De rol van representaties bij het oplossen van problemen
A . v a n S t r e u n
M a t h e m a t i s c h I n s t i t u u t R i j k s u n i v e r s i t e i t G r o n i n g e n Summary
As a r e s u l t o f a c h a n g e i n t h e f o u r t h - f o r m m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m o f t h e s e c o n d a r y s c h o o l many m a t h e m a t i c s t e a c h e r s a r e s u p p o s e d t o t e a c h u s e f u l a p p l i c a t i o n s o f m a t h e m a t i c s t o r e a l p r o b l e m s .
What a r e t h e e x p e r i e n c e s i n t h e r e s e a r c h p r o j e c t ' H e u r i s t i c E d u c a t i o n o f M a t h e m a t i c s ' ? How c a n t h e t e a c h e r s t i m u l a t e a n d m o t i v a t e t h e n o n - s p e c i a l i s t s t u d e n t s ? W h i c h a p p l i e d p r o b l e m - s o l v i n g a b i l i t i e s s h o u l d be d e v e l o p e d ?
The f u n c t i o n o f f o u r r e p r e s e n t a t i o n s i s d i s c u s s e d : -«the v e r b a l d e s c r i p t i o n o f a r e a l s i t u a t i o n - t h e g r a f i c a l r e p r e s e n t a t i o n
- t h e n u m e r i c a l r e p r e s e n t a t i o n - t h e a n a l y t i c a l r e p r e s e n t a t i o n .
P r o b l e m t r a n s f o r m a t i o n c o u l d o f t e n be c h a r a c t e r i z e d a s t r a n s l a t i o n f r o m o n e r e p r e s e n t a t i o n t o a n o t h e r r e p r e s e n t a t i o n .
Het p r o j e c t ' H e u r i s t i s c h w i s k u n d e - o n d e r w i j s '
Het p r o j e c t ' H e u r i s t i s c h w i s k u n d e - o n d e r w i j s ' i s o p g e z e t d o o r de w e r k - g r o e p v o o r de d i d a c t i e k v a n de w i s k u n d e v a n h e t M a t h e m a t i s c h I n s t i t u u t i n G r o n i n g e n . De p r o j e c t l e i d e r i s A . v a n S t r e u n , e x t e r n e b e g e l e i d e r s z i j n A.D.de G r o o t e n M.van d e r Kamp. De p r o b l e e m s t e l l i n g i s a l s v o l g t samen t e v a t t e n :
I s h e t m o g e l i j k om h e u r i s t i s c h w i s k u n d e - o n d e r w i j s t e o n t w i k k e l e n , w a a r i n l e e r l i n g e n b e t e r l e r e n n i e u w e p r o b l e m e n met b e h u l p v a n w i s k u n d e o p t e l o s s e n , z o d a t de t r a n s f e r v a n v e r w o r v e n w i s k u n d i g e k e n n i s e n v a a r d i g h e d e n n a a r n i e u w e p r o b l e e m s i t u a t i e s b i n n e n de w i s k u n d e e n d a a r b u i t e n w o r d t v e r b e t e r d ?
I n de c u r s u s s e n '82-'83 e n '83- '84 w o r d t h e t o n t w i k k e l i n g s o n d e r z o e k i n
V a n S t r e u n 3 9 v i e r k l a s s e n 4-v.w.o. u i t g e v o e r d , w a a r b i j s y s t e m a t i s c h w o r d t o n d e r -
z o c h t w a t de m o e i l i j k h e d e n z i j n v a n de l e e r l i n g e n e n w a t de e f f e c t e n z i j n v a n h e t o n d e r w i j s . Omdat h e t p r o j e c t z i c h a f s p e e l t op de g r e n s v a n h e t ' t r a d i t i o n e l e ' w i s k u n d e - o n d e r w i j s i n de o n d e r b o u w v a n h e t v.w.o. e n e e n m e e r op t o e p a s s e n g e r i c h t w i s k u n d e - o n d e r w i j s i n de b o v e n b o u w v a n h e t v.w.o. ( h e t v a k w i s k u n d e A) w o r d t v e e l a a n d a c h t b e s t e e d a a n h e t l e r e n t o e p a s s e n v a n w i s k u n d e . M e t name l e e r l i n g e n d i e a l l e e n h e t v a k w i s k u n d e a l s e x a c t v a k i n h u n v a k k e n p a k k e t h e b b e n , s t a a n i n d i t a r t i k e l c e n t r a a l .
I n t e r n e e n e x t e r n e r e p r e s e n t a t i e s
Z o a l s e l d e r i s b e a r g u m e n t e e r d ( V a n S t r e u n 1 9 8 2 , 1 9 8 3 ) i s h e t o n d e r z o e k n a a r de o n t w i k k e l i n g v a n d e m e n t a l e v o o r s t e l l i n g , d i e e e n o p l o s s e r v a n e e n p r o b l e e m s i t u a t i e h e e f t , b i j z o n d e r i n t e r e s s a n t v o o r de d i d a c t i e k v a n h e t l e r e n o p l o s s e n v a n p r o b l e m e n . D i e i n t e r n e m e n t a l e r e p r e s e n t a - t i e v a n de o p l o s s e r o m v a t h e t g e h e e l a a n ideeën o v e r d e s i t u a t i e e n i s n i e t r e c h t s t r e e k s t o e g a n k e l i j k v o o r o n d e r z o e k . H e t k l a s s i e k e o n d e r z o e k n a a r de o n t w i k k e l i n g v a n de " t o t a l p r o b l e m c o n c e p t i o n ' (De G r o o t , 1 9 8 1 ) b i j s c h a k e r s o f n a a r de ( p s y c h o l o g i s c h e ) o n t w i k k e l i n g v a n h e t p r o b l e e m ( D u n c k e r , 1 9 3 5 ) m a a k t e g e b r u i k v a n h a r d o p - d e n k e n - p r o t o c o l l e n . P a i g e e n S i m o n ( 1 9 6 6 ) i n t e r v i e w d e n l e e r l i n g e n n a h e t o p l o s s e n v a n i n g e k l e d e v e r g e l i j k i n g e n om z o e e n e x t e r n e r e p r e s e n t a t i e t e k u n n e n r e c o n s t r u e r e n v a n e e n i n t e r n e r e p r e s e n t a t i e . O p l o s s e r s , d i e e e n v i s u e e l b e e l d v a n de p r o b l e e m s i t u a t i e h a d d e n , s l a a g d e n e r b e t e r i n de v o o r g e l e g d e o p g a v e n o p t e l o s s e n d a n a n d e r e n , d i e g e e n v i s u e e l b e e l d b e z a t e n . I n h e t o n d e r z o e k n a a r o p l o s s i n g s p r o c e s s e n b i j e e r s t e j a a r s s t u d e n t e n w i s k u n d e ( V a n S t r e u n , 1 9 8 3 ) i s e v e n e e n s g e b r u i k g e m a a k t v a n de a n a l y s e v a n h a r d o p - d e n k e n - p r o t o c o l l e n e n i n t e r v i e w s a c h t e r a f v o o r de r e c o n s t r u c t i e v a n de o n t w i k k e l i n g v a n de m e n t a l e v o o r s t e l l i n g v a n de o p l o s s e r s .
I n d i t a r t i k e l w o r d t g e r a p p o r t e e r d u i t h e t o n t w i k k e l i n g s o n d e r z o e k i n 4-vwo ( ' 8 3 - ' 8 4 ) . G e d u r e n d e h e t g e h e l e s c h o o l j a a r z i j n v a n 1 2 0 l e e r - l i n g e n de s c h r i f t e l i j k e o v e r h o r i n g e n e n p r o e f w e r k e n g e a n a l y s e e r d op o p l o s s i n g s w e g e n . E r z i j n i n t e r v i e w s a f g e n o m e n , l e e r l i n g e n h e b b e n hun r e a c t i e s op h e t e i g e n w e r k o p g e s c h r e v e n e n h u n o p v a t t i n g e n o v e r wis-^
k u n d e e n h e t w i s k u n d e - o n d e r w i j s k e n b a a r g e m a a k t . De r o l v a n v e r s c h i l - l e n d e r e p r e s e n t a t i e s b i j h e t o p l o s s e n v a n p r o b l e m e n i s i n k a a r t g e - b r a c h t met h e t o o g op de b i j s t e l l i n g v a n h e t l e s m a t e r i a a l v o o r de d e f i n i t i e v e v e r s i e i n ' 8 4 - ' 8 5 . M e t name de g e b l e k e n e n d o o r l e e r l i n g e n g e r a p p o r t e e r d e b l o k k a d e s e n de m a n i e r w a a r o p l e e r l i n g e n d i e b l o k k a d e s o v e r w o n n e n , h a d d e n b i j z o n d e r e a a n d a c h t .
De v i e r r e p r e s e n t a t i e s
De o p g a v e n w a a r h e t h i e r om g a a t z i j n a l l e m a a l g e f o r m u l e e r d i n t e r m e n v a n e e n m i n o f m e e r h e r k e n b a r e o f v o o r s t e l b a r e s i t u a t i e . Ze k u n n e n a l s
R e p r e s e n t a t i e s t o e p a s s i n g e n v a n f u n c t i e s e n d i f f e r e n t i a a l r e k e n i n g w o r d e n g e k l a s - sificèerd. Wat d a t b e t r e f t v e r t o n e n d i e o p g a v e n o v e r e e n k o m s t e n met de b e k e n d e e n b e r u c h t e r e d a c t i e - o p g a v e n e n i n g e k l e d e v e r g e l i j k i n g e n . I n de t e r m i n o l o g i e w o r d t g e e n s t r i k t o n d e r s c h e i d g e m a a k t t u s s e n o p g a v e n e n p r o b l e m e n , omdat de g l i j d e n d e s c h a a l v a n r e p r o d u c e r e n v a n o p l o s - s i n g e n t o t h e t o p l o s s e n v a n p r o b l e m e n v e r s c h i l t v a n i n d i v i d u t o t i n d i v i d u ( V a n S t r e u n , 1 9 8 3 ) . O n z e a a n d a c h t g a a t u i t n a a r de r o l v a n de r e p r e s e n t a t i e s t i j d e n s h e t o p l o s s i n g s p r o c e s e n n a a r de m a t e w a a r i n e e n v e r t a l i n g n a a r e e n a n d e r e r e p r e s e n t a t i e h e l p t b i j h e t o v e r w i n n e n v a n b l o k k a d e s .
De i n d e p a r a g r a a f t i t e l b e d o e l d e v i e r r e p r e s e n t a t i e s k u n n e n h e t b e s t e a a n de h a n d v a n e e n v o o r b e e l d w o r d e n t o e g e l i c h t .
E e n p r o b l e e m
E e n t r e i n v e r t r e k t v a n P a r i j s e n L y o n e n h o u d t e e n c o n s t a n t e s n e l h e i d v a n 120 k m / u u r a a n .
E e n s u p e r s n e l l e t r e i n v e r t r e k t i n d e z e l f d e r i c h t i n g e e n k w a r t i e r l a t e r e n r i j d t met e e n c o n s t a n t e s n e l h e i d v a n 200 k m / u u r .
Op w e l k e a f s t a n d v a n P a r i j s z a l de s u p e r s n e l l e t r e i n d e e e r s t e t r e i n i n h a l e n ?
De o p l o s s e r k a n b i j d e z e g e g e v e n s i t u a t i e s c h r i j v i n g ( S ) a l r e d e n e r e n d i n de s i t u a t i e t o t e e n o p l o s s i n g k o m e n . D i e o p l o s s i n g i s e e n n u m e r i e k a n t w o o r d ( N ) , n a m e l i j k h e t a a n t a l k i l o m e t e r s v a n P a r i j s .
S S N
I n d i t v o o r b e e l d k a n z o ' n r e d e n e r i n g a l s v o l g t v e r l o p e n :
De s u p e r s n e l l e t r e i n h e e f t b i j v e r t r e k e e n a c h t e r s t a n d v a n J .120=30 k i l o m e t e r .
P e r u u r h a a l t h i j 80 km i n , d a t i s p e r m i n u u t 8 0 / 6 0 = 4/3 km. Na 30 : 4/3 = 22 m i n u u t p a s s e e r t de s u p e r s n e l l e t r e i n de e e r s t e t r e i n .
D a t i s op 22 x 2 0 0 / 6 0 = 75 km v a n P a r i j s .
De o p l o s s e r k a n o o k e e n t a b e l maken e n d o o r s y s t e m a t i s c h q e t a l l e n v o o r - b e e l d e n d o o r t e r e k e n e n t o t e e n o p l o s s i n g k o m e n .
S N N
B i j v o o r b e e l d :
t i j d i n m i n u t e n 0 15 30 4 5 40 35
a f s t a n d e e r s t e t r e i n 0 30 60 90 80 70 a f s t a n d t w e e d e t r e i n 0 0 50 100 . 3 i 66
V a n S t r e u n 4 1 De o p l o s s e r k a n e e n a a n t a l g e t a l l e n v o o r b e e l d e n d o o r r e k e n e n , e e n g r a -
f i s c h e v o c s t e l l i n g maken e n v e r v o l g e n s u i t de g r a f i e k h e t n u m e r i e k e a n t w o o r d a f l e i d e n .
S N G N
De o p l o s s e r k a n o o k b i j de g e g e v e n s i t u a t i e e e n a n a l y t i s c h e r e p r e s e n - t a t i e ( e e n v e r g e l i j k i n g , e e n f u n c t i e v o o r s c h r i f t , e e n f o r m u l e ) maken, waarmee de n u m e r i e k e o p l o s s i n g w o r d t b e p a a l d .
S A N
E e r s t e t r e i n : S = 1 2 0 t , t i n u r e n , S i n km.
Tweede t r e i n : 5 = 2 0 0 ( t - l / 4 ) , t i n u r e n , S i n km.
De t w e e d e t r e i n h a a l t de e e r s t e i n a l s 1 2 0 t = 2 0 0 ( t - 1 / 4 ) . D a t i s op t i j d s t i p t = 5/8 e n n a 1 2 0 . 5 / 8 = 75 km.
V i e r A - l e e r l i h q e n
W i j v o l g e n n u d e o n t w i k k e l i n g v a n v i e r l e e r l i n g e n met e e n A - p a k k e t ( a l l e e n w i s k u n d e a l s e x a c t e v a k ) i n 4-vwo t i j d e n s de c u r s u s '83-'84.
H e t z i j n S o n j a , M i e k e , Herman e n Wim. De e e r s t e d r i e z i j n met e e n o n v o l d o e n d e v o o r w i s k u n d e o v e r g e g a a n n a a r 4-vwo, Wim h a d e e n e i n d c i j - f e r 7 i n 3-vwo. I n k l a s 3 h e b b e n z i j i n h e t k a d e r v a n de k e u z e b e g e - l e i d i n g e v e n a l s h u n k l a s g e n o t e n e e n v r a g e n l i j s t v a n h e t C . I . T . 0 . i n g e v u l d o v e r h u n h o u d i n g t . o . v . h e t w i s k u n d e - o n d e r w i j s . ( K r e m e r s ,
1 9 8 0 , 1 9 8 1 ) . M i e k e s c o o r d e e x t r e e m n e g a t i e f op de s c h a a l " P l e z i e r i n w i s k u n d e ( l e s s e n ) " . Ook S o n j a s c o o r d e n e g a t i e f V e r g e l e k e n met de g r o t e m i d d e n m o o t . H e t was h a a r m i n s t g e l i e f d e v a k . S o n j a , M i e k e e n H e r m a n b e n a d r u k t e n a l l e d r i e de m o e i l i j k h e i d v a n en de a n g s t v o o r h e t v a k s t e r k e r d a n de g r o t e g r o e p v a n l e e r l i n g e n . A l l e e n H e r m a n v o n d h e t v a k w i s k u n d e r e d e l i j k r e l e v a n t , de b e i d e m e i s j e s e n Wim z a g e n h e t a n d e r s . T . a . v . de s c h a l e n " P l e z i e r " e n " A n g s t " was Wim e e n m i d d e n m o t e r .
T e s a m e n z i j n z i j r e d e l i j k r e p r e s e n t a t i e f v o o r de v e r s c h e i d e n h e i d Van de l e e r l i n g e n , d i e met e e n A - p a k k e t i n 4-vwo h e t v a k w i s k u n d e v o l g e n . U i t de v i e r p r o j e c t k l a s s e n i n de c u r s u s '83-'84 z i j n z o n o g w e l t i e n a n d e r e v i e r t a l l e n t e l i c h t e n , w a a r i n s o o r t g e l i j k e o p l o s s i n g s p r o c e s s e n e n o n t w i k k e l i n g e n z i j n op t e m e r k e n .
De e l e c t r i c i t e i t s r e k e n i n q
H o e w e l de e e r s t e g r a a d s f u n c t i e s i n k l a s 2- e n 3-vwo u i t g e b r e i d a a n de o r d e k o m e n , b l e e k i n h e t e e r s t e p r o j e c t j a a r ( ' 8 2 - ' 8 3 ) de a a n s l u i t i n g n a a r f o r m u l e s e n ( e e r s t e g r a a d s ) f u n c t i e s d i e e e n r e a l i s t i s c h e s i t u a t i e b e s c h r i j v e n , b i j z o n d e r m o e i z a a m t e v e r l o p e n . D a a r o m w e r d l e s m a t e r i a a l o n t w o r p e n , w a a r i n h e t f u n c t i e b e g r i p e n de i n t e r p r e t a t i e v a n a n a l y - t i s c h e m o d e l l e n ( f o r m u l e s , f u n c t i e v o o r s c h r i f t e n ) met o . a . v a s t e k o s t e n en v a r i a b e l e k o s t e n e x p l i c i e t a a n de o r d e kwamen. I n h e t e e r s t e ( d i a g - n o s t i s c h e ) t o e t s j e o v e r e e r s t e g r a a d s f u n c t i e s w e r d o n d e r z o c h t i n h o e - v e r r e de w i s k u n d i g e ( a n a l y t i s c h e ) t e c h n i e k e n ( b e k e n d u i t de o n d e r b o u w en o p n i e u w o p g e f r i s t ) ook f u n c t i o n e e r d e n b i j S - o p g a v e n .
V r a a g 3 t o e t s t de t e c h n i e k v a n h e t o p s t e l l e n v a n e e n f u n c t i e v o o r - s c h r i f t v a n e e n e e r s t e g r a a d s f u n c t i e a l s de coördinaten v a n t w e e p u n t e n v a n e e n l i j n g r a f i e k z i j n g e g e v e n . D i e s t a p
g i n g b i j a l l e v i e r l e e r l i n g e n f e i l l o o s .
D e z e l f d e t e c h n i e k k a n b i j de v i e r d e v r a a g w o r d e n g e v o l g d :
B i j e e n v e r b r u i k v a n 4 9 7 4 kWh v o o r h e t j a a r 1982 b e d r o e g m i j n e l e c t r i c i t e i t s r e k e n i n g f 1 2 7 5 , 5 3 . M i j n b u u r m a n b e t a a l d e b i j e e n v e r b r u i k v a n 3 3 6 0 kWh h e t b e d r a g v a n f 8 7 5 , 6 0 .
Wat z i j n v o o r d a t j a a r h e t v a s t r e c h t e n de p r i j s p e r kWh? W e l k f u n c t i e v o o r s c h r i f t h e e f t h e t e l e c t r i c i t e i t s b e d r i j f g e b r u i k t ? I n de l e e r l i n g e n t e k s t z i j n d i t t y p e k o s t e n b e r e k e n i n g e n ( e e n v a s t b e d r a g e n e e n l i n e a i r v a r i a b e l d e e l ) b e s p r o k e n . De i n t e r p r e t a t i e v a n f o r m u l e s i n t e r m e n v a n de s i t u a t i e ( v r a a g 1) e n h e t o p s t e l l e n v a n h e t f u n c t i e v o o r s c h r i f t a l s de v a s t e k o s t e n en de v a r i a b e l e k o s t e n p e r e e n h e i d z i j n g e g e v e n ( v r a a g 2 ) , w o r d e n g o e d b e h e e r s t . M a a r d e z e v i e r d e o p g a v e b l i j k t v o o r v e e l l e e r l i n g e n e e n p r o b l e e m t e z i j n . E r i s e e n
V a n S t r e u n 43 p r o b l e e m t r a n s f o r m a t i e n o d i g om u i t de g e g e v e n s n a a r de s t r u c t u u r v a n v a s t e e n v a s t e k o s t e n t e komen. Of e e n h e r k e n n i n g v a n de o v e r e e n k o m s t met v r a a g 3, n a m e l i j k d a t e r g e w o o n t w e e g e t a l l e n p a r e n z i j n g e g e v e n . Wim h e r k e n t d i e a n a l o g i e : S N A S
H i j l i c h t de t w e e g e t a l l e n p a r e n e r u i t , p a s t de t e c h n i e k u i t o p g a v e 3 t o e om de f o r m u l e op t e s t e l l e n e n i n t e r p r e t e e r t d i e f o r m u l e i n t e r m e n v a n de s i t u a t i e .
M i e k e en' Herman d e l e n r e c h t s t r e e k s de t w e e b e d r a g e n d o o r h e t a a n t a l kWh e n w e t e n n i e t w a t z e met h u n u i t k o m s t e n m o e t e n d o e n . S o n j a b e r e - k e n t w e l dé v e r s c h i l l e n i n kWh e n g l d . maar komt n i e t v e r d e r . De a a n p a k v a n Wim komt v e e l v o o r b i j l e e r l i n g e n met e e n B - p a k k e t . De m e e s t e l e e r l i n g e n met e e n A - p a k k e t komen n i e t v e r d e r d a n M i e k e , Herman e n S o n j a .
De c o n c l u s i e i s w e l d u i d e l i j k . B e h e e r s i n g v a n de a f z o n d e r l i j k e s t a p p e n N A, A S ( g e t o e t s t i n de v r a g e n 1 e n 3) i s n i e t v o l d o e n d e v o o r h e t k u n n e n a a n p a k k e n v a n e e n p r o b l e e m w a a r v a n de o n d e r l i g g e n d e s t r u c - t u u r e e r s t moet w o r d e n h e r k e n d . I n h e t a a n s l u i t e n d e o n d e r w i j s i s v o o r a l b e n a d r u k t d a t de o p l o s s i n g s w e g v a n Wim e n v a n de m e e s t e B- l e e r l i n g e n n i e t de e n i g e m o g e l i j k h e i d i s om z o ' n p r o b l e e m a a n t e p a k k e n . Ook de o p l o s s i n g s w e g e n :
S S N , S N G N w o r d e n a a n b e v o l e n .
H e t e e r s t e p r o e f w e r k
H e t p r o e f w e r k o v e r e e r s t e g r a a d s f u n c t i e s , e n k e l e w e k e n l a t e r , w o r d t g o e d g e m a a k t . I n t e r e s s a n t i s n u hoe o n z e v i e r l e e r l i n g e n de o p g a v e n h e b b e n u i t g e w e r k t . De e e r s t e o p g a v e g a a t o v e r de k o s t e n v e r g e l i j k i n g v a n e e n a u t o B met e e n b e n z i n e m o t o r e n e e n a u t o D met e e n d i e s e l m o t o r , a l s de v a s t e k o s t e n e n de v a r i a b e l e k o s t e n p e r k i l o m e t e r z i j n g e g e v e n . De v i e r d e e n l a a t s t e o p g a v e g a a t o v e r de k o s t e n v a n e e n r e p a r a t i e , t e s p l i t s e n i n v o o r r i j k o s t e n e n u u r l o o n . Twee e i n d b e d r a g e n e n de r e p a r a - t i e t i j d e n z i j n g e g e v e n .
Wim g a a t b i j de a u t o k o s t e n r e c h t s t r e e k s o v e r op de a n a l y t i s c h e r e p r e s e n t a t i e e n p a k t d a a r m e e de v r a a g a a n o v e r h e t a a n t a l k i l o m e t e r s , w a a r b i j de t o t a l e k o s t e n g e l i j k z i j n . H i j g e b r u i k t z i j n f u n c t i e v o o r - s c h r i f t e n e v e n e e n s v o o r h e t o p s t e l l e n v a n e e n t a b e l , w a a r n a h i j de
( g e v r a a g d e ) g r a f i e k e n t e k e n t . Z o w e l met e e n ( a n a l y t i s c h e ) o n g e l i j k h e i d a l s met de g r a f i e k e n b e a n t w o o r d t h i j de v r a a g b i j w e l k a a n t a l k i l o - m e t e r s de a u t o D v o o r d e l i g e r i s d a n a u t o B. Ook b i j de r e p a r a t i e k o s t e n v e r t a a l t Wim de o p g a v e ,.odf e e n a n a l y t i s c h e r e p r e s e n t a t i e ( z o a l s b i j
R e p r e s e n t a t i e s de e l e c t r i c i t e i t s r e k e n i n g ) e n b e a n t w o o r d t v e r v o l g e n s d e v r a g e n . Wim p r e f e r e e r t d e a a n p a k 5 A e n k a n e r g o e d mee u i t d e v o e t e n . B i j d i t t y p e o p g a v e n .
S o n j a w e r k t b i j d e a u t o k o s t e n o o k met d e f o r m u l e s , maar g e b r u i k t d e g r a f i e k v o o r h e t v e r g e l i j k e n v a n d e k o s t e n . A a n d e l a a t s t e o p g a v e i s z e n i e t t o e g e k o m e n .
M i e k e w e r k t b i j d e a u t o k o s t e n , e v e n e e n s met v e r g e l i j k i n g e n e n b e r e - k e n t z o v o o r w e l k a a n t a l v e r r e d e n k i l o m e t e r s d e k o s t e n g e l i j k z i j n . Ze v e r l i e s t e v e n w e l d e s i t u a t i e u i t h e t o o g , a l s z e g r a f i e k e n g a a t t e k e - n e n . Ze w e r k t n . 1 . met 0 , 1 , 2 , 3 km p e r j a a r e n h a a k t v e r v o l g e n s a f . B i j de r e p a r a t i e k o s t e n komt z e e r w e l l a n g s d e a n a l y t i s c h e weg u i t .
Herman h e e f t u i t h e t v o o r a f g a a n d o n d e r w i j s b e g r e p e n d a t h e t n i e t b e s l i s t h o e f t met f o r m u l e s e n l e t t e r v a r i a b e l e n . ( V o o r hem e n v o o r d e m e e s t e l e e r l i n g e n was a l l e e n d a t w e r k e n met x , a , y , b e n z . w i s k u n d e ) . B i j d e e e r s t e o p g a v e m e r k t h i j o p d a t d e k o s t e n p e r k i l o m e t e r f 0,20 v e r s c h i l l e n e n d e v a s t e k o s t e n f 1 0 0 0 , — . Na 5 0 0 0 km i s d a t v e r s c h i l i n g e h a a l d . B i j m e e r d a n 5 0 0 0 km i s a u t o D d u s v o o r d e l i g e r . B i j d e r e p a r a t i e k o s t e n d e e l t h i j h e t v e r s c h i l v a n d e t o t a l e g e l d b e d r a g e n d o o r h e t v e r s c h i l i n r e p a r a t i e t i j d e n om h e t u u r l o o n t e b e p a l e n . A n a l y t i s c h e r e p r e s e n t a t i e s g a a t h i j u i t d e w e g . Z i j n a a n p a k i s t e k a r a k t e r i s e r e n d o o r S S N.
De m a x i m a l e o p p e r v l a k t e
Na d e i n l e i d i n g i n d e d i f f e r e n t i a a l r e k e n i n g v o l g e n d e t o e p a s s i n g e n o p m a x i m u m / m i n i m u m - p r o b l e m e n . E e n p r o e f w e r k h a l f d e c e m b e r b e v a t d e v o l - g e n d e " k r a k e r " :
Van e e n r e c h t h o e k ABCD i s d e z i j d e AB = 10 e n d e z i j d e AD = 6. Op AB l i g t h e t p u n t P, op BC l i g t h e t p u n t Q, o p CD l i g t h e t p u n t R e n op DA l i g t h e t p u n t S z o d a t AP = CQ = CR = A S .
Hoe l a n g i s AP a l s d e o p p e r v l a k t e v a n d e v i e r h o e k PQRS m a x i m a a l i s ?
Wat i s d i e m a x i m a l e o p p e r v l a k t e ?
Wim e n S o n j a s t e l l e n AP = x e n d r u k k e n d e o p p e r v l a k t e v a n PQRS u i t i n x. W a a r n a z i j h e t maximum v a n d e o p p e r v l a k t e f u n c t i e b e p a l e n .
S A N S
S o n j a s c h r i j f t a c h t e r a f : " D i t w i s t i k w e l . Gewoon d o o r l o g i s c h d e n - k e n . T e r w i j l i k d a t b i j a n d e r e sommen n i e t k a n . H a r d s t i k k e g o e d v a n m i j ! "
Herman k a n e r k o p n o c h s t a a r t a a n v i n d e n . " N a a r m i j n n e i n g k o n j e b i j v o o r b e e l d d e a f s t a n d v a n A n a a r P n i e t t e k e n e n , omdat j e n i e t w i s t
V a n S t r e u n t 5 o f h i j d a a r ' w e l l a g . H i j k a n v e r e n d i c h t b i j l i g g e n . I k h e b hem d a a r o m n i e t g e t e k e n d " .
M i e k e i s s o m b e r g e s t e m d . " D i r e c t i n h e t b e g i n a l w i s t i k wat i k m o e s t d o e n . I k h e b d i e sommen n o g n o o i t g e s n a p t . E e n v o l g e n d e k e e r z o u i k v a s t n o g:n i e t w e t e n , w a t i k m o e s t d o e n " .
De e e r s t e o p g a v e v r o e g o . a . n a a r de u i t e r s t e w a a r d e n v a n de f u n c t i e f met f ( x ) = l / 4 x - 5 / 2 x2 + 9/4. M i e k e w e r k t d a t f e i l l o o s u i t e v e n a l s Wim. S o n j a e n H e r m a n v e r d w a l e n i n h e t t e c h n i s c h e r e k e n w e r k .
V o o r g r o t e g r o e p e n l e e r l i n g e n b l i j k e n d i t t y p e t o e p a s s i n g e n n o g m o e i - l i j k . Met name de e e r s t e s t a p , de vértaling v a n e e n s i t u a t i e n a a r e e n a n a l y t i s c h e r e p r e s e n t a t i e . E e n p r o b l e e m a a n p a k w o r d t b e s p r o k e n e n op p a p i e r v a s t g e l e g d .
H e t b i o s c o o p b e z o e k
H e t v o l g e n d e p r o e f w e r k b e s t a a t u i t t w e e t o e p a s s i n g e n . De e e r s t e o p g a v e i s :
De b i o s c o o p e i g e n a a r i n A d o r p z i e t de b e z o e k e r s a a n t a l l e n de l a a t s t e j a r e n d a l e n . Op h e t o g e n b l i k komen e r b i j e e n t o e g a n g s p r i j s v a n f 1 2 , — o n g e v e e r 170 b e z o e k e r s . U i t de g e g e v e n s v a n c o n c u r r e r e n d e b i o s c o p e n m e e n t h i j t e k u n n e n o p m a k e n d a t b i j e e n l a g e r e t o e g a n g s p r i j s h e t a a n t a l b e z o e k e r s z a l t o e n e m e n .
Neem a a n d a t b i j i e d e r e g u l d e n p r i j s v e r l a g i n g h e t b e z o e k e r s a a n t a l met 30 z a l t o e n e m e n .
a . O n d e r z o e k o f de i n k o m s t e n t o e n e m e n a l s de p r i j s e e n g u l d e n l a g e r w o r d t
b. S t e l d a t de p r i j s met x g u l d e n d a l t . D r u k h e t b e z o e k e r s a a n t a l u i t i n x.
c . S c h r i j f ook de o p b r e n g s t R ( d e t o t a l e i n k o m s t e n ) a l s f u n c t i e v a n x.
d. B e r e k e n de p r i j s , w a a r b i j de o p b r e n g s t R m a x i m a a l i s ( a f g e r o n d op k w a r t j e s ) .
Wim noemt n i e t de p r i j s v e r l a g i n g x , maar de p r i j s z e l f . H e t b e z o e k e r s - a a n t a l w o r d t d a n 170 + ( 1 2 - x ) . 3 0 = 530 - 30x e n de o p b r e n g s t R ( x ) = - 3 0 x2 + 5 3 0 x .
S A N S
Met n i e u w z e l f v e r t r o u w e n g a a t o o k S o n j a h a a r e i g e n weg. Z i j b e r e k e n t t w e e g e t a l l e n p a r e n ( 1 2 , 1 7 0 ) e n ( 1 1 , 2 0 0 ) v a n de f u n c t i e , d i e h e t
O R I Ë N T E R E N .
W i . r ben ik?
Waar naar (oe?
Z o n d e r t e k e n i n g b e g i n i k n i e t s . E e n r e c h t h o e k ABCD met AB P u n t P o p AB. P u n t Q op BC. H o e ?
Oe l e n g t e v a n AP i s d i e v a n CQ.
En n u p u n t R en d a n p u n t S.
Nog e e n s g o e d l e z e n o f h e t k l o p t , w a n t a l s de t e k e n i n g n i e t d e u g t , d a n g a a t de h e l e o p g a v e d e m i s t i n . Wat i s d i e PQRS v o o r e e n f i g u u r ? G e e n r e r A t h o e k De o p p e r v l a k t e i s n i e t met l e n g t e k e e r b r e e d t e u i t Ce r e k e n e n .
T E R R E 1 N V E R K E N N E N .
Hec z a l w e l w e e r met x e n 0 ( x ) m o e t e n , m a a r d a t i s me v o o r l o p i g n o g c e i n g e w i k k e l d . E e r s t m a a r e e n s e e n g e t a l l e n v o o r b e e l d d o o r r e k e n e n .
B.v. AP » 2 , d a n i s PB = 8 en AS • CQ = CR - 2. BQ » 4 « SD en RD - 8. W a a r m o e t i k o o k a l w e e r n a a r t o e ? De o p p e r v l a k t e v a n PQRS w o r d t g e v r a a g d . E v e n de g e t a l l e n i n d e f i g u u r e r b i j z e t t e n . Wat w e e t i k n u v a n d e o p p e r v l a k t e n v a n de d r i e h o e k j e s ? D i e k a n i k b e r e k e n e n , w a n t h e t z i j n h a l v e r e c h t h o e k e n De c o c a l e o p p e r v l a k t e i s o o k t e b e r e k e n e n . D a t w o r d t :
SRD =• j .8.4 - 16.
o p p . A P S - o p p . C R Q » j . 2 . 2 . = 4 e n o p p . PBq - o p p
Nu i s de o p p e r v l a k t e v a n PQRS n a t u u r l i j k g e l i j k a a n d e o p p e r v l a k t e v a n
ABCD v e r m i n d e r d met de o p p e r v l a k t e v a n d i e d r i e h o e k j e s . D u s : V *7 o p p . PQRS = 6 . 1 0 - 2 - 2 - 1 6 - 1 6 « 2 4 .
EEN PLAN MAKEN.
Hec i d e e v o o r d e o p l o s s i n g b i j e e n g e g e v e n l e n g t e v a n AF i s n u w e l d u i d e - l i j k . N o g e e n g e c a l l e n v o o r b e e l d d o o r r e k e n e n ? N e e , i k d e n k d a t i k h e t n u w e l r e c h t s t r e e k s met AP • x k a n p r o b e r e n . D a t g e e f t d a n e e n f u n c c i e v o o r - s c h r i f c v o o r d e o p p e r v l a k t e . W a a r n a i k h e t maximum k a n b e r e k e n .
meer voorbeelden
AAN OE S L A G .
ALGEMEEN
Neem AP = x . E v e n k i j k e n n a a r h e c g e t a l l e n v o o r b e e l d A P » 2 e n P B » 8, d a c i s v i e r m a a l z o g r o o c . Dus P B - 4 x . K l o p t d a t w e l ? Samen z i j n A P e n PB 10 D a n i s 5 x - 10 e n x i s a l t i j d 2 ... H o e kwam i k o o k a l w e e r a a n d i e PB • 8 ? D a t w a s 1 0 - 2 , n a t u u r l i j k P B = 1 0 - x !
Ook d e a n d e r e l e n g t e n i n d e f i g u u r e r b i j s c h r i j v e n . Wat i s h e t p l a n o o k a l w e e r ? Opp. A P S - i x1 e n o p p . QCR - i x ' . Samen h e b b a n z e o p p . x ' . O p p . PBQ • \ ( 1 0 - x ) ( 6 - x ) =
= o p p . S R D , s a m e n ( 1 0 - x ) ( 6 - x ) . E n o p p . P Q R S =
= 6 0 - x ' - ( 1 0 - x ) ( 6 - x ) - 6 O - xJ- 6 O - 1 0 x - 6 x - x » - - - 2 xJ- 1 6 x . D u s 0 ( x ) « - 2 xJ- 1 6 x .
N o g e v e n c o n t r o l e r e n , w a n t j e v e r g i s t j e z o g e m a k k e l i j k m e t a l d i e m i n - t e k e n s . A l s A P = x « 2 moec e r 24 u i t k o m e n .
0 ( 2 ) « - 8 - 3 2 - - 4 0 . H e t k l o p t n i e t ! E v e n n a r e k e n e n
Oh j a , m e t d i e h a a k j e s g a a t h e t m i s . 0 ( x ) » 6 0 - x = - ( 6 0 - I O x - 6 x + x ' ) -
= 6 0 - x1- 6 0 * 1 6 x - x2 " - 2 xl + 1 6 x . C o n t r o l e r e n g e e f t 0 ( 2 ) » -8 + 3 2 =• 2 4 , h e t k l o p t . Wat i s e r o o k a l w e e r g e v r a a g d ? Oh j a , v o o r w e l k e x i s 0 ( x ) m a x i m a a l ? D a t k a n
mee h e c t e k e n s c h e m a v a n d e a f g e l e i d e . M a a r 0 ( x ) i s e e n e e n v o u d i g e c w e c d e g r a . i d s f u n c t i e , w a a r v a n d e t o p v a n d e g r a f i e k s n e l k a n w o r d e n b e r e k e n d . E e n p l a a t j e : 0 ( x ) » - 2 x ' • 1 6 x • - 2 x ( x - 8 ) . N u l p u n t e n v o o r x « 0 e n x - 8, d e t o p
l i g t d a n b i j x = 4. Z o k l a a r
T E R U G B L I K .
De v r a a g b e a n t w o o r d ? N e e , d e m a x i m a l e o p p e r v l a k t e n o g . D i e i s 0 ( 4 ) - 3 2 . E n i n h e t v e r v o l g n i e t v e r g e t e n d e v e r s c h i l l e n d e s t a p p e n g o e d t e c o n t r o l e r e n i
R e p r e s e n t a t i e s b e z o e k e r s a a n t a l v a s t l e g t , u i t g e d r u k t i n d e p r i j s . D a a r n a p a s t z i j de a n a l y t i s c h e t e c h n i e k t o e v o o r h e t o p s t e l l e n v a n d e e e r s t e g r a a d s f u n c t i e . D a t l e v e r t h a a r u i t e i n d e l i j k e v e n e e n s R ( x ) = - 3 0 x2 + 5 3 0 x .
S N A N 5
H e r m a n v e r w o o r d t e e r s t d e s i t u a t i e : " A l s de p r i j s met x g u l d e n d a a l t , d a n s t i j g t h e t b e z o e k e r s a a n t a l met 3 0 x . V o o r de o p b r e n g s t f u n c t i e komt h i j t o t
R = 12 - x = 1 7 0 + 30x
H i j v e r t r o u w t h e t n i e t e n h e r i n n e r t z i c h d e p r o b l e e m a a n p a k . E e r s t maar e e n s e e n t a b e l l e t j e .
t o e g a n g s p r i j s b e z o e k e r s a a n t a l i n k o m s t e n
f 1 2 , — 170 f 2 0 4 0 , -
f 1 1 , - 2 0 0 f 2 2 0 0 , -
f 1 0 , — 2 3 0 f 2 3 0 0 , -
f 9 , - 2 6 0 f 2 3 4 0 , -
f 8 , - 2 9 0 f 2 3 2 0 , -
f 7 , ~ 3 2 0 f 2 2 4 0 , -
f 6 , - 3 5 0 f 2 1 0 0 , -
f 5 , - 3 8 0 f 1 9 0 0 , -
Dan o p s c h r i j v e n w a t e r g e b e u r t :
o p b r e n g s t = p r i j s m a a l b e z o e k e r s a a n t a l R ( x ) = ( 1 2 - x ) . ( 1 7 0 + 3 0 x )
( c ) S N S A N S
M i e k e komt t o t e e n p r i j s ( 1 2 - x ) e n e e n a a n t a l b e z o e k e r s ( 1 7 0 + 3 0 x ) . Ook z i j m a a k t n e t z o ' n t a b e l a l s H e r m a n , m a a r b i j h a a r f u n c t i o n e e r t d i e n i e t a l s h u l p b i j h e t o p s t e l l e n v a n R ( x ) . Z i j b l i j f t s t e k e n i n : •
R - 12 - x = 1 7 0 + 30x Nog e e n s de v i e r l e e r l i n g e n
Wim i s met r e d e l i j k g o e d e r e s u l t a t e n v o o r h e t v a k w i s k u n d e i n 4-vwo b i n n e n g e k o m e n . Z o w e l met de w i s k u n d i g e m e t h o d e n , a l s met de t o e p a s - s i n g e n k a n h i j g o e d u i t de v o e t e n . Z i j n a a n p a k b i j t o e p a s s i n g e n v e r - t o o n t v e e l o v e r e e n k o m s t e n met d i e v a n de g r o e p B - l e e r l i n g e n . S n e l e e n v a r i a b e l e i n v o e r e n , e e n f o r m u l e o f e e n f u n c t i e v o o r s c h r i f t o p s t e l l e n e n d a n e e n a n a l y t i s c h e m e t h o d e e r op l o s l a t e n .
V a n S t r e u n 4 9 S A
S o n j a o n t d e k t n a e n i g e m a a n d e n , d a t z i j met l o g i s c h d e n k e n - z o a l s z i j d a t z e l f o m s c h r i j f t - e e n h e e l e i n d k o m t . M e t d e g o e d e r e s u l t a t e n s t i j g e n o o k h e t p l e z i e r e n h e t z e l f v e r t r o u w e n .
H e r m a n b l i j f t z i c h n o g v a a k v e r s l i k k e n i n h e t t e c h n i s c h e r e k e n w e r k . M a a r b i j p r o b l e m e n , d i e h i j z i c h k a n " v o o r s t e l l e n " h o u d t h i j d e g o e d e k o e r s . V e r w o o r d e n v a n d e h a n d e l i n g e n b i j hét u i t w e r k e n v a n e e n v o o r - b e e l d e h h e t maken v a n t a b e l l e n h e l p e n hem d a a r b i j . A l s h i j h e t z o n d e r " w i s k u n d e " a f k a n ( z o n d e r a n a l y t i s c h e u i t d r u k k i n g e n ) , d a n z a l h i j h e t n i e t l a t e n .
, N A N S
" - S N S
M i e k e m e m o r i s e e r t u i t s t e k e n d e d e a l g o r i t m i s c h e t e c h n i e k e n e n v o e r t z e z o r g v u l d i g u i t . B i j e e n k l e i n e v a r i a t i e i n d e v r a a g s t e l l i n g t a s t z e i n h e t d u i s t e r . Omdat t o e p a s s i n g e n o p p e r v l a k k i g b e s c h o u w d a l l e m a a l v a n e l k a a r v e r s c h i l l e n k a n z e d e w i s k u n d i g e e s s e n t i e e r n i e t u i t h a l e n . D i e p r o b l e m e n b l i j v e n v o o r h a a r m o e i l i j k . Z i j p r o b e e r t z i c h s t e e d s t e h e r i n n e r e n h o e e e n o p g a v e m o e t w o r d e n a a n g e p a k t . E n d a t w e r k t b i j t o e p a s s i n g e n n i e t z o b e s t .
B i j de r e v i s i e v a n d i t a r t i k e l ( z o m e r 1 9 8 5 ) i s i n t u s s e n b e k e n d h o e h e t d e z e l e e r l i n g e n i n k l a s 5-vwo b i j h e t v a k w i s k u n d e - A i s v e r g a a n . Wim en S o n j a d o e n h e t u i t s t e k e n d e n h a a l d e n h o g e c i j f e r s v o o r w i s k u n d e - A . De t e c h n i e k e n b l i j v e n H e r m a n o p b r e k e n , z o d a t z i j n r a p p o r t c i j f e r s r o n d de g r e n s o n v o l d o e n d e - v o l d o e n d e z w e v e n . M i e k e s c o o r t op d e t e c h n i s c h e p r o e f w e r k e n n o g s t e e d s r e d e l i j k . M a a r r e d t h e t d a a r m e e n i e t . Ook b i j de z a a k v a k k e n b l i j k t h e t m e m o r i s e r e n n i e t meer v o l d o e n d e .
C o n c l u s i e
H e t g e b r u i k e n e n t o e p a s s e n v a n w i s k u n d e i n " r e a l i s t i s c h e ' p r o b l e e m s i - t u a t i e s , d o e t ' e e n b e r o e p o p d e v a a r d i g h e i d f l e x i b e l t e k u n n e n s w i t c h e n v a n d e e n e p r o b l e e m p r e s e n t a t i e n a a r d e a n d e r e . E e n v a a r d i g - h e i d , d i e i n k l a s 4-vwo n o g h e l e m a a l moet w o r d e n o n t w i k k e l d , omdat i n h e t g e b r u i k e l i j k e w i s k u n d e - o n d e r w i j s n a g e n o e g u i t s l u i t e n d d e o v e r g a n g v a n d e a n a l y t i s c h e r e p r e s e n t a t i e n a a r d e n u m e r i e k e o f g r a f i s c h e a a n b o d k o m t . B i j d e b e s p r o k e n k l a s s e v a n p r o b l e m e n g a a t h e t om p r o b l e e m - t r a n s f o r m a t i e s v a n u i t e e n s i t u a t i e b e s c h r i j v i n g n a a r e e n a n a l y t i s c h e r e p r e s e n t a t i e ( e e n v e r g e l i j k i n g , e e n f o r m u l e , e e n f u n c t i e v o o r s c h r i f t ) , w a a r o p a n a l y t i s c h e m e t h o d e n ( a l g o r i t m i s c h e p r o c e d u r e s ) k u n n e n w o r d e n t o e g e p a s t , d i e t o t e e n o p l o s s i n g l e i d e n .
Sommige l e e r l i n g e n ( z o a l s Wim e n v e e l B - l e e r l i n g e n ) s l a g e n e r b i n n e n e n k e l e w e k e n i n om d i e p r o b l e e m t r a n s f o r m a t i e r e c h t s t r e e k s e n s n e l u i t t e v o e r e n . Met name de l e e r l i n g e n , d i e i n de o n d e r b o u w a l v e e l m o e i - l i j k h e d e n o n d e r v o n d e n i n h e t g a n g b a r e w i s k u n d e - o n d e r w i j s ( z o a l s S o n j a , M i e k e e n H e r m a n ) , s l a a n h e l e m a a l d i c h t . Z i j w e t e n n i e t hoe z e m o e t e n b e g i n n e n . E e n b e k e n d e e r v a r i n g b i j b . v . i n g e k l e d e v e r g e l i j k i n g e n . U i t l e g h e l p t h e n n i e t . H e t i n v o e r e n v a n e e n ( l e t t e r ) v a r i a b e l e h e e f t v o o r h e n g e e n b e t e k e n i s . De b l o k k a d e i s v o l l e d i g .
H e t a a n r e i k e n e n s t i m u l e r e n v a n e e n h e u r i s t i s c h g e b r u i k v a n a n d e r e p r o b l e e m r e p r e s e n t a t i e s b l e e k v e e l v a n d i e l e e r l i n g e n t e h e l p e n . " E e r s t maar e e n s e e n t a b e l m a k e n " . " E e r s t maar e e n s o p s c h r i j v e n wat e r p r e - c i e s a a n de h a n d i s . " " E e r s t m a a r e e n s e e n v o o r b e e l d d o o r r e k e n e n . "
" E v e n t e k e n e n . " De b l o k k a d e v e r v a l t , de m o t i v a t i e n e e m t t o e . D a n k z i j de "omwegen" v a n de n u m e r i e k e e n g r a f i s c h e r e p r e s e n t a t i e s o n t w i k k e l e n z i j hun v o o r s t e l l i n g v a n de s i t u a t i e . Wat h e n ook i n s t a a t s t e l t e e n a d e q u a t e a n a l y t i s c h e r e p r e s e n t a t i e v a n de p r o b l e e m s i t u a t i e t e m a k e n . De v r a a g "Mag d i t ook i n w i s k u n d e ? " w i j k t v o o r h e t g e v o e l "Zo k a n i k h e t o o k . "
De v e r s c h i l l e n t u s s e n de l e e r l i n g e n b l i j v e n n a t u u r l i j k . U i t de l i t e r a - t u u r ( K r u t e t s k i i , 1 9 7 6 ) i s v o l d o e n d e b e k e n d d a t de m e n s e n v e r s c h i l l e n i n h u n b e k w a a m h e i d om v i s u e l e , n u m e r i e k e o f a n a l y t i s c h e m e t h o d e n t o e t e p a s s e n .
De a t t i t u d e t . o . v . h e t l e r e n ( v a n w i s k u n d e ) e n h e t o p l o s s e n v a n p r o - b l e m e n b l o k k e e r t l e e r l i n g e n , z o a l s M i e k e , i n hun o n t w i k k e l i n g . L e r e n , d a t i s m e m o r i s e r e n hoe i e t s m o e t . J e m o e t z i e n , hoe e e n p r o b l e e m moet w o r d e n a a n g e p a k t . A l s j e h e t n i e t z i e t , a l s j e j e n i e t h e r i n n e r t hoe h e t m o e t , d a n b e n j e weg. D i e ideeën v a n l e e r l i n g e n o v e r l e r e n b l i j k e n soms m o e i l i j k beïnvloedbaar.
H e t o n d e r w i j s k u n d i g b e l a n g
I n h e t w i s k u n d e - o n d e r w i j s komt s t e e d s meer a a n d a c h t v o o r h e t t o e p a s s e n v a n w i s k u n d e . Met name de v e r t a l i n g v a n e e n r e a l i s t i s c h e s i t u a t i e n a a r e e n w i s k u n d i g m o d e l s t a a t c e n t r a a l i n d i e " t o e p a s s i n g s g e r i c h t e "
w i s k u n d e . B i j de b e s p r o k e n k l a s s e n v a n p r o b l e m e n i s d a t e e n a n a l y t i s c h m o d e l . I n h e t g e h e l e v o o r t g e z e t o n d e r w i j s h a k e n v e e l l e e r l i n g e n a f op d i e a n a l y t i s c h e r e p r e s e n t a t i e s , k e n m e r k e n d v o o r e e n b e l a n g r i j k e w i s - k u n d i g e a a n p a k .
H e t u i t e e n r a f e l e n v a n de o p l o s s i n g s w e g e n v a n l e e r l i n g e n i n de v e r - s c h i l l e n d e v e r t a l i n g e n v a n de e n e p r o b l e e m r e p r e s e n t a t i e s n a a r de a n d e r e m a a k t d u i d e l i j k w a a r p r e c i e s de m o e i l i j k h e i d z i t . ( H i e r b i j de s t a p v a n S n a a r A ) . H e t o n d e r w i j z e n v a n h e u r i s t i s c h e p r o b l e e m - t r a n s f o r m a t i e s i n de v o r m v a n "omwegen".
S N A , S N G A , S S A ,
Van S t r e u n 51 l i j k t m e e r l e e r l i n g e n de weg n a a r h e t z e l f o p s t e l l e n v a n e e n w i s k u n d i g ( a n a l y t i s c h ) m o d e l t e o p e n e n .
I n de d e f i n i t i e v e l e e r l i n g e n t e k s t v a n h e t p r o j e c t w o r d t de genoemde p r o b l e e m a a n p a k i n g e b e d i n de t o t a l e b e g r i p s v o r m i n g . F u n c t i e en a f g e - l e i d e f u n c t i e s w o r d e n g e r e p r e s e n t e e r d d o o r v e r b a l e s i t u a t i e b e s c h r i j - v i n g e n , v i s u e l e ( g r a f i s c h e ) r e p r e s e n t a t i e s , t a b e l l e n en a n a l y t i s c h e v o o r s c h r i f t e n . De l e e r l i n g e n k u n n e n e r v a r e n d a t z i j b i j de a a n p a k en p r o b l e m e n d a n w e e r de ene d a n w e e r de a n d e r e r e p r e s e n t a t i e k u n n e n g e b r u i k e n . T e r w i j l z i j g e r e g e l d k u n n e n k i e z e n u i t v e r s c h i l l e n d e moge- l i j k h e d e n . ( D e z e l e e r l i n g e n t e k s t i s t e r u g t e v i n d e n i n h e t b o e k v o o r k l a s 4-vwo v a n de n i e u w e w i s k u n d e m e t h o d e W i s k u n d e L i j n , i n '85-'86 v e r s c h e n e n ) . I n de e x p e r i m e n t e l e f a s e v a n h e t p r o j e c t ( ' 8 4 - ' 8 5 ) w o r d e n de l e e r e f f e c t e n v a n de o n d e r w i j s c o n d i t i e met d e z e m e t h o d i s c h e b e n a d e - r i n g ( h e t p r o j e c t m a t e r i a a l ) v e r g e l e k e n met a n d e r e o n d e r w i j s c o n d i t i e s . O n d e r z o c h t w o r d t o f de l e e r l i n g e n u i t de p r o j e c t c o n d i t i e meer s u c c e s b o e k e n b i j t r a n s f e r o p g a v e n e n o f d a t k o m t d o o r d a t d i e l e e r l i n g e n meer g e b r u i k maken v a n de i n d i t a r t i k e l b e s p r o k e n h e u r i s t i s c h e m e t h o d e n . L i t e r a t u u r v e r w i j z i n g
I n de p u b l i c a t i e s u i t 1982 ( A . v . S t r e u n , 1 9 8 2 a , 1 9 8 2 b ) w o r d t de r e l e - v a n t e o n d e i z o e k s l i t e r a t u u r b e s p r o k e n . De f o r m u l e r i n g v a n o p l o s s i n g s - w e g e n i n t e r m e n v a n r e p r c o < s n t a t i e i s o n t l e e n d a a n h e t r e c e n t e o n d e r - z o e k i n de c o g n i t i e v e p s y c h o l o g i e . V e e l h e u r i s t i e k e n v a n P o l y a z i j n ook t e f o r m u l e r e n i n d e z e t e r m i n o l o g i e .
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