H6: Matrices toepassen

Hoofdstuk 6:

Matrices toepassen.

1.

a.

b. De situatie na 3 jaar is precies gelijk aan die van op tijdstip t 0. Het aantal insecten verloopt dus periodiek.

2.

a.

In L2 _{staan de overgangen per twee jaar en in L}3 _{de overgangen per drie jaar.}

b. Omdat L3 _{de eenheidsmatrix is, is de populatiesamenstelling om de drie jaar gelijk. De} populatie verandert dan periodiek.

3.

a./b.

c. De totale populatie wordt elke drie gehalveerd. Uiteindelijk zal de populatie uitsterven.

4. a. 7500 1 12500 0, 6 p   3200 2 6400 0,5 p   1100 3 2750 0, 4 p   2500 0 12500 0, 2 v   9600 1 6400 1,5 v   2200 2 2750 0,8 v   450 3 900 0,5 v   b. 0 1 2 3 0 0 5 1200 800 900 1200 0,5 0 0 450 600 400 450 0 0, 4 0 160 180 240 160 t  t t  t              _  _                                    2 3 0 2 0 1 0 0 0 0 2,5 0 1 0 0, 2 0 0 0 0 1 L en L         _{ } _{ }         0 1 2 3 0 0 2,5 3000 1000 2500 1500 0,5 0 0 2500 1500 500 1250 0 0, 4 0 400 1000 600 200 t t t t L                         _{  } _{ } _{    }                     2008 2009 2010 0, 2 1,5 0,8 0,5 14750 17310 20377        

c. Het totale aantal in 2009 is 31.190; in 2010 is dat 36.688 en in 2011 is het aantal 43.133 26550 22550 1,18 31190 265501,17 36688 311901,18 en 43133

366881,18. De groeifactoren zijn nagenoeg

5.

a. In de leeftijdsklassen 0-1 is er gemiddeld 0,5 nakomelingen per dier b. Van alle 2-3 jarigen overleeft 1

6 deel deze klasse.

c. In deze klasse zitten dus dieren van 2 jaar en ouder.

d. 3 1 1 4 3 4 P   6. a. 300 1 302 0,99 g   en 278 2 284 0,98 g  

b. Van de 960 km2 _{in klasse 4 op tijdstip t1 weet je niet hoeveel vierkante kilometer er}

jonger is dan 20 jaar (en dus afkomstig is van de 314 km2 _{op tijdstip t0) en hoeveel}

vierkante kilometer ouder is dan 20 jaar.

c. Op den duur zal 19% van de vegetatie 0-10 jaar zijn; 19% zal 10-20 jaar zijn; 18% zal 20-30 jaar zijn en 44% van de vegetatie zal 30 jaar of ouder zijn.

d. De bijbehorende oppervlakten in km2 _{zijn: 380, 380, 360 en 880.} 7.

a.

b. Neem nog grotere machten van L: op de lange duur zal de populatie uitsterven.

8.

a./b.

Na 4 jaar is er van elke leeftijdsklasse nog maar 72% over. De populatie wordt dus elke 4 jaar 28% kleiner.

c. De matrix L4 _{bestaat nu uit: op de hoofddiagonaal 0,9 en voor de rest nullen. De populatie} neemt nu elke 4 jaar met 10% af. De populatie zal ook nu op de lange duur uitsterven. d. 0,9 0,8 0,5   g 1 7 9 0,36 1 2 g g    9. a.

Na 4 jaar is elke leeftijdsklasse met 25% gegroeid, en daarmee dus de hele populatie.

4 0 0 0 2 0,72 0 0 0 0,9 0 0 0 0 0, 72 0 0 0 0,8 0 0 0 0 0,72 0 0 0 0,5 0 0 0 0 0, 72 L en L                           10 25 0 1,0 0,6 240 133 0 1,0 0,6 240 71 0,7 0 0 120 97 0,7 0 0 120 52 0 0,5 0 80 51 0 0,5 0 80 27 en               _  _    _  _                                      2 3 4 0 0 2,5 0 0 1,5625 0 0 1, 25 0 0 0 0 0 0 4 0 0 2 0 0 1, 25 0 0 0,5 0 0 0 0 0 0 2,5 0 0 1, 25 0 0 0,3125 0 0 0, 25 0 0 0 0 0 0 1, 25 L L L                                       

b.

In totaal: 765 976 893 793 957

c. Er is sprake van een schommeling. Echter na vier jaar is de totale populatie met 25% gestegen.

d.

-e. S t( ) 765 1, 25  14t

10.

a. Op de hoofddiagonaal staan de percentages van de klanten die niet van supermarkt veranderd zijn. Dat is meer dan 80%. Dus van elke supermarkt is minder dan 20% van de klanten overgestapt naar een andere supermarkt. Dat betekent ook dat minder dan 20% van alle klanten is overgestapt.

b.

c. Bereken een grote macht van de overgangsmatrix: de stabiele situatie zal worden: 75 klanten bij supermarkt I, 252 klanten bij supermarkt II en 14673 klanten bij supermarkt III.

11. a. 3x z 9 b.       3 (x y z) ( x 3y z )    3 2 3 3 3 3 3 6 3 4 4 9 x y z x y z x z             

c. Uit de eerste vergelijking volgt: z3x9, en dat invullen in de tweede vergelijking:

13 9 16 16 4 4(3 9) 4 12 36 16 36 9 16 45 2 x x x x x x x en z                 d. 13 9 1 16 16 4 2 2 2 x y z     y  y 1 4 y 

e. Natuurlijk klopt het!

0,801 0,001 0, 001 4000 3215 0,073 0,920 0, 001 5000 4898 0,126 0,079 0,998 6000 6887         _  _                    4 5 5 8 1 2 0 1 2 3 4 0 0 0 5 410 500 238 250 513 0 0 0 160 328 400 190 200 0 0 0 95 100 205 250 119 0 0 0 100 48 50 103 125 t t t t t L                                                                                

De oplossing van 2 1 2 7 1 1 1 2 1 3 1 3 x y z             _{ }        _{ }    _        is 1 ₁₃ 16 1 4 9 16 2 2 1 2 7 1 1 1 2 1 3 1 3              _ _{ }       _{ }  _  _        . 12. a. x y z  (4y z  ) 7 13 5 20 x y

b. Uit deze vergelijking volgt: x 5y20; invullen in de tweede vergelijking: 2 ( 5 20) 3 1 10 40 3 13 40 1 13 39 3 5 y y y y y y y en x               

Invullen in de derde vergelijking: 4 3  z 12 z 13. En dus z 1. Controle: 13. a. 1 ₁ 2 4 3 7 2 7 22 3           _{  }           b. 1 ₁ 2 1 2 1 3 5 8 5 3 0 2           _{  }  _          c. 1 1 2 2 3 1 1 2 6 1 6 1 10 6            _    _        d. 1 2 1 0 1 2 0 2 1 2 3 1 1 2 13 4          _{   }          _            e. 1 1 1 2 5 4 1 3 1 8 1 2 1 1 6 1           _  _{  }          _  _  _        14. a. 1 1 2 6 2 1 3 4 2             _  _        b. 1 1 4 10 2 3 8 30 3           _  _  _        c. 1 2 1 1 4 2 0 2 1 3 1 1 0 2 0 1            _{ }  _{  }                     d. 1 2 3 5 1 13 3 3 1 2 2 7 4 1 1 4 3 9 5 1 2 3 4 14 6           _{ }           _{ }        _{ }           

15. Als niemand genoeg heeft kunnen ze het wel vergeten. Dan komen ze nooit op een bedrag van €240.000!

16.

a.

b. Er kan geen inverse matrix berekend worden.

1 1 1 1 7 5 2 3 0 1 3 0 4 1 13 1         _     _{ }        _     _       1 1 1 2 1 3 4 5 11            

17.

a. Nee, ook deze matrix heeft geen inverse. b. (x3y4 ) (2z  x y z  ) 3 x2y5z14

De coëfficiënten zijn gelijk. Het gaat hier om twee evenwijdige vlakken.

18.

a. afhankelijk stelsel want

(0, 0, 0) is een oplossing.

c. Uit de derde vergelijking volgt: z  x 3

In de eerste vergelijking invullen: x y      ( x 3) y 3 1 y 2

In de tweede vergelijking invullen: x2y   ( x 3) 2y 3 2 1 2

y  Dit stelsel is strijdig.

19.

a. De matrix heeft geen inverse.

Uit de derde vergelijking volgt: z7y3 3 2 (7 3) 11 6 5 11 11 x y y x y x y           en 2 3 (7 3) 2 22 9 8 2 22 17 x y y x y x y          

Die hebben geen oplossing. Het stelsel is strijdig.

b. 3 2 2 2 5    , 2 3 2 2 4 2 10      en 3 3 3 2 6 2 15      c. 1 4 2 4 5    , 2 1 2 4 4 4 10      en 3 1 3 4 6 4 15      9 0 2 2 5    , 2 9 2 0 4 2 10       en 3 9 3 0 6 2 15      d. (3) (2 ) 2 (2  ) 3      2  4 25, 2 (3 ) 2 (2  ) 4 (2  ) 6 2   4 2 8 410 en 3 (3 ) 3 (2  ) 6 (2  ) 9 3   6 312 6 15 20. a. 3x ay 5 en 2x4y b 3 5 1 2 4 3 5 4 2 b a a ay x y x b y x y x          

Er is precies één oplossing als 3 1 2

a   ; dus voor alle waarden van a 6

b. Als de twee lijnen evenwijdig zijn, heeft het stelsel geen oplossingen. Dus als a 6 en

5 4 6 b _ : dus als a 6 en 1 3 3 b .

c. Er zijn oneindig veel oplossingen als de twee lijnen samenvallen; als a 6 en 1 3

3 b .

21.

a. Als a1 dan vallen de eerste twee vlakken samen. De drie vlakken hebben een snijlijn. b. x y z  1 en x y z  1 bij elkaar optellen: 2x2y2. Dit levert de lijn y  x 1 op

1 3 5 2 0 2 2 3 1 15 4 1 3 3 11 7         _  _{ }  _{ }                    1 5 4 2 0 13 14 4 0 11 13 3 0        _   _{ }      _       

1 1 0 1 0 0 x y z           _{ }  _                  

c. De drie vlakken hebben dan een snijpunt (-2, 1, 2): d. Als a b 1 vallen de drie vlakken samen.

22.

a. De vlakken 2x4z 8 en 3x6z 12 zijn evenwijdig. Het stelsel heeft geen oplossingen.

b. Maak van de eerste drie vergelijkingen een matrixvergelijking. Deze heeft geen inverse. (1) - (2):   x z 0 Hieruit volgt dat x z

(1) - (3):  3x 3y0 Hieruit volgt dat x y

Invullen in vergelijking (5): 7x3x4x 0 1 levert een tegenstrijdigheid op, dus geen oplossing. 23. a. A’(3, 4, -2) c. C’(-2, 4, -3) b. B’(b b1, ,2 b3) d. X’(-x, y, -z) 24. a. spiegelen in de z-as.

b. spiegelen in het punt (1, 2, 3)

c. vermenigvuldiging t.o.v. de oorsprong met factor 2 d. verschuiving over de vector

1 1 0    _       25.

a. Het beeldpunt van P(x, y, z) is P’(y, x, z) b. Het beeldpunt van P(x, y, z) is P’(y, x, 0) c. Het beeldpunt van P(x, y, z) is P’(-y, x, z) d. Het beeldpunt van P(x, y, z) is P’(3x, 3y, 3z)

26.

a. P’(4, 2, -1) c. R’(0, -6, 3)

b. Q’(-1, 2, 2) d. S’(a3 , 2b a2 ,c  b c)

27.

a. Het beeldpunt van P(x, y, z) is P’(x, -z, y): draaien om de x-as over een hoek van 90o_.

b. Loodrecht projecteren op het vlak z0.

1 1 1 1 1 2 1 3 1 3 1 1 1 2 3 2             _{ }                    0 1 0 1 0 0 : 1 0 0 : 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 3 0 0 : 1 0 0 : 0 3 0 0 0 1 0 0 3 a b c d                                         

28.

a. Het beeld van (1, 0, 0) is (2, -3, 1)

b. Van (0, 1, 0) is het beeld (3, -1, 5); van (0, 0, 1) is het beeld (-5, 7, 2) en van (0, 0, 0) is dat (0, 0, 0)

c. De beeldpunten van de vectoren (1, 0, 0), (0, 1, 0) en (0, 0, 1) zijn de kolommen van de afbeeldingsmatrix.

29.

a. Het beeldpunt van (0, 0, 0) is niet (0, 0, 0). b. W : 2x y 2z0

c.

-d. Het beeldpunt van (1, 0, 0): Het beeldpunt van (0, 1, 0): Het beeldpunt van (1, 0, 0):

1 2 0 1 0 2 x y z           _{ }                     0 2 1 1 0 2 x y z           _{ }                     0 2 0 1 1 2 x y z           _{ }                     2 9 5 2 4 9 9 9 2(1 2 ) 2(2 ) 0 2 4 4 9 2 0 9 2 ( , , )                          1 9 8 2 2 9 9 9 2(2 ) (1 ) 2(2 ) 0 4 1 4 9 1 0 9 1 ( , , )                          2 9 5 4 2 9 9 9 2(2 ) 2(1 2 ) 0 4 2 4 9 2 0 9 2 ( , , )                          5 2 4 9 9 9 8 2 2 9 9 9 5 4 2 9 9 9 : W S     _{ }    _{ }   