H9: Overgangsmatrices

(1)

Hoofdstuk 9:

Overgangsmatrices.

1.

a. Er gaan 497 auto’s van de Eendweg naar de Gansstraat. Er komen 8 395 497 900   auto’s van de Eendweg. b. Het totaal van alle auto’s dat de rotonde passeert is 4000.

c. 395 8 395 497 : 0, 44 EF _ _  en 8 8 395 497 : 0,01 EE _ _  d. 2. a.

-b. De som van de kansen van P (van S) is 1. c. zie de matrix hiernaast.

d.

e. De verdeling van de inwoners aan het begin van 2004. 3.

a. 546 104 650  mensen vierden in 2002 Sinterklaas, en 104 hiervan vierden Sinterklaas niet in 2003.

b.

c.

4. a.

b. Het is een benadering/vereenvoudiging van de werkelijkheid. c. 0,01 0, 49 0, 47 0, 44 0,01 0,53 0,55 0,50 0,00 van E F G E naar F G           0,01 0, 49 0, 47 1200 1829 0, 44 0,01 0,53 1550 1736 0,55 0,50 0,00 2250 1435         _  _                    0,98 0,08 0,02 0,92 S P S A P    _ _   0,98 0,08 60000 62000 0,02 0,92 40000 38000 A B _  _{ }  _{ } _       0,84 0, 20 0,16 0,80 w n w n       2003 2004 0,84 0, 20 613 589 0,16 0,80 372 396 w n w n                 2004 2005 0,84 0, 20 589 574 0,16 0,80 396 411 w n w n                 0,50 0, 25 0,50 0,75 QT WP QT WP       1 0,50 0, 25 300 225 0,50 0,75 300 375 QT WP mnd QT WP    _            2 0,50 0, 25 225 206 0,50 0,75 375 394 QT WP mnd QT WP    _           

(2)

5.

a. 8% blijft zitten in 4 vwo.

b. 7% blijft zitten in 6 vwo; dus 93% geslaagden.

c. Als iemand een klas overslaat of teruggezet wordt, maar dat komt eigenlijk nooit voor. d. Dat er geen vroegtijdige schoolverlaters zijn en ook geen instromers.

6.

a. Je kunt op 4 6 24  manieren van A1 via B1 naar C komen; je kunt op 3 3 9  manieren

van A1 via B2 naar C komen en je kunt op 2 2 4  manieren van A1 via B3 naar C komen.

In totaal dus 37 manieren.

b. Via B1: 5 6 30  manieren; via B2: 2 3 6  manieren en via B3: 3 2 6  manieren. In

totaal kun je dus op 42 manieren in twee stappen van A2 naar C gaan.

c.

Het aantal manieren om van A1 resp. A2 in twee stappen naar C te gaan.

7. a.

b.

8.

a. Via T2: 2 3 6  wegen en via T3: 1 1 1  weg. Er zijn dus 7 tweestapswegen van T1 naar D.

b. Van T1 naar T1: 2 2 2 2 1 1 9      tweestapswegen; Van T1 naar T2: 2 1 2 

tweestapsweg en van T1 naar

T3: 2 2 4  tweestapswegen.

c. In 2

S  S Sstaat het aantal tweestapswegen tussen de knooppunten. d. Vergelijk de kolommensommen: vanuit T2. 9. a. b.

Uitwerkingen 4 vwo AC, Hoofdstuk 9

-2-







4 5 6 3 2 3 2 37 42 2 3 L K       _ _     1 2 1 2 3 4 5 : 3 2 2 3 A A B B B P           1 2 3 1 2 4 2 1 : 2 1 1 B B B C C Q _ _   1 2 1 2 4 5 4 2 1 24 27 3 2 2 1 1 13 15 2 3 A A C C Q P     _ _    _ __ _ _ _         1 2 3 1 2 3 0 2 3 1 0 2 3 1 9 7 4 2 2 0 2 1 2 0 2 1 4 9 6 2 1 2 0 0 1 2 0 0 4 2 7 3 2 1 0 0 2 1 0 0 2 4 8 3 D T T T D T T T S S                                         2 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 3 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 2 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 3 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 2 0 M M                                    

(3)

c. Het aantal verschillende manieren waarop twee plaatsen door een tweestapsweg verbonden is.

(4)

d. Omdat elk station in verbinding staat met minstens één ander station, is er minstens één tweestapsweg van een station naar zichzelf.

e. Er zijn vier vierstapswegen van La Fourche naar Villiers: (56542, 54342, 54212, 54232, 54242, 54542) In de GRM in de tweede rij en vijfde kolom: 6

f. In _{M M}_ 2_{staat het aantal verschillende manieren}

waarop twee plaatsen met hoogstens een tweestapsweg verbonden is; ofwel met een directe weg of een

tweestapsweg. 10.

a./b.

c. V2_{stelt de overgangsmatrix per twee jaar voor.} d. De samenstelling van de club in 2010.

e. De leden worden ouder en komen in de groep van de senioren terecht. Het totaal aantal leden neemt af en de club zal na verloop van tijd opgeheven worden.

11. a./b.

c.

d. Uiteindelijk zal de samenstelling niet meer veranderen en zullen er 40 pupillen, 48 B-junioren, 60 A-junioren en 180 senioren zijn.

12.

a. 0,9: 90% van de gezonde leerlingen is twee dagen later nog steeds gezond. 0,6: 60% van de zieke leerlingen is twee dagen later weer gezond.

0,4: 40% van de zieke leerlingen is twee dagen later nog steeds ziek. b. 2 1 1 1 1 0 0 1 3 2 2 1 0 1 2 2 2 1 0 1 2 2 3 1 1 0 1 1 1 2 1 0 0 0 1 1 1 M M          _{ } _           0, 40 0 0 0 0,60 0,50 0 0 0 0,50 0,60 0 0 0 0,30 0,90 P B A S P B A S V              2006 2007 2007 2008 40 16 16 6 40 44 44 32 50 50 50 52 30 42 42 53 V en V                                                     4 2006 2010 40 1 40 11 50 38 30 71 V                           1 0 0 0 0,60 0,50 0 0 0 0,50 0,60 0 0 0 0,30 0,90 P B A S P B A S V              4 8 12 4 8 12 40 40 40 40 40 40 40 48 40 48 40 48 50 56 50 59 50 60 30 73 30 108 30 132

jaar jaar jaar

V V V                                                                               0,9 0,6 1803 1759 0,1 0, 4 227 271                    

(5)

c.

Aantal gezonde en zieke mensen op 16 januari. d.

e. Het totaal aantal gezonde en zieke mensen samen blijft 1803 227 2030  mensen.

f. 1 2 3 3 2003 g  z en g 2030z g. 1 2 3 3 2003  z2030z 1 2 3 263 80 1950 z z en g    13. a. 1 1950 80 V _{  }B      klopt!

b. _V_₍_V1__B₎__B_en_V1_₍_{V B}_ ₎__B_{. Je kunt eerst de aantallen van twee dagen terug}

bereken en daarna die van de volgende twee dagen. Je krijgt dan weer de aantallen van 10 januari. 14. a. b. 1 0,7 0,1 0, 2 4500 4800 0, 2 0,6 0, 2 5600 7000 0,1 0,3 0,6 3900 2200          _  _                    c. _S1_{  }_{S V V} 15. a. b.

c. 0, 4 1 0, 2 0, 2 0, 4 0, 25 0,54      : 54% van de aardolie uit bron wordt verwerkt tot benzine

1 2 3 0, 4 0 0, 2 6000 4100 0, 2 0,5 0, 4 5000 7100 0, 4 0,5 0, 4 8500 8300 halfproduct halfproduct halfproduct         _ _                     1 1 2 3 0, 4 0 0, 2 2200 4000 0, 2 0,5 0, 4 6500 9000 0, 4 0,5 0, 4 7300 3000 b b b            _  _  _                          3 0,9 0,6 1803 1742 0,1 0, 4 227 288                     0,9 0,6 0,9 0,6 1803 0,1 0, 4 0,1 0, 4 227 g g z z g z      _ _  _       _            5 0,7 0,1 0, 2 4500 4490 0,7 0,1 0, 2 4500 4642 0, 2 0,6 0, 2 5600 5040 0, 2 0,6 0, 2 5600 4676 0,1 0,3 0,6 3900 4470 0,1 0,3 0,6 3900 4682               _  _    _  _                                     

(6)

d.

De getallen in het product TS geven aan welk deel van de aardolie uit de bronnen gebruikt wordt voor de verschillende eindproducten.

e.

16. a. b.

c.

d. Na vier dagen verandert de verdeling niet meer. 17. a. b. c. d. 0,54 0, 225 0,38 18000 20695 0, 26 0,525 0, 42 15000 20955 0, 2 0, 25 0, 2 20000 11350         _  _                    1 2 3 benzine kerosine smeerolie 1 0, 2 0, 25 : 0 0,8 0, 25 0 0 0,5 h h h T           1 2 3 benzine kerosine smeerolie 1 0, 2 0, 25 0, 4 0 0, 2 0,54 0, 225 0,38 0 0,8 0, 25 0, 2 0,5 0, 4 0, 26 0,525 0, 42 0 0 0,5 0, 4 0,5 0, 4 0, 2 0, 25 0, 2

bron bron bron

T S              _ _{ } _ _ _             0,7 0,3 0, 2 : 0,1 0,5 0, 2 0, 2 0, 2 0,6 van A B C A naar B C A           0,7 0,3 0, 2 30 36 0,1 0,5 0, 2 30 24 0, 2 0, 2 0,6 30 30           _ _                    0 1 2 3 4 5 6 30 36 38 39 40 40 40 30 24 22 21 20 20 20 30 30 30 30 30 30 30

dag dag dag dag dag dag dag

A                             _{  } _ _ _ _{ } _ _ _ _ _ _                             0,85 0,05 0,06 : 0,05 0,88 0,10 0,10 0,07 0,84 van A B C A naar B C O           2007 2008 2009 200 215 227 300 324 342 500 461 431 O             _ _{ } _ _ _             1 2006 200 181 300 268 500 551 O         _ _{ } _         20 200 266 300 394 500 340 O         _ _{ } _        

(7)

(8)

18. a. b. 0, 2 0,6 0,8 0,6 8 6 K L K K L K L     c. K L 1400 8(1400L) 11200 8  L6L 1400 K  L 14 11200 800 600 L L en K    d.

Na 5 perioden is de evenwichtssituatie bereikt. 19.

a.

b. Er verhuizen 10% van de huishoudens: 1000 huishoudens uit koopwoningen en 2000 uit huurwoningen.

Aan het einde van 2008 zijn er 1600 koopwoningen nodig en 1400 huurwoningen. De gemeenteambtenaar verwacht een behoefte van 600 koopwoningen en 600 huurwoningen komen leeg te staan. c. Als er 15% van de huishoudens uit een koopwoning verhuist (dat zijn er 1500) en 5% vanuit

een huurwoning (dat zijn er 1000), dan is de vraag naar huur- en koopwoningen:

Hetzelfde dus! Het aantal huur- en koopwoningen in de stad blijft dan gelijk.

20.

a. Van de 2000 nuljarigen op tijdstip 0 zijn er 1000 eenjarigen op tijdstip 1. Dus 50% overleeft het eerste levensjaar.

b. Van de 1500 eenjarigen op t0 zijn er 600 tweejarigen op t1. Dus 600

1500100% 40%

overleeft het tweede levensjaar.

c. De 1000 tweejarigen op t0 zorgen voor 5000 nakomelingen (0-jarigen) op t1. Dus per 2-jarige 5 nakomelingen. d. e. 0, 2 0,6 0, 2 0,6 0,8 0, 4 0,8 0, 4 K K L K L K L L                  _            0 1 2 3 4 5 0, 2 0,6 700 560 616 594 599 600 0,8 0, 4 700 840 784 806 801 800 t t  t t t t   _  _                                      0,8 0,3 2000 2050 0, 2 0,7 1500 1450                     2 1000 1600 2000 1400 V _  _{ } _     0,8 0,3 1500 1500 0, 2 0,7 1000 1000                    

(9)

e. zie a. en d.

(10)

21.

a. 80% van de marmotten in klasse 2 komt in klasse 3.

b. De pijlen naar rechts geven de overlevingskansen en de pijlen naar links de vruchtbaarheidscijfers.

c. De marmotten in klasse 2 maken gemiddeld 1,2 nakomelingen. d.

e.

Een jaar later zijn er 160 marmotten in klasse 1, 90 in klasse 2 en 80 in klasse 3. f.

g.

h.

22. a.

b. 10% van de vissen in de laatste klasse blijft leven.

c. De vissen die twee jaar en ouder zijn; die zorgen niet meer voor nakomelingen. d. Daar is niets over te zeggen, vanwege de 10% overlevingskans in de laatste klasse. e. P(4 jaar) 0,8 0,9 0,7 0,1 0,0504    

f. De populatie zal voortdurend toenemen. Een nuljarige heeft namelijk een kans van 0,8 om 1 te worden en maakt dan gemiddeld 1,5 nakomelingen. Het te verwachten aantal

nakomelingen per nuljarige is 0,8 1,5 1, 2  . Een toename dus.

1 2 3 1 2 3 0 1, 2 0, 4 0,9 0 0 0 0,8 0 van naar L      _ _    

0 1, 2 0, 4

100

160 0,9

0

100

90

0 0,8

0

100

80 

 





 

_

 

_





 





 





 



0 1,5 0 0 1000 1500 1200 1800 1440 0,8 0 0 0 1000 800 1200 960 1440 0 0,9 0 0 0 900 720 1080 864 0 0 0,7 0,1 0 0 630 567 813                           _  _                                            : 0 1 2 3 4 5 6 300 330 356 443 480 582 646 100 160 140 202 197 259 271 100 90 144 126 182 177 233 100 80 72 115 101 146 142 tot t t t t t t t L                                    _ _{ } _{ } _{ } _{ } _{ } _{ } _                             : 0 1 2 3 4 5 6 300 289 282 292 284 289 286 100 119 103 113 108 110 109 100 90 107 93 102 97 99 100 80 72 86 74 82 78 tot t t t t t t t M                                    _ _{ } _{ } _{ } _{ } _{ } _{ } _                             : 0 1 2 3 4 5 6 300 260 230 203 178 158 140 100 90 77 69 61 53 48 100 90 81 69 62 55 48 100 80 72 65 55 50 44 tot t t t t t t t N                                    _ _{            }                             f g h

(11)

23.

a. Van de 168000 mensen in de klasse 0-24 jaar in 1925 zijn er 148000 mensen overgebleven, en zitten in de klasse 25-49 in 1950. De overlevingskans voor de eerste klasse is dus

148000 168000 0,88. Op dezelfde manier: 113000 2 127000 0,89 p   en 52000 2 93000 0,56 p  

b. 168000 mensen zorgen voor 11000 nakomelingen. Het vruchtbaarheidscijfer voor de eerste klasse is

11000 168000 0,065. Op dezelfde manier: v2 115000127000 0,906 en 800 3 93000 0,0086 v   c. ongeveer wel. d. e. 75-100 jarigen: 62787 97820 107569 87340 62787   100% 17,7%

f. De klassen zijn niet even breed, dus de overgangen per 25 jaar kloppen dan niet. 24.

a. zie matrix P hiernaast.

b. Kip 2 pikt 3 andere kippen en wordt slechts door één andere kip gepikt.

c. K1 heeft via 2 kippen (K2 en K5) overwicht over K3.

d.

Een kip heeft via x kippen overwicht op een andere kip. e.

f. Daar staat het aantal kippen waarlangs een kip de baas is over zichzelf.

g. De pikorde blijft gelijk.

0,065 0,906 0,0086 0 0,88 0 0 0 0 0,89 0 0 0 0 0,56 0 I II III IV I II III IV             0,065 0,906 0,0086 0 126800 143300 0,88 0 0 0 148000 111600 0 0,89 0 0 113000 131700 0 0 0,56 0 52000 63300 I II III IV I II III IV               _  _                    5 168000 97820 127000 107569 93000 87340 38000 62787 M                           1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 0 0 1 1 0 2 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 2 0 1 1 0 0 2 1 1 0 1 0 3 2 3 2 2 2 K K K K K K K K K K                 2 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 2 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 2 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 2 1 0 P                                                    2 3 3 4 2 2 2 13 1 2 2 1 1 7 3 3 3 3 1 13 3 3 2 2 1 11 3 5 4 3 2 17 13 17 13 11 7 P P P                    5 2 1 1 3 2 3 6 5 2 1 1 3 6 2 3 2 3 5 1 1 1 1 2 3 3 6 6 5 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P P P               

(12)

25. a. b.

En dan staan hier alleen het aantal vrouwtjes. Er zijn dus 6954 jonge en 5366 volwassen muizen na 1 jaar.

c.

De groeifactoren zijn niet echt gelijk.

d. jong 2 14627739 2 (14627739 11228332)   100% 56,6%    _{en volwassen} 2 11228332 2 (14627739 11228332)   100% 43, 4%    26.

a. De kans dat het morgen mooi weer wordt als het vandaag mooi weer is, is 70%. b. P ZBB of ZZB( ) 0,30 0, 60 0,70 0,30 0,39    

c.

De voorspellingen voor overmorgen. d. 0,7 0, 4 0, 4 0,3 4 3 Z B Z B Z B Z     Dus Z B: 4 : 3

e. Aantal zonnige dagen: 4

7365 209 dagen.

27.

a. P klein naar groot( ) 0,70 0,50 0,35  

b. c./d. 10 0 3 0 3477 1 1 1 2683                     0 3 0 3 3 12 21 57 120 291 1 1 1 1 4 7 19 40 97 217 2 8 14 38 80 194 434 1016 totaal                                                         20 0 3 0 14627739 1 1 1 11228332                     2 0,61 0,52 0,39 0, 48 M _{ } _   0,7 0, 4 0,3 0, 6 Z Z B B                     0,30 0 0 0 0,70 0,50 0 0 0 0,50 0,80 0 0 0 0, 20 1 K G K N G E N E van naar             0,30 0 0 0 650 195 0,70 0,50 0 0 1100 1005 0 0,50 0,80 0 1050 1390 0 0 0, 20 1 600 810               _  _                   

(13)

e.

f. Hij kapt en verkoopt 188 extra grote, 315 grote, en 409 normale bomen en plant 1112 kleine bomen bij: W 188 49 315 19 409 7 1112 2,5 €15.280,        

g.

100 49 400 19 550 7 1050 2,5 €13.725,

W          

h. Jaarlijks kappen en bijplanten levert hem een winst op van €13.725,- per jaar. Over twee jaar is dat

€27.450,-Om de twee jaar kappen en bijplanten: Na twee jaar is de samenstelling:

280 49 995 19 90 7 1365 2,5 € 29.842,50

W          Dus hij verdient zo veel meer. 0,30 0 0 0 1500 450 1050 0,70 0,50 0 0 1000 1550 550 0 0,50 0,80 0 500 900 400 0 0 0, 20 1 600 700 100 bijplanten kappen kappen kappen               _  _                    2 0,30 0 0 0 1500 135 1365 0,70 0,50 0 0 1000 1090 90 0 0,50 0,80 0 500 1495 995 0 0 0, 20 1 600 880 280 bijplanten kappen kappen kappen               _  _                    2003 2004 0,30 0 0 0 1295 388 0,70 0,50 0 0 1005 1409 0 0,50 0,80 0 390 815 0 0 0, 20 1 710 788 eind eind               _  _                   

(14)

T_1. a./b.

T_2. a./c.

b. Er is 1 tweestapsweg van L naar N en ook 1 van N naar L.

d. Er zijn 5 driestapswegen van K naar N (KNKN(4) en KLMN(1)) en van M naar L (MNKL(1) en MLML (4)).

e. Neem de som van de derde rij en derde kolom: 12

f. Zoals in D4_{is te zien begint in elk punt 9 vierstapswegen.}

T_3. a.

b. Na 6 weken heeft Shell 1088 klanten.

c. Op 8 mei had Shell 880 klanten en Esso 520. T_4.

T_5.

a. Elk dier uit de eerste leeftijdsklasse maakt gemiddeld 0,6 nakomelingen en elk dier uit de tweede leeftijdsklasse gemiddeld 1,2 nakomelingen. De dieren uit de derde leeftijdsklasse zorgen niet voor nakomelingen.

b. 0,8 en 0,5 zijn de overlevingskansen van de eerste naar de tweede klassen en van de tweede naar de derde klasse.

c./d.

e. De populatie zal steeds groter worden. 0,6 0, 2 0, 4 0,8       : 1 2 3 0,6 0, 2 625 475 415 0, 4 0,8 500 650 710 periode                           0 0 0 1 1 0 2 0 0 1 0 0 2 0 1 0 K L M N K L M N D              3 0 1 0 2 4 0 5 0 0 2 0 1 5 0 4 0 K L M N K L M N D              4 5 0 4 0 0 5 0 4 4 0 5 0 0 4 0 5 K L M N K L M N D              15 22 29 0,95 0, 20 940 985 1019 0,05 0,80 460 415 381

mei mei mei

                          1 15 8 0,95 0, 20 940 880 0,05 0,80 460 520 mei mei                      26 15 15 22 0,95 0, 20 0 800 800 0,05 0,80 1000 200 200 mei nov nov

                          0,6 1, 2 0 80 168 178 268 0,8 0 0 100 64 134 142 0 0,5 0 100 50 32 67             _  _                                   

(15)

T_6. a. b. c. d. 2 1 500 22310 270 10020 310 A A        _ _{ } _        T_7.

a. Een populatievoorspellingsmatrix geeft de overgangen aan tussen de verschillende klassen van de populatie. De getallen op de eerste rij zijn alleen geen kansen maar de

voortplantingscijfers en alleen op de diagonaal direct onder de hoofddiagonaal staan de overlevingskansen. Op de plaats rechtsonder staat eventueel een overlevingskans groter dan 0.

b. In de derde kolom staan alleen nullen: er vertrekken geen wegen uit C. In elke matrix Gn_{staat er in de derde kolom alleen maar nullen.}

c. In een overgangsmatrix is de som van de kolommen gelijk aan 1. 3 1 2 450 2160 2 0 1 210 1200 5 2 2 300 3270         _  _                    1 3 1 2 2970 640 2 0 1 1655 300 5 2 2 4550 375          _  _                    1 2 3 1 2 2 2 5 3 2 4 0 t t t e A e        1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 2 5 3 31 8 15 2 0 1 2 4 0 14 2 8 5 2 2 g g g e A A e     _ _    _ __ _ _ _        