Hoofdstuk 5 Functies onderzoeken

Hoofdstuk 5:

Functies onderzoeken

V-1

a. De noemer van f wordt voor geen enkele waarde van x gelijk aan 0: D_f :¡

1 2 2x 1 0 x    De teller is voor 1 2

x ongelijk aan nul, dus 1 2 : g D x  b. f x( ) 0 g x( ) 0 0 x 1 3 1 x

c. Voor grote waarden van x, naderen de functiewaarden van f naar 0 (

5 2 ₃ 5 ( ) 3 1 x x x f x x  

  ) en die van g naar 112. (

4 1 3 3 4 ( ) 2 1 2 x x x g x x       ).

Horizontale asymptoot van f: y 0 en van g: 1 2

1 y  Verticale asymptoot van g: 1

2 x V-2 a. domein: 1 3 x nulpunt: 1 2 ( 3 , 0) 7 1 2 2 7 ( ) 3 1 3 x x x f x x    

  hor. asymptoot: y  23 en vert. asymptoot: x  13

b. domein: nulpunten: 2 2 0 (2 ) 0 0 2 x x x x x x        2 2 1 0 1 1 1 x x x x        2 1 2 2 ₂ 1 1 ( ) 2 1 x x x g x x x      

Horizontale asymptoot: y 1 en verticale asymptoten: x0 en x2 c. domein: ¡ nulpunt: (0, 0) 2 1 2 7 ( ) 7 1 x x x h x x     Horizontale asymptoot: y 0 d. domein: x0 en x9 nulpunt: geen

1 3 1 1 ( ) 1 3 x x x k x x     

 hor. asymptoot: y  1 en vert. asymptoot: x 9

V-3 a. _{15 2 x x} 2 _0 2 _{2 15 ( 5)( 3) 0} 5 3 x x x x x         

b. De grafiek van f heeft verticale asymptoten als _{15 2 x x} 2 _{0: x 5 en x 3}

c. f(x) heeft een maximum als _{y 15 2 x x} 2 _{maximaal is.}

Dat is bij 2 2ba 2 1 x    4 3 3 3 3 5 5 8 (5 8) 0 0 5 8 0 0 1 x x x x x x x x            2 1 5 4 (5 6) 0 0 1 x x x x     

V-4

a. als x heel groot negatief is, gaat _{y e}x _{naar 0. Horizontale asymptoot: y 0}

b. 10 4 x 0 1 2 4 10 2 x x   

 De lijn x 221 is de verticale asymptoot.

c. 2x _{ }1 0 _{Verticale asymptoot: x0}

2x _1 _{Voor grote positieve waarden van x gaat de noemer naar -1} 0

x de lijn y  1 is de horizontale asymptoot. En voor grote negatieve waarden van x wordt de noemer heel erg groot.’ De lijn y 0 is ook een horizontale asymptoot.

d. 1 1

4 2

2x     k  De verticale asymptoten zijn: 5 1 3

8 , 8 , 8 x    x    x   3 4 3 1 8 2 2x k x k           7 8 x   V-5 a. 2 2 3 12 2 5 12 3 lim lim 0 5 1 x x x x x x x         horizontale asymptoot: y 0 b. 2 2 3 4 2 1 2 2 6 8 1 3 4 lim lim 2 6 8 2 x _x x x x _x x x x x             horizontale asymptoot: y 21 c. 2 2 4 1 2 2 2 2 ₁ 4 (2 1) 4 4 1

lim lim lim 2

2 1 2 1 2 x _x x x x x x x x x x               horizontale asymptoot: y 2 d. 2 2 2 2 2 _{2 1} 3 (3 2) 3 2

lim lim lim 3

( 1) 2 1 1 x x x x x _x x x x x x x x               horizontale asymptoot: y 3 V-6 a. _x2_{ 4 0} 2 2 x   x b. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3( 4) 2 4 14 ( ) 3 4 4 4 4 x x x x f x x x x x                 c. f x( ) 0 2 2 1 2 1 1 2 2 4 14 3 14 14 x x x x       d. 2 2 14 2 2 4 4 4 14 lim lim 4 4 1 x x x x x x       _{  }   Horizontale asymptoot: y  4 V-7 a. b. 1 2x 3 0 1 2 3 6 x x   c. 1 1 2 2 6 : ( ) ( 3) 3 x f x   x   x

V-8 a. b. 1 2 2x 2x 6 0 2 1 1 2( 4 12) 2( 6)( 2) 0 2 6 x x x x x en x          c. Voor   2 x 6 is 1 2 2 ( ) 2 6 g x   x  x

Deze is maximaal als g x'( )   x 2 0. Dus als x 2. Het maximum is 8.

d. g(x) heeft twee minima van 0 als x 2 en x 6.

1

a. Voor x0 is g x( ) 2 x3x   5 x 5 b. voor x0 is g x( ) 2 x ( 3 ) 5 5x   x5 c.

d. links van de knik is de richtingscoëfficiënt 5 en rechts van de knik -1.

e. het maximum is 5 (voor x0)

2 a./b. 1 2 2x 4x0 1 2 ( 8) 0 0 8 x x x en x     2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 4 3 7 0 8 ( ) 4 3 0 8 x x x x x voor x x g x x x x x x voor x           _{       }  3 a. b. x 3 0 geeft x3 2 2 2 ( 3) 1 2 6 1 3 ( ) 2 ( 3) 1 2 6 1 3 x x x x x f x x x x x x                   c. _x3_2x2_{8x 0} 2 3 2 3 2 ( 2 8) ( 4)( 2) 0 0 4 2 2 8 2 2 0 4 ( ) 2 8 2 2 0 4 x x x x x x x x x x x x voor x en x g x x x x voor x en x                      _{       } 

4 a. x 4 0 geeft x4 4 ( ) x f x x   _{voor x4 en} f x( ) x 4 x    _{voor x4} b. het minimum is 0 voor x4.

c. 1 1 2 2 2 ( 4) ( ) _{1 2 4} '( ) 2 2 x x x x x x _x f x x x x x x x x      _      voor x4 en 1 1 2 2 2 ( 4) ( ) _{1 2 4} '( ) 2 2 x x x x x x _x f x x x x x x x x          _{  }      d. 1 2 4 4 lim 2 x x x x      en 1 2 4 4 lim 2 x x x x   _ 5 a. 1 2 1 3 3 1 x 4x1 x x( 3) 0 3 2 3 2 1 1 1 1 3 3 3 3 3 2 3 2 1 1 1 1 3 3 3 3 0 3 (1 4 ) 1 4 0 3 ( ) ( 1 4 ) 1 4 0 3 x x x x x x x x voor x en x f x x x x x x x voor x                        2 2 3 2 2 3 2 4 0 3 '( ) 2 4 0 3 x x voor x en x f x x x voor x         _{   }  2 2 3 0 lim ( 2 4) 4 x x  x  en 2 2 3 0 lim ( 2 4) 4 x x  x  

b. De grafiek vertoont nog knik in (3, 9)

2 2 3 3 lim ( 2 4) 5 x x  x  en 2 2 3 3 lim ( 2 4) 13 x x  x  6 a. b. 2x 1 0 en x 3 0 1 2 x x3 c. 1 2: ( ) ( 2 1) ( 3) 3 4 x f x   x   x   x 1 2 3 : ( ) (2 1) ( 3) 2 3 : ( ) (2 1) ( 3) 3 4 x f x x x x x f x x x x                 d. de uiterste waarde is 1 2 2 voor 1 2 x . 7 ax b 0 geeft b a x_  _{en ax b 0 geeft} b a x Voor b b a x a    is f x( ) ( ax b ) ( ax b ) 2 b2. Dit geeft b1 1 ₂ b a  a geeft a 12. 8 a. _{f x'( )x e}3 x _{3x e}2 x _(x3_{3 )x e}2 x _0 2_{( 3) 0 0} 0 3 x x x e x x        

b. Nee, bij x0 wisselt de afgeleide niet van teken (pos/neg) en bij x  3 wel. c. _{f x"( ) ( x}3_{3 )x e}2 x _(3x2_{6 )x e}x _(x3_6x2_{6 )x e}x _0

3 2 2 6 12 2 6 6 ( 6 6) 0 0 3 3 3 3 x x x x x x x x   x                

d. Dit zijn de x-coördinaten van de buigpunten van de grafiek van f.

9

a.

b. De grafieken hebben in x0 een knik, dus de afgeleide bestaat daar niet.

c. De minimale waarde is 0. 10 a. _{4 3 x}2 _0 2 2 1 3 2 2 3 3 3 4 1 3 3 x x x        b. c. '( ) 1 1 ₂ 6 1 3 ₂ 2 4 3 4 3 x f x x x x         d. f x'( ) 0 2 2 2 2 1 1 3 3 3 4 3 9 4 3 12 4 3 3 x x x x x x x          De extreme waarde is 1 1 1 3 3 3 ( 3) 3 3 1 3 f   

f heeft ook nog twee randextremen: 2

3 3  en 2 3 3 11 a. b. 1 2 '( ) 3 1 0 f x   x  2 4 x x  

De extreme waarde van f is: f(4) 4

c. 3x x x 0 in (0, 0): in (9, 0): (3 ) 0 0 9 x x x x      '(0) 3 3 f y x   1 2 1 1 2 2 '(9) 1 1 13 f y x      d. 1 1 2 2 3x  1 x13 1 1 2 2 4 13 3 (3, 9) x x S   12 a. b. 1 1 2 2 2sin( ) 0 ( ) 0 0 1 x voor x f x voor x en x          _{    }  f g

De grafiek van f heeft twee randminima van 0 en een maximum van 2. c. 1 1 2 2 1 1 2 2 sin( ) cos( ) ( ) sin( ) cos( ) 1 x x voor x g x x x voor x            _{  }  cos( ) sin( ) '( ) cos( ) sin( ) x x g x x x     _  cos( ) sin( ) 0 sin( ) cos( ) x x x x    cos( ) sin( ) 0 sin( ) cos( ) x x x x     1 4 tan( ) 1x x  k      1 4 tan( )x 1 x  k        max: 2 max: 3 4 ( ) 2 f   De grafiek van g heeft twee randextremen van -1 en een minimum van 1

2 ( ) 1 g   13 a. 1 2 2 '( ) x f x   x e 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 "( ) 1 x x ( 1) x f x   e x e   x  e b. f x"( ) 0 2 1 2 2 _{1 0} 1 1 x x e x x         

De coördinaten van de buigpunten zijn: ( 1, 1_e) en (1, 1_e)

14

a.

b. Voor het domein moet vanwege y ln( )x gelden: x0 1 ln( ) 0 ln( ) 1 : 0 , , f x x x e D x e e        c. Als x , dan is ( ) ln( ) ln( ) 1 1 ln( ) ln( ) x x f x x x      

de horizontale asymptoot is y  1 en de verticale asymptoot: x e d. 1 1 1 2 2 2 (1 ln( )) ln( ) 1 '( ) (1 ln( )) (1 ln( )) (1 ln( )) x x x x x f x x x x x           

de afgeleide wordt nooit gelijk aan 0, dus de functie heeft geen uiterste waarde. e. 2 2 1 2 4 2 4 1 (2 (1 ln( )) (1 ln( )) ) 1 ( 2 2ln( ) 1 2ln( ) ln ( )) "( ) (1 ln( )) (1 ln( )) x x x x x x x f x x x x x                    2 2 4 1 ln ( ) 0 (1 ln( )) x x x     2 1 1 1 2 ln ( ) 1 ln( ) 1 ln( ) 1 ( , ) e e x x x x x e         

15 a. 1 23 3 _{3 2} 1 '( ) 3 f x x x    _en 2 3 1 2 9 _{3 2} 2 "( ) 9 f x x x x     

b. De afgeleide bestaat niet in x0: de raaklijn loopt verticaal.

c. De grafiek gaat van toenemend stijgend over in afnemend stijgend. De grafiek heeft een buigpunt (0, 0). d. f"(0) bestaat niet. 16 a. _{f x'( ) 5 x}4_20x3 _{0 b. f x"( ) 20 x}3_60x2 _0 3 5 ( 4) 0 0 4 x x x x      2 20 ( 3) 0 0 3 x x x x     

De uiterste waarden zijn 0 voor x0 en -256 voor x4.

c. De grafiek van f ’ heeft maar één uiterste waarde. De helling gaat bij x3 over van een toenemende daling in een afnemende daling.

17 a. f x( )x x3  1 x x( 1)31 2 1 3 3 3 1 3 _{3 2 3 2 3 2} 2 3 3( 1) '( ) ( 1) ( 1) 1 3 ( 1) 3 ( 1) 3 ( 1) 4 3 3 ( 1) x x x f x x x x x x x x x x                    b. 1 3 3 2 3 8 6 2 3 2 1 3 2 2 2 2 3 3 12 ( 1) 12 ( 1) (4 3) 3 ( 1) "( ) 0 (3 ( 1) ) (3 ( 1) ) x x x x x x f x x x                 2 3 3 1 2 8 6 12 ( 1) 1 12( 1) 8 6 4 6 1 x x x x x x x         

In een plot van de grafiek van f is te zien dat er bij x1 ook een buigpunt is.

18

a.

b. de afstand tussen de grafieken van f en g wordt voor grote positieve en negatieve waarden van

x vrijwel gelijk aan 0.

3 lim ( ( ) ( )) lim 0 2 x f x g x x x  19 a. 2 2 4 ( 3)( 2) 4 5 6 4 5 10 ( ) 3 2 2 2 2 2 2 x x x x x x f x x x x x x x x                     b. 4 2 4

lim ( ( ) ( )) lim lim 0

2 1 x x x x x f x g x x          en ook 4 lim 0 2 x x  c. y  x 3

20 a. ( ) 3 2 7 11 3 ( 3) 16 11 3 ( 3) 16( 3) 59 3 3 3 x x x x x x x x f x x x x                 3 16 59 3 x x     59 lim ( ( ) (3 16)) lim 0 3

x f x  x x x  , dus de scheve asymptoot is y 3x16

b. _{( )} 15 2 21 (2 3) 112 15 12 (2 3) 34(2 3) 1234 2 3 2 3 2 3 x x x x x x x g x x x x                  1 3 34 2 4 12 2 3 x x      en 3 4 3 1 2 4 12 lim ( ( ) ( )) lim 0 2 3 x g x   x x x  21 a. 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 (2 1) (2 5 ) ( 5 4) 2 (4 9 5 ) (2 11 8) '( ) (2 1) (2 1) x x x x x x x x f x x x                  2 1 2 2 2 2 13 (2 1) x x x     en 1 2 2 2 13 2 2 1 2 1 2 2 4 1 2 2 2 13 lim lim (2 1) 4 x x x x x x x x x            

b. Omdat voor grote waarden van x de grafiek van f de lijn met richtingscoëfficiënt a nadert. Dus voor grote waarden van x nadert de helling van f naar a.

c. 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 ₁ 2 5 4 5 4 ( ) 6 4 ( ) 2 1 2 2 1 2( ) 2 1 x x x x x x x x f x x x x x x                 4 1 2 ₁ 6 6 4

lim ( ( ) ) lim lim 3

2 1 2 x x x x x x f x x x           

Het verschil tussen de grafiek van f en de lijn 1 2

y  x wordt voor grote waarden van

x vrijwel gelijk aan 3. Dus het verschil tussen de grafiek van f en de lijn 1

2 3

y  x wordt dan vrijwel gelijk aan 0.

d. 1 2 3 y  x 22 a. 2 1 1 1 1 2 4 4 1 1 4 2 4 (2 1) (2 1) ( ) 2 1 2 1 2 1 x x x x f x x x x x             S.A.: 1 1 2 4 y  x b. ( ) 2 5 3 ( 4) ( 4) 7 1 7 4 4 4 x x x x x g x x x x x               S.A.: y  x 1 c. 2 _{3 ( 1) 4( 1) 4 4} ( ) 4 1 1 1 x x x x x h x x x x x              S.A.: y  x 4 23 a. f x'( ) 2 1 x   en lim (2 1) 2 x x 

b. lim ( ( ) 2 ) lim ( ln( ))_x f x  x _x  x bestaat niet, dus de grafiek heeft geen scheve asymptoot.

24

a. van de rechterkant wordt de waarde van f(x) oneindig groot negatief en vanaf de linkerkant naar oneindig groot positief.

b. ( ) 2 9 ( 3)( 3) 3 3 3 x x x g x x x x          mits x  3 3 3 ( 3) 3 1 3 | 3 | ( ) 1 3 3 x x x x voor x x h x voor x x            _{ }      _

De grafiek van g heeft een perforatie in (-3, -6). Zowel van de rechterkant als van de linkerkant gaat de waarde van f(x) naar -6.

De grafiek van h maakt een sprong. Als x van de rechterkant naar -3 nadert, is de functiewaarde 1 en vanaf de linkerkant is de functiewaarde -1.

25 a. 2 2 ( 5)( 5) 2 25 5 5 ( 5)( 5) 25 5 5 5 5 5 | 25 | ( ) 5 5 5 5 x x x x x x x x x x x voor x en x x f x x x voor x                       _{ }  _        5 5 lim ( ) lim ( 5) 10 x f x  x  x   en lim ( ) lim (x5 f x  x5 x5) 10 b. 2( 5) 2 10 5 5 2( 5) 2 10 ( 5) ( 5) 2 5 2 10 ( ) 2 5 | 5 | x x x x x x x x voor x x g x voor x x                  _{ }      _ lim ( )x5 g x  2 en lim ( ) 2x5 g x 

c. Beide grafieken vertonen een sprong.

26 a. 2 2 3 4 ( 4)( 1) 4 ( ) 2 2 2( 1)( 1) 2( 1) x x x x x f x x x x x             mits x 1

De grafiek van f heeft een verticale asymptoot: x1 en een perforatie: (-1, 1 4

1 ) b. x 3 0

3

x  en de teller is dan ₃2_{    5 3 6 12. De grafiek van g heeft een verticale}

asymptoot: x 3 c. 2 2 1 2 1 1 ( ) 4 2 2 (2 1) 2 x x h x x x x x x        mits x  12

De grafiek van h heeft een verticale asymptoot: x0 en een perforatie: 1 2 ( ,1) d. 2 ( 4) 2 4 2 ( 4) ( 4) 2 4 2 8 ( ) 2 4 | 4 | x x x x x x x voor x x x k x x voor x x            _{ }     _ 4 4 lim ( ) lim (2 ) 8

x k x  x x  en lim ( ) lim ( 2 )x4k x  x4  x  8: de grafiek van k maakt een

sprong. 27 a. 11 1 lim 2 x 0 x e    en 1 1 1 lim 2 x x e 

 bestaat niet (wordt heel erg groot).

De linkertak van de grafiek van f heeft een perforatie (asymptotisch punt): (1, 0) en de rechtertak van de grafiek heeft een verticale asymptoot: x1

b. ( 2) 2 2 2 2 ( 2) 2 2 2 2 | 2 | ( ) 2 2 x x x x x x x x x voor x x x g x x voor x                   _{ }  _    2 2 2 lim ( ) lim 2 x g x x x    bestaat niet en 2 2 2 2 lim ( ) lim 2 x x x g x x    

 bestaat ook niet. De grafiek van g heeft een verticale asymptoot: x 2.

28 a. 2 3 18 3( 6) 3 ( ) 3 54 ( 9)( 6) 9 x x f x x x x x x           mits x 6 perforatie: (-6, 51) b. ( ) 2 3 2 ( 1)( 2) 1 2 2 x x x x x x x e e e e g x e e e           mits x ln(2) perforatie: (ln(2), 1) c. 2 2 2 3 3 2 2 12 2( 3)( 2) ( ) ( 3) 2 3 6 3( 2) x x x x h x x x x x             mits x2 (2, 313)

d. ( ) cos( ) tan( ) cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) x k x x x x x x      mits 1 1 2 2 x     x  perforaties: 1 2 ( , 1) en 1 2 ( , 1) 29 2 _{6 7 ( 7)( 1)} ( ) a x x x x f x x a x a        

Voor a 1 en a7 heeft de grafiek van fa(x) een perforatie: (-1, -8) en (7, 8)

Voor alle andere waarden van a heeft de grafiek van fa(x) een verticale en een

scheve asymptoot. 30 a. 2 2 2 2 2 (1 ) (1 ) 2 '( ) (1 ) (1 ) (1 ) x x x x x x x x x x x x e e e e e e e e e f x e e e                 

Voor alle waarden van x is _ex _0_{. De teller van de afgeleide is voor alle waarden} van x negatief en de noemer, vanwege het kwadraat, altijd positief. De afgeleide is dus altijd negatief. De grafiek van f is dalend en heeft dus geen uiterste waarden. b. 2 2 2 4 4 (1 ) 2 2 (2(1 ) ) (1 2 ) 2 2 (2 2 ) "( ) (1 ) (1 ) x x x x x x x x x x x x x e e e e e e e e e e e f x e e                   3 2 4 4 2 2 2 (1 ) 0 (1 ) (1 ) x x x x x x e e e e e e          2 2 2 (1 ) 0 0 1 0 x x x x e e e e x        1 1 1 1 (0) 0 f  

  , dus (0, 0) is en buigpunt van de grafiek. c. 1 1 1 1 lim 1 1 1 x x x e x x e e e    _{  }   en lim 1₁ 1 x x x e e   _  (omdat 1 lim _ex 0 x  en lim 0 x xe  ) d. ( ) 1 1 1 (1 ) ( ) 1 1 1 1 p p p p p p p p p p e e e e e f p f p e e e e e                     

De grafiek van f is symmetrisch in de oorsprong (0, 0).

31

a. sin(2 ) 2sin( ) 0x  x 

2sin( )cos( ) 2sin( ) 2sin( ) (cos( ) 1) 0 sin( ) 0 cos( ) 1 2 x x x x x x x x k  x k               b. f x'( ) 2cos(2 ) 2cos( ) 0 x  x  2 2

2(2cos ( ) 1) 2cos( ) 4cos ( ) 2cos( ) 2 0x   x  x  x  

1 2 2 2 3 3 cos( ) cos( ) 1 2 2 2 x x x  k  x  k  x k                

Voor x k 2 heeft de grafiek buigpunten. De minima zijn 1 2 1 3  voor 2 3 2 x   k  en de maxima 1 2 1 3 voor 2 3 2 x    k .

c. f(p) sin( 2 ) 2sin(  p  p) sin(2 ) 2sin( )p  p  (sin(2 ) 2sin( ))p  p  f p( )

32

a. Je kunt de derdemachtswortel uit een negatief getal trekken. Het domein is ¡ .

b. 1 3 3 2 2 ( ) 4 (4 ) f x  x x  x x 2 3 2 1 3 _{3 2 2} 4 2 '( ) (4 ) (4 2 ) 3 (4 ) x f x x x x x x         '( ) 0

f x  geeft 4 2 x0, ofwel x2. De top is _{(2, 4)}3 _.

c. f x( ) 0 2 4 (4 ) 0 0 4 x x x x x x       

In beide nulpunten bestaat de afgeleide niet. De raaklijnen lopen in de nulpunten verticaal. d. _f(2_p)3₄₍₂_{p) (2} _p)2  3_{8 4} _p_{(4 4} _{p p} 2₎ 3 _p2₄ 2 2 2 3 3 3 (2 ) 4(2 ) (2 ) 8 4 (4 4 ) 4 f p  p  p   p  p p  p  e. De grafiek van f is symmetrisch in de lijn x2.

33

a. '( ) x 1

p

f x  pe 

voor welke waarden van p heeft fp'( ) 0x  geen oplossingen?

1 1 x x p pe e  

Voor p0 heeft de vergelijking geen oplossingen en de grafiek dus geen uiterste waarden. b. f' ( ) 0p x  én f xp( ) 0 1 1 1 0 ln( ) x x p p pe e x     1 1 1 1 (ln( )) ln( ) 1 0 ln( ) ln( ) 0 1 p p p p p f p p p         

c. _xlim ( ( ) (_ f xp   x 1))_xlim_pex  . Het verschil tussen de grafiek van f0 p(x) en de lijn

1

y   x wordt voor grote negatieve waarden van x vrijwel gelijk aan 0. De lijn 1

y   x is de scheve asymptoot voor alle grafieken van fp(x).

d. "( ) x p

f x pe en deze wordt nooit 0.

34

a. _ex _{ p} 0 _ex _{p x ln( )p}

Als p0 dan is het domein niet ¡ . Voor p0 is _ex _{ p} 0 _{voor alle waarden van}

b. ( ) 2 ln( x ) e f x   x e e '( ) 2 0 2( ) 2 ln(2 ) ln(2) ln( ) ln(2) 1 x e x x x x e f x e e e e e e e x e e              c. f x0( ) 2xln( )ex  2x x  x

d. _xlim ( ( )_ f xp   x) lim ( 2_x  xln(ex p)x) lim (ln(_x ex p)x)

lim (ln( ) ln( )) lim ln lim ln(1 x) ln(1) 0

x p x x x e x x x e p e p e e           _{ }     

Dus y x is de scheve asymptoot van de grafiek van fp.

35 ( ) | | ( 3) ( 3) 0 ( 3) 0 x x voor x f x x x x x voor x      _{  }   ( 3) 0 3 3 x x px x x p x p         ( 3) 0 3 3 x x px x x p x p           3 :

p 3 snijpunten   3 p 3 : 2 snijpunten p 3: 1 snijpunt

36

a. '( ) x 0

a

f x e  a heeft een oplossing als a0. ln( ) (ln( ), ln( )) x e a x a a a a a    b. ln( ) 0a  geeft a1 c. f_a'( ) 0x  en f x_a( ) 0 0 ln( ) x e a x a    (ln( )) ln( ) (1 ln( )) 0 0 a f a a a a a a a a e         37

a. Als x naar 0 daalt, wordt 1

x groot positief en als x naar 0 stijgt heel groot negatief.

b. 1 0 lim x x e bestaat niet en 1 0 lim x 0 x e  38 a. 1 12 1 12 12 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) ( ) 1 1 1 1 x x x x x x x x e x e x e x f x x x e e e e             

Voor grote waarden van x wordt de noemer veel groter dan de teller, dus

lim 0 1 x x x e    b. _{( )} 12 ( 1) 21 ( 1) 21 (1 ) 21 (1 ) _{( )} 1 1 1 1 a a a a a a a a a a a e a e e a e a e f a f a e e e e e                       

39 a. 0 1 x x  0 1 0 x  x  of x0  x 1 0. Dit geeft , 0  1, b. f x( ) 0 1 1 1 x x x x      c. ( ) ln ln( ) ln( 1) 1 x f x x x x    _{ }      1 1 ( 1) 1 '( ) 1 ( 1) ( 1) ( 1) x x f x x x x x x x x x       

    en deze wordt nooit 0. d. Als x0 dan 0 1 x x  . Dus lim lnx 0 1 x x     _    bestaat niet Als x1 dan 0 1 x x  . Dus lim lnx 1 1 x x     _    bestaat niet e. verticale asymptoten: x0 en x1. 40 a. 2 2 2 2 2 2 2 2 5 5 5 ( ) 5 ( 5 ) 5 5 5 x x x x f x x x x x x x x x x x x                     2 5 lim ( ( ) ) lim 0 5 x f x x x _{x  x}  b. _{f( x) (x)}2_{ 5 x}2_{ 5 f x( )}

De grafiek van f is symmetrisch in de y-as, dus y  x is ook een scheve asymptoot van de grafiek van f.

41 a. 1 1 2 2 2sin( ) 0 ( ) 0 0 1 x voor x f x voor x en x          _{    } 

De maxima van f(x) zijn dus 2. b. sin( ) 0x 

2 2

x k   x   k 

c. voor de waarden van x waarvoor cos( ) 0x  .

Dat is voor 1 1

2 2 ,2 2

x    k    k 

d. ( ) sin( ) sin( ) sin( ) ( ) | sin( ) | | sin( ) | | sin( ) |

a a a g a g a a a a            sin( ) sin( ) ( ) ( ) | cos( ) | | cos( ) | a a h a h a a a        

42

a. _ex _0 _{voor alle waarden van x. De teller en de noemer is altijd positief. Dus de} grafiek van g(x) ligt geheel boven de x-as.

b. 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 (1 ) 2 2 '( ) (1 ) (1 ) (1 ) x x x x x x x x x x x x e e e e e e e e e g x e e e              3 2 2 (1 ) 0 0 1 0 x x x x x x e e e e e e x          

Het maximum van g is 1 2 (0) g  . c. 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 1 1 a a a a a a a a e e e e g a g a e e e e          

   , dus de grafiek van g is symmetrisch in de y-as. d. 2 2 2 2 2 2 (1 ) 1 ( ) ( ) 1 1 1 1 (1 ) x x x x x x x x x x x x x x e e e e e e e f x g x e e e e e e e                   2 1 lim 0 (1 ) x x xe e  43 a. '( ) ( )2 x 2( ) 1 x ( 2 (2 2 ) 2 2 ) x p f x  x p e  x p  e  x   p x p  p e b. Een top op de y-as: fp'(0) 0

2 0 ( 2 ) 0 ( 2) 0 0 2 p p e p p p p         c. fp'( ) 0x  2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 (2 2 ) 2 0 (2 2 ) 4( 2 ) 4 8 4 4 8 4 2 ( 2 , 4 ) ( , 0) p p p x p x p p D p p p p p p p x p x p p e en p                                

d. De punten (p, 0) zijn de minima.

2 ( 2 ) 4 p g _{ }p _ e  _klopt. 44 a. f x₀( ) x2 x x

  . De grafiek van f0 is de lijn y x met perforatie (0, 0)

b. 2 2 ( )( 9 ) 10 9 ( ) 10 10 a x a x a x ax a f x x a x a         2 2 2 2 2 2 2 2 ( 10 )(2 10 ) ( 10 9 ) 20 91 '( ) 0 ( 10 ) ( 10 ) 20 91 ( 7 )( 13 ) 0 7 13 (7 , 4 ) (13 ,16 ) a x a x a x ax a x ax a f x x a x a x ax a x a x a x a x a a a en a a                      c. 4 7 y  x en 3 13 1 y  x

45 a. 1 2 1 2 ( ) ln( sin( )) f x   x 1 2 1 2 cos( ) '( ) 0 sin( ) x f x x    1 1 2 2 cos( ) 0 2 1 2 x x  k  x  k         

In een plot kun je zien dat het maximum 1 2 ln(1 ) ligt bij 1 2 2 x   k  b. f_a'( ) 0x  en f x_a( ) 0 1 1 2 2 cos( ) '( ) 0 sin( ) cos( ) 0 2 1 2 a x f x a x x x  k  x  k             ln( 1) 0 1 1 0 a a a      ln( 1) 0 1 1 2 a a a      c.  1 sin( ) 1x  1 a a sin( ) 1x a      

Als 1 a 0 (en dus a 1), dan is asin( ) 0x  en is de functie niet gedefinieerd voor alle waarden van x.

d. verticale asymptoot: asin( ) 0x  sin( )x  a

Dus voor   1 a 1 zijn er verticale asymptoten. (a 1 voldoet niet vanwege c) e.

2 2

2 2

( sin( )) sin( ) cos( ) cos( ) sin( ) sin ( ) cos ( ) "( ) ( sin( )) ( sin( )) a a x x x x a x x x f x a x a x              2 sin( ) 1 ( sin( )) a x a x     "( ) 0 sin( ) 1 a f x a x   

Deze vergelijking heeft oplossingen als a 1 en a1.

46 a. _{OA x}2_{( 16x}2 2_{)  x}2_16x2 _{ 16 4} b. 1 2 2 2 2 1 2 2 2 4 ( ) ( 16 ) 16 MA x p  px x  x px p  px x  1 2 4p 16   is constant c. _{16 6 x x} 2 _0 2 ( 6 16) ( 8)( 2) 0 2 8 x x x x x           

d. de diameter is 17, de straal dus 1 2

8 . Het middelpunt ligt dan bij 1 1

2 2 7 x   p. Dit geeft p15. e. 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 4 4 2 ( ) 16 16 16 ( ) 16 Top p Top y f p   p  p   p   p  x 47 a. als x a dan is |x a |  (x a) a x 2 | | ( ) 2 ( ) 1 | | ( ) a a x x a x a x x a f x x x x a x a x a          

    : een rechte lijn met rico 2a en snijdt

b. als x a : ( ) | | ( ) | | ( ) 2 a x x a x x a a f x x x a x x a x a             De verticale asymptoot is 1 2 x a

c. lim ( ) lim (_{x a} f xa  _{x a} 2ax 1) 1 en lim ( ) lim 1

2 a x a x a a f x x a      _{ }   

De coördinaten van de knik zijn (a, 1). Die liggen allemaal op de lijn y 1. d. 2 2 '( ) 2 (2 ) a a voor x a f x a voor x a x a      _  _  2 2 lim '( ) lim_{a a a} x a f x  x a  en 2 2 2 lim '( ) lim (2 ) a a x a x a a f x x a        _{ }   

Omdat p0 en dus a0 is het knikpunt een maximum (de afgeleide gaat van positief naar negatief). Dus is q 1 (zie c).

Test jezelf

T-1 a. 2 2 1 2 2 2 2 1 2 (2 1) 2 1 ( ) | 2 1| ( 2 1) 2 1 x x x x voor x f x x x x x x x voor x            _{  }          b. _x2_{2x 1 0 x}2_{2x 1 0} 2 2 2 2 1 2 1 2 x_  _{  } x _{  ( 1)}2 ₀ 1 x x     c. 1 2 1 2 2 2 '( ) 2 2 x voor x f x x voor x       _{  }  2 2 0 1 x x    2 2 0 1 x x    

De uiterste waarde zijn f( 1) 0  , 1 1

2 4 ( ) f   en f(1) 2. T-2 2 2 2 ( 2) 1 2 ( ) | 2 | 1 ( 2) 1 2 x x voor x f x x x x x voor x         _{  }      knik: (-2, 0) 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 ( 2) 1 1 2 '( ) ( 2) 1 1 2 x x x x x x voor x f x x x voor x                      2 2 lim '( ) 5 lim '( ) 5 x x f x f x     

T-3 a. 1 3 3 2 2 ( ) 6 9 ( 6 9) f x  x  x  x  x 2 3 2 1 3 _{3 2 2} 2 6 '( ) ( 6 9) (2 6) 3 ( 6 9) x f x x x x x x           '( ) 0

f x  geeft x 3. De uiterste waarde van f is f(3) 0 (minimum) b./c. g x( )32x10 (2 x10)13 2 2 3 3 2 2 3 3 1 2 3 3 1 ₈ 1 4 9 9 '( ) (2 10) 2 (2 10) "( ) (2 10) 2 (2 10) g x x x g x x x                 (5) 0

g  en de afgeleide en tweede afgeleide bestaan niet voor x 5. De raaklijn aan de grafiek is verticaal. De tweede afgeleide (zie plot) is positief voor x-waarden kleiner dan 5 en negatief voor x5. Dus de grafiek van g heeft een buigpunt (5, 0).

T-4 a. 2 1 1 3 3 2 4 4 1 1 4 2 4 (2 1) 2 (2 1) 3 3 5 6 ( ) 2 2 1 2 1 2 1 x x x x x f x x x x x                  3 4 1 1 2 4 3 lim ( ( ) ( 2 ) lim 0 2 1 x f x   x x x  b. ( ) 1 3 2 ( 5) 8( 5) 41 8 41 5 5 5 x x x x x g x x x x x               S.A.: y  x 8 T-5 2 2 ( 3) ( 3) 2( 3)( 3) 2( 3) 2( 9) 2 ( 3) ( 3) 2( 3)( 3) 2( 3) 2( 9) 3 | 3 | ( ) 2 18 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x voor x x x f x x voor x                        _{ }  _     1 4 3 lim 2( 3) x x x    en 1 4 3 lim 2( 3) x x x   _{ }

 de grafiek maakt een sprong bij x  3.

T-6 a. 1( ) ( 2 ) x f x  x x e 2 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 '( ) (2 1) ( ) ( 1) 0 1 0 0 5 5 x x x x f x x e x x e x x e x x e x x                     maximum: 1 1 2 2 5 (2 5)e  en minimum: 1 1 2 2 5 (2 5)e  b. 2 1"( ) (2 1) ( 1) x x f x  x e  x  x e c. f_p'(1) 0 2 2 ( 3 ) 0 3 0 0 ( 3) 0 0 3 x x x x e x x e x x x x             2 2 1 2 '( ) ( ) (2 ) ( (2 ) ) '(1) (3 2 ) 0 1 x x p x p f x x px e x p e x p x p e f p e p              d. "( ) (2 (2 )) x ( 2 (2 ) ) x ( 2 (4 ) 2 2 ) x 0 p f x  x p e  x  p x p e  x  p x  p e  2 2 2 2 (4 ) 2 2 0 (4 ) 4(2 2 ) 16 8 8 8 8 0 x p x p D p p p p p p                 

De vergelijking heeft dus voor alle waarden van p twee oplossingen (en de grafiek van fp(x) dus twee buigpunten).

T-7 a. '( ) 4 12 ₂ 0 ( 1) x x e f x e      2 2 4( 1) 12 2 1 3 x x x x x e e e e e      2 _{1 0} 0 x x e e D    

De vergelijking heeft geen oplossingen. b. lim ( ( ) (4 1)) lim 12 0

1

x

x f x  x x e   S.A.: y 4x1

12 12

lim ( ( ) (4 13)) lim 12 lim 0

1 1 x x x x x x e f x x e e           _  _ _{ }       S.A.: y 4x13 T-8 a. f x( ) 0 2 _{8 12 0} ( 2)( 6) 0 2 6 x x x x x x            b. D x_f :      , 6

 

2 , c. _{g x( ) (x4)}2_{8(x4) 12  x}2_{8x16 8 x32 12  x}2_4

d. _{g a( ) (a)}2_{ 4 a}2_{ 4 g a( ). De grafiek van g is symmetrisch in de y-as.}

e. De grafiek van f is symmetrisch in de lijn x 4.

T-9 a. x 1 0 geeft x 1 b. 2 2 1 ( 1)2 | 1| 1 1 1 1 x voor x x x x x x voor x          _{   }    c. 2 2 1 2 2 2 1 1 1 lim lim 1 2 1 1 x x x x x x x x     _{ }     dus 2 2 1 lim 1 1 2 1 x x x x       H.A.: y 1

d. voor grote negatieve waarden van x geldt: _x2_{ 1 x}2 _{ x} 1

1

lim ( ) lim lim 1

1 1 x x x x x g x x            H.A.: y  1 e. 2 2 2 2 2 ( 1) 2 1 2 1 1 1 2 2 _{2 2} ( 1) 1 ₁ '( ) 0 ( 1) ( 1) _{( 1) 1} x x x x x x x x x _x g x x x _{x x}           _       _{ } 1 x

De uiterste waarde van g is 1