Een niet-lineaire aanpassing in de
Kyrstou-Labystoets op Grangercausaliteit
Bram de Waard - 6136435
begeleider: dhr. prof. dr. C.G.H. Diks
Studie: econometrie - bachelorscriptie - 6 januari 2016
Samenvatting
Het doel van het onderhavige onderzoek is om een toets te ontwikkelen met een hogere power in het aantonen van niet-lineaire Grangercausaliteit dan de Kyrtsou-Labystoets. De gebruikte modellen worden toegepast op de S&P 500 index en de WTI olieprijs.
Inhoudsopgave
Pagina 1 Inleiding 2 2 Theoretisch Kader 3 2.1 Grangercausaliteit . . . 3 2.2 Mackey-Glassmodel . . . 5 2.3 ESTAR . . . 6 3 Data 6 4 Onderzoeksopzet 7 4.1 Modellen . . . 8 4.2 Parameterschattingen . . . 9 4.3 Simulatieopzet . . . 10 5 Resultaten 11 5.1 Parameterschattingen . . . 11 5.2 Size . . . 14 5.3 Power . . . 15 6 Conclusie 18 Referenties 201. Inleiding
Het Mackey-Glassmodel is een veel gebruikt model om tussen financiële en economische tijdreek-sen een verband te schatten. Kyrstou en Labys (2006) maken gebruik van het Mackey-Glassmodel om een model voor twee fianciële tijdreeksen te definiëren. Met het model trachten de auteurs een verband tussen toekomstige ontwikkelingen in de prijzen van grondstoffen en historische data van zowel grondstofprijzen als inflatie te schatten. Het verband dat auteurs met hun toets trachten te kwantificeren is Grangercausaliteit. Een tijdreeks X is een Grangercausaliteit van een tijdreeks Y wanneer met het verleden en het heden van X een voorspelling gedaan kan worden over de toe-komst van Y . Het ontdekken en het kwantificeren van een Grangercausaliteit in een tijdreeks kan voor beleidsmakers en belanghebbenden van toegevoegde waarde zijn.
Mackey en Glass (1977) bouwden hun model niet om toekomstige ontwikkelingen in financiële tijdreeksen te kunnen voorspellen, maar zij bouwden hun model voor fysiologische tijdreeksen. De auteurs concluderen uit de resultaten van hun toets dat een aantal dynamische ziekten pathologisch gedrag produceert. Voor het onderzoek van Mackey en Glass (1977) wordt gebruik gemaakt van klinische data, bestaande uit dynamische ademhalings- en hematopoïetische ziekten.
Afgevraagd kan worden of de niet-lineaire term van het Mackey-Glassmodel ontwikkelingen in financiële tijdreeksen wel net zo goed kan kwantificeren als ontwikkelingen in fysiologische tijdreeksen. Dit vormt de aanleiding van onderhavig onderzoek (hierna te noemen: "Scriptie-onderzoek"). De eigenlijk fysiologische niet-lineaire term wordt hedendaags gebruikt voor het kwantificeren van verbanden tussen financiële en economische tijdreeksen. Het Scriptieonderzoek definiëert een nieuw model waarmee Grangercausaliteit tussen twee financiële tijdreeksen geschat kan worden. Het nieuwe model is een aanpassing van de niet-lineaire term in het model van Kyrstou en Labys (2006). De nieuwe niet-lineaire term tracht het verband tussen twee financiële tijdreeksen beter te kwantificeren dan de niet-lineaire term van Mackey en Glass (1977).
Met behulp van econometrische theorie en datagenererende processen wordt de nieuwe niet-lineaire term tot ontwikkeling gebracht. Vervolgens komt het aangepaste model tot stand door het reeds bestaande model van Kyrtsou en Labys (2006) aan te passen. Op basis van twee financiële tijdreeksen worden de onbekende parameters in het aangepaste model en in het model van Kyrstou en Labys (2006) geschat, om vervolgens te toetsen op Grangercausaliteit in de twee tijdreeksen.
De ‘power’ en ‘size’ van de toetsen komen tot stand door simulaties van specifiek datagenererend proces. Het doel van het Scriptieonderzoek is om een toets voor niet-lineaire Grangercausaliteit te ontwikkelen met een hogere power dan de Kyrtsou-Labystoets. Dus onderzocht wordt in hoeverre de ‘size’ en de ‘power’ van de reeds bestaande toets en de aangepaste toets van elkaar verschillen. Het onderzoek is als volgt opgebouwd. In het theoretische kader in hoofdstuk 2 worden de definities uit de literatuur uiteengezet voor het Scriptieonderzoek. Vervolgens komt in hoofdstuk 3 de dataset aan bod. Daarna toont hoofdstuk 4 de onderzoeksopzet waarin ook de nieuwe niet-lineaire term geconstrueerd wordt. De resultaten worden in hoofdstuk 5 besproken. Tot slot staat de conclusie in hoofdstuk 6.
2. Theoretisch Kader
In het theoretisch kader worden definities uiteengezet die de basis vormen voor het ontwikkelen van het aangepast samengestelde Mackey-Glassmodel om Grangercausaliteit tussen twee tijdreeksen te kwantificeren. De aanpassing komt tot stand uit de formulering van een nieuwe niet-lineaire term. Econometrische onderzoeken worden geraadpleegd voor de uiteenzetting van de definities.
Kyrtsou en Labys (2006) doen onderzoek naar de aard van de afhankelijkheid en causaliteit tussen inflatie en grondstofprijzen in de Verenigde Staten. Het verband tussen deze twee tijd-reeksen schatten de auteurs met behulp van het samengestelde Mackey-Glassmodel. Vervolgens toetsen de auteurs met behulp van de Hiemstra-Jonestest voor niet-lineaire Grangercausaliteit. De Hiemstra-Jonestest vormt voor Diks en Panchenko (2006) de aanleiding voor het ontwikkelen van een nieuwe statistische toets. De nieuwe statistische toets van Diks en Panchenko (2006) test op Grangercausaliteit.
In de eerste paragraaf van het theoretisch kader wordt de definitie van Grangercausaliteit ge-geven. Vervolgens wordt gekeken naar het Mackey-Glassmodel. En de derde paragraaf behandelt het ‘Exponential Smooth Transition Autogressive Model’ (ESTRAR).
2.1 Grangercausaliteit
Er is sprake van Grangercausaliteit wanneer een toekomstige ontwikkeling van een tijdreeks door beschikbare informatie van de tijdreeks en additionele informatie van een tweede tijdreeks uit het
heden en het verleden geschat kan worden. Voor bijvoorbeeld beleidsmakers kan het schatten van een toekomstige ontwikkeling in financiële en economische tijdreeksen een toegevoegde waarde zijn. In deze paragraaf wordt de definitie van Grangercausaliteit tussen twee tijdreeksen gegeven.
Een tijdreeks {Xt} is een Grangercausaliteit van een tijdreeks {Yt} wanneer met informatie van
het heden en het verleden van de tijdreeks {Xt} een ontwikkeling in de tijdreeks {Yt} beter
voor-speld kan worden dan zonder de informatie van het verleden van {Xt}. [..]for a strict stationary
bivariate process (Xt,Yt), {Xt} is a Granger case of {Yt} if past and current values of X contain
additional information on future values of Y that is not contained in past and current Y-values alone(Diks en Panchenko 2006). In Definitie 1 staat de formele definitie van niet-lineaire Gran-gercausaliteit (Diks Panchenko, 2006).
Definitie 1. Voor een bivariaten strikt stationair tijdreeksproces {(Xt,Yt)}, t ∈ Z, is {Xt} een
Gran-gercausaliteit van {Yt} wanneer, voor een k ≥ 1 geldt
(Yt+1, ...Yt+k|Fx,t, Fy,t) (Yt+1, ...Yt+k)|Fy,y. (1)
Omdat de definitie van Diks en Panchenko (2006) geen modelassumpties geeft, spreken de auteurs over een definitie van algemene Grangercausaliteit. De informatie van observaties uit het verleden van {Xt} en {Yt} zitten respectievelijk in Fx,t en Fy,t. Het symbool ’ ’ staat voor een ongelijkheid
in kansverdelingen. De bovengenoemde definitie stelt dat wanneer {Xt} een Grangercausaliteit
van {Yt} is, de kansverdeling van (Yt+1,...,Yt+k ) gegeven het verleden van {Xt} en {Yt} ongelijk is
aan de kansverdeling van (Yt+1,...,Yt+k ) gegeven alleen het verleden van {Yt}.
Voor het toetsen van Grangercausaliteit wordt gebruik gemaakt van de nulhypothese
H0: {Xt} is geen Grangercausaliteit van {Yt}. (2)
Er is sprake van Grangercausaliteit wanneer er voldoende statistisch bewijs is om de bovennoemde nulhypothese te verwerpen. Diks en Panchekno (2006) drukken de nulhypothese uit in ge-zamenlijke en conditionele kansverdelingen waarop vervolgens de auteurs de Hiemstra-Jonestest
en hun eigen aangepaste toets toepassen. Onder de nulhyptohese geldt fX,Y,Z(x, y, z) fX,Y(x, y) = fY,Z(y, z) fY(y) . (3)
De drievoudige willekeurige variabele (X ,Y, Z) en de samengestelde willekeurige variabele (Y, Z) zijn verdeeld als (Xt,Yt,Yt−1) en (Yt,Yt−1) respectievelijk.
2.2 Mackey-Glassmodel
Voor het schatten van een verband tussen twee tijdreeksen maken Kyrtsou en Labys (2006) gebruik van het Mackey-Glassmodel. De auteurs ontdekken namelijk de aanwezigheid van een dynamisch niet-lineair verband tussen inflatie en grondstofprijzen in de Verenigde Staten. Door middel van het Mackey-Glassmodel proberen de auteurs dit verband te identificeren. Het Mackey-Glassmodel vormt de basis van het nieuwe model dat in het Scriptieonderzoek tot stand komt en wordt in deze paragraaf uiteengezet.
Het samengestelde Mackey-Glassmodel bestaat uit de onderstaande twee vergelijkingen
Xt = α11 Xt−τ1 1 + Xc1 t−τ1 − δ11Xt−1+ α12 Yt−τ2 1 +Yc2 t−τ2 − δ12Yt−1+ εt , εt∼ N(0, 1), (4) Yt = α21 Xt−τ1 1 + Xc1 t−τ1 − δ21Xt−1+ α22 Yt−τ2 1 +Yc2 t−τ2 − δ22Yt−1+ µt, µt∼ N(0, 1). (5)
De storringstermen εten µtzijn onafhankelijke witte ruisprocessen. De parameters α en δ worden
geschat, τ is een vertraging en c is een constante. De auteurs kiezen een optimale vertraging voor het model door middel van de ‘likelihood ratio test’.
Kyrtsou en Labys (2006) gebruiken het Mackey-Glassmodel omdat de niet-lineaire termen in het model complexe afhankelijke dynamiek in tijd aankan. Het toevoegen en het verwijderen van de niet-lineaire termen zien Kyrtsou en Labys (2006) als een sterke eigenschap van het Mackey-Glassmodel. Met het model trachten de auteurs een dynamische niet-lineaire relatie tussen inflatie en grondstofprijzen in de Verenigde Staten te kwantificeren. De auteurs concluderen op basis van de schattingsresultaten uit het Mackey-Glassmodel voldoende bewijs voor dit verband te hebben gevonden.
2.3 ESTAR
Teräsvirta en Yang (2014) specificeren een overgangsfunctie met de eigenschap dat uitkomsten van extreme regimes identiek zijn. Wanneer de absolute waarde van st− c klein of groot is spreken
de auteurs van een extreem regime. De auteurs specificeren onderstaand ‘Exponential Smooth Transition Autoregressive Model’ (ESTAR)
g(sjt|γj, cj) = 1 − e−γj(sjt−cj)
2
, γj> 0. (6)
De functie g(sjt|γj, cj) is begrensd op [0,1]. γjis de helling parameter bepalend voor de vorm van
de functie, sjt is de j-de tijdreeks en cjis de locatieparameter.
3. Data
Het Scriptieonderzoek maakt gebruik gemaakt van twee financiële tijdreeksen voor de toepassing van het samengestelde Mackey-Glassmodel en het aangepaste model. In de tijdreeks Us en Vs
zitten observaties van de S&P500 index en respectievelijk de olieprijs. De tijdreeksen bevatten observaties uit de periode 01-08-2003 tot en met 31-07-2007 en het aantal observaties is 1000.
De S&P500 index bevat 500 Amerikaanse beursgenoteerde bedrijven, geselecteerd naar onder andere hoogste marktkapitalisatie op de ‘New York Stock Exchange’, ‘American Stock Exchange’ of op de ‘National Association of Securities Dealers Automated Quotations’ (NASDAQ). De in-dex schetst een beeld van de ontwikkelingen in ‘large caps’ op de Amerikaanse beurs. De ‘West Texas Intermediate’ (WTI) is een benchmark voor olieprijzen en wordt verhandeld op een Ameri-kaanse binnenlandse grondstofmarkt in Oklahoma. De twee tijdreeksen bevatten beide slotkoersen van producten die verhandelbaar zijn op een beurs in de Verenigde Staten en hun waarden zijn uitgedrukt in de Amerikaanse dollar.
Alvorens de toepassing van de modellen op de tijdreeksen worden de volgende operaties op de tijdreeksen uitgevoerd Xt= [log(Us) − log(Us−1)] 2 σX , (7) Yt= [log(Vs) − log(Vs−1)] 2 σY , (8)
waarin σXen σygedefinieerd zijn als respectievelijk de standaardafwijking van [log(Us)−log(Us−1)]2
en [log(Vs) − log(Vs−1)]2. Wegens de aanpassingen worden de tijdreeksen stationair en wordt
te-vens door de deling van de standaardafwijkingen geen numeriek probleem ondervonden bij de toe-passing van de gebruikte schattingstechnieken. De hypothese van een stationaire tijdreeks wordt bij Xten Ytondersteund door de ‘Augmented Dickey Fuller’ toets. Figuren 1 en 2 tonen het verloop
van de S&P500 index, Xt, de WTI olieprijs en Yt.
(a) S&P500 index (b) Xt Figuur 1: Het verloop van de S&P500 index en Xt.
(a) WTI olieprijs (b) Yt Figuur 2: Het verloop van de WTI olieprijs en Yt.
4. Onderzoeksopzet
In het onderzoek worden de niet-lineaire termen uit het samengestelde Mackey-Glassmodel ver-vangen door een nieuwe niet-lineaire term. De nieuwe niet-lineaire term is gebaseerd op econome-trische literatuur en de dataset. De nieuwe niet-lineaire term vormt samen met de lineaire termen uit het samengestelde Mackey-Glasmodel het aangepaste model van het onderzoek.
Vervolgens worden de onbekende parameters van het aangepaste model geschat door middel van ‘non linear least squares’. Met de gevonden parameters en het aangepaste model worden data gegenereerd. Tevens worden data gegenereerd waarvan voorafgaand bekend is dat zij geen Gran-gercausaliteit bezitten. Dit proces herhaalt zich voor het reeds bestaande samengestelde Mackey-Glassmodel. Met behulp van het datagenererende proces en ‘Monte Carlo’ simulaties worden de kwaliteiten van de Grangercausaliteittoetsen vergeleken. Bij elke simulatie worden de modellen ‘teruggeschat’ en de ‘size’ en de ‘power’ berekend.
In hoofdstuk 4.1 komt het aangepaste model tot stand. De aanpassing vindt plaats in de niet-lineaire term van het Mackey-Glassmodel. Vervolgens behandelt 4.2 de parameterschattingen. Als laatste worden in 4.3 de niet-lineaire Grangercausaliteittoetsen getoond.
4.1 Modellen
Het Mackey-Glassmodel is besproken in het theoretisch kader (hoofdstuk 2.2) en weergegeven in de vergelijkingen (4) en (5). Het ‘ESTAR’ model van Teräsvirta en Yang (2014) vormt de basis van de nieuwe niet-lineaire term. De auteurs maken gebruik van de exponentiële functie waarmee een twee-regimemodel tot stand komt. Omgeschreven naar de notaties van onderhavig onderzoek luidt de functie als volgt:
g(Xt−1|βx,2, βx,3) = 1 − e−βx,2(Xt−1−βx,3)
2
, βx,2> 0. (9)
De niet-lineaire term in het Mackey-Glass model wordt in eerste instantie vervangen door de func-tie g(Xt−1|βx,2, βx,3). Wanneer tevens de exponentieële functie wordt uitgeschreven komt het
vol-gende model tot stand
Xt= βx,1(1 − e−βx,2X
2
t−1e2Xt−1βx,2βx,3e−βx,2βx,32
) + βx,4Xt−1+ βx,5Yt−1+ εt. (10)
De termen βx,1e2Xt−1βx,2βx,3 en βx,4Xt−1 beschrijven beide een verband van Xt in de eerste orde en
zijn gecorreleerd met elkaar. De correlatiecoëficiënten tussen deze termen toegepast op de dataset zijn voor S&P500 en WTI olieprijzen respectievelijk ρX = 0, 5499 en ρY = 0, 5685. De correlatie
uitvoeren van ‘Non Linear Least Sqaures’(NLS). Om dit probleem op te lossen wordt het model anders gespecificeerd. De keuze wordt gemaakt om de lineaire term te behouden en de nietlineaire term aan te passen, zodat het model termen voor zowel lineaire als nietlineaire Grangercausaliteit bezit. De specificatie van het aangepaste model voor Xt en Ytis
Xt= βx,1(1 − e−βx,2X 2 t−1) + βx,3Xt−1+ βx,4Yt−1+ ε t, (11) Yt = βy,1(1 − e−βy,2Y 2 t−1) + β y,3Xt−1+ βy,4Yt−1+ µt. (12)
De verdelingen van de storringstermen εt en µt zijn onbekend. De onbekende parameters θx =
(βx,1, βx,2, βx,3, βx,4) en θy = (βy,1, βy,2, βy,3, βy,4) worden geschat door NLS toe te passen op de
dataset.
4.2 Parameterschattingen
De onbekende parameterruimtes θx en θy van het aangepaste model worden geschat door middel
van NLS. De onbekende parameters uit het samengestelde Mackey-Glassmodel, gedefinieerd door κx en κy worden geschat door middel van ‘Ordinary Least Squares’ (OLS). OLS is toepasbaar
op het samengestelde Mackey-Glassmodel omdat wordt gekozen voor c1,c2=1. Uit de resultaten
van beide schattingstechnieken komen de parameters voor het datagenererend proces tot stand, namelijk
θx,0= ( ˆβx,1, ˆβx,2, ˆβx,4, ˆβx,5, ) , θy,0= ( ˆβy,1, ˆβy,2, ˆβy,4, ˆβy,5, ), (13)
κx,0 = ( ˆα11, ˆδ11, ˆα12, ˆκ12) , κy,0= ( ˆα21, ˆδ21, ˆα22, ˆκ22). (14)
De startwaarden van θx en θyin NLS leveren problemen op bij het schatten van de parameters
voor de S&P500. Daarom wordt gekozen voor de ’NL2SOL’ methode (Dennis, Gay en Welsch, 19XX). To promote converges from poor starting guesses, NL2SOL uses a model/trust-region technique along with an adaptive choice of the model Hessian(Dennis, Gay en Welsch, 20XX).
Het samengestelde Mackey-Glassmodel bevat voor één tijdreeks 2 termen voor niet-lineaire Grangercausaliteit maar het aangepaste model bevat daarentegen 1 term voor niet-lineaire Gran-gercausaliteit. In het aangepaste model wordt voor de niet-lineaire term het directe en het indirecte effect van andere mogelijke verklarende variabelen op de afhankelijke variabele geschat. Een
andere mogelijke verklarende variabele is een tweede niet-lineaire term. In het samengestelde Mackey-Glassmodel wordt dit indirecte effect ontnomen uit de schatting van één niet-lineaire term door de toevoeging van een tweede niet-lineaire term. Om de directe en indirecte effecten in beide modellen gelijk te stellen worden de onbekende parameters α12 en α21 voorafgaand het schatten
van het samengestelde Mackey-Glassmodel gelijk gesteld aan nul.
4.3 Simulatieopzet
Twee verschillende soorten datasets worden gegenereerd, een dataset waarvan bekend is dat deze Grangercausaliteit bezit en een dataset waarvan bekend is geen Grangercausaliteit te bezitten. Elke gegenereerde dataset bestaat uit twee tijdreeksen en bevat n observaties. Voor het datagenererende proces zonder Grangercausaliteit wordt het ARCH(1) model gebruikt. Voor het datagenererende proces met Grangercausaliteit wordt voor het Mackey-Glassmodel en voor het aangepaste model respectievelijk het Mackey-Glassmodel en het aangepaste model gebruikt.
Data worden gegenereerd op basis van de parameters die tot stand zijn gekomen uit de regres-sies OLS en NLS. Tevens worden de residuen van deze regresregres-sies bewaard voor het desbetreffende datagenererende proces. Bij elke gegenereerde observatie wordt een willekeurig residu getrokken uit de vector met de residuen van de desbetreffende regressie. De startwaarden zijn willekeurige trekkingen uit waargenomen observaties van Xten Ytvoor respectievelijk de twee genererende
tijd-reeksen. In een proces worden 1000 opeenvolgende observaties gegenereerd, de ‘burn-in’ periode, vervolgens worden de n opeenvolgende observaties gegenereerd.
Wanneer op basis van het geschatte Mackey-Glassmodel of het aangepaste model data worden gegenereerd, wordt bij elke iteratie vervolgens het Mackey-Glassmodel of respectievelijk het aan-gepaste model ‘teruggeschat’. Daarentegen wordt bij het datagenererend proces op basis van het ARCH(1) model zowel het Mackey-Glassmodel als het aangepaste model geschat. Het ARCH(1) model voor de twee tijdreeksen wordt gedefinieerd als
Xt ∼ N(0, 1 + 0, 4Yt−12 ), Yt∼ N(0, 1 + 0, 4Yt−12 ). (15)
Dit proces voldoet aan de nulhypothese, Xtis geen Grangercausaliteit van Yt. Als er getoetst wordt
gemaakt van Xt−1.
Vervolgens worden de schattingsresultaten van de niet-lineaire termen bij elke iteratie getoetst op significantie voor het verkrijgen van de ‘power’ en de ‘size’ van een toets. De power wordt gedefinieerd als de kans op het terecht verwerpen van de nulhypothese. Als de power naar 1 con-vergeert, wanneer het aantal observaties naar oneindig gaat, wordt de test consistent genoemd. De size wordt gedefinieerd als de kans op het onterecht verwerpen van de nulhypothese. De nulhypo-thesen voor de toetsen zijn
H0: Xt is geen niet-lineaire Grangercausaliteit van Yt. (16)
H0,AM: ˆβx,1= ˆβx,2= 0 H0,MG: ˆα11= 0,
H0: Yt is geen niet-lineaire Grangercausaliteit van Xt. (17)
H0,AM: ˆβy,1= ˆβy,2 = 0 H0,MG: ˆα22= 0.
De nulhyptohese wordt verworpen voor significantie van α, de nominale size van de toets. AM staat voor het aangepaste model en MG staat voor het samengestelde Mackey-Glassmodel.
5. Resultaten
In dit hoofdstuk worden de resultaten besproken van de parameterschattingen en de simulaties. De in het theoretisch kader (hoofdstuk 2.2) en de in het onderzoeksopzet (hoofdstuk 4.1) uiteenge-zette modellen worden toegepast op de S&P500 index en de WTI olieprijs. Vanuit deze toepassing komen de parameterschattingen voort, weergegeven in hoofdstuk 5.1. Vervolgens wordt er in de simulaties getoetst op de hypothesen (16) en (17) voor het berekenen van de power en de size van de aangepaste toets en de Kyrtsou-Labystoets. De size en de power worden behandeld in respec-tievelijk hoofdstuk 5.2 en 5.3.
5.1 Parameterschattingen
In Tabellen 1 en 2 worden respectievelijk de schattingsresultaten getoond van het samengestelde Mackey-Glassmodel en het aangepaste model.
Tabel 1: Mackey-Glassmodel (OLS)
Xt Yt
Coëfficiënt t-waarde (Pr[|t|>|tj|]) Coëfficiënt t-waarde (Pr[|t|>|tj|])
ˆ αi1 1.58839 7.901 (7.31e-15) 0.00000 x ˆ δi1 0.03807 1.281 (0.201) -0.15132 -3.098 (0.0020) ˆ αi2 0.00000 x 1.56860 8.901 (<2e-16) ˆ δi2 -0.07824 -1.594 (0.111) 0.05931 1.827 (0.0681) τ1, τ2= 1 en c1, c2= 1
Tabel 2: Aangepaste Model (NLS)
Xt Yt
Coëfficiënt t-waarde (Pr[|t|>|tj|]) Coëfficiënt t-waarde (Pr[|t|>|tj|])
ˆ βi1 -13.012063 -6.591 (7.10e-11) -11.251849 -6.189 (8.86e-10) ˆ βi2 0.007698 4.299 (1.88e-05) 0.009717 4.918 (1.02e-06) ˆ βi3 0.678269 7.931 (5.85e-15) 0.086673 2.658 (0.00799) ˆ βi4 0.060307 2.042 (0.0414) 0.603607 7.776 (1.86e-14)
Het Mackey-Glassmodel met de parameterschattingen is
Xt= 1.59 Xt−1 1 + Xt−1 − 0.04Xt−1+ 0.08Yt−1+ et, Yt= 0.15Xt−1+ 1.57 Yt−1 1 +Yt−1 − 0.06Yt−1+ ut (18) en het aangepaste model met haar resultaten is
Xt= −13.012(1 − e−0.008Xt−12 ) + 0.678Xt−1+ 0.060Yt−1+ e
t, (19)
Yt= −11.252(1 − e−0.010Yt−12 ) + 0.087Xt−1+ 0.604Yt−1+ u
t.
In Tabellen 1 en 2 zijn de t-waarden gegeven, de geschatte coëfficiënt gedeeld door haar stan-daardafwijking en hun P-waarde Pj=P[|t| > |tj|], waar t de t(n − k)-verdeling volgt. Op basis van
een significantie van α = 0.05 verschillen de parameters ˆδ11, ˆδ12 en ˆδ22 niet significant van nul.
verwacht tussen verschillende termen in een bepaald model.
De autocorrelatiecoëfficiënten en de partiële autocorrelatiecoëfficiënten van de residuen van het aangepaste model zijn in de eerste 30 vertragingen relatief klein en dicht bij nul, wat duidt op witte ruisprocessen. De autocorrelatie in de eerste vertraging is relatief hoog vergeleken met de autocorrelatie in de daarna volgende vertragingen. De nulhypothese van geen autocorrelatie in de eerste vertraging (ρ1= 0) wordt getoetst aan de alternatieve hypothese (ρ16=0) met 5 procent
significantie. De nulhypothese wordt verworpen wanneer
|ρ| > √2
n. (20)
De residuen et en ut van het aangepaste model en het Mackey-Glassmodel bezitten significante
eerste orde autocorrelatie. Wegens de modelspecificaties is autocorrelatie in de eerste vertraging niet wonderbaarlijk.
De ‘Box-Pierce’ test toetst op gezamenlijke significantie van de eerste p autocorrelatie coëf-ficiënten. De ‘Box-Pierce’ test wordt toegepast op de residuen van de schattingsresultaten. De nulhypothese van geen seriële correlatie wordt verworpen met een significantie van α = 0.05 voor allen residuen van de modellen in de eerste 15 vertragingen. De covariantiematrix Ω van een desbe-treffende residu is dus niet diagonaal. ‘Generalize (non)Linear Least Squares’ (GLS) transformeert het model zodanig dat de covariantiematrix van de residuen de vorm van σ I krijgt.
De schattingsresultaten van OLS en NLS worden gebruikt om de schattingstechniek ‘Genera-lized (non)Linear Least Squares’ (GLS) op de dataset toe te passen. De parameterschattingen van OLS en NLS worden constant gehouden in GLS en vervolgens worden de gestandaardiseerde re-siduen berekend, die gedefinieerd zijn als et\ ˆσt2. De gestandaardiseerde residuen worden gebruikt voor het datagenererende proces. Figuur 1 toont het verloop van de gestandaardiseerde residuen van de schatting Xt en Yt van het aangepaste model berekend met GLS.
(a) et (b) ut
Figuur 3: Gestandaardiseerde residuen van het aangepaste model (GLS).
De nulhypothesen (16) en (17) worden getoetst op de schattingsresultaten van het aangepaste model en het Mackey-Glassmodel via
F= (e
0
rer− e0e)/g
e0e/(n − k) F(g, n − k). (21)
De gevonden F-waarden voor het aangepaste model zijn (FXt, FYt) = (11.747; 10.268) en de
gevon-den F-waargevon-den voor het Mackey-Glassmodel zijn (FXt, FYt) = (15.575; 19.767). De kritieke waarde
met een significantie van α = 0.05 voor respectievelijk het aangepaste model en het Mackey-Glassmodel zijn Fα(2, 996) = 3.004 en Fα(1, 997) = 3.851. De hypothese van niet-lineaire
Gran-gercausaliteit wordt voor de twee modellen verworpen.
5.2 Size
Figuur 4 toont voor de twee toetsen het verloop van de werkelijke size afhankelijk van de nominale size, voor verschillende n. Omdat de werkelijke dataset bestaat uit 1000 observaties is de size berekend voor een n van 500, 1000 en 1500. De nominale size varieert tussen 0 en 0.10. De werkelijke size hangt dus af van de grootte van het datagenererende proces (n), de nominale size en uiteraard van de schattingsresultaten.
De simulaties voor het berekenen van de size voldoen dus aan de nulhypothesen in (16) en (17). De werkelijke size is de gevonden kans op het verwerpen van de nulhypothese terwijl de nulhypothese geldt, het maken van een type 1 fout.
(a) AT (b) KL
Figuur 4: Grafiek van de werkelijke size en de nominale size van de aangepaste toets (AT) en van de Kyrstou-Labystoets (KL), voor verschillende n. Het aantal iteraties is 5000.
De on-doorbroken lijnen langs de diagonaal in de Figuren 4(a) en 4(b) tonen de situatie waarin de werkelijke size en de nominale size aan elkaar gelijk zijn, intuïtief de ideale situatie. De wer-kelijke size van de aangepaste toets en de Kytsou-Labystoets liggen onder de diagonaal voor de verschillende waarde van n. In de situatie waarin de werkelijke size onder de diagonaal ligt, wordt de nulhypothese minder vaak onterecht verworpen dan in de ideale situatie.
5.3 Power
In de Figuren 5 en 6 worden de powers van de twee toetsen weergegeven. De power van een toets is berekend door het ‘terugschatten’ van het desbetreffende model, zoals beschreven in hoofdstuk 4.3. Tevens is de power zoals de size afhankelijk van de grootte van het datagenererende proces (n), de nominale size en de schattingsresultaten.
De simulaties voor het berekenen van de power voldoen dus niet aan de nulhypothesen (16) en (17), maar voldoen aan de alternatieve hypothese. De alternatieve hypothese stelt dat Xt (Yt) een
niet-lineaire Grangercausaliteit is van Yt(Xt). De power is dus de kans op het terecht verwerpen van
de nulhypothese, het niet maken van een type 2 fout. Voor het berekenen van de power van de aan-gepaste toets is data gegenereerd op basis van het aanaan-gepaste model en haar schattingsresultaten. Daarentegen is voor het berekenen van de power voor de Kyrstou-Labystoets data gegenereerd
op basis van het Mackey-Glasmodel en haar schattingsresultaten. De Figuren 5 en 6 geven de resultaten van de powerberekeningen.
(a) (b)
Figuur 5: Power van de aangepaste toets. (a) Power afhankelijk van de nominale size voor ver-schillende n. Het aantal iteraties is 5000. (b) Power voor verver-schillende n. Het aantal iteraties is:1000 voor n ≤10000, en 500, 100 voor n=50000 en 100000 respectievelijk.
(a) (b)
Figuur 6: Power van de Kyrstou-Labystoets. (a) Power afhankelijk van de nominale size voor verschillende n. Het aantal iteraties is 5000. (b) Power voor verschillende n. Het aantal iteraties is:1000 voor n ≤10000, en 500, 100 voor n=50000 en 100000 respectievelijk.
De Figuren 5(a) en 6(a) tonen de power voor verschillende n van respectievelijk de aangepaste toets en de Kyrstou-Labystoets. De power is berekend voor verschillende waarden van de nominale size. De grafieken tonen aan dat de power van de twee toetsen stijgend is in de nominale size, dus voor een hogere nominale size wordt de nulhypothese vaker terecht verworpen. Ook is voor beide toetsen de power stijgend in n, dat wil zeggen dat bij een gegeven nominale size de power voor een grotere n hoger ligt dan voor een kleinere n.
grote waarden aanneemt. De power van een consistente toets convergeert naar 1 wanneer n → ∞. Op basis van de Figuren 5(b) en 6(b) kan geconcludeerd worden dat de toetsen afhankelijk van n naar 1 convergeren.
Om vervolgens een vergelijking te maken in de powers van beide toetsen, wordt de size-gecorrigeerde power berekend. De size-size-gecorrigeerde power toont het verloop van de power berekend met de gevonden werkelijke size. Figuur 7 toont de size-gecorrigeerde power van de aangepaste toets en de Kyrtsou-labystoets.
(a) Aangepaste toets (b) Kyrtsou-Labystoets
Figuur 7: Size-gecorrigeerde power voor verschillende n.
De size-gecorrigeerde power is voor beide toetsen, net zoals de power stijgend in n en in size. De werkelijke size voor de Kyrstou-Labystoets is ceteris paribus over het algemeen lager dan de werkelijke size van de aangepaste toets. Aangezien de power stijgend is in de werkelijke size, resulteert een lagere werkelijke size tevens in een lagere size-gecorrigeerde power. De waarden van de gecorrigeerde power liggen voor de 3 verschillende n zijn alleen groter dan de size-gecorrigeerde power van de Kyrtsou-Labystoets.
6. Conclusie
Het Scriptieonderzoek trachtte een toets te construeren met een hogere power dan de Kyrstou-Labystoets. De nulhypothese voor het berekenen van de size en power luidde: Xt is geen
niet-lineaire Grangercausaliteit van Yt. De parameters uit het geformuleerde model van de aangepaste toets en uit het Mackey-Glassmodel van de Kyrstou-Labystoets zijn geschat door de toepassing van de modellen op de S&P500 index en de WTI olieprijs in de periode 01-08-2003 tot en met 31-07-2007.
De nulhypothese is voor zowel het aangepaste model als het Mackey-Glassmodel op basis van de twee tijdreeksen verworpen. De S&P500 index is dus een niet-lineaire Grangercausaliteit van de WTI olieprijs en vice versa. De niet-lineaire Grangercausaliteit is gekwantificeerd door middel van de twee modellen maar de twee modellen specificeren het verband op een andere manier. De poweranalyse van hoofdstuk 5.3 vertelde meer over welk model moet worden geprefereerd.
Over het algemeen wordt gestreefd naar een power van minimaal 0.8 bij een significantie van α = 0.05. De aangepaste toets en de Kyrstou-Labystoets bereikte bij een n van 5000 en een significantie van α = 0.05 voor het eerst dit niveau, te weten een power van 0.818 en 0.839 res-pectievelijk. Aangezien in de twee tijdreeksen dagelijkse observaties zaten, is een dataset van 5000 werkelijke observaties niet onrealistisch. Er zitten immers circa 250 beursdagen in een jaar, een dataset van 5000 werkelijke observaties gaat dan om 20 jaar. Datasets van deze omvang zijn beschikbaar voor een hoop verschillende financiële tijdreeksen.
Daarentegen kan afgevraagd worden hoe goed één model bewegingen in een tijdreeks over 20 jaar kan kwantificeren. Een datagenererend proces voor 5000 observaties genereert data op basis van een verdeling, de WTI olieprijs wordt in 20 jaar niet alleen beïnvloed door een Grangercausali-teit maar tevens door financiële crises, geopolitieke ontwikkelingen, de opkomst van schaliegas en nog vele andere factoren. Met een kleinere dataset kunnen deze invloeden redelijkerwijs worden beperkt. Maar de power van de aangepaste toets en de Kyrtsou-Labystoets voor een significantie van α = 0.05 en een n = 500 (2 jaar) was respectievelijk circa 0.6 en 0.3, een stuk lager dan 0.8.
Een vergelijking van de power van de twee toetsen werd gemaakt in de size-gecorrigeerde power. De size-gecorrigeerde power van de aangepaste toets ligt ceteris paribus hoger dan de power van de Kyrtsou-Labystoets. Het doel van het Scriptieonderzoek om een toets te construeren met een hogere power dan de Kyrtsou-Labystoets is dus bereikt. Tevens trachtte de niet-lineaire
term het verband tussen twee financieële tijdreeksen beter te kwantificeren dan de niet-lineaire term van het Mackey en Glass (1977). Daar kan op basis van de gegeven poweranalyse geen uitspraak gedaan worden. De size-gecorrigeerde power geeft namelijk geen informatie over de kwaliteit van de beschrijving van een verband door de niet-lineaire term. Op basis van de size-gecorrigeerde power wordt wel geconcludeerd dat de aangepaste toets vaker de nulhypothese terecht verwerpt dan de Kyrtsou-Labystoets.
In de inleiding van het Scriptieonderzoek werd aangekaart dat het ontdekken en het kwanti-ficeren van een Grangercausaliteit in een tijdreeks voor beleidsmakers een belanghebbenden van toegevoegde waarde kan zijn. Kan het aangepaste model hier een bijdrage in leveren? Nog niet. Het aangepaste model is getoetst op 1 specifieke dataset en er is voor het aangepaste model alleen een poweranalyse gemaakt. Voordat beleidsmakers en belanghebbenden het aangepaste model toe-passen in de werkelijkheid wordt aangeraden eerst een uitgebreider onderzoek naar het aangepaste model te doen.
Referenties
Dennis, J., Gay, D., Welsch R. (1981). Algorithm 573 NL2SOL- An adaptive Nonlinear
Least-Squares Algorithm [E4]. ACM transactions on Mathematical Software, 7(3), 369-383. Diks, C., Panchenko, V. (2005). A note on the Hiemstra-Jones test granger Non-causality.
Journal of Economics & control, 9(2).
Diks, C., Panchenko, V. (2006). A new statistic and practical guidelines for nonparametric Granger causality testing. Journal of Economics & control, 9(4), 1647-1669.
Hiemstra, C., Jones, J. (1994). Testing for linear and nonlinear Granger causality in the stock price-volume relation. The Journal of Finance, 49(5), 1639-1664.
Kyrtsou, C., Labys, C. (2006). Evidence for chaotic dependence between US inflation and commodity prices. Journal of Macroeconomics, 28(1), 256-266.
Teräsvirta, T., Yang, Y., 2014. Specification, estimation and evaluation of vector smooth transition autoregressive models with applications, CREATES research paper, 4.
