algebraische vaardigheden 6VWO

Wiskunde B

oefenopgaven vaardigheden

6-VWO

Algemene vaardigheden

1 Gegeven f ( x )=x2_{+4 x +3 . Geef de inverse van f (x) .} 2 Bereken exact op

[

0,2 π

]

: cos ⁡(x)

−sin2 (x)=

√

2 3 Gegeven f ( x )=−2+2

√

x +1 x en g ( x)= 2 1+

√

x +1 . Bewijs dat f ( x )=g( x) . 4 De functie f ( x )= 11−3 x

x2+2 x−3 kan geschreven worden in de vorm

f ( x )= a

x−1+

b

x +3 .

Bepaal op algebraïsche wijze a en b.

5 Bereken exact: _{4 x−6}5 =x−31 2

6 Gegeven f ( x )= x−2

3 x−4 . Geef de asymptoten.

7 Gegeven f ( x )=−2 x+3

2−x .Toon aan dat f inv

(x)=f (x ) .

8 Gegeven f ( x )= x2+5 x +5

x +1 .

Toon aan dat f (x) puntsymmetrisch is in het snijpunt van de asymptoten.

9 Gegeven f ( x )=_x−5x +5 .

Bereken exact voor welke waarden van x geldt: f ( x )+ 1

f (x )=

9 4

10 De vergelijking x2

−2 x + p2−3=0 heeft twee oplossingen x1 en x2

waarbij x₁<x₂ . Toon aan dat x₁−x₂=−2

√

4−p2 .

11 Gegeven f ( x )=a x 2

+x +4 x2−2 x +b .

De grafiek van f heeft twee verticale asymptoten x=−2 en x=4 en een horizontale asymptoot y=1 . Bereken op exacte wijze a en b.

12 Gegeven f ( x )= 4 x2−18 x +20

2 x + p .

Bereken exact de waarden van p waarvoor de grafiek van f een perforatie heeft en geef ook de coördinaten van de perforatie.

13 Gegeven g ( x)= 1

x2+1 . Op g(x) wordt eerst een vermenigvuldiging t.o.v. de x-as

met a en vervolgens een vermenigvuldiging t.o.v. de y-as met a toegepast. De ontstane functie is h ( x ) . Geef h ( x ) en schrijf je antwoord als één breuk.

14 Gegeven k=A∙e

(

−5 TE

)

. Laat algebraïsch zien dat E=5 T ∙ ln

(

A k

)

. 15 Gegeven:

{

x (t )=1−9 t 2 y (t )=(1+3 t)2 . Bewijs dat (x+ y)2=4 y . 16 Gegeven f ( x )=1+cos ⁡(2 x) cos ⁡(x ) +1 op

[

0,2 π

]

. Bereken exact de coördinaten van de perforatie.

17 Gegeven fk( x )= 1

k ( x +1)−1 .

Laat algebraïsch zien dat de inverse van fk( x ) gelijk is aan fk( x ) .

18 Bereken exact: 2a

a2+1=

1 2

√

3

19 Gegeven de vergelijking _100−vv =0,00004 p3 . Maak v vrij.

Differentiaal- en integraalrekening

21 Geef de afgeleide : f ( x )=3 cos (2 x )−

√

2 x

22 Laat zien dat J (x )=4_ax eax− 4 a2e

ax

een primitieve is van j ( x)=4 x eax _.

23 Toon aan dat de afgeleide van g ( x)=3 x−1

√

x gelijk is aan g '

( x )=3 x +1 2 x

√

x .

24 Toon aan dat de afgeleide van h(x)=

√

1−x

2 x gelijk is aan h ' (x)= −1 x2

√

1−x2 . 25 Geef de afgeleide van k ( x )=ln ⁡(

√

3 x) .

26 Geef de afgeleide van t ( x )=ln ⁡(3 x2

√

x) . 27 Gegeven de functie f ( x )= e x 1+x2 en het punt P

(

1, e 2

)

op f. Toon aan dat de raaklijn door P horizontaal loopt.

28 Bereken exact:

_∫

0 1

√

x (1−x) dx

29 Geef de primitieve van: f ( x )= 2 x2+4

x

30 Geef de primitieve van: g ( x)=sin ( x )cos ⁡(x ) 31 Geef de primitieve van: s (x )=cos2

(3 x )

32 Bereken exact: π

_∫

0 4

(

√

y−2

)

2dy

33 Bereken voor welke a geldt:

_∫

1 7

ax +4

x+2 dx=18−2 ln ⁡(3)

34 Voor elke waarde van p met p≠ 0 is een functie fp( x ) gegeven waarbij voor

de

tweede afgeleide geldt:

x (¿¿2− p2) f p ' ' (x )=12¿ .

Er geldt: fp(x)=x4−6 p2x2+ax +b met a en b constanten. Toon dit aan met primitiveren.

35 Gegeven de functies f (x)=3+4e12x en g(x)=e −1

2 x .

Exponenten en logaritmen

36 Bereken exact: e−5 e10 p +1₌₀

37 Bereken exact: xln( x )−x +1=ln ⁡(x )

38 Gegeven fa( x )=x−xln( ax) . Bewijs dat voor elke x geldt:

f_a(x)+f₁

a (x)

2 =f1(x)

39 Bereken exact: log ( x )= log ⁡(x +6)❑

4

❑

2

40 Gegeven de functie f ( x )=2x

+2−2 x .

Bereken exact de waarde van x waarvoor f(x) minimaal is.

41 Gegeven de functie f ( x )= 1 2e 1 2x_{+2 e} −1 2 x₊₁1 2 .

Bereken exact de x-coördinaat van het laagste punt van f ( x ) .

42 Gegeven de functie f ( x )=e

x −1 ex

+1 .

Bewijs dat f (x) puntsymmetrisch is in de oorsprong.

43 Gegeven de functies f (x)=3+4e12x en g(x)=e−12 x . Bereken exact de

Meetkunde

44 Gegeven de punten A

(

0, 2 p

)

, B

(

π ,− 2 p

)

en C

(

2 π , 2 p

)

. Bereken exact de waarden

van p waarvoor lijnstuk AB loodrecht staat op lijnstuk BC.

45 Gegeven de punten A ( p +3 ; p+2) en B (2 p ,3 p) .

Bereken exact de minimale afstand tussen A en B.

46 Bereken de afstand van punt A(9,2) tot de lijn k door

de punten B (−1,2) en C (0,1) .

47 Stel een vergelijking op van de cirkel c met middelpunt A(8,9)

die de lijn k :

{

x=t +2

y=3 t+1 raakt.

48 Voor welke a en b vallen de lijnen k :2 x +ay=12 en l:

{

x=3 t−3

y=2 t+b samen.

49 De lijn k :ax + y=b wordt gespiegeld in de lijn y=x .

Hierdoor ontstaat de lijn l. De hoek tussen k en l is α . Bewijs dat cos(α )= 2 a

Antwoorden

1 finv (x )=−2+

√

x +1 2 x=3 4π V x= 5 4 π 3 * 4 a=2 en b=−5 5 x=1V x=4

6 Dus de horizontale asymptootis y=1

3 De verticale asymptoot is x=4 3 7 * 8 aantonen: f (−1+p )+f (−1− p) 2 =3 9 x=± 5

√

17 10 * 11 a=1 en b=−8 12 p=−5 of p=−4

(

52, 1

)

en (2 ,−1 ) 13 h ( x )= a 3 x2+a2 14 * 15 * 16

(

1 2π ,1

)

en

(

3 2π ,1

)

17 * 18 a=

√

3 V a=1 3

√

3 19 v = 100 p 3 p3+25000 20 x=k ∙ 2 π x=−1 4 π+k ∙2 π V x= −1 4 π +k ∙ 2 π x=3 4π +k ∙2 π V x= −3 4 π +k ∙ 2 π 21 f'( x )=−6 sin (2 x )−

√

2 2

√

x (of f'( x )=−6 sin (2 x )− 1

√

2 x ) 22 * 23 * 24 * 25 k'( x)= 1 2 x 26 t'( x )= 5 2 x 27 f'₍₁₎₌₀ 28 4 15 29 F ( x )=x2 +4 ln ⁡(x ) 30 G (x )=−1 4 cos ⁡(2 x ) 31 s (x )=1 2x + 1 12sin ⁡(6 x) 32 8 3π 33 a=3 34 * 35 * 36 p= 1 10ln

(

1 5

)

37 x=1V x=e 38 * 39 x=3 40 x=1 3 41 x=ln ( 4) 42 * 43

(

−2 ln (4 ) ;4

)

44 p=±4 π 45 d

(

7 5

)

= 1 5

√

52= 2 5

√

13 46 d ( A , k )=5

√

2 47 _{c :(x−8)}2_+(y−9)2₌₁₀ 48 a=−3 en b=−6 49 *