H8: Hoeken en afstanden

Hoofdstuk 8:

Hoeken en afstanden.

a. De richtingsvector van lijn k is: 2 3   _    2 2 3 5 13 29 cos 0,98 11,9          o b. 2x7y 0 x y  2 0 2 7 7y 2x y x     y  x 2 De richtingsvectoren zijn: 2 7        en 1 1       2 1 7 1 53 2 cos 0,49 60,9           o 3. cos  3 2 13 2 5    _{14 38} 0,82 34,5   o 4.

a. VABC is een gelijkbenige, rechthoekige driehoek: ACB BAC 45o

b. VBEG is een gelijkzijdige driehoek met zijden 4 2 en hoeken van 60o_.

c. Het diagonaalvlak ABGH is een rechthoek. d. tan CAG  4 24

35,3 CAG

  o

Of uitrekenen met sin/cos en _{AG 4}2_{(4 2)}2 _{4 3.}

5.

a. licht rechthoek ABGH eruit. N is het midden van AB.

1 3 5

2 2 tan ( ) 61,9

AMB AMN 

       o

b. licht driehoek ABP eruit. Hierin is BAP 90o

2 2 6 3 2 tan 1,66 59,0 APB APB       o

c. Kijk in het bovenvlak:

2 3 tan 33,7 HMP HMP     o 4 3 tan 53,1 FMG FMG     o FMP 180 33,7 53,1 93,2 o o o o 6.

a. Driehoek ACP is niet rechthoekig. b. A(4, 0, 0) P(2, 0, 3) C(0, 6, 0)

c. 2 0 3 PA        _    uur en 2 6 3 PC         _    uuur 2 2 0 6 3 3 13 7 cos 0,20 78,6 APC APC            o 7. a. b. 4 3 1 0 3 3 0 3 3 MA             _{    }   _     _        uuur en 2 3 1 4 3 1 0 3 3 MN              _{    }  _     _        uuur 1 1 3 1 3 3 19 11 cos 0,35 70 AMN AMN            o 8. a. 4 2 4 tanBCE   2 4 1 4 2 2 tan ACE   4 2 4 tanDCE   2 55 BCE   o _{ACE 35}o _{DCE 55}o 2 2 2 4 20 QE    , _{QC  2}2_42 _{ 20 en EC4 3}

Driehoek CQE is een gelijkbenige driehoek.

2 2 2 2 2 3 ( 20) (2 3) 2 2 tan 39,2 QM ECQ ECQ        o b. (EC ABCD, ) (EC AC, ) 9.

a. punt F. c. het midden van AB.

b. het midden van CD. d. punt F.

e. Teken een lijn door Q // AC. Het snijpunt van deze lijn met BD is de loodrechte projectie van Q op DBFH. 10. a. (TB ABCD, ) (TB BM, ) MBT 2 2 6 3 6 tan 0,89 42 MBT MBT       o

b. TB ligt in het vlak TAB. De hoek is 0o_.

c. Maak een assenstelsel met D(0, 0, 0)

De loodrechte projectie van M op vlak TBC is MN met N(3, 3, 3).

1 1 2 2 1 3 1 3 0 3 3 0 3 MK              _{ }_{ }_{ }     _{ }       uuur en 1 1 2 2 1 3 1 3 3 0 3 3 0 MN              _{ }_{ }_{ }     _{ }       uuur 1 1 2 2 1 1 4 4 1 1 ₁ 3 20 2 cos 71 KMN KMN         o

11. a. D(0, 0, 0) A(4, 0, 0) B(4, 4, 0) C(0, 4, 0) H(0, 0, 4) E(4, 0, 4) F(4, 4, 4) G(0, 4, 4) b. 0 2 : 4 1 0 2 x CP y z           _{ }  _                   c. 1 1 1 0 r            ur en 2 1 0 1 r            ur . Een normaalvector is 1 1 1            .

Een vergelijking van DBE is    x y z 0. d. 1 : 1 1 x k y z        _               e. cos  2 1 11 2 1    _{3 3}  0,19 101

  o_{, De hoek tussen de lijnen CP en k is 79}o_.

f. 90o 12.

a. cos  13    _{6 29}1 2 2 4_  0,53 122

  o_.

De hoek tussen de normaal en lijn l is 58o_{. Dus de hoek tussen V en l is 32}o_.

b. Een vergelijking van V is 3x y 2z0

3 3 0 1 5 2 34 14 cos 0,87 151              o

De hoek tussen de normaal en lijn l is 29o_{. Dus de hoek tussen V en l is 61}o_.

13. a. 6 6 0 DB            uuur en 3 0 6 DT            uuur

. Een normaal van TBD is

2 2 1 TDB n             uuuur De hoek tussen 0 3 : 6 2 0 2 x AK y z            _{ }                     en TBD: 2 x2y z 0 3 2 2 2 2 1 17 3 cos 0,97 14 (AK TBD, ) 76               o o b. 0 1 0 DC            uuur en 3 0 6 DT            uuur

. Een normaal van TDC is

2 0 1 TDC n             uuuur De hoek tussen 3 1 : 0 2 6 2 x TB y z           _{ }             _        en TDC: 2 x z 0

1 2 2 0 2 1 3 5 cos 0,60 127 (TB TDC, ) 90 (180 127 ) 37                  o o o o o 14. a. b. 1 1 0 AC             uuur en 3 0 4 AD             uuur . 4 4 3 ACD n            uuuur

Gevraagd: de hoek tussen nuuuur_ACD en

6 6 5 CP      _{ }     uuur 4 6 4 6 3 5 41 97 cos 0,24 76 (CP ACD, ) 90 76 13,8                o o o o c. 1 1 0 ACE n            uuuur en 0 6 5 BP      _{ }     uuur cos 10 1 6 0 52 61 0,54 123 (BP ACE, ) 90 (180 123 ) 32,9                  o o o o o d. 3 3 4 DB        _    uuur 2 0 1 DP         _   uuur en 3 6 4 DM        _    uuur

, dus een normaal is

6 5 12 PMD a            uuuur 3 6 3 5 4 12 34 205 cos 0,18 100 (BD PMD, ) 90 (180 100 ) 10,4                  o o o o o e. Q(6, 6, z) 0 6 AQ z            uuur

en een normaal van ACGE is 1 1 0           2 0 1 6 1 0 1 2 36 2 2 2 2 2 cos(90 30 ) 36 2 12 36 6 2 72 36 72 36 6 z z z z z z z                     o o dus Q(6, 6, 6) 15. a. 90o b. In het zijaanzicht.

c. De lengte van de ribben van het viervlak zijn 8 2. d. In het vlak ACGE:

8 4 2

( , )

tan

55

OABC OBE AME

AME AME

  

 

16.

a. Ook in het vlak ACGE. b. Neem N het midden van EG.

( , ) 180 2 55 71 AFD CFD ANC ANC      o  o o (gebruik opgave 15d) 17. a. 7 3 tan  b. 3 7 tan  66,8   o _23,2 (TAD TBC, ) 2 23,2 46,4       o o o 18. a. b. (TAC TBC, ) 90 o

c. Noem M het midden van AB.

4 3 2 ( , ) tan 43 TAB ABC TMC TMC TMC        o 19. a. …

b. De snijlijn van de twee vlakken is BT. En omdat AK en CK beide loodrecht staan op

BT is ACK het vlak loodrecht op de snijlijn waarin de hoek wordt bepaald.

c. In het vlak ACK zit geen rechte hoek.

20. a. 1 1 2 V n      _{ }     uur en 4 2 1 W n      _{ } _    uur 1 4 1 2 2 1 6 21 cos 0,36 69,1            o b. 4 1 3 V n      _{ }     uur en 2 5 1 W n         _   uur 4 2 15 3 1 26 30 cos 0 90            o 21. a. 1 1 2 V n DT      _{  }     uur uuur en 0 0 1 ABC n            uuuur 10 10 2 1 6 1 cos 0,82 35,3            o b. 1 1 2 DT            uuur en 1 0 0 DA            uuur 0 2 1 TAD n         _   uuuur 10 12 2 1 6 5 cos 0 90            o

22. a. b. 3 4 0 AC             uuur en 3 0 2 AH             uuur 4 3 6 ACH n            uuuur en 0 0 1 ABCD n            uuuuur 4 0 3 0 6 1 61 1 cos 0,77 39,8            o c. 0 8 1 HP         _   uuur , 3 4 0 HF            uuur en 0 2 1 HC         _   uuur 4 3 24 FPH n             uuuur en 4 3 6 HFC n             uuuur 4 4 3 3 24 6 601 61 cos 0,88 28,0             o d. AC // EG en AH // BG 23. 2 2 12 2 1 1 2 3 5 cos 45 a 2 a         o 2 1 2 2 2 2 2 1 5 2 2 3 2 10 4 9(2 10) 16 2 90 0 a a a a a a a         

En deze vergelijking heeft geen oplossing.

24. a. 6

b. het midden van EG: deze afstand is 3 2. c. Omdat FH en punt M in het bovenvlak liggen.

d. MM’ // EG. MM’ is de helft van de diagonaal van een vierkant met zijde 3 1

2

' 1 2

MM  .

25.

a. d(P, ACGE) d( , B ACGE) 3 2 en d(P, ABGH) 2. b. 1 1 0 AC             uuur en 1 0 1 AH             uuur

. Dan is een normaal van ACH:

1 1 1 ACH n            uuuur . c. 6 6 6 DF            uuur

is een veelvoud van nuuuur_ACH en dus evenwijdig aan de normaal; DFuuurACH d. DF staat loodrecht op het vlak ACH. DF ligt in het vlak DBFH. De snijlijn van de

e. VDSH is gelijkvormig met VF HF' . ' DH F F HS  HF dus 2 2 6 ' 6 2 6 (3 2 ) F F   6 6 2 36 2 54 3 6 ' 4 3 F F _  _{ } 26. a. d(P, DCFE) d(H, DE) 2 2 b. d(P, AEQ) d(P, ER) 4 2 5 3 5 1 PS EH PR ER PS PSR EHR PS    V : V 27.

a. VADT : VMST b. VADT : VNUT

4 2 2 4 8 4 2 2 AT MT AD MS MS MS     4 2 3 4 12 1 2 4 2 1 2 AT NT AD NU NU NU     28. a. M(0, 0, 2) b. 4 0 2 AM             uuur en 0 6 0 AB            uuur _{4 1 2 2 0} 6 0 0 AM n dus n AM AB n dus n AB              uuur ur ur uuur uuur ur ur uuur c. ABM: x2z4 d. 0 1 : 0 0 4 2 x k y z           _{ }                     4 5 4 2 5 5 2(4 2 ) 4 8 4 4 5 4 ( , 0, 2 ) S                  e. 4 2 3 2 5 5 ( , ) | | ( ) (1 ) 1,8 d T ABM TSuur    29. 1 0 1 V n         _   uur

Een vergelijking van V is: x z 8

2 2 8 2 8 4 (4, 0, 4) | | 4 ( 4) 4 2 S AS               uuur 2 2 ( 2 ) (6 ) 8 2 16 8 (6, 4, 2) | | 8 8 8 2 T BT                uuur

30. a. 2 0 3 1 0 3     klopt. b. d V W( , )d P W( , ) 0 2 : 1 3 0 1 x l y z           _{ }              _       2 2 3(1 3 ) 17 4 3 9 14 3 17 14 14                      1 (2, 4, 1) S    2 2 2 ( , ) | | 2 3 ( 1) 14 d P W  PSuuur      31. a. 0 3 6 PB        _    uuur en 6 3 0 PG             uuur 1 2 1 BGP n            uuuur : 2 18 BGP x y z  1 : 2 1 x l y z       _               4 6 18 3 (3, 6, 3) S         ( , ) | | 54 3 6 d D BGP  DSuuur   b. AQ // PG en AP // GQ : 2 6 0 1 : 6 2 0 0 AEQ x y x l y z             _{ }                     1 5 3 1 5 5 2(6 2 ) 12 4 5 12 6 5 6 1 ( 1 , 3 , 0) S                     (EAQ, PGC) d(C, EAQ) | | 2,68 d   CSuuur  c. DE // PQ 1 0 1 QP            uuur en 2 1 1 QR            uuur 1 1 1 PQR n      _{ }  _   uuuur : 3 PQR x y z    2 2 2 3 3 1 ( 1, 1, 1) ( , ) ( , ) | | ( 1) 1 1 3 1,7 S d DE PQR d D PQR DS                uuur       32.

a. De afstand van F tot AB is BF 6.

b. 1 1 2 2 ( , ) 6 2 3 2 d F EG  FH    c. _{d F AC( , ) (3 2)}2_62 _{3 6} d. d F AH( , )d F AC( , ) 3 6

33.

a. VADF is rechthoekig met DAF 90o_.

1 1 2 2 18 2 3 3 6 6 2 18 2 6 3 ( , ) ( , ) 2 6 DAF Opp d A DF d A DF          b. VDBF is rechthoekig met DBF 90o_. 36 2 6 3 6 2 6 36 2 6 3 ( , ) ( , ) 2 6 d B DF d B DF      

c. Nu is VDPF een gelijkbenige driehoek met DP PF 3 5

2 2

( , ) (3 5) (3 3) 3 2

d P DF   

34.

a. De richtingsvector van de lijn is de normaalvector van vlak V. : 4 2 14 V x y z   b. 4(2 4 ) 2(1 2 ) (3      ) 14 8 16 2 4 3 14 21 21 1 ( 2, 1, 4) S                  

c. omdat PS loodrecht staat op het vlak. d. _{d P l( , ) PS  1}2_{ ( 2)}2_02 _{ 5} 35. a. V x y:  0 b. V z: 0 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 (2 ) (3 ) 0 2 5 2 ( , , 4) ( , ) ( ) ( ) 3 9 S d P l PS                    2 2 2 1 0 1 (2, 3, 0) ( , ) ( 1) 3 0 10 S d P l PS           36. P(6, 2, 0) V x y z:   8 1 : 1 1 x DF y z       _               2 3 2 2 2 3 3 3 3 8 2 (2 , 2 , 2 ) S    2 2 2 1 2 2 2 3 3 3 3 ( , ) (3 ) ( ) ( 2 ) 18 d P DF       37. _|ABuuur_{| ( 1)} 2_{ ( 3)}2_22 _{ 14} 3 1 : 4 3 1 2 x AB y z           _{ }            _ _       

2 2 2 1 1 2 2 (3 ) 3(4 3 ) 2( 1 2 ) 3 12 9 2 4 14 17 11 14 28 2 (1, 2, 3) | | 4 ( 2) ( 1) 21 14 21 3 6 8,6 ABC D CD Opp                                          uuur 38. a. P(3, 3, 3) Q(0, 0, 3) R(2, 3, 0) S(1, 0, 6) 2 3 3 PS       _{ }     uuur en 2 3 3 QR        _    uuur

. De vectoren zijn veelvouden van elkaar, dus PS // QR

b. De afstand tussen PS en QR is gelijk aan de afstand tussen P en QR

0 2 : 0 3 3 3 x QR y z           _{ }             _       

. Het vlak door P loodrecht op QR is: 2x3y 3z6.

15 22 4 1 21 11 22 22 2(2 ) 3(3 ) 3(3 3 ) 6 4 9 9 9 22 9 6 22 15 (1 , 2 , ) S                      2 2 2 7 21 1 11 22 22 ( , ) (1 ) ( ) (2 ) 2,8 d PS QR PS     39. a. 1 2 (2 , 4, 6) M b. 1 0 2 PQ            uuur

is een normaalvector van V. Dus 1 2

: 2 14 V x z . c. Die afstanden zijn gelijk!!

40. 5 1 : 11 2 19 3 x PQ y z          _ _ _                   

snijden met vlak W:

(5 ) 2(11 2 ) 3(19 3 ) 12 5 22 4 57 9 12 14 28                      2 (3, 15, 13) M    Om in Q te komen moet je   4 nemen: Q(1, 19, 7) 41.

a. K’ is de loodrechte projectie van K op het vlak EFGH.

De afstand van K’ tot FG is 50 (bovenaanzicht) en KK' 30 De afstand van K tot FG in het deksel is ₅₀2_302 _{58,3 cm.}

2 2 20 58,3 61,6 FK    cm. b. 30 50 tan  31   o c. Opp60 58,3 3499  cm2

d. De hoek tussen de vlakken ABFE en CDHG is gelijk aan de hoek tussen AB en CD. 70 40 tan 60,3 BAD BAD     o _{( , ) 180 2 60,3 59} CDA BAD AB CD      o  o  o 42. a. 1 1 2 2 (1 , 1 , 3) M en 1 1 2 2 ( 1 ,1 , 3) N  1 2 1 2 4 1 3 BN       _{ }     uuur en 1 2 1 2 4 1 3 CM      _{ }     uuur 1 1 4 4 20 2 9 0

BN CMuuur uuur      dus ze snijden elkaar niet loodrecht.

b. ADT: 2y z  6

De lijn door M loodrecht op vlak ADT:

1 2 1 2 1 0 1 2 3 1 x y z           _{ }              _       1 2 2(1 2 ) (3 ) 6 3 4 3 6 5 6                  1 5 9 1 1 2 10 5 1 (1 , , 4 ) S     2 2 2 1 1 5 5 5 ( , ) ( 2 ) (1 ) 7 2,7 d MN ADT MS      c. K(0, -3, 0) en L(0, 3, 0) 3 6 tan 26,6 ( , ) 2 53 OTL OTL ADT BCT KTL OTL            o o d. 1 1 1 2 2 2 (1 , 1 , ) M a en 1 1 1 2 2 2 ( 1 , 1 , ) N  a 3 9 : 3 3 0 x BN y z a           _{ }             _        en 3 9 : 3 3 0 x CM y z a           _ _ _                    3 9 3 9 3 3 3 3 a a                   1 3 3 9 3 9 18 6           1 3 (0, 2, ) S a e. 1 3 3 5 AS a             uuur en 0 0 1 ABCD n            uuuuur 1 3 2 1 9 1 3 1 2 9 25 2 1 9 2 2 2 1 2 9 9 2 1 9 2 cos 45 34 34 34 306 17,5 a a a a a a a a a           o

43.

a. AH

(BG ED, ) 90

  o _{(diagonalen van een vierkant snijden}

elkaar loodrecht) b. 1. (HB EF, ) (HB HG, ) BHG tan 4 24 55 BHG BHG     o

2. (EM BG, ) (EM AH, ) (licht het zijvlak ADHE eruit) 4 2 tan 63 45 ( , ) 180 63 45 72 AME AME DAH EM AH            o o o o o o 3. 1 1 0 AC rv             en 1 2 2 MF rv            11 12 0 2 1 2 3 3 2 cos ( , ) ( , ) 76 MF AC MF AC             o 44. a. 2 0 1 DE            uuur en 0 2 3 DF            uuur 1 3 2 DEF n        _    uuuur : 3 2 0 DEF x y z 1 2 3 0 2 1 14 5 6 2 : 2 0 0 1 cos 0,48 119 x BF y z                    _{ }                         o ( , ) 61 ( , ) 29 n BF BF DEF     o o ur b. 0 2 3 BE      _{ }     uuur en 2 0 1 BF             uuur 1 3 2 BEF n            uuuur : 3 2 12 BEF x y z 10 3 0 2 1 14 1 cos 58           o c. d B ACE( , )d B AC( , ) 2 2 12 40 2 6 2 6 ( , ) ( , ) d B AC d B AC     

d. De lijn door D loodrecht op het vlak BEF:

1 3 2 x y z       _               6 7 9 4 12 14 12           6 4 5 7 7 7 2 2 2 6 4 5 7 7 7 ( , 2 ,1 ) ( , ) ( ) (2 ) (1 ) 3,2 S d D BEF DS    

45.

a. _{PQ  (a1)}2_22_{  ( 5 a)}2 _{ a}2_{2a  1 4 25 10 a a} 2 _{ 2a}2_8a30

b. PQ is minimaal wanneer _2a2_{8a30 minimaal is. Dat is wanneer a 2.}

c. 1 1 3 1 5 1 x a y z           _ _  _          _   _       ( 1 ) (3 ) ( 5 ) 4 1 3 5 4 3 3 a a a                         1 3 2 1 1 3 3 3 1 ( , 2 , 6 ) a S a a a       2 2 2 2 1 1 1 1 3 3 3 3 2 1 3 1 1 3 3 ( , ) ( a 1) (1 a) (1 a) 3(1 a) 3 (1 ) 1 1 1 1 1 6 0 d P V PS a a a a a                      T-1. a. 1 2 : 1 3 k y  x 1 2 tan 1 56     o tan 1 45     o ( , ) 180k m 56 45 79   o o o  o b. cos 2 5 1 1 3 114 27 0,31         72   o T-2. a.

b. P’ is de loodrechte projectie van P op CS.

1 2 3 2 1 2 tan 2 63 TS CS SCT SCT       o 1 2 3 4 1 2 ' ' 2 tan ' 2 ' 63 PP P S PSP PSP       o (SP TC, ) SPC 180 2 63 53     o  o  o x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 -4 -5 -6

T-3. a. Stel V a n b c            uur : 2 2 0 2 0 a b c a b c        2 2 2(2b 2c) b c 5 3 0 a b c b c         Kies b 3. Dan geldt: c 5 en a4.

4 1 3 2 5 1 50 6 cos 0,17 80 ( , ) 10V l              o o

b. De lijn staat dan ook loodrecht op de normaal:

1 4 4 3 2 5 1 4 1 0 4 1 a a a a          

T-4. Een vergelijking van W is 5x3y2z 0.

15 3 3 2 2 14 38 cos 0,35 110 (V,W) 69,7               o o

T-5. Een vergelijking van vlak V is: 2x y z  8 De lijn door A loodrecht op vlak V:

1 2 2 1 0 1 x y z            _{ }  _            _       2( 1 2 ) (2 ) ( ) 8 2 4 2 6 4 8 6 12 2 (3, 0, 2) S                            2 2 2 ( , ) 4 ( 2) ( 2) 2 6 d A V AS      

T-6. ik ga er vanuit dat hoek AOB recht is.

a. VEP P' : VECD waarbij P’ de loodrechte projectie van P op DE is.

2 2 ( , ) 4 6 3 ( , ) 6 18 52 ( , ) EP ED d P DE CD d P DE d P DE     b. 1 1 0 BR             uuur

Het vlak door Q loodrecht op BR is:    x y 1

1 2 1 1 2 2 (4 ) 1 2 3 1 (2 , 1 , 0) S            d Q BR( , )QS ( )21 2( )21 232  921

T-7. a. 4 1 3 RP             uuur en 1 2 3 RQ             uuur 4 1 1 2 3 3 26 14 cos 0,79 38 PRQ PRQ             o b. (ER OAB, ) BRE 3 4 2 tan 27,9 BRE BRE     o

c. Q’(3, 0, 3) is de loodrechte projectie van Q op het vlak OADC.

2 2 2 1 3 ( , ) ' tan ' ' 32,3 QR OADC QRQ QRQ QRQ         o d. 3 2 0 BA      _{ }     uur en 0 1 1 BP      _{ }     uuur dan is 2 3 3 ABP n            uuuur

. En de normaal van OAB is

0 0 1 OAB n            uuuur 2 0 3 0 3 1 22 1 cos 0,64 50            o T-8. a. _PR2_QR2 _{(3 2)}2 _{(3 6)}2 _{18 54 72 (6 2)  } 2 _PQ2

b. Q’(6, 3, 0) is de loodrechte projectie van Q op ABFE.

6 3 2 ( , ) ' tan ' ' 55 RQ ABF QRQ QRQ QRQ        o c. 1 0 1 PQ          _   uuur en 0 1 1 PR         _   uuur , dan is 1 1 1 PQR n             uuuur en 1 1 1 AG             uuur : (AG PQR, ) 90 o d. d E ABX( , )d E AX( , )EK 2 2 6 6 6 3 36 2 5 45 2 5 EK ADX EKA EK     V : V T-9. a. 0 2 : 0 1 1 2 x m y z           _{ }  _                  

b. Het vlak door P evenwijdig aan V is: 2x y 2z 7

2 2 2 2(2 ) ( ) 2(1 2 ) 4 2 4 9 2 7 9 9 1 ( 2,1, 1) ( , ) ( 3) ( 2) 2 17 S d P m PS                                  