Veldentheorie¨
en op compacte
Riemannoppervlakken
Matthijs Pool
28 juni 2020
Bachelorscriptie Wiskunde en Natuur- & Sterrenkunde Begeleiding: prof. dr. Sergey Shadrin, prof. dr. Erik Verlinde
Institute of Physics
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde
Samenvatting
We bekijken de bosonisatie van λ = 12 chirale fermionen. Dit wordt gedaan na de eigenschappen van compact Riemannoppervlakken te bestuderen en een constructie te geven van de priemvorm. We drukken dan de correlatiefuncties van de bosonische en fermionische theorie uit in thetafuncties en de priemvorm. De bosonisatie wordt dan uitgevoerd door gelijkheid van deze correlatiefuncties aan te tonen.
Titel: Veldentheorie¨en op compacte Riemannoppervlakken Auteur: Matthijs Pool, matthijs.pool@student.uva.nl, 11847956 omslagfoto: verkregen uit [1]
Begeleiding: prof. dr. Sergey Shadrin, prof. dr. Erik Verlinde Tweede beoordelaars: dr. Mingmin Shen, dr. Marcel Vonk Einddatum: 28 juni 2020
Institute of Physics
Universiteit van Amsterdam
Science Park 904, 1098 XH Amsterdam
http://www.iop.uva.nl
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam
Science Park 904, 1098 XH Amsterdam
Inhoudsopgave
1 Inleiding 5
2 Riemannoppervlakken, differentiaalvormen en de Riemannse
billine-aire identiteit 7
2.1 Functies op een Riemannoppervlak . . . 8
2.2 Vormen . . . 9
2.3 Homologiebasis . . . 11
2.4 Poincar´eveelhoek. . . 13
2.5 Meer differentiaalvormen. . . 14
2.6 Riemannse bilineaire indentiteit. . . 15
3 Lijnbundels en divisoren 18 3.1 Lijnbundels . . . 18
3.2 Snedes . . . 20
3.3 Divisoren . . . 20
3.4 Holomorfe snedes van lijnbundels . . . 22
4 De stelling van Abel 23 4.1 Clasificatie op torus . . . 23
4.2 Jacobivari¨eteit . . . 24
4.3 Abel’s stelling . . . 25
5 De stelling van Riemann-Roch 27 6 Priemvorm 32 6.1 Thetafuncties . . . 32
6.2 Halfvormen . . . 35
6.3 Priemvorm . . . 35
7 Een klein overzicht van de veldentheorie 37 7.1 Gausische velden op Rn . . . 38
7.2 Gausisch veldentheorie . . . 39
8 Greense functies 41 8.1 Greense functies op het vlak. . . 41
8.2 Greense functies op de Riemannsfeer . . . 42
9 Veldentheorie¨en 44
9.1 Voorkennis . . . 44
9.2 Fermionische veldentheorie¨en . . . 47
9.3 Algemenere fermionische veldentheorie¨en. . . 52
10 Bosonisatie 54
10.1 Bosonisatie op de Riemannsfeer . . . 54
10.2 Bosonisatie op Riemannoppervlakken van genus g > 0 . . . 55
11 Conclusie 58
1 Inleiding
Zoals de titel van dit bachelorproject suggereerd, worden er veldentheorie¨en op compacte Riemannoppervlakken bestudeerd. De reden waarom dit fysisch interessant is, is mis-schien niet meteen duidelijk. Aangezien Riemannoppervlakken 1-dimensionale complexe vari¨eteiten zijn en de ruimtetijd een re¨eele 4-dimenionale vari¨eteit. De context voor dit project ligt ook in snaartheorie. In de algemene relativiteitstheorie bestuderen we ob-serveerders aan de hand van hun wereldlijn, wat het pad dat de oberveerder aflegt in de ruimtetijd. In de snaatheorie worden er geen puntdeeltjes bestudeerd, maar snaren. Deze snaren zijn 1-dimensionale objecten en dus maken zij geen wereldlijn, maar een wereld vlak. Het blijkt dat de wereldvlakken van gesloten strings beschreven kunnen worden met Riemannoppervlakken [2]. Of preciezer gezegd, de actie op een snaar kan worden omgeschreven naar een actie op een Riemannoppervlak.
Het blijkt dat de verstrooiingsamplitudes van verschillende processen kunnen in de snaartheorie pertubatief berekent kunnen worden. Voor de pertubatietheorie in de quantumveldentheorie wordt er over alle Feynmandiagrammen gesommeerd, waarbij elke Feynmandiagram een mogelijke interactie voorsteld. In de snaartheorie wordt er gesommeerd over compacte Riemannoppervlakken van een bepaald genus. In een Feyn-mandiagram draagt elke mogelijke manier waarop deze interactie kan gebeuren bij aan de kansamplitude die bij het Feynmandiagram hoort. Weer geldt er iets soortgelijks voor de snaartheorie, waar elk inequivalent compact Riemannoppervlak van een vast genus bijdraagt aan de kansamplitude die bij een genus hoort [2]. Voor de juiste stringtheo-rie geldt er dat deze verstrooiingsamplitudes de meetbare doorsnede van de verstooiing kunnen berekenen. Dit maakt het dus interessant om veldentheorie¨en op willekeurige Riemannoppervlakken te bekijken.
In dit bachelorproject wordt er een familie van fermionische veldentheorie¨en bekeken, die door de actie S[b, c] = 4πi1 R b∂c, met b een holomorfe λ vorm is voor λ ∈ 12Z en c een 1λ-vorm en een bosonische veldentheorie gegeven door de actie S[ϕ] = 4πi1 R ∂ϕ∂ϕ. Verder wordt er voor het geval λ = 12 een bosonisatie van de fermionische theorie be-schreven. Het blijkt dat de fermionische theorie in het algemene geval ook gebosoniseerd kan worden, zoals beschreven in [3]. Bosonisatie heeft veel toepassingen binnen de snaar-theorie.
Deze scriptie behandelt eerst de theorie van Riemannoppervlakken die nodig is om de veldentheorie¨en te snappen. Dit wordt op een analytische manier gedaan, waardoor de voorkennis die nodig is de wiskunde te begrijpen alleen maar topologie, differentiaal-meetkunde en complexe analyse is. Compacte Riemannoppervlakken kunnen ook heel algebra¨ısch beschreven worden, aangezien ze ook als projectieve krommen gezien kunnen worden. Deze wiskunde werkt toe naar thetafuncties en de priemvorm, welke handig zijn om de correlatiefuncties van de theorie¨en te beschrijven.
Daarna wordt de padintegraalformalisme behandeld, wat gevolgd wordt door het uit-werken van de correlatiefuncties van de te bestuderen veldentheorie¨en. Uiteindelijk wordt er in het laatste hoofdstuk de bosonisatie van het λ = 12 fermionsysteem besproken.
Ik zou graag mijn begeleiders Sergey Shadrin em Erik Verlinde willen bedanken voor de bersprekingen en het commentaar op de scriptie. Zonder hun uitleg was deze bache-lorscriptie niet mogelijk geweest.
2 Riemannoppervlakken,
differentiaalvormen en de Riemannse
billineaire identiteit
Een Riemannoppervlak is een complex 1-dimensionale holomorf manifold. Een Rieman-noppervlak heeft meer structuur dan een C∞-manifold en daardoor ook meer eigen-schappen. Een eigenschap die een Riemannoppervlak heeft, die niet alle C∞-manifolds hebben, is dat alle Riemannoppervlakken orienteerbaar zijn. Er geldt immers dat als we een holomorfe functie als functie van R2 naar R2 beschouwen, dat de jacobiaan al-tijd re¨el is en groter is dan 0. Zij f een holomorfe functie, f (x + iy) = u + iv. Voor holomorfe functies geldt dat ∂x∂ v = −∂y∂ u en ∂y∂v = ∂x∂ u. Dit zijn de bekende Cauchy-Riemannvergelijkingen. Nu geldt er dat
Det "∂ ∂xu ∂ ∂yu ∂ ∂xv ∂ ∂yv # = Det ∂ ∂xu − ∂ ∂xv ∂ ∂xv ∂ ∂xu = ( ∂ ∂xu) 2+ ( ∂ ∂yv) 2≥ 0.
Nu volgt uit de definitie van orienteerbaarheid dat het Riemannoppervlak orienteerbaar is.
Over compacte oppervlakken is veel bekend. Alle orienteerbare compacte oppervlak-ken liggen topologisch vast door hun genus [5]: Het oppervlak is homeomorf met een bol als hij genus 0 heeft en als hij genus g heeft is hij homeomorf met een g-torus. Het blijkt dat elk van deze topologische ruimtes een holomorfe structuur toestaat [4]. Sterker nog het is bekend dat er een unieke complexe structuur is op de bol, er op de torus een ´e´endimensionale familie en voor hoger genus oppervlakken geldt dat een 3g − 3 dimesionale familie is van complexe structuren.
Een voorbeeld van een compact Riemannoppervlak is de Riemannsfeer. De Rieman-nsfeer kan geconstrueerd worden als CP1. Op C2\ {0} met de standaardtopologie kun-nen we de equivalentierelatie ∼ defini¨eren, waarvoor geldt dat (z1, z2) ∼ (w1, w2) als
(w1, w2) = λ(z1, z2) voor een λ ∈ C\{0}. De vermenigvuldiging met λ wordt hier opgevat
als de vermenigvuldiging met een scalair in de vectorruimte C2. De topologische ruimte van CP1 is C\{0}
∼ en de equivalentieklassen worden aangegeven met [(z1, z2)] = [z1 : z2].
De complexe structuur kan vastgelegd worden door slechts 2 kaarten. De eerste kaart is de open verzameling U1 = {[z1 : z2] | z2 6= 0}. Omdat z2 6= 0 kunnen we voor alle
elementen in deze verzameling weergeven als [z1: 1]. Op deze open verzameling geeft de
afbeelding ϕ : U1→ C, [z1: 1] 7→ z1 een homeomorfisme met C. Analoog is er een kaart
U2 = {[z1 : z2] | z1 6= 0} met een homeomorfisme naar C, ψ : U2 → C, [1 : z2] 7→ z2.
biholomorfe afbeelding, want de inverse is ψ ◦ ϕ−1, C \ {0} → C \ {0}, z 7→ 1z is ook een holomorfe afbeelding.
Onder de identificatie van U1 met C en het punt [z1, 0] met ∞, is het mogelijk om
meromorfe functies te zien als afbeeldingen naar de Riemannsfeer. Holomorfe functies op het complexe vlak zijn nu holomorfe afbeeldingen naar de Riemannsfeer, maar meromorfe functies op het complexe vlak zijn dit ook. Voor een meromorfe functie f geldt immers dat voor elk punt z geldt dat f holomorf is in z of dat 1f holomorf is in z. Maar als f holomorf is in z
Een ander voorbeeld van een Riemannoppervlak is de complexe torus. Zij a, b twee re¨eel lineair onafhankelijke vectoren. Een roosterpunt is een punt van de vorm naa +
nbb met n,nb ∈ Z. Een rooster is de verzameling van alle roosterpunten. Zij Λ de
equivalentie relatie waarvoor geldt dat z ∼ w ↔ z − w ∈ {naa + nbb | na, nb∈ Z}. Deze
equivalentierelatie identificeerd alle complexe getallen met elkaar die een roosterpunt verschillen. Als topologische ruimte is de complexe torus het C/Λ. Nu moet alleen nog de complexe structuur worden vastgelegd. We kunnen als kaarten bijvoorbeeld voor elke z ∈ C een open bolletje B(z, min |a|, |b|) pakken. Deze verzamelingen zijn klein genoeg zodat de quoti¨entafbeelding π : C → C
Λ injectief is op deze verzameling. Nu volgt dus dat
deze kaarten homeomorf zijn met hun beeld. Ook zijn deze kaarten klein genoeg zodat de intersectie van de beelden onder de quoti¨ent afbeelding of leeg is of samenhangend. Hierdoor is de transitie-afbeelding gelijk aan een verschuiving met een roosterpunt. Dat is een biholomorfe afbeelding en dus geven deze kaarten een complexe structuur aan de torus.
2.1 Functies op een Riemannoppervlak
Nu willen we als eerst weten hoe holomorfe functies vanaf een compact Riemannopper-vlak eruit zien. Ten eerste merk op dat er holomorfe functies bestaat, want constante functies zijn holomorf. Nu zij f een holomorfe functie. De afbeelding |f | is een conti-nue afbeelding van Γ → R en neemt dus een maximum aan, want Γ is compact. Dit maximum wordt in een kaart aangenomen. Vanaf de kaart is dit een gewone holomorfe functie. Wegens het maximumprincipe is de functie nu constant. Alle holomorfe functies zijn nu dus constant.
Meromorfe functies hoeven niet constant te zijn, aangezien het maximumprincipe dan niet opgaat, maar het is niet triviaal dat ze bestaan. Op de Riemannsfeer kan er wel gemakkelijk een meromorfe functie geconstrueerd worden. De functie z 7→ z is namelijk meromorf. In de kaart met oneindig ziet deze afbeelding eruit als 1/z dus deze functie heeft een pool van orde 1 in het punt oneindig.
Voor een torus is dit al een stuk moeilijker. We kunnen een functie op de to-rus zien als een functie op C die invariant is onder verschuiving met een roosterpunt f (z) = f (z + n1a + n2b). Het is bekend dat een meromorfe functie op de torus
minstens twee polen geteld met multipliciteit moet hebben. De Weierstrass p-functie P (z) = z12 +
P
n∈Λ\0(z+n)1 2 − n12 is een meromorfe functie. Om dit aan te tonen moet
aangetoond worden dat de P
geen roosterpunten bevatten. Dit kan bewezen worden.
Voor een bewijs van het bestaan van meromorfe functies op een willekeurig compact Riemannoppervlak wordt er naar [4] verwezen.
2.2 Vormen
Op een re¨eel glad manifold bestaan er objecten genaamd differentiaalvormen. Deze zijn gedefinieerd als de duale ruimte van de afleidingen. Vanuit de differentiaalmeet-kunde is bekend dat de afleidingen in een punt worden voorgebracht door de parti¨ele afgeleides naar de lokale co¨ordinaten. Dus als er op een 2-dimensionaal manifold de lokale co¨ordinaten (x, y) hebt, dan worden de afleidingen voortgebracht door ∂x∂ en
∂
∂y. De raakruimte aan een punt is een eindigdimensionale vectorruimte en dus
kun-nen we een basis geven voor de duale ruimte. De standaard basis van de coraakbun-del is als volgt: Zij (U, ψ) een kaart van een glad manifold M van dimensie n. Zij (x1, ..., xn) de ge¨ınduceerde lokale co¨ordinaten door deze kaart. De coraakbundel heeft
een standaardbasis {dx1, ..., dxn} die voldoet aan dxi(∂x∂j) = δij. Merk op dat de
no-tatie dxi slordig is. Het mist iets wat aangeeft in welke coraakruimte dxi zit. In het
vlak betekend dit dat twee basisvectoren dx en dy zijn zodat dx (∂x∂) = dy (∂y∂) = 1 en dx (∂y∂ ) = dy (∂x∂ ) = 0. De coraakbundel is gedefinieerd als de disjuncte vereniging
T∗M = `
p∈MTp∗M . Vanuit de differentiaalmeetkunde is bekend dat de
coraakbun-del een natuurlijke topologie en gladde structuur heeft zodat de projectie π : T∗M → M, (x1, ..., xn, dx1, ..., dxn) 7→ (x1, ..., xn) glad is. Deze structuur wordt gegeven door
de kaarten van de vorm (x1, ..., xn, v1, ..., vn). Een continue 1-vorm is nu een is nu een
continue afbeelding ω van M → T∗M zodat π ◦ ω = IdM. Dit geeft dat de afbeelding
ω in lokale co¨ordinaten eruitziet als x = (x1, ..., xn) 7→ (x1, ..., xn, ω1(x), ..., ωn(x)). Een
1-vorm is glad als de functies ω1(x), ..., ωn(x) glad zijn.
Voor een Riemannoppervlak Γ zijn er meerdere definities van de raakruimte. Een Riemannoppervlak is in het bijzonder ook een 2-dimensionaal re¨eele vari¨eteit. Door re¨eelwaardige gladde functies op Γ te bekijken, is het mogelijk om een re¨ele raakruimte TR,pM te defini¨eren zoals in het geval van een gladde vari¨eteit.
We noemen een functie f : C → C glad als na identificatie van C met R2 f een gladde functie van R2 → R2 geeft. De complexe raakruimte T
C,pΓ kan nu gerealiseerd worden
als TR,p⊗RC, of als alle C-lineaire afleidingen van de gladde complexe functies f . De afbeelding die v ⊗ z(f + ig) afbeeldt op de afleideing z(v(f ) + iv(g)), kan induceert een lineair isomorfisme tussen TR,p⊗RC en de complex lineaire afleidingen. Dit maakt complexe raakruimte een 2-dimensionale complexe vectorruimte. TC,pΓ heeft nog steeds de basis {∂x∂ ,∂y∂ }. Vanuit de functietheorie is er bekend dat de volgende twee afleidingen handig zijn: ∂z∂ := 12∂x∂ − i∂
∂y
en ∂ ¯∂z := 12∂x∂ + i∂y∂ . Voor een holomorfe functie f (z) geldt er namelijk dat ∂z∂f (z) = f0(z) en een functie f is holomorf als en slechts als ∂ ¯∂zf = 0. Een inverteerbare lineaire transformatie geeft nu dat {∂z∂ ,∂ ¯∂z} een basis is voor TC,pΓ. Merk op dat deze definitie alleen afhangt van de gladde structuur van Γ. De afleidingen ∂z∂,∂ ¯∂z induceren als basis voor de coraakruimte de differentiaalvormen
dz = dx + i dy en d¯z = dx − i dy. De decompositie van de raakruimte geeft ook een decompositie van coraakruimte in holomorfe coraakruimte Tp(1,0)Γ en antiholomorfe
coraakruimte Tp(0,1)Γ.
Met de holomorfe raakruimte kan een holomorfe coraakbundel gedefinieerd worden. Deze is de verzameling T(1,0)Γ = `
p∈ΓT (1,0)
p Γ. Er kan bewezen worden dat deze
com-pleze vari¨eteit een natuurlijke topologie en complexe structuur heeft zodat de projectie-afbeelding π holomorf is, analoog aan hoe het bewezen wordt in het gladde geval. Een holomorfe differentiaalvorm is nu gedefinieerd als een holomorfe afbeelding ω van Γ → T(1,0)Γ zodat π ◦ ω = IdΓ. In de kaarten van T(1,0)Γ ziet deze afbeelding eruit als
z 7→ (z, f (z)) met f een holomorfe functie. Analoog wordt een meromorfe differentiaal-vorm gedefinieerd als een afbeelding ω van Γ → T(1,0)Γ zodat de afbeelding er lokaal uitziet als z 7→ (z, f (z)) met f een meromorfe functie.
Vanuit de differentiaalmeetkunde is het bekend dat er op re¨eelwaardige gladde vormen een R-lineaire operator d is. Op de gladde 0-vormen, ook wel de gladde functies genoemd, geeft d een afbeelding naar de gladde 1-vormen. Deze afbeelding ziet er op een glad manifold van dimensie n uit als
df = n X i=1 ∂f ∂xi dxi.
Voor alle n ∈ Z≥0 wordt deze operator geven in lokale co¨ordinaten als een afbeelding
van een gladde k-vorm naar een gladde k + 1-vorm door
dX J ωJdxJ = X J dωJ∧ dxJ.
Met J = (n1, ..., nk) een stijgend rijtje van k getallen uit {1, ..., n} en dxJ kortere notatie
voor dxn1∧ ... ∧ dxnk. Op de complexwaardige gladde vormen op een Riemannoppervlak
kunnen we een analoge operator d defini¨eren. Deze afbeelding wordt in lokale co¨ordinaten op dezelfde manier gedefinieerd worden, met als enige verschil dat deze operator C-lineair is. Deze op de complexwaardige gladde differentiaalvormen een beetje grof. De complexe structuur van een Riemannoppevlak zorgt ervoor dat we de 1-vomren kunnen ontbinden in een (1, 0)-vorm en een (0, 1)-vorm, maar de operator d negeert deze structuur. Het is mogelijk de d operator te verfijnen. De operator ∂ is een C-lineaire afbeelding van de complexwaardige gladde functies naar de (1, 0)-vormen die in lokale co¨ordinaten gegeven wordt door
∂f = ∂f
∂z dz .
Analoog is de operator ¯∂ een C-lineaire afbeelding van de complexwaardige gladde functies naar de (0, 1)-vormen die in lokale co¨ordinaten gegeven wordt door
¯
∂f = ∂f
Duidelijk geldt er dat d = ∂ + ¯∂. Deze afbeeldingen generaliseren naar afbeeldingen op hogere orde vormen op dezelfde manier zoals d het doet. Nu volgt dat een gladde (1, 0)-vorm gesloten is als en slechts als hij holomorf is. Immers zij ω = f (z, ¯z) dz een gladde (1, 0)-vorm. nu geldt er dat
dω = ∂ω + ¯∂ω = ∂f ∂z dz ∧ dz + ∂f ∂ ¯z d¯z ∧ dz = − ∂f ∂ ¯zdz ∧ d¯z .
Er geldt dat dit nul is als en slechts als f een holomorfe functie is, dus is ω exact als en slechts als ω een holomorfe (1, 0) is. Analoog kan men bewijzen dat een (0, 1)-vorm exact is dan en slechts dan als hij antiholomorf is.
2.2.1 Voorbeelden
Op het complexe vlak hebben we de differentiaalvorm dz. Door de indentificatie van de Riemannsfeer met C ∪ {∞} geeft dit ook op de Riemannsfeer een differentiaalvorm. In de kaart met oneindig met lokale co¨ordinaten τ = 1z geldt er dat deze vorm eruit ziet als d1τ = −τ12 dτ . De differentiaal dz heeft een pool van orde 2 in het punt oneindig.
Deze differentiaalvorm is dus niet een holomorfe differentiaalvorm maar een meromorfe differentiaalvorm. In Hoofdstuk3wordt bewezen dat dit betekend dat er geen holomorfe differentiaalvormen zijn op de Riemannsfeer.
Op de torus is er wel een holomorfe differentiaalvorm. Op C is er nog steeds de diffe-rentiaalvorm dz. Het mogelijk is om een stel kaarten te kiezen die de torus overdekken zodat de transitiefunctie een verschuiving is, zoals aangegeven in de constructie van de torus. Bekijk de torus in zo’n verzameling kaarten. Nu is het mogelijk om de vorm dz te kiezen in een kaart. Omdat alle transitiefuncties verschuivingen zijn, volgt dat we deze vorm in elke kaart eruitziet als dz en dus dat deze vorm op een kaart uitbereid naar een holomorfe 1-vorm op de torus. Opvallend is dat deze vorm geen nulpunten heeft.
2.3 Homologiebasis
Vanuit de functietheorie is op het complexe vlak de volgende stelling bekend:
Stelling 2.3.1. Zij D een gebied in C met stuksgewijs gladde rand. Zij f een holomorfe functie op ¯D. Nu geldt er datH∂Df (z) dz = 0.
Voor Riemannoppervlakken geldt een soortgelijke stelling:
Stelling 2.3.2. Zij D een gebied in een Riemannoppervlak Γ met stuksgewijs gladde rand. Zij ω een holomorfe differentiaalvorm om ¯D nu geldt dat H∂Dω = 0.
Bewijs. De stelling volgt uit de stelling van Stokes. Voor een holomorfe differentiaalvorm geldt er datH ∂Dω = R Ddω = R D0 = 0.
Dit is enorm nuttig. Als γ1 en γ2 twee homotope gesloten krommen zijn, volgt dat
γ1∪ −γ2 de rand van gebied is. Hierdoor hangen de kringintergralen van holomorfe
Hierdoor is het voldoende om krommes te zien als elementen uit de eerst homologie-groep H1(Γ) = [Π(Γ,xΠ(Γ,x0),Π(Γ,x0) 0)]. Hoewel de fundamentaalgroep Π(Γ, x0) afhangt van het
beginpunt x0, blijkt het dat de eerste homologiegroep in elk punt vast ligt tot op uniek
isomorfise [5]. Hierdoor wordt het beginpunt ook wel uit de notatie weggehaald. De homologiegroep is een abelse groep en kan dus als Z-module gezien worden. Met een ho-mologiebasis wordt een basis voor de homologiegroep als Z-module bedoeld. Het blijkt dat de homologiegroep van compacte oppervlakken vrij is en dus dat er een basis be-staat van gesloten krommen zodat elke gesloten kromme op unieke wijze te schijven is als lineaire combinatie met co¨eficienten in Z van basiskrommen. Een constructie van deze groep kan worden gegeven aan op de volgende manier. Op gesloten krommes die in hetzelfde punt beginnen kunnen we een product ∗ defini¨eren die aan twee gesloten krom-mes f, g : [0, 1] → Γf (0) = f (1) = g(0) = g(1) de kromme f ∗ g =
(
f (2s) s ∈ [0,12] g(2s − 1) s ∈ (12, 1] toekent. Dit product heet concatenatie. Vanuit de topologie is bekend dat deze operator van de homotopie-equivalentieklassen van paden een groep maakt. Merk op dat dit pro-duct niet altijd commutatief is. De groep van equivalentieklassen van gesloten krommen met beginpunt x0 met de concatenatieoperator als product wordt de funtamentaalgroep
Π(Γ, x0). Voor padsamenhangende topologische ruimten is het bekend dat de
funda-mentaalgroepen van verschillende punten isomorf zijn. In [5] wordt bewezen dat elk orienteerbaar compact oppervlak van genus g homeomorf is met een 4g-hoek waarbij de zijdes als volgt met elkaar ge¨ıdentificeerd worden (a1b1a−11 b
−1
1 )...(agbga−1g b−1g ). Hieruit
volgt dat de fundamentaalgroep in een punt gelijk is aan de vrije groep gegenereerd door a1, b1, ..., ag, bg uitgedeeld naar de relatie (a1b1a−11 b
−1
1 )...(agbga−1g b−1g ) = Id. Er
kan gecheckt worden dat dit daadwerkelijk een normaaldeler N is. De fundamentaal-groep is nu dus isomorf aan NG, met G de vrije groep gegenereerd door a1, b1, ..., ag, bg.
Het blijkt dat de fundamentaalgroep meer informatie bevat dan nodig is om integralen over gesloten krommen te classificeren. De integraal van een holomorfe differentiaal-vorm over de kromme [a1] ∗ [b1] ∗ [a1]−1 is hetzelfde als de integraal over de kromme
[b1]. De integraal hangt alleen maar af van het totaal aantal keren dat een kromme
doorlopen wordt en niet de volgorde van hoe de verschillende a- en b-krommen door-lopen worden. Als de groep abels gemaakt wordt, valt de informatie over de volgorde weg. De abelse groep H1(Γ) = [Π(Γ,xΠ(Γ,x0),Π(Γ,x0) 0)] heet de eerste homologiegroep. Het
blijkt dat er een uniek isomorfisme bestaat tussen de homologiegroepen van verschil-lende punten en daarom wordt het beginpunt weggelaten. Vanuit de algebra is bekend dat Π(Γ,x0)
[Π(Γ,x0),Π(Γ,x0)]
∼
= [G/N,G/N ]G/N ∼= [G,G]G met G de vrije groep voortgebracht door de ele-menten a1, b1, ..., ag, bg. [G,G]G is de vrije abelse groep voortgebracht door a1, b1, ..., ag, bg.
Nu volgt dat de elementen a1, b1, ..., ag, bg een basis zijn voor H1(Γ) als Z-module. Dat
wil zeggen dat elke gesloten kromme γ homotoop is aan een unieke lineaire combinatie van a- en b-cykels γ = Pg
i=1niai + mibi met mi, ni ∈ Z. In het vervolg wordt met
een basis voor krommen altijd een homologiebasis bedoeld. Merk op dat de krommen a1, b1, ..., ag, bg kunnen glad gekozen worden.
De co¨efficienten in de basisrepresentatie van een kromme kunnen ook berekend worden door het aantal kruisingen tussen twee krommen geteld op de volgende manier: Zij γ1
en γ2 twee gladde krommen. Aan elke kruising kunnen kennen de waarde +1 toe als op
de kruising het paar raakvectoren (∂γ1
∂t , ∂γ2
∂t ) de orientatie van het manifold heeft en −1
als (∂γ1
∂t , ∂γ2
∂t ) de andere ori¨entatie heeft. Het kruisingsgetal γ1◦ γ2 is nu de som over alle
kuisingen van de ±1 die aan het kruispunt is toegekend. Een basis voor de krommen a1, ..ag, b1, ..., bgwordt canoniek genoemd als deze de kruisingsgetallen ai◦aj = bi◦bj = 0
en ai◦ bj = δij voor alle i, j ∈ {1, ..., g}. Zo’n basis bestaat, want de krommen gegeven
door het 4g-hoek voldoen aan deze eisen. De keuze van een canonieke basis is niet uniek en er is geen natuurlijke manier om er een te kiezen, wat opmerkelijk is voor een basis die canoniek heet. Het canonieke van deze basis zit alleen in de keuze van de kruisingsgetallen. Immers zij a1, ..., ag, b1, ..., bg een canonieke basis. Dan is a0i = aσ(i)
en b0i= bσ(i) ook een canonieke basis voor elke permutatie σ.
Aan de hand van de homologiebasis voor krommen kunnen integralen nu makkelijk uitgerekend worden. Zij γ een gesloten kromme op een Riemannoppervlak Γ en zij ω een holomorfe differentiaalvorm op Γ. Zij a1, ..., ag, b1, ..., bg een homologiebasis. Dan is
γ =Pg i=1niai+ mibi, ni, mi ∈ Z. Nu is de integraal H γω = Pg i=1ni H aiω + mi H biω. De
integraal over de basiskromme ai worden ook wel aangeduid met Aien worden ook wel de
A-periodes genoemd en de integraal over de basiskromme bi worden ook wel aangeduidt
met Bi en worden ook we de B-periodes genoemd.
2.4 Poincar´
eveelhoek.
We kunnen de canonieke homologiebasis gebruiken om een Riemannoppervlak open te knippen. We houden dan een veelhoek over met 4g zijden. We kunnen functies terug-trekken naar dit veelhoek. Dit heeft het grote voordeel dat integralen van holomorfe functies enkelwaardig zijn op het Poincar´eeveelhoek. Als we een meromorfe functie over de rand van dit polygon integreren krijgen we nul, aangezien we altijd over een zijde in positieve en negatieve richting integreren. Dit geeft dat de som van de residuen van een meromorfe functie gelijk moet zijn aan nul. Deze eigenschap kunnen we gebruiken om veel basiseigenschappen van een Riemannoppervlak te bepalen. Door de meromorfe vorm d log f over de rand te integreren volgt dat elke holomorfe functie evenveel nulpun-ten als polen geteld met multipliciteit heeft.
Waar we in sectie2.3een 4g-hoek hebben gepakt en daar een canonieke homologiebasis uit geconstueerd, kan het omgekeerde ook. Stel we hebben een canonieke homologiebasis voor een Riemannoppervlak Γ. Dan kunnen we de krommen vervormen zodat ze elkaar raken in een punt. Als we dan de basiskrommen in de volgende volgorde doorlopen (a1b1a−11 b
−1
1 )...(agbga−1g b−1g ), waar de inverse staat voor de zijde in de omgekeerde
rich-ting doorlopen, is deze kromme te zien als de rand van een 4g-hoek. Nu kunnen we het Riemannoppervlak openknippen tot een 4g-hoek. Dit 4g-hoek heet het Poincar´eveelhoek en wordt aangeduid met ˜Γ.
Stel we integreren een 1-vorm over de rand van dit 4g-hoek. Aangezien we elke rand in positieve en negatieve richting doorlopen wordt het antwoord nul. Voor een meromorfe 1-vorm betekend dit dat de som van de residuen gelijk moet zijn aan 0. Immers er geldt dat de integraal gelijk is aan 2πiP
wordt. Door de meromorfe differentiaalvorm d log(f ) te integreren voor een willekeurige meromorfe functie f , volgt nu ook dat f even veel nulpunten als polen heeft, geteld met multipliciteit. Immer als f een nulpunt P heeft van orde n, dan heeft d log(f ) een pool met residue n op P en als f een pool heef van orde n op een punt P dan heeft d log(f ) een pool met residu −n op P . Verder is d log(f ) holomorf in P als f holomorf en niet nul is in P . Nu volgt dat de som van de residuen precies het veschil tussen het aantal nulpunten en het aantal polen van f geeft.
Dit kan worden uitgebreid. Als we de de vorm d log(f − c) integreren voor een wille-keurige constante funcie c(z) = d, dan volgt dat f elke waarde precies evenveel aanneemt als de hoeveelheid polen geteld met multipliciteit die f heeft. In het bijzonder is f een bijectie als hij maar 1 pool heeft en die orde 1 heeft. De openafbeeldingsstelling geeft nu dat holomrfe afbeeldingen open zijn en dus dat elke bijectieve holomorfe afbeelding een homeomorfisme is. Dit heeft tot gevolg dat Riemannoppervlakken van genus g > 0 geen functies hebben met maar 1 pool van orde 1, aangezien de genus een topologische invariant is.
2.5 Meer differentiaalvormen
Het blijkt dat op een Riemannoppervlak het aantal holomorfe differentiaalvormen be-paald wordt door het genus g van het Riemannoppervlak.
Stelling 2.5.1. Zij Γ een Riemannoppervlak van genus g. Zij a1, a2, ..., ag, b1, ..., bg een
cannonieke basis voor de gesloten krommen op Γ. Nu bestaat er voor alle i ∈ {1, ..., g} een differentiaalvorm ωi waarvoor geldt dat
H
ajωi = δij
Bewijs. Een bewijs voor deze stelling wordt gegeven in [4].
Deze stelling geeft ons g lineair onafhankelijke differentiaalvormen op Γ. In stelling
2.6 wordt aangetoond dat deze g differentiaalvormen zelfs een basis vormen voor alle holomorfe differentiaalvormen. Op een Riemannoppervlak van genus 0 bestaan er dus geen holomorfe differentiaalvormen. Wel bestaan er meromorfe differentiaalvormen op elk Riemannoppervlak.
Stelling 2.5.2. Zij Γ een Riemannoppervlak. Zij P een punt in Γ. Nu bestaat er een meromorfe differentiaalvorm met een pool van orde n+1 voor n ∈ Z>0in het punt P . Dit
worden differentiaalvormen van de tweede soort genoemd. Een differentiaalvorm van dit soort heet genormaliseerd als alle A-periodes gelijk aan 0 zijn. Een genormaliseerde vorm wordt aangeduid met Ω(n)P . Zij Q nog een ander punt in Γ. Er bestaat ook een meromorfe differentiaalvorm met polen van orde 1 in de punten P en Q en een residue van 1 in P en een residu van −1 in Q. Dit worden differentiaalvormen de het derde soort genoemd. Een differentiaalvorm van dit soort heet genormaliseerd als alle A-periodes gelijk zijn aan 0. Een genormaliseerde vorm wordt aangeduid met ΩP Q.
Bewijs. Ook voor het bewijs dat er een vormen bestaan met de gezochte polen, wordt er naar [4] gerefereerd. Het is mogelijk om de vorm te normaliseren door er holomorfe differentiaalvormen van af te trekken.
In de volgende sectie wordt bewezen dat dat elke meromorfe differentiaal uniek ont-bonden kan worden in de genormaliseerde differentiaalvormen van de tweede soort, de genormaliseerde differentiaalvormen van het derde soort en de standaard holomorfe dif-ferentiaalvormen.
De meromorfe vormen hebben eigenschappen die belangrijk zijn voor de bewijzen uit hoofdstuk4 en5
Stelling 2.5.3. Zij P een punt in Γ. Zij ωi een van de standaard basis van de
holo-morfe differentiaalvormen uit stelling 2.5.1 zodat H
ajωi = δij. Kies lokale co¨ordinaten
zodat z(P ) = 0. ωi ziet er in deze kaart uit als ψ(z) dz. Voor een genormaliseerde
differentiaalvorm van de tweede soort geldt er dat I bi Ω(n)P = 1 2πin! dn−1 dn−1zψ(z)|z=0 .
Verder geldt dat voor een genormaliseerde differentiaalvorm van de derde soort er geldt dat I bi ΩP Q = 2πi Z P Q ωi
waarbij het pad van P naar Q geen van de basiskrommen a1, ..., ag, b1, ..., bg mag snijden.
Bewijs. Ook voor dit bewijs wordt er naar [4] gerefereerd.
2.6 Riemannse bilineaire indentiteit.
Zij ω en ω0 twee gesloten vormen. Hier is niet nodig dat het holomorfe vormen zijn, maar merk wel op dat holomorfe vormen gesloten zijn. We kunnen het Poincar´eveelhoek gebruiken om nu de integraalRΓω ∧ ω0 te versimpelen. Dit heet de Riemannse billineaire identiteit.
Stelling 2.6.1. Zij omega en ω0 twee gesloten vormen op een Riemannoppervlak Γ van genus g ≥ 1. Merk op dat dat ωZij f de primitieve van ω. f is enkelwaardig op het poincar¨eveelhoek ˜Γ. Schrijf Ai, Bi voor respectievelijk de A en B periodes van ω en schijf
A0i, Bi0 voor respectievelijk de A en B-periodes van ω0. Nu geldt er dat Z Γ ω ∧ ω0 = I ∂ ˜Γ f ω0 = g X i=1 AiBi0− A0iBi
Bewijs. De eerste gelijkheid volgt door de stelling van Stokes. Er geldt namelijk dat d(f ω0) = ω ∧ ω0+ f dω0 = ω ∧ ω0. Het uitschrijven van de tweede integraal geeftH∂ ˜Γf ω0= Pg i=1 R ai+ R a−1i f ω0+Pg i=1 R bi+ R b−1i
f ω0. Schrijf f+(p) voor de waarde die f heeft op de zijde ai en f−(p) voor de waarde van f op de zijde a−1i . Zij P nu een punt op ai.
Nu geldt er dat f+(P ) − f−(P ) =Hb−1
laten zien). Nu volgt datR aif +ω0+R a−1i f −ω0 =R aif +ω0R aif −ω0 = −B i H aiω 0 = −B iA0i.
Bij de b zijdes geldt er dat f+(p)−f−(p) = Ai. Dus nu geldt er dat
R
bif
+ω0+R
b−1i f −ω0=
AiBi. Er geldt nu dusPgi=1
R ai+ R a−1i f ω0+Pg i=1 R bi+ R b−1i f ω0=Pg i=1AiB 0 i− A0iBi
en dit bewijst de stelling.
Als ω en ω0 allebij holomorf zijn, volgt dat ω ∧ ω0 = 0. Er volgt dat Pg
i=1AiB0i =
Pg
i=1A0iBi. Ook kunnen deze billineaire identiteiten worden gebruikt om een aantal
stellingen te bewijzen. Het volgende lemma is de basis voor de twee belangrijke stellingen die bewezen kunnen worden met de Riemannse bilineaire identiteiten:
Lemma 2.6.2. Zij ω een holomorfe differentiaalvorm ongelijk aan nul. Schrijf A1, ..., Ag
voor zijn A-periodes en B1, ..., Bg voor zijn B-periodes. Er geldt Im(Pgi=1AiB¯i) < 0
Bewijs. Neem ω0 = ¯ω. Er geldt dat 2i RΓω ∧ ¯ω > 0. immers in elke kaart geldt er dat 2iω ∧ ¯ω = 2i|f |2dz ∧ d¯z = |f |2dx ∧ dy. Nu is i
2
R
Γω ∧ ¯ω de integraal van een niet
negatieve continue functie en is de integraal groter dan nul als de integrand niet nul is. De billineaire indentiteit geeft dat de integraal ook gelijk is aan 2i Pg
i=1AiB¯i− ¯AiBi =
− Im(Pg
i=1AiB¯i) > 0. Dit bewijst de stelling.
Een direct gevolg van dit lemma is dat een holomorfe differentiaalvorm helemaal vast-ligt door zijn A-periodes. Immers als twee differentiaalvormen dezelfde A-periodes heb-ben, dan heeft het verschil A-periodes van 0. Het lemma geeft dan dat het verschil de nulvorm is.
Stelling 2.6.3. De normale basis voor de holomorfe differentiaalvormen ω1, ..., ωg is een
basis voor de differentiaalvormen.
Bewijs. Zij ω een holomorfe differentiaalvorm. Schrijf Ai voor zijn A-periodes. Nu
volgt dat ω0Pg
i=1Aiωi een holomorfe differentiaalvorm is met dezelfde A-periodes. Nu
is ω − ω0 een differentiaalvorm waarvan alle A-periodes nul zijn. Uit lemma 2.6.2 volgt nu dat ω − ω0 = 0, omdat Pg
i=1AiB¯i = 0. Hieruit volgt dat de normale basis een
opspannende verzameling is voor de vectorruimte van de differentiaalvormen. Verder is de verzameling ook lineair onafhankelijk. Stel namelijk dat Pg
i=1λiωi = 0 voor zekere
complexe getallen λi. Voor de nulvorm geldt er dat al zijn A-periodes nul zijn. verder
geldt er datH
ai
Pg
i=1λiωi = λiAi wat alleen nul is als λi = 0. Dus de normale basis is
nu een verzameling opspannende en lineair onafhankelijke vormen en dus een basis voor de holomorfe differentiaalvormen.
De andere stelling is belangrijk voor hoofdstuk 4.3.1. Daar gebruiken we dat de periodematrix een negatief definiet re¨eel deel heeft. Om zinnig over een negatief definiet re¨eel deel
Stelling 2.6.4. De Periodematrix (Bij) =
H
biωj is symmetrisch en heeft een positief
Bewijs. Zij ωien ωj twee verschillende differentiaalvormen uit de standaardbasis voor de
differentiaalvormen. Uit de Riemannse billineaire identiteit volgt dat 0 =Pg
k=1δikBkj−
δjkBki dus Bij = Bji en dus is de matrix symmetrisch.
Zij ω =Pg
i=1xiωi met xi ∈ R. Nu geldt er dat Ak = xk en Bk = Bkixi. Nu kunnen
we de integraal RΓω ∧ ω uitrekenen. Lemma 2.6.2 geeft nu dat Im(P
kxk
P
iBkixi) <
0. Omdat xk re¨eel is volgt er dat dit gelijk is aan
P
kxk
P
ixiIm(Bki) < 0 en dus
datP
kxkPixiIm(Bki) > 0 dus heeft de periodematrix een positief definiet imaginair
3 Lijnbundels en divisoren
3.1 Lijnbundels
Een vectorbundel is een generalisatie van hoe de holomorfe 1-vormen zijn gedefinieerd. In die constructie van de holomorfe raakbundel van een Riemannoppervlak Γ wordt er aan elk punt in een complexe vari¨eteit Γ een complexe vectorruimte toegekend C. Voor de coraakbundel T∗Γ volgt dat er de vectorruimte TP∗Γ aan het punt P toegekend. Het volgt dat T∗M Γ een natuurlijke complexe structuur heeft die ge¨ınduceerd wordt door de complexe structuur van Γ en transformatie-eigenschappen van holomorfe vormen onder holomorfe co¨ordinatentransformaties. Als er kaarten van de vorm Uα × Cn genomen
worden, waar (Uα, ϕα) een kaart van M is, met de functies (ϕα× ψind). De
transitie-functies tussen een paar kaarten (Uα× C) en (Uβ × C) zijn nu holomorf, aangezien de
transitiefuncties ϕα◦ ϕ−1β een holomorfe afbeelding is en voor de coraakbundel zijn de
transitiefuncties op C ook holomorf. Op C zijn de transitiefuncties namelijk de com-plexe jacobiaan ∂ψα◦ψ
−1 β
∂z , die holomorf afhangt van de co¨ordinaten z, aangezien ψα◦ ψ −1 β
een holomorfe functie is. Tussen twee kaarten van de raakbundel is de transitiefunctie (ψα◦ ψβ−1) ×
∂ψα◦ψ−1β
∂z , wat een biholomorfe afbeelding is. Nu volgt dus dat deze
kaar-ten aan de coraakbundel een complexe structuur geven. Uit deze kaarkaar-ten volgt dat er een natuurlijke projectie-afbeelding is πT∗M → M , die in lokale co¨ordinaten gegeven wordt door (z, v) 7→ z. Deze projectie is holomorf, aangezien de afbeelding in lokale co¨ordinaten holomorf is.
Een k-dimensionale complexe vectorbundel over een complexe vari¨eteit M is een object dat lokaal lijkt op U × Ck met U een kaart van M . Globaal kan de vectorbundel wel anders uitzien. In dit stuk zijn alle vectorbundels holomorfe vectorbundels en wordt er ook wel alleen vectorbundel geschreven voor een holomorfe vectorbundel. Preciezer gezegd is een complexe vari¨eteit E een K-dimensionale vectorbundel als
1. Er een holomorfe afbeelding π : E → M bestaat zodat voor alle punten P ∈ M π−1({P }) een k-dimensionale complexe vectorruimte is.
2. Er voor elke P in M een open UP is zodat er een biholomorfe afbeelding ϕP :
π−1(UP) → UP × Ck bestaat. Deze abeeldingen heten trivialisaties. De
trivialisa-ties hebben een natuurlijke projectie, de projectie πUp: UP×C
k→ U
P, (Q, z1, ..., zk) 7→
Q. Er moet gelden dat π = πUP ◦ ϕP en dat ϕ|π−1({P }) : π
−1({P }) → π−1 UP({P })
een isomorfisme van vectorruimtes is.
Deze eisen garanderen dat er aan de hand van de trivialisaties een atlas van E ge-maakt kan worden. Door de UP in de definitie als kaarten van M te kiezen, geven de
kaarten (π−1(UP), (ψ × IdCk◦ϕP) een atlas van E. Dit is precies een atlas waaraan de
structuur van de coraakbundel gedefinieerd is, dus in dat opzicht is een vectorbundel een generalisatie van de coraakbundel. Een lijnbundel is een eendimensionaal vectorbundel over een var¨ıeteit. Een lijnbundel kan bepaald worden aan de hand van zijn trivialisaties, maar dat is niet de enige manier. Een andere karakterisering gaat aan de hand van de transitiefuncties. Zij {Uα} een open overdekking van M en zij ϕα : π−1(Uα) → Uα× C
trivialisaties ge¨ınduceerd door de open overdekking. Twee trivialisaties bepalen een holomorfe afbeelding van gαβ : Uα∩ Uβ → C∗ gegeven door gαβ(z) = (ϕα◦ ϕ−1β )|π−1({z}).
Deze functies zijn duidelijk holomorf. Aangezien voor elke z gαβ(z) een inverteerbare
lineaire afbeelding van C → C moet zijn, volgt dat gαβ(z) niet nul is voor alle z. Deze
transitiefuncties voldoen aan twee eisen: 1. gαβgβα= 1
2. gαβgβγgγα= 1.
Voor de coraakbundel gebeurde er precies het tegenovergestelde. De coraakbundel van een Riemannoppervlak heeft natuurlijke transitiefuncties en uit deze transitiefuncties kon verzameling trivialisaties geconstrueerd worden die de lijnbundel vastlegde. Er geldt dat elke verzameling holomorfe functies die nergens nul zijn en aan de twee eisen voldoen trivialisaties van een lijnbundel defini¨eren. Zij z ∈ Uα∩ Uβ. Door (z, v) ∈ Uβ × C te
identificeren met (z, gαβ(z)v) in Uα× C krijgen we nu trivialisaties die een lijnbundel
defini¨eren.
De transitiefuncties hangen af van de keuze van trivialisaties. Stel we maken en andere keuze van trivialisaties op dezelfe open overdekking {Uα}. Dit kan bijvoorbeeld door op
elke open verzameling Uα een holomorfe functie fα te kiezen die nergens nul is. Door
puntsgewijze vermenigvuldiging op C geeft ϕ0α = fαϕα
een andere verzameling van trivialisaties. Voor de trivialisaties {ϕ0α} geldt er dat de transitiefuncties g0αβ(z) eruitzien als
gαβ0 (z) = fα fβ
gαβ(z).
Door op te merken dat elke andere trivialisatie van de vorm ϕ0α = fαϕα is, volgt dat
twee transitiefuncties dezelfde lijnbundel defini¨eren als en slechts als gαβ0 (z) = fα
fβgαβ(z)
Voorbeelden van lijnbundels over een Riemannoppervlak zijn de triviale lijnbundel, de raakbundel en de coraakbundel, waar holomorfe snedes van de lijnbundels respectievelijk holomorfe functies, holomorfe vectorvelden en holomorfe differentiaalvormen voorstellen. Deze lijnbundels hebben ook canonieke transitiefuncties. Voor de triviale lijnbundel kunnen we alle transitiefuncties gelijk aan 1 kiezen. Ook voor vectorvelden en (1, 0)-vormen zijn er canonieke transitiefuncties: De transitiefuncties voor vectorvelden zijn gαβ =
∂ϕαϕ−β1
∂z
−1
en de transitiefunctie voor de (1, 0)-vormen zijn gαβ =
∂ϕαϕ−β1
3.2 Snedes
Een belangrijk concept voor lijnbundels is een snede van een lijnbundel. Zij L een lijnbundel over een Riemannoppervlak Γ. Een globale holomorfe snede van een lijnbundel is een holomorfe afbeelding van σ : Γ → L zodat π ◦ σ = IdΓ. Een holomorfe snede van
een lijnbundel is in de trivialisaties te zien als de grafiek van een holomorfe functie: Een snede ziet er in Uα× C uit als (z, f(z)) voor een holomorfe functie f op Uα. Als
een snede in een andere trivialisatie bekeken wordt, moet er opgemerkt worden dat de lijnbundel trasformeerd. Stel een snede wordt op de trivialisatie Uα× C gegeven door
z 7→ (zα, f (zα)) en in Uβ× C door zβ 7→ (zβ, fβ(zβ)) dan moet gelden dat fβ = gβαfα
in de overlap. Dit moet omdat de snede een wegedefinieerde afbeelding is en dus maar ´e´en waarde aanneemt.
Een meromorfe snede van een lijnbundel is een afbeelding van Γ → L zodat in de trivialisaties de afbeelding eruit ziet als z 7→ (z, f (z)) met f een meromorfe functie. Elke vectorbundel heeft een meromorfe snede. De nulsnede ziet er in elke trivialisatie uit als de functie z 7→ (z, 0). Dit is een welgedefinieerde afbeelding van Γ → L. Het blijkt dat er holomorfe lijnbundels bestaan waarvan de nulsnede de enige meromorfe snede is, zoals de tautologische bundel [7].
Als we twee verschillende meromorfe snedes van een lijnbundel bekijken, is het punts-gewijze quotient in de trivialisaties een globale meromorfe snede van de triviale lijnbun-del. Zij s en t twee snedes van een lijnbundel L. In de kaarten Uα en Uβ weten we
dat sα = gαβsβ en hetzelfde geldt voor t. Het quotient fα = stβα transformeert nu als
fα = g0αβfβ = gαβsβ
gαβtβ = fβ. dus g
0
αβ = 1 dus f is een snede van de triviale
vectorbun-del, wat betekent dat f een meromorfe functie is. Omgekeerd geldt er ook voor een meromorfe functie f en een meromorfe snede s van een lijnbundel dat f s een meromorfe snede is van de lijnbundel.
3.3 Divisoren
Een meromorfe functie ligt vast door zijn nulpunten en polen op vermegvulding met een scalair. Dit geeft dat het nuttig is om functies te classifiseren aan de hand van hun polen en nulpunten. Een manier om de polen en nulpunten van een meromorfe functie weer te geven is met de divisor. Een divisor D op een compact Riemannoppervlak is een eindige formele som van punten met een co¨efficient nP ∈ Z/{0}
D =X
P
nPP.
Aan een meromorfe functie die niet identiek nul is kan een divisor worden toegekend, door aan elk punt P de laagste orde term is in de Laurentreeks om P toe te kennen en de punten met een co¨efficient van nul weg te laten uit de som. Als de co¨efficient positief is, is de co¨efficient de orde van het nulpunt in het punt waar hij bij hoort. Als de co¨efficient negatief is dan is de absolute waarde van het co¨efficient de orde van de pool op dat punt. Ook hebben we bij een compact oppervlak genoeg aan een eindige som.
Immers we kunnen elk compact manifold met eindig veel kaarten bekijken, want elke open overdekking heeft een eindige deeloverdekking. Dus als een meromorfe functie een divisor zou hebben met oneindig veel punten erin, dan zitten er in minsten een kaart van het manifold oneindig veel punten in de divisor. In een kaart zijn meromorfe functies te schrijven als f = hg met h en g holomorfe functies. in deze kaart heeft of h of g oneindig veel nulpunten. Maar dat geeft dat die functie dan nul is. Als h nul is dan is de hele functie nul en is zijn divisor niet gedefinieerd en g kan niet nul zijn per definitie van een meromorfe functie. Er wordt ook wel (f ) geschreven voor de divisor van een meromorfe functie f .
Het blijkt dat we ook aan een meromorfe snede van een vectorbundel een divisor kunnen toekenen. Zij σ een meromorfe snede van een lijnbundel L over een Rieman-noppervlak Γ. In de trivialisaties ten opzichte van een open overdekking {Uα} van Γ
is deze snede weer te zien als een meromorfe functie van Uα → Uα× C, z 7→ (z, fα(z)).
Nu kunnen we aan de snede een divisor toekennen door aan een punt P ∈ Γ de laagste orde in de laurent reeks van fα rond P toekennen. Dit is welgedefinieerd, want de
trasi-tiefuncties zijn holomorfe functies die nergens nul zijn, en dus behouden ze de orde van nulpunten en polen.
Aan een divisor kunnen we ook een lijnbundel toekennen aan de hand van de volgende constructie: Zij D =P niPi een divisor op een compact Riemannoppervlak Γ
Lemma 3.3.1. Zij D = P niPi een divisor op een compact Riemannoppervlak Γ. Nu
bestaat er een snede van een lijnbundel met divisor D
Bewijs. Zij {Uα} een open overdekking van Γ. Aan elke Uα kunnen we nu een functie
fα : Uα → C toekennen die precies de divisor D beperkt tot de punten in Uα heeft.
Zo’n functie bestaat want fα = Qpi∈Uα(z − pi)
ni is zo’n functie. Nu kunnen we aan
de hand van deze functies transitiefuncties constureren. Stel we hebben twee open verzamelingen uit de overdekking Uα, Uβ met niet lege doorsnede, definieer dan de functie
gαβ : Uα∩ Uβ → Uα∩ Uβ z 7→ ffαβ. De functie gαβ is nu een holomorfe functie zonder
nulpunten aangezien fα en fβ dezelfde nulpunten en polen hebben. Verder geldt dat
gαβgβγgγα= ffαβffβγffαγ = 1, dus deze functies gαβ zijn transitiefuncties. Dus de lijnbundel
gegenereerd door de transitiefuncties gαβ heeft een meromorfe snede met divisor D.
Een andere keuze van de functies fα kan andere transitiefuncties geven, maar geeft
wel dezelfde lijnbundel. Zij {fα} en {fα0} twee keuzes van meromorfe functies op Uα met
de correcte divisor. Er volgt dat hα = f
0 α
fα een holomorfe functie op Uα is die nergens nul
is, aangezien fα0 en fα dezelfde polen en nulpunten hebben. Nu geldt er dat
g0αβ(z) = f 0 α fα = hα hβ gαβ(z)
voor alle α, β en dus dat {fα} en {fα0} dezelfde lijnbundel defini¨eren. Deze
construc-tie geeft dus een welgedefinieerde afbeelding van de divisor naar de lijnbundels. De lijnbundel geassocieerd met de divisor D wordt ook wel aangeduidt met [D].
Zij D, D0 twee divisors. We noemen twee divisor lineair equivalent als D − D0 = (f ), voor een meromorfe functie f . Het is niet moeilijk om aan te tonen dat lineair equivalent zijn een equivalentierelatie is. Er wordt ook wel D ∼ D0 als D en D0 lineair equivalent zijn. Uit sectie3.2volgt dat twee snedes van een lijnbundel hetzelfde zijn tot op vermenigvuldiging met een meromorfe functie. Hieruit volgt dat de divisors D en D + (f ) dezelfde lijnbundel defini¨eren voor elke meromorfe functie f . Er geldt dus dat [D] = [D0] als en slechts als D ∼ D0.
3.4 Holomorfe snedes van lijnbundels
Een holomorfe snede van een lijnbundel is een snede die in elke trivialisatie holomorf is. Dit betekend in het bijzonder dat de snede geen polen heeft. Het volgt dat de divisor van een holomorfe snede s alleen positieve co¨eficienten heeft. Zij L de lijnbundel gegenereert door de divisor D. Nu kunnen we een bijectie maken tussen holomorfe snedes van een lijnbundel en holomorfe functies aan de hand van de functies fα. Zij s
een snede van L. de functie g = s/f is een meromorfe functie. Dus gf is in elke kaart een holomorfe functie. nu volgt dat de divisor van g groter is dan −D. andersom kunnen we aan elke meromorfe functie g met divisor groter dan −D een holomorfe snede f g toekennen. Dit geeft ons een vectorruimte isomorisme. De ruimte van holomorfe snedes van een lijnbundel gegenereerd door een divisor D wordt ook wel opgeschreveb als L(D). Nu kunnen we dus over holomorfe snedes nadenken als meromorfe functies. Dit zullen we gebruiken om holomorfe snedes van lijnbundels te clasificeren met de stelling van Riemann-Roch.
4 De stelling van Abel
Om te weten welke lijnbundels equivalent zijn, moeten we weten welke divisoren een meromorfe functie geven. Het doel van dit hoofdstuk een criterion geven die precies dat doet. Op de Riemannsfeer is het makkelijk om alle meromorfe functies te vinden. Zij D = P nipi een divisor van graad nul. De functie Qpi6=∞(z − pi)
ni op de kaart
zonder oneindig is nu een meromorfe functie met die divisor. Dus voor elke graad nul divisor kunnen we een nu een meromorfe functie vinden. Dit betekend dat alle vectorbundels ook compleet vast liggen door de graad van de divisor die hem definieert. Hierin is de Riemannsfeer speciaal. alle andere Riemannoppervlakken hebben dit niet, zoals aangetoond wordt in de rest van dit hoofdstuk.
4.1 Clasificatie op torus
Het is bekend dat we complexe tori kunnen zien als C uitgedeeld naar een rooster. Zonder verlies van algemeenheid kunnen we een van de generatoren van het rooster gelijk kiezen aan 1 en de andere generator van het rooster een positief imaginair deel heeft. Dit kan door een andere keuze van lokale co¨ordinaten op C te kiezen.
Stelling 4.1.1. De som van de nulpunten en polen van een holomorfe functie op de torus is gelijk aan een rooster punt.
Bewijs. Zij T een complexe torus en zij f een meromorfe functie op T . We kunnen f nu zien als een dubbelperiodieke functie op de fundamentele veelhoek. De functie
1 2πi R ∂Pz dlogf = 1 2πi R ∂P z f0(z)
f (z) dz is precies de som van de nulpunten min de polen. Nu
hoeven we allen maar aan te tonen dat deze integraal een roosterpunt is. De integraal is gelijk aan Z 1 0 zf 0(z) f (z) dz − Z b+1 b zf 0(z) f (z) dz + Z 1+b 1 zf 0(z) f (z) dz − Z b 0 zf 0(z) f (z) dz , maar f is periodiek onder verschuiving van b en 1 dus dit versimpeld tot
1 2πi Z 1 0 (z − (z − b))f 0(z) f (z) dz + Z b 0 ((z − 1) − z)f 0(z) f (z) dz = 1 2πi b Z 1 0 f0(z) f (z) dz − 1 Z b 0 f0(z) f (z) dz .
Omdat f een meromorfe functie is, volgt dat de integralen gelijk zijn aan een veelvoud van 2πi. Immers de integralen zijn respectievelijk de integraal over een a- en een b-krommen. f (Q) = elog(f (Q))= ce
RQ
of b-kromme is gelijk aan een veelvoud van 2πi. Nu volgt inderdaad dat de nulpunten min de polen een roosterpunt is aangezien het van de vorm bna− 2πinb is.
Het blijkt zelfs dat deze conditie voldoende is zie stelling 4.3.1. Om dat te bewijzen hebben zijn alle technische details nodig en zal het alleen in het algemene geval bewezen worden.
4.2 Jacobivari¨
eteit
We willen nu het idee van een fundamenteel parallellogram generaliseren voor hogere genus Riemannoppervlakken. Voor het uitekenen van de integraal gebruikten we dat het fundamentele veelhoek het poincaree veelhoek was. De redenatie in het bewijs is dezelfde redenatie die ons de billineaire identiteit geeft. Het probleem is nu dat voor hoger genus het Poincar´eveelhoek geen rooster geassocieerd heeft, wat wel nodig was voor de conclusie. Wat er eigenlijk gebeurt, is dat een afbeelding wordt gemaakt van de torus naar C. Deze afbeelding u : T → C, P 7→ RP
P0ω1, met ω1 de genormaliseerde
holomorfe differentiaalvorm op de torus. Zoals deze afbeelding hier nu staat, is hij niet goed gedefinieerd. Immers hangt de integraal af van het gekozen intergratiepad. Een manier om dit probleem op te lossen is door dit te zien als afbeelding naar de torus. De integraal kan alleen verschillen met A- of B-periode van de ω1. De A-periode is
1 en be B-periode is b. Deze vectoren spannen een rooster op, namelijk precies het rooster dat gebruikt is om de comlexe torus de defini¨eren. Dit object waar de afbeelding u heengaat heet de Jacobivari¨eteit. Voor de torus kunnen we de Jacobivari¨eteit met de torus zelf identificeren, voor andere Riemannoppervlakken geldt dit in het algemeen niet. Analoog aan deze constructie willen we nu een Jacobivari¨eteit aan een willekeurig Riemannoppervlak toekennen. Nu kunnen we het volgende object defini¨eren.
Definitie 4.2.1. De Jacobivari¨eteit is gedefinieerd als Cg
M +BN waarbij B de
periodema-trix is van het Riemannoppervlak Γ en M, N ∈ Zg. Schrijf J (Γ) voor de Jacobivari¨eteit van Γ.
Er geldt dat M + BN een rooster is. Het is het span van precies 2g vectoren en die geven een roosten als ze lineair onafhankelijk zijn over de re¨ele getallen. Zij P
iλiei+
P
jµjBej = 0 Er geldt dat Im(0) = PjµjIm(Bej). Nu moeten er gelden dat µi = 0,
want de periodematrix B heeft een positief definiet imaginair deel en dus zijn Im(Bej)
lineair onafhankelijke vectoren. Nu volgt dat P
iλiei = 0 en moeten ook alle λi =
0. Nu spannen de vectoren e1, ..eg, Be1, ..., beg dus een rooster op. Het volgt dat de
Jacobivari¨eteit een g-dimesionale complexe torus is.
Er bestaat een afbeelding van het Riemannoppervlak naar zijn Jacobivari¨eteit. Deze afbeelding volgt weer uit de indentificatie van de differentiaalvormen.
Definitie 4.2.2. Zij P0∈ Γ willekeurig en zij γP een pad van P0 naar P De afbeelding
u : Γ → J (Γ), P 7→ (Rγ
P ω1, ...,
R
γPωg)
Deze afbeelding hangt af van van het gekozen beginpunt. Eerst is het belangrijk om te checken of deze afbeelding goed gedefinieerd is.
Stelling 4.2.3. De Abelafbeelding is goedgedefinieerd.
Bewijs. Als we een ander pad naar P kiezen, γP0 , dan is een gesloten kromme en dus uit te drukken als lineaire combinatie in de canonieke homotopiebasis a1, b1, ..., ag, bg. Als
deze gesloten kromme equivalent is aanPg
i=1miai+ nibj, De integralen verschillen dan
M + BN , met M = (m1, ..., mg)> en N = (n1, ..., n>g), maar dat is een roosterpunt en
dus equivalent aan nul, dus is de afbeelding naar de Jacobivari¨eteit welgedefinieerd. Wat gebeurt er als we het beginpunt in de Abelafbeelding veranderen van P0naar P1?
Nou dat verschuift het beeld met (Rγ
P1ω1, ...,
R
γP1 ωg). Op de Jacobivari¨eteit kunnen we
een optellen. Hiermee kunnen we punten van Γ optellen door hun beelden op J (Γ) op te tellen u(p) + u(q). In het bijzonder kunnen we nu het beeld van een divisor onder de abel afbeelding bekijken. Voor een divisor D =Pn
i=0Pi−Pni=1Qi van graad nul geldt
er dat U (D) =Pn
i=1u(Pi) −Pni=1u(Qi) =Pnu=1(
RPi
Qi ω1, ...,
RPi
Qi ωg). Dus het beeld van
een divisor van graad 0 hangt dus niet af van het gekozen beginpunt.
4.3 Abel’s stelling
Nu kunnen we een stelling bewijzen die analoog is aan stelling 4.1.1. De stelling ge-bruikt de Jacobivari¨eteit en de Abelafbeelding om de divisors van meromorfe functies te classificeren.
Stelling 4.3.1 (De stelling van Abel). Zij D een divisor van graad nul. Equivalent zijn D is de divisor van een meromorfe functie en u(D) = 0
Bewijs. Het bewijs is net zoals het bewijs van4.1.1een berekening. Het bewijs gaat ana-loog alleen zitten er een aantal stappen verborgen in de eigenschappen van de meromorfe differentiaalvormen.
Zij f een meromorfe functie met nulpunten getelt met multipliciteit P1, ...Pn, en
po-len getelt met multipliciteit Q1, ...Qn. f kan opgeschreven worden in de vorm elog f =
ceR d log f. Nu volgt dat de integraal van d log f over een a- of b-kromme bepaald al-leen maar gelijk kan zijn aan een veelvoud van 2πi, want eR d log f moet voor alle paden hetzelfde geven en dus mogen de Rγd log f en Rγ
2d log f alleen een factor 2πi
verschil-len. Schrijf nu 2πinAi voor
H
aid log(f ) en 2πinAi voor
H
bid log(f ). Er geldt met het
voorgaande argument dat nAi, nbi ∈ Z. d log f is een meromorfe differentiaalvorm met
polen van maximaal graad 1, dus we kunnen hem schrijven als lineaire van genorma-liseerde differentiaalvormen van de derde soort en holomorfe differentiaalvormen. Dus d log f =Pn
i=1ΩPiQi+
Pg
i=1ciωi. Nu volgt dat
H
Aid log f = 2πinAi =
H
Aiciωi = ci,
aan-gezien alleen de holomorfe differentiaalvorm ωieen niet nul integraal heeft op de kromme
ai. Als we nu de integraal om b-krommes uitrekenen volgt dat 2πinBi =
H bid log f = Pn i=k2πi RPk Qkωi+ Pg
k=1Bikck. Immers uit stelling2.5.3volgt dat
H
biΩPkQk = 2πi
RPk
Nu volgt dus dat u(D)i =Pni=k
RPk
Qkωi = nBi−
Pg
k=1BiknAk, maar dat is een
rooster-punt en dus equivalent aan nul.
Zij nu u(D) equivalent aan nul. Dus er zijn gehele getallen nAi, nBi, i ∈ {1, ..., g} zodat
Pn
i=k
RPk
Qkωi = nBi−
Pg
k=1BiknAk. Nu volgt dat de differentiaalvorm Ω =
Pn
i=1ΩPiQi+
Pg
i=1nAiωi a en b-periodes heeft die veelvouden van 2πi zijn en dus dat f = ce
RP P0Ω een
welgedefinieerde meromorfe functie is met divisor D.
In een later hoofdstuk wordt er een explicitere constructie gegeven voor meromorfe functies aan de hand van objecten die de priemvorm heten. De stelling van abel zegt dat de divisors van inequivalente lijnbundels op verschillende punten in de Jacobivari¨eteit worden afgebeeld. Er kan zelfs bewezen worden dat de abelafbeelding op Γ injectief is, want op Riemannoppervlakken van genus strict groter dan nul bestaat er geen meromorfe functie met maar 1 pool en dus moeten twee verschillende punten P, Q ∈ Γ door de abelafbeelding op verschillende punten op de Jacobivari¨eteit afgebeeld worden. Immers abels stelling zegt dat u(P ) − u(Q) 6= 0.
5 De stelling van Riemann-Roch
Dit hoofdstuk is gewijd aan een enorm krachtige stelling, de Riemann-Rochstelling. Deze stelling geeft het aantal holomorfe snedes van een lijnbundel. Met aantal wordt hier de dimensie van de vectorruimte van de holomorfe secties bedoelt. In het antwoord krijgen we een koppeling tussen het aantal holomorfe secties en het aantal holomorfe differen-tiaalvormen met nulpunten. Deze stelling is zo krachtig omdat men vaak of iets weet over het aantal holomorfe secties van een lijnbundel of het aantal holomorfe differenti-aalvormen met nulpunten op een bepaalde plek. Om het overzichtelijk te houden wordt het isomorfisme uit hoofdstuk3 gebruikt. Daar is aangetoond dat het aantal holomorfe secties van een lijnbundel met divisor D gelijk is aan de dimensie van L(D), het aantal meromorfe functies met divisor groter dan −D. Immers zij s een sectie met divisor D en zij f een meromorfe functie, dan is f s een holomorfe sectie als hij een positieve divisor heeft. Dat geldt precies als de divisor van f groter is dan −D. De dimensie van L(D) wordt aangeduidt met l(D).
Lemma 5.0.1. Zij D een divisor. Er geldt l(D) > 0 dan en slechts dan als D is equivalent aan een niet negatieve divisor.
Bewijs. Zij l(D) > 0. Dan bestaat er een holomorfe sectie van de lijnbundel. Deze sectie heeft een niet-negatieve divisor D1. Aangezien deze divisor komt van een sectie van de
lijnbundel gegenereerd door D, volgt nu dat D en D1 equivalent zijn. Omgekeerd geldt
er dat als D equivalent is aan een niet-negatieve divisor D1, dan is er een sectie van
de lijnbundel gegenereerd door D met divisor D1. D1 is niet-negatief, dus is die sectie
holomorf en dus is l(D) > 0.
Het andere object in de stelling is L(K − D) met K de divisor die de differentiaal-vormen genereerd. Dit is weer de ruimte van alle meromorfe functies met divisor groter dan D − K. Net zoals L(D) correspondeerde met holomorfe secties van de lijnbundel genereerd door de divisor D, bestaat er ook een concrete interpretatie van deze ruimte. Als D een positieve divisor is, is de ruimte L(K − D) precies het aantal holomorfe differentiaalvormen met nulpunten van op zijn minst D.
Stelling 5.0.2. Zij D een divisor. Op een Riemannoppervlak van genus g geldt nu: l(D) − l(K − D) = 1 − g + Deg(D).
Laten we eerst wat voorbeelden geven van de stelling. Zij D de lege divisor. Deze komt van de constante functie en heeft graad nul. Deze divisor brengt de triviale lijnbundel voort. Deze heeft als holomorfe secties alleen de holomorfe functies. Maar zoals al eerder aangetoond is, zijn de enige holomorfe functies constant. Nu volgt l(0) = 1. l(K)
is de dimensie van het aantal holomorfe differentiaalvormen. Ook daarvoor geldt dat in hoofdstuk 2 is aangetoond dat de dimensie van de differentiaalvormen precies gelijk is aan g. Nu krijgen we dat l(0) − l(K) = 1 − g = 1 − g + Deg(D).
Neem nu als divisor D = K. De graad van K is 2g − 2 volgens de
Riemann-Hurwitzformule. Nu volgt dat l(K) − l(0) = g − 1 = 1 − g + 2g − 2 = 1 − g + Deg(K). Bewijs. Het bewijs begint met het uitrekenen van de stelling op de Riemannsfeer. Zij D een divisor op de Riemannsfeer. Aangezien op de Riemannsfeer alle divisors van graad nul de divisor zijn van een meromorfe functe, bepaalt de graad van de divisor de complete lijnbundel. Als Deg(D) < 0 dan volgt dat l(D) = 0. stel nu dat Deg(D) ≥ 0. zonder verlies van algemeenheid kunnen we aanemen dat D = Deg(D) ∗ ∞ en zij s een sectie met die divisor. Er volgt dat 1s, zs, ..., zDeg(D)s holomorfe secties zijn van de lijnbundel. Immers in de kaart met oneindig zien deze secties eruit als respectievelijk zDeg(D)s,zDeg(D)z s, ...,zzDeg(D)Deg(D)s dus deze secties zijn allemaal holomorf. Aangezien deze
allemaal een nulpunt van een andere orde hebben in 0, zijn dit lineair onafhankelijke secties van de lijnbundel. Deze secties spannen ook alle holomorfe secties op. Zij D1 =
P
pnpP een niet-negatiece divisor van graad Deg(D). We weten dat een sectie holomorf
is dan en slechts dan als zijn divisor niet-negatief is, dus als we een object kunnen maken met divisor D1 voor alle niet negatieve divisor D1 met de gegeven secties, volgt dat we
alle holomorfe secties kunnen maken met die secties. Bekijk de sectie Y ∞6=p∈D1 (z − P )nP s
. Dit is nu een sectie met divisor D1 en de voorfactor van de sectie is een polynoom
van graad hoogstens Deg(D1). Nu volgt dus dat de vezameling {1 ∗ zDeg(D)s, 1/z ∗
zDeg(D)s, ...,zDeg(D)1 z
Deg(D)s} een basis is voor de holomorge secties van de lijnbundel
en dus dat l(D) = 1 + Deg(D). Voor een positieve divisor geldt dus l(d) − l(K − D) = 1 + Deg(D) − 0 = 1 − g + Deg(D). Voor een divisor van graad -1 geldt er dat l(D) − L(K − D) = 0 − 0 = 1 − g + Deg(D) en voor een divisor van graad kleiner of gelijk aan -2 geld er dat l(D) − l(K − D) = 0 − ((− Deg(D) − 2) + 1) = 1 − g + Deg(D). Dus de Riemann-Rochstelling geldt voor de Riemannsfeer.
De rest van het bewijs is in drie delen verdeelt, net zoals de explicite berekening van de Riemannsfeer. Eerst wordt het geval l(D) > 0 behandeld, daarna het geval l(K − D) > 0 en ten slotte wordt het geval l(D) = l(K − D) = 0.
In het eerste geval nemen wij aan dat l(D) > 0. Omdat [D] een holomorfe snede bevat, volgt nu dat D lineair equivalent is aan een positieve divisor D0. Het voldoet om te checken dat de stelling van Riemann-Roch geldt voor D0 Zonder verlies van algemeenheid kunnen we nu dus aannemen dat D positief is. Het bewijs volgt uit een eigenschap van meromorfe differentiaalvormen van het tweede soort en twee stellingen uit de lineaire algebra. Het is bekend dat voor een lineaire afbeelding A van Cm → Cg dat ker(A) +
rk(A) = m en dat g − rk(A) gelijk is aan de dimensie van duale vectoren die op het beeld nul geven. Immers het is mogelijk om een orthonormale basis van het beeld van A uit te bereiden naar een orthonormale basis van Cg. Deze basis {e1, ..., eg} induceert een duale
basis {e1, ..., eg} zodat ej(e
i) = δij. Elke basisvector uit het orthogonale complement van
het beeld van A geeft induceert dus een covector die het beeld van A op nul afbeeld. De andere duale basisvectoren zijn niet nulfunctionalen. Ze beelden namelijk de basisvector die hem induceert niet af op nul en deze basisvector zit in het beeld van A. Nu volgt dus dat g − rk(A) precies de dimesie is van de functionalen die het beeld van A op nul afbeelden.
Om het bewijs overzichtelijk te houden word eerst het geval dat D = Pm
i=1Pm voor
verschillende punten P1, ..., Pm is behandeld. Er geldt dus dat Deg(D) = m. Zij f ∈
L(D). f kan alleen polen hebben van orde 1 in de punten P1, ..., Pm en geen polen van
hogere orde. Zij df = ω. Er volgt dat ω een meromorfe differentiaalvorm is die polen van orde 2 met residu nul kan hebben op de punten P1, ..., Pm. Nu kan ω uitgedrukt
worden in de genormaliseerde meromorfe differentiaalvormen van de derde soort Ω(1)P en de basis van holomorfe differentiaalvormen ω1, ..., ωg:
ω =
m
X
i=1
ciΩ(1)Pi + ψ.
Omdat ω exact is volgt dat Ha
iω =
H
biω = 0 voor alle i ∈ {1, ..., g}. Omdat de
genormaliseerde differentiaalvormen van de derde soort A-periodes hebben van 0, volgt dat de holomorfe vorm ψ A-periodes heeft van 0 en dus de nulvorm is. Verder zijn de B-periodes van de genormaliseerde vormen van de derde soort gelijk aan
H biΩ (n) Pj = 1 2πin! dn−1ω i dzjn−1.
In dit geval is n = 1 en volgte er dat 2πin!1 dn−1ωi
dzjn−1 = 1 2πiω(Pj) 0 = I bi ω = 1 2πi m X k=1 ckωi(Pk).
Dus niet elke combinatie van constantes ck geeft dat ω exact is, maar er geldt wel
dat elke combinatie van constantes ck zodat de B-periodes nul zijn een exacte ω geeft.
Er is dus een 1 op 1 correspondentie tussen de niet-constant functies f ∈ L(D) en de nulruimte van de matrix
A = ω1(P1) · · · ω1(Pm) .. . ... ωg(P1) · · · ωg(Pm)
Voor positieve divisors zit de constant functie ook in L(D). Er geldt dus dat l(D) = 1 + dim(ker(A)) = 1 + m − rk(A) = 1 + Deg(D) − rk(A).
Nu de term rk(A) nog naar de goede vorm worden omgeschreven. Hiervoor wordt het andere feit uit de lineaire algebra gebruikt. De rang van de matrix is hetzelfde als g min de dimesie van de lineaire functionalen die im(A) op nul afbeelden. Voor deze
functionalen geldt dat ze de kolommen van A op nul afbeelden en dus dat a1 · · · ag ω1(Pk) .. . ωg(Pk) = g X j=1 ajωj(Pk) = 0
voor alle k ∈ {1, ..., m}. Er is een andere interpretatie van van deze duale ruimte. Aan elke covector a1 · · · ag kunnen we nu een holomorfe 1-vorm η = Pgj=1ajωj
toekennen Door op te merken dat de covector nul geeft op het beeld van A als en slechts als η een holomorfe 1-vorm is die nul is op alle punten in D, volgt dat i(D) = l(K − D). Dit geeft dat
l(D) = 1 + Deg(D) − rk(A) = 1 + Deg(D) − (g − l(K − D)) = 1 − g + Deg(D) + l(K − D). Voor een algemene positieve divisor verandert er niet veel aan het bewijs. Zij D =
Pm
i=1nPiPi ω kan nu polen hebben in Pi tot orde nPi+ 1 en dus kan ω uitgedrukt worden
als ω =Pm
i=1
PnPi
n=1cniΩ (n)
Pi + ψ, met ψ een holomorfe 1-vorm. Uit het feit dat ω exact
is en dat de genormaliseerde differentiaalvormen van de derde soort A-periodes hebben van 0, volgt dat ψ = 0. Aangezien de B-periodes ook nul moeten zijn volgt nu dat
0 = I bk ω = m X i=1 nPi X n=1 cji 1 2πin! dn−1ωi dzin−1 .
Dit voegt extra kolommen toe aan de matrix A, die er in het algemene geval uit ziet als
A = A = ω1(P1) · · · ω (nP1−1) 1 (P1) · · · ω (nPm−1) 1 (Pm) .. . ... ωg(P1) · · · ω (nP1−1) g (P1) · · · ω (nPm−1) g (Pm) .
Er geldt nog steeds dat l(D) = 1 + dim(ker(A)) = 1 + Deg(D) − rk(A) Het verschil met het vorige geval is nu dat η =Pg
j=1ajωj(Pk) niet alleen nul is op de punten P1, ..., Pm,
maar ook dat alle afgeleides tot npi− 1 nul zijn in het punt Pi. Dit zorgt ervoor dat η
een nulpunt van orde nPi heeft op punt Pi en dus dat η ∈ L(K − D). Net zoals in het
geval met enkelvoudige nulpunten geldt er nu dat de dimensie van alle covectoren die heet beeld van A op nul afbeelden gelijk is aan l(K − D). Er volgt dat
l(D) = 1 + Deg(D) − rk(A) = 1 + Deg(D) − (g − l(K − D)) = 1 − g + Deg(D) + l(K − D). In het tweede geval nemen we l(K − D) > 0. Nu geldt er dat we geval 1 kunnen toepassen op de divisor K − D en dus dat l(K − D) − l(D) − Deg(K − D) = 1 − g. Dit kan omgeschreven worden naar l(D) − l(K − D) − Deg(D) = g − 1 − Deg(K). Er geldt dat Deg(K) = 2g − 2. Dit heet de Riemann-Hurwitzstelling en wordt niet bewezen in
