat voor frequenties tot 3.5 MHz de plateaus in de hallweerstand, Pxy• vlak waren, binnen de experimentele onnauwkeurigheid van 0.5 %.

In hetzelfde jaar, 1985, publiceerde Powell [POW85] AC-metingen met frequenties tussen 500 kHz en 45 MHz aan Si-MOSFET's met een hallbar-geometrie. De signalen werden gedetekteerd met behulp van hoogfrequente lock-in technieken. Het resultaat van de metingen van Powell is, dat bij stijgende frequentie van de wisselspanning over het preparaat de hallplateaus smaller worden en tenslotte geheel verdwijnen, figuur 3.2.

c

~

~

..

JS 0 ' I ' I

1

^lal

JO MHz 16 MHz

10 HHz

1J "'Hz

I J1Hz: 15

4 MHZ 11 l'tHz

7r1Hz

2"Hl 10

4 ""'

111Hz ·c

500 '"'

~0

15 :;, 15

~ 1

SOOirHz ...

10

~ lVI v, lVI

FIGUUR 3.2: FrequentieafhankeLijkheid van het Quantum HaLL effect bij preparaten (HaLLbar) met verschiLLende Lengtes 1. 2000

*

400

~ en 2. 800

*

400 ~- [POW85]

Door de metingen te verrichten aan preparaten met verschillende lengtes toonde Powell aan dat bij kortere samples de plateaus pas bij hogere frequenties verdwenen (figuur 3.2). De verklaring voor dit verschijnsel was, dat de toestanden met een localisatielengte korter dan de preparaatlengte door het verhogen van de frequentie als het ware werden gedelocaliseerd. Powell stelt ook dat de mobiliteit van de electrenen invloed heeft op de

frequentieafhankelijkheid. De roosterperfectie van preparaten met een hoge mobiliteit zorgt er namelijk voor dat in zulke

preparaten de frequentieinvloed pas optreedt vanaf hogere frequenties. De localisatielengte is in dat geval zo klein dat pas bij zeer hoge frequenties de effectieve delocalisatie van deze electrenen een rol gaat spelen. De hoge mobiliteit van het sample waaraan Woltjer zijn experimenten verrichtte is er volgens Powell de oorzaak van dat Woltjer bij zijn metingen geen

frequentie-invloed vaststelt. Uit de experimenten van Powell bleek dat zowel in GaAs heterojuncties als in Si-MOSFET's

frequentieeffecten zichtbaar werden. Hieruit concludeerde hij dat de frequentieafhankelijkheid een algemene eigenschap van een 2DEG was.

Er zijn niet alleen metingen tot in het MHz-gebied gedaan om de frequentieafhankelijkheid van het QH-effect te onderzoeken.

50

L

Kuchar [KUC85] en Meiseis [MEI86] verrichtten QH-metingen in het GHz-gebied. Kuchar meende via deze metingen een eind te maken aan de speculaties over het al dan niet frequentieafhankelijk zijn van het QH-effect. Deze frequenties zijn namelijk een factor 103 hoger dan de frequenties waarbij tot dan toe het verdwijnen van het QH-effect was gesignaleerd. Bij deze experimenten werd gemeten aan een GaAs-AlGaAs multilayer (14 lagen) met een

electronendichtheid van ne = 14 * 5.7*1015 m-2 en een mobiliteit

~ = 2 m2/Vs bij T = 2.2 K. De opstelling bestaat uit een

gekruiste golfpijp-opstelling waarbij het preparaat zich in het grensvlak van de beide golfpijpen bevindt, figuur 3.3.

10 12 14

\

\

lal

I bi

2 3 5 5 7 1 1

8 (T) 1

FIGUUR 3.3: 1. Schematische weergave van de gekruiste

goLfpijp-opsteLLing, met dimensie 3.5 * 7 mm2. Het preparaat bevindt zich tijdens de metingen in het grensvLak tussen de twee goLfpijpen. 2. a.BoLometersignaaL, dit signaaL is evenredig met axy2· b. Pxy uit een De-meting aan een preparaat van dezeLfde wafer. [KUC86].

Een invallend electrisch veld, Einc• via golfpijp 1 veroorzaakt een Hallveld in het preparaat. De intensiteit van het geïnduceerd E-veld, Etr• wordt aan het einde van golfpijp 2 met behulp van een bolometer gedetekteerd. De multilayer structuur is nodig om voldoende intensiteit van Etr te verkrijgen. Kuchar toont aan dat

het bolometersignaal evenredig is met de waarde van axy in het kwadraat (axy2 ). Op die manier wordt de axy-curve als functie van het magneetveld gemeten in het GHz-gebied. Het grote voordeel van deze meetmethode is dat er niet aan electrische contacten van het preparaat gemeten wordt. De electrische contacten zorgen namelijk bij de meeste metingen aan halfgeleidermateriaal voor problemen.

Het resultaat van de metingen van Kuchar was, dat het verloop van de axy niet veranderde als functie van de frequentie. De

axy-curve vertoonde plateaus bij dezelfde waarde van het magneetveld waarbij de Pxy-curve, uit een De-meting aan het zelfde soort preparaat, ook plateaus vertoonde, figuur 3.3. Deze resultaten van Kuchar geven weer dat het QH-effect in een 2DEG in GaAs-AlGaAs preparaten ook optreedt bij deze hoge frequenties. De metingen tonen ook aan dat de resultaten van Pepper [PEP83] bij metingen in het lage MHz-gebied niet verklaard kunnen worden door een effectieve delocalisatie van electronen.

Goldberg [GOL86] heeft systematisch onderzocht wat de invloed van het preparaat op de geconstateerde frequentieafhankelijkheid van het QH-effect was. Er wordt in dit artikel via metingen met frequenties tot 50 MHz aangetoond dat er geen frequentie-effect optreedt bij preparaten zonder gate. Bij de metingen wordt een vaste spanning over het preparaat gezet en wordt het signaal gedetekteerd met behulp van een hoogfrequente lock-in versterker.

De metingen aan een GaAs-AlGaAs sample zonder gate gaven

duidelijk andere resultaten dan metingen aan een Si-MOSFET mét een gate. Goldberg toont aan dat de capacitieve koppeling tussen de 2DEG-laag en de gate er de oorzaak van is, dat bij hoge

frequenties het QH-effect lijkt te verdwijnen. Uit een meting van de capaciteit tussen enerzijds de gate en anderzijds de souree en drain blijkt dat voor hoge frequenties (MHz) de gemeten

conductance (geleidbaarheid) bijna volledig bepaald wordt door deze capaciteit. De koppeling tussen de gate en het 2DEC blijkt het sterkst als het ferminiveau in het centrum van een

Landauniveau ligt en het zwakst als het ferminiveau precies tussen twee Landauniveaus inligt. Hierdoor is de invloed van de frequentie het sterkst waar te nemen in de gebieden waar het ferminiveau midden in een Landauband ligt. Dit verklaart de extra

structuur in de curves die Powell [POW85], Long [LON84] en Pepper [PEP83] hebben waargenomen voor niet heeltalliga vulfactor.

Goldberg geeft ook een verklaring voor het feit dat bij grotere preparaten het frequentieeffect al optreedt vanaf lagere

frequenties dan bij kleine preparaten. De grote preparaten hebben namelijk een grotere gate en de capacitieve koppeling met het 2DEG zal dan bij een lagere frequentie al van invloed zijn. Dit verklaart waarom Powell, Pepper en Long een verband vonden tussen preparaatlengte en frequentie-invloed. Ook het feit dat lwasa [IWA83] aan twee preparaten van dezelfde wafer met als enige verschil een 10 keer kleinere souree-drain afstand, aan het ene preparaat wel en aan het andere preparaat geen frequentieinvloed waarnam, wordt hiermee verklaard. De kleinere werkzame

oppervlakte van de gate, bij het preparaat met de kleine souree drain afstand, zal pas bij veel hogere frequenties een rol gaan spelen.

De laatste publicatie die tot nu toe verscheen over de eventuele frequentieafhankelijkheid van het QH-effect is een artikel van Lee [LEE87]. De metingen worden met een nieuwe meetmethode met behulp van capacitief gekoppelde contacten uitgevoerd, zie figuur 3.4.

FIGUUR 3.4: Schematische weergave van het meetcircuit met capacitief gekoppeLde contacten, onder de contacten en het preparaat worden de respectieveLijke eLectronendichtheden aangegeven. [LEE87].

Het principe van de meetmethode is als volgt: er wordt 'een DC offsetspanning aangebracht op het ene gate-contact, dit betekent dat de sleetronendichtheid onder dit gatecontact zal toenemen en de electronendichtheid onder de andere gate zal afnemen. De sleetronendichtheid in het preparaat tussen de beide contacten blijft zodoende gelijk. Wanneer het magnetisch veld verandert zal ieder van deze gebieden, afhankelijk van de electronendichtheid oscillaties in de weerstand (of admitantie) vertonen. De

experimenten ZlJn uitgevoerd aan GaAs-AlGaAs heterostructuren (ne

=

2.4*1015 m2, ~

=

50 m2/Vs). Het preparaat is een

corbinodisk en deze is zo gemaakt dat het effectieve oppervlak van het buitencontact gelijk is aan het binnencontact. Lee berekent uit de minima in de admitantie de minima in de axx· De diepte van deze minima in axx• bij een vaste vulfactor, bleken sterk afhankelijk te zijn van de

"u

'"'"

(5-o)

FILLING FACTOR 0 12

0 10

x 8 0 6

frequentie, zie figuur 3.5.

10-⁶

FILUNG FACTOR

)( 8

"u

...

^{0 6}

(5-0) I 4

10-7

)(.

0 _.,__..a

I

----1

-9

10 10"⁹L-~""-';::'::--'~~~-:---~~_._,

0 5 I 5 IQ 0 I 05 5 10

FREQUENCY (kHz) FRECIUENCY (kHz)

OI 2

FIGUUR 3.5: Het verband tussen het minimum van de axx en de frequentie bij verschiLLende vuLfactoren voor 1. T = 1.3 Ken 2.

T =

4.2

K.

[LEE87].

Lee is verrast door deze frequentieafhankelijheid. Aangezien er zich boven het 2DEG met de electronendichtheid n geen gate

bevindt, verwerpt hij de reden voor de frequentieafhankelijkheid, namelijk de capacitieve koppeling tussen de gate en het 2DEG, die Goldberg in [COL86] geeft. Lee vergeet echter dat de admitantie Y, Y

=

(R + (1/jwC))-1, waaruit de minima in de axx berekend worden, wel degelijk afhankelijk is van de frequentie via de capacitief gekoppelde contacten. De capacitieve contacten zijn namelijk in serie geschakeld met het preparaat en dus tellen de capaciteiten bij alle frequenties mee. Een frequentieeffect in de (minima van de) axx is dus in feite geen verrassing. Helaas geeft Lee in het artikel niet aan hoe de admitantie wordt gemeten en wordt ook de afstand tussen de gate en het 2DEG in het preparaat niet gegeven. Uit deze ontbrekende gegevens zal waarschijnlijk berekend kunnen worden dat het frequentieeffect inderdaad door de

Lee coniudeert uit zijn metingen dat het QH-effect sterk

frequentieafhankelijk is. De bovenstaande opmerking geeft echter aan, dat er waarschijnlijk enige fouten zijn gemaakt bij de

interpretatie van de metingen.

Uit dit literatuuroverzicht blijkt duidelijk dat er zeer

controversiële resultaten zijn geboekt, bij het onderzoek naar de frequentieafhankelijheid van het QH-effect en dat er bij de

metingen veel aandacht besteed moet worden aan de meetmethode en de preparaatkeuze.

4. MEETOPSTELLING EN MEETMETHODEN.

In dit hoofdstuk wordt in de eerste paragraaf het ontwerp van de preparaathouder en de preparaatkeuze beschreven en in het tweede gedeelte worden de drie toegepaste meetmethoden toegelicht.

Deze drie meetmethoden zijn:

1. Een quasi oe-meting waarbij een bekende stroom door het preparaat wordt gestuurd en de preparaatweerstand wordt gemeten.

2. Een methode waarbij een bekende AC-spanning over het preparaat wordt gezet en waarbij de stroom door het preparaat wordt gemeten. Bij de metingen aan een hallbar wordt ook de hallspanning en de langsspanning gemeten.

3. Een methode waarbij een gepulst electrisch veld over het preparaat wordt gezet en de stroompuls door het preparaat wordt gemeten. Deze metingen worden verricht met behulp van een

computer en de software van A. van Kessel [KES88].

4.1. Preparaathouder.

Wanneer QH-metingen gedaan worden bij frequenties hoger dan 1 kHz moet er extra aandacht besteed worden aan de meetmethoden en de meetopstelling. Ten eerste wordt er in tegenstelling tot de normale oe QH-metingen geen vaste stroom door het preparaat gestuurd, maar een vaste spanning over het preparaat gezet. Er zijn namelijk geen hoogfrequente stroombronnen beschikbaar. Ten tweede moet er een nieuwe preparaathouder met coaxkabels

ontworpen worden. De electrische signalen worden dan

getransporteerd via 50 0 coaxkabels met speciale coaxconnectoren.

Een belangrijk aspect waarmee rekening dient te worden gehouden bij AC metingen is dat het gehele circuit met 50 0 is afgesloten, zodat de meetopstelling de metingen minimaal beïnvloedt.

Met betrekking tot de preparaathouder zijn een aantal zaken van belang:

* De preparaathouder moet passen in de bestaande glazen heliumkryostaat en de superspoelhouder.

* De heliumvulopening van de kryostaat moet bereikbaar blijven en de kryostaat moet afgepompt kunnen worden.

* De coaxkabels moeten ongeveer even lang zijn, om eventuele looptijdverschillen bij pulsmetingen te voorkomen.

*De coaxkabels kunnen niet ongelimiteerd gebogen worden.

Coaxkabels.

Aan de coaxkabels die in de preparaathouder worden gebruikt worden enkele eisen gesteld. De karakteristieke impedantie moet 50

n

bedragen en ze moeten bruikbaar zijn in vloeibaar helium.

Dit betekent dat de binnen- en buitengeleider en het diëlectricum bij een temperatuurverlaging even sterk moeten krimpen om

mechanische spanningen in de kabels te voorkomen. De electrische geleiding van de coaxkabels moet goed zijn tot in het MHz-gebied, terwijl de thermische geleiding juist gering moet zijn, om te snelle verdamping van het helium te voorkomen.

Er is op grond van dit eisenpakket gekozen voor semi-rigid

coaxkabels met een roestvrijstalen buitengeleider. De coaxkabels hebben een buitendiameter van 2.2 mm en een binnengeleider met een diameter van 0.51 mm. Tussen de binnen- en buitengeleider bevindt zich een teflon diëlectricum.

Deze kabels, die door Philips Nat. Lab. ter beschikking zijn gesteld, mogen niet te sterk gebogen worden. De vaste afstand tussen binnen- en buitengeleider is namelijk van belang voor de 50

n

impedantie van de kabel en dus voor het transport van de electrische signalen. De capaciteit van deze semi-rigid

coaxkabels is 105 pF/m. Buiten de kryostaat wordt gebruik gemaakt van coaxkabels van het type RG 58 C/U, ook deze kabels hebben een karakteristieke impedantie van 50

n.

Coaxconnectoren.

De coaxconnectoren moeten voldoen in het eerder genoemde

frequentiegebied en gecombineerd kunnen worden met de semi-rigid coaxkabels. Er is uiteindelijk gekozen voor SMA-connectoren van het type 25 SMA-50-2-15 van de firma Suhner

&

Huber. Voor de overgang van SMA-connectoren naar BNC-connectoren wordt het type 33 SMA-BNC-50-1 van dezelfde firma gebruikt.

Ontwerp van de preparaathouder.

Het ontwerp van de preparaathouder is getekend in figuur 4.1. De afzonderlijke onderdelen worden hier beknopt beschreven. De "pot"

staat niet centraal op de roestvrystalen buis omdat de

heliumvulopening van de kryostaat bereikbaar moet blijven voor de hevel. De flens staat onder een hoek op de "pot", zodat de zes coaxkabels slechts licht gebogen hoeven te worden en ongeveer even lang zijn(~ 96 cm). De coaxkabels hangen onder in de preparaathouder los om mechanische spanningen in de kabels, ten gevolge van de temperatuurgradiënt tussen heliumbad en de flens, te voorkomen. Tussen de flens en de "pot" en de flens en elke connector ligt een 0-ring ter afdichting. Hierdoor ls het mogelijk de heliumkryostaat af te pompen (T

<

4K). In de

roestvrijstalen buis zitten twee gaatjes, zodat de heliumdamp er tijdens het uitstoken makkelijk uit kan. De preparaathouder

bevindt zich tijdens de metingen in de bestaande superspoelhouder (appendix Al). Het preparaat wordt horizontaal onder aan de

coaxkabels bevestigd, zodat het B-veld van de superspoel loodrecht op het 2DEG staat. De superspoel is gemaakt van NbTi-draad waarvoor geldt dat het maximale magneetveld,

Bmax

=

4.32 T, bij een stroom door de superspoel van 1₅

=

^{20 A.}

De glazen heliumkryostaat hangt in een glazen stikstofkryostaat, om te voorkomen dat het helium te snel verdampt.

PRE PARAATHOUDER

flens, sluit

ellipsvormige opening af.

coaxconnector

bevestigingsschroef flens.

ronde holle ruimte buitendiameter 70 mm.

buitendiameter 20 mm

binnendiameter minimaal 9.2 mm

koker, i.v.m.

voorkomen van knik.

verdikking i.v.m. afdichting buitendiameter 10.7 mm

binnendiameter minimaal 9.2 mm

holle roestvrystalen buis holle roestvrijstalen buis buitendiameter 9.6 mm

binnendiameter minimaal 9.2 mm

(maten in mm) MAX. 15

40

50

/

/

;

^ill~

I ;

/

I

68

953

840

FIGUUR 4.1: Preparaathouder voor hoogfrequent metingen bij lage temperaturen en hoge magnetische velden. De coaxkabels worden licht gebogen in de "pot" en lopen in de roestvrijstalen buis naar beneden.

Preparaat.

Er zijn twee verschillende preparaatstructuren aanwezig, de hallbar en de corbino-disk, zie figuur 2.3. Bij de keuze van de preparaten voor hoogfrequent QH-metingen moet er met

verschillende eisen rekening gehouden worden.

Hall bar.

De hallbar moet een lage langsweerstand hebben en relatief grote waarden voor de zijkontaktweerstanden. Wanneer de zijkontakt- weerstand namelijk te laag is, zal er een gedeelte van de stroom door het hoofdkanaal via de zijkontakten en de 50 0 coaxkabels weglekken. De smalle overgang tussen hoofdkanaal en zijarmen van een Hallbar zorgen in het algemeen voor deze gewenste hoge

weerstand. De parasitaire capaciteiten tussen de zijkontakten kunnen geminimaliseerd worden door de afstand tussen de kontakten zo groot mogelijk te maken. Het is verder van belang dat het preparaat geen front- of backgate heeft, omdat er dan een capacitieve koppeling ontstaat tussen de gate en het 2DEC.

Een elegante oplossing om hoogfrequentmetingen te doen aan een hallbar zonder probleem met het weglekken van de stroom door de zijkontakten is de constructie zoals die door Woltjer [WOL85] is toegepast, zie figuur 3.1. Dit is echter technisch moeilijk te realiseren. Ten eerste moeten de weerstanden en de MOSFET's, die zorgen voor een impedantieomvorming, goed functioneren in de kou en ten tweede is de ruimte die het preparaat in het hart van de superspoel kan innemen zeer beperkt. De binnendiameter van de superspoel is slechts 1 cm.

Corbino-disk.

Een corbino-disk lijkt het meest geschikt voor de metingen bij hoge frequenties, omdat dit preparaat slechts twee contacten bezit. Aan een corbino-disk wordt in tegenstelling tot aan een hallbar niet de Pxx en de Pxy gemeten maar door middel van een

tweepuntsmeting de axx en eventueel de axy• via

magneetveldmodulatiemetingen [FON88]. Een nadeel van een

tweepuntsmeting is echter dat ook de contactweerstanden van het preparaat meegemeten worden.

4.2. Meetmethoden.

Quasi oe-metingen

Om het verband tussen de preparaatweerstand en het B-veld te onderzoeken wordt een quasi DC-meting uitgevoerd. Bij deze quasi DC-meting wordt met behulp van een spanningsgenerator (Philips PM 5190) en een grote serieweerstand van 10 MO, een vaste stroom door het preparaat gestuurd. De spanning over het preparaat, die evenredig is met de weerstand, wordt gemeten als een

verschilspanning met een lock-in versterker (EG&G Princeton 5208). De uitgang van deze twee-fasen lock-in wordt aandeY-as van de XY-recorder toegevoerd. Op de X-as van de recorder wordt een spanning aangeboden die evenredig is met het B-veld ter plaatse van het preparaat. Deze spanning wordt geleverd door de sweepgenerator die de o-voeding van de superspoel aanstuurt. De meetopstelling staat weergegeven in figuur 4.2.

®B

~e

FIGUUR 4.2: Meetopstelling voor de quasi De-meting, a. generator, b. weerstand 10 MO, c. preparaat, d. toek-in versterker,

e. XY-recorder.

Wanneer het B-veld, loodrecht op het 2DEG in de heterostructuur, toeneemt, verandert de weerstand van het preparaat en dus de spanning over het preparaat. Deze metingen leveren grafieken

waarin het verband tussen de preparaatweerstand Rprep en het B-veld wordt gegeven. De sweepsnelheid van het B-veld bedraagt bij deze metingen 4 T in 1000 s.

AC-metingen.

Bij de AC-meetmethode wordt een sinusvormige wisselspanning over het preparaat gezet en wordt de stroom door het preparaat als functie van het veranderend magneetveld gemeten. De

preparaatstroom wordt voor frequenties tot 200 kHz gedetekteerd met behulp van een lock-in versterker (in verband met de

bovengrens van het meetbereik van de loek-in). Voor de hogere frequenties wordt de stroom gedetekteerd met een

spectrumanalyzer. De beide meetmethoden worden hieronder beschreven.

*

Lock-in versterker (frequenties kleiner dan 200kHz).

De meetopstelling is weergegeven in figuur 4.3.

A.

SOn

SOn

FIGUUR 4.3: A. MeetopsteLLing voor de AC-metingen, a. generator, b. 20 dB verzwakker, c. preparaat, d. 50 0 feedthrough, e.

Lock-in versterker, f. XY-recorder, g. superspoeL, h. ó-voeding, i. sweepgenerator, j, heLiumkryostaat. B. Eenvoudig

vervangingsschema voor de meetopsteLLing zonder 20 dB verzwakker.

Yeff is de effectieve spanning van de generator Veff =

VAc/2Y2,

waarbij

VAc

de piek-piek spanning van het signaaL is.

De meetprocedure verloopt beknopt als volgt: met de generator wordt een bekende spanning over het preparaat gezet. Het

toenemende B-veld loodrecht op het 2DEC van het preparaat zorgt voor een verandering van de preparaatweerstand. Deze

weerstandsverandering zorgt ervoor dat de stroom door het

preparaat varieert. De preparaatstroom wordt gemeten, door de spanning te meten over de 50 0 feedthrough op de ingang van de lock-in versterker. Op de X- en Y-as van de XY-recorder worden respectievelijk een spanning evenredig met het B-veld en de uitgangsspanning van de lock-in aangeboden. Het resultaat van de metingen is een grafiek waarin het verband tussen de

preparaatstroom, Iprep• en het B-veld gegeven wordt als functie van de frequentie van de wisselspanning. Met behulp van het

vervangingsschema in figuur 4.3 en formule (2.14) uit de theorie, is eenvoudig in te zien dat bij een meting aan een corbinodisk de waarde van de axx gegeven wordt door de vergelijking

1 l

[r "]

Ipro:>p

axx = ----

*

n --

*

~~--~~-~-~-~-~---~-

2v r 1 Veff - (Iprep

*

100) (4.1)

met ri en r₀ respectievelijk de binnen- en de buitenstraal van de preparaat en veff de effectieve spanning van de generator.

De 50 0 feedthrough.

Om hinderlijke reflecties van signalen te voorkomen bij

hoogfrequentmetingen moet er voor gezorgd worden dat het signaal altijd 50

n

voor zich "ziet". De reflecties hebben grotere

invloed op de metingen naarmate de golflengte van het signaal de orde van grootte heeft van de lengte van de coaxkabels. Bij de meetopstelling in figuur 4.3 is de lengte van de coaxkabels

tussen zowel het preparaat en de generator als het preparaat en de detektor 3 meter.

De 50

n

feedthrough op de ingang van de lock-in dient niet alleen om reflecties aan de hoge ingangsimpedantie (100 Mn // 25 pF) van de lock-in te voorkomen, maar ook om de spanning over een bekende weerstand te meten ·3n zodoende de stroom door het preparaat. Ten derde is deze feedthrough ook van belang om er voor te zorgen dat de spanning over het preparaat bepaald wordt door de

preparaatweerstand en niet door de hoge ingangsimpedantie van de loek-in. Als geldt dat Rprep

>

50 0 over het gehele B-bereik, wordt de stroom door het preparaat vrijwel volledig bepaald door de verandering van deze Rprep· De vierde reden voor het gebruik

van de feedthrough is de verkorting van de RC-tijd, doordat R

=

50 0 in plaats van R

=

100 Mn (ingangsimpedantie loek-in).

*

Spectrumanalyzer (frequenties hoger 200kHz).

Voor de metingen met frequenties hoger dan het meetbereik van de lock-in wordt deze vervangen door een spectrumanalyzer (Tektronix 7L13). De meetopstelling staat weergegeven in figuur 4.4.

D d

e

FIGUUR 4.4: MeetopsteLLing voor de metingen met behuLp van de spectrumanaLyzer, a. generator, b. preparaat, c. versterker (26 dB), d. spectrumanaLyzer, e. XY-recorder,

f.

sweepgenerator, g.

ó-voeding, h. superspoeL, i. heLiumkryostaat.

De meetmethode is gelijk aan de methode die is toegepast bij de metingen met behulp van de lock-in versterker. Er is alleen een verandering met betrekking tot de signaaldetektie. Voor

frequenties hoger dan 2 MHz wordt de generator (Philips PM 5190) vervangen door de Hewlett-Packard HP 8601A.

Als een signaal met een bepaalde frequentie aan een

spectrumanalyzer wordt aangeboden, vertoont het scherm van de analyzer een piek voor deze frequentie aan weerszijde van de centrumfrequentie (figuur 4.5)