RESULTATEN VAN DE QUANTUM HALL-METINGEN

5.1. Resultaten van de quasi oe-metingen en de AC-metingen.

Hallbar.

De metingen aan de hallbar hebben betrekking op preparaat

#2294-9, met als gegevens de electrenendichtheid

ne

=

3.8*1015 m-2 en de mobiliteit ~

=

10 m2/Vs bij T

=

4.2 K [POP88]. Aan de hallbar zijn als functie van het magneetveld a.

de stroom door het preparaat, b. de spanning tussen twee naast elkaar gelegen zijkontakten, (langsspanning) en c. de spanning tussen twee recht tegenover elkaar liggende zijkontakten

(Hallspanning) gemeten.

De metingen zijn verricht voor verschillende frequenties van de wisselspanning over het preparaat. Deze metingen aan de Hallbar waren om verscheidene redenen niet succesvol. Een van de

problemen is dat bij het meten van de Hallspanning en de Shubnikov-de Haas spanning de coaxkabels niet met 50

n

zijn afgesloten aan de ingang van de loek-in. Dit betekent dat er met de capaciteit van de coaxkabels en de hoge ingangsimpedantie van de lock-in (25 pF H 100 MO) rekening gehouden moet worden. Dit veroorzaakt grote RC-tijden die de metingen duidelijk

beïnvloeden. Wanneer deze coaxen, voor de meting van de

Hallspanning en SdH-spanning, wel met 50

n

worden afgesloten aan de ingang van de loek-in, treedt er een ander probleem op. In dat geval worden de spanningen niet meer hocgohmig gemeten en zal er een gedeelte van de preparaatstroom weglekken via de

zijcontacten. Dit wordt slechts gedeeltelijk tegengegaan door de hoge weerstand van de smalle overgang tussen zijcontact en

preparaat. Een bijkomend probleem is dat preparaat #2294-9 bij lage temperaturen een slecht (hoogohmig) stroomcontact heeft. Het grootste probleem is echter dat via de gebruikte AC-meetmethode niet de waarden van de Pxx of de Pxy afzonderlijk gemeten kunnen worden. De gemeten hallspanning en langsspanning moet namelijk nog gedeeld worden door de te meten preparaatstroom. De metingen zullen daarom met behulp van een computer uitgevoerd moeten

worden. Wél kan via een tweepuntsmeting de preparaatstroom, die omgekeerd evenredig is met de preparaatweerstand, gemeten worden.

Deze preparaatweerstand is gelijk aan de som van de Pxx en de Pxy en de weerstand van de contacten. De waarde van de

preparaatweerstand is, bij verwaarlozing van de contactweerstand, gelijk aan Pxy in het geval dat de langsweerstand Pxx zich in een minimum bevindt. De preparaatstroomcurve in figuur 5.1 vertoont een plateau bij B ~ 3.8 T, dit zou betekenen dat RP dan gelijk is aan Pxy· Zowel uit de waarde van dit B-veld en de gegeven

electronendichtheid, als uit het quotiënt van de gegeven spanning en de gemeten stroom volgt, bij verwaarlozing van de

preparaatcontacten, dat de vulfactor gelijk is aan 4. In het plateau is RP dus inderdaad gelijk aan Pxy·

25

10

l-Ult I

- B- veld in Tesla

1t' 2294-9 T= 4.2 K

1 ^1-prep

4

FIGUUR 5.1: De grafiek toont de preparaatstroom (haLLbar #2294-9) aLs functie van het B-veLd bij een spanning Veff

=

0.056/(10*2J2) en een frequentie van 12.5 kHz. ZoweL het infase (boven) aLs uitfase (beneden) signaaL zijn weergegeven. Het pLateau bij B ~ 3.8 T correspondeert met vuLfactor 4 bij de gegeven eLectronendichtheid, n₉

=

3.8*1015 m-2.

Uit de meting van de prepaparaatstroom bleek dat voor frequenties

vanaf ca. 10 kHz al een aanmerkelijk uitfase-signaal werd gemeten, zie figuur S.t.Dit wijst erop dat er bij deze "lage"

frequenties al een capaciteit of induktie in het meetcircuit een beduidende invloed heeft. De precieze oorzaak hiervan is niet vastgesteld. Er werd besloten het onderzoek voort te zetten aan een sample met een andere geometrie en slechts twee contacten, een corbino-disk.

Corbino-disk.

Alle metingen hebben betrekking op preparaat# 2383-1, een

MOCVD-gegroeide GaAs-AlGaAs heterostructuur, met de afmetingen en gegevens als weergegeven in figuur 5.2.

1. 2.

Si-dot.

GaAs AlGaAs

~~~~ ~"'=-t-

2DEG

FIGUUR 5.2: Dimensie van corbinodisk #2383-1, a= 0.41 mm, b

=

0.25 mm, c

=

0.19mm end. (buitenstraaL)

=

^{0.66 mm. Gegeven}

n₉

=

4.6*1015 m-2 , ~

=

9.5 m2/Vs bij T

=

⁷⁷ K.

2. de Lagenstructuur van preparaat #2383-1, e. 100 Ä GaAS, f. 500 Ä gedoteerd ALxGal-xAs, g. 180 Ä ongedateerd ALxGal-xAs, h. 1 ~ GaAs.

Aan een corbino wordt via een tweepuntsmeting de stroom door het preparaat gemeten. Zoals uit de theorie blijkt is, bij een vaste spanning over de corbinodisk, de gemeten stroom door het

preparaa~ evenredig met de axx· Aangezien de axx een functie is van de Pxx en de Pxy• geeft de meting van de axx• en dus de

Iprep• een indruk van de eventuele frequentieafhankelijkheid van het QH-effect.

Uit het vervangingsschema van de meetopstelling, zoals gegeven in figuur 4.3 blijkt dat

V

=

V e ff

*

~=--"_;"",:---50

100 + Rprep (5. 1)

waarbij Veff de effectieve waarde (VAc/(2v2)) van de

wisselspanning (VAc piek-piek) voorstelt. Voor de preparaatstroom geldt dat

1

I "' 100 + Rprep (5.2)

Om er zeker van te zijn dat de stroom I alleen door de

weerstandsverandering van het preparaat veroorzaakt wordt, en niet door de 50 0 feedthrough, zou de Rprep voor alle waarden van het B-veld aanmerkelijk groter moeten zijn dan 50 0. Dit wordt eerst onderzocht door het verband tussen Rprep en het B-veld te bepalen, via een quasi oe-meting, figuur 5.3.

A _:# 2383-1

T= 4.2 K

B

:# 2383-1 T:-2 K

200 I = 0.25 pA

800 I =0.25 fJA

il3(x40)

.c: E

0 2(x5) 11 ^E

-" I .c: ⁰ I 2 (x4) 1

=

^{-" I}

a. _~

=

a. a.

' ~

0:: a.

'

0::

50

1 2 _) \

- B- veld in Tesla 2

- B -veld in Tesla

FIGUUR 5.3: De reLatie tussen de preparaatweerstand en het B-veLd voor preparaat #2383-1 bijT= 4.2 K (A) enT~ 2 K (B). De

stroom door het preparaat I

=

2.5*10-7 A.

Uit deze meting blijkt dat aan de bovenstaande eis is voldaan, de weerstand van de corbino is voor B = 0 minimaal en gelijk aan Rprep

=

165 0 bij T

=

^{4.2 K.}

Nu dit resultaat bekend is, kan met de eigenlijke frequentie-afhankelijke metingen begonnen worden. Ten eerste is met de

opstelling uit figuur 4.3 het verloop van de Iprep• bij een vaste frequentie van 1 kHz, als functie van het 8-veld over het hele 8-veldbereik (0 - 4 T) gemeten. De generatorspanning bedraagt VAc

=

5*10-³ V (piek-piek), dit betekent een effectieve spanning van Veff

=

VAc/(10*2v2)

=

1.77*10-⁴ V over het preparaat. De 10

in de noemer wordt veroorzaakt door de 20 dB verzwakker. Deze meting is zowel bij T

=

4.2 K als bij T

=

2 K uitgevoerd en de

resultaten zijn weergegeven in figuur 5.4. Deze grafieken geven een indruk van het verloop van de axx-curve over het gehele 8-veldbereik.

- vulfactor

12 10 8 A.

4; 2383-1

T =4 2 K *2383-1

T = 2 K

!

^0.2

---__!_ B -veld in 3 Tesla

2 3

- B-veld 1n Tesla 4

FIGUUR 5.4: De reLatie tussen de preparaatstroom (~ axx) en het B-veLd, voor preparaat #2383-1, bij een vaste effectieve spanning over het preparaat V= 1.77*10-4 V en een frequentie van 1 kHz.

Uit de periode van de osciLLaties voLgt voor de

eLectrenendichtheid ne

=

4.6*1015 m-2. Grafiek A is gemeten bij

T =

4.2

K

en grafiek B bij

T

~ 2

K.

Uit de grafieken blijkt dat bij T = 2 K (heliumkryostaat

afpompen) er reeds oscillaties te zien zijn voor lagere waarden van het magneetveld dan bij T

=

4.2 K. Dit wordt veroorzaakt doordat bij deze lage temperatuur de fermiverdeling van de electrenen een stijlere helling heeft, zie figuur 5.5.

4 B.

~E

FIGUUR 5.5: De temperatuurafhankelijkheid van de fermiuerdeling.

De helling df/dE neemt toe met een daling van de temperatuur.

De periode P van de oscillaties is in beide grafieken P

=

^0.105,

dit betekent dat de electronendichtheid n₉ = 4.6*1015 m-2. De

mobiliteit~ wordt uit de axx-curve bij laag magneetveld (B

<

0.5 T), berekend met behulp van formule (2.27) uit de

theorie, en bedraagt ~

=

27 m2/Vs. Deze waarde van de mobiliteit is voor een MOCVD-preparaat vrij hoog, normaal is de mobiliteit bij T

=

4.2 K ongeveer 10. Een mogelijke oorzaak voor deze

waarschijnlijk te hoge waarde van de mobiliteit is, dat er bij de berekening van~ vanuit wordt gegaan dat de contactweerstanden onafhankelijk zijn van het magneetveld.

De oscillaties in de stroom Iprep en dus in de axx zijn als volgt te vertalen naar Pxx en Pxy=

Iprep of axx in piek ~ Pxx in maximum,

Iprep of axx in dal ~ Pxx in minimum en Pxy op Hallplateau.

Uit deze grafieken kan als volgt de waarde van de Pxx in een minimum berekend worden. De waarde van axx volgt via vergelijking

(2.14) uit de preparaatstroom. De vulfactor volgt uit het B-veld bij het minimum met behulp van formule (2.4) en de berekende electronendichtheid. De waarde van de hallweerstand Pxy kan dan berekend worden uit vergelijking (2.2). Aangezien de axx gegeven wordt door vergelijking (2.7) kan met de bekende waarde van de hallweerstand bij een bepaalde vulfactor, de waarde van de langsweerstand Pxx in een minimum worden berekend. Zo kan bijvoorbeeld berekend worden dat in het minimum in de axx bij vulfactor 6 in figuur 5.4A de waarde van Pxx gelijk is aan 10 0.

Om te voorkomen dat de stroom door het preparaat te groot wordt bij de aangelegde spanning V (bepaald door de benedengrens generatorspanning) en omdat bij T

=

4.2 K de zichtbare

oscillaties optreden voor waarden vanaf het B-veld van 1 Tesla, worden de AC-metingen in het B-bereik 1 tot 4 T uitgevoerd. De onderstaande metingen zijn verricht zonder verzwakker van 20 dB, om het meetcircuit zo eenvoudig mogelijk te houden.

In de figuren 5.6 en 5.7 zijn de Iprep- B curven als functie van de frequentie van de wisselspanning over het preparaat

weergegeven bij respectievelijk T

=

4.2 K en T ~ 2 K. Deze

metingen zijn verricht met behulp van de lock-in techniek. Uit de metingen blijkt dat de Iprep (~ axx) onafhankelijk is van de frequentie van de wisselspanning. De minima in de Iprep-curven treden in het gehele frequentiegebied op bij dezelfde waarden van het B-veld en de oscillaties in de Iprep veranderen noch van periode, noch van vorm. Dit betekent dat de axx niet verandert als functie van de frequentie en dus, dat het QH-effect, zeker tot 190 kHz, onafhankelijk is van de frequentie.

"

"' -a.

0 w b..

'

0

1

⁰

0 0 0

A.

B 't 2383-1 T = 4 2 K

1:

2:

3:

8 4:

5:

6:

7:

8:

4

2 - B-vetd in Tesla

- · · - - - - ···-·-·-·--·-~-- - - - ,

8

5

4

- B-veld in Tesla 3

FIGUUR 5.6: A. De preparaatstroom (#2383-1) aLs functie van het magneetveLd bij verschiLLende frequenties van de vaste effectieve spanning over het preparaat Verf= 1.77*10-3 V enT= 4.2

K.

De osciLLaties veranderen noch van periode noch van vorm, voor 0

<

f

<

190 kHz. B. Het uitfase signaaL van de tweefase Lock-in versterker bij dezeLfde frequenties aLs gegeven in figuur A.

100 HZ 1 kHz 10 kHz 40kHz 80kHz 120 kHz 160 kHz 190 kHz

- B-vtkl m TUil

++ 1l8l-1 Ts 2 I(

1 1 kHz 2 190kHz

1'1l8l-1 T -1 K

lfr I OL=--==---_-_-_---~---·-_-_-_-_-_-_-_-_-_-

^{--t-_-_ J}

--B-vetd 1n Tesla

FIGUUR 5.7: De preparaatstroom (#2383-1) aLs functie van het magneetveLd met een effectieve spanning

Verf =

1.77*10-3

V

over het preparaat bij T ~ 2 K. In grafiek A wordt de preparaatstroom gegeven voor f

=

1 kHz en f

=

190 kHz, in grafiek B wordt voor dezeLfde frequenties het bijbehorende uitfasesignaaL weergegeven.

Ter completering zijn in figuur 5.6 en 5.7 ook de met de lock-in gemeten uitfase-signalen bij de verschillende frequenties

weergegeven. De fase-afregeling van de lock-in is uitgevoerd bij hoog B-veld en de signalen zijn op dezelfde Y-schaal getekend als het infase-signaal. Het optreden van een uitfase-signaal betekent dat er één of meerdere complexe impedanties (parasitaire

capaciteit of induktie) in het meetcircuit aanwezig zijn. De parasitaire capaciteit kan bijvoorbeeld veroorzaakt worden door een capaciteit tussen de contacten van het preparaat, door een capaciteit in de contacten of door de capaciteit van de

aansluitdraden tussen de coaxkabels en het preparaat. Uit de beide figuren 5.6 en 5.7 blijkt dat de amplitude van het uitfase-signaal groter is naarmate de frequentie van de

wisselspanning toeneemt en dat de periode van de oscillaties in

het uitfase-signaal gelijk is aan die van het infase-signaal. De richting waarin het uitfase-signaal (t.o.v. het infase-signaal) oscilleert, is afhankelijk van de instelling op de lock-in of het plus of min goO uitfase-signaal wordt gemeten. Het

uitfase-signaal passeert het ingestelde 0-niveau (in Y-richting) als Rprep gelijk is aan de Rprep bij de faseafregeling. Indien Rprep continu kleiner is dan de preparaatweerstand bij de faseafregeling, passeert het uitfase-signaal het 0-niveau niet meer. Hieruit blijkt dat de grootte van de preparaatweerstand, Rprep• duidelijk invloed heeft op deze oscillaties. Aan dit uitfasesignaal wordt verder aandacht besteed in appendix A2.

Om een indruk te krijgen van de grootte van de parasitaire capaciteit, is de waarde van de capaciteit berekend voor het geval dat deze C parallel staat aan de preparaatweerstand

(appendix A3). Uit deze berekening blijkt dat een

parallelcapaciteit van slechts C

=

15 pF een amplitude van het uitfasesignaal veroorzaakt als gemeten in figuur 5.6B.

Voor metingen bij frequenties hoger dan 200 kHz (grens meetbereik loek-in) wordt gebruik gemaakt van de opstelling met de

spectrumanalyzer als gegeven in figuur 4.4. De resultaten van deze metingen staan in figuur 5.8 en geven een indruk voor het verloop van de Iprep (~ axx) voor frequenties tot 100 MHz. In deze grafieken staat de preparaatstroom op logarithmische schaal

als functie van het B-veld, doordat het signaal met de spectrumanalyzer in dB's gemeten wordt.

Cl.

"'

~ Cl.

'

1: 1.5 MHZ

'*2383-1 2: 10

3: 25 4: 40 5: 60

6 61 80

7z 100

- B- veld in Tesla

FIGUUR 5.8: De preparaatstroom aLs functie van het magneetveLd voor frequenties van 1 tot 100 MHz voor preparaat #2383-1 bij een vaste effectieve spanning Yeff = 1.77*10-3 V over het preparaat

(T = 4.2

K).

De grafieken zijn voor de duideLijkheid in de Y-richting t.o.velkaar verschoven.

De grafieken tonen dat ook voor deze hoge frequenties de minima in de oscillaties van Iprep optreden voor dezelfde B-waarden als bij de AC metingen met lage frequenties (f =100Hz). De curven in figuur 5.8 voor f

<

10 MHz vertonen een vlak minimum bij hoog 8-veld, dit heeft geen fysische achtergrond, maar woràt

veroorzaakt doordat de stroom dan zo klein is, dat de spectrumanalyzer deze niet meer kan detekteren. De uitgangsspanning van de analyzer heeft dan een bepaalde minimumwaarde. Uit figuur 5.8 blijkt ook dat voor hogere frequenties de minima steeds minder diep worden. Dit wordt

MHZ MHZ MHZ MHZ MHZ MHZ

veroorzaakt door de verlaging van de totale impedantie onder invloed van parasitaire capaciteiten. Een kleinere waarde van de totale impedantie betekent dat de preparaatstroom groter wordt, en dat de minima dus minder diep worden.

Er dient opgemerkt te worden dat deze metingen met behulp van de spectrumanalyzer slechts een kwantitatief bewijs vormen. Uit testmetingen met de, bij de faculteit Electrotechniek, geleende spectrumanalyzer bleek namelijk, dat de uitgangsspanning van de analyzer (het signaal op de Y-as) niet recht evenredig is met de gemeten dB eenheden. De grafieken in figuur 5.8 tonen dus een trend voor het verloop van de axx· Deze metingen met de

spectrumanalyzer geven niettemin weer, dat de oscillaties in de axx-curve niet veranderen als functie van de frequentie van de wisselspanning over het preparaat.

Het eindresultaat van de AC QH-metingen is, dat het Quanturn Hall effect in GaAs-AlGaAs heterojuncties onafhankelijk is van de frequentie van de wisselspanning over het preparaat voor frequenties tot 100 MHz.

5.2. Resultaten van de pulsmetingen.

Om de frequentieafhankelijkheid van het QH-effect ook via een andere methode te onderzoeken zijn er metingen verricht met behulp van gepulste electrische velden over het preparaat. De meetresultaten van deze QH-metingen worden met behulp van de software-pakketten ASYST en LOTUS-123 in grafieken weergegeven.

In figuur 5.9 is het resultaat gegeven van de metingen aan preparaat #2383-1, de corbinodisk waaraan ook de AC QH-metingen zijn verricht. Er wordt gemeten met een spanningspuls van

0.2 Volt over het preparaat, met een pulsbreedte van 300 ns en een herhalingsfrequentie van 40 Hz. De stijgtijd van de puls is 4.5 ns. De pulsbreedte (300 ns) komt overeen met een frequentie van ca. 1 MHz. Dit volgt uit de algemeen gebruikte vergelijking

bandbreedte in GHz =

--~~-

pulsbreedte in ns ⁰

~·~

³⁵

~~~--­

(5.3)

0 10

i g

l>

en

0 10

1 * g

~

8 A

8

~

⁰

4 ^(\1

~

-4000

2 ~

0 ~

0 0 2 3

8-Veld [Tl ^8-Veld [T)

200

l

^1!50

iJ

¹⁰⁰

•

~ ^!50

0.1 0

~

0 2 3 4 0 2 3

8-Veld [Tl B-Veld [T]

FIGUUR 5.9: ResuLtaten van de puLsmeting met een spanningspuLs (puLsbreedte 300 ns) van V

=

0.2 V over het preparaat (#2383-1) bij T

=

4.2 K. A. preparaatstroom aLs functie van het

magneetveLd, B. preparaatstroom Logarithmisch uitgezet aLs

functie van het B-veLd (ter vergeLijking met de resuLtaten van de metingen met de spectrumanaLyzer) C. de tweede afgeLeide van R naar B berekend met ASYST. en D. preparaatweerstand aLs functie van het B-veLd. De uit de periode van de osciLLaties in Iprep berekende eLectrenendichtheid is bij de puLsmetingen geLijk aan ne

=

3.4*1015 m-2.

In figuur 5.9 zijn naast de gemeten preparaatstroom (zowel lineair als logarithmisch) ook de hieruit berekende

preparaatweerstand en de via ASYST bepaalde tweede afgeleide van Rprep naar het B-veld (d2R/dB2) getekend. Deze bewerking met ASYST op de gemeten R-waarden is als volgt: ten eerste worden de waarden gesmooth met een cut-off-frequentie van 0.25. Dit

c

4

betekent dat alle oscillaties in de grafiek "sneller" dan 4 meetpunten eruit gefilterd worden. Daarna worden de waarden twee maal gedifferentieerd via een standaardprocedure voor deze

bewerking in het ASYST-pakket.

Op het eerste gezicht vertoont de grafiek in figuur 5.90 oscillaties in de preparaatweerstand die overeenkomen met de weerstandoscillaties uit de quasi oe-metingen zoals weergegeven

in figuur 5.3. Als de figuren 5.3 en 5.90 echter nauwkeurig met elkaar vergeleken worden, blijkt dat de periode P van de

oscillaties bij de pulsmetingen, P

=

0.14, groter is dan in het geval van metingen met een continue wisselspanning over het

preparaat, P

=

0.105. Deze discrepantie betekent dat de berekende dichtheid van de geleidingselectronen bij de pulsmetingen

(puls: ne

=

3.4*1015 m-2) kleiner blijkt te zijn dan bij de AC-meetmethode (Ac: ne

=

4.6*1015 m-2). Dit is ook waargenomen door Schubart [SCH84] en het wordt waarschijnlijk veroorzaakt doordat bij de pulsmetingen de waarde van het E-veld over het preparaat groter is dan bij de AC-meetmethode. Op deze

verandering van de dichtheid van de geleidingselectrenen bij hoge electrische velden wordt nader ingegaan door Staring [STA88].

In document Eindhoven University of Technology MASTER Een onderzoek naar de frequentieafhankelijkheid van het Quantum Hall effect in GaAs- AlGaAs heterojuncties Frijns, R.G.W. (pagina 42-56)