Het benaderen van een recht lijnstuk met symmetrische koppelkrommen

Het benaderen van een recht lijnstuk met symmetrische

koppelkrommen

Citation for published version (APA):

Dijksman, E. A., & Smals, A. T. J. M. (1988). Het benaderen van een recht lijnstuk met symmetrische

koppelkrommen. De constructeur, 27(8), 34-44.

Document status and date:

Gepubliceerd: 01/01/1988

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be

important differences between the submitted version and the official published version of record. People

interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the

DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page

numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

. /

.,

s

I

_{Dr. E.A.Dijksman (auteur), ir. A.T.J.M. Smals (software-support), Fac. der}

Werktuigbouwkunde, TU Eindhoven

Het benaderen van een recht lijnstuk

met symmetrische koppelkrommen

In dit artikel zijn de resultaten neergelegd van een uitgebreid geometriseh-kinematisch onderzoek naar het voortbrengen van (benaderde) rechtgeleidingen met stangenvierzijden. Oe afmetingen van de vierzijde, waarvoor het À-type·) is aangehouden. zijn daarbij deels door middel van grafieken, deelSmet behulp van formules vastgelegd. Hoewel complete aneidingen achterwege zijn gelaten. krijgt de gebruiker toch wel een indruk van de gevolgde methoden, waarop de respectieve ontwerpen zijn gebaseerd. Ook de grenzen van het ontwerp komen ter sprake. Daaruit blijkt onder meer, dat voor langere rechtgtleidingen de kruksleufmechanismen, in verge-lijking met de stangenvierzijden, nog de beste rel'ultaten geven. Voor de wat kortere rechtgeleidingen kan men zich heel goed behelpen met een randgeval, waarbij sprake is van een (infinitesi-male) samenvalling van de 6 precisiepunten.

Rechtgeleidingen kunnen op vele manieren worden voortge-bracht. Daarbij onderscheidt men de exacte - van die van de benaderde rechtgeleidingen. Ook kan onderscheid worden gemaakt tussen het rechtgelciden van een enkel punt en tussen dat van twee punten van het bewegende vlak.

Een eenvoudig voorbeeld van het rechtgeleiden van een enkel punt vindt men bij het schuiven of rollen van een wiel over een rechte lijn: het midden van dat wiel beschrijft dan een exacte rechte lijn. Hoewel veelvuldig toegepast, is toch het nadeel, dat men uit moet gaan van een rechte baan, om een andere te kunnen creëren. Een tweede, minder voor de hand liggend, voorbeeld. is dat van de elliptische beweging. Bij deze beweging rolt een wiel (denk aan een wrijvingswiel of anders aan de steekcirkel van een tandwiel) binnen in een ander wiel met een tweemaal zo grote diameter: ieder punt van de omtrek van de kleine rolcirkei beschrijft dan een diameter van de tweemaal zo grote rolcirkei (fig. 1).

Hiervan afgeleid is ook de elliptische beweging, voortgebracht door de drijfstang van een gelijkbenig, maar centrisch krukdrijf-stangmechanisme BoBK-AA '''.,. Ook hier dient het genererende punt K zich op de kleinste rolcirkei (= bewegende polode) te bevinden, wil K tenminste geen ellips maar een platgeslagen vorm daarvan doorlopen (fig. I). Het middelpunt van de kleinere rolcirkel valt hier samen met het draaipunt B. Ook gaat deze cirkel steeds door het rechtgeleide punt A en het gestelpunt Bo. Het punt K, dat vast verbonden is met de drijfstang AB, beschrijft bij deze beweging weer een exacte rechte lijn, niet langer dan tweemaal de diameter van deze kleine rolcirkel.

De twee-eenheid of dyade Bo-BKA, die een deelketen is van het mechanisme, wordt ook wel Chebyshev-dyade genoemd. Omdat daarbij BoB AB = KB, hedt deze dyade de vorm vun een griekse letter À (Iabda). Bij de inbouw van zo'n keten spreken we daarom ook wel van een mechanisme van het À-type. De rechtgeleiding is weer exact, zolang het punt A langs een rechte baan door het gestel punt B" wordt geleid. Wanneer dit niet meer het geval is, ontstaat mogelijk ccn benaderde rechtgelciding voor het punt

*) Voor dil tYI'f! zijn d.> iefl!!lt'n ww de tUn!:aw<JII!!. kOPP,·/.tl.m!: ('ti kallllid,JUnI 1111 .tUn!!"f.!I""!: OntiefU,,!: !!,·lijk.

34

Figuur 1: Exacte Rechtgeleidi"g

r

_{l ' -}~·-+-4Il"'1. _: i~ M~,",,''-_, j ~IWII...L&<

!E.y",,*

~ ~

__

L._.. .. __ ..l

~

_I /

-"

! /

Figuur Z: }"-mecha,,isme met Chebyshev-d}'ade. Tataalslinger met befladerde rechtgeleiding

(PP-PPP-P)

K (rig. 2). Hierbij is de van origine rechte baan van het punt A vervangen door een cirkelvormige baan, die aan dele rechte raakt. Ook is er voor gezorgd, dat het punt A in de middenpositie (A_3), waarbij ~ K3B"B3 = 90". weer de oorspronkelijke positie AI van dc ontwerppositie inneemt (dus A,,=Af ). Men bereikt

daar-mee, dat de baantangente van KI (=K2) dan door het vaste

Jraaipunt Bo gaat. (Toelichting: zodra Klop de I,aarttangenfe I'af/

K_J(=8,,) wordt genomen, Z!lllen

A.r

en AI in ieder ge~'al op een rechte door B" worden aangetroffen. en wel omdat ~ KB,,A de conslrudeur / augustus 1988/ nr. 8

constant. Nafllurlijk ligt liet gestelpunI Au dan ergen,~ op de middel/oodlijn "all A ,A.i' AI/één in de twee gewt/len waarbij

A,,=A~ (elliptische beweging) óf waarbij A3 Af, wordt

<):: B,.A/A" = 9([', waardoor ook de snellleidspool p/2 I'an de

koppe/stal/g ill de ontwerppositie (} ) op de cirkel (door K,) rond B /

komt te liggen. Hierdoor wordt <):: Pl2KIBo := 9([', waardoor inder-daad de baamallgente I'an K, atm de koppe,lkromme door het vaste draaipunt B" zal gaan).

Wanneer het koppelpunt K in B" komt. passcert het in ieder geval een buigpunt van de koppel kromme en wel mèl een buigraaklijn. die met de eerder genoemde baantangenle KIK2 samenvalt.

Dit wordt pas duidelijk bij nadere bestudering \'an de middenpositie (3 infinitesimaal dicht bij elkaar liggende posities 3, 4 en 5) en wel door toepassing van de 2e ordé instantane bewegingsmeetkullde*): Daarbij is de snelheidspool P34 het snijpunt van de baannormalen

A.,Aj en B"Bj , waardoor p.u het diametraal tegenol'er Bo gF/egen plint is van de cirkel om Bj door BQ' _ _ _ _ _

De formule l'(Jn Euler-Sal'ary: Pj"B

l

=

B 3Bo.B 38 ... , toegepast op de

baannormaal P34B 3, leidt dan tot het buigpunl B .. van de buigcirkel

van dne positie, waarbij Bw == Ba. Hieruit "olgt inderdaad, dal ook KM' = By. Verder staat ook de buigraaklijn KjK4Kj loodrecht op de poo/straal of baan normaal P34KJ , zodat de koppelpuntpositie.f

KIK], KJK~ en Ks allen op dezelfde rechte liggen.

De koppelkromme snijdt zichzelf weer in het punt Bo. zodat ook het 6e snijpunt van de koppelkromme met de genoemde baantan-genIe een reëel snijpunt is: ~ ... Ks :oe K4 =:: K3 = Bo. Aangezien de

koppelkromme van een stangenvierzijde van de 6e graad is, heeft zij met iedere rechte 6 snijpunten gemeen, die in paren reëel of complex kunnen zijn. De betrokken raaklijn heeft dus hier 6 reële snijpunten met de koppelkromme.

De symbolische weergave, waarbij infinitesimaal dicht bij elkaar liggende standen met aaneensluitende P's, en twee van elkaar gescheiden standen met het symbool p.p worden aangeduid, wordt dus in het zojuist besproken geval: PP-PPP-P.

In het getekende voorbeeld is de lengte van de rechtgeleiding om en nabij gelijk aan de diameter van de buigcirkel, die overigens nu niet meer de bewegende polode is. Deze cirkel gaat, zowel in de stand 1 als in de stand 3, door hetzelfde in de figuur getekende punt Aw, waarvan de ligging met behulp van de formule van Euler-Savary berekend is. Uit de figuur blijkt verder, dat ook de afwijking van de rechte tussen de punten K2 en K3 zeer klein is. Voorts blijkt, dat de koppel kromme symmetrisch is, en wel, omdat een Chebyshev-dyade is toegepast (zie ook de volgende para-graaf). Hierdoor bevat de koppelkromme 2 (benaderd) rechte baanstukken. De hoek daartussen kan worden beïnvloed door verandering van de ligging van het gestelpunt Au op de baannor-maal P\2A\. Dit komt, omdat de symmetrie-as van de koppel-kromme een vaste hoek ter grootte van (90" -

Iyl)

met de gestellijn AoBo insluit. Verandering van de richting van deze gestellijn geeft dus een verandering van de richting van de symmetrie-as. waar· door ook de insluitingshoek anders wordt. Een tweede ontwerp-vrijheidsgraad is nog de hoek j3 = 90" -

12yl.

Er zijn dus ",,2 veel oplossingen voor dit, van de elliptische

beweging afgeleide. type rechtgeleiding.

Algemeen

Zoals gezegd. beschrijven de koppclpunten K van een stangen- . vierzijde van het ,,-type. een symmetrisehe koppelkromme (fig. 3). Voor de stangenvierzijde AuA-K-BB" van zo'n type, zijn de drie in het draaipunt B samenkomende stanglengten B"B, AB en KB aan elkaar gelijk. De symmetrie-as van de bij dit type horende

koppel-°l Zit'Mj \'m,,-heeld /rI'II/'er/mek: ·Mot;'", C/·/lIl/eu.\' of MI·cllllni.mI.~·,loor

I:.A. l>ijtml/lll. Cumhridg.· UI/Î\·er,.il.\' !'ress. 1976. Cumhl'idg,'. tot/·

111111. Ne", York. Md/wUTllt'.

de constructeur /augustus 1988/ nr. 8

c

./(;

!.s, ... }},.. ...

(.s)

Figuur 3: De stelling I!O/l RoberIs en hel i.,·mechanisme

kromme, gaat daarbij door het vaste draaipunt B ... van de stangen-vierzijde. Voorts corresponderen de ten opzichte van het gestel spiegelbeeldige posities van de (primaire) kruk (AoA) met de ten opzichte van de symmetrie·as spiegelbeeldige posities van het koppel punt. Hieruit volgt direct, dat het koppelpunt K de symme-trie·as bereikt, zodra de kruk AuA in één lijn komt met het gestel. Bij een volle omwenteling van de ingaande kruk, komt dit twee-maal voor. Het bewijs van de bovenstaande beweringen zal hier niet worden gegeven, maar kan daarop in de betrokken literatuur worden nageslagen. Een saillant detail is wellicht de wetenschap, dal de stangenvierzijde van dit type door middel van de Stelling van Roberts zonder problemen in een triviaal-symmetrische stangen-vierzijde kan worden omgezet (en omgekeerd). De koppclkromme zèlf wordt door deze omzetting niet aangetast. Wèl daarentegen de hoekverdraaringen van de ingaande kruk. Deze worden overge-bracht naar die van de nieuwe koppelstang. Technisch gezien, dient men te voren een keuze te maken tussen het toepassen van het "·type enerzijds, en ~ van de triviaal·symmetrische stangen-vierzijde anderzijds. In he{ vervolg zal echter van het ,,-type worden uitgegaan. en zal ook een eventuele omzetting van dit type middels de Configuratie van Roberts aan de gebruiker zblf worden overge-laten.

In de voorgaande paragraaf werd een totaalslinger toegepast. Jn deze en volgende paragrafen zal de voorkeur worden gegeven alln een krukslingermechanisme, waarbij alleen de ingaande schakel volle omwentelingen kan maken. Weliswaar kunnen ook rechtge· leidingen met dubbelkruk-mechanismen worden ontworpen, maar deze zijn. zoals gebleken is, daarvoor minder geschikt.

Jn tegenMclling met het voorbeeld van de vorige paragraaf. zal de rechtgclciding in het vervolg ook loodreeht op de symmetrie-as worden genomen. Hierdoor zijn in principe 3 precisiepunten van de rechte voldoende om tot een behmrlijke rechlgcleiding te komen.

OntWl'rpparaml'lers

Een stangcllvicrzijde "llll het ),-type is in principe door 3 parameters

35

..

Het benaderen van een recht lijnstuk

met symmetrische koppelkrommen

bepaald, te weten: aIb = A"NBoB, dIb "" BoluB en de koppelhoek y

=

1:

BKA (fig. 4).

Een optimaal gunstige situatie wordt bereikt. wan er de maxi-male afwijkingen, die de koppelkromme ter weerszijden van de symmetrie-as ten opzichte van de te benaderen rechte vertoont van gelijke grootte worden genomen. Dit kan worden bereikt, door de koppelkromme driemaal te laten raken aan een raaklijn, die loodrecht op de symmetrie-as staat (fig. 5). Eén raakpunt (KJ=K.,)

moet samenvallen met de symmetrie-as. de twee andere. te weten

KI = Kz en Ks"" K6' liggen op gelijke afstand van deze as. De

bedoelde raaklijn heeft dan 3 paren samenvallende snijpunten gemeen met de 6e graads koppelkromme. Het kos't echter niet meer dan één ontwerpvrijheidsgraad (= ontwerpparameter) om dit te bereiken: het langs de symmetrie-as gemeten hoogteverschil tussen de verbindingsrechte K I ~ (= KzKs) ~n de raaklijn in KJ= ~

dient nihil te zijn. Voor de constructeur,"die dit mechanisme wil toepassen. zijn er dus 2 vrije parameters overgebleven. Deze parameters kan hij inzetten voor de volgende praktische groot-heden:

1. De grootte van de minimum overbrengingshoek Ilmin (dit is het complement van de maximaal optredende drukhoek) die de stangenvierzijde heeft. Voor een mechanisme met een goede

Figuur 4 36

I\!

-#ÁiB"K,"'$O· ;/"-/""":$(/ ij4.ot-~1/I"4oS

tt "

'/~86V(;"'

---

----Figuur 5: Bepaling van de lengte L van her rechte stuk in de koppelkromme

krachtdoorleiding, dient deze hoek zo groot mogelijk te zijn. Bij-voorbeeld Ilmin ~ 30" voor langzaam werkende mechanismen

en ~ 45° voor snellopers. Alleen bij toepassing van een kruk-sleufmechanisme, dat immers opgevat kan worden als een ontaarde stangenvierzijde, waarbij de overbrengingshoek 11 teJi, allen tijde gelijk is aan OO, kan hierop een uitzondering worden gemaakt (fig. 6).

Niettemin zal de keuze aan de constructeur worden gelaten: middels enige in dit artikel hem ter beschikking gestelde diagrammen, kan hij in principe uit iedere waarde voor Ilmin

tussen

oo

(kruksleufmechanisme) en het niet meer te realiseren grensgeval van 90" kiezen.

2. Een tweede praktische grootheid is He feitelijke lengte L van de rechtgeleiding. In de diagrammen 7 en 8 is in plaats daarvan de lengteverhouding Uh_min gekozen. waarbij hmin de afstand tussen

het op de symmetrie-as gelegen gestelpunt Bo en het raakpunt

KJ voorstelt. Deze verhoudingsmaat is gekozen om een

dimen-~~ __ ..J

~/_--

~u.-_

/ / I r---~ I t·~/· I ; ' e.f. ~IJQ4 .. "l ~h~s=~~~==~~~I~:~ ~=o"

Lj.4.o, ,.

19'.1 ~"4".IO'" ~ " I-AtA"A,,-/()6' ,";IJ'; ;/,'" N.l" I .. It)"

1.:4J#O

i..:

4.f.110 fm-I6.1$i1

Figuur 6: Centrisch kruks/eufmechanisme als rechtgeleidings-me-chanisme.

(Limietgeval voor het krukslingermechanisme van hel À.-type: b·1 ₌₀₎

sielozc maal voor de rechtgeleiding te krijgen, die daardoor onafhankelijk wordt van de oouwgroolle van de stangen-vierzijde.

De nominale lengte L van de rechtgelciding wordt voornamelijk bepaald door de toC' te stane 'bandbreedte' ~h, dit is tweemaal de maximum toelaatbare afwijking van de door de koppclkromme te benaderen rechte lijn. Aangezien de koppclkromme een gesloten kromme is. keert zij steeds weer terug naar het begin van de rechtgeleiding en kan zij - bij dal terugkeren - de z8nc van de toegestane bandbreedte daarbij al of niet hebben verlaten (zie figuur 5). Als het terugkeren binnen deze z{;ne begint, wordt de lengte van de rechtgeleiding bepaald door de verticale (parallel met de symmetrie-as verlopende) raaklijn aan de koppelkromme. En anders wordt zij bepaald door de plaats, waarbij het koppclpunt de z6ne verlaat. In minder voorkomende gevatlen blijft de koppel-kromme - ook tijdens de terugkeer van het koppetpunt - in haar geheel binnen de bovenbedoelde zone. We spreken in dat geval van een gesloten rechtgeleiding (in dit bestek. niet gedemon-streerd).

De door de constructeur uit praktische overwegingen gekozen parameters (I1min en Uhmin) kunnen in principe in twee geometri-sche parameters worden omgezet, te weten in cl>o = ~ KIBoK3 en in

Ii

= ~ BIKlBo· De omzetting gebeurt door aflezing uit de hierbij afgedrukte grafieken (7,8,9 en 10). De op deze manier verkregen waarden voor cl>o en

Ii

leiden dan tot het gezochte mechanisme met de gewenste rechtgeleiding.

Constructie l'an het krukslingel"lllfthanisme

Het ontwerpen van zo'n mechanisme gebeurt aan de hand van de volgende instructies:

a. Kies eerst 2 van de 4 waarden LJhmin , ~hJL, limin

=

11. en <IJL' (Zie de betrokken figuren 7 tlm 11 voor de definitie van deze waarden).

b. Bepaal de waarden cl>o en 11. uit de betrokken grafieken (fig. 7,

8 en 11).

e. Bepaatj de waarden

P'

en y = ~ BIK IA. met behulp van de resterende grafieken (fig. 9 eli 10)*)

d. Bereken blh min uit: hminlb = 2eosfi.coscl>o (1)

e. Bereken voorts d1hmin uit:

dIh min = _--=:=;:"~!:...i?-_ sin 2W-y)

2 cos y .eos2c1> 0

(2)

f. Bereken ook de 'tweede' overbrengingshoek 1'2, die bij de gestrekte positie (3 = 4) van de kruk A"A hoort (AoA ligt dan in het verlengde van het gestel BoAo, zodat 112 = 180° -~ A3B3Bo}: !h.112 = Y

+

arc sin(eos fkoscl>o) (3)

g. Bereken daarmee de waarde voor a/h min:

a/hmin = -d1hmin

+

2(blhmin).COS(l1i2) (4)

h. Bepaal zonodig de krukhoek cl>L uit de daarvoor opgezette grafiek (fig. 11) (cI>L is juist de helft van de krukhoek, die nodig is voor het rechte stuk van de koppelkromme)

i. De door de koppelkromme te benaderen rechte lijn ligt op een hoogte van (hmin

+

!h.~h) boven Bo (de rechte lijn staat loodrecht op de symmetrie-as).

Opmerking: De afweging welke van de in instructie a. genoemde aanvangswaarden dient te worden gekozen, wordt aan de gebrui-ker overgelaten. De samenhang wordt hem echter direct duidelijk bij de bestudering van de betrokken grafieken. Zij geven de constructeur hij voorbeeld ook inzicht in de grootte van de twee resterende, voor hem juist van minder belang geachte grootheden.

') Gl'oml'tri.>cI,. gl'zil'n, wordt dl'

k.(~l'l'l'/I/O('k.

" O\·l'rig('/I .• hl'''l'l'r.fcioor dl' onuta/ldlghl'ld,

!l!!!

dl' \'l'rhrndmg.m·clrtl'/1 P,~A" B,A.' m dl' middl'l/ooellijn \'an A IA.! stl'l'd.' door r~n 1""1/ A .. mol'wn liaan.

de constructeur I auguslus 1988 I nr. 8

(ti

Grensgel'allen

I . Het grensgeval, waarbij

Il

=

0 (zic bij voorbeeld figuur 12) leidt tot twee symmetrisch gelegen keerpunten in dc koppel-kromme. Dil zijn de punten KI

=

K2 = PI2 en K~

=

K" = P5l •.

Voor dit geval ~cft men nog maar de beschikking over één vrije parameter. h; deze dc minimum overbrengingshock I1min (=JlI)' dan kunnen alle overige grootheden daaruit worden berekend. De gccnnetrische parameter ~." bij voorbeeld, kan dan worden bepaald met behulp van de betn:kking:

Voor de koppclhoek y heeft men in dit geval:

y = -45° + !l!4>o (6)

De resulterende (maximale) afwijkingen (!h.~h) van de bena-derde rechte kunnen in dit geval vastgesteld worden aan de

hand van de meest links verlopende grenslijn in de grafieken, waarbij 103 . ~hIL tegen LJhmin is uitgezet (figuren 7 en 8). Het is duidelijk, dat dit type op zichzelf als rechtgeleiding minder geslaagd is.

11 . Het grensgeval, waarbij

P

=

90" (zodat ook 1'. = 0"), leidt tot een kruksleufmechanisme (zie bij voorbeeld figuur 13). Zoals ook uit de grafieken blijkt, is in dit geval de rechtgeleidingjuist de 'beste' van allemaal. (Zie ook de meest rechts verlopende grenslijn in de grafieken, waarbij 103 . ~hIL tegen Uhmin is uitgezet, figuren 7 en 8).

Een technisch nadeel van dit mechanisme is natuurlijk het optredende open elementenpaar , dat in het gestelpunt Ba moet worden gerealiseerd. Ook in dit geval staat de construc-teur niet meer dan één vrije parameter ter beschikking voor het ontwerp.

Voor deze parameter kan ófwel &hlL, ófwel L!h",in worden gekozen. De grafieken geven dan de bijbehorende cl>o-waar-den. Bovendien kunnen de afmetingen van het mechanisme worden berekend met behulp van een hulpparameter a:

1 cotan a = 2 tan cl>o-tan T<lJo

1 1

d1hmin = Ttan cl>o. (tan ~o

+

tan a)

d sin (cI>o

+

2a)

a=

sin cl>o

(7)

(8)

(~)

lIL

(9B)

Voor de lengte I = AIKI van de sleuf!\tang heeft men de formule: I 3 h_min

=

2 2 (JO} 1 - cotan2 (cI>.,I2)

De krukhoek cl>L, die met de halve lengte van de rechtgelei-ding correspondeert, kan voorts in de grafiek (fig. 11) van cl>L tegen

IJ

worden ingeschat op de verticale lijn, waarvoor

IJ

= 90°. Natuurlijk kan mcr, indien de waarde voor cI> •. een groter belang heeft dan de maximaal optredende afwijking

'1~~h. ook van cl>1. worden uitgegaan. De natuurlijke getallen in de grafiek van cl>1. legen

IJ,

zijn daarbij dan de af te lezen waarden voor cI>", waarmee de berekening verder een aanvang neemt.

111. Het grensgeval, waarbij cI>" = 0

In dit geval vertoont de koppclkrommc geen golving, maar

fïgllur 7

38

t,Q

I~Adl

lIJ

1

.to

($ IQ I 8

,

t S 4

}s

~ .~

...

~~

~

I

Figultr R: Reclllgdcit/ilrgsml'c/uJlli.wl/l'f/ I'UII hrll..-Iyp/', Kmhlillgrm",,'lumi'''''fll I'UII d,' ('('TM" ,."or/

Het benaderen van een recht lijnstuk

met symmetrische koppelkrommen

heeft zij in het midden van de rechtgeleiding een 6-puntsaan-raking met haar baantangente. Dat wil zeggen, er zijn 6 samenvallende snijpunten KI

=

K2

=

K3 = ~ = Ks

=

Kt.

van

deze baantangente met de koppelkromme (zie de figuren 14, 15.en 16).

De lengte van de rechtgeleiding moet nu op een andere wijze worden gedefinieerd: Deze wordt nu uitsluitend bepaald door de krukhoek (J) en de gekozen afmetingen van het mecha-nisme:

lJhmin = 2 aJhmin • sin (J) (cos v.tan

tII2 -

sin V) (11)

Waarbij de overbrengingshoek " als volgt in (J). kan worden uitgedrukt:

a2 + d2 + 2adcos (J)

=

2b2(1 + cos,,) (12) Voor niet al te grote krukhoeken, neemt nu de maximale afwijking 6.h alléén toe, wanneer ook (J) toeneemt:

(_d _+_a -COS (J)(cosvtanl!...-sin V)

=

1 + 6.h (13)

hmin hmin 2 hmin

/':::

f

.

8f) -$

.

•

-10 -/I

•

-.!IJ

"

Figuur 9: Rechtgeleidingsmechanismen het type ~

Krukslingermechanismen van de eerste soort

Go"

GS-

"l'

..

•

S

"

!() t

..

1$

..

•

.JIJ

"

J4 4Q" tIfJ"

FigulIr 10: Rechtgeleidingsmechanismen van het type ~ KrnkslingermedulIIÎ.wnen I'an de eerste soort

Figuur 11: Halve krukhoek, dil! bij dl! I'I!chtgeleiding hoort

10-

4~N' ~.O·

y...,r··'·

f" -1+.5' ~Á;.,.;," (1$

-'Iá

-41./·/0-1 l

A

"~AtÁ.,AJ -/.11' /0A.

Figllur 12: Krukslingermechanisme op dl! grenslijn tt'oon'Qor

~ "E.

i

K,BoBI

= ()

welke betrekking in combinatie met betrekking (12). de waarde t.hlhmîn geeft als functie van de krukhoek $ en de nog te bepalen

afmetingen van de stangcnvicrzijde.

Ook dit type wordt overigens beheer{door slechts één vrije parameter. Kiest men daarvoor de mimmale overbrengingshoek

""liD = fil. dan kan in dit geval de geometrische parameter ~ als volgt worden berekend:

_ .., . . {-1

+

v'

1

+

48 sin2 (11,/2)

1\ -

-90"+ - are cos 8 . ( _sm I')

t l l -de constructeur 1 augustus 1988/ nr, 8

}

ril

(14) "'~~"-Ik.4"

'A",4!-i"

~

Figuur 13: /kt ontwerp Wilt een cen.trildl Icnlk'Sieufmechonisme,

_rvan

de Iwppelknmune bstu ~U!<Op J ~ mokt

(14,=-0, b·l ₌₍₎₎ :4 ...

, I ....

A".AA;AAwl

\

r.G ....

-~)

\

~.

"'"

y'-#

jA.

""'41.11" \ ti "$G..~'

jJ ..

~~lM' ~ "-/4"S'

%,-QI6lG

t{/J -48GfJ.IS

\

Figuur 14: Kmkslülgermeciumisllle vaIJ llel ),-I)'pl'. waan'uIJ de

fHl<tmrmlle/llt' dl' Iwpp/'lkrQ1nme in 6 SQltU'IB'all/'mw pll/~1tY1 roukl

Het benaderen van een recht lijnstuk

met symmetrische koppelkrommen

Voor de koppelhoek y heeft men dan de eenvoudige betrekking:

y =Yi~ -45° (15)

In de grafiek. waarbij y tegen ~ is uitgezet, betekent deze betrek-king dan ook een grenslijn voor de oplossingen van meer algemene aard. waarbij <P"

=

0 (zie de figuren 9 en 10).

De resterende afmetingen van het mechanisme kunnen nu verder weer met de betrekkingen (I) t/m (4) worden vastgelegd. In het heel bijzondere geval. waarbij behalve <p .. = 0 ook nog

p

= 90". heeft men slechts één oplossing. dat een kruksleufmecha-nisme is. waarbij de baantangente een 6-puntsaanraking heeft met de koppel kromme (fig. 17). Dit geval is in feite een combinatie van de twee laatst genoemde grensgevallen, te weten de gevallen 11 en

Hl.

Bijzonder geval (<P" =

/»

Dit geval doet zich voor, wanneer de ontwerppositie een translatie-positie voor de koppelstang is. Dat wil zeggen P'2 = P""2 (fig. 18). In dit geval hoeft de koppelhoek y niet meer itteratief te worden bepaald of uit een grafiek te worden afgelezen. Zij kan

daarente-42 ~'O /,1·~4Y· II1II' MIJ-t} a GO" ; : " .1Q' h .... ;4~ U ~o"

"I""

Is

~=!4

\

\

fïlfllllr 15: Krllkllinllt'Ttnl'd/(lIIi~'tle l'tln 111'1 ).·IYl,e. WtlUrl'tln tie

halUllangeflle de k0l'l'elkromme in (j stltllt!tll'allt'tltle l'ml/et! raakl

", -0 ../."/sN,s·,,

%

Y ..

:/.l4'ts" 8" G~~·

, - .RI,é''':

11

=

1';-" ,w~o,~J ~=4~1G 11 (",,11)

Figuur 16: Krukslingermechànisme van het type)., waan-an de baanJangente de koppelkromme in 6 samenvallende plinten raakt

fïgl/llr 17: Kruk.slell{mecllanisme met een 6·puntsaanraking tIlssen

til' kOl'pelkromme etl /raar raaklijn it! tie symmetrieIlatld

Tabel 1: voor het geval. dat

13

=

<1>0 (Translatie-positie. waarbij P12

=

P,"'2)

<1>0

hmin

Ib Y III 112 IJl. $l _l.IIl,m" 103_.

~h

1° 1,9994

-Ji3,293

8

1

_t,1332

_90,5358

_91,7

_54,5

_0,0391

_0,001

2

1,9976 -41,586 78,9143

91, "119

9;',4

56,5

0,0782

0,006

"z.

"j,9945

_'-39,8'/9

74,2:220

9'1,7;,83

_95,1

_:"1\5

_0,1174

_0,014

-'

4

1,9903 -38,173 69,9674

92,3454

96

t

7

60,:-

0,1565

c,0~6

5

1,9848 -36,46'1 66,0831

92,9334

98,4

6<::,5

0,195[;

(),043

6

1,9781 -34,','61 6<::,5161

93,5225 100,1

64,5

0,23j1

0,063

7

1,

9~'03

-33,056 59,2246

94,11~9

_{101,3 . 66}

_t

₅

u,,'l45

0,089

8

1,96

1

_{3 -31,352 56,1 '1&j,:'}

94,7047 103,4

68,5

0,3

1

41

o,no

9

1,9511 -,?9,649 53,3370

95,?984 105,1

70,

t~

_0,3538

_0,157

10

1,9397 -:='7,947 50,6892

95,&9

1

_{+0 106,7}

_72,4

_0,393'1

_(;,199.

11

1,9272

-26,246

t};},2109

_{96,4917 108,4}

_'/4,4

_C,4339

_0,243

12

1,9135 -24,546 45,8853

97,0919

~10,0

7

rl

,l+

0,1,743

0,3C4

13

1,3988

-22,eh7

43,6977

97,6948 111,7

'(P,4

(;,5

1L

.9

0,368

14

1,8829 -21,150 41,6356

98,3006 '113,3

JO,3

0,5559

0,439

15

1,0660 -19,455 39,6879

98,9094 114,9

8?,3

",597.2

0,513

16

1,8480 -17,76-î 37,8450

99,5216 116,5

84,3

0,6388

0,605

1'1

1,8290 -16,069 36,0984 100,1375 118,1

86,2

C,(,809

0,702

18

1,8090 -14,379 34,4405 100,1572 119,7

88,2

0,7233

0,809

19

1,7880

-12,690 32,8646 101,3810 121,3

9(',1

0,7662

0,926

20

1,7660 -11,005 31,3648 102,0091 1;:2,8

92,0

0,8096

1,053

.:'1

1,7431

-

9,321

29,9357 102,6419 124,4

93,9

0,3535

1,192

22

1,7193

-

7,640 28,5724 103,2795 1?5,9

95,9

0,8980

1,342

23

1,6947

-

5,961

27,2706 103,9224 127,5

97,8

0,9431

1,505

24

1,6691-

-

4,285 <:.6,0263 104,5706 129,0

99,7

<.:,98P.8

'I,fR1

25

1,6

1

₁₂₈

-

_2,61

_?

_2~,8361

_{105,2246 130,5 1C1,5}

₁

_,035,~

_1,871

26

1,6157

-

0,942

23,:)965 105,,)2.1:5

1:;;;":,<.:

"iC},::

_1,0823

_2,076

27

1,5372

Ct7~7 ~.: ~~

, ()O47

Î

06,;508 1)3,5 105,3

1,1302

2,296

.-. 1 ,5-592

'::,3Sg

_{21,5580 107,2236 135,0 107,1}

1,1789

2,532

L'C'

29

1,5299

4,C48

20,5539 107,9034 136,4 109,0

1,2285

2,784-30

1,5000

5,705 19,5900 "108,5904 137,8 110,8

1,2789

3,055

31

1,4695

7,358 18,6644 109,2849 139,3 112,7

1,3304

3,3

k

₄

32

1,4384

9,006 17, '775 1 109,9873 140;1 114,5

1,3829

3,652

33

1,4067

10,651 16,9204 110,6979 142,1 116,3

1,4365

3,981

34

1,3746

12,29

1

_{16,0985 111,4}

1

70 143,4 1-18,1

_1,4913

_1.,33

1

35

1,3420

13,927 15,3081 112,145

1

_{144,8 119,8}

_1,:;)473

_4,704

7)'-

_1,3090

_{15,559 14,5477 112,8824 146,1 121,6}

_{1 ,GOlf?}

_5,101

~o

37

1,2756

17,11)5 13,8161 113,6294

147,J ..

123,3

1,6634

5,522

38

1,2419

'i

8, 807

13,1121 114,3863 148,7 125,1

1,7237

_5,969

39

1,2079

20,423 12,4345 115,1537 150,0 126,8

1,'/855

6,444

40

1,1736

22,034 11,7824 115,9320 151,2 1

;::8,5

1,8490

6,947

4'1

1,1392

23,639 11,1547 116,'7214 152,5 130,2

1,9143

7,480

42

-:,1045

25,239 10.5507 117,5225 153,7 131,8

1,98

1

₅

_8,045

43

'1,0698

26,832

9,9695 118,3357 154,9 '13.3,5

2,0508

8,642

1~4

_1,0349

28,lj 19

9,4104 119,1613 156,0 î35,1

2,"12::2

9,274

lj5

1,0000

30,000

8,8726 120,0000 15'7,2

136,'1

?,

-:96.0

_Y,9lt3

60

O,5COO

:>2','161

3,0069 134,4775 171,6 159,7

;., '1!i /

16

25,721

75

0,1340

'13,0130

0,11422 153,8410 178,2 172,

"i

7,3349 59,092

fj:J

0,0006

88,991

0,0002

178,0175

130,0 1'79,9 118,326;. 115,365

de constructeur 1 augustus 19881 nr. 8 43

j

Het benaderen van een recht lijnstuk

met symmetrische koppelkrommen

\

\

"

"-"-

_....

./~,p:Oh<Ie/' ..f'w/: ~ =-!i> ex.

Figuur 18: Symmetrische kromme, waarvan de koppelkromme tIe baantangente op 3 verschiIIellde plaatsen (K h KJ en KJ) raakt

;"=/-",,r-.J

" l!G,sGS" I'" o'

1=%

~~~ A· 111.

1:"=1

S

fïglllu 19: Trandatie'fwlltI \'all /tet 'k·mechalli.nlle, IVi/i/rI'an tIe koppelkromme tIe baa'tllltlgellfe op .I "end/iIlemle plmtt.w!tI mI/kI

44

gen Il<luwkeurig worden berekend met behulp van de formule:

I 3-2 V2

+ lan

2

11»"

tan~~2)

)

l:l

I - tan «()" -

V

2 t tan2«()"

( 16)

Voor de overige afmetingen kunnen weer de betrekkingen ( I) t1m (4) worden gehanteerd.

De oplossingen volgens dit type zijn ook in de praktijk zeer wel bruikbaar:

Om daarbij een indruk te krijgen van de dh-waarden, dient eerst

f.l.1 te worden berekend: waarin d-a 2b d sin2(<Il,,-y)

b

cosy en a

b

l-cos2cJ>o-sin2<1l".tany (17) (18) (19)

Met de berekende waarde voor f.l.1 en de uitgangswaarde voor <Ilo is dan de waarde dh/L.1O·1 _{uit de grafiek. waarin deze waarde tegen} Uhmin is uitgezet. vastte stellen (ter vereenvoudiging kunnen in dit

geval de betrokken waarden ook direct uit de bijgevoegde tabel 1 worden afgelezen). '

Figuur 19 tenslotte. demonstreert het bijzondere geval, waarbij ook nog de koppclhoek y = 0 is genomen (het koppelpunt komt daarbij dan op het verlengde van de koppelstang te liggen). Literatuur

[11 Hain, K., Der Entwurf gleicluclrenkIiger Gelenkvierecke ftir gegebene symmetrische Koppelkurven. Konstruktion 18 (1966) IO.S.3~7-S.4()1 [21 Dijksman, E.A., ReclrtgeIeidingen met stangenvier::ijden. Polytech-nisch Tijdschrih. Editie A. 21 (1966) 6.p.247A.254A. 21 (1966)

7.p.2~4A-303A. 21 (1966) H,p,339A-347A

(3) Tcsar, Do, Vidosic. J,P .. SeIection of four-bar meclranism,~ IrUl'illg required approximate siraight-line outputs-lil nre BalI-Double Bur· mester linkuge, Journalof Mechanisms 2 (1%7) I,p.61·76

(4) Hain. K .. Computergeslü1zte Getriebesymhese mil geometri,~chen

Grundlagen fUr Gelenkviereck-Geradfülrrungen. Konstruktion 27 (In5) 4,S.125-S.131

(5) Israël. G.R .. AngenöJrerte GeradfUhrungen durch viergliedrige Kop-pelgetriebe. Maschinenbautechnik 25 (1976) II.S,520-S.525 (6) Schlütter. 0 .• Tolle, P .. Auswalllkriterien filr symmelrisdre

GeIenk-viereck-Geradfülrrungen, Tagung Stuttgart 1~8$, VDI-Berichte $76,S.IRI-S.202

[7) Dijksman, E,A., 'V - und S-förmige Koppelkurven der Kurbel· sdIwinge. Forschung im Ingenieurwcsen. Bd53 (1987) 605. 1 69-S. 1114 CD