Applets en wiskundige vaardigheid

Applets en wiskundige vaardigheid

Chung-Hsi Han

Praktijkonderzoek

Hogeschool van Amsterdam

Master Leraar Wiskunde

Begeleider: dr. René Reumerman

Studienummer 500645085

Studiejaar 2014-2015

Inleverdatum: 18 mei 2015

2 Voorpagina: ‘Black Source’ (2008), Chung-Hsi Han, spuitbus en grafiet op papier 65 x 95 cm

3

Voorwoord

Voor u ligt mijn praktijkonderzoek voor de Hogeschool Amsterdam ten behoeve van Master Leraar Wiskunde. In eerste instantie zou het een simpel onderzoek zijn: wat is het effect van applets op de wiskundige prestaties. Een oud Chinees spreekwoord luidt: de kortste weg is de omweg. Vrij vertaald betekent dit volgens mij: de omweg leidt tot meer inzicht en diepgang.

Mijn omweg was letterlijk een langere – en tijdrovender weg, daar ik gaandeweg minder geïnteresseerd raakte in het effect van de applets op de wiskundige vaardigheden en steeds meer in het proces dat zich bij de leerling kon voltrekken rondom de wiskundige vaardigheden. Dat was het gevoel van autonomie dat de leerlingen ontwikkelen gedurende de jaren, het gevoel van zelfredzaamheid, ook wel self-efficacy genoemd en de motivatie van de leerlingen. Deze factoren hebben natuurlijk een belangrijke invloed op de prestaties en daardoor ook op de wiskundige vaardigheden. Mijn begeleider heeft me gestimuleerd deze weg te volgen, waarvoor ik hem dankbaar ben. Uiteindelijk heeft het me meer inzicht gegeven in wat er allemaal meespeelt bij een leerproces, welke complexe factoren er meespelen en ook hoe lastig dit in woorden is te vatten.

Doordat ik al sinds 1994 lesgeef in met name het vak wiskunde B, was ik minder

geïnteresseerd geraakt in het directe effect van de applets op wiskundige vaardigheden is en ik meende dat dit direct effect voorspelbaarder was. De omweg bleek voor mij meer een avontuur te zijn met ook wel glibberige bospaden en steile ravijnen. Voor mij was het bijna een compleet nieuwe wereld die ik heb ontdekt.

Chung-Hsi Han Mei 2015

5

Samenvatting

Op Instituut Blankestijn, een particuliere school te Utrecht, is in januari 2015 een praktische interventie uitgevoerd. Aanleiding voor deze interventie was dat leerlingen moeite hadden met het schakelen tussen verschillende representaties als beschrijving in woorden, formule, grafiek en tabel.De vraag was of kleine interactieve programma’s op het internet, beter bekend als applets, dit schakelen zouden bevorderen. De vervolgvraag was of het gebruik van de applets tot meer zelfstandigheid en motivatie bij de leerlingen zou leiden.

De interventie is gebaseerd op een theoretisch fundament. Dit fundament stelt dat de door de applets geleverde directe feedback bevorderend is voor het gevoel van autonomie bij de leerlingen en voor de overtuiging dat ze toekomstige problemen kunnen oplossen (self-efficacy). Dit levert weer meer motivatie voor het oplossen van wiskundige problemen.

Gekozen is voor een onderwerp dat raakvlakken heeft met de natuurkunde en dat qua niveau aansluit op de eindexamenstof: de goniometrie. Ingebed in een drietal lesmodules zijn de applets van het Freudenthal Instituut geïntroduceerd. In de eerste lesmodule werd frontaal lesgegeven, in de tweede module werkten de leerlingen met de applets. De derde was een autonomie-ondersteunende module: de leerlingen gingen daar zelfstandiger aan de slag en konden daarbij kiezen uit vier bronnen: docent, boek, schrift of applets.

De methode om de onderzoeksvragen te beantwoorden is een mixed onderzoek, omdat het een combinatie is van kwalitatief en kwantitatief onderzoek. Er is gekozen voor een pre-experimenteel design: het is slechts één groep waarin een voor- tussen- en nameting wordt gedaan. Hierin zijn de wiskundige vaardigheden gemeten door tests. Gelijktijdig kregen de leerlingen vier vragenlijsten over hoe ze de feedback van de applets ervaren, over hun gevoel van autonomie, hun self-efficacy en hun motivatie. Het kwalitatieve deel bestond uit vragenlijsten over het gebruik van de applets.

Uit het kwalitatief onderzoek blijkt dat de leerlingen in eerste instantie de feedback van de applets wel waardeerden. Ook wees de applets hen op tekortkomingen in hun kennis. Tegelijkertijd vonden ze het extra invulschermonhandig en leidden anders afgeronde breuken in het antwoord tot foutmeldingen en dus tot verwarring bij de leerling. Op den duur was de nieuwigheid bij de applets er wel van af, wat leidde tot minder enthousiasme bij de leerlingen.

Uit het kwantitatief onderzoek blijkt dat de leerlingen de feedback steeds negatiever beoordeelden. Deze feedback hangt weer direct samen met motivatie, maar nauwelijks met het gevoel van autonomie en self-efficacy, hetgeen tegenstrijdig is met het theoretisch fundament. Een mogelijke verklaring hiervoor zou kunnen zijn, dat bij de eindexamenleerling het gevoel van autonomie en self-efficacy al bij aanvang hoog is. Hierdoor heeft de negatief ervaren feedback geen invloed op het gevoel van autonomie en self-efficacy van de leerlingen. Daarnaast is in dit onderzoek niet naar de verschillende vormen van motivatie gekeken. Dit kan ook van invloed zijn geweest. Maar de laatste twee punten zouden nog verder onderzocht moeten worden.

6 Uit de tests blijkt dat applets vooral werken op procedurele vaardigheden. De leerlingen leren beter omgaan met het schakelen tussen de verschillende representaties als formule, tabel en grafiek. Maar door de negatief ervaren feedback van de applets is het maar de vraag of het de invloed van de applets is waardoor de procedurele vaardigheden toenamen. Het kan ook het nieuwe aan de applets zijn waardoor ze beter gingen presteren (novelty effect).

Voor de conceptuele vaardigheden, zoals het werken met ingewikkelde formules waartoe een bepaalde strategie moet worden gekozen, zijn de applets niet geschikt. Daarnaast toont het kwalitatief onderzoek aan dat wanneer de leerlingen een keuze hebben tussen docent, boek, schrift en applet ze de applet nauwelijks raadplegen. Vooral het gevoel van autonomie en de motivatie hebben grote invloed op de conceptuele vaardigheden.

Verder blijkt dat de autonomie-ondersteunende aanpak bij het aanleren van conceptuele vaardigheden effectief is. Hoe dit precies gaat, behoeft nader onderzoek..

8

Inhoudsopgave

3. Doel van het onderzoek en onderzoeksvragen 23

4. Methode 25

5. Resultaten van het onderzoek 31

6. Conclusies 41

7. Literatuurlijst 49

Bijlage 1 Wiskundige vaardigheden test 1, 2 en 3 plus antwoordmodellen. 53 Bijlage 2 Vragenlijsten autonomie, self-efficacy, motivatie en feedback 71 Bijlage 3 Resultaten Wiskundige vaardigheden. 75 Bijlage 4 Resultaten Autonomie, self-efficacy, motivatie, feedback 77

Bijlage 5 Verschilscores 81

9

1

Inleiding

1.1

De aanleiding

In Nederland kan een onderscheid worden gemaakt binnen het middelbare onderwijs: de door de overheid bekostigde scholen en de particuliere scholen. De particuliere scholen worden niet door de overheid bekostigd, maar de diploma’s vallen wel onder het toezicht van de onderwijsinspectie. Qua bedrijfsvoering zijn ze naast onderwijs-biedend ook commercieel. Eén van de eerste particuliere scholen in Nederland is Instituut Blankestijn te Utrecht.

Op Instituut Blankestijn wordt in kleine groepen (tot maximaal acht leerlingen) lesgegeven. Daardoor is er voor de leerlingen een veilige leeromgeving. Ze krijgen maximale aandacht en begeleiding. Hierdoor vindt directe aansluiting plaats van de leerling bij de lesstof, een voorwaarde voor effectief leren (Ebbens & Ettekoven, 2005). Deze aansluiting is van groot belang, daar in het verleden deze leerlingen de kans kregen zich hieraan te onttrekken.

Zelf ben ik sinds 2004 bovenbouwdocent wiskunde op Instituut Blankestijn. Op zowel havo als vwo geef ik voornamelijk wiskunde B en D. Beide wiskundevakken bereiden de leerlingen voor op een beroep in de stromingen natuur en techniek natuur en gezondheid. Een essentieel onderdeel in het wiskundeprogramma, van de onderbouw tot en met het eindexamen, zijn de functies. In de wiskunde drukt een functie een afhankelijkheid uit van één element (bijvoorbeeld het door een gezin te betalen bedrag) van een ander (bijvoorbeeld de hoeveelheid verbruikte energie). Deze afhankelijkheid wordt weergegeven in vier representaties: beschrijving in woorden, formule, grafiek en tabel. De leerlingen dienen zowel de informatie in die vier representaties als de onderlinge relatie te begrijpen.

Uit mijn ervaring (vanaf 1994 als wiskundedocent) en die van mijn collega’s en uit de literatuur (zie hoofdstuk 2) blijkt dat de leerlingen het zien van het verband tussen de vier representaties lastig vinden. Hierdoor is het moeilijk voor ze tussen de representaties te schakelen. ‘Ik kan die vergelijking wel oplossen, maar ik weet niet wat ik aan het doen ben’ of ‘wat gebeurt er nu met de grafiek als ik in formule iets verander?’ en ‘wat heeft die grafiek nou met die formule te maken?’ zijn veel gehoorde opmerkingen. De leerlingen lopen dan vast bij vervolgvragen. In de les zijn deze vragen nog te beantwoorden, maar de leerlingenzijn daarbij wel afhankelijk van de docent. Die afhankelijkheid is weer niet bevorderend voor de overtuiging van leerlingen dat ze een bepaald probleem zelf kunnen oplossen.

De vraag is, of andere hulpmiddelen kunnen bijdragen tot meer functiebegrip en meer overtuiging bij de leerlingen dat ze zelf het probleem kunnen oplossen. Het zou een hulpmiddel kunnen zijn, waarmee de leerlingen zelfstandig oefenen en directe feedback krijgen of een hulpmiddel dat ze kunnen raadplegen bij het maken opgaven in de les.

10

1.2

Doel van het onderzoek

In het hedendaagse onderwijs wordt de term 21e-eeuwse vaardigheden gezien als een streven naar toekomstbestendig onderwijs. Daarmee wordt bedoeld dat leerlingen van nu met verschillende vaardigheden in aanraking moeten worden gebracht om zo hun skills te vergroten. Eén van de kenmerken van de bovengenoemde vaardigheden is de omgang met ICT. Instituut Blankestijn werkt mondjesmaat met ICT: de nadruk ligt op lesgeven, meestal frontaal en er zijn bijvoorbeeld geen smartboards. Daardoor lijken eenvoudig te bedienen interactieve programma’s het ideale hulpmiddel binnen Instituut Blankestijn ter versteviging van de wiskundige vaardigheden maar ook ter ontplooiing van de zelfstandigheid van de leerling..

Applets zoals aangeboden door het Freudenthal Instituut lijken goed aan te sluiten bij deze eisen. Applets zijn kleine interactieve programma’s op het internet waarbij onder andere gevraagd wordt welke invloed een verandering in de formule heeft op de bijbehorende grafiek en omgekeerd. De applets geven directe feedback of het gegeven antwoord klopt. In tegenstelling tot frontaal les lijken de applets de leerlingen te helpen om meer actief in plaats van passief met de stof bezig te zijn. Dit alles zou kunnen leiden tot een meer zelfstandige, zich autonomer voelende leerling die zich ook nog eens ontwikkelt in wiskundige vaardigheden.

Het doel van het onderzoek is dan ook om na te gaan of applets door de directe feedback die zij bieden bijdragen aan een verhoging van wiskundige vaardigheden en ook aan een verhoging van de zelfstandigheid van de leerling.

1.3

Leeswijzer

In hoofdstuk 2 bespreek ik het theoretisch kader waarin vragen zullen worden beantwoord als: wat zijn wiskundige vaardigheden? en wat zijn factoren die bijdragen tot de zelfstandigheid van de leerling? Daarnaast wordt ingegaan op wat applets precies zijn en of ze voldoen aan de voorwaarden voor goed ICT-gebruik. Hoofdstuk 2 zal afsluiten met het programma van eisen voor de toepassing in de lessen. Uit dit gedeelte zal blijken, dat ik aan het onderzoek een extra lesmodule heb toegevoegd met aan het eind evaluatieve vragen, waarbij ik de vraag hoop te beantwoorden in hoeverre leerlingen zelfstandig voor de applets kiezen. Vervolgens zal ik de empirische onderzoeksvragen formuleren in hoofdstuk 3. In hoofdstuk 4 ga ik in op de methode, waarin de methode van onderzoek en de meetinstrumenten om de empirische onderzoeksvragen te beantwoorden worden beschreven. De resultaten van het onderzoek worden beschreven in hoofdstuk 5. Ik besluit met de conclusies in hoofdstuk 6, waarin naast antwoord op de onderzoeksvragen ook kritische kanttekeningen bij dit onderzoek worden geplaatst en aanbevelingen voor vervolgonderzoek.

11

2

Theoretisch kader

De applets zijn in eerste instantie ontworpen voor vergroting van de wiskundige vaardigheid. Wat onder wiskundige vaardigheden wordt verstaan en hoe die wiskundige vaardigheden kunnen worden vergroot behandel ik in de eerste paragraaf (2.1). Vóórdat ik inga op de vraag wat applets precies zijn, ga ik eerst in op factoren die bijdragen tot de zelfstandigheid van de leerling (2.2). Daarbij is de leidraad de Self Determination Theory, SDT, geformuleerd door Ryan en Deci (2000). Ik wil eerst een beeld krijgen van hoe het leerproces werkt en welke variabelen een rol spelen. Daarna pas kan worden gekeken op welke variabele(n) de applets werken. De introductie van applets in het onderwijs behandel ik in de daaropvolgende twee paragrafen. Eerst wordt ingegaan op introductie van ICT en aan welke voorwaarden de ICT in het onderwijs moet voldoen (2.3). Daarna worden de applets beschreven met daarin een samenvatting van hoe de applets werken op de in 2.1, 2.2 en 2.3 beschreven variabelen (2.4). In dezelfde paragraaf volgt het programma van eisen voor de toepassing in de lessen, waarna de lesmodule wordt beschreven (2.5). In deze lesmodule is in de loop van het onderzoek nog een module toegevoegd. In deze module hoop ik de vraag te kunnen beantwoorden in hoeverre de leerlingen uit zichzelf de applets zouden gaan raadplegen bij het oplossen van bepaalde wiskundige problemen.

2.1 Wiskundige bekwaamheid

Wiskundige bekwaamheid, oftewel mathematical proficiency, is naar het idee van Kilpatrick, Swafford & Kindell (2001), een vijfstrengensysteem waarin de strengen onderling afhankelijk van elkaar zijn. Deze vijf strengen zijn conceptueel begrip, procedureel begrip, strategisch inzicht, aanpassingsvermogen in redenering en een toenemende vanzelfsprekendheid om wiskunde als nuttig enwaardevol te zien, wat weer gekoppeld is aan een toenemend zelfvertrouwen en zelfwerkzaamheid.

Onderdeel van het verkrijgen van deze wiskundige bekwaamheid is het functiebegrip. Zoals al in de inleiding is beschreven, vergt het functiebegrip van de leerlingen dat ze voortdurend moeten schakelen tussen de verschillende representaties waarin de functies worden uitgedrukt. Ze moeten kunnen schakelen tussen beschrijving in woorden, de formule, de grafiek die deze formule representeert en de tabel die per veranderlijke de invloed weergeeft op de grootheid. Figuur 2.1 geeft een voorbeeld van het moeten schakelen tussen formule en grafiek. Dit maakt het functiebegrip zeer complex (Drijvers, Streun, & Zwaneveld, 2012).

12 Translaties formules grafiek Rood: y=sin(x) Blauw: y=sin(x-1) Groen: y=2+sin(x)

Figuur 2. 1 Voorbeeld van het schakelen tussen formule en grafiek

Het flexibel kunnen schakelen van de ene representatie naar de andere maakt van mensen betere probleemoplossers (Kilpatrick et al., 2001; Drijvers et al., 2012). Daarom is het van belang dat leerlingen dit goed onder de knie krijgen.

Binnen het functiebegrip moeten de leerlingen schakelen tussen procedurele kennis en conceptuele kennis. Bij procedurele kennis horen begrippen als basisvaardigheden, procedureel werk, local focus en algebraïsche berekening, bij conceptuele kennis horen begrippen als symbol sense, strategisch inzicht, global focus en algebraïsche redenering. (Drijvers, Goddijn, & Kindt, 2010). Begrip van concept maakt procedurele vaardigheden begrijpelijk, procedurele vaardigheden kan conceptueel begrip versterken (Arcavi, 2005). Specifiek op het onderdeel functies, waarover dit onderzoek gaat, heeft O’Callaghan (1998) hiervoor een meetinstrument ontwikkeld. Hier volgt een korte samenvatting.

1. Modelering: het vertalen van een probleemsituatie naar een wiskundige representatie van de situatie.

2. Interpretatie: het vertalen van een wiskundige representatie naar een alledaagse probleemsituatie.

3. Vertalen: het schakelen tussen de verschillende representaties, zijnde formules, grafieken en tabellen.

4. Concretiseren: het tastbaar maken van iets wat voorheen door procedures en processen is tot stand gekomen. De laatste stap om het functiebegrip te verkrijgen. Transformaties kan hieronder worden geplaatst.

De bovenstaande vier deelvaardigheden worden geconcretiseerd in hoofdstuk vier, meetinstrumenten. Het meetinstrument van O’Callaghan (1998) sluit nog steeds goed aan bij de onderzoeken van Kilpatrick et al., (2001), Arcavi (2005) en Drijvers et al.,(2010). De vier deelvaardigheden zijn onderling verbonden: procedurele vaardigheden versterken conceptueel begrip en andersom. Daardoor zal groei in één van de vier concepten een groei van wiskundige vaardigheid betekenen.

13

2.2. Sociaal-emotionele aspecten

Gemotiveerde leerlingen hebben een drive om problemen op te lossen. Wat is deze drive dan? Hoe kunnen we die omschrijven?

Volgens de Self Detemination Theory (Ryan & Deci, 2000) heeft iedere mens, dus ook een leerling, drie basisbehoeften: behoefte aan autonomie, aan competentie en aan verbondenheid. Hoe beter tegemoet gekomen wordt aan de drie basisbehoeften, des te sterker hij gemotiveerd is om taken te verrichten..

In dit onderzoek gaan we niet in op het begrip verbondenheid: op Instituut Blankestijn wordt in kleine groepen lesgegeven, waardoor de leerlingen maximale aandacht en begeleiding krijgen. De verbondenheid is door deze vorm van onderwijs groot. Gevoel voor autonomie en gevoel van competentie zijn wel onderdeel van dit onderzoek. Gevoel van competentie zal in het vervolg van dit onderzoek self-efficacy worden genoemd. In 2.2.3 zal hier verder over worden uitgeweid.

Omdat docenten in de les direct te maken hebben met de motivatie van een leerling, zal ik beginnen met dit begrip (2.2.1). Vervolgens ga ik in op twee van de drie basisbehoeften die worden beschreven in SDT die de motivatie bevorderen: gevoel van autonomie (2.2.2) en gevoel van competentie, in dit onderzoek self-efficacy genoemd (2.2.3). Ik besluit met een variabele die de self-efficacy verhoogt, de feedback (2.2.4).

2.2.1 Motivatie

Volgens SDT kan het begrip motivatie worden onderverdeeld in intrinsieke (van binnenuit waarbij de leerling iets voor zichzelf wil leren uit plezier of oprechte interesse) en extrinsieke (van buiten het individu, bij ons de leerling, opgelegde) motivatie. De intrinsiek gemotiveerde leerling heeft de behoefte zichzelf autonoom en competent te voelen (Ryan & Deci, 2000; Nuland, 2011). Als een leerling het gevoel van autonomie en competentie heeft, komt de inzet als het ware vanzelf. Naar de motivatie van leerlingen in de wiskunde is relatief beperkt onderzoek gedaan. Van belang voor ons onderzoek zijn de volgende vijf motivatie-variabelen geformuleerd door Waege (2009):

1. Focus van de leerling op het leren en begrijpen van concepten in de wiskunde en om de correcte antwoorden te verkrijgen;

2. Plezier in het doen van wiskunde;

3. Positieve (of negatieve) gevoelens ten opzichte van wiskunde;

4. Bereidheid tot het nemen van risico’s en om moeilijke taken aan te pakken; 5. Zelfvertrouwen in het leren van wiskunde.

Deze motivatie-variabelen kunnen door de leraar of door de structuur op school worden beïnvloed. Deze variabelen hebben overlap met de constructen uit STD. Zo komen de punten 1, 4 en 5 overeen met het tegemoet komen aan de behoefte aan competentie. Punten 2 en 4 zijn uitingen van intrinsieke motivatie. De vijf motivatie-variabelen komen terug in het hoofdstuk meetinstrumenten.

14

2.2.2 Autonomie

Autonomie slaat op het gevoel dat je de bron van je eigen gedrag bent (Ryan & Deci, 2000). Bron van eigen gedrag betekent dat je zelf je keuzen bepaalt. Meer gevoel van autonomie gaat samen met meer self-efficacy (Artino, 2006; Bandura, 1997). Een autonome leerling is een leerling die zich bewust is van mogelijkheden en uit deze mogelijkheden weet te kiezen. Vertaald naar wiskundige vaardigheden moeten leerlingen weten dat er grafieken, tabellen, formules en woordelijke omschrijvingen bestaan om vervolgens een keuze te maken welke vaardigheden zij bij welk probleem kunnen gebruiken. Ook moeten ze weten van welke verschillende hulpmiddelen (boeken, aantekeningen, ICT) ze gebruik kunnen maken. Dit proces kan gestimuleerd worden in het onderwijs. Dit proces wordt autonomie-ondersteunende aanpak (Reeve & Su, 2012)

genoemd. Zij komt neer op het volgende:

1. Geef de leerlingen keuzemogelijkheden.

2. Stimuleer dat leerlingen zelf dingen uitproberen en starten.

3. Stimuleer het aangaan van nieuwe uitdagingen en daarmee vol te houden ook als het moeilijk wordt.

4. Geef feedback die niet de leerling beoordeelt maar om de stof gaat. 5. Erken gevoelens.

6. Wanneer je een leerling een opdracht geeft iets te doen, geef daarbij dan een duidelijke betekenisvolle reden.

7. Stimuleer het samenwerken.

In 2.4 zal ik laten zien dat met het introduceren van de applets tegemoet wordt gekomen aan de eerste vier punten van deze autonomie ondersteunende aanpak. In 2.5.4 zal ik uitleggen, dat ik (op onbewust bekwame wijze) gebruik ga maken van de punten 5, 6 en 7 van bovengenoemde aanpak.

2.2.3 Self-efficacy

Self-efficacy wordt door Bandura (1997) gedefinieerd als de inschatting van iemand over zijn eigen competentie om een probleem al dan niet tot een goed einde te brengen. Daarbij gaat het vooral over de inschatting hoe toekomstige problemen kunnen worden opgelost Met andere woorden: het is de overtuiging van de leerlingen dat ze een bepaald probleem zelf kunnen oplossen. Volgens Bandura (1997) hoeft deze overtuiging niet overeen te komen met de werkelijke capaciteit. In het algehele plaatje van Ryan & Deci (2000) is self-efficacy dus een gevoel van competentie.

Bandura (1997) benadrukt het belang van self-efficacy : deze overtuiging is de spil van menselijke motivatie, van prestaties en van emotioneel welbevinden. Als mensen niet geloven dat zij invloed kunnen uitoefenen middels hun acties, dan worden zij ook niet geprikkeld om activiteiten te ontwikkelen en zullen ze eerder opgeven bij tegenslagen. Dit stemt overeen met de SDT dat het gevoel van competentie, hier self-efficacy genoemd, motivatie bevordert.

Op school is self-efficacy de overtuiging van leerlingen dat ze een bepaald probleem kunnen oplossen of een bepaalde taak kunnen uitvoeren en op die manier invloed kunnen

15 uitoefenen. Van Doesum (2012) zegt hierover het volgende: “Leerlingen die een hoge self-efficacy hebben, kiezen taken die ze helpen hun vaardigheden te verbeteren, doen meer moeite als het moeilijk wordt en geven minder snel op” (p. 8). Hierdoor kunnen de leerlingen steeds moeilijkere wiskundige problemen oplossen en gelijktijdig gemotiveerder zijn. Omgekeerd zullen betere wiskundige prestaties weer een hogere self-efficacy geven.

2.2.4 Feedback

Formeel gesproken is feedback de door een tussenpersoon gegeven informatie over bepaalde aspecten van iemands prestatie of begrip (Hattie, 2009). Vertaald voor het onderwijs betekent feedback het geven van terugkoppeling op diverse aspecten van het leerproces. Zo zal bij wiskundige vaardigheden een vorm van feedback zijn waarom het antwoord foutief is of waarom het soms handiger is voor een leerling om ook de grafiek te gebruiken ter illustratie van een formule of ter illustratie van een beschreven probleem. Volgens onderzoek is het geven van de juiste feedback positief op het proces van self-efficacy van leerlingen (Artino, 2006).

Daarbij wordt onder juiste feedback verstaan:

 Feedback moet stofgericht zijn en geen oordeel geven over leerlingen. Vooraf opstellen van criteria met de leerlingen geeft een beter effect dan wanneer de leerlingen onderling worden vergeleken (Marzano, Pickering, & Pollock, 2009)

 Feedback moet op tijd worden gegeven, dus enkele dagen na inlevering van een opdracht (Petty, 2009).

 Feedback geeft expliciet informatie over wat goede stappen zijn in het antwoord en waarom en wat de foute stappen zijn en waarom, net zolang totdat een leerling het goed doet (Hattie, 2009, Marzano et al., 2009).

 Feedback moet eerlijk en expliciet zijn, gericht op de taak en het doel (Bandura, 1997).

16

2.3. ICT in het onderwijs

Een gedoseerd gebruik van ICT leidt binnen de les, mits goed voorbereid, tot meer variatie in de lessituatie. De leerlingen krijgen direct iets op een beeldscherm of een projectie van dat beeldscherm op de wand te zien. Hierdoor ontstaat meer dynamiek in de les en de leerlingen kunnen als het goed is met ICT iets ontdekken.

Voor het kiezen van een juist ICT-instrument in het wiskundeonderwijs heeft Bokhove (2011) een drietal criteria geformuleerd. Dit drietal heb ik nog aangevuld met een vierde.

1. Algebraïsche didactieken. Volgens Bokhove (2011) wordt hieronder verstaan dat tegemoet wordt gekomen aan de cognitieve betrouwbaarheid, mathematische betrouwbaarheid en expressiviteit en uitleg. Het best zijn de tools die mogelijkheden hebben tot toepassen van een stapsgewijze strategie om de student verder te laten komen en een tool die vragen kan plaatsen in een groter geheel.

2. Instrumentale genesis (Guin & Trouche, 1999). Dit behelst een doelgerichte verhouding met het instrument, met andere woorden ‘easy to use’. Hiermee wordt bedoeld dat het gebruik van een ICT-tool als doel heeft om te leren. Dus niet om het instrument te leren kennen. ‘Used to learn’ en niet ‘learn to use’. (cTWO, 2007).

3. Assessment. Hiermee wordt de feedback aan de leerlingen bedoeld. Dit kan directe feedback zijn (Bokhove, Koolstra, Heck, & Boon, 2006) in de vorm of een antwoord al dan niet correct is of een impliciete (Van Streun, 2000), waarbij een combinatie van verschillende representaties als feedback wordt gegeven.

4. Een ICT-omgeving werkt het best wanneer die aansluit op traditionelere technieken (Kieran & Drijvers, 2006) als de papier-pen-methode (Lu, 2008).

Recent onderzoek wijst uit dat invoering van ICT met bijvoorbeeld tablets invloed heeft op motivatie, maar dat er nog geen directe conclusies kunnen worden getrokken wat betreft de leerprestaties (Meijer, Emmelot, Felix, & Karssen, 2014).

2.4 Applets

Een applet is een klein interactief programma dat draait op het internet. Op het gebied van de wiskunde zijn er verschillende soorten applets te onderscheiden: applets die een begrip visualiseren, applets die gericht zijn op oefenen van een bepaalde techniek en applets die een bepaalde eigenschap exploreren (Drijvers et al., 2012).

Door de applet op het beeldscherm aan te klikken kan met het programma worden gewerkt. Een voorbeeld van een applet is te zien in figuur 2.2.

17 Figuur 2.2 Spelen met functies. Voorbeeld uit: http://www.fisme.science.uu.nl/wisweb/

Daarnaast biedt de applet voor de docent de mogelijkheid de leerprestaties van de leerlingen te volgen. Dit aspect van time-on-task wordt niet verder in dit onderzoek meegenomen. Wel wordt time-on-task meegenomen bij het groepsdynamisch proces. Hieronder ga ik verder in op hoe de applets voldoen aan en de eerder beschreven wiskundige vaardigheden, aan de sociaal emotionele aspecten en aan de voorwaarden gesteld aan de ICT.

2.4.1 Applets en wiskundige vaardigheden

Door het veranderen van de parameters kunnen de leerlingen spelenderwijs ontdekken wat het verband is tussen formule en grafiek. Met het variëren van de formule onderzoeken de leerlingen de invloed op de grafiek en omgekeerd. Applets werken dus vooral op het schakelen tussen de verschillende representaties, dus op de procedurele vaardigheden. Vertaald naar wiskundige vaardigheden omschreven door O’Callaghan (1998) zullen de applets het meest werken op de begrippen modelering, interpretatie en vertaling. Dit zal het conceptueel begrip versterken (Arcavi, 2005) en draagt bij tot het versterken van het door Kilpatrick et al. (2001) omschreven vlechtwerk.

2.4.2 Applets en sociaal emotionele aspecten.

Volgens Boon & Drijvers (2005) leiden de applets bij de leerlingen tot andere inzichten en vaardigheden, mits goed ingebed in een didactische werkvorm. Volgens Bokhove en Van Reeuwijk (2004) en Palha en Van Reeuwijk (2002) zijn de leerlingen actief en onderzoekend bezig. De applets bieden volgens hen daarmee een aantrekkelijke oefenomgeving waarbij op een efficiënte manier wiskundige vaardigheden worden verworven. Daarnaast geven de applets directe feedback.

Wanneer we de theorie van 2.2 hiermee combineren kunnen we het volgende concluderen:

1. Applets voldoen aan de criteria van goede feedback (stofgericht, feedback direct na uitvoering van de opdracht, eerlijk en expliciet).

2. Met het aanbieden van applets wordt het gevoel van autonomie van de leerling versterkt. Er wordt immers een keuzemogelijkheid gegeven, de leerlingen worden gestimuleerd een nieuwe techniek uit te proberen en ook daarin te volharden en er

18 wordt feedback gegeven. Dit komt overeen met de eerste vier punten van de autonomie ondersteunende aanpak (zie 2.2.2).

2.4.3. Applets en voorwaarden voor ICT

De ontwikkelde applets op Wisweb zijn volgens Boon en Drijvers (2005) eenvoudig te gebruiken, goed toegankelijk en sluiten aan bij de leerlijnen van de schoolboeken.

Applets sluiten dus goed aan op de in de vorige paragraaf 2.3 geformuleerde criteria van betrouwbaarheid, ‘eay to use’ en ‘used to learn’, assessment en ze zijn goed te combineren met traditionele technieken. Applets geven echter geen expliciete informatie over wat de goede stappen moeten zijn, ze geven wel de consequenties van verkeerd ingevulde formules op de loop van de grafiek. Daarom moeten applets goed worden ingebed in de lesmodule. Hierop wordt ingegaan in hoofdstuk 3 over de lesmodule.

Samenvattend:

Op basis van de eigenschappen van de applets en de eisen gesteld aan goede feedback en de juiste toepassing van ICT en de kenmerken van de leerlingen die we zouden willen beïnvloeden komen wij tot het volgende programma van eisen voor de aanpak in het onderwijs:

1. Ingebed in didactische werkvorm 2. Eenvoudig te gebruiken

3. Zelfstandig te gebruiken 4. Goed toegankelijk

5. Feedback (stofgericht, direct na uitvoering opdracht, eerlijk en expliciet).

6. Toepasbaar op de wiskundige vaardigheden modellering, interpretatie en vertaling, wat weer effect heeft op concretisering.

Als de lessencyclus aan deze eisen voldoet, dan zou dat het gevoel van autonomie van de leerlingen, de self-efficacy van de leerlingen en de motivatie van de leerlingen beïnvloeden en daarmee de wiskundige vaardigheden bevorderen.

19

2.5 De lesmodule

Uit de voorafgaande paragrafen volgt dat het gebruik van applets gepaard moet gaan met een goede lesstructuur. De applets bieden immers geen uitgebreide strategie met betrekking tot wat de juiste stappen moeten zijn. Ik ga in deze paragraaf in op de lesstructuur (2.5.1), de introductie van het onderzoek in de les (2.5.2), het onderwerp voor wiskundige vaardigheid (2.5.3) waarna een beschrijving van de lesmodules volgt (2.5.4).

2.5.1 De lesstructuur

In de lesuren zelf werk ik volgens directe instructie (Ebbens & Ettekoven, 2005) waarbij een groot deel van de lesuren wordt besteed aan taken.

 Doelstellingen uitleggen

 Instructie geven waarin theorie wordt uitgelegd.

 Opgaven onder geleide instructie maken: veel vragen stellen aan de leerlingen over hoe ze de opgaven zelf zullen aanpakken.

 Leerlingen zelfstandig laten werken en feedback geven nadat ze een bepaalde tijd hebben gekregen zelfstandig aan de opgaven te werken.

Na bestudering van de literatuur ben ik er ook achter gekomen dat ik van nature de autonomie-ondersteunende aanpak (Reeves & Su, 2012) zoals beschreven in 2.2.2 uitvoer. Daarvan was ik me tijdens het onderzoek niet bewust. Ik was in feite onbewust bekwaam.

2.5.2 Introductie van het onderzoek

Vooraf zullen de doelstellingen van het onderzoek worden uitgelegd. Dit vooraf opstellen van criteria komt overeen met de feedbackcyclus (Doesum, 2012) en is van belang voor een optimale inbedding van feedback in de lessituatie. Daarbij zal benadrukt worden dat leerlingenzelfstandig moeten uitzoeken hoe ze aan de juiste formule of juiste grafiek moeten komen. Daarbij zullen de middelen als pen en papier, de lesmethode en de aantekeningen worden genoemd. Dit met in het vooruitzicht dat ook de autonomie wordt gemeten.

2.5.3 Onderwerp voor wiskundige vaardigheden

Uit onderzoek blijkt dat in de wiskundelessen trainingen met verschillende disciplines als natuurkunde van groot belang zijn (Hattie, 2009). Freudenthal (1978) pleit in het wiskundeonderwijs voor ‘guided reinvention’: een goed gestructureerde reeks opdrachten die de leerlingen in staat stellen om de kenmerken van het concept te herkennen. Daarom zal in het wiskundig deel de nadruk worden gelegd op goniometrie. Een eenparige cirkelbeweging kan met behulp van goniometrie worden beschreven. Sinusoïden is een onderdeel van goniometrie en beschrijft een golfbeweging. Sinusoïden komen veel voor in de natuurkunde. Bij sinusoïden moet veel geschakeld worden tussen representaties wat het zeer geschikt maakt als onderwerp voor dit onderzoek. Begrippen als evenwichtsstand, amplitude, periode en beginwaarde zullen worden gekoppeld aan wiskundige transformaties.

20

2.5.4 Beschrijving van de lesmodules

De eerste lesmodule: frontaal

De klas kreeg onderwijs over het onderwerp goniometrie, waarbij de nadruk werd gelegd op de volgende aspecten:

1. Werken met de eenheidscirkel.

2. Werken met getransformeerde functies waarbij de leerlingen het correcte functievoorschrift moesten achterhalen.

3. Werken met formules waarbij ook de verdubbelingsformules ter sprake kwamen. 4. Werken met toepassingen.

De lesstof komt overeen met de hoofdstukken 6 en 11 van Getal en Ruimte, waarbij hoofdstuk 6 al eerder in het schooljaar is behandeld. Het aantal contacturen is zes lesuren van drie kwartier per week. De lesmodule duurde twee weken.

De tweede lesmodule: de applets

De klas werd aangemeld via inlogcode en e-mail volgens de site www.fi.uu.nl. De applets zijn eerst door de docent uitgekozen en vervolgens aan de digitale klas toegevoegd. Na uitleg hoe de applets werken hebben de leerlingen in het computerlokaal zich ingelogd met dezelfde code als hoe ze in Magister komen. Vervolgens zijn ze met de applets aan de gang gegaan. Het aantal contacturen is vier lesuren van drie kwartier met behulp van de applets en twee lesuren klassikaal. De applets bestonden globaal uit de onderdelen 1, 2 en 3 zoals beschreven bij de eerste lesmodule.

De derde lesmodule: de keuze

Aanleiding voor deze derde lesmodule is dat, voorlopend op het onderzoek, de leerlingen tijdens lesmodule 2 aan mij aan zullen geven, dat ze de feedback van de applets niet als positief zullen ervaren. Hierdoor werd ik nieuwsgierig in hoeverre de leerlingen zelf de hulpmiddelen die ze aangereikt kregen zouden gebruiken bij het oplossen van wiskundige problemen. Daarnaast vond ik de wiskundige prestaties van de leerlingen op het gebied van concretiseren onvoldoende. Deze lesmodule wil ik gebruiken door veel oude opgaven en tests te behandelen en de leerlingen zelf te laten kiezen welke hulpmiddelen ze daarbij gebruiken: boek, schrift, applets of docent.

Doordat ik de gevoelens van de leerlingen erkende en daarop inspeelde heb ik in feite (onbewust bekwaam weliswaar) de punten 5, 6 en 7 geïntroduceerd van autonomie-ondersteunend lesgeven, zie hoofdstuk 2.2.2.

Test

Na elke lesmodule volgen tests over wiskundige vaardigheden, die vormgegeven zijn volgens het model van O’Callaghan (1998), modelering, interpretatie, vertaling en concretisering, zie verder hoofdstuk 4. Daarnaast worden vragenlijsten uitgedeeld over autonomie, self-efficacy, motivatie en feedback, zie hoofdstuk 4.

21 Tijdpad

In tabel 2.1 is weergegeven hoe de lesmodules en de tests over de tijd zijn verdeeld. Tabel 2.1 Tijdlijn van het onderzoek met in de eerste kolom de data en in de tweede kolom de daarmee

corresponderende activiteit. In de tweede kolom zijn in grijs de lesmodules en in rood de tests weergegeven.

23

3

Doel van het onderzoek en onderzoeksvragen

In dit hoofdstuk zal het doel van het onderzoek scherper worden geformuleerd aan de hand van het theoretisch kader (3.1). Vervolgens wordt de samenhang tussen de factoren, beschreven in het theoretisch kader, samengevat in het conceptueel model (3.2) waarna de onderzoeksvragen volgen (3.3).

3.1 Doel van het onderzoek

Doel van het onderzoek is om na te gaan of een applet een goed instrument is waardoor de leerlingen in de bovenbouw hun wiskundige vaardigheden en ook hun gevoel van autonomie, self-efficacy en motivatie kunnen verhogen.

3.2 Conceptueel model

De samenhang tussen de factoren die beschreven zijn in het theoretisch kader wordt geschematiseerd in het conceptueel model. In het theoretisch kader werd gesteld dat applets goede feedback geven (Bokhove & Van Reeuwijk, 2004; Palha & Van Reeuwijk, 2002). Juiste feedback leidt tot meer self-efficacy (Artino, 2006). Feedback werkt autonomie ondersteunend (Reeves & Su, 2012). Meer gevoel van autonomie gaat samen met meer self-efficacy (Artino, 2006; Bandura, 1997). Dit betekent dat een gevoel voor autonomie volgens dit model voorafgaat aan self-efficacy. De intrinsiek gemotiveerde leerling heeft de behoefte zichzelf autonoom en competent te voelen (Ryan & Deci, 2000; Nuland, 2011), hetgeen betekent dat het gevoel van autonomie en het zich competent voelen (in dit onderzoek self-efficacy genoemd) leidt meer motivatie en meer wiskundige bekwaamheid. Dit alles leidt tot het volgende conceptuele model (zie figuur 3.1).

24

3.3 Onderzoeksvragen

Dit conceptueel model is leidraad bij het formuleren van de hoofdvraag en deelvragen van dit onderzoek.

Hoofdvraag:

Leidt het gebruik van applets tot verbetering van de wiskundige prestaties en tot een verbetering van het gevoel van autonomie, self-efficacy en motivatie bij leerlingen in de eindexamenklas?

Daarbij zijn de deelvragen

1. Draagt het gebruik van applets bij tot een verhoogde wiskundige bekwaamheid ? 2. Ervaren de leerlingen de feedback van de applets als waardevol?

3. Bevordert het gebruik van applets het gevoel van autonomie van de leerlingen? 4. Bevordert het gebruik van applets de overtuiging van de leerlingen dat ze zelf het

probleem kunnen oplossen?

5. Leidt het gebruik van applets tot meer (intrinsieke) motivatie?

6. Welke variabele heeft het meest invloed op de wiskundige vaardigheden?

In de nu volgende alinea zullen de deelvragen worden vertaald naar het conceptuele model (zie figuur 3.1).

De eerste deelvraag correspondeert met het proces vanaf applets tot wiskundige bekwaamheid. We willen daarbij ook de diverse deelgebieden van wiskundige vaardigheden onderzoeken (modelering, interpretatie, vertaling, concretisering). De tweede vraag zegt iets over het sociaal-emotioneel aspect: hoe ervaren de leerlingen de feedback van de applets? Dit zegt iets over de eerste verticale pijl van de applets naar de feedback. De derde vraag correspondeert met de pijl vanaf feedback naar autonomie. De vierde vraag behelst de twee horizontale pijlen naar self-efficacy, de vijfde vraag naar de onderste horizontale pijl rechts vanuit self-efficacy naar motivatie. De zesde vraag is een evaluatieve vraag.

Het instrument bij vraag 1 zijn drie wiskunde tests (pre-test, tussentests en post tests). De instrumenten die voor feedback, autonomie, self-efficacy en motivatie worden gebruikt (corresponderend met deelvragen 2 t/m 5) zijn vragenlijsten.

De resultaten van deze vragenlijsten en de tests voor wiskundige vaardigheden geven inzicht in de onderlinge samenhang van de feedback, autonomie, self-efficacy en motivatie (corresponderend met deelvraag 6). Zie hiervoor het volgende hoofdstuk.

25

4. Methode

4.1

Typering van het onderzoek

Om de in hoofdstuk 3 geformuleerde onderzoeksvragen te beantwoorden kom ik tot het volgende onderzoekstype. Het is een mixed onderzoek omdat het een combinatie is van kwalitatief en kwantitatief onderzoek. Het is kwalitatief, omdat we een vinger aan de pols houden, omdat we de indruk van de leerlingen wilden opnemen en daarnaast mijn eigen indrukken. Het is kwantitatief omdat we metingen uitvoeren om autonomie, self-efficacy, motivatie, feedback en de diverse wiskundige vaardigheden te meten. Daarnaast is het monitoring, omdat we op drie verschillende tijdstippen hebben gemeten en interviews gehouden. Het is evaluatief omdat de effectiviteit van de applets wordt getoetst.

We kiezen bovendien voor het pre-experimenteel design (Baarda et al., 2012). Het is slechts één groep waarin een voor- tussen- en nameting wordt gedaan. Er zijn geen parallelklassen die hetzelfde programma doorlopen, dus kan er geen sprake zijn van een controlegroep. Het randomiseren is door de kleine school niet mogelijk. Doordat we een pre-experimenteel design hebben, liggen er alternatieve verklaringen op de loer. Zo kan er een stijging in wiskundige vaardigheden zijn na het introduceren van de applets, maar omdat er geen controlegroep is, weten we niet of dat effect door de applets komt. Over het algemeen geldt namelijk dat wiskundige vaardigheden verbeteren met meer oefening. Dit zou met een controlegroep gemeten kunnen worden maar die is er dus niet.

4.2

Onderzoeksgroep

Het onderzoek zal worden gedaan in een 6vwo-klas met daarin zes leerlingen. De steekproef betreft dus zes personen. Het is dus een gelegenheidssteekproef die een populatie betreft. Deze is niet generaliseerbaar voor andere groepen. De leerlingen zijn van tevoren van dit onderzoek op de hoogte gesteld. Doel van het onderzoek is hun duidelijk gemaakt. Om privacyredenen worden de namen van de leerlingen in de onderzoeksresultaten gecodeerd.

26

4.3

Instrumenten

4.3.1 Variabelen

Wiskundige vaardigheid WV

Het meetinstrument betreft drie tests. Deze tests zijn een aangepaste versie van de instrumenten die ontwikkeld en gebruikt zijn door O’Callaghan (1998). Ze testen een specifiek onderwerp: de goniometrie. In tabel 4.1 geef ik een samenvatting van de items. Daarnaast heb ik per item in Italic aangegeven wat er wordt gemeten, gevolgd door een score per item per test 1, 2 en 3.

De prestaties op dit gebied worden gemeten door de cijfers uit de tests 1, 2 en 3. Van belang is met name het verschil tussen de tests. Dat meet immers de verbetering (of verslechtering). Daarom is gekozen voor tests die enige verwantschap met elkaar vertonen zodat ook werkelijk een vooruitgang (of achteruitgang) te meten is.

WV per test wordt gemeten door het aantal behaalde punten behaald in de test te delen door het maximaal te halen punten. Deze breuk wordt vermenigvuldigd met 9, waarna er 1 bij wordt opgeteld.

Tabel 4.1 Samenvatting wiskundige vaardigheden zoals beschreven door O’Callaghan (1998). In de tweede

kolom in italic de beschrijving per item en in de derde kolom de score per test.

Operationalisering van wiskunde bekwaamheid bij functies

beschrijving Score: test 1/

test 2/test 3

modelering In dit item wordt getest of de leerlingen kunnen

modeleren. De eerste twee vragen zijn vooral bedoeld om de leerlingen te helpen met het verkennen van de context.

7p/7p/7p

interpretatie In dit item wordt getest of een leerling uit een grafische

representatie de benodigde wiskundige gegevens kan analyseren.

12p/12p/12p

vertaling In dit item wordt getest of de leerlingen multiple

representaties kunnen relateren. Hiervoor moeten ze uit een tabel de gegevens vertalen in een formule. de gegevens uit een tabel vertalen in een grafiek.

8p/8p/8p

concretiseren In dit onderdeel wordt gemeten of de leerlingen kunnen

werken met formules.

15p/16p/20p

Wiskundige vaardigheid, deelgebieden MOT, INTER, VERT, CONCR

Naast de wiskundige vaardigheden WV worden ook de specifieke deelgebieden van de wiskundige vaardigheden als variabelen bekeken. Doel hiervan is om te meten op welk deelgebied de applets precies werken. Het cijfer per deelgebied wordt gemeten op dezelfde manier als WV, maar dan enkel over het deelgebied.

27 MOD

Voorbeeld van een vraag behorende bij modelering is een ronddraaiend reuzenrad dat met een constante snelheid ronddraait. Van de leerlingen wordt verwacht, dat ze de basisprincipes van goniometrie daaruit kunnen destilleren. Zie verder bijlage 1: Wiskundige vaardigheden test 1, 2 en 3.

INTER

Bij interpretatie wordt een grafiek van een golf gegeven, waaruit de leerlingen bepaalde begrippen moeten kunnen destilleren als evenwichtsstand, amplitude, periode en beginstand. Zie verder bijlage 1: Wiskundige vaardigheden test 1, 2 en 3.

VERT

Bij vertaling wordt gevraagd of leerlingen vanuit een tabel de grafiek en/of formule kunnen halen. Zie verder bijlage 1: Wiskundige vaardigheden test 1, 2 en 3.

CONCR

Concretisering bestaat uit werken met formules en variabelen en zijn veelal vragen op eindexamenniveau. Zij vragen van de leerlingen dat ze goed kunnen schakelen tussen grafiek en formule en vooral dat ze met formules kunnen werken.

Zie verder bijlage 1: Wiskundige vaardigheden test 1, 2 en 3. FB de behoefte aan feedback.

Om de behoefte aan feedback te meten hebben we vragen geformuleerd. De vragenlijsten zijn afkomstig uit de feedbackcyclus (Doesum, 2012) en aangepast aan de specifieke toepassing bij de applets. Voorbeelden van vragen zijn:

1. Hoe waardevol vind je de feedback van de applets?

5. Wist je na de feedback van de applet hoe je op de juiste grafiek moest komen? De leerlingen kunnen een waardering 1 t/m 10 geven, waarbij 1 hoort bij ‘niet’ en 10 bij ‘wel’. Zie voor verdere vragen 2, 3 en 4 de bijlage 2: Vragenlijsten feedback, autonomie, self-efficacy, motivatie.

AU het gevoel van autonomie

Om het gevoel van autonomie te meten worden de leerlingen vragenlijsten voorgelegd. Ik maak gebruik van een bestaand instrument, de ILS (Inventarisatie LeerStijlen) van Jan Vermunt, bestemd voor het voortgezet onderwijs. De vragen zijn aangepast voor specifiek wiskundige vaardigheden. Voorbeelden van vragen zijn:

1. Had je de hulp van de docent nodig bij het opstellen van een formule uit een grafiek?

6. Kan je beter verbanden zien tussen een formule en een grafiek?

De leerlingen kunnen een waardering 1 t/m 10 geven, waarbij 1 hoort bij ‘niet’ en 10 bij ‘wel’. De eerste drie vragen van de autonomievragenlijsten zijn contra-indicatief: hoe hoger de score, des te lager is het gevoel van autonomie. De vragen hebben betrekking op een algeheel gevoel van autonomie en zijn losgekoppeld van de applets. Ze geven dus niet het

28 gevoel van autonomie weer ten gevolge van de applets, maar een algeheel gevoel van autonomie. Zie voor verdere vragen 2, 3, 4, 5 de bijlage 2: Vragenlijsten feedback, autonomie, self-efficacy, motivatie.

SE self-efficacy

De self efficacy oftewel het gevoel van competentie meet ik door de leerlingen vragen te laten beantwoorden over hun zelfbeeld, zelfvertrouwen. De items zijn afkomstig uit een bestaande test, de Patterns of Adaptive Learning Scales (PALS,2000) en de daaruit vertaalde vragenlijsten (Doesum, 2012). De laatste items heb ik aangepast voor vwo-onderwijs. Voorbeelden van vragen zijn:

1. Heb je het gevoel dat je de wiskundeopgaven goed kunt maken als je je ervoor inzet?

5. Ik kan de meeste problemen bij het maken van een opgave zelf oplossen 8. Kan je binnen de gestelde tijd alle wiskundeopgaven oplossen?

De leerlingen kunnen een waardering 1 t/m 10 geven, waarbij 1 hoort bij ‘niet’ en 10 bij ‘wel’. Zie voor tussenliggende vragen de bijlage 2: Vragenlijsten feedback, autonomie, self-efficacy, motivatie.

MOT Motivatie

Motivatie meet ik door de leerlingen vragenlijsten te laten invullen waarin de leerlingen de gedrevenheid om een wiskundig vraagstuk aan te pakken en op te lossen met een cijfer moeten waarderen. Verder geven ze een cijfer aan het plezier, het positieve dan wel negatieve gevoel van een leerling bij het oplossen van wiskundige problemen. Voor de vragenlijsten is weer gebruik gemaakt van de eerder genoemde ILS-vragenlijsten. Voorbeelden van vragen zijn:

1. Wil je perse de juiste antwoorden vinden bij het oplossen van problemen? 3. Heb je veel plezier wanneer je wiskunde doet?

8. Heb je meer zelfvertrouwen gekregen bij het oplossen van wiskundige problemen? De leerlingen kunnen een waardering 1 t/m 10 geven, waarbij 1 hoort bij ‘niet’ en 10 bij ‘wel’. Zie voor tussenliggende vragen de bijlage 2: Vragenlijsten feedback, autonomie, self-efficacy, motivatie.

4.3.2 Validiteit

Wat betreft de validiteit van de wiskundige vaardigheden zijn de tests gebaseerd op het model van O’Callaghan (1998). Bij het onderdeel concretisering hebben examenopgaven gediend als basis. De tests zijn gecontroleerd door een collega wiskunde op eventuele fouten.

Zoals beschreven, zijn bij meting van AU, SE, MOT en FB gebruik gemaakt van bestaande vragenlijsten. Uiteraard zijn ze aangepast aan mijn situatie. Bij de bovengenoemde vragenlijsten kunnen kanttekeningen worden geplaatst. Er bestaat een mogelijkheid voor het geven van sociaal wenselijke antwoorden. Door de vragenlijsten gelijktijdig met de drie tests van wiskundige vaardigheden uit te voeren hoop ik die sociale wenselijkheid enigszins

29 uit te vlakken. Het worden immers drie testmomenten in de tijd. Daarnaast benadruk ik voorafgaande aan de invulling het belang om de vragenlijsten zo oprecht mogelijk in te vullen.

4.3.3 Betrouwbaarheid

De verwachte betrouwbaarheid is hoog, daar ik gebruik maak van bestaande vragenlijsten en toetsen. De samenhang wordt achteraf gecontroleerd met Cronbach’s alpha. Dit is louter indicatief omdat het een zeer kleine groep betreft.

4.3.4 Procedure vragenlijst

De vragenlijsten zijn niet te uitgebreid, want dat zou te veel tijd kosten en zou kunnen leiden tot irritatie. Bij het presenteren van de vragenlijst aan de leerling heb ik steeds benadrukt dat het gaat om de mening die de leerling op dat moment heeft. Het gaat niet om de mening die hij of zij hoopt te hebben of denkt te moeten hebben. Het is ook niet de mening waarvan hij of zij meent dat die sociaal-wenselijk is. Ik was steeds bij het invullen van de vragenlijsten, zodat ik erop kon toezien dat er de tijd voor werd genomen en dat ze met grote mate van oprechtheid zijn ingevuld.

4.3.5 Data-analyse

De testresultaten en vragenlijsten zijn gecodeerd en overgezet naar een Excelbestand. Voor de statistische analyse gebruik ik standaardpakketten binnen Excel. Dit pakket maakt het ook mogelijk om op een eenvoudige manier grafieken te maken. We gaan steeds de scores van de WV, AU, SE, MOT en FB per test meten. Vervolgens meten we verschilscores tussen test 1 en test 2 en de verschilscores tussen test 2 en 3 tussen de genoemde variabelen. Hiermee hoop ik antwoord te kunnen geven op vragen als zijn de wiskundige vaardigheden toegenomen, is het gevoel van autonomie, self-efficacy, motivatie en feedback toe- of afgenomen?

Gekozen is om het aantal te behalen punten per kwantitatieve variabele WV met daarin MOD, INTER,VERT, CONCR, AU, SE, MOT, FB) om te rekenen in een waardering van 1 t/m 10. Dit betekent dat de scores als volgt zijn omgerekend:

𝑐𝑖𝑗𝑓𝑒𝑟 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑒𝑙𝑒 = 𝑎𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑏𝑒ℎ𝑎𝑎𝑙𝑑𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑒𝑛

𝑡𝑜𝑡𝑎𝑎𝑙 𝑡𝑒 𝑏𝑒ℎ𝑎𝑙𝑒𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑒𝑛× 9 + 1

Zo zal bijvoorbeeld bij wiskundige vaardigheden iemand die 12 punten van de 20 punten behaald de volgende score krijgen:

𝑐𝑖𝑗𝑓𝑒𝑟 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑒𝑙𝑒 = 12

20× 9 + 1 = 6,4

Het voordeel is, vind ik, dat alle waarderingen worden teruggebracht tot een becijfering 1 t/m 10 hetgeen voor iedereen duidelijk leesbaar is.

Voor de samenhang tussen de variabelen kijk ik naar de correlaties. Vragen over de samenhang worden beantwoord met Pearson’s productmoment correlatie. In hoeverre een correlatie significant is, wordt bepaald door de p-waarden. Door de zeer kleine steekproef zullen de p-waarden niet in dit onderzoek worden meegenomen.

30

4.3.6 Kwalitatief onderzoek

Dit onderdeel is min of meer spontaan ontstaan tijdens het onderzoek. Ik wilde wat meer inzicht in hoe de leerlingen en ikzelf als docent de applets ervaren (OBS1, gedurende lesmodule 2) en in hoeverre de leerlingen de applets zelfstandig zouden kiezen als achtergrondbron (OBS2 aan het einde van lesmodule 3). Een deel van de antwoorden zal informatief zijn, maar een deel van de vragen zal ook bijdragen ter nuancering bij beantwoording van de onderzoeksvragen.

Het betreft dus een inductieve aanpak. Het geeft geen harde, logische conclusie, maar een conclusie die aannemelijk is.

OBS1

Dit is een kwalitatief observatieformulier waarbij ik per les de leerlingen en mezelf observeerde en daarbij de volgende vragen stelde, waarbij de dikgedrukte woorden de steekwoorden bij de betreffende vraag zijn.

Vragen aan de leerlingen:

1. Gebruikersgemak. Wat vinden jullie van het gebruikersgemak van de applets? 2. Feedback. Wat vind je van de gegeven feedback?

3. Wiskundige tekortkoming. Op welke wiskundige tekortkoming bij jezelf wees de applets je?

4. Enthousiasme voor applets. Neemt je enthousiasme voor de applets toe of af? Vragen voor docent

5. Time-on-task. Werkt het percentagescherm, waarbij de voortgang van de leerlingen wordt vermeld, positief op de prestaties van de leerlingen (extrinsieke motivatie door concurrentie en competitie)?

De vragen 1 en 2 kunnen een bijdrage geven ter beantwoording van deelvraag 2: ervaren de leerling de feedback als waardevol? Vraag 3 kan extra informatie geven op deelvraag 1: draagt het gebruik van applets bij tot een verhoogde wiskundige bekwaamheid?, terwijl vraag 4 informatie kan geven op deelvraag 5: leidt het gebruik van applets tot meer (intrinsieke) motivatie?

OBS2

Doordat ik waarnam dat de applets in de derde lesmodule nauwelijks werden gebruikt, heb ik een aanvullende vragenlijst opgesteld. Ik was daarbij benieuwd in hoeverre de leerlingen de applets als waardevol ervaren, welke bron ze volgens hen het meest raadpleegden om tot het juiste antwoord te komen. Ik heb daarbij de leerlingen voorgelegd dat ze de bronnen boek, schrift, applets en docent gezamenlijk met 10 punten konden waarderen en dat ze per bron een schatting moesten maken in hoeverre ze van deze bronnen gebruik maken. Er mocht niet worden samengewerkt, de leerling is dus geen bron. Dit is een evaluatieve vragenlijst bij de derde lesmodule.

31

5. De resultaten

In dit hoofdstuk worden de onderzoeksresultaten beschreven. Ik zal beginnen met de in hoofdstuk 4 opgesomde variabelen te behandelen (5.1). Vervolgens gaan we de correlaties tussen twee variabelen behandelen (5.2) waarna we besluiten met het kwalitatief onderzoek (5.3).

5.1. Beschrijving van de resultaten

5.1.1 Wiskundige vaardigheden

Bij elk testmoment zijn de wiskundige vaardigheden beoordeeld volgens het model van O’Callaghan (1998): modeleren, interpretatie, vertaling en concretisering. Deze tests met antwoordmodel zijn te vinden in de bijlage 1. In Excel zijn de resultaten per leerling te vinden in de rijen. (zie bijlage 3). De kolommen geven de resultaten weer per wiskundig concept.

Een samenvatting van de gemiddeld behaalde resultaten per testonderdeel is te vinden in figuur 5.1 hieronder. Hieruit is af te leiden, dat de gemiddelde resultaten die behaald zijn tijdens de tests aanzienlijk zijn verbeterd (van 6,1 naar 7,4 naar 7,9). Over het algemeen nemen wiskundige vaardigheden toe. Ook is te zien, dat de testcijfers meer toenamen tussen test 1 en test 2. Dat was precies de periode dat we met de applets werkten.

Tabel 5.1 Resultaat wiskundige vaardigheden WV met de bijbehorende standaardafwijking per test.

32

5.1.2 Wiskundige vaardigheden MOD INTER VERT CONCR

Om de nuances in het effect op het overall resultaat van wiskundige vaardigheden te zien, heb ik de resultaten per deelgebieden, gedefinieerd volgens het model van O’Callaghan (1998), weergegeven in tabel 5.2. Zowel het gemiddelde per onderdeel als de standaardafwijking is daarbij gegeven. De kleuren per rij corresponderen met kleur in de grafieken van figuur 5.2

Tabel 5.2 Resultaat wiskundige vaardigheden MOD INTER VERT CONCR met de bijbehorende

standaardafwijking per test.

Figuur 5.2: Lijndiagram van de behaalde resultaten van MOD VERT INTER en CONCR verdeeld over de drie

tests.

Uit figuur 5.2 blijkt dat er over het algemeen een stijging te zien in wiskundige vaardigheden. Er is enkel een terugval te bemerken in VERT tussen test 2 en test 3 (van gemiddeld 8,0 naar 7,2). De stijging neemt wat af bij MOD en INTER tussen test 2 en test 3. De helling van de lijn neemt immers af (zie figuur 5.2 bovenste figuur).

33 Bij het concretiseren is wel een stijging te zien in de prestaties, maar de absolute cijfers in zowel test 1 als test 2 zijn onvoldoende (van 4,6 naar 5,1 gemiddeld). Pas in test 3 is de prestatie voldoende (van 5,1 naar 6,6 gemiddeld). De stijging voor CONCR is het sterkst tussen test 2 en test 3.

In figuur 5.3 is nogmaals een lijndiagram te zien waaruit blijkt dat voor MOD en INTER, verdeeld over de tests, over het algemeen goed wordt gescoord. De resultaten van VERT en CONCR liggen over het algemeen lager dan bij MOD en INTER. Ook is uit figuur 5.3. duidelijk te zien, dat de resultaten tussen test 1 en test 2 (de blauwe en de rode grafiek in de figuur) in zijn geheel is gestegen. .

Figuur 5.3: lijndiagram van de behaalde resultaten van MOD, INTER, VERT, CONCR

5.1.3 Sociaal-emotionele variabelen AU SE MOT en FB.

De antwoorden op de vragenlijsten over het gevoel van autonomie (AU), self-efficacy (SE), motivatie (MOT) en feedback (FB) zijn ook verwerkt in Excel. In Excel zijn de resultaten per leerling te vinden in de rijen. (zie bijlage 4). De kolommen geven de resultaten weer per variabele, AU SE, MOT en FB.

Alleen in de eerste week van de lesmodule en in test 2, nadat er met de applets isgewerkt, hebben de leerlingen de vragenlijst over feedback ingevuld.

De eerste drie vragen over autonomie gaan over het inroepen van hulp bij de docent. Hierbij geldt: hoe hoger de score, des te minder autonomie de leerlingen zouden ervaren. De eerste drie vragen zijn daarom contra-indicatief op de vraag ‘voel je je autonomer bij toepassing van de wiskundige vaardigheden’. Vandaar dat deze scores zijn gehercodeerd. Een samenvatting van de gemiddeld behaalde resultaten per testonderdeel is te vinden in de tabel hieronder. In tabel 5.3 wordt per test de waardering van de leerlingen op gebied van AU, SE, MOT en FB weergegeven. De kleuren per rij corresponderen met de kleur in de grafieken van figuur 5.4.

34 Tabel 5.3 Resultaat waardering gevoel van autonomie (AU), self efficacy (SE), motivatie (MOT) en feedback

(FB) met de standaardafwijkingen per test.

Figuur 5.4: Lijndiagram van de behaalde resultaten van autonomie, self-efficacy, motivatie en feedback

verdeeld over de drie tests.

Uit figuur 5.4 is te zien, dat autonomie en self-efficacy beide blijven stijgen gedurende de test. Alleen de motivatie kent ter plekke van test 2 een dip. Dit komt overeen met de dip in waardering die de leerlingen geven aan de feedback van de applets. Opvallend zijn ook de hoge beginscores voor de variabele AU SE en MOT. Bij AU is ook een afname in de standaardafwijking te zien, wat duidt op een geringere spreiding in waarderingen voor AU. Een verklaring hiervoor wordt in hoofdstuk 6.1.3. gegeven bij het beantwoorden van de onderzoekdeelvraag 3. Daarnaast valt de grote standaardafwijking bij FB op. Hierop wordt ingegaan in hoofdstuk 6.1.5 bij het beantwoorden van de onderzoekdeelvraag 5.

5.1.4 Betrouwbaarheid vragenlijsten AU SE MOT en FB

De betrouwbaarheid van de vragenlijsten is getest met Cronbach’s alpha. De algemene formule luidt:

Hierin is k de grootte van de steekproef. In ons geval geldt: k =6.

Dit kon gemakkelijk in Excel worden berekend. Gezien de kleine steekproef heeft deze geen statistische betekenis, maar geeft wel een indicatie. De resultaten variëren over de verschillende tests. De variaties in die waarden staan in tabel 5.4.

35 Tabel 5.4 Cronbach’s alpha voor AU, SE, MOT, FB met daarin per kolom de Cronbach’s alpha in

respectievelijk test 1, test 2 en test 3

Cronbach’s alpha’s beneden de 0,60 is niet waardevol Het streven is minimaal 0,70 (Baarda et al., 2012). Boven de 0,90 zijn de meningen verdeeld. Sommigen spreken van zeer consistent, terwijl anderen weer spreken over een itemredundancy (overvloed).

De waarden van Cronbach’s alpha, geven geen reden de vragenlijsten te herzien.

5.2

Correlaties

Een correlatie geeft de samenhang tussen twee variabelen weer (Baarda et al., 2012). Een positieve correlatie betekent dat wanneer de waarde van de ene variabele toeneemt, de andere variabele ook toeneemt. Een negatieve correlatie betekent, dat wanneer de ene variabele toeneemt, de ander zal afnemen. Een correlatie geeft geen causaal verband weer, zijgeeft alleen de samenhang weer.

In deze paragraaf gaan we op basis van de gegeven metingen na, of er een samenhang bestaat tussen de variabelen wiskundige vaardigheden (WV), autonomie (AU), self-efficacy (SE), motivatie (MOT) en feedback (FB) . De sterkte van dit verband wordt meestal met behulp van het Pearson’s productmoment-correlatiecoëfficiënt berekend. Dit geldt meestal voor dertig eenheden of meer (Baarda et al., 2012). Toch zal het wel een indicatie geven. We berekenen twee verschillende correlaties:

1. De correlaties van de verschilwaarden tussen tijdstip 1 en tijdstip 2 en tussen tijdstip 2 en tijdstip 3. (5.2.1)

2. De correlaties tussen de variabelen op tijdstippen 1, 2 en 3. (5.2.2).

De correlaties van de verschilwaarden zeggen iets over de samenhang tussen bijvoorbeeld een toename in wiskundige vaardigheid WV en een toename autonomie AU. Hoe groter de correlatie, des te groter de samenhang.

De verschillen zeggen echter niets over de absolute waarden voor autonomie in verhouding met wiskundige vaardigheid. Een gering of heel gespreid verschil tussen tijdstip 1 en 2 in bijvoorbeeld autonomie AU kan in verhouding met een sterke stijging in wiskundige vaardigheden WV een zwakke correlatie geven. Maar als de leerling zichzelf al heel hoog heeft gewaardeerd op AU en de prestaties op WV is ook hoog, dan is de correlatie WV en AU op dat specifieke tijdstip hoog.

Voor de conclusies ga ik in eerste instantie uit van de correlaties van de verschilwaarden, maar ik zal deze nader nuanceren met de correlaties op de specifieke tijdstippen.

36

5.2.1 Correlaties verschilwaarden

Periode 1: tussen tijdstip 1 en tijdstip 2

In tabel 5.5 zijn de resultaten van de correlaties tussen de variabelen gegeven, gebaseerd op de veranderingen van de variabelen gedurende tijdstip 1 en tijdstip 2. Tabel 5.5 Correlatie van verschilwaarden tussen tijdstip 1 en tijdstip 2 van de variabelen

WV, AU, FB

Als we naar tabel 5.5 kijken, waarin de verschillen in AU en de verschillen in FB zijn weergegeven, dan blijken deze verschillen niet noemenswaardig te correleren (0,10). Alleen een verschil in FB maakt een verschil in WV, wat zich uit in een positieve correlatiecoëfficiënt (0,64). Dus een positieve verandering in feedback en een positieve verandering in wiskundige vaardigheden zijn onderling gecorreleerd. De verandering van WV en FB behoeft daarbij wel een toelichting. Op basis van de meetresultaten in 5.1.3 zien we een afname in gemeten FB (van 3,7 naar 1,3; zie tabel 5.3), terwijl in dezelfde periode de gemeten WV (van 6,1 naar 7,4; zie tabel 5.1) toenam. Dit betekent dat de positieve correlatie tussen WV en FB uitsluitend is gemeten voor het geval dat er een afname in FB is tussen tijdstip 1 en tijdstip 2. In feite zegt deze correlatie specifiek voor dit onderzoek, dat een minder negatieve FB samenhangt met een positieve verandering in WV.

In tegenstelling tot wat op basis van de literatuur verwacht zou mogen worden, namelijk een positieve correlatie tussen AU en FB, vinden we hier dus een negatieve correlatie tussen AU en FB. Op de oorzaak hiervan wordt teruggekomen in hoofdstuk 6.

WV, AU, MOT

Als we naar tabel 5.5 kijken, waarin de verschillen in AU en de verschillen in MOT zijn weergegeven, dan blijken deze verschillen niet onderling te correleren (-0,58). Alleen een verschil in MOT maakt een verschil in WV, wat zich uit in een positieve correlatiecoëfficiënt (0,79). Dus een positieve verandering in motivatie en een positieve verandering in wiskundige vaardigheden zijn onderling gecorreleerd.

MOT, FB

MOT en FB hangen onderling ook positief samen (0,60). Hierbij moet dezelfde kanttekening worden gemaakt als eerder is genoemd: de correlaties gelden voor afnemende FB.

37 WV, AU, SE

Uit tabel 5.5 blijkt een zwak negatieve samenhang met de verandering van WV en die van AU (-0,20). Ook blijkt een zwak negatieve samenhang met de verandering van WV en die van SE (-0,32).

Periode 2: tussen tijdstip 2 en tijdstip 3

In tabel 5.6 zijn de resultaten van de correlaties tussen de variabelen gegeven, gebaseerd op de veranderingen van de variabelen gedurende tijdstip 2 en tijdstip 3. Tabel 5.6 Correlatie van verschilwaarden tussen tijdstip 2 en tijdstip 3 van de variabelen

De samenhangen zijn te vergelijken met die van de correlaties tussen tijdstip 1 en 2. WV, AU, MOT, SE

Als we naar tabel 5.5 kijken, waarin de verschillen in AU en de verschillen in MOT zijn weergegeven, dan blijken deze verschillen niet onderling te correleren (-0,45). Alleen een verschil in MOT maakt een verschil in WV, wat zich uit in een positieve correlatiecoëfficiënt (0,66). Dus een positieve verandering in motivatie en een positieve verandering in wiskundige vaardigheden zijn onderling gecorreleerd. In deze periode is voornamelijk gewerkt met het concretiseren. Uit tabel 5.2 bleek, dat de cijfers voor concretiseren stegen van 5,1 naar 6,6 gemiddeld.

De correlatie WV met AU is nu sterker negatief (-0,59) terwijl de correlatie WV met SE zwak positief is (0,15). De veranderingen van de variabele AU en SE hangen weer tegen de verwachting van SDT negatief samen met verandering in motivatie

AU, SE, MOT

De respectievelijke correlatiecoëfficiënten zijn -0,45 (AU, MOT) en -0,49 (SE, MOT). Dit komt overeen met de negatieve correlatiecoëfficiënten in periode 1, achtereenvolgens -0,58 (AU, MOT) en -0,62 (SE, MOT).

In tegenstelling tot wat op basis van de literatuur verwacht zou mogen worden, namelijk een positieve correlatie tussen AU, SE en MOT, vinden we hier dus een negatieve correlatie tussen AU en MOT. Op de oorzaak hiervan wordt teruggekomen in hoofdstuk 6.