Een andere manier om de Greense functie uit te rekenen is aan de hand van de vol- gende compleetsheidsrelatie. Voor een complete verzameling orthonormale basisvectoren {vi}geldt er dat de deltadistributie geschreven kan worden als
δ(x − ξ) =X
i
vi(ξ)vi(x)
Immers er geldt dat hδ(x − ξ), vii = R vi(ξ)(vi(x))vi(x) = vi(ξ). Voor inverteerbare
zelfgeadjungeerde operator A volgt dat de Greensfunctie expliciet uit te schrijven is. λic(ξ) = λihvi, G(x, ξ)i = hA[vi], G(x, ξ)i = hvi, δ(x−ξ)i =
Z
viδx − ξρ(x) dx = vi(ξ)ρ(ξ)
dus door op te merken dat een zelfgeadjungeerde operator alleen re¨eele eigenwaardes heeft, volgt nu G(x, ξ) =P
i
vi(ξ)ρ(ξ)vi(x)
λi . Voor het standaard inproduct op L
2is ρ(ξ) = 1
en valt dus weg. Voor een niet-inverteerbare operator kunnen we een greense functie defini¨eren als G(x, ξ) =P
i
vi(ξ)vi(x)
λi , waarbij we sommeren over alle eigenvectoren met
niet nul eigenwaarden. Dit is precies de Greensfunctie op de deelruimte van waar de operator inverteerbaar is. Nu geldt er dat
A[G(x, ξ)] = δ(x − ξ) −X
i
Wat weer correspondeert met het feit dat G de Greense functie op de deelruimte waar A inverteebaar is. Immers A[G(x, ξ)] is de deltafunctie op die deelruimte. Samen met het feit dat G othogonaal op de ruimte van functies van eigenwaarde nul moet staan geeft dit een equivalente definite van de Greensfunctie. Immers een functie f (x, ξ) die orthogo- naal op de deelruimte van eigenvectoren van eigenwaarde 0 staan en zodat A[f (x, ξ)] de deltafunctie op de ruimte waar A inverteerbaar is, is precies de Greensfunctie op de deel- ruimte zonder de eigenvectoren van eigenwaarde 0. Voor een eindig dimensionale ruimte kunnen we de deltafunctie PN
i vi(ξ)vi ook in een willekeurige basis uitdrukken. Elke
basis v1, ..., vn induceert een duale basis v1, ..., vn zodat vi(vj) = δij. Deze functionaal
kan gezien worden als het inproduct met een vector vi0. Nu kunnen we de deltafunctie ook schrijven als PN
i=1vi(ξ)v 0 i(x).
9 Veldentheorie¨en
9.1 Voorkennis
Laten we nu veldentheorie¨en op een Riemannoppervlak behandelen. Omdat Riemannop- pervlakken complex zijn, hebben we ook het complexe inproduct nodig. Op vormen kan er makkelijk een inproduct gemaakt worden. Zij ω en η (1, 0)-vormen met A-periodes van respectievelijk Ai en A0i en B-periodes van respectievelijk Bi en Bi0. Er geldt dat
hω, ηi = 2i1 R
Γω ∧ η een inproduct geeft. De integraal is duidelijk lineair in het tweede
element. Vanuit de stellingen in 2 volgt dat de integraal ook positief definiet is en er geldt dat R
Γω ∧ η = −
R
Γη ∧ ω). Door de inclusie van de extra factor i volgt nu dat
ook geldt dat hω, ηi = hη, ωi en dus dat dit een inproduct definieert op gladde (1, 0)- vormen. Op gladde functies kan er ook een inproduct gedefinieerd worden aan de hand van een integraal. Om functies te integreren moet er in tegenstelling tot het integre- ren van vormen een metriek van het Riemannoppervlak gebruikt worden. De metriek ziet er in lokale co¨ordinaten uit als d2s = ρ(z, ¯z) dz d¯z. Nu kan er bewezen worden dat hµ1, µ2i =
R
Γµ1(z)µ2(z)ρd
2z een inproduct geeft op functies.
Algemener bestaat er een inproduct op λ-vormen. De metriek ziet er in lokale co¨ordinaten uit als d2s = ρ(z, ¯z) dz d¯z Men kan checken dat voor λ ∈ 1
2Z dat op de λ-vormen
hµ1, µ2i =
R
Γµ1(z)µ2(z)ρ
1−λd2z een inproduct geeft op de λ-vormen. In lokale co¨ordinaten
kan een vorm geschreven worden als µ = µ(z)dλz. In de integraal wordt er met µ1(z)
ook de functie in lokale co¨ordinaten bedoeld. Het is te zien dat alleen voor 1-vormen dit inproduct onafhankelijk is van de metriek op het Riemannoppervlak. In het vervolg wordt er dit inproduct genomen op de ruimte van λ-vormen.
9.1.1 Bosonische veldentheorie¨en op Riemannoppervlak
Voor een re¨eel scalair veld kan men de actie S[ϕ] = 4πi1 R
Γ∂ϕ∂ϕ. Omdat ϕ re¨eel is
volgt dat er geldt dat ∂ϕ = ∂ϕ en dus dat deze actie wordt gegeven door het inproduct
1
2πh∂ϕ, ∂ϕi. Omdat het inproduct positief definiet is, volgt er dat S[ϕ] ≥ 0 waarbij
S[ϕ] alleen nul is als ∂ϕ = 0 wat betekent dat ϕ een globale holomorfe functie moet zijn en dus de constante functie. Door de operator ∂ te adjungeren, kunnen we dit ook omschrijven naar een inproduct op de functies hϕ, ∂†∂ϕi. De operator ∆ = ∂†∂ wordt ook wel de laplaciaan genoemd. Dit is nu per constructie een positief semidefiniete operator, waarvan de enige eigenvector met eigenwaarde nul de constante functie is. Het is mogelijk om een expliciete uidrukking voor de Laplaciaan te vinden. Namelijk partieel integreren geeft dat
h∂ϕ, ∂ϕi = 1 2i Z Γ ∂ϕ∂ϕ = −1 2i Z Γ ϕ∂∂ϕ = hϕ, − ∂ ∂ ¯z ∂ ∂zϕi.
De operator ∆ = −∂z∂ ∂ ¯∂z heeft een volledige basis van eigenvectoren. Door de padin- tegraal te splitsen in een integraal over de constante functie en een padintegraal over de eigenvectoren met een niet-nul eigenwaarde volgt datR Dϕe−S[ϕ]=
q
A Det ∆.
Er bestaat zelfs een orthonormale basis van functies met de volgende eigenschap. Er bestaat een basis van functies f0, f1, ... en een orthonormale basis voor de vormen
v1, ..., vg, g1, g2, .... zodat ∂fn = λngn voor n > 0, λf0 = 0 en ∂†gn= −λnfn. Door deze
basis te gebruiken kunnen we eisen op de Greense functie leggen door de compleetheid in beide ruimtes te gebruiken.
1. RΓd2z√gf (z, w) = 0
2. ∆f (z, w) = −πδ(z − w) + π/A√g(z)
3. ∂z∂w¯f (z.w) = πδ(z − w) −Pgi=1vi(z)vi(w).
Voor de standaardbasis van de holomorfe differenitaalvormen geldt er datR
Γωi∧ ωj =
Pg
i=1AiBj − BiAi = 2i Im(Bij). Nu geldt er dat gemakkelijk de vectoren wi kunnen
vinden, zodat er geldt hωi, wji = δij. Voor de vector wi =Pgk=1Im(B−1)ikωk. Er geldt
datRΓωi∧wj =Pk=1g Im(τ )ikIm(B−1)kj = δij. Dus we kunnen de compleetheidsrelaties
ook in standaard basis voor de holomorfe differentiaalvormen uitdrukken. Nu kunnen de relaties van de Greense functie opgeschreven worden als
1. RΓd2z√gf (z, w) = 0
2. ∆f (z, w) = −πδ(z − w) + π/A√g(z)
3. ∂z∂w¯f (z.w) = πδ(z − w) − πPi,jωi(z) Im(τ−1)ω(w).
Het blijkt dat de normale correlatiefuncties hϕ(z)ϕ(w)i, niet de goede een ander type correlatiefuncties dat we kunnen bekijken ziet er als volgt uit: heiϕ(z)e−iϕ(w)i. Deze correlatiefunctie is gerelateerd aan de normale correlatiefunctie. Voor de geregulariseerde Greense functie geldt dat heiϕ(z)e−iϕ(w)i = ehϕ(z)ϕ(w)iReg
Dit kan als volgt informeel worden beargumenteerd. Stel dat hϕ(z)2i = hϕ(w)2i = 0.
Door nu de uitdrukking ei(ϕ(z)−ϕ(w)) te taylorontwikkelen, is te zien dat hei(ϕ(z)−ϕ(w))i = h ∞ X n=1 (iϕ(z) − ϕ(w))n n! i = ∞ X n=1 (inh(ϕ(z) − ϕ(w))ni n! i.
Nu is bekend van Wick’s theorem dat de oneven correlatiefuncties wegvallen dus kan de formule versimpeld worden tot
∞ X n=1 (−1)nP2n k=1(−1)k 2nkhϕ(z) kϕ(w)2n−ki 2n!
en doordat hϕ(z)2i = 0 volgt uit Wick dat alleen de term met evenveel ϕ(z) als ϕ(w)- termen niet nul geeft. Immers anders zit er in elke opdeling in paren minstens 1 paar van
de vorm hϕ(z)2i of hϕ(w)2i. Verder geld ook dat hϕ(z)nϕ(w)ni =P
parenhϕ(z)ϕ(w)in=
n!hϕ(z)ϕ(w)in. Alles bij elkaar geeft nu
∞ X n=1 (−1)n(−1)n2n n n!hϕ(z)ϕ(w)in 2n! = ∞ X n=1 hϕ(z)ϕ(w)in n! = e hϕ(z)ϕ(w)i
Doordat de greensfunctie logaritmisch divergeerd als z → w is dit argument helaas niet mogelijk. Het is immers niet mogelijk op hϕ(z)ϕ(z)i = 0 te kiezen. Er is een manier waarop dit wel kan, namelijk door de Greense functie te regulariseren. In deze scriptie wordt er niet behandeld hoe dit precies werk. De geregulariseerde Greense functie ziet eruit als f (z, w) − 12fR(z, z) − 12fR(w, w).
De correlatiefunctie met de correcte symmetri¨en is h(ρ(z))12eiϕ(z)ρ(w)e−iϕ(w)i.Voor
deze correlatiefunctie geldt er nog steeds dat h(ρ(z))12eiϕ(z)ρ(w)e−iϕ(w)i = (ρ(z)) 1 2(ρ(z)) 1 2ehϕ(z)ϕ(w)ireg = 1 F (z,w) , waar F (z, w) = (ρ(z)ρ(w)) 1 2e−f (z,w)+ 1 2fR(z,z)+ 1 2fR(w,w)
Uit deze eigenschap volgt dat
∂z∂¯zlog(f ) = −∂z∂z¯ρ(z) 1 2 + ∂z∂z¯f (z, w) +1 2∂z∂z¯fr(z, z) = πδ(z − w) − π/Apg(z) + π/Apg(z) − πX i,j
Im(ωi) Im(τ−1)i,jIm(ωj)
= πδ(z − w) − πX
i,j
Im(ωi(z)) Im(τ−1)i,jIm(ωj(z)).
Deze differentiaalvergelijking heeft een oplossing. Zoals in hoofdstuk 8 aangegeven geeft het object log |E(z, w)|2 de deltafunctie als de laplaciaan erop werkt, maar het is nog niet enkelwaardig. Verder volgt dat
−∂z∂z¯2π
Z z
w
Im(ω) Im(τ−1)i,j
Z z w Im(ωj) = ∂z∂z¯ π 2 Z z w ω − ω Im(τ−1)i,j Z z w ω − ωj = ∂zωi(z) Im(τ−1)i,j Z z w ωj+ ∂z Z z w ωiIm(τ−1)i,jωj(z) = −π 2
ωi(z) Im(τ−1)i,jωj(z) + ωi(z) Im(τ−1)i,jωj(z)
= −πωi(z) Im(τ−1)i,jωj(z).
Hieruit volgt dat log(F (z, w)) = 2π Rz
wIm(ω) Im(τ −1)
i,j
Rz
wIm(ωj) + log |E(z, w)| 2
de gezochte functie is als zij enkelwaardig is. Dus F (z, w) = eIm u(z−w) Im(τ−1) Im(u(z−w))|E(z, w)|2.
Voor enkelwaardigheid is het voldoende dat de functie invariant is onder verschuiving met een enkele A- of B-periode. Uit hoofdstuk 6 dat |E(z, w)|2 invariant is onder ver- schuifingen met een A-periode. OmdatR
aiωj = δij volgt dat van
Rz
wIm ωi=
Rz+ai
w Im ωi,
want het imaginaire deel van 1 is 0. Dus F (z, w) is invariant onder verschuivingen met een A-periode. Onder verschuiving met een B-periode, is |E(z, w)1|2niet periodiek maar geldt er dat
|E(z + Bj, w)|2 = |E(z, w)|2e2πi(12Bjj+ui(p−q))e−2πi( 1
2Bii+ui(p−q)))
= e4π(12Im(Bjj)+Im(uj(p−q))|E(z, w)|2.
Voor e−2π Im(u(z−w)) Im(B−1) Im(u(z−w)) geldt er dat
−2π Im(u(z − w + bj)) Im(B−1) Im(u(z − w + bj))
= −2π g X k=1 g X l=1
(Im(uk(z − w)) + Im(Bjk)) Im(B−1)kl(Im(B)lj+ Im(u(z − w)))
! .
Als we weer gebruiken dat Pg
k=1Im(Bjk) Im(B −1)
ki = δij volgt nu dat deze enorme
som gelijk is aan
−2π Im(u(z − w)) Im(B−1) Im(u(z − w)) + 2 Im(uj(z − w)) + Im(Bjj).
Verder geldt dat e−2πRwzIm(ω) Im(τ −1)
i,j
Rz
wIm(ωj)|E(z, w)|2ook onder de beschuiving van
een B-periode invariant is. Nu is de uitdrukking dus een enkelwaardige functie die aan de differenitaalvergelijking voor de Greense functie voldoet en is dit dus de gezochte Greense functie.
Er kan ook gemakkelijk een uitdrukking gevonden worden voor 2n-puntscorrelatiefuncties. De functie Q i<jF (zi, zj) Q i<jF (wi, wj) Q i,jF (zi, wj)
is symmetrisch onder verwisseling van zi met zj en hetzelfde geldt voor wi en wj.
Verder heeft deze functie precies het goede gedrag als rond zi = wj en de functie is nul
als zi = zj of als wi= wj. Dus er geldt dat
h n Y i=1 ρ(zi)− 1 2eiϕ(zi) n Y i=1 ρ(wi)− 1 2e−iϕ(wi)i = Q i<jF (zi, zj)Qi<jF (wi, wj) Q i,jF (zi, wj) .
9.2
Fermionische veldentheorie¨en
9.2.1 Grassmannvariabelen en BerezinintegralenHet S[b, c] systeem vereist een andere aanpak. Uit de quantummechanica is bekend dat fermionen compleet antisymmetrische goolffuncties hebben. In de veldentheorie vertaalt dat zich naar het feit dat correlatiefuncties compleet antisymmetrisch moeten zijn. Dit kan bereikt worden door de variablen in je veldentheorie anticommuterend te nemen. Dus dat voor twee functies f, g moet gelden dat f g = −gf . Zij ϑ1, ..., ϑn variabelaen
waarvoor geldt dat ϑiϑj+ ϑjϑi = 0 voor alle i, j ∈ {1, ..., n}. Dan heten deze variablen
Grassmannvariabelen. Er geldt dat ϑ2i = −ϑ2i = 0. Dit het tot gevolg dat alle analytische functies lineair zijn. Immers alle hogere orde termen zijn 0. De normale integratie gaat over commuterende variabelen, dus op deze anticommuterende variabelen moet er een nieuwe vorm van integreren ingevoerd worden. De manier van integreren van anticom- mutatieve variabelen heet Berezinintegratie. Voor een verzameling Grassmannvariabelen {b1, ..., bn} is het mogelijk om de volgemde manier van integreren te defini¨eren:
Z
bidbi = 1&
Z
1 dbi = 0.
Een mooie eigenschap van deze vorm van integreren is dat we de determinant van een matrix kunnen schrijven als een integraal:
Z
e−αAβdα dβ = Det(A)
waar {α1, β1, ..., αn, βn} een familie van Grassmannvariabelen zijn. De berekening gaat
als volgt. Alleen de termen met alle variabelen dragen bij aan de integraal. Dus alleen de term (−
Pn
j,i=1αiAijβj)n
n! draagt bij. Sterker nog alleen de termen uit dit product wiens
index een permutatie is dragen bij. Nu ziet de integraal er dus uit als
Z (−1)n n! X σ1,σ2 ασ1(1)Aσ1(1)σ2(1)βσ2(1)...ασ1(n)Aσ1(n)σ2(n)βσ2(n)dα dβ = Z 1 n! X σ1,σ2 βσ2(1)Aσ1(1)σ2(1)ασ1(1)...βσ2(n)Aσ1(n)σ2(n)ασ1(n)dα dβ
Omdat we paren kunnen omwisselen zonder een teken te krijgen, is het mogelijk om in deze uitdrukking β’s op aflopende te sorteren. Dit zorgt ervoor dat de integraal versimpeld naar Z X σ βnAσ(n)nασ(n)...β1Aσ(1)1ασ(1)dα dβ = X σ n Y i=1 Aσ(n)n Z βnασ(n)...β1ασ(1)dα dβ
De integraal geeft nu het teken van de permutatie σ. Omdat geldt dat sgn(σ) = sgn(σ−1) volgt nu dat de integraal precies de determinant geeft.
X σ n Y i=1 Aσ(n)nsgn(σ) = X σ0 n Y i=1 Anσ0(n)= Det(A) 9.2.2 Correlatiefuncties
Bekend is dat er een orthonormale basis van functies fn bestaat voor de laplaciaan
en dat de rij stijgend is in de eigenwaarde. Voor de (1,0)-vormen hebben we de basis ω1, ..., ωg, g1, g2, ..., waarbij ∂fn = λngn. Er moet ook gelden dat ¯∂gn = −λnfn Nu
kunnen we de padintegraal zien als lim n→∞ Z ehb,∂cidgndfn... dωg... dω1df0= Z eR b ¯∂cDbDc
De operator ¯∂ heeft geen echte eigenvectoren of eigenwaarden, omdat het een afbeel- ding is tussen twee verschillende ruimtes, maar een nuttige definitie is dat de fn in dit
geval de eigenvectoren zijn en λnde eigenwaarden. De deteminant van ¯∂ is nu het product
van de λn. Voordat de correlatiefuncties berekend worden moet er nog een ding gezegd
worden. Het is bekend dat [3] de correlatiefunctie in elk component hetzelfde transfor- meert als het object in de correlatiefucntie. Dat wil zeggen dat hb(z1)b(z2)c(w1)c(w2)i
een 1-vorm is in de gezien als functie in z1 of z2 en een functie is in de coordinaten
w1 en w2. Dit feit gecombineerd met de nulpunten en polen die direct volgen uit de
correlatiefunctie leggen over het algemeen de correlatiefunctie compleet vast.
Om de correlatiefuncties uit te rekenen kunnen we de volgende truc gebruiken. We kunnen deze integraal nu splitsen in de niet-nul eigenwaarden en de nul-eigenwaarden. De e-macht hangt niet af van de eigenvectoren met eigenwaarde nul. Op de eigenvectoren met een niet-nul eigenwaarde is de operator ¯∂ nu inverteerbaar waardoor we op deze ruimte de padintegraal kunnen uitrekenen:
Z eR b ¯∂cDbDc = Z eR b ¯∂cDbDc Z dω1· · · dωgdf0
Nu volgt dat R eR b ¯∂cDbDc = Det( ¯∂), zoals in de vorige sectie aangetoond is. Ook is
te zien dat de integraal over de nuleigenvectoren nu nul geeft. Om dit tegen te gaan kunnen we hb(z1) · · · b(zg)c(w1)i bekijken. Dit object moet totaal antisymetrsisch zijn
onder verwisseling van zi en zj.
Z
b(z1) · · · b(zg)c(w1) dω1· · · dωgdf0= det ωi(zj)
.
Beide kanten van de vergelijking zijn holomorfe uitdrukkingen die totaal antisymme- trisch zijn. Het is te zien dat aan de rechterkant de uitdrukking als functie van zi een
vorm is en als functie van w1 een meromorfe functie is. Immers de uitdrukking hangt
niet af van w1 en de constante functie is een meromorfe functie. Omdat f0 de constante
functie is volgt dat de uitdrukking onafhankelijk is van w1. Hieruit volgt dat de totale
correlatiefunctie gelijk is aan hb(z1) · · · b(zg)c(w1)i = Det( ¯∂) det ωi(zj)
Boven op deze verwachtingswaarde, kunnen we nog de tweepuntscorrelatiefuncties bekijken. Deze kunnen de vorm hebben van hb(z1)b(z2)i, hb(z1)c(w1)i of hc(w1)c(w2)i.
Door anticommutativiteit, zijn hb(z1)b(z2)i en hc(w1)c(w2)i nul als z1 = z2 of w1 = w2.
De Greense functie van ¯∂ is een object met een pool van orde 1 als z = w dus hb(z1)c(w1)i
heeft een pool als z1 = w1. Dit gedrag kunnen we grbruiken om in te zien welke
correlatiefuncties nul zijn. Neem nu de correlatiefunctie hb(z1) · · · b(zg+2)c(w1)i
Dit forceert nu twee extra nulpunten in de differentiaalvorm waar de deze correlatie- functie zien als functie van z1, namelijk eentje op z1 = zg+1 een eentje op z1 = zg+2.
Over het algemeen is er geen meromorfe differentiaalvorm met deze extra nulpunten, dus moet deze correlatiefunctie wel de nulfunctie zijn. Iets soortgelijks geldt als we twee extra c velden toevoegen. hb(z1) · · · b(zg)c(w1)c(w2)c(w3) is ook nul omdat we twee extra
nulpunten opleggen aan de de meromorfe functie w1 7→ hb(z1) · · · b(zg)c(w1)c(w2)c(w3)i
en over het algemeen hebben we die vrijheid niet. Voor de correlatiefunctie hb(z1) · · · b(zg+1)c(w1)c(w2)i
geldt echter dat hij een extra pool en nulpunt heeft als we hem zien als functie in z1 of w1, waardoor we over het algemeen een niet nul functie kunnen vinden met deze
eigenschappen. Dit inductief herhalen geeft alleen correlatiefuncties van de vorm
h g−1+n Y i=1 b(zi) n Y j=i c(wn)i
niet nul zijn. Een formelere formulatie van wat er bedoeld wordt met er kan ver- wacht worden dat er een holomorf object is met de goede divisor, gebeurt aan de hand van een stelling die de Jacobi-inversiestelling heet. Die stelt dat voor bijna alle divi- sors D van graad g er een unieke verzameling p1, ..., pg van g nulpunten bestaat zodat
[Pg
i=1pi] = D. Voor correlatiefuncties van de vorm h
Qg−1+n
i=1 b(zi)
Qn
j=ic(wn)i geeft dit
het volgende. Als we de correlatiefunctie weer opvatten als een functie van z1, weten
we dat het een meromorfe differentiaalvorm moet zijn. Verder weten we dat hij nul- punten heeft op z2 tot zg−1+n en polen heeft op w1 tot wn. Omdat de graad van K,
de divisor van de meromorfe vormen, graad 2g − 2 heeft, volgt dat er nog g nulpunten moeten zijn. ImmersPg−1+n
i=2 −
Pn
i=1wi is maar een divisor van graad g − 2. De divisor
K − (Pg−1+n
i=2 −
Pn
i=1wi) is een divisor van graad g en volgens de Jacobi-inversiestelling
bestaat er nu bijna altijd een unieke verzameling van g nulpunten die deze divisor geeft. Nu is Pg−1+n
i=2 −
Pn
i=1wi +P i = 1gpi de unieke divisor zodat de correlatiefunctie als
functie van z1 een meromorfe vorm is. Dit geeft ook de reden waarom niet verwacht kan
worden dat een functie met meer b-velden in de correlatiefunctie over het algemeen nul geeft. immers tenzij de extra nulpunten die ge¨eist worden toevallig uit de verzameling p1, ..., pgkomen, bestaat er geen meromorfe vorm met die divisor. Voor de c-velden geldt
hetzelfde. Als we de correlatiefunctie als functie van w1 bekijken, liggen de g − 1 + n
polen op z1 tot en met zg−1+n en de n − 1 nulpunten w2 tot en met n al vast. Omdat
de divisor van een meromorfe functie graad 0 heeft, volgt dat er bijna altijd een unieke verzameling p1, ..., pg bestaat zodat Pni=2wi−Pg−1+ni=1 zi+Pgi=1pi de divisor van een
meromorfe functie is.
Om de correlatiefunctie hb(z1) · · · b(zg+1)c(w1)c(w2)i te vinden, kan er gebruikt ge-
maakt worden van Wick’s stelling. Deze werkt ook voor fermionisch vrije velden, maar in dat geval moet er gelet worden op tekens. Daaruit volgt dat de correlatiefunctie uitgedrukt kan worden als
hb(z1) · · · b(zg+1)c(w1)c(w2)i =
X
zi,wj
(−1)jhb(z1) · · ·b(zˆi) · · · b(zg+1)c(w1)ihb(zi)c(wj)i
waarbijb(zˆi) betekend dat deze factor weggelaten moet worden uit de correlatiefunc-
tie. Dit moet eigenlijk ook gebeuren in de c-velden, maar omdat die correlatiefunctie onafhankelijk is van w kan het ook op deze manier geschreven worden. dit heeft nog een extra gevolg. De som is ook te schrijven als
X
zi
(−1)jhb(z1) · · ·b(zˆi) · · · b(zg+1)c(w1)ihb(zi)c(w1)i − hb(zi)c(w2)i
Nu volgt dat hb(zi)c(w1)i − hb(zi)c(w2)i als functie van zi een meromorfe vorm is
met een pool met residu 1 in w1 en een pool met residu −1 in w2. Er bestaat een
meromorfe vorm met deze eigenschap, namelijk de genormaliseerde differentiaalvorm van de derde soort ωw1−w2. De correlatiefunctie hb(z1) · · · b(zg+1)c(w1)c(w2)i kan dus
uitgedrukt worden in de holomorfe differentiaalvormen en de vorm ωw1−w2.
Omdat de correlatiefunctie antisymmetrisch moet zijn in de variablen zi, volgt dat
we haar weer kunnen schrijven als Slaterdeterminant. Dit geeft dat de we een ansatz kunnen maken voor hoe de algemene correlatiefunctie eruit ziet. Als we aannemen dat de correlatiefunctie een slaterdeterminant is van de variabelen zi en de holomorfe
differentiaalvormen en differentiaalvormen van de derde soort, verkrijgt men de volgende ansatz: Definieer de rij van meromorfe 1-vormen ϕi als volgt. ϕi = ωi voor i ∈ {1, ..., g}
en ϕg+i= ωwi−wi+1 met i ∈ {1, ..., n − 1}. Het object
Det(ϕi(zj))
is nu een object dat aan alle eisen voldoet. Doordat het een determinant is, is deze uit- drukking compleet antisymmetrisch onder verwisseling van twee rijen. Dus een verwisse- ling van zk metzl, l, k ∈ {1, ..., g − 1 + n} geeft een minteken, aangezien een verwisseling
van zk en zl ook gezien kan worden als een omwisseling van rijen in de determinant.
Verder geldt er duidelijk dat dit object gezien als functie in zl een meromorfe differenti-
aalvorm is voor alle l ∈ {1, ..., g − 1 + n} . Verder geldt er dat als zlen zk gelijk zijn, dat
de determinant 0 geeft. Ook geldt er voor elke zk dat er een pool is op zk= wi. Dus nu
als functie van zk is dit het goede object.
Als functie van wi is het niet duidelijk of dit object antisymmetrisch is onder verwis-
seling van twee variabelen wl en wk en al helemaal niet of dit een meromorfe functie
is in elke coordinaat wl. De antisymmetrie volgt uit de volgende twee eigenschappen
ωwl−wk = −ωwk−wl en ωwl−wk + ωwk−wm = ωwl−wm. Beide eigenschappen volgen uit
het feit dat ωwl−wk de unieke differentiaalvorm is met een pool van orde 1 met re-
sidu 1 in wl en een pool van orde 1 met residu −1 in wk en waarvan alle A-periodes
gelijk zijn aan 0. Om de antisymmetrie aan te tonen is het genoeg om te checken of wi en wi+ 1 omwisselen anticommutatief is. Als wi en wi+1 omgewisseld worden,
volgt dat er maximaal 3 kolomen in de determinant aangepast worden. Immers al- leen de vormen ωwi−1−wi, ωwi−wi+1 en ωwi+1−wi+2, worden aangepast als ze in de dete-
ωwi−wi+2. Het minteken komt weer tevoorschijn door ωwi+1−wi = −ωwi−wi+1. Als de an-
dere kolommen veranderd worden, verandert dat de determinant niet. Immers doordat ωwi−1−wi+1 = ωwi−1−wi + ωwi−wi+1 te gebruiken en de multilineairiteit van de determi-
nant, kunnen we de determinant in de som van twee deteminanten splitsen. Namelijk in eentje waarvan de kolom ωwi−1−wi+1 vervangen is door ωwi−1−wi en een determinant
waar de kolom vervangen is door ωwi−wi+1. De determinant waarbij de kolom vervangen
is door ωwi−wi+1 geeft nu nul, want hij heeft twee lineair afhankelijke kolommen en in
de determinant die niet nul is volgt dat de kolom ωwi−1−wi precies dezelfde is als in de
determinant voordat de variablen wi en wi+1verwisseld werden. Een analoog argument
geldt om aan te tonen dat kolom met ωwi−wi+2 de determinant niet veranderd.
Om in te zien dat de determinant als een meromorfe functie van wi afhangt, is het
voldoende om het volgende op te merken. ωwk−wk+1 hangt holomorf af van wk en hangt
niet af van de keuze van kaart waar waarin dit bekeken wordt. Het eerste geeft dat dit een meromorfe snede is van een of andere lijnbundel en het tweede geeft dat het een snede moet zijn van de triviale lijnbundel en dus ge¨ıdentificeerd kan worden met een meromorfe functie.
9.3 Algemenere fermionische veldentheorie¨en
In de vorige paragraaf is in detail het fermionisch systeem met b een (1, 0)-vorm en c een (0, 0)-vorm. We kunnen ook andere b en c velden bekijken. Zij λ ∈ 12Z. Nu kunnen we ook een systeem bekijken waar b een (λ, 0)-vorm is en het c een (1 − λ, 0)-vorm. Voor halfvormen is er een implicite keuze van de spinstructuur, α, die de halfperiodes zijn zoals in hoofdstuk6. Elke spinstructuur geeft een andere lijnbundel voor de halfvormen. Dit zijn de lijnbundels corresponderend bij de divisor Dα= ∆ + a + Bb, waar a, b ∈ {0,12}g
en B de periodematrix van het Riemannoppervlak is. Een (λ, 0) -vorm wordt dat gezien als een snede van de lijnbundel Dλ,α = 2λDα. Als λ geheel is, valt de afhankelijk van
de spinstructuur weg aangezien 2Dα = K met K de divisor van de (1, 0)-vormen en de
91, 0)-vormen geen spinstrucuur hebben. Analoog aan het geval van de vorige paragraaf