De conus met konstante wanddikte volgens Fluegge als ana-element: theoretische achtergronden, stijfheidsmatrix, kinematisch konsistente knooppuntskrachten en spanningsrelaties

De conus met konstante wanddikte volgens Fluegge als

ana-element

Citation for published version (APA):

Menken, C. M. (1972). De conus met konstante wanddikte volgens Fluegge als ana-element: theoretische achtergronden, stijfheidsmatrix, kinematisch konsistente knooppuntskrachten en spanningsrelaties. (DCT rapporten; Vol. 1972.001). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1972

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

1 . 2 . Opzet van de 4x4 stijfheidsmatrix.

2. De membraamoplossing.

2 . 1 . Theorie

2 . 2 . De stijfheidsmatrix

2 . 3 , De invloedsgetallen.

3 . De opzet van de 6x6 stijÍheidSmatrix vaii de cûiìii8. 3 . 1 e Definities

3 e 2 Relaties

3 . 3 . Opzet 6x6 stijfheidsmatrix.

4 , Het in rekening brengen van de inwendige druk.

5. Spanningsberekening.

5.1. Verband tussen integratieconstanten en randverplaatsingen,

5 . 2 . Verband tussen spanningen en integratieconstantena.

6. Literatuur.

In1 e id Bng

Bij het oplossen van lineaire elasticiteitsproblemen met de elementenmethode kan het sams nüttig eiSn gebr.uik ee naken vau reeds bekende analytische oplns- singen van grotere konstruktiedelen.

Enerzijds is het bij een bekende analytische oplossing niet nodig benademingen met de elementenmethode te zoeken. Anderzijds kan het aantal vrijheidsgraden beperkt worden, wat eventueel tot kortere rekentijden kan leiden.

Binnen de associatie Progel is het de taak van de werkgroep Ana-elementen VODP

een aantal veel gebruikte konstruktiedelen de reeds bekende analytische oplos- singen te herformuleren op een wijze die aansluit bij de elementenmethode. E& groep van zulke konstruktiedelen wordt gevormd door de dunwandige omwen- telingsschalen onder rotatorisch symmetrische belasting. Een benaderingsoglos- sing voor de algemene onrwentelingsschaal I s gegeven door oiter

[I].

Deze

benadering zal echter 'bij stompe conussen onnauwkeurige resultaten geven. Daarom is het nuttig ter vergelijking of vervanging te beschikken over de stijfheias- matrix volgens de theorie van Flfigge [219 die ook bij stompe tophoeken goed

vo Idoe t .

De in de literatuur voorkomende analytische oplossingen beperken zich veelal tot de homogene oplossing van het probleem, welke hoort bij de axiaal onbelaste schaal. Bij aanwezigheid van inwendige druk en axiale belasting wordt veelal niet de partikuliere oplossing toegevoegd,doch de membraamoplossing als een goede benadering voor deze gesuperponeerd. Ook deze membsaamoplossingen zijn in de literatuur te vinden. Een algemeen belastingsgeval wordt daarom als volgt opge- splitst in een deel zonder axiale belasting en inwendige. druk (geval I) en een membraambelasting (geval

11):

r

Dit rapport presenteert de werkwijze om gebruik makend van d e bij beide belas- tingsgevallen horende analytische oplossingen de stijfheidsmatrix op te zetten voor het algemene geval.

Daartoe wordt de betreffende theorie kort herhaald.

De inwendige druk wordt in de elementenmethodegerepresenteer& door zogenamde kinematisch

voor het geval van lineair verlopende inwendige druk, in dit rapport gegeven, samen met de uitdrukkingen voor de spanningsberekening in een willekeurig punt van de conus.

konsistente knooppuntskrachten. Deze knsoppuntskrachten worden,

i . Symbolen die een vecto'r aanduiden onderscheiden zich niet door over- of onderstreping van andere symbolen.

2. Indien een vector zonder meer met een symbool wordt aangegeven wordt een kolomvector bedoeld. De getransponeerde van zo'n vector of van

d T

een matrix wordt aangegeven met een accent boven het symbool: a P a

3 . Vectoren die van een sterretje zijia voorzien bevatten elementen die combinaties zijn van de cartesische componenten van krachten of ver- plaat singen.

-€

-De r e l a t i e s tussen naohenten en krommingen: met: en : dX

x

= (- d s

'S)

51a. wordt ì4 S 5 1 b . wordt fl = K (-

x

+V-) dX

e

s d s E t 3 K = 1 2 ( 1 4 ) dw

x = =

D e r e l a t i e s tussen normaalkrachten en rekken:

d V

S d s u )

S

9a.(ila) wordt N = D (- +v- scos o

OV U 9b.(lllb) wordt N, = D(- + u E t

1

-v m e t : D = 7 d v s d s S & = - U E = -

e

s C O S ~ ( 1 . 1 . 4 ) (lal.5) (1.1.6) ( l a l * 7 ) ( i . 1.8) (1.1.9) (1.1.10) ( 1 . 1 . 1 2 ) ( I . I . 13) E r wordt een s i m u l t a a n s t e l s e l i n sQ en

x

o p g e z e t . Plet ( 1 - 1 . 4 ) en

( 1 . 1 - 5 ) kunnen d e momenten i n ( 1 . 1 - 3 ) worden weggewerkt.

S

Q d2X I dX

52a. wordt dan:

+

- -

-

x

-

d s s d s

7 - z -

( 1 . 1 . 1 4 ) D e d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g n a a s t ( I .

1

14) moet nog b e v a t t e n

( 1 . 1

e 11, (1.1e2), ( 1 . 1 . 8 ) en ( 1 . 1 . 9 ) . I n v e r s i e v a n d e r e l a t i e s t u s s e n normaalkrachten en r e k k e n g e e f t : (Ns - v N ~ ) dvs - 1 - - - d s E t ( 1 . 1.15) ( 1 . 1 16)

- 5 - d v S d s g e ë l i m i n e e r d d o o r e e r s t d e S U i t d e z e r e l a t i e s worden v en

-

l a a t s t e r e l a t i e t e d i f f er e n t i&- en : d v d s E l i m i n a t i e v a n -2 g e e f t dan: dNe dNS S (F

-

u-) + (I+U) (Ne-uNs) cota

x

=-Et

as ( 1 . 1 . I S ) ( i e li. 18) V e r v o l g e n s worden d e e v e n w i c h t s r e l a t i e s g e b r u i k t om N u i t t e drukken. E l i m i n a t i e v a n M u i t

( 1 . 1 . 1 )

en ( 1 . 1 - 2 ) g e e f t : en N

e

S i n Qs

e

d

isTU'

j& + d d s S L l , C " 3 2 a

-

d s ( S Q s )Us = 2nprcns2adc h s i n a c o s a

-

(

1

e 1.19) en d i t i s h e t a x i a l e evenwicht van h e t r i n g e t j e ds. I n t e g r a t i e g e e f t : 2 ~ r s i n a c o s a ( s N ) -+ 2ncos2a ( s o ) = 2 7 ~ c o s ~ a

is

s"pds* + C S S s ( I . I .20)

1

C i s h i e r i n een i n t e g r a t i e k o n s t a n t e d i e d e bekende of onbekende

a x i a l e b t i l a s t i n g aan d e rand s van d e conus v o o r s t e l t (of d e punt- k r a c h t op d e t o p b i j e e n g e s l o t e n conus).

Beperken w i j ons nu t o t d e buigoplossing b i j afwezigheid var, inwendige d r u k en axiale r a n d b e l a s t i n g dan g e e f t d i t voor N :

1

S

Ns =

-

Q s c o t a

Met ( I .

1.2)

kan ook Ne worden u i t g e d r u k t i n Q :

S d d s Ne =

-

cots

-

( s Q S ) D e twee l a a t s t e r e l a t i e s gebruikend k r i j g e n we v o o r X : ( I .

1.21)

( 1 . 1 . 2 2 ) (

1 .

I e 23)

-D(

1 - v q

x

c o t a

W e d e f i n i ë r e n nu d e v o l g e n d e l i n e a i r e o p e r a t o r :

H e t simultane s t e l s e l ;.iet er dan a.v. u i t :

D e o p e r a t o r L n o p a a i s op ( í . i s 2 8 ) zoepassen g e e f t : L (XI -D( i-V') c o t a LL(sQ ) = S

Door d e eerste r e l a t i e t e gebruiken kan X worden weggewerkt:

( i . 1 . 2 7 ) ( 1 . n . 2 9 ) reëel en U > O. (iai.25)

( a .

1.30) ( i . 1.31)

Omdat L een l i n e a i r e o p e r a t o r i s , k a n d e z e r e l a t i e op twee manieren worden geschreven:

L(L(sQ~)+ iFi2(sQs))

-

iu2(L(sÇ ) + i p 2 ( s Q ) ) = O

( 1

I . 3 3 )

S S

D e f i n i e e r R := L(sQs) + i u 2 ( s Q ) . Daarmee wordt het s t e l s c l :

S L ( R )

-

iU2n = O

~ ( 5 )

+ i p 2 5 = O ( i . 1 . 3 4 ) ( I . I . 3 5 ) ( 1 . I . 3 6 ) ( 1 . 1 . 3 7 )

- 7 -

Er zijn dan twee oplossingen te zien; de nuloplossingen:

( i

.

I . 38)

12 =

o

-

R = O ( I . 1.39)

Deze zijn onafhankelijk omdat ~r p O.

Ket oplossen van de 4-de orde vergelijking (lela32) is hiermee terug- gebracht tot het oplossen van twee tweede-orde vergeiijkingen.

L(sQs)

-"-

iFi2(SQS) = 0 (1.1.40)

In Flugge, pag. 372 worden deze vergelijkingen omgewerkt tot toegevoegd komplexe Besselfunkties met komplexe argumenten. Deze kunnen worden ge- schreven als Thomson funkties. De oplossing voor 1 . 1 . 3 2 wordt:

1

O '5 =

-

" L

I

A: 1 (bery-2y-lbei'y) + A7(beiy

-

+ 2y-lber'y)

+

Bl(kery

-

2 ~ - ~ k e i " y ) + B (keiy + 2y-'ker'y)

1

( 1 . 1 . 4 1 )

2 met:

y: = 2P ( I e I . 4 2 )

Hiermede i s de homogene vergelijking bij afwezigheid van axiale belas- ting opgelost, waarna in principe alle andere onbekenden bepaald kunnen worden. Een aantal relaties staat in FlÜgge, pag. 3 7 3 , waarvan de

volgende gebruikt worden:

+ A2(ybei'y

-

2beiy

-

4y-'bervy)

+

B 1 (yker'y

-

2kery + 4y-lkei'y)

I

+ B2(ykeiqy

-

2keiy

-

4 y - I ker'y)

( 1 . 1 . 4 3 )

-2

-1

M s = 2y ybei'y - 2(1-v)(beiy + 2y ber'y)

-

A2( yber'y

-

Z(l-v)(bery

-

2y-lbei'y)

i- Bi[ykei'y

-

2( I-v)(keiy + 2y ker'y)

yker'y

-

2(1-u)(kery

-

2y-lkei'y)

- 1

-

M e = 2y-2 bl{uybeily + 2(1-v)(beiy

+

2y 'berry)

-

A2{vyber'y

+

2(l-v)(bery

-

2y bei'y) Vykei'y + 2(1-v)(keiy i- 2y 'ker'y)

vyker'y i- Z(l-v)(kery

-

2y kei'y)

-1

-

-1

2 m c o t a -. 9 [*,(beiy

+

Zy-lber'y)

-

A2(bery - Zy-lbei'y)

+

B (keiy + îgr-lker'y)

-

B2(kery

-

2y-lkei'y)

L '

L E L u =

1

1

( i . 1.45) ( I . 1.46)

( 1 .

I . 4 7 ) b e l a s t ingen fig. 1.2.1 Belastinggeval verplaatsingen I

- 9 -

Voor geval

1

kaii n u een stijfheidsmatrix worden opgezet die de relatie

aangeeft tussen randkrachten en randverplaatsingen. Om de conus op de juiste wijze te kunnen koppelen aan andere elementen wordt afgesproken dat het in- wendig produkt van belasting- en verplaatsingsvektor gelijk moet zijn aan de verrichte elastische arbeid. In dat geval wordt de stijfheidsmatrix symme- trisch. Kiezen we als belastingvektor:

dan moeten we voor de verplaatsingsvektor nemen:

(1.2.1)

(1.2.2)

$ *

I 1

De elastische arbeid is dan: 4 . 2 ~ ~ f

Om niet steeds 2 r te hoeven schrijven, beperken we ons verder tot de elastische arbeid per radiaal:

4

u f

*

Voor het opzetten van de 4x4 stljfheidsmatrix worden de relaties (i.i.43) t/m

(la1*47) samen met ( 1 . 1 . 1 6 ) gebruikt. We definiëren een matrix B die het ver- band geeft tussen de randbelastingen volgens Flcgge en de integratiekonctanten.

I I ’

= Bb ( 1 . 2 . 3 )

‘F ïiigge

met: 1

b

Het verband tussen onze belastingsvektor f

*

en f _luidt:

I FlUgge f; = T f ~ iiigge met: \ R 1

-

s ina O O - 1 , ’R2

- -

s incl Uit (1.2.3) en (1.2.6) volgt: f 3 = TBb _I (1.2.4) (1.2.5) (1.2.6)

1

(1.2.7)

met :

-1

(beryl

-

2yl bei'yl)

-

- R 1 t b l l s sina tbi2 s,sina 1

1

-1

R

(beiy + 2yl ber'yl)

1

- -

-1

R

(keryl

-

2yl kei'y

1

I tb = 13 s sina I ( i .2.8) - -2 tb2] =

-

2yl -2

{y 1 bei'y

1

-

2(î-v)(beiyl + 2yl 'ber'yl)l

-1

tb22 = 2yl {ylber'yl

-

2(1-v)(beryl

-

2yl beiqyl)l

{y

- 1

kei'y,

-

2(1-v)(keiy, + 2yl *ker'y,)} {y

1

keir'y 1

-

2(1-v)(keryl

-

2yl 'kei'yi)}

-

-2 tb-- 2 3 =-2y i

-

tb24 = 2Yl -2

tb31 t/m tb34 worden verkregen door In tb 1 1 t/m tbI4 de y 1 te ver- vangen door y 2 en RI/sI door -R2/s2.

t/m t b 44 worden verkregen door in t b 21 t/m tbZ4 de y ] te vervangen door y 2 en het geheel te vermenigvuldigen met - H .

We definiëren een matrix C die het verband geeft tussen de rand- verplrqtsingen en de integratiekonstanten:

tb4 li

( 1 . 2 . 9 )

- 1

- cosacota { -

1

ylbei'y + (l+v)beiy

1

+ 2 ( l + v ) y I _ber'yIl

cosacota { -

4

ylker'y + (l+v)kery I

-

2(I+v)yI lkeilyl}

c = Et 1 c -12

-

Et 1 13

-

co sac0 ta { -

i

ylkei9y f (l+v)keiy + 2(l+v)yl Iker'y1}

Et

1

1

c =

(Z I 'Z 'i>

-

KI

-

2 , De membraamoplossing

2 . 1 Theorie

_---

In deel

1 . 1

werden de algemene relaties volgens Flugge gegeven.

De bij de membraamoplossing horende relaties worden hieruit verkregen onder verwaarlozing van momenten en dwarskrachten:

-

evenwicht in s-richting: d

-(NsS>

_as

-

N e = O

-

evenwicht loodrecht op de s-richting: N e = pscota

-

verband tussen rekken, snedekrachten en verplaatsi

(2.1 e i >

( 2 . 1 . 2 )

( 2 . 1 . 3 )

(2.4. . 4 )

W i j beperken ons tot lineair verlopende inwendige drukken: p = à + b s

Membraamoplossingen zijn statisch bepaald, dus de snedekrachten z i j n uit de evenwichtsrelataes te bepalen.

De algemene oplossing van het stelsel (2.101) en ( 2 . 1 . 2 ) luidt:

1

1

S

1

3

PJ s =

c + (r

as2 +

-

h s 3 ) c o t a

Kiezen we N a l s randvoorwaarde, dan geeft dit:

Sl 1 1 C 1 = M s

-

(7

asI2 +

-

bs 3)c0ta s l 1 3 1 (2.1.5) ( 2 . 1 . 6 ) ( 2 . I . 7 )

(0 1 I

‘z)

-

EI

-

2.2. De Stijfheidsmatrix.

Ook voor de membraamoplossing wordt de stijfheidsmatrix opgezet. De mogelijkheid van starre beweging in axiale richting wordt voorlopig

nog buiten beschouwing gelaten doch eerst meegenomen bij het opzet- ten van de totale stijfheidsmatrix.

Hier zal daarom eerst een stijfheidsmatrix worden opgezet betrokken op vervormingen. Voorgaande theorie geeft relaties betrokken op de s-richting. Gewenst zijn relaties betrokken op de axiale richting en loodrecht daarop. Van nu af aan zullen bij de membraamoplossing horende verplaatsingen overstreept worden. De transformatieformules zijn (fig.2.2.1.): V2 = -N sin a s2

-

-

-

-

v e l = (ul cos a

- v

sin a ) en v,.> = ( u3 cos a

-

v2sina)

t -

0 1

(2.2.1)

a

belast ingen verplaatsingen

Fig.2.2.1 Belastinggeval

11.

Weer wordt afgesproken dat de belastingvector en de vervormingsvector zo gekozen worden dat hun inwendig product elastische arbeid is.

Voor de formulering van deze vectoren is de inwendige druk niet nodig. Deze kan daarom even buiten beschouwing gelaten worden.

-

15

-

Bij afwezigheid van inwendige druk wordt het vertikale evenwicht:

R V + R2V2 =

o.

( 2 . 2 . 2 )

1 1

Hiermee kan A worden uitgedrukt in

één

kracht en eec vervorming: I1 n met g I1 = RIVI v -v

-

(U

-u

)cot a en w it I1 = ( - 1

-

2 1 2 ( 2 . 2 . 3 ) ( 2 . 2 . 4 )

De gezochte stijfheidsmatrix geeft het verband tussen de z o gefor- muleerde grootheden. Met de in 2 . 1 gegeven relaties kan dit verband worden afgeleid. In het navolgende zullen de druktermen weer worden meegenomen.

Op grond van de transformatieformules ( 2 . 2 . 1 ) geldt:

'

= R I V I = R I N s l sin 01 g11 v 'V

- -

s 2 sl se

- -

= v -v

-

(u1-u2> cot a = I1 1 2 sin a W

Uit (2.1.7) volgt dan:

1

1

3 3 1 .I-

-

bs cot a* ic = s i n 01 c o s u

I c1

4- ( $ , s s * %I

\

Uit (2 a i e I

1

) volgt :

+

(3

-

v)?; 1 b ( s z 3 - s ' ) ) cot 0 1 1 1

Eliminatie van C 1 uit beide relaties geeft het gezochte verband:

2 2 1

1

2

-

-3-

(

( f - v ) i a ( s

-

s ) +(-.-

")Y

(s23-s

'3

cos

'

2 1 3 1 2 S In

(-1

" I ( 2 . 2 . 5 )

E

-

q 'S ( 3 SO ' I) +

'se!)

-

17

-

2.3. D e i n v l o e d s g e t a l l e n .

Naast s t i j f h e i d s r e l a t i e (2.2.6) kunnen nog r e l a t i e s worden opgezet d i e aangeven hoe g II e n d e inwendige druk m e t u I ( 1 . 2 . 2 ) overeen- komende v e r p l a a t s i n g e n u I1 veroorzaken: x m e t : u

= c

x + U I1 ug %I I I p H i e r i n b e v a t C d e i n v l o e d s g e t a l l e n t e r w i j l u d e b i j d r a g e van d e inwendige d r u k i s . ug I IP

-

-

De r e r p l a i t c i n g e n u.

1

en u, L volgen u i t (2.1.7) ( 2 . í . 1 0 ) en (2.2.1):

-

- v

1

u 1 -

-

E t s i n u R

1

V

1

+

-

E t (as12 + b s 1 3 ) coca c o t a V

1

3 R V

+

Et

+

-

b S 1 ) coca cota - v

-

3

-

- E t s i n a i I

+’[

( I - ;)as22

+

( i

-

T)bS2 V E t

-

-

-u = w s i n a

+

v C O S ~ S g e l d t v o o r

i:

-

c o t u U

-

w = - - v s i n a S en

Gebruik makend van (2.1.10) en (2.1.11) g e e f t d i t :

2 a

1

-R

-

R x = i i E t s

₁

s i n y a (2.3.11 (2.3.2) (2.3.3) (2.3.4) (2.3.5) (2.3.6) (2.3.7)

1

2 3 8 2 - -R2 R I V I +

E;[%

R2

1

( b a s l

+

-bs 3 13 ) ~ o t a +

(y

as2 +

-

3 b s 2 ) c o t R2X2 E t s 2 s i n u (2.3.8)

M e t de resultaten (2.3.3.), (2.3.7),(2.3.4) en (2.3.8) is (2.3.i): I I P x + u = %I te schrijven a l s : -V E t sina -cota E t sina - v E t sin a

-

c o t a E t sina is : I I P met u 1

-

(asI2 -I- bsI3) COS^ COW

= I IP E t U R 1 2 2

-

(2asl E t + 3bsl )cot a V 1 3 E t 3 1

-

( f a s I 2

+

-bs )coca c o t a +

-

Et V 1 3 2 3 8 2

+

-bs )cot a + (Tas2 + +s2 )cot a

3 1

-

19

-

3. Opzet 6 x 6 stijfheidsmatrix voor de conus.

Voor het opzetten van de stijfheidsmatrix zijn de druktermen niet nodig.

De belasting is gesplitst in (fig.3.1.)

-

een membraambelasting door aan de vertikale belastingen een ge- schikte horizontale component toe te voegen (geval 11)

-

een buigbelasting (geval I) die samen met de membraambelasting de oorspronkelijke belasting geeft.

I

fig. 3.1

3 . 1 . Definities.

We gebruiken de volgende belastinge- en verplaatsingsvectoren:

t : = @,Hl > M l ,R2H2,M2) 3.1.1. : = ( R V R V ) 3.1.2. fI ? g I1 1 1 ’ 2 2 (zie (i .2.2)) ( z i e (2.3.2.)) 3.1.3. 3.1.4. 3.1.5. 3.1.6. 3 . 1 . 7 . 3. I . 8 .

De b i j geval I horende belastingen worden samengevat

v X

+ R

v

cota,M1 R ~ + HR~~ cota, V ~ M ~ ) (zie (

De bij geval

IT

horende randbelasting verricht een elastische

fI = 1 1

die als volgt. te schrijven i s :

t AII =

1

gIIwII' met: 11'

-

-

-

;

- =

(GI

-

u 1 cota, v2

-

u2 cota)

.= (Vi -u 1 cota, v2

-

u2 c o t a )

Daarom definiëren we ook de bij geval I horende vector:

7 w I in : .2.2.)) arbeid 3.1.9 3.1.10 3.1.12 I1 w : = w + w

aen geschikte werkwijze v o o r h e t cpzetten van een stijfheidsmatrix

t I

..

.-3

.Ie

l, n n y c f = G I v c do starre beweging uit te sluiten. Daarom worden de volgende

VI .= (Vi

-

v2) vervormingsgrootheden gedefinieerd: 3.1.13 n.

-

-

VIP:= (Vi

-

v2) 3.1.14 3.1.15 X I1 v x - = . VIX -i- v t

-

(ul-u2)cota 6J x:= v 1

-

v 2 I (zie (2.2.4) 3.1.16 3 . 1 . 1 1 7 3 . 1 . 1 8 X x X w : = w I 4- WII t X X

B i j de vervorming w _I1 hoort de belastingvector g I1 = ( R I V i ) (zie(2.2.3)3.1.19

3 . 2 . Relaties:

We beschikken over de volgende relaties:

f I X = SIUI (zie(i.Z.IiI)en 1 . 2 . 1 2 ) ) (zie(2 e 2 e 6 )

1

(zie(2.3.1) en (2.3.9)) (zie(2.2.2)) X gIIx=

s

I1 w I1 X u = IT %I R I V I + R2V2 = O 3.2.1. 3.2.2. 3.2.3. 3.2.4.

-

21

-

B i j g e v a l I zou nog d e volgende r e l a t i e op t e z e t t e n z i j n :

X

= c

f X I wf I W E r z a l bewezen worden d a t h e t b i j b e k e n d e c ug n i e t nodig i s Cwf t e bepalen: B e t t i t o e p a s s e n op b e i d e g e v a l l e n l e e r t : v x 1

€1

uII = %IWI

Hiermee is ( 3 . 2 . 3 . ) dus ook t e s c h r i j v e n als:

Door nu r e l a t i e s ( 2 . 3 . 1 ) en ( 3 . 2 - 2 ) x singen u t e gebruiken kunnen d e v e r p l a a t - en vervormingen w I worden u i t g e d r u k t i n k r a c h t e n :

I1

X ' x H i e r u i t v o l g t :

r r

1

Tussen d e b e l a s t i n g s v e c t o r e n b e s t a a t een r e l a t i e , t e s c h r i j v e n a l s : Deze r e l a t i e d e f i n i e e r t T f . Voor de v e r p l a a t s i n g s v e c t o r e n g e l d t : W

I'1

t = TU 3 . 2 . 5 3 . 2 . 6 3 . 2 . 7 3 . 2 . 8 3 . 2 . 1 0 Hiermee wordt T U v a s t g e l e g d .

Ook t u s s e n T U en T f b e s t a a t een verband:

D e door d e t o t a l e r a n d b e l a s t i n g v e r r i c h t e a r b e i d kan i n

k r a c h t e n geschreven worden als

x doch u i t g e d r u k t i n f I Door (3.2.6) en ( 3 . 2 . 7 ) t e gebruiken i s d i t t e s c h r i j v e n a l s D i t moet g e l i j k z i j n aan ( 3 . 2 * 8 ) w a a r u i t v o l g t : 1 TUTf = I Daar Tf r e g u l i e r i s g e l d t dan: TcL----7 (3.2.1 i > 3.3. Opzet v a n d e 6 x 6 s t i j f h e i d s m a t r i x . Uitgangspunt vormen d e s t i j f h e i d s r e l a t i e s (3.2.1) en

(3.2.2):

(3.3.1) W i j zoeken e c h t e r h e t verband t u s s e n t o t a l e k r a c h t e n en t o t a l e v e r p l a a t - singen. I n h e t l i n k e r l i d s t a a n r e e d s (combinaties van) t o t a l e k r a c h t e n . H e t r e c h t e r l i d wordt met ( 3 . 1 . 7 ) en (3.1.8) omgevormd:

-

23

-

X

Hierin zijn u

weer uit te drukken i n krachtsgrootheden U l e ûûk i n h e t linkerlid en w I middels de invloedsgetallen ( 3 . 2 . 3 ) en ( 3 . 2 . 5 ) I1 voorkomen:

IFw;:

o

sII

De krachten worden naar het linkerlid gebracht:

r.

+

i

We definiëren: / ( 3 . 3 . 2 . ) I (Voor C

Dan geeft dit,mits Q

zie (2.3.9) terwijl volgens ( 3 . 2 . 8 ) geldt Cwf = C ₎

ug ug

-1

bestaat, de volgende relatie:

Hiermee is een 5 x 5 stijfheidsmatrix verkregen, betrokken op de ver- vormingen (o.a. w t ) . Dit komt doordat bij de membraamoplo.ssing de starre beweging in axiale richting buiten beschouwing werd gelaten door het axiale evenwicht te gebruiken.

Daardoor werd één randkracht (R 2 2 V ) geëlimineerd, terwijl van ver- plaatsingen (w t ) werd overgegaan op vervormingen (w t x).

X

De mogelijkheid van starre beweging wordt nu weex geïntroduceerd door:

-

de geëlimineerde randkracht (R 2 2 V ) weer in te voeren

-

van vervormingen weer over te gaan op verplaatsingen.

X

Dit betekent dat we nu het verband zoeken tussen (fI y gII) en (ut,wt).

Daar geldt:

( 3 . 3 . 3 . )

en op grond van R V = -R V 2 2

1 1'

h 4

gelden d e volgende relaties:

( 3 3 . 4 )

( 3 . 3 . 5 )

Uit ( 3 . 3 . 3 . 1 , ( 3 . 3 . 4 ) en ( 3 . 3 . 5 ) volgt:

x

In fI zitten nu nog combinaties van krachten en in wt combinaties van verplaatsingen.

Relaties ( 3 . 2 . 9 ) en (3.2.10) geven nu d e overgangen naar gewenste kracht- en gewenste verplaatsingsvectoren:

(L 'E E) (9.E

-

€1

[A-

o

O 0 O 0 O 0 L UBA puoi% do -

sz -

4 . Het in rekening brengen van de inwendige druk.

Wij beperken ons tot lineair verlopende inwendige drukken:

en p = a + b s met PlS2

-

p 2 9 s2

-

s a = 1

B i j aanwezigheid van inwendige druk zijn de benodigde relaties:

X fI = SIUI X IIP u

= c

g + u I1 ug I1 I Cwf = c ug (zíe(i -2. i i ) en ( i .2.12) (zi42.2.6)) (zie (2.3.1)) (zie(3.2.5))

Voor d e ten opzichte van het voorgaande extra druktemen

X en u geldt (zie(2.2.7) en (2.3.10)): %Ip I IP ( 4 . 1 ) (4.2) ( 4 . 3 ) (4 * O ) (4.7)

-

1

(asI2 i- bsl3)cosa c o t a Et 2 2

-

(2acl + 3bs

1

)cot a Et

b

-

1- h dIIg x S dI In I

-

LZ

-

(9 1 '9) c b cr I- I

5

I-

-

1 '1

py3 s =

;i>

-

29

-

i-

1

g11p

I,

. (4.17)

waarin f kI en gkII de zogenaamde kinematisch. consistente knooppunts- krachten bevatten die aan f I en gII als uitwendige belasting moeten worden toegevoegd om de inwendige druk in rekening te brengen. De voor het berekenen van deze

nodigde relaties z i j n : : zie ( 3 . 3 . 7 ) DTU O O 0 1 0

u

O U U i û O 0 0 0 1 O 0 0 0 O Q : zie ( 3 . 3 . 2 ) S I : zie ( 1 . 2 . 1 2 ) u ': zie ( 4 .

io)

IIP : zie ( 4 . 9 ) x g11p

knooppuntskrachten middels (4.15) be-

\ O O -Cot@

o

O

1

, : zie ( 4 . 1 3 ) %Ip

5 . De spanningsberekening:

Nadat bij een gegeven probleem de randverplaatsingen zijn opgelost kan het gewenst zijn de spanningen in bepaalde punten van de conus

te weten. Daartoe worden eerst d e integratieconstanten van h e t probleem uitgedrukt in de bekende randverplaatsingen, waarna - . . de

verplaatsingen, en dus ook de spanningen, als functie van de plaats in de conus bekend zijn.

5.1. Het verband tussen de integratieconstanten en de randverplaatsingen: Dit verband zal worden afgeleid op een wijze die volkomen analoog is aan de opzet van de 6x6 stijfheidsmatrix en de kinematisch sistente knooppuntskrachten:

con-

We beschikken over de volgende relaties: b = C uI - 1 (zie(i -2.9)) (zie (2 e 2 6)) X

= s

w"

-

%I IT I1 %Ip f XI X = TBb (zie(i.2.7))

c

ug I1 u = u + u t I W X " W X + W x t I

I1

(zie(2.3.9)) (zie (3.2.5)

1

(zie(3.2.8)) (zie(3.1.7)) (zie(3.1.18)) (5.1.1) (5.1.2) (5.1.3) (5.1.4) (5.1.5) (5.1.6) (5.1.7) (5.1.8)

Vector b (1.2.5) bevat de integratieconstanten van de (homogene) buigoplossing. Wij beschouwen g,, X als integratieconstante van de

X

L I

particuliere membraamoplossing daar bij bekende g I1 de snedekrachten be- kend zijn op grond van het statisch bepaald zijn.

De uitdrukkinge tot (zie(5.1.1)

;I

sII

voorde "integrat ieconstanten" zijn samen te vatten en (5.1 *2.)]:

(8 ' I 'S I

.

:1

;

3 o [IS I-

-

-

I- 3

01

IIS +I

r

3 0 *I S

o

o 3 . I-

-

I- i -

r

(O I e I '5)

x-

I- (6' 1 -5 1 n ; La O

-

33

-

5 . 2 . Het verband tussen de spanningen en de integratieconstanten. Voor het buigprobleem (geval I) zijn de integratieconstanten bekend e

De buigspanningen in s-richting (o. j en omtrekrieiiting <cob> z x j n :

..

sb

(5.2.1)

Waarbij (zie fig.l.l.2) het 7 teken V Q O ~ de binnenwand geldt en het

-

teken voor de buitenwand. De relaties tussen de buigende momenten en integratieconstanten zijndoor(l.l.45)en (imIe46) ge- geven. W;j kunnen schr ij ven :

met:

-2 s 1 1 = 2y

s 12 = -2y

s = 2y

' 1 4 = - 2 ~ - ~ (y ker'y

- ~ ( I - v )

(ker y

-

2y-I kei' y)) s2

1

= 2y-2 (vy bei'y + 2( i-v) (bei y + 2y ber'y)) '22 = -2y-* (vy ber'y

+

2(1-u)(ber y

-

2y-I bei'y)) '23 = 2y-2 (vy kei'y

+

~ ( I - v ) (kei y + 2y-' ker'y))

s 24 = - 2 ~ - ~ (vy ker'y f 2 (I-v) (ker y

-

2y-I kei' y)) (y bei'y

-

2(1-v)(bei y i. 2y-I ber'y))

( y ber'y

-

2(l-v)(ber y

-

Zy-'bei'y)) y kei'y

-

2( i - v j (kei y + 2y-I ker'y) -2

1

13 -2

(

- 1

(5.2.2. ) (5.2.3)

Bij geval I horen bovendien nog normaalkrachten N S en N

e

(zie (1.1.43) en (1.1.44). De daarbij horende spanningen zijn:

L

-1

f I 2 = bei y +2y ber'y

-1

= fy ber'y - ber y +2y bei'y f21

f22 = i y bei'y

-

bei y -2y-l ber'y

-1

f24 = ;y kei'y

-

kei y

-

2y ker'y.

"DIJ d e meiiìbraa~cplocsing ( g e v a l

11)

horen uitsluitend spanningen die constant zijn over de wanddikte.

Desnedekracht N S volgt nu uit (2. i .6) :

1

1

1 3

= -C -k ;(f as2

+

-

3 bs )cota

Ns s

1

De constante C 1 is door (2.1.7) gegeven:

1

3

e

= N s l s

-

($asI2 +

-

bsl >cotol Bedenken we dat N s l =

-

-

n 1

1

3 V

1

-

%I sina R sina 1

dan volgt voor N S :

1

1 1 S x

-

-

%I

Ns R1sina

-

S

+

-

S (Ja(s2

-

s I 2,

+

3b(s3

-

s

1

')) cots

Voor Ne geldt (2. I . 5)

2

Ne

= ( a s + bs )cota

De bijbehorende spanningen zijn:

[:i::]-

't

[N,]

De totale spanningen die constant zijn over de wanddikte worden gegeven door: (5.2.5.) ( 5 . 2 . 6 . ) (5.2.7) (5.2.8) (5.2.9) (5.2. 10) (5.2.1 I ) (5.2.12) (5.2.13)

-

35

-

6 .

1'

2 .

Literatuur.

Voorlopig rapport: "A general accurate solution of axially symmetric loaded shells of revolution". by W.T. Koiter and

G.D.C. Kuiken.

T . H . Delft, Afdeling der Werktuigbouwkunde, groep Technische Mechanica.

W. FlÜgge, "Stresses in Shells", Springer

-

Verlag, Berlin /GÖttingen/Heidelberg 1960.

Appendix A: werkwijze voor h e t i n v e r t e r e n van matrix C.

Zowel v o o r h e t o p z e t t e n van d e 4 x 4 s t i j f h e i d s m a t r i x ( 1 . 2 - 1 5 ) a l s

d e 6 x 6 s t i j f h e i d s m a t r i x i s d e g e ï n v e r t e e r d e matrix C n o d i g , I m e r s i e va2 d e zo g e f o m u l e e r d e matrix kan t o t numerieke m o e i l i j k - heden l e i d e n :

Voor hoge waarden van h e t argument mogen d e Thomson-functies worden benaderd door d e e e r s t e term van d e a s y m p t o t i s c h e r e e k s - o n t w i k k e l i n g

z i e n :

t e nemen, z o a l s aangegeven door Flugge op p.291.

Door d e m a t r i x C i n deze termen t e s c h r i j v e n i s t e z i e n waarom h e t i n v e r t e r e n m i s kan gaan. D e r e l a t i e g a a t er n a m e l i j k a l s v o l g t u i t -

. *

Als d e k r u i s j e s allemaal termen van d e z e l f d e o r d e v o o r s t e l l e n i s voor g r o t e y

d e l a a t s t e 2 kolommen verdwijnen nagenoeg, z o d a t er v i e r verge- l i j k i n g e n i n t w e e onbekenden o v e r b l i j v e n !

De r e l a t i e g a a t er veel b e t e r u i t z i e n door d e volgende t r a n s f o r - en g r o t e y

- 3 7

-

Het blijkt dat de z o verkregen matrix in een nog iets fraaiere

vorm gebracht kan worden.

Uitschrijven van de matrix l a a t zien:

-I

gemeenschappelijk in eerste r i j : By1; y I

'

en cos N, I 2 - -1 9 Y,

'

en R tweede rij: t -1

derde rij : ;y2; y2 en cos a

v 7

-1

9 Y2

'

en R2

2 3(1 Y

t

vierde rij:

De betreffende rijen, en dus ook de verplaatsingsvector, worden door deze factoren gedeeld,

gemeenschappelijk in derde en vierde kolom : (;)'

cot a

gemeenschappelijk in alle kolommen

-

Et

Door deze factoren OP te nemen in de vector met integratiecon- stanten, en niet in de matrix zelf, wordt de grof benaderde matrix C een stuk eenvoudiger: zie pag, 39.

Ook bij handhaving van de Thomconfuncties is voor grote y1 en y 2 ,

d.w.z. als vervanging van deze functies door de eerste term van de asymptotische reeksontwikkeling is toegestaan, te verwachten dat bovenstaande bewerkingen een beter te inverteren matrix zul- len opleveren:

De elementen van de nieuwe matrix C x gaan er dan a.v. uitzien:

-

-1

c

_{1 1}

= exp(- + 2(l+v)yI. ber y 1 - 4(l+v)yI 'bei'y]

- I -2

c = exp(

-1

(7)

'

-'

Y 1 (-kerryl + 2(l+v)yl ker yI-4(1+v)yI kei'y

5

.I .. . c I _,--. F hl v -au 1 - e N v I 2i-TP I a X W N m e

+

C .d ? m O .*.. . 'I

A2 B 1 B2 -a x H e t verband t u s s e n b en b l u i d t : Et cota

--

O 0 O

-

O 1 y2 ( 2 T ) S $xp(-

-1

6

Kortweg: b = AbA H e t verband t u s s e n u x en u l u i d t : û 1 t I O Y1

'1-1

O O L n U O O

o

- I 2 2y2

-

_{c o s a}

o

O X Kortweg: u = D u O O L R2

1

I

2

y2 u

₁

-

u. iû 20 u2

-

u Op d e z e w i j z e wordt d e g e b r e r t e e r d e v a n C C-' = A(CX)-ID

-1

H e t o p z e t t e n v a n C op d e z e w i j z e z a l v o o r g r o t e y

1

en y2 waarden een v e r b e t e r i n g betekenen. Omdat d e t r a n s f o r m a t i e v a n d e t e inver- t e r e n matrix C g e b a s e e r d i s op benaderingen d i e s l e c h t s b i j g r o t e

waarden t o e l a a t b a a r z i j n , i s n i e t bekend o f d i t b i j lagere waarden

een v e r b e t e r i n g z a l betekenen, en i n d i e n neen, boven w e l k e y 1 en y2- waarden i s h e t dan een v e r b e t e r i n g ? V o o r l o p i g zou v o l s t a a n kunnen x

worden m e t h e t o p z e t t e n v a n zowel de oude matrix C a l s d e nieuwe C

,

en v o o r b e i d e b i j v o o r b e e l d h e t c o n d i t i e g e t a l t e bepalen. D e matrix met d e b e s t e c o n d i t i e wordt d a a r n a g e b r u i k t om OP d e d a a r b i j passende