Presentatie

(1)

Van aantrekken en afstoten tot chaos:

limietgedrag bij discrete, dynamische

systemen

Johan Deprez

12de T3-symposium, Oostende, augustus 2009 tekst: zie T3-cahier 19 (www.t3vlaanderen.be)

slides: www.t3vlaanderen.be en www.ua.ac.be/johan.deprez

(2)

Overzicht

1. Voorbereiding: lineaire recursievergelijkingen

♦ Lineaire recursievergelijkingen ♦ Tabel

♦ Webgrafiek

♦ Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt

♦ Limietgedrag bij lineaire recursievergelijkingen

2. Limietgedrag bij niet-lineaire

(3)

Voorbereiding:

(4)

Lineaire recursievergelijkingen

• ? rij zn zo dat zn=azn-1+b (a en b getallen, a niet 0)

• voorbeeld: zn=2zn-1+5

• rij is slechts éénduidig vastgelegd als een beginwaarde z0 gegeven is

• voorbeeld (bis): z0=10, zn=2zn-1+5

10, 25, 55, 115, 235, ...

• voluit: lineaire recursievergelijking van de eerste orde met constante coëfficiënten en constant

rechterlid (met beginvoorwaarde) • voorbeelden

(5)

Lineaire recursievergelijkingen

• ? rij zn zo dat zn=azn-1+b (a en b getallen, a niet 0)

• ...

• voorbeelden

♦ aantal deelnemers aan het T3-symposium: An=0.8An-1+20,

A1=60

(An = aantal deelnemers op n-de symposium, 80% komt het

jaar nadien terug, elk jaar 20 nieuwe deelnemers) ♦ medicijnspiegel: Hn=0.75Hn-1+1500, H0=1500

(Hn = hoeveelheid medicijn in bloed na n dagen, elke dag

inname van 1500 mg, per dag verdwijnt 25%) ♦ sparen via annuïteit: Bn=1.04Bn-1+1000, B0=0

(Bn = bedrag op rekening na n jaar, elk jaar 1000 EUR storten,

elk jaar 4% intrest)

♦ b=0: zn=azn-1, meetkundige rijen met reden a

♦ a=1: zn=zn-1+b, rekenkundige rijen met verschil b • ...

(6)

Lineaire recursievergelijkingen

• ? rij z

n

zo dat z

n

=az

n-1

+b (a en b getallen, a

niet 0)

• ...

• van een rij die beschreven wordt door een

dergelijke recursievergelijking (van dit type!)

met beginvoorwaarde kan de expliciete

vergelijking gemakkelijk bepaald worden (zie

cahier)

(7)

Tabel

36

8 .

0 

₁







_n_ n

z

₀



25

voorbeeld:

(8)

Grafische voorstellingen:

TIME- en WEB-grafiek

36

8 .

0 

₁







_n_ n

z

₀



25

voorbeeld:

TIME-grafiek = ‘gewone grafiek’

n op de horizontale as, zn op de verticale as

grafiek bestaat uit punten, die hier verbonden zijn door lijnstukjes

verloop: gedempt schommelend met limiet 20

z0=25, z1=16, z2=23.2, z3=17.44, ...

WEB-grafiek = type grafiek specifiek voor (sommige) rijen die bepaald

(9)

Grafische voorstellingen: WEB-grafiek

1ste bissectrice

(komt in elk webdiagram terug)

36

8 .

0 





x

y

gebaseerd op de recursievergelijking

36

8 .

0 

₁







_n_ n

z

₀



25

voorbeeld: z0=25, z1=16, z2=23.2, z3=17.44, ...

(10)

Grafische voorstellingen: WEB-grafiek

x-coördinaat van de cursor is z₀

36

8 .

0 





x

y

36

8 .

0 

₁







_n_ n

z

₀



25

voorbeeld: z0=25, z1=16, z2=23.2, z3=17.44, ... y-coördinaat van de cursor is z₁ 1ste bissectrice

(11)

Grafische voorstellingen: WEB-grafiek

x- en y-coördinaat van de cursor zijn z₁

36

8 .

0 





x

y

36

8 .

0 

₁







_n_ n

z

₀



25

voorbeeld: z0=25, z1=16, z2=23.2, z3=17.44, ... 1ste bissectrice

(12)

Grafische voorstellingen: WEB-grafiek

36

8 .

0 





x

y

36

8 .

0 

₁







_n_ n

z

₀



25

voorbeeld: z0=25, z1=16, z2=23.2, z3=17.44, ... 1ste bissectrice x-coördinaat van de cursor is z₁ y-coördinaat van de cursor is z₂

(13)

Grafische voorstellingen: WEB-grafiek

Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt

36

8 .

0 

₁







_n_ n

z

₀



25

voorbeeld: z0=25, z1=16, z2=23.2, z3=17.44, ... verloop: gedempt schommelend met limiet 20

naar binnen gaande spiraal rond snijpunt (20,20)

van de twee rechten y=0.8x+36 en y=x

opeenvolgende waarden van z:

-zie x-waarden van

opeenvolgende verticale lijntjes

OF

- zie y-waarden van

opeenvolgende horizontale lijntjes (op beginterm na)

(14)

Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt

36

8 .

0 

₁







_n_ n

z

₀



15

voorbeeld:

andere beginwaarde, zelfde verloop!

(15)

Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt

36

8 .

0 

₁







_n_ n

z

₀



20

voorbeeld: rij is constant systeem is in evenwicht 20 is evenwichtswaarde

het evenwicht is stabiel: als het systeem uit evenwicht gebracht wordt, keert het terug naar het evenwicht op de vorige slides was

(16)

Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt

2

2 .

1 

₁





_n_ n

z

₀



15

voorbeeld:

verloop: versneld stijgend met limiet plus oneindig

‘trap’ met groeiende treden die weggaat van snijpunt (10,10) van de twee rechten y=1.2x-2 en y=x

beginwaarde 5 i.p.v. 15: versneld dalend met limiet min oneindig

(17)

Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt

2

2 .

1 

₁





_n_ n

z

₀



10

voorbeeld: rij is constant 10 is evenwichtswaarde

het evenwicht is labiel: als het systeem uit evenwicht gebracht wordt, keert het

(18)

Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt

overzicht (versie 1)

• een getal E is een

evenwichtswaarde

van

een recursievergelijking asa de rij met z

0

=E

constant is

• stabiel

versus

labiel

evenwicht

• evenwicht wordt bepaald door het

snijpunt

van de twee rechten uit het WEB-diagram

• ALS er een eindige

limietwaarde

is, is deze

(19)

Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt

36

8 .

0 

₁







_n_ n

z

recursievergelijking de recursievergelijking bepaalt • één rechte uit WEB

• functie f: y=-0.8x+36

)

(

_₁



_n n

f

z



y



f

(x

)



snijpunt van de twee rechten uit het WEB-diagram bepalen:









x

y

x

f

y

x

,

)

zo

dat

(

)

?(

)

(

dat

zo

?

x



f

x

we zoeken een vast punt (dekpunt) van f, 20 is een vast punt (dekpunt) van f

(20)

Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt

25

16 _17.44 ₂₀ 23.2

20 is een aantrekkend vast punt

36

8 .

0 

₁







_n_ n

z

recursievergelijking

z

₀



25

baan van 25:

(21)

Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt

10 15 ₁₆ 17.2 18.64

10 is een afstotend vast punt

recursievergelijking

z

_n



1 .

2 

z

_n_₁



2 z

₀



15

baan van 15:

(22)

Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt

overzicht (versie 2)

• getal E is een evenwichtswaarde van een

recursievergelijking asa de rij met z0=E constant is

• stabiel versus labiel evenwicht

• evenwicht wordt bepaald door het snijpunt van de

twee rechten uit het WEB-diagram

• ALS er een eindige limietwaarde is, is deze gelijk aan

de evenwichtswaarde

• een recursievergelijking bepaalt een functie f

• de ene rechte uit het WEB-diagram is de grafiek van deze functie

• evenwichtswaarde is een vast punt van de functie f

• stabiel evenwicht geeft een aantrekkend vast punt

(23)

|a|>1 |a|=1

Lineaire recursievergelijkingen: limietgedrag

zn = azn-1 + b (a en b getallen, a niet 0)

a<0

a>0

|a|<1

stabiel evenwicht aantrekkend vast punt

limietwaarde

labiel evenwicht afstotend vast punt

(24)

Lineaire recursievergelijkingen: limietgedrag

zn = azn-1 + b (a en b getallen, a niet 0)

verloop van de rij wordt bepaald door de helling van de tweede rechte uit de webgrafiek:

♦ positief/negatief

(25)

Leerplan

• geen verplichte leerstof!

• past wel binnen

♦ het onderwerp discrete wiskunde (verplicht in aso 6u vrij onderwijs)

♦ keuzeonderwerp iteratie uit aso 6u, aso 4u, tso 6u, ...

(26)

Limietgedrag bij niet-lineaire

recursievergelijkingen: voorbeeld

(27)

De recursievergelijking

2

1

)

1 (





_





_



_n

n

b

z

b

z

(b een positief getal)

niet lineair omwille van het kwadraat!

oorsprong:

discrete versie van logistische groei (cfr. cahier),

maar we zullen de

recursievergelijking buiten dat domein ook gebruiken

expliciet voorschrift is niet gekend!

(28)

Voorbeeld: b=0.75

2 1 1

0 .

75

75 .

1

_





_



_n _n n

z

₀



0 .

05

eerste bissectrice en parabool y=1.75x-0.75x2 limietwaarde 1, in de omgeving van 1: ‘trap’ met kleiner en kleiner

wordende treden

limietgedrag wordt bepaald door de helling van de raaklijn

(29)

Voorbeeld: b=0.75

2 1 1

0 .

75

75 .

1

_





_



_n _n n

z

vaste punten?

snijpunten van parabool en rechte?

2

75 .

0

75 .

1 )

(

x

f





0 en 1 (0,0) en (1,1) helling raaklijn is 1.75: 0 is afstotend vast punt helling raaklijn is 0.25: 1 is aantrekkend vast punt

(30)

Opdracht 1: b=1.75

2 1 1

1 .

75

75 .

2

_





_



_n _n n

z

Onderzoek het limietgedrag van de rij a.d.h.v. een

♦ tabel

♦ TIME-grafiek ♦ WEB-grafiek

en geef een verklaring voor het limietgedrag m.b.v. de vaste punten.

Hulp bij de rekenmachinetechnische aspecten: zie blad Het maken van een tabel, TIME- en WEB-grafiek

gebeurt in SEQ-modus. Onderzoek naar de vaste

punten gebeurt in de FUNC-modus (of met het blote hoofd).

05 .

0



z

(31)

Opdracht 1: b=1.75

voor n groot: gedempt

schommelend met limiet 1

(32)

Opdracht 1: b=1.75

voor n groot: gedempt

schommelend met limiet 1

in 0: helling raaklijn is 2.75, afstotend vast punt

in 1: helling raaklijn is -0.75, aantrekkend vast punt met schommelende convergentie

(33)

Opdracht 2: b=2.25

2 1 1

2 .

25

25 .

3

_





_



_n _n n

z

♦ tabel

en geef een verklaring voor het limietgedrag m.b.v. de vaste punten.

05 .

0



z

(34)

Opdracht 2: b=2.25

1 is geen limietwaarde meer

(35)

Opdracht 2: b=2.25

een nieuw fenomeen: 2 limietwaarden!

aantrekkende 2-cykel ophopingspunten!

n n n

z

c

oneven 1

lim

...

17 .

1

 



_n n n

z

c

even 2

lim

...

71 .

0

 



f(c1)=c2 en f(c2)=c1 f(f(c1))=c1 en f(f(c2))=c2

(36)

Opdracht 2: b=2.25

(37)

Opdracht 2: b=2.25

f2 heeft 4 vaste punten: 0 (!), c2, 1(!) en c1

c1 en c2 zijn aantrekkende vaste punten van f2

0 en 1 zijn afstotende vaste punten ) ( ) ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( 2 2 1 2 1 1 1 2 c f c f c f c f c f f c f            2 2 2 2 ) 1 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 0 ( f f f f      

(38)

Opdracht 3: b=2.5

2 1 1

2 .

5

5 .

3

_





_



_n _n n

z

♦ tabel

en geef een verklaring voor het limietgedrag m.b.v. vaste punten.

05 .

0



z

(39)

Opdracht 3: b=2.5

aantrekkende 4-cykel!

bepaald door de aantrekkende vaste punten van f4, met

f4(x)=f(f(f(f(x))))

(40)

Opdracht 3: b=2.5

0 en 1: afstotende vaste punten van f en f2 en f4 en ...

c1=0.6 en c2=1.2: afstotende vaste punten van f2 en f4 en ...

d1=0.53..., d2=1.15..., d3=0.70... en d4=1.22...:

(41)

En verder?

b (tussen 1.625 en 2.85) ophopingspunten (= ‘limietwaarden’ van de rij) b = 1.75 limiet 1 b = 2.25 twee ophopingspunten vier ... b = 2.5 b > 2.692... : chaos