Kwadratische vormen en kwadratische oppervlakken

Kwadratische vormen en kwadratische oppervlakken

Citation for published version (APA):

de Bruijn, N. G. (1952). Kwadratische vormen en kwadratische oppervlakken. (Handleidingen bij het onderwijs aan de Technische Hogeschool te Delft). Delftsche Uitgevers Maatschappij.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1952

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

HANDLEIDINGEN BIJ HET ONDERWIJS AAN DE TECHNISCHE

HOGESCHOOL TE DELFT

-

ONDER REDACTIE VAN DE

CENTRALE COMM!SSIE VOOR STUDIEBELANGEf\1

KWADRATISCHE VORMEN

en

KW,ADRATISCHE OPPERVLAKKEN

door

Hoofdstuk I. KW.ADRATISCHE VORME;N. § 1. § 2. §

3.

§ 4, §

5.

§

6.

Definities en notaties Splitsen in kwadraten Splitsen in reele kwadraten

Eigenwaarden en eigenvectoren; splitsing in onderling orthogonale kwadraten

Transformatie van kwadratische vormen Orthogonale invarianten l 2

5

8 14

16

Hoofdstuk II. KW.ADRATISCHE OPPERVLAKKEN. § 1.

§ 2. §

3.

§ 4.

Inleiding

Toepassing der eigenwaardetheorie Projectieve theorie Reeel-projectieve theorie 18 19

23

27

GEMENGBE OPGAVEN.

₃₁

De inhoud van deze ha.ndleiding vormt een bela.ngr~k on-derdeel van het college Analytische Meetku.n.de voor E

2, N2 , MI'_{2 van Prof. dr. N.G. de} B~ (1951-1952). De o-verige onderdelen z~n:

Platte vlakken, rechte l~en; homogene coor-dinaten; loodrechte standen, lengten, hoeken; bollen en andere eenvoudige oppervlakken; op-pervlakken en ruimtekrommen in het algemeen; meetkundige plaatsen, i.h.b. kege1s en omwen-telingsoppervlakken.

Voor deze onde:rwerpen z~ naar de gebruikel~ke leerboe-ken verwezen. B~.: Prof.dr.J.G.Rutgers, Beknopte Ana-lytische Meetkunde.

Hoofdstuk I. K W A D R A T I S C H E V 0 R l\JI E N

§ i , Definities en notaties. We beschouwen (steeds homogene) kwadrat ische vormen in n veranderlijken. x, , ... , xn

Als ./ -;./

matrix

ftfl- a ;c2+2a :>c ?c + ···

/ - I/ / /2 I 2

definiert men. a . .

'l door o: .. 'ii =a-. / '

heet nu de mat:ri.x van

,P •

. De sy-mmetr ische

Voorbeeld. De vorm x - xz+4!fz - z .2 2 hee~ als matrix

/ / CJ

--i)

\-~ ~

_2/

De vorm zelf kan worden geschreven als matri:xproduct

(ga dit na)

.Algemeen

waarbij ::! de kolomvector met kentallen ~ , ••• ,

*n

voorstel t, en

!£

7 de getranspon.eerde (dus de rijvector met kentallen x, ' • • • ' :Jen ) •

Onder de rang van een kwadratische vorm verstaan we de rang van de b~oehorende symmetrische matrix.

Homogene lineaire vormen. zullen we meestal door L ( ~) of kort-weg door

L

voorstellen..

L:=ax+···+a-. :.i:: •

I I 71 n

In matrixnotatie L = a r x . Geschreven als in.wend.ig product van twee vectoren : L =(f!,!!f) . a heet de coefficientenvector

van L . Een aantal lineaire vormen

L , ... ,

₁ ,l,, _,,. heet lineair

af-ha.nkelijk als hu.n coefficientenvectoren lin. afh. zijn. Bilineaire vormen zijn vormen met n veran.derlijken ;c

1 , • • • , x,., en

:n veranderlijken u

u

1 , • • • , u11 lineair zijn:

7Z 7Z

~1r = ~

2:

3. x. u...

'f '=I

i=' '/

l I

De matrix .E=(b..)heet de matrix van.deze vorm, zodat 11r:::::x7

Bu.

~ T -

-Is

.B

symmetrisch

(6..

=b .. ) dan heet de vorm symmetrisch. Uitgaan-9 "I'

de van een kwadratische vorm

a-'"

A

2f kunnen we de symmetrische bilineaire vorm _5TA E opstellen ; uitgeschreven

.,, n

L.

L

a .. x. u.

,-=,

/=1 •/ ' I

de z.g. bij

f"

behorende polaire vorm. Merk op dat ~TA !:f=g7A~. Voorbeeld ( n

=

3) • Bij

z

2

+ 2 x. ;::t:" behoort als polaire vorm I ' . .i3

Andere uitdrukkingen voor de polaire vorm zijn

n . :n

x

7

_{A u.}

=

Lu..

(:.Ea .. x.)

= .!.

u

qf?(x) + ..

+-ff

u

₁₁

-

-

i=

I j /= / ' / l 2 I i) :;c. 1 _ J. x df{u} + . . . + .L :C df{u)

-:z

I

CJu.

2 n I

d

Un

Hierin betekent f'(x} resp. y(u) de vorm

f ,

waarin gesubsti-tueerd

x,, ...

~ :x₇₁ resp. u₁, • • • ,

"n.

Tenslotte is het mogelijk bilineaire en kwadratische vormen met behulp van inwendige producten te schrijven :

!!7_{A!;!=(:E,A~)=(A?E,!:f) en ook ~'A}

z=(?E,

A~)={A~,~)·

Illustratie. Is n=2 , dan stelt de vergelijking ~7A~=I (niet-homogene coordinaten) een kegelsnede voor met middelpunt in

er '

en :'.!;TA!:!: = I is de poollijn van het punt ( u, ' "2 ) •

§ 2. Splitsen in kwadraten. Is

f

een kwadratische vorm, en zijn

L

₁ , ••• ,

LI:

lineaire vormen, en

«

1 , • • • ,

ock

constant en, dan

heet

een split sing van

f"

in kwadraten. Zijn de vormen

Z.

₁ , • • • ,

lk

lineair onafhankelijk, dan heet het een splitsing in lineair on-afhankelijke kwadraten. De

a

's kunnen natuurlijk in de

L

's war-den opgenomen

(cxL

2

={I/&

Z.)

2) , maar we willen wortels, en in het bijzonder wortels uit negatieve getallen, zoveel mogelijk ver-mijden.

3

-Ret zal bliJ"ken dat elke kwadratische vorm in lin. onafh. kwadra-ten kan worden gesplitst; de splitsing is allerminst eenduidig. Natuurlijk is dan ~!£: n , want als k > n is, zijn

L, , ... , Lk

lineair afhankel~"k. De tecbniek laten we zien aan een voorbeeld

(7Z:3)

f= z 2+ Z x y - 2 x z - y2- 6f:lz- 2:z2.

2 2

Bepaal

«, L

z6 dat

m_

or

L

de

z

niet meer bevat:

I T I I

?-(x+y-

z)

2

= -

2y-2 - 41jZ -3z2•

2

Trek van de resterende vorm

°'

L

af, z6 dat de rest Lt ook niet

I I J'

meer bevat:

-2.'f2-4':1z-5z2+2(y-+z)2

= -

z 2•

We zijn nu klaar:

;:'=(:?<'+y-z/- 2((/+z)2- z 2•

De

l

Is zijn lineair onafhankelijk, daar ;Jc" wel in de eerste doch niet in de andere, en

1

wel in de tweede maar niet in de derde, en

z

in de derde voorkomt.

2

De constructie van

CS

L

1 lukte doordat er een term met x 2

voor-kwam. Is dat niet het geval, dan begi:'lllen we met een an.dere letter. Bijvoorbeeld (n =4):

2 2 2

2x'i+f1 - zw+ xz

=

(~+x) - x -zw+ k z =

/. 2 ( 1 )2 / R 2 2 / 2 2

=i9'+x) - x-2z +;z - ZW= (9'+x)

-[x--f

:z) +"?(z-2w)-W.

Zijn er helemaal geen kwadratische termen in de vorm aanwezig, dan komt er wel ergens een product, bijv. X:'f voor. We verwijde-ren dan twee vera.nderlijken tegelijk, gebruik ma.kende van de iden-titeit

'Z 2 2 4a6={a:+o)-{a-3). Voorbeeld ( 11 = 4) :

f'

= 7C 'f + 2 7C z. + J X. W-':f Z + 2 ~ W-3 Z W.

Neem de termen die x of ~ bevatten:

x9+:ic(2z+.3w) +9(-z+2w)

en vorm nu het product

[:1c-z.+2.w)(9-r2z.--r.!Hv) = ~/lfa

dat wat

x

en 'f betreft dezelfde termen heeft. We .hebben nu

I /.

)2.

I / )2 2 2

=

i

(x-1-y+ z

+sw/-

;f

{:te-y-3z-w)

2 +

2(:z. -

w)2- &w2: Ook hier zijn de

l •

s weer lineair ona:fhankelijk. Ga na waarom cle vormen

,;c2. -(-· ~ ~ '

k~ ;'- ~-f

%3-X4_+···

.>.:s+- ....

lineair onafhan.kelijk zi.jn.

De hierboven bescbreven techuiek leidt steeds tot een splitsing in hoogstens n. kwadraten. Ret kan natuurlijk gebeuren dat ons proces na minder dan n kwadraten afbreekti b:ijv.

2 2 2 (~ ) 2 { _ I 2 f

X 1- :?c~- X Z = YC,<-':f-Z: - ':f'-"-;,J (7?=!J,R=2J.

Stelling l. Is r de rang van de kwad.ratische vorm, en is de vorm in A- kwadraten gesplHst, d.an is

..f

J:.r • Is

k

=

r , dan

zijn de kwad.raten li:n.eair OJJaf'hankeli.j.k, is

k

>r da.n zijn ze line-air afhankelijk,

"R ••

s· ,

12

L"-_,_,ew·]Js. -ce.t

p

= ()(

1 ~, -1- • • • + e1;k k

Een lineaire vorm kunnen we als

L

=

.E~

=

5~=(~, !'::!') voorstel-len, waarin

z.; , ... ,

-v,;

de coefficienten van de vorm zijn. Dan is

2 2 (

v;:v;

z;Z;Z • • •

r,:vn

\(~')-

:r T

L

=(v;x,+·--+~xn)=(~

... x

71 ) • • ) • -2£Ef!:!f·

\

~

i:

"'n

vz · · ·

~ ~

J

icn

( inderdaad is

y

?:!'' een matrix met n kolommen). Dus

~ k k

l/J= ;E_,

et:..L~

.=

:!°

ct.7crV-. V'::r::I::" =

~'(I.

0(. V: t,t:T);tc'

/ i : I l t (°::/ l - -1 -1 - = i : / ( -1 -1 /

-z0dat

A

=

ex.

v-V: T + • . . -f DI:,_

v:

V; T .

I -1 - I K -!,, -k

Beschouw nu het stelsel vergelijkingen

Aw

=

o

in de on-bekenderi

""t , ••• ,

wn

A!!!

=

f2 is gelijkwaardig met

C( v(v-Twl+--·+o<:1 :!Ii,. j"W';TW)=O·

I - / - I -"/ K r. ( !...,.- -

-Hieruit volgt dat elke oplossing van het stelsel

5

-voldoet aan A !1"' 5! • De dime:nsie van de oplossi.llgsruimte van het stelsel (I) is minstens 71 - k , die van A!!'."= o is precies

n _ z. • Derhalve is

J:

;;.'t. De dimensie van de aplassingsruimte van

(I) kan kleiner zijn dan n-k ( dan is dusk > l' ) ; dit is dan

en slechts dan het geval als er

een

afmeer afhankelijkheden

tus-sen de vergelijkingen van het stels~l (I) bestaan. Dit laatste

wil zeggen dat

y

₁ , • • • , 'Yk , dus aak l, , •.• ,

L;,.

lineair af-hankelijk zijn.

We laten ten overvlaede zien dat een splitsing in lineair afhankelijke kwadraten kan warden vervangen door een splitsing in minder lin. anafh. kwadraten. Is nl.

2 2.

f?=

ex,~+ ---+cxk Lk,

en zijn l, , ... , Ln afhankelijk, dan ku.nnen we een aantal ervan uitdrukken in de averigen. Neem daaram aan dat

L

₁ , ••• ,

Lj

lin. anafh. zi;jn, en dat

';,·+

₁ , • • • ,

Lk

alle lineair kunnen warden ui

t..-gedrukt in

l, , ... ,

L j .

We behandelen nu

p

als een varm in de anbekenden

L

₁ , ••• ,

Li ,

en volgens het eerde~ beschreven

pra-ces (zie voarbeeld hier ander) kunnen we die in~j kwadraten

splitsen. Machten deze nag lin. afh. zijn, dan kunnen we het aantal weer verminderen, enz. tatdat uiteindeliJk een lineair

anafh. splitsing is bereikt (in werkel~kheid is die na de

eer-ste vermindering bereikt).

2 2 2.

Vaarbeeld. Splits

f

= !J(.zr51+2z.)-2.(:c_y,.z.) +(>r-.>sr-z) in lin. anafh. kwadraten.

We hebben L~

=

3l

₂ - .2

l

₁ Z:.₁ en

L

₂ zijn lin. onafh.

Nu is

l

2

l

2

Liz

l

L

L 2

fl'=3 ₁-2. ₂ +g _{2 -12} I ₂ +-4 ₁

=

7L

:.1.2

L l

+7l

2 = .!. (1L- 6

L

₂

)2+

!.!

L

2 2

=

I 1 2 2 2 7 I !l J .!.(:rc+/3lf+O'z.} + .1J (x-fj'+Z).

7

7

§

3.

Splitsing in reele kwadraten.

Zijn de coefficienten van l°'reeel,dan is de splitsing in lin. anafh. kwadraten geheel reeel uit te voeren ( daordat we deoc 's

niet in de

L•s

hebben opgenamen). Hebben we twee verschillende

splitsingen in lin. onafh. kwadraten, dan is in beide het aan-tal termen het zelfde ( = r ) volgens stelling 1. Bovendien gelclt

Stelling 2. (Traagheidswet van Sylvester): Zijn

2 2 2 2

0(

L

+ .... + oc

l -

/.3 l'1 + .... + A,_

"1r

1 1 r r -;-1 / r.

d.er positieve « 's hetzelfde als het aantal positieve

;.s

's, en dus ook het aantal ·IJ de:r negatieve cc 's hetzelfde als het aan-tal negat ieve

f3 •

s.

Ret getal 7!'- )> heet de signatuur van de vorm.

Bewijs., Gemakshalve doen we het met een voorbeeld; het algemene geval gaat evenzo.

L

2

l

2 -

l2

..,,.z_

JtA2 - kA2

Was , + 2 .J

=

F// r/2

/-'3 '

dan was

2 L 2 2 2 2 2

L, + z

+

11z

+ ~

=

L3

+ ~ .

Hieruit volgt: voldoen de reele getalien lir₁ , • • • , x,,, aan l!J:::o,

1'1

1:::o dan is ook L,=L2=112 :1'15=o, dus L,:L2 :::L3 =o • Ile

rang van het laatste stelsel is

3 (3

lin. onafh.. vgl.), het heeft dus minder oplossingen dan het stelsel

L

₃ = l'-1₁

=-

o , dat slecb.ts uit 2 vgl. bestaat en dus een rang£:. 2 heef't, Riermede is een tegenspraak bereikt.

Positief definiete vormen. Ile reele vorm

p

in,de veranderlijken

::c., , ••• ,

:i-:n heet positief definiet als voor alle reele

waarden van :Jc

1 , • • • , ~,,, geldt

f'

>

o , met uitzondering van

:t₁ =• •• = Xn = 0 •

-.~is dan en slechts dan positief definiet als de signatuur

7'Z bedraagt.

2 2

lsnl. yt':;::;.a,L₁+·--+oc11

Ln

,

oc'spositiefen L1slin.

onafh., dan is steeds

p

~ o, en

fl'

= o slechts als

L,

=·.

·=

L,,=

o,

waaruit volgt x,

=·.

·=

;en= 0 • Ilus

r

is positief definiet.

Stelomgekeerd ppositief definiet, en laat cc, , ••• ,ocn- de po-sitieve cc' s zijn. Zou nu 7[ <

n

zijn, dan zou het stelsel

£,

=·.

·=

LR

=

o

een van de nuloplossi:ng verschillende oplossi:ng toelaten. Voor die waarde:n van

x, , ... ,

x.₇₁ zou

fP

~

o

zijn.

fP

heet JJ.iet-negatief defi:niet als

fP

~ o voor alle ~, , ••• , k ₁₁•

Op dezelfde manier als zoeven toont me:n aa:n.:

f!_is dan en slechts dan niet-negatief defi:niet als de sigJJ.a-tuur gelijk is aan de·rang (d.w.z • ..Y

=

o ).

Verder geldt: Is ~ positief definiet, dan is de determinant van de matrix A positief.

:z

Lz

Is nl.

p

defi:niet, dan is

fl

=

rx,

L,

+ · · · + Of.₇₁ 7l, rx, > o,. .• ,a72 > o;

L,, •.• , L

₇₁ li:n. o:nafh. Laat ~-

1

, ••• ,

Zin

de coefficienten van

Li

- 7

--Dan is

en

(f ')

=

A

(r)

l.,.

.

.:tn waarbij Derhalve is Dus

A

=

!\.

T

(C(' ....

0 )

A ,

o

°'n

zodat det

A=

(det

.A).

o<₁ oc

2 ••• o<n. (det L\.)

Daar

z, , ... ,

Ln lin. onafh. zijn, is det A -:} o dat det A > o.

2

= (

det J\. ) ct I • , , C(7Z •

; we vinden dus

Toepassing. Zijn '!!; , ••• , l::"n vectoren in een m-dimensionale ruimte, da.n heet

I

(!!,~!!,) /\

-

.

L.l - •

f

!!11~ ~)

(~\~n)I

[!!'n frn)

de determinant van Gramm van Y, , .•. , f:!n • Zijn 1(₁ , • • • , ~n

re-eel en lin. onafhankelijk, dan is ~ :> o . Want de matrix is de matrix van de volgende kwadratische vorm:

n

= ;;_

~

:;c. x-( v., v) =

(i

7c. v. ,

,.f, "/

!t",i

J.

T 1~1 ,i=t ' D' _, -; , •• , ' _, - " / /

f"

is dus he t kwadraa t van de lengte van de ve et or x, ~ + · - · + xn ~ .

Deze kan, daar de ~'s lin. onaf'.h. zijn, slechts o zijn als

:K

1

= ... =

xn = o • Dus f' is posit ief definiet.

Bestaat er daarentegen een afhankelijkheidsbetrekking tussen

van. Li , zodat L!

=

o •

'1= o is dus een criterium voor lineaire afhankel~'kheid van

n

vectoren in

Rm.

§ 4. Eigenwaa:rden en eigenvectoren;

Splitsing in onderling orthogonale k.wadraten.

Is A een kwadratische matrix, en is een vector J!(/=g) z6 dat Al( dezelfde. richting heeft als '!!' zelfj dan heet ~ een

eigen-vector van

A .

~~-We hebben Af'=ilP"; JI. heet de (bij :;t behorende) eigenwaa:rde. Is p- eigenvector met eigenwaarde /\. , dan is bij elke oc /: 0 de

vectorcc.1( eveneens eigenvector, met eigenwaarde ~ •

'!!

voldoet aan

dus aan

.

a~u

r,+ -· ·

+ a,,m ~ = ?\. ~

· («11-

it)

'Zj + a,z ~ + · · · + a.rn 'Y'n

=

0

a:2 /

'li + (

«22 -

A.) VZ

+ · · · + «2 n vn

=

0

d.w.z. aan (£" stelt de eenheidsmatrix voor)

(A-A.E)?!=£-Opdat dit stelsel een oplossing

J!:f

o heef't, is nodig en

vol-doende dat de determinant det(A-A.£) nul is. Zo vinden we dus uit de n-de graads vergelijking

==

0

---

..

---an' - - - - a11n - .it

(de z.g. karakteristieke vergelijking, ook wel eigenwaardevgl., seculaire vgl. of S-vergelijking) eerst de eigenwaarden.Vervol-gens kunnen we bij elke gevonden eigenwaa:rde A het stelsel

{A-AE}~2goplossen, en zo alle b~behorende eigenvectoren vinden. Voorbeeld.A,,..(' ')· Karakteristieke vgi.l'-A /

l=o

,dus

2 -/ I -1 I-ft.

(1-

A.)+

I=

o

7 I\ ,,,,. I±/.

de alg. opl. is Evenzo bij J\ = 1-i 9

--v;

l~ ::::0

lE-/:;

t ,

~

""'

t"t.

w;

=

t '

'Vz =-it.

We zullen ons in het ve:rvolg geheel beperken tot reele syrn-metrische matrices. Dan geldt (St.4) dat alle eigenwaarden reeel zijn, en de eigenvectoren worden dus uit reele vergelijkingen ge-vonden.

Meetkundig beeld en voorlopige orientatie. Is ~rA '!5=1 een kwa-dratisch oppervle.k in ll.,,, dan steltzsrAJ!"::{) (bij gegeven!t") het diametraalvle.k voor, toegevoegd aan de richting~ (meetk. plaats van middens van koorden in de rich ting !!: ) • De vector

A'!!:

geef't dus de coefficienten van de vgi. van het

diametraa.1.-vlak a.an. Eisen we nu d.atA'.!{"=AE" is, dan wil dat zeggen dat-de norms.al op het diametraalvlak de richting van

!C'

heef't, het dia-metraalvla.k is dus een symmetrievlak. De meetkundige betekenis van de hierna volgende theorie is, dat er

n

reele onderling loodrechte symmetrievlakken kunnen warden gevonden, zodat de eigenvectoren de richtingen van de symmetrieassen aangeven. De symmetrieassen liggen niet altijd eenduidig vast (denk aa.n bol of omwentelingsellipsolde).

Nemen we een stel onderling loodrechte symmetrieassen als nieuwe coqrdinaatassen a.an, dan yvordt de nieu.we vgl. va.n de vorm

- 2 -% -·z

'J\₁ JC₁ + 7\2. ;l:"- + • • · + /l.n

:x,,

== I.

Drukken we nu

7C

₁ etc. we er in :x1 , • • • , x n ui t, dan is het

lin-ker lid in een som van kwadraten gesplitst:

U-'Jl.

l

2+···+7l

l.

2

,r- I I 77 n·

L,

=O betekent ~= 0 ' dus de coefficienten van

L,

zijn de

ken-tallen van de eigenvector loodrecht op het eerste symmetrievla.k. De lineaire vormen

Z:

₁ , • • • ,

L-n

zijn dus onderling orthogonaal.

Het kan worden aa:ngetoond dat A

1 , ••• , i\.71 de biJbehorende

Voorbeeld (n

=

.3 ) • pa sx:z.+/6?1:-fl- 2.o :1ez+H:/2.+4yz.+2z.<_

I

5

u

A

= ( "

\

\-10

// 2 Karakterist.ieke vgl. S-J\ 9 _/O /} 11-'A 2 = 0₁ Of -7t.3+J871.2+0'1/\.-/l./S6'=0 3 2 2. 3 3 of ?<. _ 2 • 9 ;:.. - 9 i\. + 2.9 i\ = o

'

1-10 2 2-i\

Met /I.=

9

p.

_{vinden we dus}

_f!-

3- 2;"2

-14

r-2. = Oj

(ft':_t}(J"-o/=o.

Dus eigenwaarden 71., ::::

g

J' _ii.a=

-g'

l!.3 = 111.

We vinden 1!:, ui t

1-

f,I IJ -10)

\

_\-10

"

₂ 2

_{-7 /}

:ii! '!!',

=

o.

.Afgezien van een evenredigheidsvactor vinden we slechts een oplossing:

~=«

( ; )

Eve=o

~

=

~

(-:) ,

r,

=

i (:,)

Hiermee zijn alle eigenvectoren bepaald.

Ter illustratie van de volgende theorie laten we splitsing in onderling orthogonale klvadraten zien. Bepaal eerst een orthogonaal genormeerd systeem van eigenvectoren:

(

~ \

?!,=

-~)

%

( %)

( %)

~= -~

~

=

-~

We hebben nu 2. 2 2

f=

9(-f

+

¥

+

2/ ) -

9(

2; - ; +

~9+1a{~x.,. ¥.;~}.

Controleer dit door uitwerking. Door de orthogonale coordinatentransformatie

it

= -

~ + 2.lj-/-

u

3 3 3

11

-gaat de vergelijking f'(x)= 1 over in 9

x

2 - 9 !j z + I c5' .Z z = /.

In matrixn.otatie is

A T 7 T

=

.9 Z

J4 -

.S

Yz

~- r 1<7

1:J

~

.

Ga dit na..

Stelling

3.

Zijn "A,, en /\.z. twee verschillende eige,nwaarden, en zijn Jt, en

Yi

bijoeliorende eigenvectoren, dan staan

r,

en

12

lood-recht op elkaar.

Bewi,js.

A

!!, == .i\₁ !:!,

A

?rz

=

.il.,_ '!!z.·

TA

T

Dus J!,_

!t,

= 'A, 1(z ?!", , '"!(,

TA

Pi

=

Az

Y,

T Y21

'!!a.'

A

J!,

=

11";

TA

¥z (symmetrie van de polaire vorm) en

T { )

=

'F,

!!z.

=

~

,

PZ .

Stelling 4. Alle eigenwaarden zijn reeel.

Bewijs. Behoort bij i\ de eigenvector met kentallen

v, , ... ,

v-n ..

dan behoort bij de complex geconjugeerde ~ de eigenvector met kentallen

v, , • •

o J ~ ( daar de Cl IS reeel zijn_, VOlgt Uit

a

11

v,r···+a.11Zv11

=A'V, dat ook a

11

-if+···+a

171

~=;\..V, is).

Is nu A niet reeel, dan zijn A en °X twee verschillende eigen-waarden, en is dus volgens de vorige stelling

tt,

ii;+···+~~=

o.

Hieruit

volgt)v;(+···+lvn(==O

dus U,=-··=V,,=O· De nulvector, wordt echter niet als eigenvector beschouwil., zodat een

tegen-spraak is bereikt.

.

Het geval dat alle eigenwaarden verschillend zijn. Zijn de wor-tels ~, , ••• , ~n van de kar.vgl. twee aan twee verschillend, dan k:Ulmen_ we bij elke "><j een eigenvector!!;;' viu.den, waaraan we de lengte I kwmen geven. We vinden zo een orthogonaal genorme7rd stelsel van

n

eigenvectoren:

/v-.

,11.,)

=

J ..

(Kroneckersymbool)

=

c;..,•-1

'I

{

I als

i

-=/

o als /

:/:i

De vectoren ?, , ••• , '!!:₇₁ zijn lin. onafh., en spannen dus de ge-hele ruimte op.

We bewijzen nu dat

A

=A'll:'ll'.,,.+···+71. 'If v:.7

i -1 -1 n -n -n ·

Bewijs. Moem het :rechterlid B • Is 1l' een willekeurige Tector,

dan kunnen we scbxjjven

Verder is B ff,

=

7\

!ft

{P-17 ?.4)+ 'll21!2(1!'v~)+

· ··

= "-

1

!L"t,

dus

(A-B)J!;=A/!4 -

A.,Jl'₁

=

g

•

E..-enzo(A-B)Ir

₂ =

52 ,

etc. Dus voor elke vector

'J!

geldt

[A-B)J!=

o • Hie:ruit volgt dat alle elementen ..-an de matrix

A-B

nul zijn, d:u.s

A :B.

We me:rken nog op dat

A

₍Ip( 1_1-1 11" + .. ,

+

Cl _'1-n ~) ::::: i\ ₁ C( _1-s 'V + ... +/I. _n (X. _{; i i - n •} 'V:.

en hieruit volgt dat elke eigenwaarde Al slechts een bijbehoren-de eigenvector heef't (op een even:redigheidsvactor na). Dit be-tekent dat de matrix

A-A.;E

precies de rang n-1 heeft. Het geval Tan meervoudige eigenwaarden. Is A.

1 een

k

-voudige

wortel van de karakteristieke •ergeljjking (d.w.z. bevat het linkerlid det(A-.ll.£) de factor(11.-r./-:;, da:n. bljjkt de rang van de matrix

A-A.

3£gel:ijk te zijn aan

n-k •

Dit is een stelling van

Weierstrass, waarvan we het bewijs achterwege laten. (Ret geval

k=I

werd reeds hierboven opgemerkt). Dit betekent dat er een

k

-dimension.ale deelruimte is, geheel bestaande uit eigenvecto-:ren van

k .

Is bjjv. n

=

9 ,

en is de karakteristieke vgl.

0-a.J'

1

_{(7<.-f3/{7'..-i/{'),,.-}

_b}

₌

o

(c<,~;

?I en

J

onderling -rer-schillend), dan is er bij CX' een 11_eigenruimte21 _{Rot. ( dimensie 4).}

bij;'

eenR.13

(dimensie 2), enz. Elke vector uitRoc staat

lood-recht op elke vector uitR~ (eigenvecto:ren die bij verschillende eigenwaarden behoren), enz, In

Roe

kunnen we een orthogonaal ge-normeerd systeem van 4 eigenvectoren vinden (dit kan op zeer Tele manieren gebetaren; i.h.a. door een willekeurige basis

Yan

R4-

te orthogonal iseren), e-venzo in

R/J

een orthogonaal genor-meerd stel

van

2 eigenvectoren, enzo

Daar de som van de multipliciteiten (hier 4+2+2+l) gelijk is

aan n 9 ( hier

9),

komen we zo tot een orthogonaal genormeerd

systeem van n eigenvectoren. Deze kunnen we verdelen in groepen die bij eenzelfde eigenwaarde behoren, in ons geval 4 bij ~ ,

13

-Is '!!, , ... , Yn een orthogonaal genormeerd systeem van eigen-vectoren, en is J\..i de bij V'l behorende eigenwaarde, dan gelclt we er

(b.et bewijs is hetzelfcle als in het geval clat alle eigenwaarclen verschillencl zijn).

Zijn alle eigenwaarclen verschillencl clan zijn JI; , .•• , !(

72

een-cluiclig bepaald (af'gezien van f'actoren ±I , want als

'!!i

een ge-normeerde eigenvector is bij i\

1 , dan is-'!!", het ook). In het geval van meervoudige eigenwaarden is er echter meer keus: in elke "eigenruimte" kunnen we een van cle Vele Orth. genormeercle bases uitkiezen. Voorbeelcl _{(P2 1951).}

(-;

_,

0 0

n

I 0 0

A=

0 - I I

\:

0 I -I

-~)

0 0 0

We hebben clet

(A -

'A

E)

= -

-;{(A-2./{;;i.-1-1)

Bij II.= o vinclen we als eigenruimte cle 2 -climensionale cleelruimte der vectoren

(a, a,

b

7

'1,

o} (

ter be sparing

van ruimte schrijven we de vectoren hier als rfjen). Een basis is

(/,1,0,0,0),

(o, 0,1"1,o}; een orth. genormeerde basis:

'!!',=(-fl2,J:V2,o,o,o),

J!

₂

=(o,o,.;112,-J:V2.,o).

Bij i\

=

2 vinden we als e igenve ctoren

(c, -

c,

d, -

cl,

o

)-Orth. genormeercle basis:

13

=({112.,

-JV2.,

o, o, o) ,

p-₁₁

=/o, o;f

vz,

-JV2.

,o).

Bij ll::-1 zijn de eigenvectoren (o, o,o,o,e).Basis:

](5 =(0,0,0,0,1).

De bij

A

behorende kwadratische vorm kan dus geschre-ven worden als

f"

=

2(-1:

x./if2. -

f

Xz.

Vz

/+

2 (

1

X .3

Vz

-4

x.,/1/2. )

2

-

X:S"

2 •

We kunnen echter ook in plaats van

1-3

en !!q nemen bijv.

Opgaven. 1. Een kwadratische vorm is dan en slechts dan positief definiet als alle eigenwaa.rden positief zijn. Bewijs di t.

2. Ga a.an de hand van de matrices

I

I

I\

/1

t'\

( o

I )

811

(

c · -

I)

na, dat de stelling van Weierstrass in het algemeen niet voor niet-sywmetrische en niet voor niet-reele matrices geldt.

Is omgekeerd een kwadratische vorm

f'

in reele onderling or-thogonaie kwadraten gesplitst, dus

A

=

A.,

f0

~

r + · · · + 11.n rz11

tt,t

(f

'!!'i,

!!)-J

=

~;)

•

da.n kun.nen we zeggen dat

("A-/\.,) ..• ('ll.-lln)=o

de karakterist. vgl. is, en dat '!!, , •.. , '!(

11 een bijbehorend stel eigenvectoren is.

Om dit in te zien bepalen we alle eigenvectoren en eigenwaar-den. Elke vector:!!" is te schrijven als

!!" == 0<.,

'!!/

+ · · ·

+

ccn '!!'n ·

Rieruit volgt (vgl. blz, 12, waar B dezelfde rol speelde als A

hier)

A

JC-/\!!= a,(A.

1-

/l)

11", + · ··

+

rxn(A.n -

?!.)

'!!"n ·

Opd.at deze vector

!2

is, is nodig en voldoende datcci = o voor alle i 1_{s waarvoor A. niet geliJk aan 71...r· is. Dit betekent dat een}

;\ , die

k

_{keer in de rij /\. / , ••• ,} i\₁₁ voor komt, een

le

-dimen-sions.le eigenruimte heeft, dus ook een

k

-voudige wortel van de karakteristieke vergelijking is. Op een andere manier blijkt dit in §

5·

§

5.

'Transformatie van kwadratische vormen. De vorm

is een functie van x, , ••• , :t:7Z • Gaan we op nieuwe veranderlij-ken

::t;', ••• ,

x~ over door middel van een lineaire

coordinaten-transformatie

(det..f

f

o )

dan kan ~ ook geschreven worden als :functie van

x,'

f

=(S~J

7

A

{J7S.

1 )

15

-Dit is weer een kwadratische vorm in

x; , ... ,

x~

,

met matrix

.S)i

S,

want we kunnen ook scbTijven

{;?£J')rS7

AS

?EJ'

=

(?EJ

7

(.SAS)?§'.

r; <' / T ) T <'TA7<:'TT 7

.S

'AJJ

is weer symmetrisch, want

/SA

,J

=

µ r i µ ==

SA

.S.

De matrix

s'.4

.:J stellen we door

A

I voor.

De kwadratische vorm die bij A behoort heeft dezelfde rang en signatuu.r als degene die bij

A'=S".S

behoort. Aan. een voorbeeld wordt di t duidel:ijk. Voorbeeld.

S=

:(2 -')

_{4 _;}

.

Dan is .:!" r

A~

:;;i:

x,

2 + 4

x, x

2 -

7ci

=

(2

:t:/-

7e₂

'/+

11(2

~'-KzJ(q7c,'+3J<:}

f: I '1 I ) 2 /2 I I 2 - ( 1/7'₁ + J Jc2

=

20 :.t; - 2o x, x₂ - 20 x; ; dus

A

1

=

l~:

=;:J.contrBle:

f-~

;)

~ ~) ~

-:)

=

t,:

~;:)

Beschouw een splitsing van de oorspr. vorm in lin. onafh. kwadraten:

2. 2. /. z z

X1 + 4 x, x2 - x2 = l ..:t1 + 2. xz} - 5" x2

Substitueer in beide leden .?c,=2.%₁1

-Jt:;,

x

2

=4'x,'+3~;:

Z 1 I Z /. , / 2 ._/, )2

20

x.; -

:i.o :>c1 Xz. - 2o x~

=

l /ox,+ S x2) - 5l q;r:.1'+ 3

?C.; .

De oude en de nieuwe vorm hebben dus dezelfde rang en sign.atuur; want de vormen 10..:t,'- .1x~ en 4k/+3;;:; zijn lin. onafh. Dit laatste is evident, maar we willen een redenering geven die ook op het algemene geval van toepassing is: Stel dat ar.₁

(/ox,' - sx;)

+

+

cc

₂ (4

x,'

+ 3

X:. )

=

o ,

d. i. nul voor alle

x,'

en

x;

Daar det.S

.:f

o is, is er bij elke vector.!; een vector 15;1

te vinden, z6 dat ?f=.$ .?5 / • Voor alle x, , ?Cz. vinden

we dus

We badden echter aa.ngenomen dat de vormen x,+2x₄ en

x

2 lin. onaf'b.. waren; we vinden dus 0<,

=

oe2

=

o.

Orthogonale transformatie. Is de transformatie .Sorthogonaal, dus

S7J""

E , dan is tegelijk

A1

=SAS

dus voor elke It

A

1-;;..£=

S(A-;i.E)S.

Hie:ruit volgt d.at

det(,4

1

-.AE)=

det(A-.11.E),

zodatA/ dezel:fde karakteristieke vergelijking hee:ft als

A .

Voo:rbeeld: Is

A

in onderl. orth. kwadraten ges:plitst:

A

₌

'?<., ?!', ~ 7 + · · + "n 1!°n ., 1:"73 T

d.an gaat door de substitutie (hier impliciet gegeven)

T / T r T I ~ !!; = x, , 1!:2 EE = x2 , • • • , ~ ~ == x,,, de vorm over in met matrix

A

1 = (11..1 ....

o)

() • .i\l"I

De subst i tut ie kan geschreven worden a.ls

V

::'.!=.,.,.

5/,

waarbij

V

de matrix is waarva.n in de Berste rij de ken-tallen van¥, staan, in de tweede r:ij de kenken-tallen van

!(

2 , enz. Daar 1t, , ••• , ~ een orth. genormeerd

stel-sel vormen, is

V

een orthogonale matrix. We hebben

A=VA'V

1'

A'=J/AV

7

De karakter ist ieke vgl. van

A

is, zoals we zagen a.an het eind van§ 4,

(7!.-'li.J ...

(lt-?i.,.)=o·

Die van

A

1 is

I

/1.1 _{-.i'I. o} -0

1'

0 •

;.il.l_

,-1.

dat is dus dezel:fde vergelijking.

§

6.

Orthogonale invarianten.

V _{oer men in e vorm} t . • d _r id

=

2 Al!_

a₁₁ 74:₁ + 2 an. 7c1 x z. +au.~ ...

d.m.v. een orthogonale substitutie ts=S.:::' nieuwe vera.:n.derlijken in, dan gaat de vorm over in een a.ndere:

z z: ; 12. .1 , , ,,L

a:N X 1 + 2a,₂ ;;1:'1 x2 + "'zz X 2

=

cz11 ; t1 + .2 at/2. X X 2 + 0!:1.2. %2

17

-Men noemt daarom w,,. a11 + a22 een orthogonaal-invariant :

bouwt me met behulp van de getransformeerde vorm de analoge uitd.rukking op, dan heeft die dezelfde getallenwaarde. Evenzo

is .JI)= a:₁₁azz - a,~ een invariant.

Vind_t men dus voor de vgl. van een 'hyperbool op

een

carte-siaans a.ssenstelsel a"+ a2 , ""o, dan is zulks op ieder ca:rte-siaans assenstelsel het geval. Dit is ook meetkundig duidel~'k,

daar ~,

.,,.""b

=

o

beteke:nt dat het een orthogonale hy:perbool is,

2 2

Evenzo betekent a₁₁ a_{22 -} a₁₂•

=

o dat de kegelsnede a,.;~ +2a 1

'il.x,x£t-+ a:a x

2

2 _{= I een evenw~jdig lijnenpaa:c is.}

In Rn weten we reeds dat voor elke symmetrische matrix geldt det

{A -

?>.

E}

=

det

(A'-

"fl.

E)

(alsA

:,_,SA

.S,en

S

orthogo-naal). De coefficienten van A"', 'A',"-..,_, •. _, 'An in det

(A -

'A£)

zijn

uitdrukkingen ina1_{s, die gelijk zijn aa.n de overeenkomstige}

uit-drukkingen in de a' ; het zijn dus orthogonaal-inva.rianten.

le /, )

Ga.at :men na hoe de term met ;\. in de ontwikk.e~ing van detc:A-il.£ kan ontstaan, dan vindt men dat zijn coefficient gelijk is aan

{ som de:r symmet:rische ond.erdeterminanten v. d.

11 graad(n-k)J det

(A - ;,.

£}

=

I

a" a.ill Voor n=3 is

det(A->.E}

=

a." ct.12 a,3 au a._._ CZz.:, <231 an a33 _ A {

I

a,,

«,21+

I

a22

a21 az, a,;z

"23

Cl..13

/+I

a,, a.JI

~{

J

,3

+ A a." + au + a.113 - Ji. •

De karakteristieke vgl. is meestal het gemakkel~'k:st op te stellen :met deze symmetrische onderdeterminanten:

C +c A.+ C 'A2+ · · · + c_{71 1} -;.."'-'+(-1/1 An:= 0 .

O I Z

-Een voorbeeld van toepassing van het feit dat an+ an+ a₃₃

invariant is:

Bezit de kegel ~,x/•+:i.a.,,x,xz+ ···+a

33x52.=o een stelsel van

3

onderling loodrechte beschrijvenden, da.n is a.J, + a2 ,,, -1-a33

=

o.

Neem nl. die

3

beschrijvenden als nieu.we coordinaatassen, da.n.

· ' ' ' D "' 1 · " ' a' o dus

is a,,=o,a₂,,,=o,a₅₃=o. erl.l.a ve i.sa11-f-<:Zz2+ 33= ,,

a;,

+ a:u. + a₁

a=

o. Is om.gekeerd gegeven

(1)

(2)

a +·et. +a ,.. o, dan zijn er oneindig vele stelsels van drie

on-,, 71!. 331

derling loodrechte beschrijvenden. Neem nl. een willekeurige be-schrijvende als x/-as van een nieuw cartesiaans assenstelsel, dan wordt de nieuwe vgl.

, 1%. I I I I 1'L I ' I I I I

a/1 x, + 2 ct:,L x, Xz + azz x2 r 2. a 15 x, ll!. .1 -1- 2 a23 x., x J = o

( waarom ? ) • Daar ook

a,;

-r

a;,_+ a;,

=

o

zal zijn, vinden we

a,,;

+

a; ..

=

o .

Rie:rui t volgt dat de doorsnijding van het vla.k

ox'x'

uit twee onderling loodrechte lijnen bestaat. I 2.

ROOJ!'DSTUK II. KW.ADRATISCHE O.PPERVLAKKEN.

§ 1. Inleiding. De algemene vergel~king van een kwad.ratisch oppervlak luidt

Of in homogene COOrdinaten

% 2 2 .

tX,,:x. + 2 a/Z xy+ 2-a,₃xz + aa.._ ~ +2 a_{2 ,} 9z.+a₃₃ z + 2 a/,, xw+ 2a₂₁~!fw+ .Z.as₉zw;. Twee kwadratische vormen zijn hier van belang: +a9..,, w .. ,. 0.

i 0• Ret tweedegraadsdeel in de inhomogene vgl. (vorm in

3

veranderlijken)

2°. Ret gehele linkerlid in de homogene vgl. (vorm in 4

veranderl~ken).

Ter onderscheiding zullen we de matrix van de eerstgenoemde met A aangeven, die van de tweede met

a .

Terwille van de notatie zullen we vaak

x,

'f, z. door

x,, xv x

₃ vervangen, en

x.

!f, z. w

door x,, x,,_, ;c₃ , x,,. •

Op verschillende manieren kunnen we de kwadratische opper-vlakken classificeren:

1°. door de rang van a t e .beschouwen (projectieve indeling). 2°. Door (in geval van een reele vergeliJ"king) rang en

signa-tuur van a t e beschouwen (reeel-projectieve indeling).

3°.

door rang en signatuur van

A

te beschouwen (affiene resp.

reeel-affiene indeling).

4°. door op.A de eigenwaardetheorie toe te passen (metrische indeling).

Hoewel het natuurliJker zou zijn om met de meest globale indeling te beginnen, geven we er de voorkeur aan eerst 4° te beschouwen,

(3)

(4)

(5)

19

-daar die ons met alle soorten laat kennismaken, bovendien ui-terst belangrijk is en weinig meetkundige hulpmiddelen (zoals pooltheorie, homogene coordinaten, oneindige elementen) vereist.

We zullen steeds onderstellen dat alle a's reeel zijn. Vooraf nog een opmerking: Als A

=

o is, zal men ( 1) geen tweedegraads vgl. willen noemen, doch (~) nog wel:

2. a₁₁₁ x w + 2 a

21

~ l/ w + 2. a Jlf :z. w + a'llf w 2

=

o .

Dit stelt voor:

Als (a/'I • azs;" «.;")

:f

(o,o,o), a.;ry := o gewoon vlak

+

V

00 _

Als (a,I/, a

2

"~ a_,") :=

(o,

o, o), a,N

,f

o

V

₀₀ dubbel geteld.

We laten deze gevallen verder buiten beschouwing.

§ 2. Toepassing der eigenwaardetheorie.

We zullen ons eerst beperken tot het geval dat

a,,,=az"=a

₃₁₁

=o

is(hetgeen betekent dat O' een punt van symmetrie is):

dus, als

2;

'A

25: + a'l<Y-= o.

We kunnen nu een orthogonale matrix

S

vinden, z6 dat d13 vorm

~

7

A

Zf na su.bstitutie ?f ==

J~!/

overgaat in 'A₁

x;

2+

"ll.

2

x~2+ A.

3

-x.~~

J<.

11 ).2 , /\a zijn de eigenwaardenvan

A ;

de eenheidsvector langs

de x,'-as is, in het oude coordinatenstelsel beschouwd, de ei-genvector die bij 1\.₁ behoort). De vergeliJ"king van, het kwadrati-sche oppervlak wordt

,,. ,z. ,~

JI. ₁ X, + .it2. 7c.z. + /1.₃ x3 + a'l'I

=

o.

De vlakken

x,'=o x;

=

o e:o.

x;

=

o

zijn symmetrievlakken, de coi:ir-dinaatassen zijn symmetrieassen, de z.g. hoofdassen, en Cl' is na-tuu.rliJ"k nog steeds punt van symmetrie. Er kunnen echter in bij-zondere gevallen nog meer symmetrieen optreden.

Daar we verder geheel bij dit stelsel x/

x; x;

willen blijven, vervangen we deze letters weer door

x, y,

z.

De indeling in soorten berust, ruw gesproken, hierop. Het oppervlak

::tc2_{+'f2.- 2.z2.- 3::: O}

kan door indrukken en ui trekk.en in de richting van de assen worden vervorm.d tot bijv •

.3

,,2..+

t/f:?-z._

:z!-_

5" = o,

··en door draaing tot biJv. 3X"-y2_{+~zz_}

_s-

₌ o.

Al deze oppervlakken rekenen we tot dezelfde soort.(Officieler gezegd: twee oppervlakken worden tot dezelfde soort gerekend als ze in elkaar kunnen worden getransformeerd door een reeel--affine punttransformatie d.i. een reele lineaire transforma-tie waarbij het oneigenlijke vlak

Ve»

in. zichzelf overgaat). Het is duidelijk dat voor het vaststellen van de soort slechts de tekens van 7'., , ii.,_ , il.₃ , a,,,v van belang zijn, terwijl de

volgorde van i\., , /l."- , /\ ₃ onbelangrijk is.

Tenslotte moet worden opgemerkt dat het oppervlak niet ver-andert als de gehele vgl. met - I wordt vermenigvuldigd.

De narnen van de soorten kunnen uit het volgende schema wor-den afgelezen (+ in een kolom betekent dat de betreffende groot-b.eid positief is, - betekent negatief).

A I

""

A3

a,,,,

{

+

+

+

Reele ellipso1de (R.E. )

+

+

Eenbladige hyperboloide (E.H.)

A

+

Tweebladige hyperboloide(T.H.)

Imaginaire ellipsoide (I.E. )

B

{

+

+

+

0 Imaginaire kegel (I.K.)

+

+

0 Reele kegel (R.K. )

{

+

+

+

0 0 Elliptische cylinder Hype.rbolische cylinder (H.C.) (E. C. )

0 Imaginaire cylinder (I. c.)

c

{

+

+

0 0 Ima.g. snijdend vlakkenpaar (I.S. v.)

+

0 0 Reeel snijdend vlakkenpaar (R. S. V.)

D

{

+

0 0 Re eel evenw. vlakkenpaar (R.E.V.)

0 0 Imag. evenw. vlakkenpaa.r

(I.E.V.)

E

21

-Vorm U een voorstelling van al deze oppervla.kken, en bekijk in het bijzonder doorsnijdingen met vlakken evenwijdig aan een der coordinaatvla.kken. De op:pervlakken E.H., R.K., E.C., H.C.,

:.

R.s.v., R.E.V.,

V zijn regelvlakken, d.w.z. door elk punt er-van gaat een r~ele rechte die geheel op het oppervla.k ligt (zie. §

4).

De

I.E.

en het

I.E.V.

hebben geen enkel reeel punt; de

I.K.

slechts een reeel punt, (de

I.C.

heef't een reeel punt in het oneindige), het I.S.V. heef't slechts een lijn van reele pun.-ten (niettemin zijn de vergel~'kingen reeel).

Bepaling van de soort: Om de soort te bepalen van een opper-vla.k ~ 7

A

~ + a"'"'

=

o is het niet nodig de eigenwaa.rden precies te bepalen; het interesseert ons dan slechts hoeveel er posi-tief, hoeveel nul, hoeveel negatief zijn. We weten echter dat voor elke kwadraatsplitsing van ~ 7

A

Zf het aantal positieve kwadraten hetzelfde is, evenals het aantal negatieve. Met de eigenwaa.rden correspondeert een bijzondere splitsing in (onderl. orth.) kwadraten, zodat we de tekens van de eigenwaarden uit een willekeurige kwadraatsplitsing kunnen afleiden.

Voorbeelden: 1°. De soort te bepalen van :1c9 + 9'Z. +

+xz+l=O. We vinden

. 2

:rcy+yz.+;;cz =(x+z)(f:l+Z)-z.2= ifx+y+ z z) -~

(?C-¥)2:_

.z ~

De tekens der.l\.'s zijn dus

+

- , en we hebben dus een E.H.

2° (P2 1951). Idem

{x+9+z.z)~2(x-zy-z.)z-2.

_2.[27r:.-~+z)

='·

Deze vorm is reeds in kwadraten gesplitst, doch

de-2 2 2

ze zijn niet lin. onafh. Schrijven we

L,

+ 2

L

2 -2

l

3 = t,

dan hebben we

Ll

=

L

₁+

L

₂ . Het linkerlid is dus

L,

2 + 2

l;-

2

L: -

4

L, L

_{2 -;:} 2

l

₂2

2

= -

L,

2

- LI

L, L

₂

=

=

-{L,

+ 2

L

_{2 )} + 4-

L

₂ •

Dit geeft de lin.onafh. splitsing

De A' s zijn te doen.

2 { 2

-(3x-3y) + 4 x.-2.y-:z.)

='·

Omwentelingsoppervlakken. Is A

1

=

A2 , dan is het oppervlak ;.. 1 :1; 2 + A 2 '1 2 _{+-i\.J z}

2. +

a"" = o

een omwentelingsoppervlak, met

de z-as als onrwentelingsas. Behalve bij de H.c. en bij het

R.s.v.

kan dit bij alle bovenstaande oppervlakken optreden, hoe-wel di t bij de imaginaire opperv1akken niet spectaculair is. De gevallen waarin twee A'S nul zijn geven natuurlijk altijd omwen-telingsoppervlakken.

Bij omwentelingsoppervlakken zijn er oneindig veel stelsels van drie onderling loodrechte symrnetrieassen; elk stelsel onderling loodrechte eigenvectoren van

A

kan als zodanig fungeren.

Het algemene geval. In het voorgaande was aangenomen a,₁₁= a₂"

=

=

a

3"' = o • We la ten nu deze onderstelling vallen, en beki,]1ten

dUS de vergelijking Z!: 7

A

2E. + 2

1!'

7 ~ + al/4'""' o waarin 'J!' 7==

{a,", a

2f/, a:3 " ) , !£ 7

= (

7C1 •

""'z,

x

3 ) •

We trans:f'ormeren weer x = S ~ / met een orthogonale

S

die zo is gekozen dat .::t:7 Ax overgaat in 7\ n'2+ i\

2x' 2 + "'~

x;

2• - - I t 2 .>~ De gehele vergelijking is nu .,. _,2~i\. _,2+ A ,2 I f I

"'1 "'"1 ~ 2. ""2 a :ica + 2 _{W, -x.,} + 2

U'z

Xz + 2 ~ x₃ + al/¥= o

waarbij

'!£=,5Jr,

dus

1:'"'~=

1:'"7

Sts'

=

('1!"

7

,.5)~'

={s

7

'1!"}?£'.

We kunnen nu proberen door evenwijdige verschuiving van het assenstelsel de ~ , ~ , ~ te verwijderen. Is 'J..

1

f:

o , dan ga.at

}l./X-,'

2

-;,

z

~

x,'

door de substitutie

x/+

U{/:>..., =

x;'

over in

7' x" - w-2 / l l . I I I / I Voorbeeld: 2 x2- 9'2+ z 2 -

~?c

- 6

~

+ 2 z

-T

=

0 .

Stel x - /

=

x / , 1:1 + g = ~ ' , z + 1 = z' , dan komt er

{E.H)

Is een der ;.. 's nul, dan lukt het niet de overeenkomstige w' s

op deze manier weg te werken.

Voorbeeld: x z..,t. 2

'1

2 _ 4 z + O'

==

o.

Door substi tutie Z - 2 : z'is wel de constante term weg

(6)

23

-Voorbeeld met twee .i\' s nul: x2- f.llJ+6 z - 8 = o.

Ook hier is de constante term weg te werken door ver-schui ving. De vgl. wordt dan x 2

- ,q'/ + 6z = o • Door een

draaiing om de x-as is nog de vorm

x

2-a:(t'=O te berei-ken.

Op deze ma.nier komen we tot de volgende soorten:

a'JC.2

-rb!:/=

cz (c:no, b>o,c.j:o)elliptische paraboloJ:de (E.P.)

ax2_-r6f12

₌

_{cz {coo,, b<O,c,Po)hyperbolische paraboloide (H.P.)}

x2 _{=a!/ (a}

f=

_{o) parabolische cylinder (P.C.)}

Deze oppervlakken hebben geen punt van symmetrie, en zijn minder belangrijk dan de eerder genoemde oppervlakken.

Bij de hierboven gegeven uiteenzetting hebben we eerst de as-sen gedraaid, en daarna de oorsprong naar het middelpunt ver-schoven (als er een middelpunt was). In de practijk gaat men meestal andersom te werk, daar de berekeningen i.v.m. de

draai-ing het i.ngewikkeldste zijn. Men tracht, uitgaande van de vgl. (1), een verschuiving van het assenstelsel te vinden waardoor de lineaire termen worden verwijderd. Zodoende vindt men tevens het middelpunt (or een der middelpunten, or men constateert dat er geen middelpunt is).

§

3.

Projectieve theorie.

We gaan nu werken met homogene coordinaten x , <.f , z , ur

(soms genoemd x, , x-₂ , x₃ , 7C"' ) , en met de matrix

a

i.p.v. A

We beschouwen dus het oppervlak

(

a_· .. " . . .

~:'"')

(:z \

(x,,lf,z,w)

a"

1 •

a

41.f

w-/

In sigmanotatie: ~ ~

Z

2:

a ..

~. x~·

= o. i=I j=t 'J L "

argekort tot ~.,.a ~ = 0.

we besch~uwen twee punten p ( ,P, ' /'z ' /'.;

'/'¥ )

en

Q (

'ii ,

'ta ,

9'

₃ , q'r., ) , die niet op het oppervlak behoeven te

liggen. Een willekeurig punt van de lijn PQ kan men voorstel-len door de kentalvoorstel-len van de vector f=+A'j' (het punt Q kan men niet zo voorstellen; wil men deze uitzo:ridering vermijden, dan

(7)

(B)

dient men met twee parameters te werken:p1

::+Ji.f ).

De snijpu.nten van de lijn PQ met het oppervlak vindt men ui t

{p .;-

A'f )

7

a

{t_ -f" "''!)

=

o.

-

-

-Dit levert een vierkantsvergelijking voor A. op; de wortels i\.₁en .A₂ geven de snijpunten

t

+A., 1 en

e_

+ A.₂

i.

Ra.ngschikt men ( 7) naar -machten van 'A. , dan. ontstaat

2

flp,,,

+ 2 .,.__

%Q,

+ 71. ~""

=

0.)

waarin /<q,P ::

!:

Ta

e

? ~ (;? :

t

7'. tZ

f

t e:rwijl

f#;io,;i

=

e

T 0

J

=

17 Cl

e

de polaire vorm is (zie I §

1).

We zullen dit op verschillende problemen toepassen:

raakvlakken,dubbelpunten, omhullingskegel, polaire toevoeging. Raa.kvlakken. Laat

P

een punt van het oppervlak zijn. Welke

pun.-ten Q hebben de eigenscb.ap da.t PQ. in P aan het oppervlak raakt?

Dit laatste wil zeggen d.at de snijpunten ~ en~ van

PC/.

met het oppervlak zijn samengevallen in P , zodat-iL₁

=

'A₂ =

o.

Vo or de vgl .• (8) beteken.t dit dat f,,p

=

?'PQ == o • Da.ar ~n~=t7t.le

bete-kent

fpp

::= o dat P op het oppervlak ligt. ~"" = o is dus de con.-di tie nocon.-dig en voldoen.de opdat PQ in P aan het O:PP• raakt. Als de vergelijking van het raakvlak vinden we dus

( 9)

f'

T

a

25

=

0 .:> Of Ui tgeSCh:reven:

(/', a

11 +

p.,

a

21

+I's

ot.31 +

P-v

a.y,)

x.1 + -

··+(?,a,.,,+···+

/'.y

a¥,,,.)

x...,

=

o.

Is bijv. {;, ,

Pz ,

I's~/',,) een punt van het OpIJervlak

x,

2t-6x₁

x

3 +

+ 2 x: , dan is het raakvlak

f',

x, + 3 (/', x₃ +

p

3 x1)+21't1 x41

=

o.

Direct over te brengen op inb.omogene coordin.aten: ligt

ff'.

'l,

1t)

op

x:r._

2 x z +.I{ z + S-

=

o ,

dan is het raakvlak

/' x - (/' z + 't. x) + 2 (

z

+

'r..}

+

5"

=

o .

Dubbelpunten. Er kan bij de vgl. ( 9) van het raa.kvlak een bijzon-derheid OIJtreden.: als de coefficien.ten van x.₁ , %2. , x

3 , X¥

in.

(9)

alle vier nul zijn, stelt het geen vlak voor. In dat ge-val heeft elke lijn door P twee pun.ten in P met het op:pervlak gemeen..

P

heet dan dubbel:punt.

Voorbeeld:

x,

2- 2 x, x

₃

+ 2

x

₂2.

=

oft

P

=

{o, o, o,

1)

(het opIJervlak is een kegel, en P is de to:P). Hier is