Naar een Verantwoord
Gebruik van Statistiek
Eric Dignum
(10246312)
Schoolvak:
Wiskunde
Variant:
Effectonderzoek
Doelgroep:
Havo 3 - Wiskunde A
Opleiding:
Interfacultaire Lerarenopleidingen,
Universiteit van Amsterdam
Begeleiders:
dhr. dr. D.R. Pik & mw. dr. L. Kubbe
Datum:
20 juni 2019
Woorden:
6742 (exclusief titelblad, inhoudsopgave, samenvatting
en bijlagen)
Referentie:
Dignum, E. (2019). Naar een Verantwoord Gebruik
van Statistiek. Amsterdam: Interfacultaire
Inhoud
Samenvatting 2 1 Probleemstelling 4 2 Probleemverkenning 5 2.1 Theorie . . . 5 2.1.1 Centrummaten . . . 6 2.1.2 Spreidingsmaten . . . 7 2.1.3 Frequentietabellen en Histogrammen . . . 8 2.1.4 ICT . . . 8 2.2 Empirie . . . 9 3 Ontwerphypothese en Ontwerpregels 10 4 Onderzoeksopzet 12 4.1 Beschrijving Controle- en Experimentgroep . . . 124.2 Inhoudsanalyse . . . 13 4.3 Learner Report . . . 15 4.4 De Opdracht . . . 17 5 Uitvoering Lessen 19 5.1 Observaties . . . 19 5.2 Onderzoeksinstrumenten . . . 20 6 Resultaten 21 6.1 Inhoudsanalyse . . . 21 6.2 Learner Report . . . 24
7 Conclusie & Discussie 26
8 Terugblik 27
Referenties 28
Bijlage 1: Vragenlijst Wiskundeleraren 30
Bijlage 2: Uitgewerkte Lessen 31
Bijlage 3: Vragen Voormeting en Antwoordmodel 42
Bijlage 4: Vragen Nameting en Antwoordmodel 45
Bijlage 5: Huiswerkvragen per Les 48
Bijlage 6: Onderzoeksvragen Leerlingen 50
Samenvatting
Tegenwoordig moet alles in cijfers uitgedrukt worden, maar om uit deze enorme hoeveelheden data inzichten te halen hebben we vaak statistiek nodig. Deze “verzamelwoede” heeft in de praktijk ook een keerzijde, en steeds meer mensen roepen op tot een meer verantwoord gebruik van statistiek. Zo rijst steeds vaker de vraag welke cijfers we kunnen vertrouwen en hoe we ze moeten interpreteren (Ioannidis, 2005; Huff, 1993; Blauw, 2018; Rosling et al., 2018).
Om leerlingen (en mensen in het algemeen) minder reken- en interpretatie-fouten te laten maken in de centrummaten (gemiddelde, modus, mediaan) en spreidingsmaten (spreidingsbreedte, kwartielafstand), zowel in de afzonderlijke begrippen als in samenhang, worden onderstaande punten in een lessenserie verwerkt.
• Realistische data; • Centraal thema;
• Samenwerking in groepen; • Opgaven over misvattingen; • Reflectief huiswerk;
• Gebruik van ICT (Google Sheets).
De leerlingen krijgen vier lessen van 45 minuten om een zelfgekozen onder-zoeksvraag (bijvoorbeeld: “krijgen meisjes meer zakgeld dan jongens?”) in groepen te beantwoorden. Ze gaan bovengenoemde centrum- en spreidings-maten hiervoor uitrekenen, interpreteren en vergelijken. Uiteindelijk wordt dit verwerkt in een presentatie, die door ´e´en persoon wordt gegeven (elk lid van een groep heeft een andere verantwoordelijkheid).
Om te toetsen of men de begrippen afzonderlijk en gezamenlijk beter kan uitrekenen en interpreteren wordt een voor-/nameting opgezet met een inhoud-sanalyse van een schriftelijke toets. Echter, omdat dit de offici¨ele wiskundige introductie is van deze begrippen, wordt er ongeacht het soort les sowieso een groei verwacht in het gebruik ervan. Om de mogelijke groei in de experimentklas (waarvoor dit educatieve ontwerp is gemaakt) af te zetten worden tegen “nor-male” groei, worden de metingen ook in een controleklas met “standaardlessen” afgenomen. Naast de inhoudsanalyse, wordt de leerlingen uit de experimen-tklas gevraagd om een learner report in te vullen. Door middel van (open) vragen wordt er geprobeerd meer (kwalitatief) zicht te krijgen op effecten van het educatief ontwerp en kunnen deze mogelijk beter gekoppeld worden aan de ontwerpregels. Andere verschillen tussen de controle- en experimentgroep kun-nen namelijk ook de oorzaak van het effect zijn. Zie Figuur 4 op bladzijde 16 voor een schematisch overzicht van de onderzoeksopzet.
Op basis van de Mann-Whitney U Toets kan er gesteld worden dat er vol-doende bewijs is voor een verschil tussen de experimentgroep en controlegroep bij de nameting (met een betrouwbaarheid van 95%). Het gemiddelde aantal punten op de toets verschilde 81% (experiment: 7.32 versus controle: 4.04) en de mediaan was 7.00 (experiment) versus 4.00 (controle). Het learner report geeft aan dat leerlingen het realistische aspect van de data, het samenwerken en het gebruik van ICT, over het algemeen positief ontvangen hebben, maar de (huiswerk)opgaven minder. Dit laatste kan door de uitvoering van de les veroorzaakt zijn.
Al zijn deze resultaten op zichzelf zeer positief en geven aan dat leerlingen uit de experimentklas beter presteren op de toets dan de controlegroep. Maar het kan het niet ontkent worden dat er meer (on)zichtbare verschillen tussen de groepen bestaan die het effect kunnen verklaren. Het learner report wijst voorzichtig richting de ontwerpregels als (deel van de) oorzaak, maar alleen al het feit dat er een andere leraar lesgeeft in de controleklas zou een deel van de (of de gehele) groei kunnen verklaren. Aanbeveling is dan ook om het onderzoek te herhalen, mits mogelijk met dezelfde leraar in beide klassen en op andere/meerdere scholen om meer bewijs te verzamelen.
1
Probleemstelling
Tegenwoordig moet alles in getallen uitgedrukt en gemeten worden; of het nu in de wetenschap is, op het nieuws, je bezoekersgedrag op een website, het bijhouden van je gezondheid of het meten van je hersenactiviteit bij bepaalde prikkels. Wanneer je inzichten uit deze hoeveelheden data wilt halen kom je al snel uit bij de statistiek, een van oorsprong wiskundige discipline. Wanneer je het gemiddelde van een aantal observaties uit wilt rekenen of dat je een hypothese wilt toetsen, statistiek kan je hierbij helpen.
Dat men moet leren om met deze steeds grotere hoeveelheden data om te gaan, uit zich ook in ´e´en van de kerndoelen van het Nederlandse wiskundeonder-wijs. Kerndoel 27 stelt: “de leerling leert gegevens systematisch te beschrijven, ordenen en visualiseren en leert gegevens, representaties en conclusies kritisch te beoordelen”. Deze “verzamelwoede” heeft in de praktijk ook een keerzijde, en steeds meer mensen roepen op tot een meer verantwoord gebruik van statistiek. Zo rijst steeds vaker de vraag welke cijfers we kunnen vertrouwen en hoe we ze moeten interpreteren. Dat ze in de praktijk nogal eens fout ge¨ınterpreteerd en gebruikt worden, bewijzen Blauw (2018) en Rosling et al. (2018). Maar niet alleen in het dagelijks leven komt dit voor, ook in de wetenschap wordt gerap-porteerd over het (bewust) foute gebruik van statistiek (Ioannidis, 2005; Huff, 1993).
Een onderdeel van verkeerde interpretaties en conclusies binnen de statistiek is dat men de verschillende begrippen, bijvoorbeeld centrum- en spreidingsmaten, niet als onderdeel van een hele steekproef of populatie ziet (Batanero et al., 1994, p. 533). Een fout/misvatting die hieruit voort kan komen is een centrummaat als “voldoende” opvatten. Zoals wanneer gemiddelden tussen twee groepen ver-schillen, concluderen dat dit verschil dan significant is (spreidingsmaten niet op een onderbouwde manier meegenomen in de conclusie).
Op de middelbare school uit zich dit in de moeilijkheden met bijvoorbeeld on-derzoeksopgaven, zoals vaak op de examens in Wiskunde A verschijnen. Waar-bij naast centrum- en spreidingsmaten uitrekenen, ook om interpretatie en kri-tische blikken wordt gevraagd. Voor dit soort vragen is het wel van belang dat men beide begrippen (visueel) in relatie tot elkaar ziet (Garfield and Gal, 1999, p. 212). Tijdens bijlessen voor het vierde en vijfde jaar Havo/VWO op de stageschool is het relatieve aantal vragen met betrekking tot statistiek vrij hoog. Terugkerend onderwerp is de verwarring bij de onderzoeksvragen waar uitspraken worden gedaan over steekproeven. Het is bijvoorbeeld niet altijd duidelijk waarom we het verschil tussen twee groepen, nu “groot, mid-delmatig of gering” kunnen noemen (centrum- en spreidingsmaten gezamenlijk interpreteren).
Is dit een probleem? Volgens Boaler (2015, pp. 58-63), Polya (1963, p. 606) & Drijvers et al. (2016, pp. 10-12) is een van de belangrijkste taken van het wiskundeonderwijs, dat leerlingen leren realistische problemen op te lossen met
en spreidingsmaten zowel afzonderlijk als gezamenlijk kunnen interpreteren. Op deze manier kunnen ze cijfers in het dagelijks leven, de vervolgopleiding, de wetenschap of het werk beter in perspectief plaatsen.
2
Probleemverkenning
Statistiek is traditioneel een onderdeel van Wiskunde A, waarbij de (wiskundige) introductie van het onderwerp plaatsvindt aan het einde van het derde jaar (Havo) of in het tweede jaar (VWO). Leerlingen zijn voor die tijd vaak al wel bekend met het gemiddelde (en mogelijk andere centrummaten) vanuit andere vakken en/of het dagelijks leven.
Zoals geschetst in de aanleiding is het een probleem als men centrum- en spreidingsmaten niet gezamenlijk (als onderdeel van een verdeling) kan inter-preteren. Daaronder liggen de problemen met de procedures en interpretatie van de afzonderlijke begrippen. Om dit vanaf het begin af aan proberen aan te pakken of zelfs te voorkomen, is besloten dit educatieve ontwerp te richten op de introductie van statistiek in Havo 3. Begrippen die aan bod komen zijn:
• de centrummaten: gemiddelde, mediaan en modus; • spreidingsmaten: spreidingsbreedte en kwartielafstand; • frequentietabellen en histogrammen.
2.1
Theorie
Een samenhangend en betekenisvol cognitief schema bij leerlingen kan er voor zorgen dat de leerstof beter beklijft. Om dit te ontwikkelen is het volgens Drijvers et al. (2016, p. 28) van belang om vanuit een centraal thema les te geven. De gebruikte lesmethode behandelt centrum- en spreidingsmaten echter vooral los van elkaar, waardoor het voor leerlingen kan lijken of ze geen samenhang hebben, wat tot meer reken-/interpretatiefouten bij de afzonderlijke begrippen kan leiden (Drijvers et al., 2016, pp. 41-42).
In diezelfde methode is het merendeel van de voorbeelden/opdrachten het uitvoeren van stappenplannen en oplossingsmethoden. Dit wordt benadrukt door Boaler (2015, pp. 58-63) die stelt dat 80% van de wiskunde op school alleen over het berekenen gaat, waardoor het minder betekenisvol is, samenhang niet expliciet benadrukt wordt en uiteindelijk de foutgevoeligheid verhoogd omdat de leerprestaties verminderen. Volgens Drijvers et al. (2016, p. 22) wordt er dan alleen gewerkt aan de wiskundige bekwaamheid “Weten dat ” (kennis van feiten & begrippen, reproduceren en technieken beheersen). Terwijl, voor een beter begrip (i.e. minder fouten en betere interpretatie), ook aan de volgende bekwaamheden gewerkt zou moeten worden:
• Weten hoe: probleemaanpak, toepassen, onderzoeksvaardigheden; • Weten waarom: concepten, abstracties, rijke schema’s, argumenteren,
• Weten over weten: metacognitieve vaardigheden als reflecteren, moni-toren, kennis over je eigen weten en aanpak;
• Houding: wiskunde leren is leuk, interessant, groei in kennis geeft vol-doening, ik kan het.
Voor statistiek specifiek komen Garfield and Gal (1999, p. 217) met een aantal aanbevelingen om het redeneren/interpreteren met/van statistiek te bevorderen:
• laat leerlingen met realistische, interessante data werken;
• ga verder dan alleen het oplossen van een som, maar laat leerlingen ook het proces uitleggen en de oplossing analyseren/beargumenteren;
• laat leerlingen met technologie data onderzoeken en analyseren, zodat ze zich minder bezig hoeven te houden met berekeningen en het managen ervan;
• bouw voort op leerlingen hun voorkennis;
Behalve het voortbouwen op voorkennis komen de andere punten niet terug in de lespraktijk. De uitleg en opgaven in de methode zijn realistisch bedoeld, maar in de lessen komt naar voren dat de meeste leerlingen zich bijna geen voorstelling kunnen maken. Opgaven zijn gedateerd, tegenwoordig gebeurt er qua statistiek veel met allerlei software en de leefwereld van leerlingen is veelal digitaal (Drijvers et al., 2016, p. 268). Terwijl niet alleen bovenstaande bron het gebruik van realistische en aansprekende data binnen de statistiek onderschrijft, maar onder andere ook Watson and Callingham (2003, p. 22), Gal (2002, p. 15) en Drijvers et al. (2016, p. 231).
Hieronder wordt ingegaan op problemen met de specifieke begrippen en ICT. Er is een apart stuk over ICT opgenomen, omdat dit in de wereld van vandaag de dag bijna niet los gezien kan worden van de statistiek Drijvers et al. (2016, p. 233). Realistische datasets kunnen enorm zijn, waardoor de handmatige berekeningen die leerlingen moeten beheersen veel tijd kunnen innemen en het begrip niet verder bevordert.
2.1.1 Centrummaten
De centrummaten die behandeld worden zijn het gemiddelde, de modus en me-diaan. Naast dat deze drie door elkaar gehaald worden, zijn er twee categorie¨en problemen: reken- en interpretatiefouten.
Voor het gemiddelde vertonen leerlingen moeite met het middelen van twee gewogen gemiddelden Batanero et al. (1994, p. 531). Stel dat de gemiddelde lengte van jongens in de derdeklas 160 cm is en dat van meisjes 150 cm, het gemiddelde 155 cm wordt geschat. Terwijl het aantal jongens en meisje helemaal
een aantal intervallen moet worden bepaald en er geen rekening gehouden wordt het aantal waarnemingen per interval. Andere leerlingen denken soms dat het toevoegen van een observatie met waarde nul het gemiddelde niet be¨ınvloedt, terwijl alle waarden van invloed zijn op het gemiddelde.
Daarnaast zijn er ook interpretatiefouten die met het gebruik van het gemid-delde naar voren komen. Volgens (Batanero et al., 1994, p. 533) zijn de volgende misvattingen bij leerlingen aanwezig, het gemiddelde is:
• de meest voorkomende waarde;
• een representatieve waarde voor de data; • het midden van een dataset;
• alleen een procedure.
Maar waar de eerste drie in specifieke gevallen allemaal tegelijkertijd waar kun-nen zijn (bij discrete, symmetrische verdelingen bijvoorbeeld), hoeft dit over het algemeen niet te gelden. Wanneer leerlingen alleen de procedure beheersen om het gemiddelde uit te rekenen, zullen ze over het algemeen meer moeite hebben bij het interpreteren van het concept en fouten maken in alles behalve de meest simpele opgaven (Batanero et al., 1994, p. 533).
Voor de mediaan gelden soortgelijke interpretatiefouten, maar procedureel wordt het sorteren van de data soms overgeslagen en/of vinden leerlingen het verwar-rend dat er voor even en oneven aantallen waarnemingen verschillende proce-dures zijn (Batanero et al., 1994, p. 535).
2.1.2 Spreidingsmaten
Een grote valkuil over spreiding binnen een dataset van welke orde dan ook, is het negeren ervan (Ben-Zvi et al., 2004, p. 203). Bij de veelgebruikte normale verdeling zijn het theoretische gemiddelde, mediaan en modus hetzelfde (hier is dus geen onderscheid in aan te brengen), maar is de spreiding zeker belangrijke informatiebron om verschillen tussen theoretische- of steekproefverdelingen aan te brengen. Dat spreiding wordt genegeerd kan deels bij het onderwijs neergelegd worden volgens Watson et al. (2003, p. 1), dat vroeger vooral focus heeft gelegd op de centrum- in plaats van spreidingsmaten.
Er zijn er veel verschillende maten en termen voor spreiding; variantie, vari-atie, kwartielafstand, standaardafwijking, standaardfout, etc. Deze zijn zeker niet hetzelfde, maar kunnen net als de centrummaten makkelijk door elkaar gehaald worden (Batanero et al., 1994, p. 533). Bij de introductie in Havo 3, worden alleen de spreidingsbreedte (maximum − minimum) en de kwartielafs-tand (derde kwartiel − eerste kwartiel) gebruikt. Bij de spreidingsbreedte zijn er over het algemeen weinig rekenfouten, maar voor de kwartielafstand moet twee keer de mediaan uitgerekend worden wat dezelfde misvatting kan voort-brengen als bij de mediaan. Maar spreidingsmaten zijn lastiger te begrijpen en
2.1.3 Frequentietabellen en Histogrammen
Omdat data veelal wordt gevisualiseerd in zowel de lesmethode als de praktijk, kan het van belang zijn om veelvoorkomende misvattingen rond histogrammen en frequentietabellen te benoemen. Friel et al. (2001, pp. 132-144) hebben een aantal factoren die het begrijpen en interpreteren van grafieken in het alge-meen kunnen be¨ınvloeden vastgesteld. Moeilijkheden kunnen ontstaan als het doel/betekenis niet duidelijk genoeg is voor de leerling of visueel lastig te de-coderen (denk aan teveel informatie, weinig kleurverschil, etc.). Ook het type van de data en de mate van variatie kunnen uitmaken. Eigenschappen van de lezers van de grafiek zijn ook van belang, hierbij kan men denken tekort aan cognitieve capaciteit.
Voor histogrammen specifiek, hebben Kaplan et al. (2014, p. 16) & Batanero et al. (1994, p. 530) een aantal misvattingen/fouten met betrekking tot his-togrammen ge¨ıdentificeerd:
• men snapt het verschil niet tussen een staafdiagram en een histogram en waarom dit verschil belangrijk is;
• verwarring tussen de verticale en horizontale as. Vooral wanneer data in klassen is ingedeeld om te reduceren;
• vlakkere histogrammen bevatten minder variatie; • het introduceren van een tijdscomponent; • het ontbreken van schalen, oorsprong of labels; • niet voldoende maatstreepjes op de assen.
2.1.4 ICT
Wie in deze tijd over data praat, kan al bijna niet meer om het gebruik van software en computers heen. Denk aan Excel, Google Sheets of VU-Stat, maar ook geavanceerdere programma ’s zoals R of zelfs programmeren in bijvoor-beeld Python. Hoewel het leren gebruiken en toepassen van ICT in de huidige informatiemaatschappij een legitiem onderwijsdoel is, wordt het in de wiskun-delessen meer als middel gezien. Het gevaar van het gebruiken van een nieuwe of redelijke onbekende tool is dat het meer als “learn to use” wordt gezien in plaats van “use to learn”. In het wiskundeonderwijs is het zaak ervoor te zorgen dat het de ontwikkeling en het onderhoud van basisvaardigheden niet in de weg staat (Drijvers et al., 2016, p. 280).
In Drijvers et al. (2016, p. 288) wordt benadrukt dat er geen wetenschappelijk bewijs is dat ICT-gebruik ten koste gaat van pen-papier gebruik. Desalniettemin wordt er gewaarschuwd dat pen-en-papiervaardigheden onderhouden moeten worden en functioneren, willen ze operationeel blijven.
2.2
Empirie
In de theoretische probleemverkenning gelden strikt genomen de conclusies van de hier opgenoemde onderzoeksresultaten alleen voor de daar gebruikte popu-laties. Dit betekent niet dat dezelfde problemen niet spelen bij de leerlingen van deze school/klas, maar wel dat enige voorzichtigheid geboden is, en het verzamelen en analyseren in de populatie zelf extra handvatten kan geven.
De betreffende klas is een derdeklas Havo met 27 leerlingen en krijgt wiskun-deles op een scholengemeenschap in Weesp. Men heeft al vervroegd het profiel Economie & Maatschappij of Cultuur & Maatschappij gekozen met Wiskunde A. Echter, zoals eerder benoemd, hebben deze leerlingen hebben nog geen wiskundige ervaring met statistiek. Daarom is ervoor gekozen om zes wiskunde-docenten die lesgeven in Havo/Vwo 3/4/5/6 een vragenlijst in te laten vullen. Op deze manier kunnen problemen met betrekking tot frequentietabellen, his-togrammen, centrum-/spreidingsmaten en statistiek in het algemeen dichter bij de doelgroep in kaart gebracht worden. De volledige vragenlijst is terug te vinden in Bijlage 1, maar hieronder volgt een bespreking van de belangrijkste resultaten.
Van de zes docenten hebben vijf de vragenlijst ingevuld. Algemene moeilijkhe-den met statistiek zijn volgens hen; het informatie halen uit een stuk tekst, grafieken interpreteren (inclusief boxplot) en het koppelen van hun uitkomsten aan de context van de opgave. Grote onderzoeksopgaven waar dit allen tezamen komt zijn dan ook het soort waar leerlingen volgens de leraren het meest moeite mee hebben. Dit is tevens het soort opgave waar de meeste vragen tijdens bijles (binnen het onderwerp statistiek) gesteld worden.
Voor frequentietabellen en histogrammen, weten sommige leerlingen niet wat frequenties betekenen en worden de histogram en staafdiagram door elkaar gehaald. Fouten zoals het niet labelen van de assen komen ook voor. Mediaan en modus worden wel eens door elkaar gehaald (het gemiddelde uitrekenen gaat meestal wel goed op telfouten na). Daarnaast wordt de frequentie soms als modus gegeven in plaats van de waarde. De kwartielafstand en spreidingsbreedte worden een enkele keer verward en eerstgenoemde levert nog al eens problemen op hoe je de kwartielen nu uit moet rekenen bij een even aantal waarnemingen versus een oneven aantal.
Omdat het in het dagelijks leven niet alleen om het curriculum draait is aan leraren tevens de volgende vraag gesteld: “Wat zijn dingen in het dagelijks leven die je storen aan het gebruik van statistiek?”
• “Dat steeds alleen naar het gemiddelde en niet naar spreidingsmaten wordt gekeken bijvoorbeeld bij een docentenenquˆete of eindexamencijfers.” • “Misleidende titels die een artikel interessant laten lijken of weggelaten
(cruciale) informatie over een onderzoek (denk aan aantallen ondervraagde mensen, spreiding, aselect). Verkeerde conclusies die logisch lijken maar wiskundig niet onderbouwd zijn”
Bovenstaande antwoorden geven aan dat in ieder geval twee docenten ook in het dagelijks leven of op het werk “fout” gebruik van statistiek ondervinden.
In de laatste vraag, is nog door een leraar benadrukt dat de verschillen in niveau en werkhouding in wiskunde A groepen erg groot kunnen zijn: “door-gaans kiezen deze leerlingen niet per se voor wiskunde als vak; maar ze zien het meer als noodzakelijk kwaad (soms hebben ze het nodig voor een vervolgoplei-ding, waar statistiek naar mijn beleving niet altijd goed aangeschreven staat). Dit be¨ınvloedt de motivatie van de leerling zeker (en hierdoor ligt de spreiding van niveau ook zeer hoog, een aantal zijn te lui qua werkhouding voor Wiskunde B maar hebben het niveau wel, tegenover een aantal die zeer hard werkt voor een voldoende).”
3
Ontwerphypothese en Ontwerpregels
Leerlingen (en mensen in het algemeen) tonen problemen met het begrip en de interpretatie van centrum- en spreidingsmaten, evenals de samenhang tussen hen met betrekking tot een verdeling. Als dit wordt aangepakt met echte, voor de leerling betekenisvolle data en het gedoceerd wordt vanuit een centraal thema, is de verwachting dat leerlingen:
(a) minder reken- en interpretatiefouten maken in de centrummaten: gemid-delde, mediaan & modus en de spreidingsmaten: kwartielafstand & sprei-dingsbreedte;
(b) centrum- en spreidingsmaten als samenhangend onderdeel van een verdel-ing zien (i.e. gezamenlijk kunnen interpreteren).
Om de verwachting uit de ontwerphypothese te bereiken, zijn onderstaande ontwerpregels voor de lessenserie opgesteld. Deze regels volgen uit de geschetste problemen in de theoretische en/of empirische verkenning en zijn gebaseerd op oplossingen die volgen uit de literatuur.
1. Om reken-/interpretatiefouten bij de verschillende centrum- en spreidings-maten te verminderen gaan leerlingen met een echte, realistische en voor hen betekenisvolle dataset aan de slag (De Nationale Doorsnee, zie de op-dracht voor een uitgebreide toelichting). Leerlingen gaan twee zelf gekozen groepen vergelijken en krijgen zo les uit een centraal thema (onderdeel van de statistische cyclus). Op deze manier maken ze functioneel gebruik van de concepten (“weten hoe” en “weten waarom”), wat bovengenoemde fouten kan verminderen, de interpretatie en samenhang tussen concepten kan bevorderen (Drijvers et al., 2016, pp. 219-233; Watson and Calling-ham, 2003, p. 22; Gal, 2002, p. 15; Witterholt et al., 2007, pp. 36-53). 2. Om reken-/interpretatiefouten in de begrippen te verminderen en
huiswerk naar veelgemaakte fouten gevraagd (“weten waarom”). De antwo-orden wantwo-orden gemonitord door de leraar en gedurende de klassikale uitleg kunnen misvattingen worden bijgesteld of voorkomen (Drijvers et al., 2016, pp . 46-47).
3. Wederom om fouten te verminderen en verbanden te leggen tussen begrip-pen (i.e. samenhang) worden reflecterende vragen (“Weten over weten”) toegevoegd aan het huiswerk. Reflecteren valt onder de noemer metacogni-tieve vaardigheden en kan leerprestaties bij leerlingen verbeteren (Drijvers et al., 2016, pp. 46-47; Boaler, 2015, p. 84) en is tevens een van de doelen van het wiskundeonderwijs (Drijvers et al., 2016, pp. 22-25).
4. Zowel in de theoretische als empirische probleemverkenning komt er naar voren dat leerlingen het goed interpreteren/redeneren met de statistische begrippen erg lastig vinden en uit de vragenlijst blijkt verder dat er grote niveauverschillen tussen leerlingen kunnen zitten. Tegelijkertijd stoort het verkeerde gebruik van statistiek in het dagelijks leven de wiskundedocen-ten. In kleine groepen samenwerken kan dit bevorderen (Maaß, 2006, p. 119; Dekker and Elshout-Mohr, 2007). Wel moet er dan aan de volgende eisen worden voldaan:
• als groepsgrootte is voor vier leerlingen per groep gekozen (twee jon-gens en twee meisjes), omdat een oneven verdeling van het geslacht kan leiden tot mindere resultaten en meer leerlingen een grotere kans op “free-riders” geeft (Gillies and Boyle, 2010);
• leerlingen krijgen ieder een taak, die allemaal uitgevoerd moeten wor-den om te voldoen aan de eindopdracht (presentatie) om positieve on-derlinge afhankelijkheid te cre¨eren (leerlingen hebben elkaar nodig) en elke leerling medeverantwoordelijkheid te geven om uiteindelijk samenwerkend leren te bevorderen (Ebbens et al., 2013, p. 94); • voor de leraar is het van belang dat hij/zij zich vooraf verdiept heeft
in de opdracht (stappen van de leerlingen doorlopen), domeinkennis heeft en duidelijke werkvormen kiest (Drijvers et al., 2016, p. 263). Maar ook op procesniveau hulp geven in plaats van product, betere leerlingen over groepen verspreiden, aanmoedigen om samen te werken en niet te snel in te grijpen kan er voor zorgen dat niveauverhoging door samenwerking eerder wordt bereikt (Dekker and Elshout-Mohr, 2007).
5. Om problemen en/of een gebrek aan ervaring met ICT zoveel mogelijk te beperken wordt er zo min mogelijk gebruik gemaakt van Google Sheets en Slides. In de uitwerking van de opdracht wordt een stappenplan voor hulp opgenomen, de docent heeft voldoende kennis van beide tools en zet de opdracht zoveel mogelijk van tevoren klaar. Daarnaast wordt de spreadsheet vooral ingezet als gereedschap om werk aan uit te besteden (meer en snellere dataverwerking) en voor een verbeterde begripsvorming
er nog pen-en-papiervaardigheden van leerlingen via het eerdergenoemde huiswerk gevraagd, zodat deze onderhouden worden (Drijvers et al., 2016, pp. 297-298).
4
Onderzoeksopzet
Om te toetsen of leerlingen een beter begrip tonen van centrum- en spreid-ingsmaten plus de (gezamenlijke) interpretatie ervan, wordt een effectmeting opgezet. Voor de leerlingen in Havo 3 die Wiskunde A hebben gekozen gaat dit hun formele introductie zijn tot bepaalde statistische begrippen. Het is daarom ook de verwachting dat, wat voor lessen de leerlingen ook tussendoor krijgen, ze waarschijnlijk zullen groeien in hun gebruik van statistiek. Een voor- en nameting in de klas waar de lessenserie voor is ontwikkeld, kan dan misschien wel een groei laten zien in bovenstaande doelen. Maar wanneer de “standaard” lessenserie gegeven zou worden, kan dit net zo goed plaatsvinden. Voor een daling in competentie met betrekking tot de doelen geldt eenzelfde redenatie. Om toch beter zicht te krijgen op de effecten van dit educatieve ontwerp, wordt de effectmeting ook in de andere Havo 3 klas met Wiskunde A afgenomen. Op deze manier kan de groei in de experimentklas afgezet worden tegen de groei van de controlegroep.
Vanwege een strakke planning aan het einde van het schooljaar, het feit dat in de controleklas een andere docent lesgeeft dan in de experimentgroep en een hoeveelheid van 50-60 leerlingen, is voor een beperkte toets met inhoudsanalyse gekozen. Hiermee kan worden beoordeeld of leerlingen uit de klas met van het educatief ontwerp op de toets beter scoren, met betrekking tot de leerdoelen uit de ontwerphypothese, dan de controlegroep.
Maar hiermee wordt vooral vanuit het perspectief van de onderzoeker en kwantitatief naar mogelijke effecten van het educatief ontwerp gekeken en is minder goed te beoordelen wat de oorzaak van het verschil is. Naast de in-houdsanalyse van de toetsen, wordt de leerlingen uit de experimentklas daarom gevraagd om een learner report in te vullen. Door middel van (open) vra-gen wordt er geprobeerd meer (kwalitatief) zicht te krijvra-gen op effecten van de lessenserie vanuit het perspectief van de leerling en kan een eventueel effect mogelijk beter gekoppeld worden aan de ontwerpregels.
4.1
Beschrijving Controle- en Experimentgroep
In beide Havo 3 klassen zit een mix van leerlingen met een voorlopige profielkeuze van EM/CM en geen NG-/NT-leerlingen. Wel wordt er in de controlegroep les-gegeven door een andere, meer ervaren docent. Het verschil in ervarenheid zou er in de controleklas voor kunnen zorgen dat leerlingen meer groei doormaken tussen de voor- en nameting. Het zou ook de andere kant op kunnen werken, maar dit lijkt onwaarschijnlijker.
Los van bovenstaande verschillen in groepen, is het idee achter de effectmet-ing van dit ontwerp is erachter komen of de ontwerpregels van de lessenserie het verwachte effect in de hypothese kunnen bewerkstelligen. Voorwaarde is wel dat de ontwerpregels niet in de lessen van de controleklas verwerkt zijn, anders kun-nen ze moeilijker als oorzaak van een effect aangeduid worden. Om dit beter te onderbouwen wordt hieronder een beknopte samenvatting van een standaardles uit de controlegroep (met andere docent) geschetst.
De les wordt over het algemeen begonnen met klassikale uitleg, waar huiswerk van vorige keren en de nieuwe begrippen behandeld worden. Daarna wordt er zelfstandig aan opgaven uit de methode gewerkt, die minder realistisch, niet reflectief en niet expliciet misvatting aanstippen. Wel is er ruimte voor samen-werking en overleg, maar wordt het niet expliciet gefaciliteerd zoals het werken in groepjes aan een gezamenlijke opdracht. De docent loopt rond om orde te houden en hulp te geven. Een korte gezamenlijke afsluiting is het einde van de les, met als huiswerk weer opgaven uit de gebruikte methode.
4.2
Inhoudsanalyse
Zoals gezegd moeten de leerlingen nog bekend raken met de statistische termi-nologie en procedures waar het hier om gaat. Een term als het gemiddelde is algemeen bekend, maar spreiding al minder en maar kwartielafstand of spreid-ingsbreedte zeer waarschijnlijk onbekend voor de leerling. Voor de voormeting wordt zulke terminologie (op spreiding na, bij gebrek aan een betere benaming) daarom vermeden.
Binnen de literatuur over de statistiekeducatie hebben Watson and Callingham (2003) een vragenlijst van 80 open en multiple-choice vragen ontwikkeld om leerlingen hun “statistical literacy” te meten. Deze Engelse term betekent in het Nederlands zoveel als het niveau van statistisch redeneren wat de leerlingen beheersen. Uiteraard omvatten deze 80 items veel meer dan alleen het niveau hoe leerlingen presteren met een beperkt aantal centrum- en spreidingsmaten en hun interpretatie. Ook tonen zij aan dat hun vragenlijst valide is betreffende hun doel.
Omdat er geen tijd is om de leerlingen 80 vragen voor te leggen, is er voor gekozen om de metingen te beperken tot vier vragen. Zie Bijlage 3 en 4 voor de vragen van de metingen en de antwoordmodellen. De vragen zijn gebaseerd op die in Watson and Callingham (2003, pp. 31-46), maar zijn vertaald en iets aangepast om beter aan te sluiten bij de leefwereld van de doelgroep.
1. Over de interpretatie van het gemiddelde (veruit de meest gebruikte cen-trummaat) en toetst of leerlingen weten wat je allemaal wel of niet over het gemiddelde kan concluderen. Toetst hypothese (a).
2. Hier wordt getoetst of men kan identificeren welke centrummaat een betere schatting oplevert (gemiddelde, modus en mediaan). Toetst hypothese (a).
3. Vraag nummer drie gaat over spreiding en in welke van drie histogram-men (voorkennis) deze het grootst en het kleinst is (er wordt ook om een redenatie gevraagd). Zo wordt de basiskennis over spreiding getoetst, al is de verwachting dat de term spreiding (bij gebrek aan beter) verwarring op kan leveren bij de voormeting. Toetst hypothese (a).
4. De laatste opdracht betreft zowel centrum- als spreidingsmaten en vraagt om de twee te combineren en te interpreteren. Omdat niet alle infor-matie bekend is, is er de mogelijkheid om kritische vragen over de data te stellen. Dit kan blijk geven van een goede interpretatie van beide begrip-pen. Toetst hypothese (b).
Bij de nameting worden er vier vragen in dezelfde categorie gegeven, maar vraag 1-3 worden wel aangepast om het voor leerlingen een andere toets te laten lijken. Daarentegen wordt vraag 4 precies hetzelfde gehouden, omdat het de verwacht-ing is dat bij de voormetverwacht-ing leerlverwacht-ingen hier het minst van zullen weten, het moeilijkst is en door het open karakter hun eventuele groei in kennis kunnen etaleren. Bijlage 3 en 4 bevatten de daadwerkelijke vragen en antwoordmodellen. Om te toetsen of er al een significant verschil bestaat tussen de twee klassen v´o´or het uitvoeren van de lessenserie (bijvoorbeeld intelligentere leerlingen in de ene klas), kan een statistische toets uitgevoerd worden. Er moet dan wel opgemerkt worden dat in ieder geval de assumptie van normaal verdeelde data bij een standaard T-toets niet opgaat (Nachar et al., 2008). Vanwege deze reden is voor een non-parametrische toets gekozen, in de vorm van de Mann-Whitney U Toets, die geen eisen aan de verdeling stelt (i.e. non-parametrisch).
Een tweede opmerking betreft het aantal keer dat een statistische toets wordt gebruikt. Hoe meer toetsen er uitgevoerd worden, des te groter de kans op een vals-positieve (concluderen dat er een significant verschil is, terwijl het eigenlijk niet het geval is). Dit staat bekend als het “Multiple Comparisons Problem” (Dunnett, 1955). Wanneer men bijvoorbeeld twee toetsen uitvoert met een significantieniveau van 95%, is er niet een kans van 5% op een vals-positieve (wanneer beide toetsen in de conclusie worden meegenomen), maar bijna een 10% kans (1 − (1 − 0.05)2= 0.0975)
Om een 95% betrouwbaarheid te garanderen kan men meerdere soorten cor-recties uitvoeren. Een methode (Bonferroni) is de betrouwbaarheid per toets corrigeren naar de gewenste betrouwbaarheid over het geheel, gedeeld door het aantal toetsen. In dit experiment is voor een 95% betrouwbaarheid gekozen (conventie) en wordt het verschil tussen de controle- en experimentgroep bij de voormeting ´en bij de nameting getoetst. Dit resulteert dus in twee statistische toetsen, met een betrouwbaarheid van 97.5% per stuk. Het verschil binnen een groep tussen beide metingen wordt niet aan toets onderworpen, omdat deze groei al zeer waarschijnlijk gaat plaatsvinden.
4.3
Learner Report
Om beter te toetsen of een eventueel verschil tussen de controle- en experi-mentgroep aan de opzet van het educatieve ontwerp gerelateerd kan worden, is een learner report gemaakt. Van Kesteren (1993, p .81) geeft aan dat een learner report met open vragen bij uitstek geschikt is als aanvullend, kwalitatief meetinstrument naast een meer kwantitatieve methode (zoals een inhoudsanal-yse). Daarnaast kan het licht schijnen op het feit of vanuit het perspectief van de leerling de leerdoelen bereikt zijn.
In overeenstemming met Van Kesteren (1993) zijn de vragen gebaseerd op de ontwerpregels en hebben een open karakter om de leerlingen zo min mogelijk te sturen, beide om de validiteit te vergroten. Ze worden gesteld aan het einde van de lessenreeks (alle lessen zitten dan nog in het geheugen van de leerling), mogen anoniem en moeten ´e´en voor ´e´en beantwoord worden (geen verwarring bij invullen), allen kunnen de betrouwbaarheid ervan bevorderen. De laatste vraag is om eventuele overige opmerkingen van leerlingen niet te missen als waardevolle input.
1. Probeer de volgende zin aan te vullen (je mag de zin vaker aanvullen). Door te werken met realistische data in de afgelopen lessen heb ik geleerd dat:
2. De huiswerkvragen via Socrative waren iets anders dan alleen maar op-gaven uit je boek. Wat vond je van dit soort huiswerkvragen en waarom? 3. Wat vond je van het samenwerken in een groep? Geef aan of je het fijn
vindt werken of juist niet en probeer uit te leggen waarom!
4. Wat vond je van het gebruik van de Chromebook en Google Sheets in de wiskundelessen?
5. Heb je nog opmerkingen (positief of negatief) die je kwijt wilt over afgelopen lessen?
Voor vragen 1-4 wordt er gekeken of het antwoord in de categorie positief of negatief kan worden geplaatst met betrekking tot de ervaring voor de leerling. Mocht er geen ervaring uit het antwoord blijken, dan wordt besloten of er posi-tief of negaposi-tief aan de leerdoelen is gewerkt. Wanneer deze categorisering niet mogelijk is, wordt het als “anders” gezien (de niet ingevulde vragen vallen hier bijvoorbeeld onder).
Controle Controle Experiment Experiment
Voormeting
Nameting
V ersc hil? V ersc hil? Standaard Lessen Educatief Ontwerp Ontwerpregels • Realistisch • Misvattingen • Reflectief huiswerk • Samenwerken • ICT Learner Report • Perspectief Leerling • Verschil veroorzaakt door ontwer-pregels? Mann-Whitney U Toets • Non-parametrisch • Robuust • Correctie4.4
De Opdracht
Er worden vier lessen van 45 minuten uitgetrokken om leerlingen met behulp van centrum- en spreidingsmaten twee groepen te laten vergelijken (met mogeli-jke uitloop tot een vijfde les). Dit is exclusief voor-/nameting en het groepjes indelen, zie voor de uitwerking van de lessen Bijlage 2. De opdracht is gebaseerd op die gebruikt in Witterholt et al. (2007, p. 41). Zij hebben eenzelfde doel-groep (Havo 3 in het Nederlandse onderwijs) en gebruiken een voor leerlingen betekenisvolle, echte dataset: de Nationale Doorsnee. Dit is een database met gegevens van ruim 50.000 leerlingen over allerlei onderwerpen, zoals lichaam-slengte, ontbijt, tijdsbesteding aan sport, tv-kijken en computeren, leukste schoolvak, inkomsten uit baantjes en zakgeld en favoriete popartiesten.
De opdracht wordt echter wel iets aangepast omdat er een stuk minder tijd beschikbaar is, maar ook naar aanleiding van aanbevelingen in de conclusie van Witterholt et al. (2007, pp. 51-54). Zij geven aan dat leerlingen veel tijd kwijt zijn aan het formuleren van een goede onderzoeksvraag. Daarom stelt de docent zelf een aantal onderzoeksvragen op waar leerlingen uit kunnen kiezen (Bijlage 6) en bijbehorende data bij ontvangen. De keuzevrijheid en authenticiteit wordt op deze manier wel beperkt, maar door meer onderzoeksvragen dan groepjes voor te bereiden is er wel keuze voor ze. Daarnaast wordt aangegeven dat leerlingen beter eerst ervaring op kunnen doen met de spreiding van ´e´en variabele in plaats van met verbanden tussen twee te werken. In onderstaande opdracht wordt er daarom aan leerlingen gevraagd om twee populaties op ´e´en variabele met elkaar te vergelijken.
De bijgevoegde vragen (Bijlage 2) sluiten aan bij enkele veelvoorkomende problemen die in de probleemverkenning naar voren komen. Zoals vermeld in de ontwerpregels zijn er een aantal huiswerkvragen reflectief van aard en zijn terug te vinden in Bijlage 5.
Opdracht
Samen met je groep ga je in 4 lessen proberen een door jullie gekozen onderzoeksvraag te beantwoorden. Hiervoor doorlopen jullie een aantal vragen (zie kopje “vragen/opdrachten”) die jullie hier bij gaan helpen. Ik wil de antwoorden van de vragen ook daadwerkelijk in het bestand zien!
Doel
Hopelijk krijgen jullie zo een beter beeld waarvoor jullie statistiek (en dus wiskunde) in het echte leven voor kunnen gebruiken, hoe je twee groepen (wiskundig) met elkaar kunt vergelijken, hoe je resultaten moet interpreteren en wat voor conclusies je kunt trekken. Verder is statistiek volgens veel leerlingen in 4/5 Havo/Vwo nog erg moeilijk, dus ik hoop op deze manier dat jullie een goede start maken en de stof beter begrijpen.
Verantwoordelijkheden
Elk lid van de groep heeft een eigen verantwoordelijkheid (jullie mogen zelf bepalen wie, wat doet), ik wil dat voor elke onderstaande taak een verschillend persoon toegewezen krijgt:
• De data en Google Sheets. • De presentatie in Google Slides.
• Het beantwoorden en beheren van de vragen in Google Docs. • Het presenteren.
Na het indelen geven jullie aan mij door wie, welke verantwoordelijkheid heeft gekregen per groep, zodat ik het kan noteren en het kan controleren gedurende de lessen.
Huiswerk
Elke les zal ik een aantal huiswerkvragen via Socrative online zetten (Room Name: EDIGNUM). Je hebt dan tot en met de volgende les om dit te maken. Zet je eigen naam erin zodat ik kan zien of je het gemaakt hebt. Soms zal er een opgave uit het boek in zitten, het is dan de bedoeling dat je de uitwerking en oplossing in je eigen woorden probeert op te schrijven.
Eindproduct: Presentatie
In de laatste les gaat ´e´en iemand per groepje jullie conclusie aan de rest van de klas presenteren. De presentatie moet in ieder geval de volgende dingen bevatten:
1. Voor beide groepen: het gemiddelde, de modus, de mediaan, het minimum en maxi-mum, het eerste en derde kwartiel, de spreidingsbreedte en de kwartielafstand. 2. De presentatie mag maximaal 5 minuten duren, dus zorg dat je alleen essenti¨ele
infor-matie erin zet of benoemt.
3. Hoe ziet de presentatie eruit? Niet alleen de lay-out moet goed zijn, maar ook het gebruik van kleur, duidelijk taalgebruik en de opbouw. Is er een conclusie?
4. Optioneel: frequentietabel & histogram of een boxplot.
Hulp
Wanneer je vastloopt doorloop je de volgende stappen: 1. Vraag het aan je groepsgenoten.
2. Zoek het op in je boek (als dat kan).
3. Google het. Wanneer je vastloopt met Google Sheets kan je in Google typen wat je wilt doen + “Google Sheets” erachter.
5
Uitvoering Lessen
5.1
Observaties
Gedurende elke les uit de serie is er een werkplekbegeleider aanwezig geweest en tijdens Les 2 vond tevens een lesbezoek van de vakdidacticus plaats. Met observaties van de docent en aanvullingen van de begeleider/didacticus wordt hieronder geprobeerd een beeld te schetsen van de uitvoering.
In de afsluiting van de les voor de geplande lessen uit Bijlage 2 is de indeling van de groepen bekend gemaakt, hebben leerlingen met hun groep ´e´en onder-zoeksvraag uit twaalf mogelijke gekozen (Bijlage 6) en zijn de taken met ver-antwoordelijkheden onderling verdeeld. Bij het kiezen van de onderzoeksvraag reageerden de leerlingen enthousiaster/gemotiveerder dan “normaal” en werd er hevig gediscussieerd welke vraag nu te kiezen. Uiteindelijk heeft elke groep een vraag gekozen met een vergelijking tussen meisjes en jongens (meest gekozen: “Wie krijgen er meer zakgeld in Nederland? Jongens of meisjes?”).
De lessen uit de ontworpen lessenserie zijn over het algemeen uitgevoerd als gepland (Bijlage 2). Er is klassikaal gestart met iedereen zijn of haar aandacht te richten en vervolgens uitleg te geven over het specifieke (nieuwe) onderwerp. Vervolgens zijn de groepen op het bord geprojecteerd en is er twee minuten ingecalculeerd om bij elkaar te gaan zitten (wat elke keer is gelukt).
Weliswaar verliepen de eerste minuten van de opdracht enigszins stroef, maar na een klassikale ingreep met additionele uitleg was het merendeel op de juiste weg. Op enig moment in de eerste les, namen een aantal leerlingen hun taak erg letterlijk, door weinig uit te voeren “omdat ze toch alleen maar de laatste les moesten presenteren”. Wederom heeft de docent klassikaal ingegrepen en duidelijk gemaakt, dat hoewel iedereen zijn eigen verantwoordelijkheid heeft, er ook samengewerkt moet worden (Ebbens et al., 2013, p. 94). Na deze laat-ste ingreep is er duidelijk meer interactie tussen groepsgenoten geobserveerd en daaropvolgende lessen is dit niet meer klassikaal nodig geweest. Wel zou het kunnen zijn dat door deze taakverdeling niveauverhoging door samenwerkend leren hierdoor minder snel, deels of niet heeft plaatsgevonden.
Over het algemeen vond de werkplekbegeleider die bij de meeste lessen aanwezig was, het klassenmanagement op orde en werkten leerlingen redelijk goed samen (na een aantal ingrepen). Ook viel het haar op dat ze gemo-tiveerder/enthousiaster met de opdracht bezig waren dan normaal.
Vanwege de andere insteek van de lessen, voor zowel docent als leerling, is ti-jdsmanagement bij sommige lessen in het geding gekomen. Gevolg hiervan is dat in de afsluiting leerlingen minder goed op het huiswerk werd gewezen en in de klassikale uitleg minder tijd was voor misvattingen en veelgemaakte fout. Dit wordt bevestigd door observaties van de werkplekbegeleider en vakdidacti-cus, waarbij werd aangegeven dat de afsluiting een vrij moment in de les is. Hoewel het huiswerk wel voor leerlingen in het leerlingsysteem zichtbaar was
en groepen/individuen persoonlijk bij de misvattingen en veelgemaakte fouten geholpen zijn, geldt dit niet voor iedereen. Gevolg kan zijn dat de behandelde begrippen en de interpretatie ervan minder goed beklijven.
Voor de snelle groepen is er een kleine opdracht toegevoegd om ze te blijven motiveren. Een boxplot wordt gebruikt om het merendeel van de berekende begrippen te visualiseren en is ook het onderwerp van de lessen erna. Wel is deze niet makkelijk te construeren in Google Sheets, maar is er gevraagd deze op papier te construeren. Een boxplot is een visualisatie van een groot deel van de geleerde begrippen, wat voor de snelle leerlingen kan leiden tot betere leerprestaties (Drijvers et al., 2016, p.47).
Wat betreft het gebruik van ICT (Google Sheets) als gereedschap, zijn er, met wat hulp van de docent, weinig problemen gesignaleerd (evenals door de begelei-ders). Uit het learner report heeft maar ´e´en leerling bij ”overige opmerkingen” gemeld dat het werken met Google Sheets lastig was. Verwachting is dan ook dat de software voor het merendeel van de klas als gereedschap is gezien en niet als belemmering is opgetreden in het leerproces.
5.2
Onderzoeksinstrumenten
De vier toetsen behorende tot de inhoudsanalyse zijn behandeld als elke andere toets. Iedereen is stil zodra het eerste exemplaar is uitgedeeld, tafels staan uit elkaar en er wordt niet gespiekt. Men kreeg 15 minuten om het af te ronden en op 1 ´a 2 leerlingen na, heeft iedereen er minimaal 10 minuten over gedaan. Dit versterkt de aanname dat de leerlingen de toets serieus hebben genomen, al telt het niet mee voor het uiteindelijke eindcijfer, wat minder kan motiveren.
De voormeting is bij de controlegroep op een maandagmiddag (13:55-14:10) afgenomen en bij de experimentgroep op de dinsdag erna (09:05-09:20). De nameting is precies twee weken later op dezelfde tijdstippen afgenomen. Leer-lingen zijn niet verplicht om hun naam op de toets te schrijven, en dat heeft een aantal van hen dan ook niet gedaan.
Het learner report is alleen in de experimentklas afgenomen. Deze is anon-iem, in stilte, digitaal en direct de les na de lessenserie ingevuld. Leerlingen hebben voldoende tijd gehad om het in te vullen (10 minuten) en vragen zijn gerandomiseerd toegewezen. Dit laatste houdt in dat, ook al zijn er maar vijf vragen, leerlingen waarschijnlijk niet op hetzelfde moment met dezelfde vraag bezig zijn. Al moest het in stilte ingevuld worden, zo wordt de kans op gezamen-lijk invullend nog meer verminderd. Aan het einde van de les is de mogegezamen-lijkheid ontnomen om vragen in te vullen of aan te passen, zodat leerlingen niet achteraf en misschien gezamenlijk antwoorden veranderen.
Daarnaast worden beide instrumenten door de onderzoeker beoordeeld, wat subjectiviteit met zich mee kan brengen. De onderzoeker zou er (on)bewust
voor kunnen zorgen dat er een positief effect voor het ontwerp uitkomt. Dit wordt zoveel mogelijk tegengegaan door hier openheid van zaken te geven.
6
Resultaten
6.1
Inhoudsanalyse
In zowel de voor- en nameting waren in totaal 16 punten te behalen voor de leerlingen. Zie hieronder Tabel 1 voor een beknopt overzicht van de scores.
Statistieken Voormeting Nameting
Controle Experiment Verschil% Controle Experiment Verschil
Aantal (n) 22 28 23 25 Gemiddelde 3.36 4.32 28.57% 4.04 7.32 81.03% Mediaan 3.00 4.00 33.33% 4.00 7.00 75.00% Standaardafw. 1.68 1.87 11.30% 2.14 4.03 88.04% Mann-Whitney - 0.13 - - 0.00 -Z-Score - 1.52 - - 3.16
-Tabel 1: Statistieken inhoudsanalyse van de voor- en nameting. Bij de voormeting heeft de experimentgroep met een gemiddelde van 4.32 rond de 29% beter gepresteerd dan de controlegroep (gemiddelde = 3.36). Omdat het gemiddelde gevoelig is voor uitschieters, wordt er ook naar de mediaan van beide groepen gekeken. Met een mediaan van 4 versus 3, ligt ook deze in de experimentgroep hoger (33%).
Bij de nameting is er zelfs een verschil van 81% in het voordeel van de ex-perimentgroep op basis van het gemiddelde. En 75% wanneer naar de mediaan gekeken wordt, 4 versus 7. Zoals verwacht hebben beide groepen een groei laten zien door gemiddeld meer punten te scoren op de tweede toets (de namet-ing), ook de mediaan is voor beide gestegen. Naast de centrummaten is de standaardafwijking (spreidingsmaat) bij zowel de controle- als experimentgroep groter geworden (meer variatie in de scores dan bij de voormeting).
In Figuren 2 en 3 zijn de relatieve frequenties van het aantal punten in beide groepen (voor en na) geplot (i.e. frequentiepolygonen). Er is te zien in Figuur 2 dat er een leerling nul punten heeft gescoord in de controlegroep en dat een aantal leerlingen in de experimentgroep 7-9 punten heeft gehaald, terwijl het maximum aantal punten voor de andere klas op 6 ligt. Over de gehele voormet-ing lijkt de experimentgroep dus iets beter te presteren, maar hieronder wordt daar nog dieper op ingegaan.
In de nameting ontstaat een ander beeld wanneer we naar de experimentk-las kijken. In Figuur 3 is te zien dat het aantal verdiende punten op de toets veel uniformer verspreid is op de toets dan eerst (verklaart ook de grotere stan-daardafwijking). Er hebben zelfs twee leerlingen 0 punten gehaald (waar eerst geen enkele leerling dat had). Ook in de controleklas lijkt de frequentiepolygoon
iets naar een hoger aantal punten verschoven, maar is het beeld minder duidelijk.
Figuur 2: Frequentiepolygoon voormeting.
Figuur 3: Frequentiepolygoon nameting.
Om alles in een figuur te combineren, zijn de aantallen behaalde punten in een boxplot gevisualiseerd (Figuur 4). Hier is beter te zien dat de controlegroep
maar een marginale verbetering laat zien (grijs versus blauw) en meer spreiding bevat (meer uitgerekt). Ook het verschil tussen controle- en experimentklas (groen versus grijs) is goed zichtbaar, waar bijna 75% van de best presterende leerlingen uit de experimentklas meer punten heeft gehaald dan de 75% slechtst presterende uit de controlegroep.
Figuur 4: Resultaten voor- en nameting in een boxplot.
De Mann-Whitney U Toets wordt gebruikt om het verschil tussen de controle-en experimcontrole-entklas bij zowel de voor- als nameting te toetscontrole-en. Hieruit volgt alleen een significant verschil bij de nameting. Wat ge¨ınterpreteerd kan worden als voldoende bewijs voor geen verschil tussen beide groepen bij de voormeting, maar wel bij de nameting. Mits er geen andere verschillen zouden zijn tussen de groepen behalve de ontworpen lessenserie (zie Conclusie & Discussie), zou dit betekenen dat (een deel van) leerlingen minder reken- en interpretatiefouten maken in begrippen (afzonderlijk en in samenhang) door de lessenserie.
De hogere standaardafwijking in beide groepen zou verklaart kunnen worden doordat doordat alleen een bepaald type leerling (bijvoorbeeld alleen met een specifieke toegewezen taak uit de opdracht) gebaat is bij dit educatief ontwerp. Echter, omdat een deel van de leerlingen de toets anoniem gemaakt heeft (een keuze), is dit niet te achterhalen.
Om een beter beeld te krijgen waar de groei in de klassen vandaan komt, wordt er apart gekeken naar de gemiddelde scores op de afzonderlijke vragen (zie Tabel 2 voor een overzicht).
Groep Vragen Voormeting Nameting Verschil Maximum Controle Vraag 1 1.73 2.30 33% 3 Vraag 2 1.05 0.65 -38% 3 Vraag 3 0.32 0.61 91% 3 Vraag 4 0.27 0.48 75% 7 Experiment Vraag 1 1.61 2.20 37% 3 Vraag 2 1.64 1.44 -12% 3 Vraag 3 0.18 1.48 729% 3 Vraag 4 0.89 2.20 146% 7
Tabel 2: Het gemiddelde aantal punten per vraag.
lender is de enorme groei bij de experimentklas in vragen 3 en 4 (respectievelijk 729% en 146%). Hoewel de controlegroep ook een redelijke groei laat zien, is dit stukken minder dan de andere klas.
De mindere mate van vooruitgang op vraag 1 is te verklaren doordat deze over het algemeen al bekender zijn bij de leerlingen vanuit andere vakken en het dagelijks leven, maar ook omdat hier al relatief hoog op gescoord werd (gemid-deld 1.73 en 1.61 punten uit 3). Bij vraag 2 werd er in de nameting iets meer van de leerlingen gevraagd voor hetzelfde aantal punten, wat de daling veroorzaakt kunnen hebben.
Spreidingsmaten (vraag 3 en 4) zijn vaak geheel nieuw (laag aantal punten in de voormeting voor beide klassen), waardoor snel een verbetering op kan tre-den. Desalniettemin, is dit waar de extra groei van de experimentklas vandaan lijkt te komen. Zowel in vraag 3 (voorbeelden spreiding) als 4 (gezamenlijke interpretatie met centrummaten) is de groei te zien.
6.2
Learner Report
Een significant verschil tussen de experiment- en controleklas bij de nameting, zoals hierboven gevonden, zegt zoveel als: er is voldoende bewijs dat er een verschil zit tussen het presteren van de twee groepen leerlingen op de nameting. Wat dit verschil veroorzaakt is minder duidelijk, omdat de ontwerpregels niet de enige verschillen tussen de twee groepen zijn.
Bij de analyse van het learner report (Tabel 2) zijn de antwoorden gecate-goriseerd in een positieve of negatieve ervaring (met ruimte voor een categorie “anders”, waar ook niet ingevulde vragen onder vallen). Het realistische aspect van de data is voor 68% van de leerlingen goed bevallen, waar twee soorten antwoorden vooral voorkomen. Leerlingen hebben geleerd:
• hoe ze de centrummaten uit moeten rekenen;
• dat ze het gemiddelde niet altijd kunnen vertrouwen.
De huiswerkvragen zijn maar in 32% van de gevallen positief bevallen (en 59% negatief), waar een deel dit gewoon niet gezien/gemaakt heeft. Wat betreft samenwerking was het merendeel (57%) positief, maar waren de antwoorden redelijk gevarieerd. Leerlingen vonden overleggen fijn, maar een enkele gaf ook aan dat ze alles alleen moesten doen. Verder is het gebruik van de Chromebook in combinatie met Google Sheets voor weinigen een belemmering geweest, maar ´e´en leerling (voorbeeld) heeft er expliciet negatief over gerapporteerd en de anderen vonden pen-en-papier beter werken.
Bij de mogelijkheid voor overige opmerkingen, hebben maar twee leerlingen negatieve reacties gegeven. De een vond dat er te weinig tijd beschikbaar was om de opdracht behoorlijk af te ronden en de ander vond het een rare opdracht.
Vraag n Positief% Voorbeeld Negatief% Voorbeeld Anders Probeer de volgende
zin aan te vullen (je mag de zin vaker aanvullen). Door te werken met real-istische data in de afgelopen lessen heb ik geleerd dat:
22 68%
Dat je het gemiddelde niet altijd kunt
vertrouwen
14%
Ik merkte dat het nog best lastig was, veel
heb ik niet geleerd omdat jullie niet echt wilde uitleggen hoe we
bepaalde dingen moesten doen.
18% De huiswerkvragen via
Socrative waren iets anders dan alleen maar opgaven uit je boek. Wat vond je van dit soort huiswerkvragen en waarom?
22 32%
Beter dan het boek, het is digitaal en
beter.
59%
Minder fijn, omdat je de antwoorden niet
terug kan kijken. 9% Wat vond je van het
samenwerken in een groep? Geef aan of je het fijn vindt werken of juist niet en probeer uit te leggen waarom!
23 57%
Ik vond het wel fijn, want samenwerken is
belangrijk.
30%
Niet fijn. Ik weet van mezelf dat ik dan niets ga doen, omdat ik in een groep zit en dan denk: de rest doet het
wel.
13% Wat vond je van
het gebruik van de Chromebook en Google Sheets in de wiskundelessen?
23 61% Makkelijker te
berekenen. 35%
Ik vond het wel handig, maar ik had het fijn gevonden als het eerst goed werd uitgelegd want internet hielp niet
altijd. 4% Overige Opmerkingen Goede lessen, ga zo door! Ik vond het wel gewoon leuke en leerzame lessen.
Ik vond dat we weinig tijd hadden om de opdrachten klaar te krijgen. Nee eigenlijk niet, ik vind de lessen goed en duidelijk.
Ik vond het een beetje een rare opdracht, maar opzich snap ik
het nu de stof wel beter voor de toets.
Ik vind deze man
wel een goede docent.
Tabel 3: Resultaten Learner Report.
Vanuit het learner report komen aanwijzingen naar voren dat het realistische aspect van de data, het samenwerken en het gebruik van ICT niet slecht zijn bevallen. Al werd het huiswerk minder ontvangen, zijn er bij de overige op-merkingen weinig negatieve reacties geplaatst. Deze analyse vergroot de aan-nemelijkheid dat de ontwerpregels een aandeel hebben in het verschil tussen beide groepen in de nameting.
7
Conclusie & Discussie
Op basis van de Mann-Whitney U Toets kan er gesteld worden dat er voldoende bewijs is voor een verschil tussen de experimentgroep en controlegroep bij de nameting (met een betrouwbaarheid van 95%). Hoewel dit bij de voormeting niet zo is, is het moeilijker te zeggen waar dit effect door veroorzaakt wordt.
Het learner report geeft aan dat leerlingen het realistische aspect van de data, het samenwerken en het gebruik van ICT, over het algemeen positief ontvangen hebben (zoals onderbouwd in de ontwerpregels). Echter, de huiswerkvragen werden minder positief ontvangen, wat samen kan hangen met de rommelige uitvoering van de afsluiting (Ebbens et al., 2013).
De standaardafwijking van het behaalde aantal punten in beide groepen is groter in de nameting, dan in de voormeting. Binnen de klassen zijn leerlingen zijn leerlingen dus meer variatie gaan vertonen in de behaalde scores op de toetsen. Mogelijke verklaring hiervoor is dat alleen een bepaald type leerling beter is gaan presteren door het educatief ontwerp of sommige misschien zelfs minder goed. Echter, om deze verklaring te onderbouwen is een analyse op individueel niveau nodig, wat de huidige opzet niet toelaat.
Uit de analyse per vraag komt naar voren dat de groei in het aantal behaalde punten op de nameting vooral zit in de vragen over spreidingsmaten (vraag 3 en 4). Waarbij deze verbetering zichtbaar is in beide groepen, maar vooral in de experimentklas. De vragen over centrummaten laten een verbetering (vraag 1) en daling (vraag 2) zien op de nameting. Waarbij het eerste verklaard kan wor-den door het feit dat centrummaten al bekend zijn voor de offici¨ele wiskundige introductie en het tweede omdat de vraag iets meer omvat op de nameting dan de voormeting.
Al zijn deze resultaten op zichzelf zeer positief, kan het niet ontkent worden dat er meer (on)zichtbare verschillen tussen de groepen bestaan. Ja, op basis van de inhoudsanalyse, het learner report en de observaties kan er gesteld worden dat leerlingen minder reken-/interpretatiefouten maken in de behandelde centrum-/spreidingsmaten en ze beter gezamenlijk kunnen interpreteren. Maar alleen al het feit dat er een andere leraar lesgeeft in de controleklas zou een deel van (of het gehele) effect verklaren.
De eerste aanbeveling voor verder onderzoek is dan ook om het in eenzelfde soort groepen te herhalen (het liefst met dezelfde docent in beide klassen), uit te breiden naar andere scholen/gebieden/landen om meer bewijs voor het geobserveerde effect te verzamelen. Daarnaast zou het individu zelf nog beter geanalyseerd kunnen worden. Heeft alleen een bepaald type leerling hier baat bij (de grotere standaardafwijking in beide groepen), en zo ja waarom? In dit onderzoek kunnen alleen de ontwerpregels gezamenlijk beoordeeld worden op hun werking en niet individueel. Om bijvoorbeeld het effect van het gebruik van realistische data te beoordelen, zou dit eigenlijk het enige verschil tussen beide groepen moeten zijn.
8
Terugblik
Voornaamste leerpunten zijn het verschil tussen sociaalwetenschappelijk onder-zoek versus hetgeen geleerd in een betadiscipline en het kaderen van dit soort on-derzoek. Door dat het verzamelen van data vaak bij echte leerlingen plaatsvindt, is het van belang je ontwerp helemaal af te hebben voordat je begint aan de dataverzameling. Naast technieken die al beheerst worden is vooral de opgedane kennis door verkenning of het gebruik van kwalitatieve onderzoeksmethoden een aanvulling. Een ander groot verschil is dat sociaalwetenschappelijk on-derzoek niet zo precies is vergeleken met de betastudies, er zijn nu eenmaal verschillen tussen groepen of beperkingen die je moeilijk kan be¨ınvloeden, maar dat betekent niet dat er geen onderzoek gedaan kan worden.
Qua vakinhoud, analyse en statistiek heeft het minder bijgedragen, omdat dit al aanwezig kennis was, maar (vak)didactisch des te meer. Na veel literatuur gelezen te hebben (onder andere: Boaler (2015), Drijvers et al. (2016)) over hoe het wiskundeonderwijs anders kan (en misschien zelfs moet), is het interessant en leuk om het zelf in de praktijk te brengen. Als dan het merendeel van de leerlingen positief op de pogingen van de leraar reageert om de les interessanter en leerzamer te maken. En ook de “overige opmerkingen” in het learner report meer positieve dan negatieve punten bevat, geeft dat voldoening en motivatie om vaker op deze manier onderwijs te ontwerpen.
Referenties
Batanero, C., Godino, J. D., Vallecillos, A., Green, D. e., and Holmes, P. (1994). Errors and difficulties in understanding elementary statistical concepts. In-ternational Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 25(4):527–547.
Ben-Zvi, D., Garfield, J. B., et al. (2004). The challenge of developing statistical literacy, reasoning and thinking. Springer.
Blauw, S. (2018). Het best verkochte boek ooit*: *met deze titel : hoe cijfers ons leiden, verleiden en misleiden. De Correspondent.
Boaler, J. (2015). Mathematical mindsets: Unleashing students’ potential through creative math, inspiring messages and innovative teaching. John Wi-ley & Sons.
Dekker, R. and Elshout-Mohr, M. (2007). Niveauverhoging door samenwerkend leren, volume 2. Amsterdam University Press.
Drijvers, P. H. M., Streun, A., and Zwaneveld, G. (2016). Handboek wiskunde-didactiek. Epsilon Uitgaven.
Dunnett, C. W. (1955). A multiple comparison procedure for comparing several treatments with a control. Journal of the American Statistical Association, 50(272):1096–1121.
Ebbens, S., Ettekoven, S., and Van Rooijen, J. (2013). Effectief leren. Gronin-gen/Houten: Noordhoff (derde druk).
Friel, S. N., Curcio, F. R., and Bright, G. W. (2001). Making sense of graphs: Critical factors influencing comprehension and instructional impli-cations. Journal for Research in mathematics Education, pages 124–158. Gal, I. (2002). Adults’ statistical literacy: Meanings, components,
responsibili-ties. International statistical review, 70(1):1–25.
Garfield, J. and Gal, I. (1999). Teaching and assessing statistical reasoning. Developing mathematical reasoning in grades K-12, pages 207–219.
Gillies, R. M. and Boyle, M. (2010). Teachers’ reflections on cooperative learn-ing: Issues of implementation. Teaching and teacher Education, 26(4):933– 940.
Huff, D. (1993). How to lie with statistics. WW Norton & Company.
Ioannidis, J. P. (2005). Why most published research findings are false. PLoS medicine, 2(8):124.
Maaß, K. (2006). What are modelling competencies? ZDM, 38(2):113–142. Nachar, N. et al. (2008). The mann-whitney u: A test for assessing whether two
independent samples come from the same distribution. Tutorials in quantita-tive Methods for Psychology, 4(1):13–20.
Polya, G. (1963). On learning, teaching, and learning teaching. The American Mathematical Monthly, 70(6):605–619.
Rosling, H., Rosling, O., and R¨onnlund, A. (2018). Factfulness: Ten Reasons We’re Wrong About The World - And Why Things Are Better Than You Think. Hodder & Stoughton.
Van Kesteren, B. J. (1993). Applications of de groot’s” learner report”: A tool to identify educational objectives and learning experiences. Studies in Educational Evaluation, 19(1):65–86.
Watson, J. and Callingham, R. (2003). Statistical literacy: A complex hierar-chical construct. Statistics Education Research Journal, 2(2):3–46.
Watson, J. M., Kelly, B. A., Callingham, R. A., and Shaughnessy, J. M. (2003). The measurement of school students’ understanding of statistical variation. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 34(1):1–29.
Witterholt, M., Van Streun, A., Goedhart, M., and Beijaard, D. (2007). Statis-tisch onderzoek door 3 havo: het leren van statisStatis-tische onderzoeksvaardighe-den. Tijdschrift voor Didactiek der B-Wetenschappen, 24(1/2):31–57.
Bijlage 1: Vragenlijst Wiskundeleraren
1. Zijn er moeilijkheden met statistiek in het algemeen in jouw lessen? Zo ja, welke? Dit mogen ook moeilijkheden zijn in andere jaren/niveaus dan Havo 3.
2. Lopen leerlingen ergens tegenaan bij het maken en interpreteren van een frequentietabel en/of histogram. Zo ja, waar?
3. Wat zijn veelgemaakte fouten bij het gemiddelde, de modus en mediaan volgens jou? Denk aan interpretatiefouten, maar ook bijvoorbeeld bij het uitrekenen/bepalen ervan.
4. Wat zijn veelgemaakte fouten bij kwartielen en de interkwartielafstand? Denk aan interpretatiefouten, maar ook bijvoorbeeld bij het uitrekenen/bepalen ervan.
5. Met wat voor statistiekopgaven hebben leerlingen het meeste moeite? 6. Wat zijn dingen in het dagelijks leven die je storen aan het gebruik van
statistiek?
7. Ben ik iets vergeten te vragen wat je toch nog kwijt wilt over het lesgeven van statistiek?
Bijlage 2: Uitgewerkte Lessen
Beginsituatie van de leerlingen• Dit is de formele wiskundige introductie van statistiek, met begrippen als gemiddelde, modus en mediaan. Echter, in het dagelijks leven wordt vooral het gemiddelde ook gebruikt dus let op misvattingen.
• Bij het vorige onderwerp is er gewerkt met (misleidende) diagrammen, belangrijke informatie uit artikelen halen, percentages en vermenigvuldig-ingsfactoren.
• Vorige les hebben leerlingen geleerd een gemiddelde bij een frequentietabel uit te rekenen.
Doelen van de Les
Leerlingen kunnen aan het einde van de les:
1. Leerlingen kunnen aan het einde van de les het gemiddelde, de modus en mediaan bij een frequentietabel uitrekenen
2. Leerlingen kunnen beredeneren wanneer welke centrummaat beter ge-bruikt kan worden, maar kan ook tekortkomingen opnoemen
3. Door middel van het werken in groepjes verbeteren de leerlingen hun samenwerken (dit doel loopt over meerdere lessen heen)
Een “goede” les dient volgens Ebbens et al. (2013) de volgende fases te hebben
1. Aandacht richten op de doelen van de les en aansluiten bij de voorkennis 2. Uitleg geven
3. Nagaan of belangrijke begrippen zijn overgekomen
4. Volledige instructie geven op zelfwerkzaamheid of groepswerk 5. Begeleiden van zelfwerkzaamheid of groepswerk
6. Het afsluiten met betrekking tot de beoogde doelen en evalueren van de les
Les 1: 22-05-2019
Tijdsduur Lesfase Werkvorm Wat doe ik? Wat doen de leerlingen? Doel
5 min - Start van
de les
Leerlingen groeten bij de deur en “open” naar
de klas staan
Leerlingen komen binnen, gaan rustig zitten
en wachten totdat de leraar begint.
-10 min [1, 2, 3] Klassikale
uitleg
Uitleg over gemiddelde, modus en mediaan. Laat een normaal en extreem voorbeeld zien.
Tekortkomingen aanstippen bij het extreme voorbeeld.
Luisteren naar de uitleg en steken hun vinger op als ze het niet begrijpen. Tussen de uitleg door worden enkelen getoetst of de begrippen overkomen. In alle andere gevallen zijn ze
stil. [1, 2] 2 min [4] Instructie op groepswerk
Uitleg wat we gaan doen met de opdracht
Leerlingen gaan in de betreffende groepjes zitten en schuiven hun tafels in een
T-opstelling.
-18 min [5] Groepswerk Rondlopen, observeren,
orde houden en helpen
Leerlingen proberen de bijgeleverde opgaven te maken over het gemiddelde, de mediaan en
de modus
[1, 2, 3]
5 min [3, 6] Klassikale
afsluiting
Afsluiten met een gezamenlijke vraag en het huiswerk opgeven.
Leerlingen luisteren naar de uitleg en steken hun vinger op als ze het niet snappen. Wanneer ik een vraag stel proberen ze deze te beantwoorden, in alle andere gevallen zijn
ze stil.
[1, 2]
Opdracht en Vragen bij Les 1
1. Lees de opdracht allemaal nog een keer goed door!
2. Degene die verantwoordelijk is voor het beantwoorden van de vragen, kopieert al deze vragen in een nieuwe Google Docs en deelt het met zijn/haar groepje en de docent.
3. Maak je presentatie in Google Slides, deel deze met je groepje en met de docent.
4. Reken in Google Sheets het gemiddelde, de modus en de mediaan van de twee verschillende groepen in jullie onderzoeksvraag uit. En noteer het in de juiste rij/kolom.
5. Wat zijn de modus, de mediaan en het gemiddelde van de volgende waarne-mingen:
6 7 3 5,2 25
6. Stel we voegen nu de waarde 0 toe aan de waarnemingen van boven, wat gebeurt er met het gemiddelde? En met de mediaan? En de modus? Leg in je eigen woorden uit waarom dit gebeurt!
7. Wanneer gebruiken we liever de mediaan als centrummaat in plaats van het gemiddelde?
8. Klaar? Maak het huiswerk (zie Socrative, Room name: EDIGNUM) (ieder voor zich dus niet per groepje).
Beginsituatie van de leerlingen
• Dit is de formele wiskundige introductie van statistiek, met begrippen als gemiddelde, modus en mediaan. Echter, in het dagelijks leven wordt vooral het gemiddelde ook gebruikt dus let op misvattingen.
• Bij het vorige onderwerp is er gewerkt met (misleidende) diagrammen, belangrijke informatie uit artikelen halen, percentages en vermenigvuldig-ingsfactoren.
• Leerlingen hebben net het gemiddelde, de modus en mediaan uitgelegd gekregen. Maar ook frequentietabellen en histogrammen.
Doelen van de Les
Leerlingen kunnen aan het einde van de les:
1. Leerlingen kunnen aan het einde van de les van een willekeurige dataset het 1e t/m het 3e kwartiel uitrekenen (al dan niet met rekenmachine). 2. Leerlingen kunnen zelf een stappenplan opstellen om in Google Sheets het
1e t/m het 3e kwartiel uit te rekenen van hun eigen datasets.
3. Leerlingen kunnen een reden opnoemen waarom we (ook) naar kwartielen willen kijken, naast de centrummaten.
4. Door middel van het werken in groepjes verbeteren de leerlingen hun samenwerken (dit doel loopt over meerdere lessen heen)
Een “goede” les dient volgens Ebbens et al. (2013) de volgende fases te hebben
1. Aandacht richten op de doelen van de les en aansluiten bij de voorkennis 2. Uitleg geven
3. Nagaan of belangrijke begrippen zijn overgekomen
4. Volledige instructie geven op zelfwerkzaamheid of groepswerk 5. Begeleiden van zelfwerkzaamheid of groepswerk
6. Het afsluiten met betrekking tot de beoogde doelen en evalueren van de les
Les 2: 24-05-2019
Tijdsduur Lesfase Werkvorm Wat doe ik? Wat doen de leerlingen? Doel
2 min - Start van
de les
Leerlingen groeten bij de deur en “open” naar
de klas staan
Leerlingen komen binnen, gaan rustig zitten
en wachten totdat de leraar begint.
-13 min [1, 2, 3] Klassikale
uitleg
Uitleg over kwartielen (begin bij mediaan), Motiveer waarom dit
nuttig kan zijn.
Luisteren naar de uitleg en steken hun vinger op als ze het niet begrijpen. Tussen de uitleg door worden enkelen getoetst of de begrippen overkomen. In alle andere gevallen zijn ze
stil. [1, 2] 2 min [4] Instructie op groepswerk
Uitleg wat we gaan doen met de opdracht
Leerlingen gaan in de betreffende groepjes zitten en schuiven hun tafels in een
T-opstelling.
-23 min [5] Groepswerk Rondlopen, observeren,
orde houden en helpen
Leerlingen proberen de bijgeleverde opgaven te maken over kwartielen, de kwartielafstand
en spreidingsbreedte. [1, 2, 3, 4] 5 min [3, 6] Klassikale afsluiting Gezamenlijk de kwartielen bij een klein
aantal waarnemingen uitrekenen. Ook vragen
waarom we naar kwartielen willen kijken
in plaats van alleen naar een centrummaat
bijvoorbeeld en het huiswerk opgeven.
Leerlingen luisteren naar de uitleg en steken hun vinger op als ze het niet snappen. Wanneer ik een vraag stel proberen ze deze te beantwoorden, in alle andere gevallen zijn
ze stil.
[1, 2]
