Slides

Discrete dynamische systemen:

wiskundige modellen met rijen,

vectoren en matrices

Johan Deprez

Dirk Janssens

Vliebergh-Sencie

Leuven, 13 en 20 april

Materiaal bij sessie 2

• kopie van de slides in map, ook op

home.scarlet.be/~p1925850/vliebergh_april_2005

• werktekst om tijdens de sessies te gebruiken

• een tekst om achteraf te lezen (in map, komt

niet letterlijk aan bod tijdens de sessie):

matrixmodel voor de Belgische bevolking

leerplannen

• leerplan 3de graad ASO - 6u:

– “Met behulp van matrices een concreet probleem

modelleren. (AL9)”

– “Evoluties van blokken gegevens beschrijven met

matrices. (AL12)”

Matrixmodellen

exponentiële groei

lineaire

recursievergelijking

logistische groei

niet-lineaire

recursievergelijking

lineaire model

voor een

gestructureerde

populatie

leeftijdsklassen, man-vrouw, leeftijdsstadia bij insecten (ei, larve, volwassen), (nog) niet

Een matrixmodel voor de evolutie van de

Belgische bevolking

Belgische bevolking

leeftijd 1 jan. 2003 vruchtbaarheidscijfer overlevingskans

0-19 2 407 368 0.43 0.98 20-39 2 842 947 0.34 0.96 40-59 2 853 329 0.01 0.83 60-79 1 840 102 0 0.30 80-99 410 944 0 0 TOTAAL 10 354 690

gebaseerd op cijfers N.I.S., cfr. www.statbel.fgov.be, zie ook Uitwiskeling 19/1,

zie ook www.uitwiskeling.be (Uitwiskeling live!!!),

zie ook tekst in map en http://www.kuleuven.ac.be/wet/

Een matrixmodel voor de evolutie van de

Belgische bevolking

leeftijd 1 jan. 2003 vruchtbaarheidscijfer overlevingskans

0-19 2 407 368 0.43 0.98 20-39 2 842 947 0.34 0.96 40-59 2 853 329 0.01 0.83 60-79 1 840 102 0 0.30 80-99 410 944 0 0 TOTAAL 10 354 690 aantal 0-19 jaar in 2023: aantal 20-39 jaar in 2023: aantal 40-59 jaar in 2023: aantal 60-79 jaar in 2023: aantal 80-99 jaar in 2023: 329 853 2 01 . 0 947 842 2 34 . 0 368 407 2 43 . 0      368 407 2 98 . 0  947 842 2 96 . 0  329 853 2 83 . 0  102 840 1 30 . 0 

Een matrixmodel voor de evolutie van de

Belgische bevolking

V IV III II I 0 30 . 0 0 0 0 0 0 83 . 0 0 0 0 0 0 96 . 0 0 0 0 0 0 98 . 0 0 0 01 . 0 34 . 0 43 . 0 V IV III II I naar L van                  vruchtbaarheidscijfers                  944 410 102 840 1 329 853 2 947 842 2 368 407 2 0 X bevolking op 1 januari 2003 Lesliematrix overlevingskansen

Een matrixmodel voor de evolutie van de

Belgische bevolking

                                                            944 410 102 840 1 329 853 2 947 842 2 368 407 2 0 30 . 0 0 0 0 0 0 83 . 0 0 0 0 0 0 96 . 0 0 0 0 0 0 98 . 0 0 0 01 . 0 34 . 0 43 . 0 102 840 1 30 . 0 329 853 2 83 . 0 947 842 2 96 . 0 368 407 2 98 . 0 329 853 2 01 . 0 947 842 2 34 . 0 368 407 2 43 . 0

2003

2023

aantal 0-19 jaar in 2023: aantal 20-39 jaar in 2023: aantal 40-59 jaar in 2023: aantal 60-79 jaar in 2023: aantal 80-99 jaar in 2023: 329 853 2 01 . 0 947 842 2 34 . 0 368 407 2 43 . 0      368 407 2 98 . 0  947 842 2 96 . 0  329 853 2 83 . 0  102 840 1 30 . 0  van 2003 naar 2023:  L van 2023 naar 2043:  L van 2043 naar 2063:  L ...

Een verband tussen matrixmodellen en

recursievergelijkingen/exponentiële groei

begin: X

₀

elke periode van 20 jaar:  L

X

_n

= L  X

_n-1

X

_n

= L

n

 X

0 begin: 8 elke week:  1.25 A_n = 1.25  A_n-1 A_n = 1.25n  8

Lesliemodel: “exponentiële groei in matrixvorm”,

“exponentiële groei in meer dimensies”

recursievergelijking

in matrixvorm

Een verband tussen matrixmodellen en

recursievergelijkingen/exponentiële groei

2003

2023

2103

2043

Andere matrixmodellen: Usher model

• leeftijdsklassen niet even breed en/of

• leeftijdsklassen ‘breder’ dan de stappen in de tijd

                 55 54 44 43 33 32 22 21 5 4 3 2 11 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b b b b b b b b a a a a b a

b.v. leeftijdsklassen van 20 jaar, stappen in de tijd van 5 jaar

b.v. walvissen: jong, geslachtsrijp, oud           33 32 22 21 2 11 0 0 0 b b b b a b

een deel blijft in

Andere matrixmodellen: rekening houden

met geslacht

van

vrouw

man

naar

vrouw

man

10×10

overlevingskansen mannen overlevingskansen vrouwen vruchtbaarheids-cijfer – kind is jongen vruchtbaarheids-cijfer – kind is meisje

Andere matrixmodellen: rekening houden

met migratie

                                   _ ?? ?? ?? ?? ?? 0 30 . 0 0 0 0 0 0 83 . 0 0 0 0 0 0 96 . 0 0 0 0 0 0 98 . 0 0 0 01 . 0 34 . 0 43 . 0 1 n n X X migratie per leeftijdsklasse M I L L X L M I L X L M M X L L M X L X                      ) ... ( ... ) ( ) ( 3 4 0 5 3 2 3 4 5

bevolking in 2103

(met migratie):

Andere matrixmodellen: Markovmodellen

• migratiematrices

• merkentrouw en –ontrouw

• ...

Een (nieuw) verband tussen

matrixmodellen en recursievergelijkingen

A_n = aantal in leeftijdsklasse 1 na n periodes

B_n = aantal in leeftijdsklasse 2 na n periodes

C_n = aantal in leeftijdsklasse 3 na n periodes

D_n = aantal in leeftijdsklasse 4 na n periodes

E_n = aantal in leeftijdsklasse 4 na n periodes

                                                       1 1 1 1 1 0 30 . 0 0 0 0 0 0 83 . 0 0 0 0 0 0 96 . 0 0 0 0 0 0 98 . 0 0 0 01 . 0 34 . 0 43 . 0 n n n n n n n n n n E D C B A E D C B A                       1 1 1 1 1 1 1 30 . 0 83 . 0 96 . 0 98 . 0 01 . 0 34 . 0 43 . 0 n n n n n n n n n n n n D E C D B C A B C B A A 5 (gekoppelde) recursievergelijkingen die 5 (onbekende) rijen beschrijven

Een matrixmodel voor de evolutie van een bos

A_n = aantal bomen v.d. 1ste soort na n jaar

B_n = aantal bomen v.d. 2de soort na n jaar

nieuwe bomen groeien in de plaats, van de nieuwe bomen is • 25% van de 1ste soort

• 75% van de 2de soort op 1 jaar tijd sterft

• 1% van de bomen v.d. 1ste soort • 5% van de bomen v.d. 2de soort

nu:

• 10 bomen van de 1ste soort • 990 bomen van de 2de soort

Een matrixmodel voor de evolutie van een bos

A_n = aantal bomen v.d. 1ste soort na n jaar

B_n = aantal bomen v.d. 2de soort na n jaar

nieuwe bomen groeien in de plaats, van de nieuwe bomen is • 25% van de 1ste soort

• 75% van de 2de soort op 1 jaar tijd sterft

• 1% van de bomen v.d. 1ste soort • 5% van de bomen v.d. 2de soort

                     1 1 1 1 ) 75 . 0 05 . 0 95 . 0 ( 75 . 0 01 . 0 25 . 0 05 . 0 ) 25 . 0 01 . 0 99 . 0 ( n n n n n n B A B B A A

Een matrixmodel voor de evolutie van een bos

                     1 1 1 1 ) 75 . 0 05 . 0 95 . 0 ( 75 . 0 01 . 0 25 . 0 05 . 0 ) 25 . 0 01 . 0 99 . 0 ( n n n n n n B A B B A A                1 1 1 1 9875 . 0 0075 . 0 0125 . 0 9925 . 0 n n n n n n B A B B A A      990 10 0 0 B A maximum 3 (gekoppelde) recursievergelijkingen die 3 rijen beschrijven

Een matrixmodel voor de evolutie van een bos

via [2nd] [TBLSET] A_n: vertraagd stijgend met limiet 625 B_n: vertraagd dalend met limiet 375 • limiettoestand = evenwichtstoestand • dynamisch evenwicht • stabiel evenwicht • limiettoestand onafhankelijk van beginwaarde

Een nieuw type grafiek

via [2nd] [FORMAT] voor elke n wordt (A_n, B_n) (= (u (n), v (n)) getekend (10,990) (625,375) rechte x + y = 1000

Een nieuw type grafiek

in het begin: grote/snelle veranderingen op lange termijn: haast geen verandering meer

Oefening: recursief migreren

antwoorden: zie werktekst

aan het werk!

Langetermijnevolutie van de Belgische

bevolking: twee vaststellingen

y=a/x? exponentiële afname? ... doortocht van de babyboomers doortocht van de babyboomers doortocht van de

babyboomers grafieken van alle

leeftijdsklassen vertonen

grote en gemeenschappelijke regelmaat

Langetermijnevolutie van de Belgische

bevolking: twee vaststellingen

Na … periodes I II III IV V 0 1 -15,7% -17,0% - 4,3% 28,7% 34,3% 2 -16,1% -15,7% -17,0% - 4,3% 28,7% 3 -15,9% -16,1% -15,7% -17,0% -4,3% 4 -16,0% -15,9% -16,1% -15,7% -17,0% 5 -16,0% -16,0% -15,9% -16,1% -15,7% 6 -16,0% -16,0% -16,0% -15,9% -16,1%

groeipercentages:

op de lange termijn vermindert het aantal individuen in elke leeftijdsklasse met 16% over elke periode van 20 jaar

Langetermijnevolutie van de Belgische

bevolking: twee vaststellingen

op de lange termijn:

aantal personen in elke leeftijdsklasse en de totale bevolking groeien (bij benadering) exponentieel met groeifactor 0.84 (berekend over een periode van 20 jaar)

A_n  ...  0.84n B

n  ...  0.84n Cn  ...  0.84n Dn  ...  0.84n En  ...  0.84n

0.84 = langetermijn-groeifactor

groeifactor per jaar = 0.8420 0.9913...

1   - 0.87% per jaar 4 84 . 0 log 5 . 0 log _

bevolking halveert in periodes van 20 jaar

Langetermijnevolutie van de Belgische

bevolking: twee vaststellingen

na ... periodes 0-19 (I) 20-39 (II) 40-59 (III) 60-79 (IV) 80-99 (V) 0 23.25% 27.46% 27.56% 17.77% 3.97% 1 20.22% 23.50% 27.19% 23.59% 5.50% 2 19.06% 22.27% 25.35% 25.36% 7.95% 3 18.91% 22.04% 25.24% 24.84% 8.98% 4 18.91% 22.07% 25.20% 24.95% 8.87% 5 18.91% 22.06% 25.22% 24.90% 8.91% 6 18.91% 22.06% 25.21% 24.92% 8.89% 7 18.91% 22.06% 25.22% 24.91% 8.90% 8 18.91% 22.06% 25.21% 24.92% 8.90% 9 18.91% 22.06% 25.21% 24.91% 8.90% 10 18.91% 22.06% 25.21% 24.91% 8.90%

op de lange termijn stabiliseert de

Langetermijnevolutie van de Belgische

bevolking: twee vaststellingen

op de lange termijn:

aantal individuen in elke leeftijdsklasse vermindert met hetzelfde percentage



leeftijdsstructuur van de bevolking verandert niet meer in het begin:

aantallen individuen in de leeftijdsklassen verminderen /vermeerderen met een verschillend percentage



Wiskundig bepalen van de stabiele

leeftijdsstructuur

A_n  0.84A_{n -1} B_n  0.84B_{n -1} C_n  0.84C_{n -1} D_n  0.84D_{n -1} E_n  0.84E_{n -1} op de lange termijn: m.b.v. de populatievector: X_n  0.84X_{n -1}, of: X_{n +1}  0.84 X_n dit geeft: LX_n  0.84X_n

stabiele leeftijdsstructuur X voldoet aan stelsel LX = 0.84X

... en aan de voorwaarde dat de som van de componenten 1 (100%) is

Wiskundig bepalen van de stabiele

leeftijdsstructuur

                                                   E D C B A E D C B A 84 . 0 0 30 . 0 0 0 0 0 0 83 . 0 0 0 0 0 0 96 . 0 0 0 0 0 0 98 . 0 0 0 01 . 0 34 . 0 43 . 0                E D D C C B B A A C B A 84 . 0 30 . 0 84 . 0 83 . 0 84 . 0 96 . 0 84 . 0 98 . 0 84 . 0 01 . 0 34 . 0 43 . 0

stabiele leeftijdsstructuur X voldoet aan stelsel LX = 0.84X

de nulvector is een oplossing, maar heeft geen betekenis in deze contex

Wiskundig bepalen van de stabiele

leeftijdsstructuur

E D 30 . 0 84 . 0  ... 1891 . 0  A E D C 30 . 0 83 . 0 84 . 0 83 . 0 84 . 0 2    E C B 30 . 0 83 . 0 96 . 0 84 . 0 96 . 0 84 . 0 3     E B A 30 . 0 83 . 0 96 . 0 98 . 0 84 . 0 98 . 0 84 . 0 4      vergelijking (5): vergelijking (1): triviaal!

oplossing met som 1: ... 2206 . 0  B C  0.2521... D  0.2491... E  0.0889... lange-termijn-leeftijdsstructuur van de bevolking vergelijking (4): vergelijking (3): vergelijking (2):                E D D C C B B A A C B A 84 . 0 30 . 0 84 . 0 83 . 0 84 . 0 96 . 0 84 . 0 98 . 0 84 . 0 01 . 0 34 . 0 43 . 0

Wiskundig bepalen van de

langetermijngroeifactor

Het stelsel L X = 0.84 X heeft een niet-nul oplossing! De langetermijngroeifactor is een getal  waarvoor het stelsel L X =  X een niet-nul oplossingen heeft!

                                                   E D C B A E D C B A  0 30 . 0 0 0 0 0 0 83 . 0 0 0 0 0 0 96 . 0 0 0 0 0 0 98 . 0 0 0 01 . 0 34 . 0 43 . 0                E D D C C B B A A C B A      30 . 0 83 . 0 96 . 0 98 . 0 01 . 0 34 . 0 43 . 0

Wiskundig bepalen van de

langetermijngroeifactor

E D 30 . 0   E D C 30 . 0 83 . 0 83 . 0 2      E C B 30 . 0 83 . 0 96 . 0 96 . 0 3       E B A 30 . 0 83 . 0 96 . 0 98 . 0 98 . 0 4        vergelijking (5): vergelijking (1): vergelijking (4): vergelijking (3): vergelijking (2):                E D D C C B B A A C B A      30 . 0 83 . 0 96 . 0 98 . 0 01 . 0 34 . 0 43 . 0 0 30 . 0 83 . 0 01 . 0 30 . 0 83 . 0 96 . 0 34 . 0 30 . 0 83 . 0 96 . 0 98 . 0 ) 43 . 0 ( 2 3 4                         E

dit stelsel moet een niet-nul oplossing



 5  0.434  0.33323  0.0094082



 E  0

Wiskundig bepalen van de

langetermijngroeifactor

0 30 . 0 83 . 0 01 . 0 30 . 0 83 . 0 96 . 0 34 . 0 30 . 0 83 . 0 96 . 0 98 . 0 ) 43 . 0 ( 2 3 4                         E

• ...  0  E = 0, stelsel heeft alleen de nuloplossing • ... = 0  E kan vrij gekozen worden, stelsel heeft

Wiskundig bepalen van de

langetermijngroeifactor

alternatief: via determinant!

stelsel L X =  X heeft een niet-nul oplossing asa det (L - E ) = 0

Wiskundig bepalen van langetermijngroeifactor

en stabiele leeftijdsstructuur

langetermijngroeifactor is een

eigenwaarde

van de matrix L

stabiele leeftijdsstructuur is een

eigenvector

Konijnen

       0 9 . 0 1 . 1 2 . 0 L langetermijngroeifactor? stabiele leeftijdsstructuur?

?getal  zo dat het stelsel L X =  X een niet-nul oplossing heeft

         0 ) ( 9 . 0 0 1 . 1 ) 2 . 0 ( y x y x  

vergelijkingen in moeten evenredig met elkaar zijn

     1.1 9 . 0 2 . 0 _{ 1.1   0.9}        470 130 0 X langetermijngroeifactor geeft twee eigenwaarden:

Konijnen

       0 9 . 0 1 . 1 2 . 0 L langetermijngroeifactor? stabiele leeftijdsstructuur?        470 130 0 X langetermijngroeifactor is 1.1

Konijnen

       0 9 . 0 1 . 1 2 . 0 L _{ stabiele leeftijdsstructuur?}       470 130 0 X langetermijngroeifactor is 1.1                     y x y x 1 . 1 0 9 . 0 1 . 1 2 . 0

?getallen x en y met x + y = 1 zo dat

Konijnen

       0 9 . 0 1 . 1 2 . 0 L _       470 130 0

X langetermijngroeifactor is 1.1_{stabiele leeftijdsstructuur:}

• 55% 0-jarigen • 45% 1-jarigen uv-diagram: populatie verdeeld volgens de stabiele leeftijdsstructuur u en v veranderen, maar de verhouding tussen u en v blijft gelijk (punten liggen

op rechte door de oorsprong)

Konijnen

       0 9 . 0 1 . 1 2 . 0 L _       470 130 0

X langetermijngroeifactor is 1.1_{stabiele leeftijdsstructuur:}

• 55% 0-jarigen • 45% 1-jarigen uv-diagram: met de gegeven beginpopulatie: verhouding stabiliseert op lange termijn

rechte uit vorige slide (nu via STAT PLOT)

Konijnen: langetermijngedrag verklaard

       0 9 . 0 1 . 1 2 . 0 L _       470 130 0

X langetermijngroeifactor is 1.1_{stabiele leeftijdsstructuur:}

• 55% 0-jarigen • 45% 1-jarigen eigenwaarde -0.9 heeft eigenvectoren _

     k k                      200 200 270 330 470 130 0 X eigenvector met

eigenwaarde 1.1 eigenvector met eigenwaarde -0.9

Konijnen: langetermijngedrag verklaard

                     200 200 270 330 470 130 0 X eigenvector met

eigenwaarde 1.1 eigenvector met eigenwaarde -0.9                                                        200 200 ) 9 . 0 ( 270 330 1 . 1 200 200 270 330 200 200 270 330 0 1 LX L L L X                   200 200 ) 9 . 0 ( 270 330 1 . 1 ... 2 2 2 X                   200 200 ) 9 . 0 ( 270 330 1 . 1 ... n n n X ...

Konijnen: langetermijngedrag verklaard

                  200 200 ) 9 . 0 ( 270 330 1 . 1 ... n n n X n n n

x 3301.1  200(0.9) (en analoog voor y_n)

gedempt schommelend met limietwaarde 0 is groot heel als 1 . 1 330 n x_n   n

superpositie van een exponentieel stijgen en

Algemeen

kk-matrixmodel: X_n = P X_n-1 met beginwaarde X₀ veronderstel dat P k verschillende eigenwaarden

₁, ₂, ..., _k heeft, waarbij ₁ de eigenwaarde is met de grootste absolute waarde

dan kan de beginvector X₀ geschreven worden als een som van eigenvectoren (V_i is een eigenvector met eigenwaarde _i): X0 V1 V2 ...Vk

Algemeen

k V V V X₀  ₁  ₂ ...                                     k n k n n k n k n n k n n n k n n V V V V V V V P V P V P V V V P X 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 ... ... ... ) ... (         is groot heel als 0 1 1 2 1 2 _n n              is groot heel als 1 1 V n X _n  n 