H1: Lijnen en cirkels

Hoofdstuk 1:

Lijnen en cirkels.

1.

a.   2₇  

b. met de x-as:y 0 _{met de y-as: x 0} 2x 28 x 14 (14, 0)   7y 28 y 4 (0, 4)   c. 2x 7y 28  7 28 2 28 28 28 1 1 14 4 x y x y 1    

d. Dat zijn de snijpunten met de coördinaatassen.

2. a. x 1 5 3 y 3 5 1 z 3 3 3           _{ } _{ } _{ }              _  _         

b. met de x-as: met de y-as: met de z-as: 3 5 0 (1) 3 3 3 0 (2)            1 5 3 0 (1) 3 3 3 0 (2)           1 5 3 0 (1) 3 5 0 (2)           

Uit (1) volgt:    3 5 _{Uit (2) volgt:} 3   3 3 _{Uit (2) volgt:} 5   3

1 1 2 2 3 3 3(3 5 ) 0 3 3 9 15 0 12 6 en (5, 0, 0)                   1 5 (3 3 ) 0 1 5 3 3 0 2 4 2 en 3 (0, 10, 0)                      1 (3 ) 3 0 1 3 3 0 2 4 2 en 1 (0, 0, 6)                     c. 1 1 1 5x10y6z 1 6x 3y 5z 30   d. 6 3 5            3. a. 1 1 1 3x9y6z 1 6x 2y 3z 18   b. 6 2 3           c. x 5 6 y 1 2 z 1 3                        _          d. 6( 5 6 ) 2(1 2 ) 3( 1 3 ) 18           30 36 2 4 3 9 49 31 18 49 49 1 S(1, 3, 2)                 

e. x 4 1 y 2 3 z 1 0                                 

f. evenwijdig aan V, dus dezelfde normaalvector: 6x 2y 3z d   P invullen: 6 5 2 1 3 1        31 d 6x 2y 3z   31 4. a.   2₃   2x 3y 34  b. x 5 3   keer 2: 2x 10 6   y 8 2   _{keer 3:} 3y 24 6  

En nu de twee vergelijkingen bij elkaar optellen: 2x 3y 34 

5. a. x 1 2   ₍₁₎ y 3 (2) z 7 3 (3)      

b. Vergelijking (2) keer 2: 2y 6 2   _{deze plus vergelijking (1):} x 2y 7  c. x 2y (1 2 ) 2(3             ) 1 2 6 2 7 _{en dat klopt.}

d. Vergelijking (2) keer 3: 3y 9 3   _{en deze plus vergelijking (3):} 3y z 16  e. Een vergelijking in de ruimte stelt altijd een vlak voor.

6.

a. lijn l is de snijlijn van de twee vlakken V en W.

Vlak V is evenwijdig aan de z-as en vlak W is evenwijdig aan de x-as. b. De punten (3, 0, 8) en (5, 4, 2) liggen in beide vlakken en dus ook op l.

x 3 1 y 0 2 z 8 3          _{  }            _        7. a.       x_y  7₅    3₄       b. 3(7 3 ) 4(5 4 ) 25 0       16 25 2 11 25 25 21 9 20 16 25 25 16 0 25 16 S(5 , 2 )                

c. Omdat PS een deel is van de normaal en die staat loodrecht op l.

2 2

23 14 1

25 25 5

8. a.    _{   }x_y  3₁   _{ }2₃        b./c. 0 0 x x 2 y y 3            _{ }         8 13 3 11 13 13 2 2 3 11 8 13 13 13 2(3 2 ) 3( 1 3 ) 24 6 4 3 9 13 3 24 13 21 1 S(6 , 3 ) AS (3 ) (4 ) 1 13 5,82                         0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 24 2x 3y 13 0 0 2 2 2 2(x 2 ) 3(y 3 ) 24 2x 4 3y 9 13 2x 3y 24 13 24 2x 3y Q(x 2 , y 3 ) PQ (2 ) (3 ) 13 13                                      d. 24 2x 3y0 0 24 2x 3y0 0 13 13 PQ _{  } 13_   _ 13_   9. a. x 2 2 y 4 3 z 1 1                                   b. 2( 2 2 ) 3(4 3 ) (1         ) 12 13 14 6 11 13 7 14 14 4 4 12 9 1 14 15 12 14 27 1 S(1 , 1 , 2 )                   c. 6 2 11 2 13 2 27 7 14 14 14 PS  (3 )  ( 5 ) (1 )  7,22 d. 2 2 2 2 2 3 4 1 12 ₂₇ 14 2 ( 3) 1 d(P, V)           10. a. 2 2 5 7 3 2 24 ₁₇ 34 5 ( 3) d(P, l)         b. m : 8x 15y 53  8 4 15 10 53_{2 2} 65 14 17 17 8 15 d(Q, m)     3     11. 2 2 2 2 4 5 3 3 45 ₁₈ 26 1 4 3 d(R, V)          12. a. 2 2 2 0 4 0 8 0 c 1 ( 4) 8 d(O, V)      12      c 9 12 c 108   ofwel c 108  c 108 b. 2 2 2 0 4 6 8 9 c 1 ( 4) 8 d(Q, V)      10      48 c 90 48 c 90 48 c 90 c 138 c 42            

13. a. Q(2 , 3 2 , 1 2 )     b. 2 PQ 2 2 8 2          _{ } _{  }   uuur c. 2 1 2 2 2 0 8 2 2                    _{  }       (2 ) ( 2 2 ) 2 ( 8 2 ) 2 0 2 4 4 16 4 9 18 0 9 18 2                             

d. Voor  2 _{is PQ m}uuur , dus _{PQ d(P, m)  4}2_22_{ ( 4)}2 _{ 36 6}

e. 4 SQ 4 2 2      _  _  _    uuur 4 1 SQ m : 4 2 2 0 2 2           _   _{  }  _        uuur 1 3 2 2 2 2 1 2 3 3 3 (4 ) (4 2 ) 2 2 2 4 8 4 4 9 12 0 9 12 1 d(S, m) SQ (2 ) (1 ) (2 ) 16 4                             uuur      14.

a. 1 2  10  (1) _{Uit (1) volgt:}    2 9 _{en invullen in (2) levert:} 3 5 5 3 (2) 4 8 (3)              3 5 5 3(2 9) 5 6 27 6 32 33 en 2 33 9 57                       Controleren in (3):  4 33 37 65  8 57 l en m zijn kruisende lijnen.

b. P(1 2 , 3 5 , 4      ) _en Q(10       , 5 3 , 8 ) 10 (1 2 ) 9 2 PQ 5 3 (3 5 ) 8 3 5 8 ( 4 ) 4                      _        _{  } _{      }  _{    }      uuur c. 9 2 2 9 2 1 PQ l : 8 3 5 5 0 en PQ m : 8 3 5 3 0 4 1 4 1                          _     _{  }  _     _{  } _{    }   _ _{    }   _         uuur uuur 2(9 2 ) 5( 8 3 5 ) 1( 4 ) 18 2 4 40 15 25 4 18 30 18 0 (1) en 1(9 2 ) 3( 8 3 5 ) 1( 4 ) 9 2 24 9 15 4 11 18 11 0 (2)                                                                           

Vergelijking (1) keer 11 en vergelijking (2) keer 18 van elkaar aftrekken: 6 0

0 en 1   

   

d. _PQuuur _{ 10}2_{ ( 5)}2 _{ ( 5)}2 _{ 150}

e. Het verbindingslijnstuk PQ staat loodrecht op de lijnen l en m, dus PQ is de afstand tussen die twee lijnen.

15.

a. AP x 1_{y 2}     uur

Met de stelling van Pythagoras geldt nu dat _{(x 1)} 2_{(y 2)} 2 _52 _25

b. BPx 1_{y 2}  (x 1) 2(y 2) 2 52 25    uur c. AQ  BQ 2 2 2 2 (x 1) (y 2) (x 1) (y 2) d. _x2_{2x 1 y } 2_{4y 4 x } 2_{2x 1 y } 2_{4y 4} 4x 8y x 2y    

Dit is de middelloodlijn van AB.

16. a. 2 2 2 2 1 2 7 10 ₃ 2 1 7 12 ₃ 5 5 1 ( 2) 2 1 d(A, l)    en d(A, m)           b. d(P, l) d(P, m) 2 2 2 2 x 2 y 10 2 x y 12 1 ( 2) 2 1 x 2y 10 2x y 12                c. x 2y 10 2x y 12      x 2y 10   2x y 12  x 3y 22   3x y 2  d.

e. Het zijn de bissectrices van de hoeken die de lijnen met elkaar maken.

17. De normaalvectoren van de lijnen zijn 1 en 2

2 1

       



   . Het inproduct van deze twee vectoren is 0, dus de lijnen staan loodrecht op elkaar.

18.

a.

b. Punten op de bissectrice van CAB liggen even ver van lijn AC als van lijn AB af.

1 7 x y 2 x 7y 14 2 50 1 2 AC : y x 2 en AB : y x 2 50 x y 2 2 x 7y 14 5(x y 2) x 7y 14 5(x y 2) x 7y 14 4x 2y 4 0 6x 12y 24 0 2y 4x 4 12y 6x 24 y 2x 2 y x 2                                                c. BC : y 7x 46  x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -1 -2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 -2 l m

x y 2 7x y 46 2 50 1 2 d(P, AC) d(P, BC) 50 x y 2 2 7x y 46 5(x y 2) 7x y 46 5(x y 2) 7x y 46 2x 4y 56 0 12x 6y 36 0 4y 2x 56 6y 12x 36 y x 14 y 2x 6                                              x 7y 14 7x y 46 50 50 d(P, AB) d(P, BC) x 7y 14 7x y 46 x 7y 14 7x y 46 x 7y 14 7x y 46 6y 6x 60 8y 8x 32 y x 10 y x 4                                    d. 1

2x 2 2x 6   y 53110 4 32 , dus ook de derde bissectrice gaat door (5 , 4 )31 23 1 2 1 2 3 3 1 x 8 x 5 en y 4    19. a. d(P, V) d(P, W) 2x y z 8 x y 2z 12 6 6 2x y z 8 x y 2z 12               b. 2x y z 8 x y 2z 12        2x y z 8      x y 2z 12 x 2y z    4 3x 3z 20  20. a. _{(x 3)} 2_{(y 4)} 2_{(z 5)} 2 _{ (x 5)} 2_{(y 2)} 2_{(z 1)} 2 b. _{(x 3)} 2_{(y 4)} 2 _{(z 5)} 2 _{(x 5)} 2_{(y 2)} 2_{(z 1)} 2 2 2 2 2 2 2 x 6x 9 y 8y 16 z 10z 25 x 10x 25 y 4y 4 z 2z 1 4x 12y 8z 20 x 3y 2z 5                          1 n 3 2        _    21.

a. De normaal van vlak OAB staat loodrecht op OA en OBuuur uuur. 6a 4b 4c 0 (1) 10a 6b 2c 0 (2)       6 4b 4c 0 20 12b 4c 0      

Kies a 1 en tel de vergelijking (1) en twee keer vergelijking (2) bij elkaar op:

1 4 26 8b 0 8b 26 b 3       1 4 3 4 6 4 3 4c 6 13 4c 19 4c 0 4c 19 c 4             1 4 3 4 1 4 n 3 13 19 4          _{  }  _   _ _   OAB: 4x 13y 19z 0  

b. OAuuur is de normaal van het middelloodvlak en het midden van OAuuur, (3, -2, -2) ligt in het vlak. 3x 2y 2z 17  

c. OBuuur is de normaal van het vlak en gaat door het midden van OBuuur, (5, 3, 1): 5x 3y z 35   d. De eerste vergelijking plus twee keer de tweede vergelijking: 13x 4y 87 

Kies x 3 , dan is y 12 _en z 35 5 3 3 12      16 s gaat door (3, 12, -16) Kies x 7 , dan is y 1 _{en z 35 5 7 3 1 3}       en door (7, -1, 3)

x 3 4 s : y 12 13 z 16 19                         _         

e. s ligt in het middelloodvlak van OA. Dus voor elk punt P op s geldt: OP  AP s ligt in het middelloodvlak van OB. Dus voor elk punt P op s geldt: OP  BP Hieruit volgt: OP  AP  BP 22. a. a en p b q            

b. n ll  en nm m. Als l m dan geldt: nl  l m n m. Dus de normalen staan ook loodrecht op

elkaar.

c. Het inproduct is 0: ap bq 0 

23.

a. De normalen zijn  2₅ en   5₂ 

   . Het inproduct van deze twee vectoren is 0. b. 2x 5y 12  5x 2y 7  2 2 5 5 5y 2x 12 y x 2     1 1 2 2 2y 5x 7 y 2 x 3       en 25 221  1 c. ax by c 0   px qy r 0   a c b b by ax c y x       p r q q qy px r y x      

d. De lijnen staan loodrecht op elkaar, dus het inproduct van de normaalvectoren is 0. Er geldt dan

ap bq bq bq ap bq 0 ap bq 1     

   en dan geldt ook:

p ap a 1 2 b q bq m m       1 24. a. n 3 4     

  en een vergelijking van l: 3x 4y 17  b. De richtingscoëfficiënt van l is 3 4  _{. De richtingscoëfficiënt van k is} 1 3 1 . c. 1 3 y 1 x b  1 2 3 3 2 3 1 2 3 3 7 1 2 b 2 b b 9 y 1 x 9           x 2 3 y 7 4                     

a. V W V W 2 1 n 3 , n 1 en n n 2 1 3 1 1 1 0 1 1          _{ } _{ }                  , dus nV nW. b. -26. a. De vector a 3 2   _        staat loodrecht op 0 2 3          

. Maar die vector moet ook loodrecht staan op 7 1 2       _    . 7a 3 1 2 2 7a 3 4 7a 7 0 7a 7 a 1               de normaalvector van V is 1 3 2            De vergelijking van V is: x 3y 2z 7   _.

b. a 1 a 1 1 3 4 2 a 5 0 1 3 a 5 4 2                                  27.

a. Breiden we het vlak PBQ uit, dan krijgen we het vlak PBQD.

Verleng DP tot aan de x-as: (24, 0, 0) en verleng DQ tot de y-as: (0, 24, 0) Een vergelijking van PBQ is dan: 1 1 1

24x24y12z 1 ofwel x y 2z 24    b. 12 OM 12 24            uuur

heeft dezelfde richting als de normaalvector van PBQ: 1 1 2           . 28. a. AP 1 , BP 7 en 1 7 0 7 1 7 1                         uur uur

dus de vectoren staan loodrecht op elkaar.

b. 0 0 0 0 0 0 0 0 x 3 x 11 AP , BP en (x 3)(x 11) (y 2)(y 4) 0 y 2 y 4       _ _ _ _             uur uur 2 2 2 2 2 2 x 14x 33 y 2y 8 0 x 14x 49 y 2y 1 25 (x 7) (y 1) 25                 c. 11 3 4 2 2 2 M(3_  , 2_{ }  ) M(7, 1)_ d. _{MP  (x 7)} 2_{(y 1)} 2 _{ 25 5} 29. x x 10 OP y , AP y 3 3          _{ } _{ }         uur uur

30. a. _{OP  8 1}2_ 2 _{ 65} b. _{OP  x}2_y2 c. _x2_y2 _{ 65 en daaruit volgt x}2_y2 _65. 31. a. _{r AM  (5 2)} 2_{(3 1)}2 _{ 3}2_42 _{ 25 5} b. _{d(P, M) (x 2)} 2_{(y 1)} 2 _5 2 2 (x 2) (y 1) 25 32. a. _{d(P, M) (x 2)} 2_{(y 4)} 2_{(z 5)} 2

b. De punten liggen allemaal op afstand 10 van het punt (3, -10, -9): bol

33.

a. _{(x 4)} 2_{(y 2)} 2 _{(4 1)}2_{   ( 2 3)}2 _26

b. _{(3 4)} 2_{(3 2)} 2 _{ ( 1)}2_52 _{26 klopt.}

c. Het midden van AC is 3 1 3 3

2 2

M( 1_{ }  , 3_{ }  ) M(1, 0)_

2 2

MA  ( 1 1)    ( 3 0)  13 MC en _{MB  (4 1)} 2_{  ( 2 0)}2 _{ 13 dus A, B en C liggen}

op de cirkel met middelpunt M: _{(x 1)} 2_y2 _13.

34.

a. _{r OM  ( 3)} 2_42_22 _{ 29}

2 2 2

b : (x 3) (y 4) (z 2) 29

b. evenwijdig aan het Oxy-vlak is een horizontaal vlak. De hoogte van het middelpunt is 2, de straal is 29. V kan dus zijn: z 2  29 of z 2  29 .

35. a. _{(x 2)} 2_{(y 5)} 2 _25 b. _x2_{4x 4 y } 2_{10y 25 25 } 2 2 x 4x y 10y 4 0  36. a. 8 6 2 2 a_{ }4 en b_  _{ }3 b. _{(x 4)} 2_{(y 3)} 2 _x2_{8x 16 y } 2_{6y 9 x } 2_{8x y} 2_{6y 25} c. _x2_{8x y} 2_{6y 11 x } 2_{8x 16 y } 2_{6y 9 14 (x 4)   } 2_{(y 3)} 2_{14 0} 2 2 (x 4) (y 3) 14 d. M(4, -3) en r 14

37. a. 2 2 2 2 1 1 4 4 x y 2x 5y 13 x   2x 1 y  5y 6 20 0 2 1 2 1 2 4 (x 1) (y 2 ) 20 M(1, 1 2 2  _{) en} 1 1 4 2 r 20 4 b. _x2_y2_z2_{2x 2y 6z 14  } 2 2 2 2 2 2 x 2x 1 y 2y 1 z 6z 9 14 1 1 9 25 (x 1) (y 1) (z 3) 25                    M(1, -1, -3) en r 5 . c. 2 2 1 4 x 7x y 5y 2 1 2 1 1 1 1 3 4 4 4 4 4 4 2 2 3 1 1 2 2 4 x 7x 12 y 5y 6 12 6 18 (x 3 ) (y 2 ) 18              M( 3 , 2 ) en r 21 21  1834 d. _x2_{2x y} 2_{ y z}2_{10z 106} 2 2 1 2 1 4 4 2 1 2 2 1 2 4 x 2x 1 y y z 10z 25 132 (x 1) (y ) (z 5) 132                1 1 2 2 M(1, , 5) en r 11  38. a. _x2_{(x 4 5) } 2 _x2_{(x 1)} 2 _x2_x2_{2x 1 2x } 2_{2x 1 25 } 2 2 2x 2x 24 2(x x 12) 2(x 4)(x 3) 0 x 4 x 3              b. (4, 8) en (-3, 1) 39. a.

-b. Het spoor wordt een rechte lijn. De stippen liggen steeds even ver (r) van A als van B af. c. d(P, A) d(P, B) 2 2 2 2 2 2 2 2 (x 2) (y 7) (x 7) (y 1) x 4x 4 y 14y 49 x 14x 49 y 2y 1 18x 12y 3 6x 4y 1                         d. -40. a. d 2,23

b. Ja, het snijpunt van de bissectrices is het middelpunt van de ingeschreven cirkel van de driehoek. 41. a. PR 6 , QR 2 en PQ 8 2 6 8       _{ } _{ } _{ }        

uur uuur uuur

zijn de normalen en (6, 8), (10, 4) en (7, 5) de middens. 3x y 10,   x 3y 2 en x y 2  

b./c.

d. _{(x 4)} 2_{(y 2)} 2 _{50 Het middelpunt is (4, 2) en de straal}

50. e. Ja, PR is nu middellijn geworden.

42.

a.

b. De punten S vormen een cirkel. PSQ 90

  o_{, dus S ligt op een cirkel met middellijn PQ (Thales).}

c. _{(x 2)} 2_{(y 2)} 2 _37 43. a/b/c. d. 2 2 2 9 3 1 11 ₂₆ 13 2 ( 3) d(P, a)     7,21      44. a. b. AB : x 3y  2 AC : x y 0  BC : 3x y 18 

c. De hoogtelijn uit A: x 3y 4  _{en die staat loodrecht op BC. (inproduct van de normalen is 0)} De hoogtelijn uit B: x y 10  _{en die staat loodrecht op AC. (inproduct van de normalen is 0)} De hoogtelijn uit C: 3x y 36  _{en die staat loodrecht op AB. (inproduct van de normalen is 0)} d. Ja, zolang C niet op de lijn AB ligt.

e. Driehoek ABC wordt nu rechthoekig met de rechte hoek in B.

45. a. _x2_{6x y} 2_{8y 0} 2 2 2 2 x 6x 9 y 8y 16 25 (x 3) (y 4) 25           Middelpunt (3, -4) en straal 5. b. lijn m staat loodrecht op MR. c. MR : 4x 3y 0  1 3 2 1 2 2 7 2 2 7 2 2 3 9 3 9 3 2 7 2 7 9 3 9 3y 4x y 1 x (x 3) ( 1 x 4) x 6x 9 1 x 10 x 16 2 x 16 x 25 25 2 x 16 x 2 x(x 6) 0 x 0 x 6 R(0, 0) R(6, 8)                           

d. De lijn door M snijdt AB loodrecht en in het midden N.

AN



3

AM



5

MN



4

N n

n

( , 1



)

n

n

n n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

(3

)

( 4 1

)

9 6

16 10

1

2

16

25

4

2

16

25 16

2

16

9 0

5



  





























 







46. a. _x2_{12x y} 2_{8y z} 2_{16z 91 0 } 2 2 2 2 2 2 x 12x 36 y 8y 16 z 16z 64 25 (x 6) (y 4) (z 8) 25 M(6, 4, 8) en r 5                 b. 2 2 2 2 6 3 4 1 8 ₈ 1 _{2 ( 3) 1 14} d(M, V )           _d. 0 4 3       _    c. 2 2 2 2 2 2 2 2 6 3 4 c 8 8c 8c c _{2 ( 3) 1 2 ( 3) c 13 c} d(M, V )      5            _{e. W : 4y 3z d 0}   2 2 2 2 2 2 25 3 25 5 5 3 3 3 5 13 c 8c 5 13 c 8c 25(13 c ) 64c 39c 325 c c c                 2 2 d 4 4 3 8 d 8 d 5 4 ( 3) d(M, W ) 5 5 8 d 25 8 d 25 d 33 d 17 4y 3z 33 4y 3z 17                           

Dit zijn raakvlakken aan de bol.

47. a. _{AF  (1 8)} 2_{ (1 0)}2 _{ 50 5 2 en} 2 2 8 0 2 ₁₀ 2 1 1 d(A, l)   5 2     b. 2 2 x y 2 2 PF (1 x) (1 y)   d(P, l)       2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 (1 x) (1 y) (x y 2) 1 2x x 1 2y y (x 2xy y 4(x y) 4) x xy y 2x 2y 2 x y 4x 4y xy 0 x y 8x 8y 2xy 0                                  c. parabool. 48.

a. Omdat de afstand van het middelpunt tot elk van de grensvlakken gelijk moet zijn aan de straal

b. 1 1 1

10 15 10

OAB : z 0 en ABC : x  y z 1 ofwel 3x 2y 3z 30   

2 2 2 3x 2y 3z 30 3 2 3 d(P, OAB) d(P, ABC) z z 22 3x 2y 3z 30 z 22 3x 2y 3z 30 3x 2y (3 22)z 30 3x 2y (3 22)z 30                          

c. bissectricevlak tussen OAB en OBC: z x _{en tussen OAC en OBC:} y x d. Uit opgave c volgt: x y z 

30 8 22 3x 2x (3 22)x (8 22)x 30 x 2,36 M(2,36; 2,36; 2,36)          e. r d(M, OAB) 2,36  f. _{(x 2,36)} 2_{(y 2,36)} 2_{(z 2,36)} 2 _5,59

49.

a. M ligt op de lijn OF:

x 1 y 1 z 1                       

b. De afstand van M tot het grondvlak (_{) is gelijk aan de afstand van N tot het bovenvlak. Dus} de z-coördinaat van N is 12  . Zo ook met de x- en de y-coördinaat van N.

Dus N(12 , 12 , 12 )

c. De bollen raken elkaar. De afstand tussen de middelpunten is gelijk aan 2 keer de straal. d. _{MN  (12 2 )  }2 _{(12 2 )  }2 _{(12 2 )  }2 _{3 (12 2 )     omdat de straal gelijk is aan de} 2 ₂

hoogte van M. Beide kanten kwadrateren: _{3(12 2 )   }2 ₄ 2_.

e. _{3(144 48}    _{4 ) 432 144}2      ₁₂ 2 ₄ 2            2 ABC formule 8 144 432 0 3,80 14,20 f. M(3,80; 3,80; 3,80) N(8,20; 8,20; 8,20) en r 3,80 _. T_1.

a. Omdat BC evenwijdig is aan de y-as, ligt C in vlak V.

b. 1 1 4x5z 1 5x 4z 20  c. x 9 5 y 3 0 z 4 4                                  T_2. a. x 3 OF : y 4 z 3                       en x 6 3 AG : y 0 4 z 0 3                                  3 6 3 (1) 4 4 (2) 3 3 (3)           Uit (2) volgt:    3 6 3 6 6 1         M(3, 4, 3)

b. OBE, OBG, BEG en OEG liggen op gelijke afstand van M. c. x 3 1 OBE : y 4 0 z 0 1                                  

Een normaal van OBE is 4 3 4        _    . OBE: 4x 3y 4z 0   ₂4 3 3 4 4 3_{2 2} 12 41 4 ( 3) ( 4) d(M, OBE)            T_3. a. 1 2 OA : y 2x en AB : y   x 5 2x y 0  x 2y 10 0   2 2 2 2 2x y x 2y 10 2 ( 1) 1 2 d(P, OA) d(P, AB)         b. 2x y  x 2y 10  2x y x 2y 10 2x y x 2y 10 x 3y 10 3x y 10                

c. De bissectrice van OAB is 3x y 10  _.

d. 3 4 OB : y x 3 3 4 4 2 3 3x x 3 x 10 x 2 en y 2      e. 2 2 2 1 3 3 OS  (2 ) 2 3 2 2 2 2 3 3 SB  (4 2 ) (3 2) 1 1 2 3 3 OS : SB 3 : 1 2 : 1 2 2 OA  2 4  20 2 5 _{AB  (4 2)} 2_{(3 4)} 2 _{ 5 OA : AB 2 : 1} T_4. a./c. _x2_{4x y} 2_{4y z} 2_{2z 135 0 } 2 2 2 2 2 2 x 4x 4 y 4y 4 z 2z 1 144 (x 2) (y 2) (z 1) 144 M(2, 2, 1) en r 12                  

b. _{MP  (5 2)} 2 _{(6 2)}2_{(6 1)}2 _{ 122 12 , dus P ligt binnen de bol.} T_5. a. x 5 x 9 AP y 7 , BP y 1 z 8 z 6           _  _ _  _  _   _      uur uur

en uit AP BPuuruur volgt (x 5)(x 9) (y 7)(y 1) (z 8)(z 6) 0         . b. _x2_{4x 45 y } 2_{8y 7 z } 2_{14z 48 0 } 2 2 2 2 2 2 x 4x 4 y 8y 16 z 14z 49 73 (x 2) (y 4) (z 7) 59 M( 2, 4, 7) en r 59                  T_6.

a. O en C liggen op de bol: d(O, M) d(C, M) _{. Dus M ligt in het middelloodvlak van OC.} Het verticale vlak door het midden van OC 1 1

2 2

(2 , ) _{heeft als normaal} OC 5 1     _   uuur . 5x y 13  _.

b. MLV : x y 5OB   5 AB 5 10        _    uuur

is de normaal van het middelloodvlak en dat vlak gaat door 1 1

2 2

(2 , 2 , 5)

AB

MLV : x y 2z   5

c. Omdat de afstand van M tot de punten O, A, B en C gelijk is.

d. Uit b volgt: 5 2z  5 _{Uit a volgt:} y 5x 13  _{en invullen in b: x 5x 13 5}   2z 10 z 5   6x 18 x 3 en y 2    2 2 2 b : (x 3) (y 2) (z 5) 38 T_7. a. OA : x 3y 0 en OB : 2x y 0    x 3y 2x y 10 5 2 2 1 2 2 1 3 2 3 2 d(P, OA) d(P, OB) 5(x 3y) 10(2x y) 5(x 3y) 10( 2x y) x 3y 2(2x y) x 3y 2( 2x y) ( 3 2)y (2 2 1)x ( 3 2)y ( 2 2 1)x y x 1,15x y x 0,87x                                          b. AB : x 2y 10  2 2 1 3 2 4 2 2 5 2 5 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 6 2 2 2 2 1 6 2 2 2 4 2 5 2 5 2 1 3 2 2 1 2 1 x 2 x x x x 10 x 10 en y                               T_8.

a. Vlak BCT is evenwijdig aan de x-as.

1 1 5 12 BCT : y z 1 ofwel 12y 5z 60   b. d(P, BCT) 5 60₁₃ c. d(P, BCT) d(P, ABCD) 5 60 13    d. 5 60 13    5 60  13 _{f. 50  }2 _{12 }                 1 1 2 3 2 2 1 2 1 3 9 8 60 18 60 7 3 x y (z 3 ) 11 2 2 2 11 12 50 (12 ) 144 24 24 94 3               e. _{BQ  ( 5)} 2_{ ( 5)}2_{  }2 _{50 }2 g. 2 2 11 2 1 2 12 12 x y (z 3 ) (8 )