Voorbeelden warmte-indringing in een eindig medium met periodieke randvoorwaarden – KLIMAPEDIA

Hele tekst

(1)Kennisbank Bouwfysica W-43; Voorbeelden van warmte-indringing in een eindig medium met periodieke randvoorwaarden. Voorbeelden warmte-indringing in een eindig medium met periodieke randvoorwaarden Kennisbank Bouwfysica Auteur: ir. A.C. van der Linden. 1. Voorbeeld: binnendringing van zonstraling door een wand Voorbeeld van een berekening voor een enkelvoudige wand bij periodiek variërende zonbestraling en buitentemperatuur, en constant blijvende binnentemperatuur (geconditioneerde ruimte).. λρc. qz Te αe. Ti αi qi. Aw. d figuur 1.. eindige monolitische wand met zonbestraling. Gegeven: qz (tot) =. 400 + 400 cos ω(t-12) W/m². Te (tot) = ω=. 20 + 5 cos ω(t-14) °C π/12 en t in klokuren. Ti(tot) = λ=. 20 °C 2,0 W/mK. ρ= c=. 2500 kg/m3 1000 J/kgK. d= αe =. 0,10 m 20 W/m²K. αi = Aw =. 8 W/m²K 1 (absorptiecoefficent voor zonstraling van het buitenoppervlak). Gevraagd: qi Oplossing: Ta(tot) en qz(tot) kunnen we samennemen in een Sol Air Temperature of Sonnenlufttemperatuur Ts(tot). A q A qˆ ~ T s (tot ) = T s + T s = T e + w z + Tˆe cos ω (t − 14 ) + w z cos ω (t − 12 αe αe. )=. = 40 + 24 , 5 cos ω ( t − 12 , 4 ) Voor het fluctuerende deel van Ts (tot) kunnen we in complexe notatie nu dus ook schrijven:. ~ iφ Ts = Tˆs e e iωt = 24,5e −i12,4ωe iωt 1 van 7 augustus 2005.

(2) Kennisbank Bouwfysica W-43; Voorbeelden van warmte-indringing in een eindig medium met periodieke randvoorwaarden. Het fluctuerende deel van de binnenluchttemperatuur is 0, omdat Ti (tot) constant is. Er geldt dus (zie ook de afspraak over de notatie):  0   1 − 1  a11 a12  1 − 1  Ts    = α i   α e       qi   0 1  a 21 a11  0 1  q e  Hieruit volgt:. qe =. α e (α i a11 − a 21 ) T (α i a11 − a21 ) − α e (α i a12 − a11 ) s. (1).  a qi = a 21Ts −  21 − a11  qe   αe Met k =. ω π ⋅ 2500 ⋅1000 = = 6,74 en de formules uit module “Bijlagen niet-stationair 2a 12 ⋅ 3600 ⋅ 2 ⋅ 2. warmtetransport; appendix A” worden de volgende matrixcoëfficiënten berekend:. a11 = a22 = cosh(1 + i )kd = 0,966 + 0,453i sinh(1 + i )kd = - 0,0496 - 0,0076i a12 = − λ (1 + i )k a21 = − λ (1 + i )k sinh(1 + i )kd = 2,75 - 18,01i (Controleer zelf de uitkomsten met behulp van de formules uit appendix A) Substitutie van a11,a12 en a21 in (1) levert:. i arctan q e = (8,27 + 5,24i )Ts = 8,27 2 + 5,24 2 e = 9,8e i0,56 ⋅ 24,5e −i12,4ω = 240e. 5,24 8,27 ⋅ T. iω(2,1−12,4). s. (met ω =. π ) 12. Zodat: iω(2,1−12,4) iωt iω(t −10,3) q~e = 240e e = 240e Voor qi wordt op dezelfde wijze gevonden:. iω(t −15,4) q~i = 87e Het stationaire, gemiddelde deel qi is te berekenen uit Ts = 40°C en. Rtot =. qi =. 1 20. + 02,1 + 18 = 0,255 [m 2 K / W ].. Ts − Ti 40 − 20 = = 89 W / m 2 Rtot 0,225 2 van 7 augustus 2005.

(3) Kennisbank Bouwfysica W-43; Voorbeelden van warmte-indringing in een eindig medium met periodieke randvoorwaarden. De uitdrukking voor de totale warmtestroomdichtheid is dus:. qi (tot ) = 89 + 87e. iω(t −15,4). Met als fysische betekenis:. qi (tot ) = 89 + 87 cos ω(t − 15,4) W / m 2 2. Voorbeeld: Dynamisch temperatuurverloop in een meerlaagse constructie Beschouw de wandconstructie uit figuur 4 (zie module W-42; “Warmte-indringing in een eindig medium met periodieke randvoorwaarden”). In formule (8) uit diezelfde module is de matrixvergelijking van deze spouwconstructie uitgeschreven. Gegeven: qz (tot) Te (tot). 100 + 140 cos ω(t-12) + 40 cos 0,5ω(t-12) W/m² 20 + 5 cos ω(t-14) °C. Ti(tot) ω. 20 + 4 cos ω(t-17) °C π/12 en t in klokuren. Aw. 0,7 (absorptiecoefficent voor zonstraling). Voor de zonbelasting is hier ook de 12-uurs cyclus meegenomen (zie (9) module W-42; “Warmte-indringing in een eindig medium met periodieke randvoorwaarden”). Dit houdt in dat de berekening voor twee frequenties uitgevoerd moet worden (eigenlijk drie als de gemiddelde toestand worden beschouwd als ω = 0). De Sol Air Temperature kan weer op dezelfde wijze worden bepaald, zij het dat de twee frequenties worden meegenomen. Aan weerszijden van de constructie is nu de temperatuur als randvoorwaarde gegeven. Door gebruik te maken van (11) kan de warmtestroom aan het binnen- en buitenoppervlak berekend worden. Vervolgens kan met formule (8) in alle tussenliggende lagen de temperatuur en warmtestroom berekend worden. In appendix C (module W-45; “Bijlagen niet-stationair warmtetransport”) is een Matlab-script inclusief de benodigde materiaalgegevens weergegeven waarmee deze berekening is uitgevoerd. Figuur 2 geeft het temperatuurverloop over de dag op verschillende plaatsen in de constructie. Figuur 3 geeft het temperatuurprofiel in de constructie op verschillende tijdstippen. De dagelijkse temperatuurschommeling is in het buitenblad zoals te verwachten veel groter dan in het binnenblad. In figuur 3 is duidelijk te zien dat de isolatielaag zorgt voor een demping in de amplitude. In figuur 3 is verder te zien dat de temperatuurgradiënt in het buitenblad wisselt over de dag. In de ochtenduren is de buitenzijde warmer dan de binnenzijde, later op de dag is het omgekeerd. Indien de constructie vrij kan vervormen, zal het buitenblad in de loop van de dag van bol naar hol gaan. Indien de vervorming wordt belemmerd zullen temperatuurspanningen ontstaan. 3 van 7 augustus 2005.

(4) Kennisbank Bouwfysica W-43; Voorbeelden van warmte-indringing in een eindig medium met periodieke randvoorwaarden. temperatuur °C. 35. Sol-air temperatuur buitenblad midden. 30. isolatie midden. 25. binnentemperatuur. 20. binnenblad midden 15. 10. 0. 5. 10. 15. 20. 25. tijd [h] figuur 2.. dagelijks temperatuurverloop op verschillende plaatsen in een geïsoleerde spouwmuur. 40. 35. 18 uur. 30. 12 uur 25. 24 uur 20. 6 uur 15. 0. figuur 3. 3. 0.05. 0.1. 0.15. 0.2. 0.25. 0.3. 0.35. temperatuurverloop in een spouwmuur op verschillende tijdstippen. Voorbeeld: Temperatuuramplitudedemping Ter beoordeling van het dynamisch gedrag van een constructie kan de door de wand binnenkomende warmte of de binnenoppervlaktetemperatuur van de wand als maat genomen worden. Voor de binnenoppervlaktetemperatuur wordt het begrip temperatuuramplitudedemping ingevoerd. Deze amplitudedemping geeft de verhouding aan van de temperatuuramplitude binnen ten opzichte van de temperatuuramplitude buiten en geeft de demping aan van de temperatuurschommeling buiten ten gevolge van de warmteweerstand en het accumulatievermogen van de constructie.. 4 van 7 augustus 2005.

(5) Kennisbank Bouwfysica W-43; Voorbeelden van warmte-indringing in een eindig medium met periodieke randvoorwaarden. Voor een willekeurige constructie kan, zoals eerder behandeld, geschreven worden (zie figuur 4): A. B T1=Ti. T0 q1=qi q0. figuur 4.. voorbeeld van een constructie bestaande uit meerdere lagen.  T1   m11 m12  T0    =    m21 m22  q0   q1   M. (2). De temperatuuramplitudedemping D =. T0 kan in twee gevallen eenvoudig berekend worden, T1. namelijk: 1. q1 =qi = 0, d.w.z. geen binnenkomende warmte. Hiervan is sprake als de oppervlaktetemperatuur gelijk is aan de binnenluchttemperatuur. 2. binnenluchttemperatuur Ti (tot) = constant. Indien geen ventilatie plaatsvindt, ligt de werkelijkheid tussen deze beide gevallen in. Ad 1. Substitutie van qi = 0 in (8.22) leidt tot:.  T1   m11 m12  T0    =     0   m21 m22  q0  Uitwerken levert:. D=. T0 m22 = T1 m11m22 − m12 m21. (3). De noemer in vergelijking (3) is de determinant van de matrix M. Er kan bewezen worden dat deze altijd gelijk is aan 1, zodat:. T D = 0 = m22 = p + iq = T1 ˆ= dus D. q i arctan p ˆ iφ p2 + q2 ⋅ e = De. p 2 + q 2 en φ = arctan. q . p. 5 van 7 augustus 2005.

(6) Kennisbank Bouwfysica W-43; Voorbeelden van warmte-indringing in een eindig medium met periodieke randvoorwaarden. Dˆ geeft de modulus van de demping weer en φ geeft de faseverschuiving tussen T0 en T1 in radialen. Indien een dagcyclus beschouwd wordt is ω = π radialen per uur. Het tijdverschil tussen de. 12. optredende maxima van T0 en T1 kan berekend worden uit:. t0 =. φ φ ⋅ 12 = [ h] ω π. Ad 2: Ti(tot) =. constant, dus Ti = 0.. We weten dat q1 = qi = α i (T1 − Ti ) = α iT1 Substitutie in (2) leidt tot:.  T1   m11 m12  T0    =     α iT1   m21 m22  q0  Uitwerken levert:. D=. T0 = m22 − α i m12 T1. (4). ˆ en de faseverschuiving φ bepaald worden. Analoog aan (3) kan hiervan de modulus D In tabel 1 zijn de resultaten voor een aantal constructies gegeven.. 6 van 7 augustus 2005.

(7) Kennisbank Bouwfysica W-43; Voorbeelden van warmte-indringing in een eindig medium met periodieke randvoorwaarden. qi=0. D demping Ts. φ/ω faseverschuiving [h]. Ti=constant. D demping. φ /ω faseverschuiving [h]. Ti 1,3. 3,1. 1,9. 2,3. 1,1. 2,4. 23,6. 0,9. 11,0. 6,0. 17,1. 3,2. 1,1. 2,1. 13,2. 1,6. 43,7. 7,2. 55,0. 5,6. 1,5. 5,5. 31,3. 4,0. 10 cm beton. 10 cm isolatie. 5 cm isolatie + 5 cm beton. 5 cm beton + 5 cm isolatie. 10 cm isolatie + 10 cm beton. 10 cm beton + 10 cm isolatie tabel 1.. temperatuuramplitudedemping en faseverschuiving van enkele constructies. Uit tabel 1 blijkt, dat het plaatsen van isolatie aan de buitenzijde van het beton een sterke verbetering van de amplitudedemping geeft. In Appendix D (module W-45; “Bijlagen niet-stationair warmtetransport”) is een Matlab-script gegeven waarmee de bovenstaande berekening voor een constructie met een willekeurig aantal lagen kan worden uitgevoerd. Opmerkingen: 1. De demping kan ook genomen worden t.o.v. de Sol Air Temperature Ts. De matrix M moet . 1 dan eerst worden vermenigvuldigd met de matrix . 0 . −1.  α e  van de fictieve luchtlaag aan 1 . de buitenzijde. Dit is gedaan bij de voorbeelden in tabel 1. 2. De elementen van de matrix M zijn, behalve van de materiaaleigenschappen, ook afhankelijk van de hoekfrequentie. Indien de randvoorwaarde niet sinusvormig is, kan deze in een Fourierreeks ontwikkeld worden, zoals uiteengezet in module W-41; “Niet-stationair warmtetransport – periodieke randvoorwaarden”. Van elke term wordt dan de responsie bepaald. Sommatie van deze responsies levert de einduitkomst. 7 van 7 augustus 2005.

(8)

No results found