Hoofdstuk 4:
De afgeleide.
V_1.
a. 100 meter snoer weegt 10,8 2,8 8 kg. b.
c. Per 100 meter snoer neemt het gewicht met 8 kg toe. Dat is dan 0,08 kg per meter.
d. Het snoer alleen weegt 6, 2 2,8 3, 4 kg. Dat is dan 3,4
0,08 42,5 m snoer.
e. startgetal: 2,8 en het hellingsgetal: 0,08
V_2.
a. Voer in: y10,5x2 en kijk in de tabel. b.
c. De y-coördinaten verschillen dan 3. d. Het verschil tussen de x-coördinaten is 40. e. Dat kun je zien aan het hellingsgetal.
Als de x 1 groter wordt, neemt de y met 0,5 toe. V_3. a. b. 2(0,6x 3) x 5 d. y 0, 4x b 1, 2 6 5 2, 2 11 5 0 x x x x en y 14 0, 4 22 8,8 22,8 0, 4 22,8 b b b y x c. l y: 1, 2x12 V_4.
a. Als de x 4 groter wordt, wordt de y 3 groter. Dus als de x-coördinaat met 1 toeneemt, wordt de y-coördinaat 3 4 groter. b. c. m y: 0, 75x6 V_5. a. 8 2 2 4 1 a b. 9 2 2 3 7 a c. 78 12 22 11 2 a lengte in m 0 20 40 60 80 100 gewicht in kg 2,8 4,4 6 7,6 9,2 10,8
lengte (in meter) G ( in kg) 0 20 40 60 80 100 0 3 6 9 12 x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 -6 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5 x 0 1 4 8 10 y 6 6,75 9 12 13,5
8 2 6 6 y x b b b y x 7 2 7 3 21 23 7 23 y x b b b b y x 2 78 2 22 44 34 2 34 y x b b b b y x
V_6. a. y4x b b. 4x6y 8 c. 6 5 9 1 1,1 a 7 4 10 40 47 4 47 b b b y x 2 1 3 3 2 3 6 4 8 1 y x y x y x b 1,1 5 1,1 1 1,1 3,9 y x b b b b 2 1 3 3 3 2 b 1 b y 1,1x3,9 2 3 2 2 3 3 1 1 b y x V_7.
a. In 5 uur wordt de kaars 20 cm korter. De lengte van de kaars wordt 4 cm korter per uur. De kaars begon dus met een lengte van 20 2 4 28 cm.
b. L28 4 t V_8. a. b. 2 3 : 4 m y x c. 2 3 : 4 n y x V_9. a. 2x3y18 y2(5x) 2 3 3 2 18 6 y x y x 10 2 y x
b. met de x-as: met de yas: 0 2 18 9 (9, 0) y x x 0 3 18 6 (0, 6) x y y
c. Bij m zijn de coördinaten van de snijpunten met de assen: (5, 0) en (0, 10)
d. 2 3x 6 10 2 x 2 3 2 16 6 2 x x en y V_10. a. x ( 2x 3) 9 b. y2x6 6 6 15 x x en y 2((2 6) 3) 2(2 9) 4 18 3 18 x x x x x 6 6 x en y c. 1 2 2 y x d. y2x8 1 1 2 2 1 2 3((2 ) 2) 3 ( ) 5 5 10 7 x x x x x x en y 3 4 3( 2) (2 8) 4 0 3 6 2 8 4 5 18 0 3 x x x x x x en y x y 2 4 6 -2 -4 -6 -8 -10 2 4 6 8 -2 -4 l m n
V_11. a. 1 2 2(x2) 2(x2) 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 ( 4 4) 2 4 4 6 ( 8 12) ( 2)( 6) 0 2 6 (2, 0) (6, 8) x x x x x x x x x x x en b. 1 2 1 2 2 (4) (4 2) 4 2 f c. 1 2 2(x2) 2x6 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 6 4 8 ( 8 16) ( 4) 0 4 x x x x x x x x x Er is maar één oplossing. 1.
a. De grafiek is het steilst in het 6e uur: van t5 tot t6 uur. b. Van 3 tot 4 uur is de temperatuur met 3,5o afgenomen. c. Dan is er sprake van een afname.
d. Om 7 uur is de temperatuur 2oC. (linker grafiek). In de volgende uren neemt de temperatuur toe met 2oC en 1oC. De temperatuur om 8 uur is 4oC en om 9 uur 5oC.
2.
a. b.
c. Phil was op z’n 9e verjaardag 126 3 6 144 cm.
leeftijd in jaren 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6
3. Voer in: y2 y x1( )y x1( 1) en kijk in de tabel. a. b. c. 4. a. b. De langste staaf is 55.
c. De toename per 10 km is constant 50. 200 30 8 50 430
T oC.
d. De temperatuur heeft een maximum als het toenamediagram van positief (een stijging) overgaat in negatief (een daling):
Dit gebeurt bij h55.
5.
a. Titia is 15 13 10 9 8 55 cm gegroeid.
b. We weten nog niet hoe lang Titia was toen ze werd geboren. c. De staafjes worden steeds kleiner
d. 112 55 57 cm.
e. In de volgende 5 jaar groeide Titia 35 cm. Dat is 7 cm per jaar. Het toenamediagram heeft dus nog 5 staafjes van 7 cm.
6.
a. De grafiek loopt tussen de 30e en de 40e minuut steiler.
b. Dan legt hij in elke minuut dezelfde afstand af. De grafiek is een rechte lijn. c. f(15) 3,95 . Na 15 minuten heeft de wielrenner ongeveer 3949 m afgelegd.
d. f(30) f(15) 10, 631 . Van de 15e tot de 30e minuut legt de wielrenner ongeveer 10631 m af. e. (30) (15) 10,631 30 15 15 0,71 f f km/minuut. f. 0,71 60 42,5 km/uur. g. (40)40 35(35) 60 55,6 f f km/uur h (in km) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 T (in oC) 0 -55 -60 -30 0 5 -15 -40 -70 -65 -35 -10 30 80 130 toename -55 -5 30 30 5 -20 -25 -30 5 30 25 40 50 50 x 0 1 2 3 4 5 6 toename R 2 2 2 2 2 2 x 0 1 2 3 4 5 6 toename K -2 -1,6 -1,3 -1,0 -0,8 -0,7 x 0 1 2 3 4 5 6 toename h 5 3 1 -1 -3 -5
7. a. b. y f(4) f(1) 1 6, 25 5, 25 c.
1, 4 (4)4 1(1) 5,253 1,75 f f y x 8. a.
(45) (30) 28,25 14,58 13,67 45 30 15 15 30, 45 f f 0,91 f x b. Je deelt de afgelegde afstand in het derde kwartier door 15 minuten. c.
(10) (9) 10 9 9,10 f f 0,335 f x km/min. 9. a. p
0, 2
2,33 t
2,6
0,54 p t
6,9 0, 23 p t b./c. 10. a.
8 1 2 1 1, 2 7 y x
2,3 27 83 2 19 y x
3, 4 64 274 3 37 y x b. De grafiek van H stijgt steeds sneller. c.
1,331 1 1,1 1 1;1,1 3,31 y x
1,0303 1 1,01 1 1;1,01 3,03 y x De punten komen steeds dichter bij elkaar te liggen, waarbij het rechterpunt steeds lager komt te liggen. Daardoor wordt de helling van het lijnstuk steeds kleiner.
d.
1,003 1 1,001 1 1;1,001 3,003 y x en
1,0003 1 1,0001 1 1;1,0001 3,0003 y x De uitkomsten komen steeds dichter bij de 3.
11.
a. De grafiek gaat dan als een rechte lijn verder. b. Hij komt na ongeveer 58 minuten aan.
c. (30,001)0,001 (30) 0,864
f f
v km/min.
12.
a. Voor beide fietsers is de gemiddelde snelheid 45
3 15km/u.
b. Fietser A legt in elk vast tijdsinterval steeds dezelfde afstand af. Hij fietst dus 3 uur met constante snelheid. Fietser B begint sneller en gaat steeds langzamer fietsen.
c. Schuif de grafiek van A evenwijdig naar boven op totdat hij de grafiek van fietser B raakt. Dat gebeurt ongeveer op tijdstip t1,5.
x 1 4 f(x) 6,25 1 x y 2 4 6 8 10 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1
13.
a.
b. De grafiek is lineair. Per vast tijdsinterval wordt steeds dezelfde afstand afgelegd. Dus de gemiddelde snelheid op ieder willekeurig interval is 15 km/u (de helling van de grafiek). c. Hoe kleiner het interval des te beter is de benadering van de snelheid.
d. B
1;1,001
17,997 t 14. a. s
0;0,001
29,9985 30 t . De snelheid van de auto op het moment van remmen is 30 m/s b. t 5 : s
5;5,001
14,9985 15 t m/s en 10 :
10;10,001
0,0015 0 s t t m/s.c. Na 10 seconde is de snelheid 0 m/s en staat de auto stil. (10) 150
s . De auto staat 5 m voor het verkeerslicht stil.
15.
a. Dan valt de lijn samen met de grafiek; als een rechte lijn dus. b. f
1;1,001
1,9995x
. De helling van de grafiek van f in het punt (1, 4) is 2. c. Het hellingsgetal is dan ook 2.
16.
a. f
2; 2,001
3, 00075x
. De helling van de grafiek van f in het punt (2, 3) is 3. b. f
1, 001; 1
1,50075x
. De helling van de grafiek in het punt met x 1 is -1,5.
17. a. f(1) 3 1 2 12 9 en y 6 1 15 9 b. f
1;1,001
6,003 6 x c. f
1,001; 1
6 x 6 9 6 1 6 15 6 15 y x b b b b y x interval
0,1
1, 2
1;1,5
1;1, 2
/ A t 15 15 15 15 / B t 21 15 16,5 17,418. a.
1,001 14 4 1,001 1 1;1, 001 4, 006 f x b. De helling in (1, 1) is vermoedelijk 4. c.
1;1,00001
1,00001 11,00001 14 4 4,00006 f x 19.a. De grafiek van g is een dalend. b. g
2; 2,001
0, 249875x
c. De exacte waarde van de helling in 1 2 (2, ) is 1 4 . d. g
2; 2,00001
0, 24999875 x 20. a. f
1;1,001
15,015 x het differentiaalquotiënt van f voor x1 is 15.
2; 2,001
60,030f x
het differentiaalquotiënt van f voor x2 is 60. b. dg(1) dg(2) 7
dx dx
c. De grafiek van g is een rechte lijn. De gemiddelde helling op elk interval is dan gelijk aan de helling van de lijn.
d. dh(0) 1 dx (7) 1 dh dx (200) 1 dh dx 21. a.
3 3 0,001 0 0;0,001 0,000001 0 0,001 0 N t en
0;0,001
(0,0013 2) (03 2) 0,000001 0 0,001 0 P t , dus (0) (0) 0 dN dP dt dt en op dezelfde manier dN(4) dP(4) 48 dt dt .b. De grafiek van P ligt 2 hoger dan de grafiek N. De helling in een punt verandert niet door de grafiek verticaal te verschuiven.
22.
a. De grafiek is symmetrisch in de y-as. In punt (-1, 1) is de helling -2 en in punt (-3, 9) is de helling -6. b. f
0;0,001
0,001 x . Het differentiaalquotiënt in (0, 0) is 0. c. In het punt (-2, 4).23.
a. Voer in: 2 1
y x en y0 nDeriv y x x( , , )1 nDeriv staat bij math optie 8 en berekent de differentiaalquotiënten van de functie y1.
b. De helling in (20, 400) is 40. c. De helling in het punt 2
( ,x x ) is 2x. De helling in 1 1
2 4
(1 , 2 ) is 3 en in (2,7; 7,29) is de helling 5,4.
24.
a. Voer in: y1x33x2 en kijk in de tabel bij y0. De helling in (1, -2) is -3. b. In de punten (-4, -112) en (6, 108) is de helling gelijk aan 72.
c. In (0, 0) en (2, -4) is de helling 0.
d. De grafiek van B heeft bij x0 en x2 een uiterste waarde (een top).
25. a.
2, 4
(4) (2) 30 4 2 s s s t . De gemiddelde snelheid op het interval
2, 4
is 30 m/s. b. ds(3) 30dt . De snelheid op tijdstip t3 is 30 m/s.
26. Zeer waarschijnlijk wel.
27.
a. De hellingen zijn steeds 2 keer zo groot als de x-waarden. b. De helling is 2 10 20.
c. De helling in het punt ( ,x x2) is 2x. d. 2x7 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 4 3 (3 , (3 ) (3 ,12 ) x 28. a. De exacte helling in (-5, 25) is 2 5 10. b. f '(7) 2 7 14 . c. df (2,9) 2 2,9 5,8 dx d. 2x9 1 2 4 x In 1 1 2 4
(4 , 20 ) is de helling gelijk aan 9.
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
29.
a. Het hellingsgetal is 1.
b. f '( 2) f '(3) 1 De helling in elk punt is gelijk aan 1. c. f x'( ) 1
30.
a./b.
De waarden van g(x) zijn 3 keer zo klein als die van de hellingen. c. f x'( ) 3 x2 d. f '(10) 3 10 2 300 e. f x'( ) 75 2 2 3 75 25 5 5 ( 5, 125) (5, 125) x x x x en 31.
a. Voer in: y1 x4, y0 nDeriv y x x( , , )1 en
3 2 4
y x en ga na dat de kolommen onder y2 en y0 gelijk zijn. b. 9 '( ) 10 g x x 32. a. 4 '( ) 5 f x x en f '(2) 80
b. y80x b gaat door het punt (2, 32) 32 80 2 160 128 80 128 b b b y x 33. a. v t'( ) 3 t2 en w t'( ) 6 t5.
In (1, 1) is de helling van v gelijk aan 3 en die van w is 6.
b. 2 5 3t 6t Voer in: y13x2 en 5 2 6 y x intersect: x0,794 x -2 -1 0 1 2 3 4 5 f(x)=x3 -8 -1 0 1 8 27 64 125 f’(x) 12 3 1E-6 3 12 27 48 75 g(x)=x2 4 1 0 1 4 9 16 25
34.
a. De formule voor t3,5 is lineair. De snelheid is dan a m/s.
b.
2 3,5 0 0;3,5 3,5 3,5 d t m/s.c. d t'( ) 2 t. De snelheden zijn resp. 2, 4, 6 en 7 m/s. d. Hij rijdt na 3,5 s dus verder met een constante
snelheid van 7 m/s.
e. a7 en na 3,5 s heeft hij 12,25 m afgelegd. 12, 25 7 3,5 24,5 12, 25 b b b f. 35. a. Voer in: 3 1 2
y x en y0 nDeriv y x x( , , )1 voor de hellingen. b./c. f x'( ) 2 g x'( ) 2 3x2 6x2
36.
a. Door de grafiek van f 7 omhoog te verschuiven. b. Door de verschuiving verandert de helling niet. c. g x'( ) f x'( ) 2 x. 37. a. f x'( ) 20 3 x2 60x2 d. g t'( ) 2,5 b. f x'( ) 3 x2 e. h p'( ) 2,5 4 p3 10p3 c. f x'( ) 15 6x5 90x5 38. a. s(10 )t 4 104 t4 10000t4 ds 40000t3 dt b. 1 8 1 8 2( 6) 2 3 s t t ds 4t7 dt c. s (t 5)(t 5) t2 25 ds 2t dt 39.
a. De grafiek van f is een horizontale lijn op hoogte 5. De helling van f in elk punt is 0. b. f x'( ) 0 c. g x( ) 3 2 9 g x'( ) 0 t (in seconden) d (in meter) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
40. a. 0,5x4 3 6,75x Voer in: 4 1 0,5 3 y x en y2 6,75x intersect: x0, 45 x2, 21 b. f x'( ) 6,75 1 3 3 3 2 6,75 3,375 3,375 1,5 (1,5; 5,53) x x x 41. a. L t'( ) 0,027t en B t'( ) 0, 05 '(0) 0
L en B'(0) 0,05, dus op tijdstip t0 krimpt het in de breedte sneller dan in de lengte. b. L t( )B t( ) 2 2 0,0135 60 60 0,05 0,0135 0,05 0,0135 ( 3,7) 0 0 3,7 t t t t t t t t
Na ongeveer 3,7 maanden is de plaat weer een vierkant. c. L t'( )B t'( ) 0,027 0,05 1,85 t t
Na ongeveer 1,9 maanden krimpt de plaat in de lengte en de breedte even snel.
42. a. f x'( )g x'( ) 2 2 2 3 2 3 3 2 (3 2) 0 0 x x x x x x x x b. Voer in: 1 2 x
y en schakel deze functie uit.
Voer in: y2 2x en y0 nDeriv y x x( , , )1 intersect: x0, 485 x3, 212
43. a. b. f x'( ) 0 c. f x'( ) 32 2 2 2 0 0 0 x x x 2 2 2 32 16 4 4 x x x x d. 1 1 2 2 '( 1 ) 4 f en 1 1 2 4 ( 1 ) 2 f 3 1 1 1 4 2 2 4 1 2 2 4 1 6 4 b b b 1 1 2 2 4 4 y x x y 1 2 -1 -2 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4
44. a. b. 1 2 6 5 x x Voer in: 1 6 y x en 1 2 5 2 y x intersect: 1,39 8,61 (1.39; 4.30) (8.61; 0,70) x x c. f x( )g x( ) voor x ,0 1.39,8.61 d. f x( ) 6 6x 1 x 2 2 6 '( ) 6 f x x x en 1 2 '( ) g x 1 2 2 2 6 12 2 3 2 3 x x x x
De grafiek van f daalt sneller dan die van g voor 2 3 x 0 en 0 x 2 3.
45. a. 2 (0) 10 2 40 V m3. b. V t( ) 0 2 1 60 1 60 1 60 10 (2 ) 0 2 0 2 120 t t t t c.
d. De grafiek van V is dalend, dus de afgeleide (de helling) is negatief.
e.
1 3 0 40 0,120 210 0 V t m3/min. f./g. 1 2 1 1 2 2 1 2 60 15 3600 3 360 10(2 ) 10(4 ) 40 V t t t t t 2 1 3 180 ' V t V’ is minimaal als t0. h. 1 3 ' V 2 1 1 3 180 3 1 1 180 3 60 t t t 46.a. Iedereen gaat dan even naar het toilet, drinken, …
b. > 4 atm > 8,5 5 3,5 minuut > een afname van 0,3 atm/min
x y 2 4 6 8 10 -2 -4 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7
c. > D(0) 4 50 3,96 atm. > D t( ) 3 2 2 2 2 4 3 14 50 14 50 2 14 48 ( 6)( 8) 0 6 8 t t t t t t t t t t
2 minuten lager dan 3 atm.
> D(6)D(5) 3 3, 6 0, 6 atm/minuut. d. Als t214t50 minimaal is, is
2 2 14 50 t t maximaal en dus 2 2 14 50 4t t weer minimaal. e. y' 2 14 0 t 2 14 7 t t
Het minimum van y t 2 14t50
is 1. De minimale druk is volgens het model 2 atm. f. Het minimum van D is bij t 7 voor elke waarde van p.
2 7 14 7 2 49 2 51 p p p
T_1.
Verwerk de gegevens uit de tabel in een vloeiende lijngrafiek.
T_2.
a. R(15)R(13) 320 duizend euro.
En als alle machines draaien: R(16)R(13) 423 duizend euro. b.
13,15
3202 160R Q
duizend euro per machine;
423 3 13,16 141 R Q duizend euro per
machine.
c. 1 bijplaatsen: R
16,17
R(17) R(16) 57Q
duizend euro per machine.
2 bijplaatsen:
16,18
(18) (16) 31 2R R R
Q
duizend euro per machine.
3 bijplaatsen:
16,19
(19) (16) 3 3R R R
Q
duizend euro per machine.
d. De weekopbrengst bij 19 machines is lager dan die bij 18 machines.
T_3. f x'( ) 0, 4 x. De helling van f in (3, 3) is f '(3) 1, 2 . Het differentiequotiënt van g in (3, 2): g
3;3,001
1, 25x
Ze lopen dus niet even steil.
T_4. a. gemiddelde snelheid (6)6 4(4) 0,67 r r cm/sec b.
4; 4,001
(1 3 4,001) (1 3 4) 0,75 0,001 r t . De snelheid op tijdstip t4 is 0,75 cm/sec c. r 1 3 4 7 Opp 72 154 cm2. d.
2 (1 3 4,001) 49 4;4,001 33 0,001 O t cm2/sec T_5. a. 3 '(5) 4 5 500 k b. 3 '( 2) 4 ( 2) 32 k c. 3 '( 10) 4 ( 10) 4000 k d. 3 4t 108 e. 3 4t 32 3 27 3 t t 3 8 2 t t In (3, 81) is de helling gelijk aan 108. In (2, 16) is de helling 32.
tijd 10.00 11.00 12.00 13.00 14.00 15.00 16.00
aantal
T_6. a. p x'( ) 8 x7 b. f x'( ) 2x19 c. s t( ) (4 ) t 2 4 16t24 s t'( ) 32 t d. h t( ) (2 3 ) t 212t 4 12t9t212t9t24 h t'( ) 18 t e. N t( ) (3 t5)(3t 5) 9t225 N t'( ) 18 t f. A u'( ) 1 g. j t( ) (2 t3)212t4t212t 9 12t4t29 j t'( ) 8 t h. h r'( ) 2 r T_7. a. h0 2 2 2 45 4,9 0 4,9 45 9,18 3,03 t t t t s b. h t'( ) 9,8t '(1) 9,8 / h m s h'(2) 19,6m s/ en h'(3) 29, 4m s/ c. h'(3, 03) 29, 7m/s d.
45 3,03 (3,03) (0) 0;3,03 14,85 3,03 h h h t m/s e. h t'( ) 14,85 9,8 14,85 1,52 t t s T_8. a.b. Er gaan twee raaklijnen aan de grafiek van f die door (0, 0) gaan.
c. De functiewaarden moeten aan elkaar gelijk zijn (snijpunt) en de hellingen ook (raken).
d. f x'( ) x a 2 1 2 2 1 2 2 4 4 8 2 2 2 2 a a a a a a a T_9. a. 1 15 75 ( ) f x x c b. f a( )g a( )b en f a'( )g a'( ) x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 2 4 6 8 10 12 14 16 -2
