Wat is er moeilijk aan functies?

(1)

Wat is er moeilijk aan

func-ties?

Beschrijvend onderzoek naar het vermogen van leerlingen in 4 Havo (wisA) om

functies te kunnen begrijpen, te onderscheiden en te herkennen met een focus

op lineaire en kwadratische functies.

Naam: Hayet Schoep

Studentnummer: 500619257 Opleiding: Master Wiskunde Begeleiders: D. van Smaalen, dhr. R. Reumerman en mw. S. Palha Studiejaar: 2015 - 2016 Datum: 18 juli 2016

(2)

Wat is er moeilijk aan functies? Hayet Schoep - 18/7/2016 2

Voorwoord

Voor u ligt mijn eindscriptie met de titel “Wat is er moeilijk aan functies?”. Dit is het resultaat van mijn afstudeeronderzoek dat in totaal elf maanden heeft geduurd. Ik heb onderzoek gedaan naar de problemen die ontstaan bij het werken met functies. De focus lag op lineaire en kwadratische func-ties. Het praktische deel van het onderzoek is uitgevoerd in mijn eigen 4-havo-wiskunde A klas van het Visser ’t Hooft Lyceum te Leiden (zie bijlage 1). Het was een leuke, boeiende en interessante tijd. Ik vond het erg nuttig en zinvol om mij eens echt te kunnen verdiepen in de moeilijkheden rondom functies. Met dit onderzoek hoop ik een bijdrage te hebben geleverd in het inzichtelijk maken van de problematiek rond functies. Daarnaast hoop ik dat mijn aanbevelingen leiden tot een verbetering in het onderwijzen van functies.

Graag wil ik langs deze weg degenen bedanken die een positieve bijdrage hebben geleverd aan het tot stand komen van dit rapport. In het bijzonder noem ik alle leerlingen van 4-havo (4HF) van de Kagerstraat 1 te Leiden.

Tenslotte gaat mijn dank uit naar mijn begeleiders dhr. D. van Smalen, dhr. R. Reumerman en mw. S. Palha die mij de afgelopen maanden persoonlijk hebben begeleid.

Hayet Schoep Leiden, 18 juli 2016

* De illustratie op de titelpagina van deze scriptie is gemaakt door SAM FALCONER en hoort bij het artikel "How I Rewired My Brain to Become Fluent in Math” dat is geschreven door BARBARA

(3)

Samenvatting

In het wiskundeprogramma van het middelbaar onderwijs komt het onderwerp “functies” vaak aan de orde. “Functies vormen het geraamte van de wiskunde die in het voortgezet onderwijs wordt onderwezen” schreven Kop en Hoekstra in 2012. De ervaring leert dat leerlingen veel problemen ondervinden bij het werken met functies. Een eenvoudige opgave van de docent (opstellen van een lineaire functie) in 4-havo kon door slechts 10% van de leerlingen gemaakt worden. Waarom vinden leerlingen functies toch zo moeilijk? Wat is er moeilijk aan functies? In dit rapport wordt getracht een antwoord te vinden op deze vragen. De probleemstelling luidt:

Waarop lopen leerlingen vast in hun begrip bij het werken met functies? (met een focus op lineaire en kwadratische functies)

Op grond van een analyse op de eigen lespraktijk én een literatuurstudie is de onderzoeker gekomen tot de volgende onderzoeksvragen met betrekking tot het begrip van leerlingen omtrent het wiskun-dige concept functies:

A. Waarop lopen leerlingen vast bij het herkennen en koppelen van verschillende representaties? B. Waarop lopen leerlingen vast bij het gebruik van symbolen in formules?

C. Waarop lopen leerlingen vast bij het opstellen van de formule van een lineair verband? D. Waarop lopen leerlingen vast bij het werken met de functienotatie?

E. Waarop lopen leerlingen vast bij het werken met het getal nul en negatieve getallen?

Als meetinstrument is een opgavenblad ontwikkeld dat door een aantal leerlingen is getoetst met behulp van het hardopdenkprotocol (Schellings, 2011). Na het evalueren en aanscherpen van de opgaven is een definitieve versie van het opgavenblad door de hele klas (4HF) gemaakt. De uitwer-kingen van de leerlingen zijn gecorrigeerd en de fouten zijn gecodeerd. Daarbij is een onderscheid gemaakt in deductieve en inductieve problemen.

De resultaten komen erg overeen met de bevindingen uit de literatuur. Leerlingen lopen vast in hun functiebegrip op met name:

a) Het niet kunnen herkennen en koppelen van verschillende representaties van een functie b) Onvoldoende kennis van symbool – en functienotaties

c) Onvoldoende kennis van getalbegrip, met name van het getal nul

Concluderend kan worden gezegd dat begripsproblemen bij leerlingen omtrent functies hun belang-rijkste oorzaak vinden in het ontbreken van een overkoepelend totaal beeld. Het blijkt dat leerlingen (nog)niet in voldoende mate in staat zijn om de verschillende aspecten die het functiebegrip rijk is op een juiste wijze combineren.

Het is belangrijk dat leerlingen al bij hun eerste kennismaking met functies in de brugklas leren dat het onderwerp functies elk jaar uitgebreid zal gaan worden. Maak als docent duidelijk dat het een onderdeel is van een groter geheel. Leerlingen moeten vooral begrijpen dat het om de combinatie van alle stappen gaat wat het geheel maakt. Hun beeld van functies moet stevig opgebouwd worden maar niet te star. Uiteindelijk moet een overkoepelend totaalbeeld van functies opgebouwd zijn en als zodanig herkend worden door de leerling.

(4)

Inhoud

Voorwoord ... 2 Samenvatting ... 3 Inhoud ... 4 1 Inleiding ... 6

1.1 Aanleiding tot het onderzoek ... 6

1.2 Inhoud van het onderzoek ... 7

1.2.1 Probleemgebied en probleemstelling ... 7

1.2.2 Doel van het onderzoek ... 10

2 Theoretisch kader ... 11

2.1 Wat begrepen moet worden: Wat zijn functies? ... 11

2.2 Problemen met functies ... 12

2.2.1 Het begrijpen van wiskundige functies ... 12

2.2.2 Problemen bij begrip van functies ... 14

3 Onderzoeksopzet ... 17 3.1 Typering ... 17 3.2 Onderzoeksgroep ... 17 3.3 Onderzoeksinstrument ... 17 3.4 Dataverwerking en analyse ... 20 4 Resultaten... 21

4.1 Leerlingen met hardopdenkprotocol ... 21

4.2 Inductief coderen ... 22

4.3 Overige leerlingen………. ... 22

4.3.1 Koppelen representaties grafiek-formule-titel ... 23

4.3.2 Problemen met symbool gebruik en functie-notaties ... 25

4.3.3 Problemen met symbool gebruik en het opstellen van lineaire vergelijkingen ... 27

4.3.4 Leerling kennis over functie-notaties ... 28

4.3.5 Leerling kennis over functie-notaties, getal nul en negatieve getallen ... 29

4.3.6 Koppelen representaties grafiek-formule-tabel ... 31

5 Conclusies en discussie ... 33

5.1 Beantwoording onderzoeksvragen ... 33

5.2 Overpeinzingen en vervolg ... 38

(5)

Literatuur ... 42

Bijlage 1 Informatie Visser ’t Hooft Lyceum ... 44

Bijlage 2 Overzicht van soorten functies per leerjaar ... 45

Bijlage 3 Woordweb in 4-havo ... 46

Bijlage 4 Hoe worden functies aangeleerd volgens de methode? ... 49

Bijlage 5 Coderingsschema en leerlingen ... 53

Bijlage 6 Opgavenblad Functies ... 54

Bijlage 7 Koppeling Opgavenblad Functies - Onderzoeksvragen ... 57

(6)

1 Inleiding

1.1 Aanleiding tot het onderzoek

Op het Visser ’t Hooft Lyceum te Leiden (zie figuur 1.1-1) zijn in het havo en vwo elk jaar opnieuw veel leerlingen die problemen on-dervinden bij het onderwerp functies. Niet het feit dat er voor een leerling makkelijke en moeilijke onderwerpen in het wiskundepro-gramma bestaan is opvallend maar dat het juist bij het onderwerp functies is, wat voor veel leerlingen moeilijk is en blijft. Terwijl dít onderwerp het meest terugkerende onderwerp is binnen het wis-kunde curriculum in Nederland. Met name de lineaire en kwadra-tische functies worden eindeloos herhaald. Niet alleen komen de functies elk leerjaar terug maar ook worden zij meerdere keren per leerjaar behandeld. Elk jaar worden de functies herhaald en iets ver-diept (zie bijlage 2). Alleen al de frequentie van het onderwerp “functies” geeft aan dat dit als een belangrijk onderdeel van wiskunde wordt aangeleerd op middelbare scholen in Nederland. Een citaat “Functies vormen het geraamte van de wiskunde die in het voortgezet onderwijs wordt onderwezen” (Kop en Hoekstra, 2012).

Men zou verwachten dat door al die herhaling van begrippen, opgaven, grafieken, tabellen en formu-les de stof extra goed blijft “hangen” en er voldoende gelegenheid is voor het inslijpen van het pro-ces. Dat bleek echter niet de praktijk te zijn in de klassen van de onderzoeker en die van haar colle-ga’s; er waren problemen met het begrijpen van en het werken met functies.

Om op een snelle manier te toetsen of de problemen rondom functies ook bestaan in haar huidige klas, namelijk 4-havo, heeft zij de leerlingen een woordweb laten maken met als uitgangswoord FUNCTIES (zie bijlage 3). Leerlingen gaven aan dat zij vooral door de verscheidenheid aan functies allerlei zaken door elkaar halen.

Wat maakt het werken met functies nou zo moeilijk voor leerlingen? Wat is er moeilijk aan functies? Het lijkt de onderzoeker een onderzoek meer dan waard!

(7)

1.2 Inhoud van het onderzoek

1.2.1 Probleemgebied en probleemstelling

Doordat onderzoeker en collega’s jaarlijks worden geconfronteerd met dezelfde reacties van leer-lingen zodra begonnen wordt met het hoofdstuk functies, rijst hier de vraag: “Wat is er moeilijk aan functies?”. Is het anders dan bij andere wiskunde onderwerpen? Welke factoren spelen een rol bij het jaarlijks terugkomen van deze problematiek rondom functies? Hierna volgt een analyse.

ONDERBOUW

Met name in de klassen 2- en 3-vwo wordt de onderzoeker in vijf opeenvolgende jaren geconfron-teerd met dit probleem. Ook haar collega’s hebben deze ervaring. Er wordt gewerkt met de 10e

edi-tie van Moderne Wiskunde waarin het eerste hoofdstuk “Funcedi-ties” heet en het tweede hoofdstuk Kwadratische functies”. Vier jaar geleden waren de resultaten van het 1e_{proefwerk zo desastreus dat}

de wiskundesectie heeft besloten dat er een oplossing moest komen. Het vreemde was namelijk dat die slechte resultaten over de gehele linie hetzelfde waren. Dat wil zeggen op alle drie de vestigingen werden slechte resultaten geboekt met dit 1e_{proefwerk. In dit eerste hoofdstuk werden de volgende}

functies besproken: lineaire functies (daarbij ook recht evenredige en omgekeerd evenredige func-ties), wortelfuncties, kwadratische functies, constante functies en gebroken functies. Het merendeel van deze functies betreft herhaling uit de voorgaande leerjaren. Toch werd er gemiddeld onvoldoen-de gescoord. De oorzaak kan liggen in het feit dat onvoldoen-de leerlingen veel kennis verloren zijn in onvoldoen-de zomer-vakantie. Maar natuurlijk wordt alles –weliswaar op hoog tempo- herhaald voor het proefwerk. De oplossing die de sectie hadden bedacht was om voortaan de hoofdstukken 1 en 2 om te draaien in de tijd. Het jaar daarop is er dus gestart met hoofdstuk 2 dat alleen bestond uit kwadratische func-ties en daarna is de stof uitgebreid met alle ander funcfunc-ties (zoals hiervoor genoemd) in hoofdstuk 1 en het resultaat is daardoor significant verbeterd. Deze volgorde is tot op de dag van vandaag aan-gehouden. De verbeterde resultaten zijn toegeschreven aan het rustiger kunnen opbouwen en opha-len van kennis na de zomervakantie. Immers in hoofdstuk 2 wordt maar één soort functie besproken. Daarna zitten de leerlingen weer wat meer in de stof en kunnen zij blijkbaar beter de verschillende functies onderscheiden in het volgende hoofdstuk (hoofdstuk 1 dus) ook doordat dat dan wat verder in de tijd ligt. Des al niet te min blijven er heel wat leerlingen moeite houden met het onderwerp functies.

BOVENBOUW

Dit jaar bleek al snel in de 4-havo klas van onderzoeker dat de problemen die zij ervaren had in de onderbouw met functies niet anders zijn in de bovenbouw. De resultaten van de eerste voortgangs-toets (vt) waren bedroevend. Het onderwerp van deze vt was naast rekenen (H1 rekenen) functies (H2 Tabellen en grafieken). Hoewel er in het hoofdstuk allerlei functies voorkwamen, lag de nadruk in het vt op lineaire en kwadratische functies. Tegen de verwachting in kon ongeveer 90% van de leer-lingen in deze klas de volgende opgave niet maken:

Gegeven: punt A (2,3) en punt B (8,5)

(8)

Wat is er moeilijk aan functies? Hayet Schoep - 18/7/2016 8 De oplossing op deze vraag is de leerlingen vanaf einde brugklas aangeleerd met een vast stappen-plan. Tevens komt deze opgave ieder leerjaar minimaal 2x terug. Het stappenplan is als volgt: Stap 1: Het betreft een lineaire functie dus standaardformule is y=ax+b

Stap 2: a = richtingscoëfficiënt = ∆y/∆x (hier richtingscoëfficiënt = 1/3)

Stap 3: schrijf op wat je tot nu toe hebt => y =1/3x+b

Stap 4: b = begingetal. Bereken door één van de coördinaten in te vullen in de formule => b=2 1/3

Stap 5: schrijf de gevonden formule van de lijn op nl. y = 1/3x + 2 1/3

In tegenstelling tot de veronderstellingen over het beginniveau bleken slechts twee van de 24(!) leer-lingen de gevraagde formule te kunnen geven. Bij een andere opgave was een parabool gegeven en de opdracht was: bereken de snijpunten van de parabool met de x-as. Ook bij deze opgave was maar een klein percentage van de klas in staat om zelfstandig de oplossing te vinden. Na het geven van een hint (het herleiden van de formule op nul) konden er al wat meer leerlingen aan het werk. Een ander probleem was juist het ontbinden in factoren. Terwijl deze leerlingen al vanaf het 2e_{leerjaar leren}

om kwadratische formules te ontbinden in factoren was de meerderheid van de leerlingen niet in staat om de “som-product” regel op de juiste wijze toe te passen. Leerlingen die wel op de juiste methode kwamen maakten fouten in de berekening waardoor het verkeerde teken werd gekozen voor de oplossing. In de vervolgvraag werd gevraagd naar de betekenis van de snijpunten maar hier-op komt weinig respons. Leerlingen zien geen verband tussen de grafiek en de context.

Toen eind november bleek dat het gemiddelde cijfer van het eerste schriftelijk examen (afgekort SE) in alle 4-havo klassen schommelde tussen een 4,1 en een 5,0 was onderzoeker zeer teleurgesteld in het resultaat. In dit eerste SE, wat ging over de eerste drie hoofdstukken van het boek met een focus op lineaire en kwadratische functies is onderzoeker gaan nadenken over hoe dit mogelijk is. Hoe kan het dat leerlingen zo slecht scoren op onderwerpen die ze al jarenlang onderwezen hebben gekre-gen? Dat functies lastig zijn voor leerlingen is goed te zien in de onderbouw maar dat er in 4-havo op lineaire en kwadratische functies dramatisch wordt gescoord is tegen alle verwachtingen in. Vooral omdat deze twee soorten functies het meest voorkomen in elk leerjaar. In de gehele havo-opleiding ligt duidelijk de nadruk op lineaire en kwadratische functies binnen dit domein (zie bijlage 4). Op grond van de analyse in bijlage 4 is er een overzicht gemaakt waarin duidelijk zichtbaar wordt welke functies er per leerjaar onderwezen worden. De lineaire en kwadratische functies springen er met hun meest donkere kleuren verspreid over de meeste leerjaren uit (figuur 1.2-1 en bijlage 2).

(9)

Soort functie

Leerjaar 1

Leerjaar 2+3

Leerjaar 4

Lineaire functie

H3: grafieken H6: woordformules H9: werken met formules H10: vergelijkingen H12: rekenen met variabe-len H1: lineaire formules H9: lineaire vergelijkingen H4: verbanden herkennen H6: nieuwe grafieken H11: Vergelijkingen en ongelijkheden H2: tabellen en grafieken H5: lineaire en exponentiele groei H6: grafieken en vergelijkin-gen H8: Grafieken en verande-ringen Kwadratische functie

H12: Rekenen met variabe-len H3: machten en wortels H5: kwadratische formules H11: ontbinden in factoren H2: kwadratische formules H4: verbanden herkennen H6: nieuwe grafieken H8: de ABC formule H11: Vergelijkingen en ongelijkheden H2: tabellen en grafieken H6: grafieken en vergelijkin-gen Wortelfunctie H3: machten en wortels H4: verbanden herkennen H9: getallen en variabelen H12b: vergelijkingen oplos-sen H6: grafieken en vergelijkin-gen Exponentiele functie H7: procentuele groei H1: exponentiele groei H4: verbanden herkennen H9: getallen en variabelen H12b: vergelijkingen oplos-sen H5: lineaire en exponentiele groei Machtsfunctie H3: machten en wortels H4: verbanden herkennen H9: getallen en variabelen H11: Vergelijkingen en ongelijkheden H12b: vergelijkingen oplos-sen

1.2-1 Overzicht van wiskunde functies uitgesplitst in leerjaar en frequentie; Legenda: kleuren van

licht geel (komt maar in één hoofdstuk voor) naar donker rood (komt in acht hoofdstukken voor) verdeeld over de verschillende leerjaren.

(10)

Wat is er moeilijk aan functies? Hayet Schoep - 18/7/2016 10 Hoewel de resultaten van dit eerste SE zeer tegenvielen, was dat voor meer ervaren collega’s in 4-havo geen verassing. Voor hen is dit al jaren lang een bekend fenomeen in 4-4-havo. Die informatie is niet geruststellen. Eerder reist de vraag: “hoe breed is dit probleem eigenlijk?”. Speelt dit probleem op andere scholen ook in 4-havo? Is dat misschien zo in heel Nederland? Misschien ook in scholen buiten Nederland? Zou er iets over bekend zijn? Is er literatuur geschreven over dit probleem. Is er misschien al onderzoek naar gedaan? Waarom is het eigenlijk zo’n probleem? Wat is precies het pro-bleem? Hoe en waarom ervaren leerlingen problemen bij het onderwerp functies?

De bijdrage die dit onderzoek zou kunnen leveren zou van belang kunnen zijn, met name als andere scholen kampen met dezelfde problematiek rondom functies.

Op basis van de analyse van het wiskundeprogramma (Moderne Wiskunde) en de lespraktijk op het Visser ’t Hooft lyceum, is de volgende probleemstelling geformuleerd:

“Waarop lopen leerlingen vast in hun begrip bij het werken met functies met een focus op

lineaire en kwadratische functies?”

1.2.2 Doel van het onderzoek

Het doel van dit onderzoek is het achterhalen van welke begripsproblemen zich voordoen bij het werken met functies in 4-havo, wiskunde A. Het zal een beschrijvend onderzoek zijn naar het ver-mogen van leerlingen om functies te kunnen begrijpen, te onderscheiden en te herkennen met een focus op lineaire en kwadratische functies.

Wanneer duidelijk is geworden welke begripsproblemen zich voordoen bij het werken met functies, zou het interessant zijn om in een vervolgonderzoek te kijken naar de oorzaken van de begripspro-blemen en naar een eventuele oplossing daarvan. Op die manier kan er gewerkt worden aan een verbetering van het begrip bij het werken met functies. Voor alle duidelijkheid zou dat een nieuw (vervolg)onderzoek betekenen.

(11)

2 Theoretisch kader

2.1 Wat begrepen moet worden: Wat zijn functies?

Een antwoord op deze vraag is te vinden in literaire bronnen waarin onderzoek is beschreven naar wiskundige functies. Wat is een functie? Een veel gebruikte definitie is “The function is a special kind of dependence, that is, between variables which are distinguished as dependent and independent – an old-fashioned looking terminology, which, however, stresses the phenomenologically important element: the directedness from something that varies freely to something that varies under con-straint” (Freudenthal 1983, p.496).

Kop en Hoekstra (Drijvers,Van Streun & Zwaneveld, 2012) beschrijven tevens dat een functie aan geeft hoe een verandering van de ene grootheid een verandering van

de andere grootheid tot gevolg heeft. Het woord functie wordt ook in de betekenis van “verband” gebruikt binnen de wiskunde.

Een andere heel bekende definitie van “de functie” is de Dirichlet-Bourbaki-definitie. Deze definitie wordt tegenwoordig voornamelijk gebruikt. Deze luidt als volgt: “Een functie 𝑓 is een relatie tussen twee verzamelingen 𝑋 en 𝑌, met de eigenschap dat aan ieder element 𝑎 uit 𝑋 precies één element 𝑏 uit 𝑌 wordt gekoppeld“ of sterk verkort: “een verzameling geordende paren”. In figuur 2.1-1 is dit schematisch weergegeven.

Echter in de methode Moderne Wiskunde wordt de functie als volgt gedefinieerd: “Het woord func-tie gebruik je om aan te geven dat een grootheid af-hangt van een andere grootheid”. Dezelfde definitie als Kop en Hoekstra (2012) gebruiken. Het betreft hier een wiskunde boek voor het leerjaar 4-vwo. Opvallend is dat in het boek voor 4-havo dezelfde definitie wordt gehanteerd maar zonder het gebruik van het woord functie. In een voorbeeld staat “de gegeven formule geeft het verband weer tussen de ene grootheid (op de x-as) en de andere grootheid (op de y-as). Vaak wordt deze omschrijving van “de functie” aangevuld met uitleg van de docent. Niet zelden wordt daarbij gebruik gemaakt van de functie als invoer-uitvoerproces; het beeld van het machientje (zie figuur 2.1-2) past hier goed bij (Freudenthal, 1986).

2.1-1 Schematische weergave functie

2.1-2 De functie weergegeven als ma-chientje

(12)

2.2 Problemen met functies

2.2.1 Het begrijpen van wiskundige functies

Hoe een leerling wiskundige functies begrijpt is onderzocht door onder andere Clement (2001) met als doel een beter resultaat te verkrijgen in de wiskundige prestaties van leerlingen in het voortgezet onderwijs. De insteek daarbij is het bevorderen van het functiebegrip van leerlingen.

Echter voordat we de vraag “hoe begrijpt een leerling wiskundige functies?” kunnen beantwoorden moeten wij onszelf als docenten afvragen: wanneer vinden we eigenlijk dat een leerling heeft begre-pen wat een functie is? Drijvers, Doorman, Boon, Van Gisbergen en Gravemeijer (2007) belichten verschillende kanten van het functiebegrip. Je kunt een functie zien als een ‘machientje’ (Freudent-hal, ,1986) je stopt er iets in, er vinden bewerkingen plaats en er komt iets uit. Een functie kan óók worden gezien als het proces waarin een afhankelijke variabele co-varieert met een onafhankelijke variabele.

Naast deze benaderingen van een functie als een proces, kan een functie ook gezien worden als een wiskundig object (Sfard, 1991). Dan gaat het echter meer over de vraag ‘Wat is een functie?’ in plaats van ‘Wat doet een functie?’ Ieder wiskundig concept (in dit geval functies) bestaat volgens Sfard (1991) uit de combinatie van twee elementen te weten: proces en object. Zij beschrijft hoe het eer-ste begrip van functies wordt opgedaan in een operationele vorm, een proces dat leidt van input naar output. In een later stadium kan deze procesmatige kennis overgaan in een structuur waarbij het begrip functie en alles wat daarbij hoort als één samenhangend geheel wordt gezien. Hierdoor is een leerling later in staat om zijn kennis op een hoger niveau te brengen doordat hij makkelijker nieuwe informatie kan toevoegen aan het reeds bestaande beeld.

De ideeën van Sfard zien we ook terug bij de ontwikkeling van nieuwe computerprogramma’s ter bevordering van functiebegrip (Drijvers, Boon, Van Gisbergen & Gravemeijer, 2007). Om een inhou-delijk goed programma te maken, wordt hier het concept functie beschouwd als een dynamisch pro-ces van co-variatie en input-output, maar ook als mathematisch object waarin een functie op ver-schillende manieren gerepresenteerd kan zijn, zoals in een tabel, grafiek, pijlenketting, of formule (Drijvers, Boon, Van Gisbergen & Gravemeijer, 2007).

De verschillende weergaven van een functie, zoals in een formule of verschillende grafische repre-sentaties, kunnen het functiebegrip ondersteunen. Hierbij zien leerlingen in eerste instantie niet altijd het verband tussen deze verschillende weergaves (Drijver, 2007). Het is daarom belangrijk dat docenten bij het uitwerken van voorbeelden zoveel mogelijk deze weergaves naast elkaar laten zien. Leerlingen zien dat veranderingen in bijvoorbeeld een tabel of formule een effect hebben op een andere weergave, zoals een grafiek of pijlenketting.

Uit onderzoek (Drijvers, 2007) komt naar voren dat het steeds zien van verschillende representaties van functies leidt tot een beter begrip van functies. Het is van groot belang dat leerlingen vaak wor-den geconfronteerd met de meest voorkomende representaties te weten een grafiek, tabel en for-mule. Hierdoor gaan zij inzien dat er geen sprake is van drie losse “dingen” maar dat zij een verband vormen en allen een beschrijving geven van eenzelfde functie maar in verschillende vormen

(13)

weerge-Wat is er moeilijk aan functies? Hayet Schoep - 18/7/2016 13 geven. De docent moet echter blijven benadrukken dat leerlingen dit proces gaan zien als een sa-menhangend geheel. De nadruk op het uitwerken van alle (stapsgewijze) tussenstappen zou deze ontwikkeling mogelijk in de weg kunnen staan (Sfard, 1991).

Samenvattend laat de literatuur zien dat het begrijpen van wiskundige functies nauw samenhangt met het kunnen koppelen van twee elementen te weten proces en object (Sfard, 1991). Het ontwik-kelen van een rijk cognitief schema rond het functiebegrip omvat dus genoemde twee elementen. Deze proces- en objectkijk op functies wordt ook wel proceptkarakter van het functiebegrip ge-noemd (Kop en Hoekstra, 2012).

Een kanttekening wordt gemaakt door Gray en Tall (2007) die grote verschillen beschrijven tussen leerlingen met als oorzaak dat sommige leerlingen zich alleen richten op het proces, terwijl andere zich richten op proces én object. Ook Vinner (1983) waarschuwt dat leerlingen bij de eerste kennis-making met functies op het hart moet worden gedrukt dat ze er rekening mee moeten houden dat het begrip functie later nog zal worden uitgebreid. Zo kan mogelijk voorkomen worden dat leerlingen een al te star mentaal beeld van het concept functie opslaan, dat later resistent kan blijken te zijn voor verandering.

(14)

2.2.2 Problemen bij begrip van functies

Verschillende empirische onderzoeken tonen aan dat begripsproblemen omtrent het werken met functies niet alleen op scholen binnen Nederland spelen (o.a. Drijvers e.a., 2013) maar ook een in-ternationaal karakter kennen (Saraiva en Teixeira, 2009 en o.a. Gadowsky e.a., 2003).

Op basis van literatuuronderzoek kan worden gesteld dat er veel onderzoek gedaan is naar functie-begrip op middelbare scholen. Zo is er bijvoorbeeld een studie van Sierpinska (1992) met de titel “On understanding the notion of function”. Ook heeft Eisenberg (1991) dezelfde problematiek bestu-deerd in zijn onderzoek “Functions and assosiated learning difficulties”. Een ander rapport met de titel “Levels in the understanding of the function concept” is van Bergeron en Herscovics (1982). Te-vens zijn er diverse artikelen te vinden over digitale hulpmiddelen om functies beter inzichtelijk te maken voor leerlingen. Belangrijk onderzoek hierin is gedaan door Van Streun (2000) maar ook door Drijvers, Doorman, Boon, Van Gisbergen & Gravemeijer (2007).

Empirisch onderzoek naar de moeilijkheden en misconcepties van leerlingen bij het leren en het wer-ken met functies is vele malen schaarser. Uitzondering vormt het onderzoek van Sajka (2003) onder haar eigen leerlingen. Zij heeft daarbij gekeken naar het functiebegrip van leerlingen op een middel-bare school (havo/vwo niveau) van 16 jaar oude leerlingen. Haar belangrijkste bevindingen waren dat leerlingen zich vooral een beeld vormen van functies aan de hand van de voorbeelden die wor-den behandeld in de les. Ook de standaardsommen uit het boek worwor-den opgeslagen als concept van wat een functie eigenlijk is. Bij het doen van een test kwam meteen naar voren dat veel leerlingen de stappen en opgaven zoals zij die hebben gezien in de klas als losse elementen beschouwden. De leer-lingen hadden geen verband gelegd tussen de verschillende stappen en ook waren zij veelal niet in staat de verschillende typen functies te onderscheiden.

Zoals in de vorige paragraaf beschreven is, is het voor volledig functiebegrip nodig dat leerlingen beide elementen van wiskundige concepten, dus zowel het proces als het object kunnen begrijpen (Sfard, 1991). In het onderzoek van Sajka (2003) komt naar voren dat een volledig conceptbeeld (Sfard, 1991) bij veel leerlingen eigenlijk niet bestaat. Opvallend is dat óf alleen een (onvolledig) pro-cesbeeld bestaat óf alleen een (onvolledig) objectbeeld (Sajka, 2003; Clement, 2001; Saraiva en Teix-eira,2009).

Een misconceptie dat leerlingen hebben omtrent functies is dat zij dikwijls denken dat een functie alléén een formule is die er voor zorgt dat je een grafiek kunt tekenen (Sajka, 2003). Duidelijk is in dit geval dat de leerling functies vooral associeert met het tekenen van een grafiek. Andere leerlingen komen na lang nadenken tot de conclusie dat een functie bestaat uit een formule én een grafiek. Voor sommige leerlingen is het probleem van wat een functie nou precies is zo groot dat zij het hele concept functie vermijden en zelfs het woord “functie” niet willen gebruiken. Hieruit concludeert Sajka (2003) dat deze leerlingen nog geen volledig conceptbeeld hebben van functies, hun concept-beeld is in ontwikkeling.

(15)

Wat is er moeilijk aan functies? Hayet Schoep - 18/7/2016 15 In de volgende uiteenzetting worden de meer specifieke problemen die zich voordoen bij het werken met functies verduidelijkt:

Geen onderscheid kunnen maken tussen een functie, een verband en een formule Het onderzoek van Sajka (2003) toont aan dat een merendeel van de leerlingen op de middelbare school in het 4e_{leerjaar niet of nauwelijks het onderscheid kennen tussen een functie, een verband}

en een formule (een van de mogelijke representaties van een functie). Leerlingen gebruiken de be-grippen vaak ook als synoniemen van elkaar (Sajka, 2003). Met name doordat leerlingen onvoldoen-de in staat zijn om formules aan functies te koppelen ononvoldoen-dervinonvoldoen-den zij allerlei problemen in het zoe-ken naar een oplossingsrichting van een opgave. Immers zij (her)zoe-kennen niet de eigenschappen die bij een bepaald type functie hoort. Het is juist van groot belang dat leerlingen in het 4e_{leerjaar goed}

kunnen overstappen van de ene op de andere representatie omdat deze vaardigheid nodig is bij een (wiskundig) probleem oplossen (Kop en Hoekstra, 2012). De meest voorkomende representaties zijn een formule, een tabel en een grafiek. Het gaat erom deze niet als losse onderdelen te zien maar te kunnen beschouwen als verschillende vormen van één functie. Indien een leerlingen onvoldoende in staat blijkt deze vaardigheid toe te passen ontstaan er allerlei begripsproblemen bij het werken met functies (Van Streun, 2000).

Het niet volledig begrijpen van symbolen in formules Het functieconcept is omgeven met symbolen en conventies waar experts raad mee weten, maar die voor leerlingen vaak een ondoordringbare kluwen woorden en afspraken zijn. Zo is 𝑦 = 𝑥2 niet een parabool, maar de vergelijking van een parabool, en is een parabool een grafiek van de functie 𝑓 met als functievoorschrift 𝑓(𝑥) = 𝑥2 (Kop en Hoekstra, 2012). Leerlingen hebben moeite met het juiste gebruik en de betekenis van symbolen die worden gebruikt in formules. Dit probleem wordt goed zichtbaar wanneer leerlingen de richtingscoëfficiënt van een rechte lijn moeten bepalen. Wanneer deze rechte lijnen niet worden weergegeven met de gebruikelijke standaardsymbolen 𝑥 en 𝑦 voor de variabelen maar bijvoorbeeld als 𝑝 en 𝑞 dan zijn er leerlingen die ineens niet meer weten hoe de richtingscoëfficiënt uitgerekend moet worden met behulp van de formule ∆𝑦_∆𝑥 omdat zij niet zien dat nu 𝑝 en 𝑞 de variabelen vormen (Sajka, 2003). Leerlingen hebben vaak moeite de gebruikte symbolen in de formule op de juiste manier te lezen en/of te begrijpen. Wanneer leerlingen werken met stan-daardsommen of voorbeelden die in de klas zijn behandeld waarbij variabelen worden aangeduid als 𝑥 of 𝑦 herkennen de leerlingen de formules wel. Indien de symbolen worden vervangen door andere letters bijvoorbeeld 𝑑 en 𝑒 dan ontstaat er vaak onzekerheid over de aanpak van de opgave. Leer-lingen met een geringe kennis van functies zijn in staat een aantal opgaven juist op te lossen doordat zij de stappen uit het hoofd leren. Weliswaar is die kennis uiteindelijk niet genoeg om een voldoende op een toets te halen (Saraiva en Teixeira, 2009).

Het niet kunnen doorzien van notaties

Aansluitend op de problemen met symbolen in formules is voor leerlingen ook de notatie van func-ties soms moeilijk en onduidelijk. Leerlingen doorzien de notatie vaak niet. Wat betekent 𝑓 in 𝑓(𝑥)? Wat betekent 𝑥 in een formule? Onduidelijk voor leerlingen is dat in de formule 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 4, 𝑥 aan de rechterkant van het isgelijkteken hetzelfde is als 𝑥 aan de linker kant van het isgelijkteken (Kop en Hoekstra, 2012). Bij een opdracht als los op 𝑓(5) of 𝑓(𝑥)=0 kan deze misconceptie van nota-tie van een funcnota-ties voor problemen zorgen.

(16)

Onvoldoende kennis hebben van getalbegrip

Tenslotte is er nog het probleem van het getalbegrip. Onder meer door het niet goed begrijpen van de notaties en gebruikte symbolen in formules en vergelijkingen ontstaan er misvattingen over be-paalde getallen. Met name treden er problemen op bij het getal nul en negatieve getallen. Omdat een veel voorkomende opgave is om de snijpunten van een grafiek met de x-as te bepalen en deze opgave vaak geformuleerd is als 𝑓(𝑥) = 0, blijkt dat leerlingen die weinig functiebegrip hebben deze opgave niet kunnen oplossen zonder daarbij een tekening van de grafiek te zien omdat zij het getal nul associëren met niets. Er is dus geen oplossing (Sajka, 2003). Ook negatieve getallen zorgen voor problemen met name bij wortelfuncties. Bij wortelfuncties wordt snel gedacht aan het idee wat leerlingen in eerder leerjaren hebben geleerd: een wortel kan nóóit negatief zijn. Je kunt dus geen wortel trekken uit een negatief getal. Dit is natuurlijk een juist beeld zolang wij spreken over reële getallen. Maar dat vervolgens leerlingen bij een wortelfunctie als 𝑦 = √3𝑥 − 5, denken dat deze functie niet kan worden opgelost omdat er een “min” onder het wortelteken staat is een veel voor-komende misconceptie.

Het mag duidelijk zijn dat het soort problemen waarmee leerlingen kampen betreffende het werken met functies erg lastige situaties kan opleveren voor leerlingen met een gemiddelde wiskundige ken-nis.

Naar aanleiding van het theoretisch kader zijn de volgende onderzoeksvragen geformuleerd:

(17)

3 Onderzoeksopzet

3.1 Typering

Zoals in de ondertitel van dit onderzoek is weergegeven betreft het hier een beschrijvend onderzoek met kwalitatieve gegevens. Het onderzoek is probleem analytisch van aard en erop gericht de kwali-tatieve elementen in menselijk gedrag te bestuderen. Het doel van het onderzoek is om erachter te komen waaróp leerlingen vastlopen in hun begrip bij het werken met lineaire en kwadratische func-ties.

3.2 Onderzoeksgroep

De onderzoeksgroep is een gelegenheidssteekproef en bestaat uit de eigen 4-havo wiskunde A klas (4HF) van de onderzoeker. Deze klas bestaat uit 23 leerlingen, te weten 8 jongens en 15 meisjes. Het niveau van de klas is wisselend. Er zijn sterke leerlingen met een serieuze studiehouding maar ook zijn er luie leerlingen die weinig inzet tonen. Gezien de overige 4-havo klassen op deze locatie zijn de resultaten van de klas gemiddeld te noemen. Om de privacy van de leerlingen te beschermen zijn zij aangeduid met nummers zoals leerling 1, leerling 2, enzovoort (zie bijlage 5).

De resultaten zullen extern valide zijn, dus te generaliseren zijn voor een grotere groep dan alleen de onderzoeksgroep. Immers er bestaan meerdere 4-havo wiskunde A klassen in Nederland waarvan een deel dezelfde wiskundemethode gebruiken. Men mag verwachten dat bij deze leerlingen verge-lijkbare problemen spelen als het gaat om functiebegrip.

3.3 Onderzoeksinstrument

Als meetinstrument is er een opgavenblad ontwikkeld (zie bijlage 6). De opgaven zijn gebaseerd op de onderzoeksvragen. Elke opgave dekt een of meerdere onderzoeksvragen (zie bijlage 7). Blad 1 bevat vijf opgaven en blad 2 (het vervolgblad) bevat één opgave die vergelijkbaar is met opgave 1 van het eerste blad. Blad 2 krijgen de leerlingen pas wanneer ze blad 1 hebben ingeleverd. Dit om te voorkomen dat ze door deze opgave nieuwe inzichten krijgen en hun antwoord op opgave 1 van blad 1 willen veranderen. Door middel van een begripsvaliditeitscheck is de validiteit van het instrument gewaarborgd (Baarda, 2009). Daartoe is het opgavenblad getoetst door experts, te weten een vakdi-dacticus en een onderzoeker. Ook hebben drie aselect gekozen leerlingen het onderzoeksinstrument getest. Voor de eerste proefafname zijn er aselect een zwakke en een sterke leerling gekozen die de opgaven apart van elkaar hebben gemaakt terwijl zij hardop nadachten (Schellings, 2011). Van deze proefsessies zijn video opnamen gemaakt. De resultaten zijn besproken met de begeleider van de onderzoeker op de HvA. Na twee keer proefdraaien en evalueren is het opgavenblad aangepast en met het definitieve meetinstrument zijn de eerste echte afname gedaan met twee andere aselect gekozen leerlingen uit de onderzoeksgroep. Ten slotte is het opgavenblad door de hele klas gemaakt.

(18)

Wat is er moeilijk aan functies? Hayet Schoep - 18/7/2016 18 De eerste versie van het opgavenblad is gemaakt door een sterke leerling hier genoemd leerling 1 (zie figuur 3.3-1) en een zwakke leerling, namelijk leerling 2 (zie figuur 3.3-2). Leerling 1 deed 24 minuten over de opgaven en leerling 2 ruim 30 minuten. Opvallend was dat de sterke leerling de opgaven slechter maakte dan de zwakke leerling. Na aanleiding van deze proefafname bleek dat één opgave (opgave 4) niet het gewenste resultaat gaf. In deze opgave waren twee rijtjes met formules gegeven waarbij steeds een formule uit het eerste rijtje hetzelfde was als een formule uit het tweede rijtje maar die was op een andere wijze genoteerd. Het was de bedoeling dezelfde bij elkaar te zoe-ken. Deze vraag had antwoord moeten geven op onderzoeksvraag D, echter door het foutloos be-antwoorden van deze vraag door beide leerlingen kon er weinig gemeten worden. Het was onduide-lijk of de opgave misschien te makkeonduide-lijk was of dat er een andere oorzaak aan ten grondslag lag. Deze opgave is vervangen door een andere. Op de overige vragen kwam steeds eenduidig antwoord en ook de beoogde problemen (volgend uit het theoretisch kader) kwamen al meteen duidelijk uit de test. In bijlage 8 zijn de resultaten van de proefafname opgenomen.

Bij de tweede proefafname bleek dat de nieuwe opgave nog niet optimaal was. Er was teveel ruimte tot verwarring. In opgave 4 (zie figuur 3.3-3) is een functie 𝑝(𝑡) gegeven. De vraag is “welke herleide vorm past bij de formule?”. Maar het goede antwoord stond niet in het rijtje.

Wat er gebeurde was dat deze (sterke) leerling (zie figuur 3.3-5) de functie zelf goed kon herleiden maar vervolgens dat goede antwoord niet terug vond in het rijtje (te kiezen antwoorden). De leerling ging twijfelen aan haar antwoord en koos een verkeerd antwoord (zie figuur 3.3-4). De vraag is dan “wat toets je?”. Op grond van die erva-ring is de opgave aangepast. Er is een vijfde antwoordmogelijkheid toegevoegd namelijk “geen van bovenstaande (antwoorden)”. Het hernieuwde opgavenblad is door twee andere leerlingen gemaakt.

3.3-1 Leerling 1 3.3-2 Leerling 2

3.3-3 Opgave 4 3.3-4 Uitwerking juist, antwoord on-_juist

(19)

Wat is er moeilijk aan functies? Hayet Schoep - 18/7/2016 19 De resultaten hiervan gaven het gevoel dat met dit opgavenblad het beoogde doel goed te behalen is. Het meetinstrument is definitief (zie figuur 3.3-6). Het discriminerend vermogen bleek voldoende. De opgaven waren niet te makkelijk maar ook niet te moeilijk.

(20)

3.4 Dataverwerking en analyse

De databronnen bestaan uit:

a) Uitwerkingen van de opgaven (17x schriftelijk, één leerling was afwezig) b) Video opnamen van hardopdenk-sessies (vijf totaal)

Nadat de leerlingen de opgaven hadden gemaakt zijn de schriftelijke uitwerkingen gecorrigeerd. Op basis van de onderzoeksvragen is een codering opgesteld (zie tabel 3.4-1). Elke probleem voortvloei-end uit het theoretisch kader is met een code van drie, vier of vijf letters aangegeven. De uitwerkin-gen van de leerlinuitwerkin-gen zijn zorgvuldig bekeken. Iedere fout overeenkomstig een van te voren beschre-ven probleem is met een code gemarkeerd. In een Excel bestand is geturfd per leerling en per opgave hoeveel keer een code voorkwam (zie bijlage 5).

De codering is zowel de-ductief als inde-ductief gedaan (Boeije, 2009). Deductief coderen wil zeggen dat de respon-sen gescand zijn op zoek naar de construc-ten die zijn beschreven in het theoretisch ka-der. Dit zijn dus

catego-rieën na aanleiding van het theoretisch kader en de onderzoeksvragen. Inductief coderen wil zeggen dat ook “nieuwe” constructen in de responsen zijn voorzien van een code. Dan werkt het coderen dus andersom. Aan de hand van de uitkomsten en uitwerkingen worden de categorieën bepaald. Om de betrouwbaarheid van de coderingen te verhogen zijn tien uitwerkingen van leerlingen gecor-rigeerd en voorzien van codering door een collega. Onderzoeker heeft dezelfde tien ook gecorgecor-rigeerd en gecodeerd. Het bleek dat ruim 80% van de codering overeen kwam. De verschillen in codering betrof voornamelijk fouten die gecodeerd waren met SYM en NOT. Het bleek dat de grens tussen beide fouten dun is. Het is niet altijd duidelijk bij een fout antwoord of dat komt door problemen met herkenning van symbolen of dat het ligt aan de functienotatie.

Naast de schriftelijke data zijn er ook observaties (vastgelegd op video met een camera) van de leer-lingen terwijl zij het opgavenblad maken. Zij deden dit hardop denkend. Het voordeel van hardop denken (Schellings, 2011) boven stimulated recall is dat je de “gedachte” echt pakt op het moment. Terwijl bij stimulated recall er een kans bestaat dat de leerling een andere gedachtegang weergeeft dan van het moment van het maken van de opgave. Het nadeel is wel dat er veel van een leerling wordt gevraagd. Hij moet tegelijkertijd nadenken én zijn gedachte weergeven. In dit onderzoek is het hardop denken een bewuste keuze omdat het juist gaat om de gedachtegang op “het moment”.

(21)

4 Resultaten

In dit hoofdstuk worden eerst de opmerkelijkste resultaten van leerling 4 en leerling 5 apart weerge-geven omdat zij de opgaven hebben gemaakt met het hardopdenkprotocol (Schellings, 2011). Tevens zijn hun resultaten meegenomen in de dataverwerking en analyse. In de tweede paragraaf volgen de resultaten die niet van te voren waren bezien, de zogenaamde inductieve problemen. Ten slotte worden de resultaten weergegeven en geanalyseerd van alle zeventien leerlingen uit de onderzoeks-groep.

4.1 Leerlingen met hardopdenkprotocol

Leerling 4 is zwak (zie figuur 4.1-1) en leerling 5 is sterk (zie figuur 4.1-2). Zij hebben het definitieve opgavenblad gemaakt met behulp van het hardopdenkprotocol (Schellings, 2011). Bij leerling 4 kwam uit de uitwerking naar voren dat haar meeste fouten zitten in het niet kunnen koppelen en/of

her-kennen van verschillende represen-taties van een functie. Zij maakt deze fout vijf keer. Daarnaast maakt zij de meeste fouten door het niet begrijpen van symbolen in formules en door het niet (her)kennen van verschillende functie-notaties (zie figuur 4.1-3). Tevens maakt zij een fout die niet van te voren was voorzien en zodoende ook niet gecodeerd was. Bij de inductieve codering wordt dit alsnog meegenomen. Het betreft het vergeten van een deel van het antwoord. Leerling 4 laat dit duidelijk zien in haar uitwerking op opgave 2. Diverse punten vergeet zij aan te geven in de grafiek. Zij geef één juist antwoord maar vergeet een tweede, derde en zelfs een vierde punt aan te geven (zie figuur 4.1-4).

Hoewel leerling 5 de test het beste heeft gemaakt van alle leerlingen tot nu toe springt bij hem ook de fout van het niet kunnen koppelen en/of herkennen van verschillende representaties van een functie eruit. Hij heeft de code REP zes maal ten opzichte van de in totaal acht gemaakte fouten.

4.1-1 Leerling 4 4.1-2 Leerling 5

(22)

4.2 Inductief coderen

Bij het corrigeren van de uitwerkingen en het beluisteren van de observaties (video opnamen) ko-men er ook resultaten naar voren die niet waren voorzien. Omdat het interessant is om te zien welke fouten er worden gemaakt buiten de onderzoeksvragen om is er ook een inductieve codering opge-steld. Deze inductieve codering is in een apart Excel bestand weergegeven (zie tabel 4.2-1). In het werk van de eerste vijf leerlingen kwam steeds hetzelfde inductieve probleem naar voren, namelijk: het vergeten van antwoorden. Zo moest er bij opgave 2 in de grafiek het punt 𝑦 = 0 aangewezen worden. Beide parabolen hebben twee snijpunten met de 𝑥 − 𝑎𝑠. Vaak werd slechts één van de vier snijpunten aangegeven. In de video opnamen kwam naar voren dat de stof was “weggezakt” of dat ze zo’n grafiek of formule echt nog nooit gezien hadden. Enkele leerlingen vertelden dat ze die stof waarschijnlijk nog zouden krijgen in 4- of 5-havo.

probleem Inductief Code

Stof die de leerling nog niet heeft gehad (volgens de leerling) NEW

2 richtingscoëfficiënten verkeerd vergelijken RICO2

Te veel antwoorden (antwoorden die overbodig en fout zijn) VEEL

Gedeeltelijk antwoorden vergeten VER

Vergelijking onjuist opgelost VERG

Weet niet meer hoe iets te berekenen (=weggezakte kennis) WEET

4.3 Overige leerlingen……….

In deze paragraaf worden per opgave de resultaten van de zeventien leerlingen (zie figuur 4.3-1) gepresenteerd. Gekozen is om de resultaten per opgave weer te geven en niet per onderzoeksvraag omdat er opgaven zijn die meerdere onderzoeksvragen dekken. Een aantal voorbeelden van uitwer-kingen van leerlingen verduidelijken problemen in het functiebegrip. Uitspraken van de twee leer-lingen die de opgaven maakten met behulp van het hardopdenkprotocol (Schellings, 2011) maken het denkproces inzichtelijk.

4.2-1 Tabel inductieve codering

(23)

Wat is er moeilijk aan functies? Hayet Schoep - 18/7/2016 23 3 4 0 2 3 3 0 2 3 4 3 3 4 0 4 2 2 rep Analyse leerlingwerk (n=17)

4.3.1 Koppelen representaties grafiek-formule-titel

De eerste opgave (zie figuur 4.3-2) gaat over het bij elkaar zoeken van steeds drie repre-sentaties van een functie. Het betreft een grafiek, een for-mule en een titel.

In deze opgave werd op een één soort fout getoetst, na-melijk: Het foutief koppelen van verschillende representa-ties van funcrepresenta-ties (gecodeerd als REP). In figuur 4.3-3 is een analyse weergegeven van het aantal fouten dat per leerling is gemaakt in deze opgave. Elke (gekleurde) staaf geeft een leerling weer. Het getal correspondeert met het aantal fouten in de opgave. Een vier betekent dat de leerling maar één grafiek met de juiste formule en titel heeft weten te

koppelen. Er waren maar drie leerlingen die deze opdracht foutloos hebben gemaakt. De modus is drie. Drie fouten kwam zes keer voor. Vier fouten kwam vier keer voor. Ruim de helft van de leerlingen (58%) had dus drie of vier fout.

Bekijken we welke representatie het beste werd herkent en ook door alle zeventien leerlingen juist werd gekoppeld aan een formule en titel dan is dat grafiek 5 /𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏/ lineaire functie. 100% van de leerlingen herkennen de verschillende representaties van een lineaire functie. Inzoomend op de ove-rige resultaten valt op dat de representaties van een kwadrati-sche functie maar door 29% van de leerlingen werd herkent en juist gekoppeld. Leerlingen koppelen de grafiek van de

para-bool aan de formule 𝑦 = 𝑥3 (29%) of aan de formule 𝑦 = 𝑏 ∙ 𝑔𝑥 (18% ). Een kleiner deel van de leer-lingen dacht aan de formule 𝑦 = 1_𝑥 (12%). Qua titel werd de kwadratische functie het meest als ex-ponentiele functie bestempeld (35%). Leerling 1 geeft aan dat grafiek nr. 1(=parabool) hoort bij de for-mule van y = x3 en dat de titel ”exponentiele functie” zou zijn. Het exponentieel zijn zorgt er volgens deze leerling voor dat de grafiek een para-bool is. In totaal maakt deze leerling drie representatie fouten (zie figuur 4.3-4).

4.3-2 Opgave 1: verschillende representaties van een functie

4.3-3 Aantal REP fouten per leer-ling

(24)

Wat is er moeilijk aan functies? Hayet Schoep - 18/7/2016 24 De exponentiele-, de machts- en de gebroken-functie werden veel door elkaar gehaald. Leerlingen gaven aan deze ooit wel eens gezien te hebben maar nu niet meer precies wisten wat voor functie het was. Leerling 4 maakte tijdens het maken van de opgave de volgende opmerking: “Die heb ik ooit zelf gezien (grafiek 3 machtsfunctie)…maar ik ben het echt vergeten…ik ga nog even verder met gok-ken…dan doe ik b (=kwadratische functie) bij grafiek 3 en dan nog een formule…dan gok ik op 𝑦 = 𝑎𝑥2_{+ 𝑏𝑥 + 𝑐". (min. 16.57)}

Leerlingen wijten hun grote aantallen fouten aan weggezakte kennis (zie figuur 4.3-5). Leerling 5 zegt hierover: “Wat is dat dan…dat is lastig…ja, ik herken hem niet. Ik heb hem natuurlijk wel eens gezien maar het is een beetje weggezakt”(min. 03.40).

Uit de resultaten is af te leiden dat leerlingen moeite hebben met het koppelen van representaties. Een mooi voorbeeld hiervan is de reactie van een sterke leerling (leerling 5) over de formules, nadat hij de lineaire functie goed had gekoppeld, zei hij: “De rest zijn allemaal exponentiële formules want er zitten heel veel kwadraten bij” (min. 01.50).

Naast het niet kunnen koppelen van de juiste representaties wordt ook duidelijk dat deze leerling de verschillende begrippen zoals kwadraat en exponentiele formules door elkaar haalt. Hij noemt de derdemachtsfunctie een kwadraat en blijkbaar denkt hij dat de exponent in de exponentiele formule ook kwadraat heet.

(25)

Wat is er moeilijk aan functies? Hayet Schoep - 18/7/2016 25 sym 41% not 24% new 3% veel 1% ver 22% verg 2% weet 7% analyse leerlingwerk (n=17)

4.3.2 Problemen met symbool gebruik en functie-notaties

Opgave 2 (figuur 4.3-6) gaat over het kunnen lezen/begrijpen van symbolen in formules en het (her)kennen van verschillende notaties van functies. De leerling moet in de figuur aangeven waar verschillende punten zich bevin-den (a t/m e) en bij opgave f moeten zij aangeven wat de waarde is van 𝑓(1) en een tweetal vergelijkingen oplossen.

In de uitwerkingen van deze opgave komen zeven categorieën fouten voor. Twee daarvan zijn deduc-tief van aard de overige inducdeduc-tief. De deductieve fouten te weten “het niet begrijpen van symbolen in formules” (SYM) en “het niet (her)kennen van verschillende functie notaties” (NOT) komen het meest voor. Bij elkaar goed voor 65% van alle voorkomende fouten (zie figuur 4.3-7). Opvallend was dat bijna geen één leerling raad wist met de opgave waarbij een nul in de opgave zat zoals 2a/2b/e. Leerling 4 zei over opgave a en b het volgende: “Nou volgens mij staat 𝑓(0) er niet op” (min. 09.28) respectievelijk “ 𝑓(𝑥) = 0 is denk ik het laagste punt van de parabool” (min. 10.40).

Opgave 2d is door twaalf leerlingen (71%) foutloos gemaakt. Het probleem met opgave 2c was vooral dat de leerlingen alleen het punt (1,-1) aangaven maar het punt (3,-1) verga-ten. Van de zeventien leerlingen gaf 59% maar één antwoord in plaats van twee. Het vergeten van antwoorden speelde ook bij opgave 2b en 2e (zie figuur 4.3-8). Hier gaven 29% respectievelijk 41% van de leerlingen maar één antwoord en vergaten de overige antwoorden.

Opgave 2f is slecht gemaakt. Van de zeventien leerlingen hebben dat er twee foutloos gedaan. Twee leerlingen wisten de methode wel maar hebben de vergelijkingen ver-keerd uitgewerkt. De overige dertien leerlingen gaven aan de vergelijkin-gen niet te begrijpen. Dat wil zeg-gen: zij begrepen niet wat er stond of zij hadden geen idee van een uit-werkingsmethode door weggezakte kennis. Twee leerlingen beweerden

4.3-6 Opgave 2: aangeven van punten in de grafiek en het oplossen van vergelijkingen.

4.3-8 Uitwerking van Leerling 4. 4.3-7 Percentage per soort fout

(26)

Wat is er moeilijk aan functies? Hayet Schoep - 18/7/2016 26 nog nooit zoiets gezien te hebben. Leerling 8 begreep de vraag niet goed en dacht dat de functie 𝑓(𝑥) = 5 ging over de parabool 𝑓 in het plaatje. De vraagstelling zorgde bij deze leerling voor ver-warring (zie figuur 4.3-9).

In de uitwerkingen van leerlingen is goed te zien dat zij niet altijd weten dat bij een functie geldt dat een beeld één origineel kent. Als gevolg daarvan verwisselen leerlingen bijvoorbeeld 𝑥 en 𝑦 in een formule. Leerling 4 en 5 hebben dit probleem ook, getuige de volgende uitspraken: “𝑔 tussen haak-jes 𝑝 is 2 keer 11 in het kwadraat min 3” (min. 15.18). (opgave is 𝑔(𝑝) = 11) en “hiermee (𝑔(4)) wordt toch gewoon bedoelt 𝑦 = 4 zeg maar…?”(min. 07.07).

Leerlingen geven ook aan iets te moeten berekenen bij opgave f. De opdracht is bereken 𝑓(1). Zij weten niet wat te doen en wat precies te berekenen. Leerling 4 zei over deze opgave: “ Maar hoe doe je dat …..bereken 𝑓(1)?”…”Ja die 1 moet dan op die 𝑥 staan, volgens mij…Ja ik moet nog wel iets berekenen…maar ik weet niet meer hoe… 𝑓 is toch 𝑦?” (min. 13.18)

Leerling 12 geeft aan een functievoorschrift als 𝑓(𝑥) = 5 nog nooit gezien te hebben. Zij weet niet wat ze ermee aan moet. De vergelijking kan de leerling wel uitschrijven maar niet oplossen. Hier zie je dat het substitueren op zich geen probleem is maar het verkeerd uitwerken van de vergelijking zorgt ervoor dat de leerling geen juist antwoord op de vraag kan geven. (zie figuur 4.3-10).

4.3-9 Uitwerking f van leerling 8

(27)

Wat is er moeilijk aan functies? Hayet Schoep - 18/7/2016 27 lin 29% rico 37% start 3% rico2 3% ver 9% verg 5% weet 14% analyse leerlingwerk (n=17)

4.3.3 Problemen met symbool gebruik en het opstellen van lineaire vergelijkingen

In deze opgave (zie figuur 4.3-11) wordt gevraagd of de lijnen L en N evenwijdig lopen. De beant-woording moet onderbouwd worden met een berekening. De lijnen lijken evenwijdig te zijn maar zijn

het niet.

De meest voorkomende fout was het niet kunnen opstellen van de richtingscoëfficiënt (37%). De leerlingen gingen sterk op het plaatje af. Het antwoord was vaak op grond van het plaatje “ja, de lijnen lopen evenwijdig, want dat zie ik”. Echter ze wisten niet meer hoe ze dat met een berekening moesten onderbouwen (zie figuur 4.3-12) Leerling 5 zei: “Ik kan me niet goed herinne-ren wat voor bere-kening erbij hoort … niet uit mijn hoofd. Ik kan me niet herinneren dat ik dat wel eens gedaan heb. Ik heb het wel eens gehad met coördinaten berekenen enzo. Als ik het in het boek zie weet ik het wel…nu zou ik het even niet weten” (min. 15.49).

14% van de leerlingen gaf aan dat die kennis was weggezakt. Leerlingen die een lineaire formule probeerden op te stellen kon-den dat in 29% van de gevallen niet op de juiste manier doen (zie figuur 4.3-13). De fout (SYM) was niet terug te vinden in de uit-werkingen bij deze opgave.

In 3% van de gevallen was de leerling wel in staat een juiste bere-kening te geven van de richtingscoëfficiënt maar omdat op het plaatje leek alsof de lijnen evenwijdig liepen en dus de richtings-coëfficiënten ook dicht bij elkaar lagen trok de leerling de

ver-keerde conclusie door te zeggen dat de richtings-coëfficiënten ongeveer gelijk waren en de lijnen dus evenwijdig liepen (zie figuur 4.3-14). Dat ant-woord is onjuist. Twee leerlingen (12%) hebben de opgave juist gemaakt.

4.3-14 Uitwerking leerling 11 (juiste berekening, onjuiste conclusie) 4.3-12 Uitwerking van leerling 5

4.3-11 Opgave 3: het opstellen van de richtingscoefficient om evenwijdigheid aan te tonen.

(28)

Wat is er moeilijk aan functies? Hayet Schoep - 18/7/2016 28 not ver verg weet

3

1 2 1

absoluut aantal fouten per categorie

4.3.4 Leerling kennis over functie-notaties

Opgave 4 (zie figuur 4.3-15) gaat over het herkennen van verschillende functienotaties. Bij deze op-gave is de functie 𝑝(𝑡) gegeven en gevraagd wordt welke uitgewerkte functie daarmee overeenkomt.

Deze opgave is het best gemaakt van alle opgaven. In totaal zijn er maar zeven fouten gemaakt door vier leerlingen (zie figuur 4.3-16). Twee leerlingen begrepen de notatie niet en hebben daarnaast de vergelijking onjuist opgelost (zie figuur 4.3-17). Verder was er een leerling die wel de vergelijking juist uit de haakjes kon halen maar vervolgens vergat een antwoord te kie-zen. En er was een leerling die de hele notatie van de vergelij-king niet herkende en ook niet begreep. Daardoor wist hij niet wat te doen en welk antwoord te kiezen. 76% van de leerlingen heeft de vraag goed gemaakt.

Leerlingen die de opgave juist hadden beantwoord gingen twijfelen over de juiste keuze. Leerling 4 zei hierover toen haar werd gevraagd “je bent er wel zeker van dat je het juist berekend hebt?“: “Nou ja nu eigenlijk niet meer… omdat het nou eigenlijk zo makkelijk is...je denkt heb ik het wel goed gedaan?”(min. 21.17).

Het probleem van het niet herkennen van verschillende functie notaties kwam uit de resultaten van deze opgave niet goed naar voren. Leerlingen twijfelen er niet aan dat 𝑝(𝑡) vervangen kan worden door 𝑦. Misschien was er voor twijfel geen ruimte door de vraagstelling van de opgave.

4.3-15 Opgave 4: welke uitgewerkte formule hoort bij 𝒑(𝒕)?

4.3-16 Analyse leerlingenwerk (n=17)

(29)

Wat is er moeilijk aan functies? Hayet Schoep - 18/7/2016 29 rep 6% sym 12% not 12% nul 29% neg 15% new 9% weet 17%

percentage soort fout

4.3.5 Leerling kennis over functie-notaties, getal nul en negatieve getallen

Deze vijfde opgave (zie figuur 4.3-18) gaat over getalbegrip en functie-notatie. Bij 5a wordt ge-vraagd of de gegeven wor-telfunctie bestaat. De wortelfunctie bestaat maar het gaat om het getal -1 onder de wortel. Hoe gaan leerlingen daarmee om? De grafiek is weliswaar een wortelfunc-tie maar één die niet pas-send is bij de functie. Heeft dit invloed? Opgave 2 gaat over functie-notatie. De leerling moet iets zeggen over de gegeven lineaire functie. De grafiek is niet de grafiek van de gegeven functie. De laatste opgave gaat over het getal nul. Begrijpen leerlingen wat er staat en kunnen zij dit punt aangeven in de grafiek?

Bij opgave 5a heeft 15% van de leerlingen geantwoord dat een wortel niet kan worden getrokken uit een negatief getal. Zij geven aan dat door het getal “-1” onder de wortel, de functie niet kan bestaan (zie figuur 4.3-19). Twee leerlingen dachten dat door het getal “-1” onder de wortel de grafiek naar min oneindig zou gaan. Hun conclusie was daarom dat de functie niet bestond om-dat het afgebeelde grafiekje naar plus oneindig zou lopen. Opgave 5b is het bes-te gemaakt. De meesbes-te leerlingen konden wel iets zeggen over de functie 𝑔. Opvallend was wel dat zij niet in de gaten hadden dat de afgebeel-de grafiek niet functie 𝑔 was. Zo zeiafgebeel-den leerlingen bijvoorbeeld dat het een stijgenafgebeel-de functie was en dat het startgetal 4 was. Opgave 5c was lastig voor de

meesten. Vooral de fouten SYM en NOT kwamen hier aan de orde (zie figuur 4.3-20). Er waren drie leerlingen die echt de nul punten van de parabool konden aanwij-zen. De overige leerlingen (29%) begrepen niet goed wat 𝑦 = 0 is of hadden er een verkeerd beeld bij (zie figuur 4.3-21). Wat veel voorkwam was dat leerlingen dachten dat de oorsprong werd bedoelt. Vijf leerlingen hadden het idee dat met het punt 𝑦 = 0 de top van de parabool werd bedoelt of de as van symmetrie. 9% van de leerlingen gaf aan één van de drie opgaven (5a/b/c)

nog nooit te hebben gezien. Eén leerling dacht dat deze stof nog zou komen in 5-havo.

4.3-18 Opgave 5: getalbegrip, met name getal nul en negatieve getallen

4.3-19 Uitwerking van leerling 13

(30)

Wat is er moeilijk aan functies? Hayet Schoep - 18/7/2016 30 De uitspraken van de leerlingen 4 en 5 waren bij deze opgave opvallend. Hieronder staan ze per op-gave (a/b/c) weergegeven. Het komt duidelijk naar voren dat de leerlingen niet goed begrijpen wat ze lezen. Of de wortelfunctie bestaat, weet de ene leerling niet goed en de andere weet zeker dat hij niet bestaat op grond van een berekening met gegevens uit de grafiek van een andere wortelfunctie. Er wordt niet gezien dat de gegeven functie en de grafiek verschillende functies zijn.

Min. 21.58: Antwoord op 5a “Ja, hij ziet er gewoon normaal uit…het is niet dat ik dat nog nooit heb gezien ofzo…dus ik denk dat het wel bestaat maar ik weet niet waarom”.

Min. 18.46: Antwoord op 5a “Ik zie in de grafiek dat de grafiek loopt door het punt (4,2) en als ik dat invul in de formule klopt het niet. Dus de functie bestaat niet”.

Het antwoord op opgave 5b wordt door beide leerlingen onjuist gegeven. Hoewel de eerste leerling begrijpt dat de richtingscoëfficiënt -3 is heeft ze niet goed begrepen wat het startgetal precies is. De tweede leerling gaat voorbij aan de gegeven functie en zegt iets over de functie in de grafiek. Wat hij zegt is juist maar beantwoord daarmee niet de vraag.

Min. 23.10: Antwoord op 5b “Ik denk dat er elke keer 3 afgaan op de grafiek en dan 1 omhoog ofzo…?”

Min. 20.12: Antwoord op 5b “Het snijpunt met de y-as is 4 en het hellingsgetal is 1,5”.

Bij opgave 5c werd goed zichtbaar dat deze leerling een zeer onduidelijk beeld heeft van 𝑦 = 0. Waarschijnlijk bedoelt zij met haar uitspraak dat zij verwacht dat de grafiek met zijn top de oor-sprong raakt. Ook verward zij de 𝑥 en 𝑦 in de formule, afgaande op haar eindconclusie.

Min. 24.21: Antwoord op 5c “Je zou denken dat hij dan op het middelpunt ligt…maar daar ligt hij niet…dus ik denk dat het betekent dat hij op -7 ligt”.

(31)

Wat is er moeilijk aan functies? Hayet Schoep - 18/7/2016 31 lineair Kwadratisch 100% 29% 71% 41%

Percentage juist gekoppeld

1v 1

rep weet

46

5

absoluut aantal fouten per soort

rep weet

4.3.6 Koppelen representaties grafiek-formule-tabel

Deze laatste opgaven (zie figuur 4.3-22) kre-gen de leerlinkre-gen op een apart opgavenblad nadat zij de vorige vijf opgaven hadden ge-maakt. Het idee daarachter was dat leer-lingen niet opnieuw nog even naar opgave 1 zouden kijken om deze misschien te verbete-ren omdat ze door de tabellen meer inzicht zouden hebben in de verschillende represen-taties van functies. De represenrepresen-taties grafiek, formule en tabel zijn de meest gebruikte in de wiskunde methode op scholen. Het zou leerlingen bekent moeten voorkomen. Twee leerlingen gaven echter aan niet meer te weten hoe zij kunnen berekenen of zien dat een tabel bij een bepaalde grafiek of formule hoort. Eén van deze twee leerlingen gaf zelfs vier keer aan (bij vier verschillende functies dus) het niet meer te weten. Verder zijn er 46 REP

fouten gemaakt in deze opgave (zie figuur 4.3-23). Dat is gemiddeld 2,7 fout per leerling. Dat betekent dat de leer-lingen bijna drie van de vier tabellen niet konden koppelen aan een grafiek en/of een formule. Er waren drie leerlingen die de opgave foutloos hadden gemaakt. Daarbij is één leerling die ook opgave 1 van het eerste opgavenblad fout-loos had gemaakt.

Opvallend is dat er 46 REP fouten zijn gemaakt tegen 42 REP fouten in opgave 1 van het eerste opgavenblad. De lineaire functie werd in 71% van de gevallen juist gekoppeld tegen 100% in opgave 1. In 41% van de gevallen zijn de verschillende representaties van de kwadratische functie

juist gekoppeld tegen 29% van de gevallen in opgave 1 (zie figuur 4.3-24).

Twee leerlingen merkte op dat bij grafiek D geen enkele tabel paste omdat die grafiek 2 tabellen nodig zou heb-ben. Leerling 5 zei daarover: “En bij D daar zou je 2 ta-bellen moeten hebben hè? Daar heb je 2 lijnen” (min. 26.34).

4.3-24 Percentage juiste koppeling kwadrati-sche- en lineaire-functie in opgave 1 vs 1V 4.3-22 Opgave 1 van het vervolgblad (1V). Zoek 3 representaties bij elkaar.

(32)

In 11% van de gevallen wisten de leerlingen zich totaal niet meer te herinneren hoe je moest berekenen of zien dat een tabel bij een bepaalde grafiek hoorde (zie figuur 4.3-25). Het resultaat is dat de leerlingen gok-ken en zodoende vaak alle vier de tabellen onjuist koppelen.

Andere leerlingen kunnen prima de formule en de tabel koppelen met behulp van berekeningen maar zijn niet in staat een juiste grafiek te kiezen. Leerling 4 is hier een goed voorbeeld van en zij zegt: “Ik zou eerst kijken naar de formules, of er iets gemeenschappelijks is met de tabellen…ik zet dan 1 in de formule en kijk wat eruit komt”. (zij rekent vervolgens met 𝑥 = 1 in formule 1 en er komt 2,5 uit. Haar conclusie is dat het klopt. Daarna gokt zij grafiek A erbij (=parabool)) (min. 26.52).

Net als in opgave 1 van het eerste blad worden er ontzettend veel fouten gemaakt in het koppelen van de verschillende representaties. Leerlingen hebben niet het overzicht wat een expert bezit. Zij zijn (nog) niet in staat de verschillende representaties van een functie te herkennen aan de hand van de kenmerken die elke functiegroep rijk is.

(33)

5 Conclusies en discussie

5.1 Beantwoording onderzoeksvragen

Aan het begin van dit afstudeeronderzoek stonden de volgende vragen centraal:

Hoofdvraag

“Waarop lopen leerlingen vast in hun begrip bij het werken met functies met een focus op lineaire en kwadratische functies?”

Deelvragen

E. Waarop lopen leerlingen vast bij het werken met het getal nul en negatieve getallen?

Deze vragen worden hier beantwoord, te beginnen met de deelvragen.

Deelvraag A: Representaties van functies

Leerlingen ondervinden veel problemen bij het herkennen en koppelen van verschillende representa-ties van funcrepresenta-ties. De vaardigheid die een expert bezit om moeiteloos een grafiek te zien (in zijn hoofd) bij een formule of tabel bezit een leerling in 4-havo nauwelijks. Uit het onderzoek komt naar voren dat leerlingen bij lineaire functies beter in staat zijn de grafiek, formule en titel te herkennen als eenzelfde functie dan een grafiek, formule en een tabel. Bij de kwadratische functie lag dit precies andersom. Hoewel leerlingen het slechte resultaat wijten aan weggezakte kennis is het onderliggend probleem het niet kennen van de kenmerken behorend bij een functiegroep. Tevens speelt het ont-breken van een totaal functiebeeld leerlingen parten. Zij zien de representaties teveel als losse ele-menten zonder enige verbinding. Herkenning ontbreekt waardoor een koppeling uitgesloten is.

Deelvraag B: Symboolgebruik

Problemen die leerlingen ondervinden door symboolgebruik in formules zijn uit het onderzoek niet eenduidig naar voren gekomen. Het was de bedoeling dit probleem zichtbaar te maken door middel van opgave 2 en 3. Opgave 2f waarin het gebruikelijke symbool 𝑥 (voor de variabele) is vervangen door het symbool 𝑝 is zeer slecht gemaakt. Door het relatief onbekende symbool 𝑝 werden leer-lingen onzeker in een te kiezen oplossingsstrategie, maar of het symbool de oorzaak is van de slechte resultaten is niet hard te maken. Bij opgave 3 moest de richtingscoëfficiënt worden berekend om antwoord te kunnen geven op de vraag. Uit de literatuur komt naar voren dat de formule voor de richtingscoëfficiënt ∆𝑦_∆𝑥 problemen geeft als de variabelen 𝑥 en 𝑦 worden vervangen door bijvoor-beeld 𝑝 en 𝑞. Uit het onderzoek kon dit niet vastgesteld worden. In plaats van 𝑥 en 𝑦 andere symbo-len te geven zijn ze helemaal niet expliciet genoemd. Leerlingen waren überhaupt slecht in staat de richtingscoëfficiënt te berekenen. Zij gaven aan de methode vergeten te zijn maar de oorzaak zou kunnen liggen in het niet herkennen van de (in dit geval ontbrekende) symbolen.