Vaardigheden 4

(1)

Blok 4:

Vaardigheden.

1. a. f x( ) 0 1 1 2 2 log(6 ) log 0 log(6 ) log log

1 6 6 1 6 1 0 3 2 2 3 2 2 ABC formule x x x x x x x x x x x x x x                       

b. De grafiek van f(x) lijkt symmetrisch in de lijn x3.

c. f(3p) log(6 (3  p)) log(3  p) log(3 p) log(3 p)

en f(3 p) log(6 (3   p)) log(3  p) log(3 p) log(3 p)

d. Het maximum is dus bij x3 en is f(3) log 3 log 3 2 log 3    2. a. ( 2 ) 2 1 1 3 1 3 1 2 ( 2 ) 4 2 2 f p p p p p p p                     b. ( 2 ) 2 1 1 3 1 2 ( 2 ) 4 2 f p p p p p               

c. Het gemiddelde van de twee functiewaarden die bij a en b berekend zijn zou dan -3 moeten zijn. 1 1 ( 2 ) ( 2 ) 3 3 6 2 2 f p f p p p p p

               _{Dat klopt, dus de grafiek is} puntsymmetrisch in P(-2, -3). 3. a. puntsymmetrisch in (0, 0) want f( x) 2( x)3 4 2x3 4 (2x3 4) f x( ) x x x              b. symmetrisch in de lijn x0want

4 2 4 2

( ) 2( ) 3( ) 1 2 3 1 ( )

f   x x  x   x  x   f x

c. symmetrisch in de lijn x0, want

1 1

1 1 1

2 2 2

( ) 2 x ( ) x (2 )x (( ) )x ( ) x 2x ( )

f  x            f x

d. symmetrisch in de lijn x0, want _f₍_{ }_x₎ 2_log((__x₎2_{ }₁₎ 2_log(_x2_{ }₁₎ _{f x}_{( )} 4. a. f x6( )x36x29x2 2 2 6'( ) 3 12 9 3( 4 3) 3( 1)( 3) 0 3 1 ( 3, 2) ( 1, 2) f x x x x x x x x x A en B                   b. M(-2, 0) x y 1 2 3 4 5 6 -1 1 2 -1 -2 -3

(2)

3 2 3 ( 2 ) ( 2 ) (( 2 ) 6( 2 ) 9( 2 ) 2) (( 2 ) f  p  f  p   p   p   p     p  2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 6( 2 ) 9( 2 ) 2) ( 8 12 6 6(4 4 ) 18 9 2) ( 8 12 6 6(4 4 ) 18 9 2) 8 12 6 24 24 6 18 9 2 8 12 6 24 24 6 18 9 2 0 p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p                                                      Dus f is puntsymmetrisch in M. c. _{'( ) 3} 2 ₂ ₉ a

f x  x  ax heeft een maximale waarde

1 3 3 1 2 3 27 "( ) 6 2 0 6 2 ( , 3 2) a f x x a x a x a C a a a           d. 1 1 3 1 2 1 3 3 3 3 ( ) ( ) ( ) 9( ) 2 f  a p   a p  a a p   a p   3 2 2 3 2 2 1 1 1 2 27 3 9 3 3 2 3 2 1 27 3 ( ) 3 9 2 3 9 2 a a p ap p a a ap p a p a a p p a p                   3 2 1 1 1 1 3 3 3 3 ( ) ( ) ( ) 9( ) 2 f  a p   a p  a a p   a p   3 2 2 3 2 2 1 1 1 2 27 3 9 3 3 2 3 2 1 27 3 ( ) 3 9 2 3 9 2 a a p ap p a a ap p a p a a p p a p                   3 3 1 1 4 2 3 3 27 27 ( ) ( ) 6 4 2( 3 2) f  a p  f  a p  a  a  a  a , dus puntsymmetrisch in C. 5.

a. De grafiek is symmetrisch in de y-as: _f₍__p₎_ _{18 2(}_{ }_p₎2 _ _{18 2}_ _p2 _ _{f p}_{( )}

b. De grafiek is puntsymmetrisch in (-3, -2): 8 2( 3 ) 8 2( 3 ) 14 2 14 2 4 ( 3 ) ( 3 ) 4 3 ( 3 ) 3 ( 3 ) p p p p p f p f p p p p p p                            

c. De grafiek is symmetrisch in de y-as: _f₍__p_{) (}_{ }_p₎4_{ }₄₍ _p₎2_{ }₂ _p4_₄_p2_{ }₂ _{f p}_{( )}

d. De grafiek is symmetrisch in de lijn x2:

3 2 3 2 3 2 3 2 (2 ) log((2 ) 4(2 2) 7) log(4 4 4 8 7) log(4 4 4 8 7) log((2 ) 4(2 2) 7) (2 ) f p p p p p p p p p p p f p                            

e. De grafiek is symmetrisch in de lijn x 1:

2 2 2 2

( 1 ) 2( 1 ) 1 2 2 2 1 2 2 2 ( 1 ) 2( 1 )

( 1 ) 2 p p 2 p p p 2 p p p 2 p p ( 1 )

f   p                        f   p

f. De grafiek is symmetrisch in de lijn x 2:

2 2 2 2 ( 2 ) ( 2 ) 4( 2 ) 4 4 8 4 4 4 8 4 ( 2 ) 4( 2 ) ( 2 ) f p p p p p p p p p p p f p                             6. a. 2 2 2 2 2 2 2 ( 1)(2 2) ( 2 2) 1 (2 2) ( 2 2) 2 '( ) ( 1) ( 1) ( 1) x x x x x x x x x g x x x x                  2 '( ) 0 2 ( 2) 0 0 2 g x x x x x x x         

(3)

c. 2 2 ( 1 ) 2( 1 ) 2 ( 1 ) 2( 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 ) 1 1 1 1 p p p p g p g p p p                           2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 4 4 8 p p p p p p p p p p p                   d. In het spiegelpunt 1 1 2 2 ( 1 , 6 )  . 7. a. 2 2 2 2 4 3 4 3 3 4 3 4 3 ( ) ( ) 1 9 1 3 3 3 1 1 9 p p p p p p p p p p h p h p                   

b. De lijn y0 is een horizontale asymptoot.

c. 4 3 3 1 9 x x x   _  2 2 2 1 1 3 1 2 4 3 (1 9 ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 (1 3 3 ) 0 3 0 3 3 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x                                   1 2 ( , 3) S  d. k x( )h x( ) voor 1 2 x  . 8.

a. De grafiek heeft een verticale asymptoot:

2

x  en een scheve asymptoot: 1

2 1 y x . b. 1 2 3 1 0 2 x x     1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 3 1 2 3 ( 2)( 1) 2 1 2 x x x x x x x               

En deze vergelijking heeft geen oplossing.

c. 1 1 1 2 2 2 3 3 3 ( ) ( 2) 1 2 1 1 2 ( 2) 2 g x x x x x x x              

d. De grafiek van g is symmetrisch in het punt (0, 0):

1 1 2 2 3 3 ( ) ( ) ( ) g p p p g p p p           

e. Als je de grafiek van g twee eenheden naar links en twee eenheden naar beneden verschuift, krijg je de grafiek van f. De grafiek van f is puntsymmetrisch in het (-2, -2).

9.

a. De grafiek van f heeft twee horizontale asymptoten: y0 en y6. Voor grote negatieve waarden gaat 0,5t

naar 0 en nadert f de waarde 6. Voor grote positieve waarden wordt 0,5t

ook heel erg groot en nadert f de waarde 0.

x y 2 4 6 8 -2 -4 -6 -8 -10 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

(4)

b. ( ) ( ) 6 6 6 0,5 6 6 0,5 6 1 0,5 1 0,5 (1 0,5 ) 0,5 1 0,5 1 0,5 p p p p p p p p f  p f p  _   _            6 (0,5 1) 6 1 0,5 p p     

c. Het gemiddelde van de functiewaarden voor de negatieve waarden en de positieve x-waarden is 3.

 

( ) 3 3 3 3 6 a a a a a a f t dt dt t _ a a a        



10.

a. De grafiek is symmetrisch in de lijn 1 2

x  . b. De grafiek van h is symmetrisch in het punt 1

2 ( , 0). 11. a. ( ) 2cos( ) 2cos( ) ( ) 3 2cos( ) 3 2cos( ) p p g p g p p p         b. x k  c. g x( ) 0 1 1 2 2 2cos 0 cos 0 1 x x x  x       ( ) 0 g x  voor 1 1 2,12 d. 2 2

(3 2cos ) 2sin 2cos 2sin 6sin 4sin cos 4sin cos '( ) (3 2cos ) (3 2cos ) x x x x x x x x x g x x x              2 6sin 0 (3 2cos ) x x     sin 0 0 2 x x x  x       

De grafiek heeft een maximum 2

5 voor x0 en x2 en een minimum -2 voor x 12. a. 1 1 2 2 ( ) cos( 2 ) 2sin( ) 1 h  p   p  p   1 1 2 2 cos( 2 ) 2sin(p  p) 1 h(  p)        b. 1 1 1 1 5 2 (2 6 ) 6 6 x          c. 1 1 1 1 1 2 (6 2 ) 6 16 x               13.

a. De grafiek is symmetrisch in de punten op de evenwichtslijn. De periode van f is 2 1

4  2.

3 1 1 1 1 3

4 2 4 4 2 4

(, 3), ( , 3), ( , 3), ( , 3), (0, 3), ( , 3), ( , 3), ( , 3), ( , 3) b. De symmetrieassen gaan door de toppen van de grafiek:

7 5 3 1 1 3 5 7

8 , 8 , 8 , 8 , 8 , 8 , 8 8

x   x   x   x   x  x  x  en x  

(5)

d. De grafiek van f is symmetrisch in het punt (0, 3). De gemiddelde functiewaarde op het interval



 ,



is 3. Dus f t dt( ) 3dt

 

3t 6             



e. Het maximum van g wordt 3 en het minimum -1. Bereik:



1,3



f. g t( ) 1 2sin 4  t 14. a. ₁__x2 _₀ 2 ₁ 1 1 x x x      Domein:    , 1 1,1  1, b. 3 3 3 2 2 2 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 1 p p p f p f p p p p              

c. De lijnen x 1 en x1 zijn de verticale asymptoten van f. d. 3 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) (1 ) ( ) 1 1 1 1 1 x x x x x x x x f x x x x x x x                  e. De term ₂ 1 x x

 gaat naar 0 als x steeds grotere waarden aanneemt. De functiewaarden naderen dan de waarden van y x.