H3: Cirkels en hoeken

(1)

Hoofdstuk 3:

Cirkels en hoeken

V-1.

a.

b. De diagonalen van een rechthoek delen elkaar middendoor. Het snijpunt van de diagonalen ligt even ver van de

hoekpunten af. c. _d _ ₆2_₄2 __{2 13} d. De straal is 2. V-2.

a. 1. FA FD (straal cirkel)

2. FAD FDA (gelijkbenige driehoek) 3. FAD60o₍_V_ABC_{is gelijkzijdig)} 4. VAFD is gelijkzijdig (volgt uit 2 en 3)

5. Voor VFBE gaat het bewijs op analoge wijze. b. 1. FA FB (gegeven)

2. ABAC (VABC is gelijkzijdig) 3. AD DC (volgt uit 1 en 2)

4. Voor punt E gaat het bewijs op dezelfde manier c. BAE30o_en__AEB _₉₀o

V-3.

a. 1. BMC  BAD (F-hoeken)

2. BAD  MAD MDA (VMAD is gelijkbenig) 3. ADM  DMC (Z-hoeken)

4. BMC  DMC (volgt uit 1, 2 en 3) Dus MC is de bissectrice van BMD

b. 1. EM DM en BM AM (straal cirkel) 2. EMD DMA (overstaande hoeken) 3. VEMBVDMA (ZHZ, volgt uit 1 en 2) 4. BEM  ADM (volgt uit 3)

5. AD // EB (volgt uit 4: Z-hoeken)

c. BMD BMC CMD  2 CMD  2 BED

V-4.

a. De hoekensom van een vijfhoek is 3 180 o 540o_{. De vijf hoeken zijn even groot,}

dus 540

5 108

EAB

   o

.

b. AE ED, dus VADE is gelijkbenig. Dat betekent 180 108 2 36

EAD EDA 

     o

. c. 1. EAD  AEB36o_{(volgt uit b)}

2. ASE 180o 2 36o 108o_{(hoekensom driehoek)} 3. ASB 180o108o 72o_{(gestrekte hoek)}

d. AEB CED36o_{(volgt uit b)}

108 2 36 36

BEC

  o  o  o_{(volgt uit a)} V-5.

a. De hoekensom van een achthoek is 6 180 o 1080o_{. De acht hoeken zijn even} groot, dus 1080

8 135

BAH

(2)

b. MA MG (straal) dus VMAG is gelijkbenig en rechthoekig (AMG90 ) 180 90 2 45 MAG MGA       o 180 45 2 45 22,5

GAH MAH MAG 

        o c. 180 135 2 22,5 MAD     o d. 180 45 2 22,5 90

ADE ADM MDE 

      o  o

V-6. a/b/c.

d. De hoogtelijn van een gelijkzijdige driehoek met zijde 6 is 3 3

Het middelpunt is het snijpunt van de zwaartelijnen en die delen elkaar in de verhouding 1:2

De straal van de ingeschreven cirkel is 1

33 3  3 en die van de omgeschreven cirkel is 2

33 3 2 3. V-7.

a. Een vierkant en een rechthoek. b. Een vierkant en een ruit.

V-8. a./b.

c. Als dat middelpunt buiten de driehoek ligt dan heeft de driehoek een stompe hoek.

(3)

1. a./b.

c. De diagonalen van een rechthoek zijn even lang en delen elkaar middendoor. d. MA MB MC  MD dus A, B en C ligt op de cirkel met middelpunt M en M is het

midden van AB.

e. Als in driehoek ABC hoek C een rechte hoek is, dan ligt C op een cirkel met middellijn AB. 2. a. b. 1. MA MC (straal) 2. VMAC is gelijkbenig 3. CAM  ACM 

c. Ditzelfde geldt voor VBCM, dus BCM  CBM 

d. 1.      A B C 180o_{(hoekensom driehoek)}

2.   (  ) 2  2 2(  ) 180 o

3.    C   90o

3. ACB ADB90o_(Thales)

AC BC , dus VABC is gelijkbenig wat inhoudt dat 180 90

2 45 BAC ABC       o 180 90 40 50 ABD   o o o  o_{(hoekensom driehoek)} 4.

a. C ligt op een cirkel met middellijn AB (Thales)

D ligt ook op deze cirkel met middellijn AB, dus ADB90o_(Thales) b. De hoekensom van een vierhoek is 360o

90 90 360 180 DAC C DBC D DAC DBC DAC DBC                   o o o o 5. 1. MP MR, dus RPM  PRM  (VMPR is gelijkbenig) 2. MQ MR , dus QRM  RQM  (VMQR is gelijkbenig)

3. 2 2 180o_{(hoekensom van een driehoek)}

4.    PRQ90o

6. a.

b. 1. AQB 90o_{(BQ is een hoogtelijn)}

2. Q ligt op een cirkel met middellijn AB (Thales). 3. APB 90o_{(AP is een hoogtelijn)}

4. P ligt op en cirkel met middellijn AB (Thales). 5. A, B, P en Q liggen op een cirkel (volgt uit 2 en 4) c./d. Nee, daarmee verandert het bewijs niet.

7.

a. VABC: VDEC (zhz): zijden hebben dezelfde verhouding en een

(4)

b. ADEF is een rechthoek

c. De diagonalen van de rechthoek ADEF delen elkaar middendoor. Het snijpunt S is het middelpunt van de omgeschreven cirkel.

90 AGE

  o_{, dus G ligt op een cirkel met middellijn AE (en dus middelpunt S)} (Thales).

d. Het middelpunt S ligt op het midden van AE. 8.

a. 1. BDH 90o_{, dus D ligt op een cirkel met middellijn HB (Thales)} 2. BFH 90o_{, dus F ligt op een cirkel met middellijn HB (Thales)} 3. De punten B, D, H en F liggen op een cirkel. (volgt uit 1 en 2). b. AFHE, CDHE, ABDE, BCEF

9.

a. 1. AM CM (straal)

2. AMB  CMD (gegeven) 3. MB MD (straal)

4. VAMBVCMD (ZHZ, volgt uit 1, 2 en 3) 5. AB CD (volgt uit 4)

b. boog AB is het ₃₆₀AMBo -ste deel van de hele omtrek, ofwel ₃₆₀AMBo omtrek

c. Omdat de bijbehorende hoeken gelijk zijn. 10.

a./b.

c. 1. AM BM (straal)

2. MN is gemeenschappelijk

3. MNA MNB90o_{(MN is loodlijn)} 4. VAMN VBMN (ZZR, volgt uit 1, 2 en 3) 5. AN BN

11. 1. AMBM (straal)

2. MN is gemeenschappelijk 3. NA NB (gegeven)

4. VAMN VBMN (ZZZ, volgt uit 1, 2 en 3) 5. MNA MNB (volgt uit 4)

6. omdat ANB180o_{en 5 volgt dat}__MNA_{ }_MNB_₉₀o 12. a. BMC180o AMC100o b. omdat MB MC (straal) c. ABC MCB ( BMCV is gelijkbenig) 180 100 2 40 ABC     o

(hoekensom van een driehoek) d. AMC  2 ABC

e. 180 80

2 50

BAC 

   o

Dus geldt inderdaad dat BMC  2 BAC (zie a) 13. 1. BAC  MAC  MCA ( MAC V is gelijkbenig)

2. AMC 180o2_{(hoekensom van een driehoek)}

(5)

14.

a. 1. MAC  MCA ( MAC V is gelijkbenig) 2. AMC 180o2_{(hoekensom v.e. driehoek)}

3. AMS 180o AMC 180o(180o2 ) 2  

4. Op dezelfde manier kun je bewijzen dat als MBC MCB _{dan is} BMS 2

5. AMB  AMS BMS 22 2(  ) 2  ACB

b. Teken CM. Deze snijdt de cirkel in punt S.

1. AMS   2 ACS en BMS  2 BCS (volgt uit opgave a) 2. BMS  AMB AMS, dus AMB  BMS AMS

3. BCS  ACB ACS, dus ACB  BCS ACS

4. (volgt uit 1 en 2)

5. AMB   2 BCS  2 ACS   2 ( BCS ACS)

6. 2 ACB180o BMC AMS AMB

15.

a. Te bewijzen: APB AQB

b. 1. 1

2

APB AMB

    (stelling van de omtrekshoek)

2. AMB   2 AQB (stelling van de omtrekshoek)

3. APB  AQB (volgt uit 1 en 2) 16. C ligt op de cirkel met middellijn AB.

1 1

2 2 180 90

ACB AMB

      o o

(stelling van de omtrekshoek) 17.

a.

b. ACB APB (stelling opgave 15)

c. De omtrekshoeken moeten op dezelfde boog staan. 18.

a. AEB ACB (constante hoek)

b. AQ B1  ACB AEB, dus Q1B // EB (F-hoeken)

c. maar ze hebben een snijpunt, namelijk B. d. AQ B2  ACB (constante hoek)

2

AQ B ACB AEB

     , dus Q2B // EB en dat leidt tot een tegenspraak want ze

hebben een snijpunt B.

e. Punt Q kan niet binnen de cirkel liggen en ook niet buiten de cirkel, dus Q moet wel op de cirkel liggen.

19. 1. 6 9 12

4  6 8 dus VABC: VDBE (zzz) 2. BCA BCD BED (volgt uit 1)

3. B, C, E en D liggen op een cirkel (constante hoek, volgt uit 2) 20.

a. DBC DAC 20o_{(constante hoek)}

b. DAC ACB (boog en koorde en AB CD is gegeven) c. BSC180o 2 20o 140o_{(hoekensom van een driehoek)}

180 140 40

ASB

(6)

21.

a. 1. PTR  STQ (overstaande hoeken) 2. RPQ  RSQ (constante hoek) 3. VPTR: VSTQ (hh, volgt uit 1 en 2) b. Uit de gelijkvormigheid volgt: PT TR

ST TQ ofwel PT TQ ST TR   22. Teken PS en QR. 1. QRT  SPT (constante hoek) 2. T is gemeenschappelijk 3. VPST : VRQT (hh, volgt uit 1 en 2) 4. PT RT

ST QT (volgt uit 3) en dus geldt ook weer PT QT ST RT

23. 1. CAD CBD (constante hoek)

2. CAD RAP en CBD QBP (overstaande hoeken) 3. RAP  QBP (volgt uit 1 en 2)

4. PR PQ (boog en koorde) en dus is VPQR gelijkbenig. 24.

a. Dan zijn ABC ADC 90o_(Thales)

en dan is DAB DCB360o 2 90o180o (hoekensom vierhoek) b. samen zijn ze 360o_. c. 1 2 ABC    (omtrekshoek) d. 1 1 1 2 2 (360 ) 180 2 ADC AMC         o  o e. 1 1 2 (180 2 ) 180 ABC ADC        o  o_{(volgt uit c en d)} 25. 1. CAP CQP 180o_{(koordenvierhoek)} 2. CQP DQP 180o_{(gestrekte hoek)} 3. CAP  DQP (volgt uit 1 en 2)

4. DQP DBP 180o_{(koordenvierhoek)}

5. DBP DBS180o_{(gestrekte hoek, met S op lijn AB rechts van B)} 6. DQP  DBS (volgt uit 4 en 5)

7. DBS  CAP (volgt uit 3 en 6) 8. AC // BD (F-hoeken, volgt uit 7) 26.

b. ACB ADB (constante hoek)

c. BDC BAC, CBD CAD, ABD ACD

27.

b. 1. ABC ADC 180o_(gegeven)

2. ABC AEC 180o_{(koordenvierhoek)} 3. ADC  AEC (volgt uit 1 en 2)

4. DC // EC (F-hoeken) maar dat kan niet want ze snijden in punt C. c. Voor het punt D buiten de cirkel gaat het bewijs op analoge wijze. d. Dus D moet op de cirkel liggen.

(7)

28. Volgens de stelling van de constante hoek ligt P op de cirkelboog AB die door punt

Q gaat. Dus A, B, P en Q liggen op een cirkel en ABPQ is dus een

koordenvierhoek.

29. Stel: M is het snijpunt van de vier middelloodlijnen 1. M ligt op de middelloodlijn van AB: MA MB

2. M ligt op de middelloodlijn van BC: MB MC

3. M ligt op de middelloodlijn van AD: MA MD

4. Hieruit volgt dat MA MB MC MD   , dus A, B, C en D liggen even ver van punt M, en liggen dus op een cirkel met middelpunt M.

ABCD is een koordenvierhoek. 30.

a. 1. P ligt op een cirkel met middellijn AS (APS90o_{en Thales)} 2. TP TS (straal)

3. TPS  TSP (VTPS is gelijkbenig, volgt uit 2)

b. 4. Op dezelfde manier kun je in driehoek BSQ bewijzen dat SQU  USQ

5. TSP  USQ (overstaande hoeken)

6. TPU  TPS  SQU  TQU (volgt uit 3, 4 en 5)

7. T, U, Q en P liggen op een cirkel (constante hoek, volgt uit 6) TUQP is een koordenvierhoek.

31.

a. In de rechthoekige driehoek ABM is AM de schuine zijde en dus is MB MA . b. punt B ligt dus binnen de cirkel.

c. Dus de lijn k snijdt de cirkel in een tweede punt en is dus geen raaklijn.

32. Als een lijn door een punt R op de cirkel loodrecht staat op de straal MR, dan is de lijn een raaklijn aan de cirkel.

Stel: de lijn is geen raaklijn aan de cirkel. Dan is er nog een punt S waar de lijn de cirkel snijdt.

MRS

V is gelijkbenig (MR MS : straal), dus MSR  MRS90o_{(want de lijn} door R staat loodrecht op de straal). Dat kan niet, dus de lijn moet wel een raaklijn zijn.

33.

a. MRP90o_{(raaklijn aan cirkel)}

b. de omtrekshoek RSQ is de helft van de middelpuntshoek RMQ. c. 1. MRQ MRP PRQ90o PRQ

2. MR MQ , dus VMRQ is gelijkbenig 3. MQR  MRQ (volgt uit 2)

4. RMQ180o 2 (90o PRQ) 2  PRQ_{(hoekensom v.e. driehoek en 1, 3)}

5. 1 1 2 2 2 RSQ RMQ PRQ PRQ           (omtrekshoek) 34. 1. PM is gemeenschappelijk 2. MA MB (straal)

3. MAP  MBP 90o_{(raaklijn aan cirkel)} 4. VPMAVPMB (ZZR, volgt uit 1, 2 en 3) 5. PA PB (volgt uit 4)

(8)

35. AB raakt de cirkel in R; BC raakt de cirkel in S; CD raakt de cirkel in T en AD raakt

de cirkel in U.

Met behulp van opgave 34 volgt: AR AU, BR BS , CS CT en DT DU AB CD AR RB CT TD   AU SB CS UD   

AU UD CS SB   AD BC

36. 1. MB MP (straal), dus VMBP is gelijkbenig. 2. MBP  MPB (volgt uit 1)

3. BMP 180o2_{(hoekensom v.e. driehoek)}

4. APM 90o_{(raaklijn aan cirkel)}

5. MP MA (straal), dus VAMP is gelijkbenig. 6. PAM  APM (volgt uit 5)

7. AMP 180o 2 (90o) 2 _{(hoekensom v.e. driehoek)}

8. AMB AMP BMP 2 (180o2 ) 180  o_{: A, M en B liggen op één lijn.}

37. 1. QAP  ABP (hoek tussen raaklijn en koorde)

2. omdat de twee cirkels even groot zijn geldt bg QS bg AP

3. AP QS (boog en koorde)

38. 1. SPB  PAB (hoek tussen raaklijn en koorde) 2. SQB  QAB (hoek tussen raaklijn en koorde) 3. PSQ 180o  _{(hoekensom v.e. driehoek)}

4. PSQ PAQ180o    (  ) 180 o_{(volgt uit 1, 2 en 3)}

5. AQSP is een koordenvierhoek (koordenvierhoekstelling, volgt uit 4) 39. a. b. 1 2 ACB AMB     en 1 2 DBC CMD     (omtrekshoek)

c. APB PBC PCB (stelling v.d. buitenhoek)

1 1 1

2 2 2( )

APB DBC ACB CMB AMB CMB AMB

               d. e. 1 2 ADB AMB     en 1 2 CBD CMD     (omtrekshoek) f. 1 2 180 180 BDP ADB AMB   o   o  _{(gestrekte hoek)} 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 180 180 (180 ) 180 180 ( ) APB PBD BDP CDM AMB

CDM AMB AMB CDM AMB CDM

            

             

o o o

o o

40. 1. ABR 90o_{(Thales, want AR is middellijn)} 2. BQC 90o_{(CQ is hoogtelijn)}

3. HC // BR (F-hoeken, volgt uit 1 en 2)

4. Op dezelfde manier kun je bewijzen dat CR // HB: BQ is hoogtelijn en ACR90o_(Thales).

5. CHBR is een vierhoek met twee paar evenwijdige zijden: een parallellogram. 41.

a. Als S en T samenvallen dan ligt S op de omgeschreven cirkel. b. ACT  BCT, dus bg AS bg BS

(9)

c. 1. AT BT (boog en koorde)

2. Uit 1 volgt dat T op de middelloodlijn ligt van AB.

d. T ligt op de middelloodlijn van AB. Dus T is het snijpunt van de middelloodlijn en de

deellijn van hoek C. S is ook het snijpunt van de bissectrice van hoek C en de middelloodlijn van AB, dus S T .

42.

a. 1. CSD90o_{, dus S ligt op een cirkel met middellijn CD (Thales)} 2. KC KS KD  (K is het midden van CD (gegeven) en volgt uit 1) 3. KCS  KSC (VKCS is gelijkbenig, volgt uit 2)

4. KSC  ASL (overstaande hoeken) 5. ASL KCS (volgt uit 3 en 4) b. 1. ACD ABD (constante hoek)

2. BSL90o ASL90o ACD_{(volgt uit a)}

3. BLS 180o BSL ABD_{(hoekensom v.e. driehoek)}

4. BLS 180o(90o ACD) ACD 90o_{(volgt uit 1, 2 en 3)}

T-1.

a. 180 70

2 55

ABC 

   o_{(hoekensom v.e. gelijkbenige driehoek)} b. AEB90o_(Thales)

180 70 90 20

CAE

  o o o o_{(hoekensom v.e. driehoek)} c.  90o

d. 180 1

2 90 2

CAB  _

   o

(hoekensom v.e. gelijkbenige driehoek)

1 1 2 2 1 2 1 2 180 90 90 (90 ) (90 ) 180 2( ) 180 90 CAE EAM AME MEC                             o o o o o o o o e. ACE AME   180o  180o

Vierhoek AMEC is een koordenvierhoek (koordenvierhoekstelling) en dus ligt M om de omgeschreven cirkel van driehoek AEC.

T-2.

a. 1. APB 90o_(Thales)

2. ADE 90o_{(AP en CE snijden elkaar loodrecht)} 3. PB // CE (F-hoeken, volgt uit 1 en 2)

b. BPE  CEP (Z-hoeken)

c. 1. CEP  CAP (constante hoek) 2. BPE  BAE (constante hoek) 3. BAE  PAC (volgt uit 1 en 2)

(10)

T-3. 1. BAD  BED (constante hoek)

2. QPC  BED CBE (buitenhoek VBEP) 3. ADE  ABE (constante hoek)

4. PQC  CAD ADE (buitenhoek VADQ) 5. BAD  CAD en CBE  ABE (deellijnen)

6. BED  BAD CAD en CBE  ABE  ADE (volgt uit 1, 3 en 5) 7. QPC  CAD ADE  PQC (volgt uit 2, 6 en 4)

8. VQPC is gelijkbenig, dus CP CQ

T-4.

a. BDQP en ACQP zijn koordenvierhoeken

b. 1. QPB QDB180o_{(koordenvierhoekstelling)} 2. QPA QCA180o_{(koordenvierhoekstelling)} 3. QDB  QCA (QPA QPB en uit 1 en 2) 4. DB // CA (F-hoeken, volgt uit 3)

T-5.

a. dan moet TRB BQP (Z-hoeken)

b. TRB RAB (hoek tussen raaklijn en koorde) c. 1. PAB 180o RAB_{(gestrekte hoek)}

2. PAB BQP 180o_{(koordenvierhoekstelling)}

3. BQP 180o PAB180o(180o RAB) RAB_{(volgt uit 1 en 2)}

4. PQ // k (volgt uit a, b en 3)

T-6. 1. PAB  PBA (VABP is gelijkbenig) 2. PAB  PCB (constante hoek)

3. CBP  CDP DCP  (constante hoek en gelijkbenige driehoek) 4. DCB DCP BCP    (volgt uit 1, 2 en 3)

5. ABC  CBP ABP    (volgt uit 1 en 3)

6. DCB ABC (volgt uit 4 en 5), dus AB // CD (Z-hoeken) T-7.

a. 1. BAD BCD180o_{(koordenvierhoekstelling)} 2. BCD PCQ (overstaande hoeken)

3. PCQ 180o CPQ CQP_{(hoekensom v.e. driehoek)}

4. BAD180o BCD180o(180o CPQ CQP) CPQ CQP b. 1 2 BPS BPC     (bissectrice) 180 BPC BAD ADC

  o    _{(hoekensom v.e. driehoek)}

1 1

2(180 ) 90 2( )

BPS BAD ADC BAD ADC

  o     o    c. 1 2 90 ( ) CQS ABC BAD   o    _{(analoog aan b)}

d. 1. SPQ 180o SPQ SQP_{(hoekensom v.e. driehoek)}

2. SPQ  SPC CPQ en SQP  SQC CQP 3. SPC SQC  SPB SQC  1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 90 90 180 ( ) 180 180 90

BAD ADC ABC BAD

BAD ADC ABC BAD BAD

         

              

o o

o o o o