Slides sessie 2

(1)

De normale verdeling

Eekhoutcentrum – oktober 2005

Johan Deprez – Hilde Eggermont

(2)

Overzicht

Sessie 1

► InleidingInleiding

► De start: histogrammen beschrijven met een dichtheidsfunctieDe start: histogrammen beschrijven met een dichtheidsfunctie ► Oppervlakte onder de normale dichtheidsfunctie, vuistregelsOppervlakte onder de normale dichtheidsfunctie, vuistregels

Sessie 2

► Even opfrissenEven opfrissen ► Terugrekenen Terugrekenen

► Niet alle gegevens zijn normaal verdeeldNiet alle gegevens zijn normaal verdeeld

► Grafische betekenis van gemiddelde en standaardafwijkingGrafische betekenis van gemiddelde en standaardafwijking ► Enkele meer uitgebreide toepassingenEnkele meer uitgebreide toepassingen

(3)

Normale verdeling als wiskundig model

►

Tweede graad: beschrijvende statistiek

= grafisch en numeriek gereedschap om

gegevens te beschrijven

►

Derde graad: algemeen patroon van een groot

aantal waarnemingen beschrijven d.m.v. een

gladde kromme

(4)

Even opfrissen

(5)

Even opfrissen

►

Relatieve frequentie van een klasse

= oppervlakte onder de normale

dichtheidsfunctie van een gepast gebied

relatieve frequentie = oppervlakte

(6)

Even opfrissen

Relatieve frequentie m.b.v. een normale dichtheidsfunctie en met het rekentoestel:

(7)

Eindtermen derde graad ASO (1/2)

De leerlingen kunnen …

33.

33. … … in betekenisvolle situaties, gebruik maken van een in betekenisvolle situaties, gebruik maken van een

normale verdeling als continu model

normale verdeling als continu model bij data met een bij data met een klokvormige frequentieverdeling en het gemiddelde en

klokvormige frequentieverdeling en het gemiddelde en

de standaardafwijking van de gegeven data gebruiken

als schatting voor het gemiddelde en de

standaardafwijking van deze normale verdeling.

34.

34. … … het het gemiddeldegemiddelde en de en de standaardafwijkingstandaardafwijking van een van een

normale verdeling grafisch interpreteren.

(8)

Eindtermen derde graad ASO (2/2)

35.

35. … … grafischgrafisch het het verbandverband leggen tussen een normale leggen tussen een normale

verdeling en de

verdeling en de standaardnormale verdelingstandaardnormale verdeling. .

36.

36. … … bij een normale verdeling de bij een normale verdeling de relatieve frequentierelatieve frequentie

van een verzameling gegevens met waarden tussen

twee gegeven grenzen, met waarden groter dan een

gegeven grens of met waarden kleiner dan een

gegeven grens interpreteren als de

gegeven grens interpreteren als de oppervlakteoppervlakte van van een gepast gebied.

een gepast gebied.

(9)

werkbladen 3: Terugrekenen

Werksessie: werkbladen 3

►

15 minuten

►

Maak zeker het eerste deel ‘Terugzoeken’.

►

Eventueel ook ‘Komkommertijd’

(10)

werkbladen 3: Terugrekenen

Grafisch:

(11)

werkbladen 3: Terugrekenen

Een gokje:

Dus: een vrouw op het derde kwartiel moest

(12)

werkbladen 3: Terugrekenen

Met de grafische rekenmachine:

gemiddelde oppervlakte inverse functie standaard-afwijking bovengrens

(13)

werkbladen 3: Terugrekenen

invNorm(oppervlakte, gemiddelde, standaardafwijking)

invNorm(oppervlakte, gemiddelde, standaardafwijking) ► niet zomaar de inverse van normalcdf (slechts één niet zomaar de inverse van normalcdf (slechts één

grenswaarde)

► zoekt de grenswaarde zo dat de oppervlakte links van zoekt de grenswaarde zo dat de oppervlakte links van

die waarde gelijk is aan de gegeven oppervlakte

(ondergrens =

(14)

werkbladen 3: Terugrekenen

►

Gezocht: de grenzen waarvoor

(15)

werkbladen 3: Terugrekenen

=

–

95% 97,5% 2,5%

(16)

werkbladen 3: Terugrekenen

Bijgevolg: Bijgevolg:

de middelste 95% begint bij 149,31 cm

en eindigt bij 174,79 cm.

(17)

werkbladen 3: Komkommertijd (1/4)

►

Laat

_{je rekenmachine de grafiek tekenen van de}_{je rekenmachine de grafiek tekenen van de}

normale dichtheidsfunctie die de lengte van de

komkommers beschrijft.

(18)

werkbladen 3: Komkommertijd (2/4)

► Welk percentage van de komkommers zal langer zijn Welk percentage van de komkommers zal langer zijn

dan 50 cm? Duid de overeenkomstige oppervlakte aan

op je grafiek.

(19)

werkbladen 3: Komkommertijd (3/4)

►

De 25% kleinste komkommers zullen niet

geveild worden. Hoelang moet een komkommer

dan minstens zijn om op de markt te komen?

De komkommers moeten minstens 36 cm lang zijn.

(20)

werkbladen 3: Komkommertijd (4/4)

►

De 10% langste komkommers krijgen het etiket

“jumbo-komkommer”. Vanaf welke lengte is een

komkommer een jumbo?

Vanaf 47,7 cm is de komkommer een jumbo-komkommer.

(21)

Niet alle gegevens zijn normaal

verdeeld!

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035 0,04 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Leeftijd van Belgische mannen bij overlijden

(22)

Niet alle gegevens zijn normaal

verdeeld!

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035 0,04 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

(23)

Niet alle gegevens zijn normaal

verdeeld!

Kiama Blowhole:

de oceaan spuit water

door een gat in de

grond grond wachttijden tussen wachttijden tussen twee ‘uitbarstingen’ twee ‘uitbarstingen’ is wisselend is wisselend

(24)

Niet alle gegevens zijn normaal

verdeeld!

Kiama Blowhole: histogram van 64 wachttijden

20 40 60 80 100 120 140 160 0.01

0.02 0.03

(25)

Niet alle gegevens zijn normaal

verdeeld!

wachttijden Kiama Blowhole:

exponentieel verdeeld

0.01 0.02 0.03

(26)

Niet alle gegevens zijn normaal

verdeeld!

Wel normaal verdeeld:

► Lengte van volwassen mannenLengte van volwassen mannen ► MeetfoutenMeetfouten

► IQIQ

Niet normaal verdeeld:

Niet normaal verdeeld: ► InkomensInkomens

► ZwangerschapsduurZwangerschapsduur ► GewichtGewicht

► Aantal tweelingen dat geboren wordtAantal tweelingen dat geboren wordt ► WachttijdenWachttijden

(27)

Normale dichtheidsfuncties en de

standaardnormale dichtheidsfunctie

Werksessie

►

30 minuten

►

Keuze tussen werkblad 4a en 4b

►

werkblad 4a: voor leerlingen met minimum

aantal uren wiskunde (opdracht 9: facultatief)

►

werkblad 4b: voor leerlingen uit richtingen met

6 of meer uur wiskunde (kans!)

(28)

werkblad 4a: Normale

dichtheidsfuncties en ...

gemiddelde veranderen = grafiek verschuiven

gemiddelde =

(29)

werkblad 4a: Normale

dichtheidsfuncties en ...

►

standaardafwijking variëren = breedte en

hoogte van de grafiek veranderen

(30)

Normale dichtheidsfuncties

►

normalpdf(

x

,



,



) is een hele klasse van normale

dichtheidsfuncties

►

grafiek is klokvormig

►

maximum wordt bereikt bij

x

=



►

buigpunten bij

x

=







en

x

=



+



(31)

Normale dichtheidsfuncties

x = 

 

De normale dichtheidsfunctie met gemiddelde  

(32)

werkblad 4a: Normale

dichtheidsfuncties en ...

Eén heel bijzondere normale dichtheidsfunctie:



= 0 en



= 1

Deze functie noemen we de

standaardnormale

_{standaardnormale}

dichtheidsfunctie

.

Vroeger heel belangrijk omwille van de

berekeningen met tabellen.

(33)

Normale dichtheidsfuncties

De standaardnormale dichtheidsfunctie

(34)

werkblad 4a: Normale

dichtheidsfuncties en ...

(35)

werkblad 4a: Normale

dichtheidsfuncties en ...

(36)

werkblad 4a: Normale

dichtheidsfuncties en ...

9e.

relatieve frequentie van pakken van 6

flessen met een gemiddelde inhoud per fles

van minder dan 495 ml

= 0,72 %

(37)

Besluit uit werkblad 4a

(cfr. eindtermen)

34.

34. … … het het gemiddeldegemiddelde en de en de standaardafwijkingstandaardafwijking van een van een

normale verdeling grafisch interpreteren.

35.

35. … … grafischgrafisch het het verbandverband leggen tussen een normale leggen tussen een normale

verdeling en de

verdeling en de standaardnormale verdelingstandaardnormale verdeling. .

36.

36. … … bij een normale verdeling de bij een normale verdeling de relatieve frequentierelatieve frequentie

van een verzameling gegevens met waarden tussen

twee gegeven grenzen, met waarden groter dan

een gegeven grens of met waarden kleiner dan een

gegeven grens interpreteren als de

gegeven grens interpreteren als de oppervlakteoppervlakte van van een gepast gebied.

een gepast gebied.



(38)

werkblad 4b:

het steekproefgemiddelde

(39)

werkbladen 5 en 6:

Ben ik groter dan mijn grootvader?

Dozen erwten vullen

werksessie

►

20 minuten

►

werkblad 5: voor alle leerlingen

(40)

werkblad 5: Ben ik groter dan mijn

grootvader? (1/10)

► Schets beide normale verdelingen en duid er de lengte Schets beide normale verdelingen en duid er de lengte

van de kleinzoon en van de grootvader op aan.

(41)

werkblad 5: Ben ik groter dan mijn

grootvader? (2/10)

►

afwijking van het gemiddelde

 _{Jeroen: 189}_{Jeroen: 189}_ 176,1 = 12,9 (cm)_{176,1 = 12,9 (cm)}

 opa: 180 _{opa: 180} 170,0 = 10 (cm) 170,0 = 10 (cm) Dus: Jeroen het grootst?

(42)

werkblad 5: Ben ik groter dan mijn

grootvader? (3/10)

►

Is dit een goede manier van vergelijken? Waar

hou je geen rekening mee?

Je houdt geen rekening met de spreiding.

(43)

werkblad 5: Ben ik groter dan mijn

grootvader? (4/10)

►

afwijking van het gemiddelde vergelijken met

de standaard-afwijking

675 1 7 7 1 176 189 , , , _  Jeroen: 786 1 6 5 0 170 180 _, , ,   opa:

(44)

werkblad 5: Ben ik groter dan mijn

grootvader? (5/10)

►

plaats in de totale populatie

 _{procent van de 18-jarigen kleiner dan Jeroen}_{procent van de 18-jarigen kleiner dan Jeroen}  procent van de 18-jarigen kleiner dan de opa_{procent van de 18-jarigen kleiner dan de opa}

(45)

werkblad 5: Ben ik groter dan mijn

grootvader? (6/10)

(46)

werkblad 5: Ben ik groter dan mijn

grootvader? (7/10)

Berekening:

95,3 % van de leeftijdsgenoten van Jeroen is kleiner dan

Jeroen _{96,3 % van de toenmalige} leeftijdsgenoten van de

(47)

werkblad 5: Ben ik groter dan mijn

grootvader? (8/10)

Besluit:

de grootvader is groter dan zijn kleinzoon.

(48)

werkblad 5: Ben ik groter dan mijn

grootvader? (9/10)

De verhouding van de afwijking van het

gemiddelde tot de standaardafwijking

= de

z

_z

-score

Formule:









x

z

(49)

werkblad 5: Ben ik groter dan mijn

grootvader? (10/10)

168,4 176,1 183,8 189

 1 0 1 1,675

(50)

werkblad 6: Dozen erwten vullen

►

relatieve frequentie van het deel minder dan

500 gram:

40% weegt

minder dan

500 gram!

(51)

werkblad 6: Dozen erwten vullen

De grafiek

40%

moet worden:

(52)

werkblad 6: Dozen erwten vullen

vergelijking:

normalcdf(-10

9999

, 500,

x

, 8) = 0.01

oplossing:

x

= 518.61

(53)

werkblad 6: Dozen erwten vullen

controle van de

oplossing:

met de gevonden

waarde voor

x:

(54)

werkblad 6: Dozen erwten vullen

Traditionele manier van werken bij dergelijke

opgave:

Transformeren naar de standaardnormale

verdeling

Hier: gebruik maken van de mogelijkheden van

het grafisch rekentoestel

(55)

werkblad 6: Dozen erwten vullen

Voordeel van het grafisch rekentoestel:



aandacht gaat naar de essentie (het

_{aandacht gaat naar de essentie (het}

interpreteren van het statistisch probleem)

Nadeel:

(56)