Structural Holes en Informatieverspreiding: Een Combinatie van Netwerkformatie-Modellen
Inge ter Laak
28 juni 2013
Bachelorscriptie Econometrie Universiteit van Amsterdam
Faculteit Economie en Bedrijfskunde
Begeleiding door Marco van der Leij en Daan in ’t Veld
Dankwoord
Voor de grafische weergave van de resultaten is het igraph pakket van het software programma R gebruikt. Mijn dank gaat uit naar de makers van het programma Robert Gentleman en Ross Ihaka en anderen die aan het programma hebben meegewerkt (zie http://www.r-project.org).
De scripts die geschreven zijn in R voor de analyse en de grafische weergave van de resultaten zijn (gebaseerd op de scripts) van mijn scriptiebegeleiders Marco van der Leij en Daan in ’t Veld. Mijn dank gaat uit naar hun goede en enthousiaste begeleiding en
ondersteuning bij het schrijven van mijn bachelorscriptie.
Abstract
In de literatuur van netwerkformatie theorie wordt regelmatig aangenomen dat spelers geneigd zijn structural holes in het netwerk te overbruggen. Eerder onderzoek van Goyal en Vega-Redondo (2007) laat zien dat het stervormige netwerk het belangrijkste paarsgewijs stabiele netwerk is wanneer een model met deze aannames geanalyseerd wordt. Dit model houdt echter geen rekening met het feit dat informatie in waarde af kan nemen, wanneer het een langere weg moet afleggen binnen het netwerk. Wanneer informatie een langere weg moet afleggen, kunnen meer spelers gebruik maken van deze informatie, waardoor deze minder waardevol kan worden. Dit is bijvoorbeeld het geval wanneer de informatie
investeringskansen betreft. In deze studie wordt daarom de ‘mate van waardeafname’ van het
connections model (Jackson & Wollinsky, 1996) opgenomen in het eerstgenoemde model.
Het stervormige netwerk blijkt het belangrijkste paarsgewijs stabiele en efficiënte netwerk, waarbij tegen de verwachting het stervormige netwerk minder vaak stabiel is dan bij Goyal en Vega-Redondo (2007). Daarnaast blijkt het complete netwerk bij lage kosten paarsgewijs stabiel en efficiënt. Het cirkelvormige netwerk is niet paarsgewijs stabiel voor grote netwerken, wanneer er sprake is van waardeafname van informatie. Kleine cirkelvormige netwerken zijn daarentegen voor veel parameterwaarden paarsgewijs stabiel, maar niet efficiënt. De implementatie van deze resultaten wordt ten slotte besproken.
1. Inhoudsopgave
1. Inhoudsopgave 4
2. Inleiding 5
3. Totstandkoming van het model 7
4. Stabiliteit en efficiëntie 8 5. Onderzoeksopzet 10 6. Resultaten 11 6.1 Stabiliteit 11 6.2 Efficiëntie 16 6.3 Stabiliteit vs. Efficiëntie 17 7. Discussie 18 8. Literatuur 22 9. Appendix 23 9.1 Bewijzen stabiliteit 23 9.2 Bewijzen efficiëntie 27 4
2. Inleiding
Individuen verkrijgen informatie via de relaties die ze met anderen vormen. De structuur van deze relaties bepaalt hoe informatie verspreid wordt tussen individuen en met deze informatie kan iemand zijn voordeel doen (Goyal & Vega-Redondo, 2007). Dit voordeel blijkt uit verschillende onderzoeken naar sociale netwerken. Het hebben van de juiste relaties kan er bijvoorbeeld voor zorgen dat iemand gemakkelijker een baan vindt (Calvó-Amengol, 2004) of dat een bedrijf investeringskansen succesvol kan benutten. Naast de directe links tussen een individu en zijn buren, hebben links tussen anderen binnen het netwerk ook invloed op de informatie die dit individu verkrijgt. In sommige situaties kan een individu voordeel halen uit het verkrijgen van een goede tussenpositie tussen twee niet verbonden individuen,
bijvoorbeeld als tussenpersoon in een handelsovereenkomst (Buskens & Van de Rijt, 2008). Hierbij kan de tussenpersoon zijn voordeel doen door de informatiestroom tussen de twee partijen te bepalen en te controleren (Burt, 1992). De tussenpersoon overbrugt dan gaten in het netwerk, zogenoemde structural holes, tussen individuen die eerst niet verbonden waren. Omdat het overbruggen van deze structural holes de tussenpersoon ook een opbrengst kan opleveren, zullen individuen geneigd zijn te investeren in links die zorgen voor een dergelijke positie in het netwerk (Goyal & Vega-Redondo, 2007).
Goyal en Vega-Redondo (2007) onderzochten welke stabiele netwerken er ontstaan, wanneer individuen de strategie van het overbruggen van structural holes hanteren. In dit model vormen spelers links met elkaar waarbij het vormen van een link kostbaar is en beide spelers moeten instemmen met het vormen van een link. Elke interactie tussen twee spelers zorgt voor een beloning (surplus), waarbij elke speler, die als tussenschakel op de route tussen deze twee spelers ligt, kans maakt op een deel van dit surplus. Alleen de essentiële spelers, de spelers die op elke route tussen twee spelers een tussenschakel vormen, ontvangen een
beloning. Het netwerkmodel is in evenwicht als geen van de spelers kan afwijken van het evenwicht (door een link te verwijderen of toe te voegen) om een hogere opbrengst te krijgen.
Een ander model dat informatieverwerking binnen een netwerk beschrijft is het
connections model van Jackson en Wolinsky (1996). In dit model is de opbrengst die een
speler ontvangt voor het vormen van een link afhankelijk van de afstand tussen hem en de speler met wie hij de link vormt. Deze aanname is niet opgenomen in het model van Goyal en Vega-Redondo. In het connections model zorgen directe links voor de hoogste opbrengst en neemt de waarde van de opbrengst af naarmate de afstand toeneemt. Deze afname in waarde is gebaseerd op het idee dat informatie in waarde afneemt, wanneer het een langere weg
aflegt. Deze aanname is niet onrealistisch in situaties waarbij meerdere spelers concurreren om informatie, bijvoorbeeld wanneer deze informatie gaat over belangrijke
investeringskansen. Het connections model houdt daarentegen geen rekening met rivaliteit tussen spelers, terwijl Goyal en Vega-Redondo (2007) dit wel in hun model opnemen aan de hand van het feit dat alleen essentiële spelers een beloning kunnen ontvangen. In het huidige model zullen de modellen van beide onderzoeken gecombineerd worden, waarbij zowel rekening wordt gehouden met de afname van de waarde van informatie als met de rivaliteit tussen spelers. Dit model zal daarom een meer algemene weergave zijn van sociale
netwerken, waarin informatie minder waardevol wordt naarmate meerdere individuen er toegang toe hebben en waarbij deze individuen concurreren om een structural holes positie in het netwerk.
In het onderzoek van dit artikel komen enkele andere resultaten naar voren dan in het onderzoek van Goyal en Vega-Redondo (2007). Het stervormige netwerk blijkt het
belangrijkste paarsgewijs stabiele en efficiënte netwerk te zijn. Hierbij is het stervormige netwerk tegen de verwachting minder vaak stabiel dan in het onderzoek van Goyal en Vega-Redondo. Daarnaast blijkt het complete netwerk paarsgewijs stabiel en efficiënt voor lage kosten van het vormen van een link, hetgeen niet het geval was in het laatstgenoemde onderzoek. Verder blijkt het cirkelvormige netwerk niet paarsgewijs stabiel voor netwerken die bestaan uit meer dan tien spelers wanneer er sprake is van waardeafname van informatie1, terwijl bij Goyal en Vega-Redondo het cirkelvormige netwerk juist vaker paarsgewijs stabiel was naarmate het aantal spelers groter werd.
Dit paper zal onderverdeeld worden in negen paragrafen. In de derde paragraaf zal besproken worden hoe het model van de huidige paper tot stand is gekomen. In de vierde paragraaf zullen de evenwichtsconcepten besproken worden die gebruikt worden in de
analyse van het model. Paragraaf vijf zal bestaan uit de bespreking van de onderzoeksopzet en de formulering van de verwachtingen van het onderzoek. In paragraaf zes zullen de resultaten besproken worden. Paragraaf zeven zal bestaan uit de discussie van het paper. Paragraaf acht en negen zullen ten slotte de literatuur en de appendix beslaan.
1 Uitgezonderd de ‘mate van waardeafname’ waarvoor het model van deze studie gelijk was aan dat van Goyal
en Vega-Redondo (2007) (𝛿𝛿 = 1 en 𝛿𝛿 → 1). In dat geval waren de resultaten gelijk voor beide modellen.
6
3. De totstandkoming van het model
In het model van Goyal en Vega-Redondo (2007)2 bestaat het netwerk uit 𝑁𝑁 =
{1,2, … , 𝑛𝑛} identieke spelers (𝑛𝑛 > 3) die tegelijkertijd bepalen of ze een bepaalde link willen vormen. Het netwerk wordt aangegeven met 𝑔𝑔 = {(𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖)}𝑖𝑖,𝑖𝑖∈𝑁𝑁. Wanneer spelers 𝑖𝑖 en 𝑗𝑗 een link willen vormen met elkaar geldt 𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖 = 1 en wordt de link gevormd. Indien tenminste een van de spelers geen link wil vormen geldt 𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖 = 0. Tussen spelers 𝑖𝑖 en 𝑗𝑗 bestaat een pad wanneer 𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖 = 1 of wanneer er een verzameling spelers {𝑖𝑖1, … , 𝑖𝑖𝑛𝑛} bestaat zodanig dat 𝑔𝑔𝑖𝑖,𝑖𝑖1 = 𝑔𝑔𝑖𝑖1,𝑖𝑖2 = 𝑔𝑔𝑖𝑖2,𝑖𝑖3 = ⋯ = 𝑔𝑔𝑖𝑖𝑛𝑛,𝑖𝑖= 1. Het kortste pad tussen speler 𝑖𝑖 en 𝑗𝑗 is het minimale aantal
verbindingen tussen deze twee spelers en wordt genoteerd als 𝑑𝑑(𝑖𝑖, 𝑗𝑗; 𝑔𝑔), waarbij 𝑑𝑑(𝑖𝑖, 𝑗𝑗; 𝑔𝑔) = ∞ wanneer er geen pad is tussen 𝑖𝑖 en 𝑗𝑗 (Jackson & Wolinsky, 1996). Alle spelers met wie speler 𝑖𝑖 direct of indirect verbonden is wordt genoteerd met 𝐶𝐶𝑖𝑖(𝑔𝑔). 𝐸𝐸(𝑗𝑗, 𝑘𝑘; 𝑔𝑔) is de
verzameling van spelers die essentieel zijn bij het vormen van een verbinding tussen 𝑖𝑖 en 𝑗𝑗, waarbij 𝑒𝑒(𝑖𝑖, 𝑗𝑗; 𝑔𝑔) = ⃓ 𝐸𝐸(𝑗𝑗, 𝑘𝑘; 𝑔𝑔)⃓ het aantal essentiële spelers tussen 𝑖𝑖 en j voorstelt. Een speler 𝑖𝑖 is essentieel in de verbinding tussen 𝑗𝑗 en 𝑘𝑘, wanneer deze op elk pad tussen 𝑗𝑗 en 𝑘𝑘 ligt. De indicatorfunctie 𝐼𝐼{𝑖𝑖∈𝐸𝐸(𝑖𝑖,𝑘𝑘)} ∈ {0,1} geeft aan of 𝑖𝑖 essentieel is voor de relatie tussen de spelers 𝑗𝑗 en 𝑘𝑘. De kosten voor het vormen van een link zijn 𝑐𝑐 met 𝜂𝜂𝑖𝑖(𝑔𝑔) ≡ ⃓ {𝑗𝑗 ∈ 𝑁𝑁: 𝑗𝑗 ≠ 𝑖𝑖, 𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖 = 0}⃓ het aantal spelers met wie speler 𝑖𝑖 een link vormt. De opbrengst voor speler i wordt gedefinieerd aan de hand van de volgende nutsfunctie
(2.1) 𝛱𝛱𝑖𝑖(𝑔𝑔) = ∑ 1 𝑒𝑒(𝑖𝑖,𝑖𝑖;𝑔𝑔)+2+ ∑ 𝐼𝐼{𝑖𝑖∈𝐸𝐸(𝑗𝑗,𝑘𝑘)} 𝑒𝑒(𝑖𝑖,𝑘𝑘;𝑔𝑔)+2 𝑖𝑖,𝑘𝑘∈𝑁𝑁 − 𝜂𝜂𝑖𝑖 𝑖𝑖∈𝐶𝐶𝑖𝑖 (𝑔𝑔)𝑐𝑐.
Het connections model van Jackson en Wolinsky (1996) is gebaseerd op het eerder genoemde idee dat spelers profiteren van directe en indirecte verbindingen en dat de waarde van deze verbindingen afneemt naarmate de afstand tussen twee verbonden spelers groter wordt. Hierbij geven alle spelers tegelijkertijd aan welke link ze willen vormen of
verwijderen. De nutsfunctie van de opbrengst voor speler 𝑖𝑖 wordt als volgt vormgegeven (2.2) 𝛱𝛱𝑖𝑖(𝑔𝑔) = ∑𝑖𝑖∈𝑁𝑁𝑖𝑖(𝑔𝑔)𝛿𝛿𝑑𝑑(𝑖𝑖,𝑖𝑖;𝑔𝑔)− 𝜂𝜂𝑖𝑖(𝑔𝑔)𝑐𝑐,
waarbij 𝛿𝛿 ∈ [0,1] de ‘mate van waardeafname’ (decay) voorstelt (met 𝛿𝛿 =0 volledige waardeafname, 𝛿𝛿 = 1 geen waardeafname).
2 Zie Goyal & Vega-Redondo (2007) voor uitgebreide uitleg over de totstandkoming van de nutsfunctie.
7
In het model van het huidige onderzoek zal de ‘mate van waardeafname’, 𝛿𝛿, opgenomen worden in het model van Goyal en Vega-Redondo (2007). Hierbij zal de volgende nutsfunctie geformuleerd worden
(2.3) 𝛱𝛱𝑖𝑖(𝑔𝑔) = ∑ 1 𝑒𝑒(𝑖𝑖,𝑖𝑖;𝑔𝑔)+2𝛿𝛿𝑑𝑑(𝑖𝑖,𝑖𝑖;𝑔𝑔)+ ∑ 𝐼𝐼{𝑖𝑖∈𝐸𝐸(𝑗𝑗,𝑘𝑘)} 𝑒𝑒(𝑖𝑖,𝑘𝑘;𝑔𝑔)+2 𝑖𝑖,𝑘𝑘∈𝑁𝑁 𝛿𝛿𝑑𝑑(𝑖𝑖,𝑘𝑘;𝑔𝑔)− 𝜂𝜂𝑖𝑖 𝑖𝑖∈𝐶𝐶𝑖𝑖 (𝑔𝑔)𝑐𝑐.
De eerste term geeft de opbrengst weer voor speler 𝑖𝑖 voor de link met 𝑗𝑗, die lager zal zijn naarmate 𝑑𝑑(𝑖𝑖, 𝑗𝑗; 𝑔𝑔), de afstand tussen 𝑖𝑖 en 𝑗𝑗, toeneemt. De tweede term geeft de opbrengst voor speler 𝑖𝑖 weer voor alle links tussen 𝑗𝑗 en 𝑘𝑘 waarin hij een essentiële speler is, waarbij rekening wordt gehouden met de waardeafname van informatie tussen 𝑗𝑗 en 𝑘𝑘. De opbrengst voor speler 𝑖𝑖 als essentiële speler tussen 𝑗𝑗 en 𝑘𝑘 zal lager zijn naarmate 𝑗𝑗 en 𝑘𝑘 verder uit elkaar liggen. De informatie die speler 𝑖𝑖 doorgeeft wordt voor 𝑗𝑗 en 𝑘𝑘 immers minder waardevol als deze verder uit elkaar liggen, resulterend in een lager deel van de opbrengst voor speler 𝑖𝑖. De laatste term geeft de totale kosten voor de links van speler 𝑖𝑖 weer. Voor 𝛿𝛿 = 1 is model (2.3) gelijk aan model (2.3) van Goyal en Vega-Redondo (2007).
4. Stabiliteit en efficiëntie
Het evenwichtsconcept dat in dit onderzoek gebruikt zal worden is paarsgewijze stabiliteit (pairwise stability). Hierbij worden de links in een netwerk één voor één beschouwd. Het netwerk is stabiel wanneer geen van de spelers de neiging heeft om een link te vormen of te verwijderen. Het concept paarsgewijze stabiliteit wordt door Jackson en Wolinsky (1996) als volgt geformuleerd. Een netwerk 𝑔𝑔 is paarsgewijs stabiel wanneer
(i) voor elke 𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖 = 1, 𝛱𝛱𝑖𝑖(𝑔𝑔) ≥ 𝛱𝛱𝑖𝑖�𝑔𝑔 − 𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖� en 𝛱𝛱𝑖𝑖(𝑔𝑔) ≥ 𝛱𝛱𝑖𝑖�𝑔𝑔 − 𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖�; (ii) voor 𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖 = 0, 𝛱𝛱𝑖𝑖�𝑔𝑔 + 𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖� > 𝛱𝛱𝑖𝑖(𝑔𝑔) 𝛱𝛱𝑖𝑖�𝑔𝑔 + 𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖� < 𝛱𝛱𝑖𝑖(𝑔𝑔).
Hierbij is het netwerk paarsgewijs stabiel wanneer (i) elke link in het netwerk (zwak) winstgevend is voor de spelers die de link vormen. Daarnaast (ii) moet voor elke niet-aanwezige link in het netwerk gelden dat een van de spelers strikt slechter af is in geval van de vorming van de link, als de andere speler strikt beter af is bij de linkvorming.
In deze studie zullen verschillende netwerkstructuren geanalyseerd worden, waaronder het stervormige, complete en lege netwerk (zie Figuur 4.1). In het complete netwerk zijn alle spelers met elkaar verbonden door middel van een link. Het stervormige netwerk bestaat uit
een centrale speler die door middel van een link met elk van de perifere spelers verbonden is. Het lege netwerk is het netwerk zonder verbindingen.
Figuur 4.1
Het stervormige, complete en lege netwerk bestaande uit 6 spelers.
Daarnaast zullen het cirkelvormige en hybride-cirkel stervormige netwerk geanalyseerd worden. Deze netwerk zijn weergegeven in Figuur 4.2. In het cirkelvormige netwerk heeft iedere speler twee links met zijn directe buren. Hierbij zijn alle spelers indirect met elkaar verbonden. Het hybride-cirkel stervormige netwerk bestaat uit een cirkelvormig deel, waarbij één speler in de cirkel verbonden is met de overige (perifere) spelers.
Figuur 4.2
Het cirkelvormige en het hybride-cirkel stervormige netwerk bestaande uit 6 spelers.
Uit eerder onderzoek naar de besproken modellen van Goyal en Vega-Redondo (2007) (2.1) en van Jackson en Wolinsky (1996) (2.2) was het stervormige netwerk paarsgewijs stabiel. In onderzoek (2.2) was het stervormige netwerk alleen stabiel voor een relatief klein bereik van δ, de afname in waarde van de informatie, en 𝑐𝑐, de kosten voor het vormen van een link. Hierbij had de centrale speler in het stervormige netwerk een minder hoge opbrengst dan de rest van de spelers. Daarentegen was in model (2.1)3 het stervormige netwerk paarsgewijs stabiel voor een veel groter bereik van de parameterwaarden. Hierbij was de opbrengst van de centrale speler juist veel hoger dan die van de andere spelers, hetgeen een gevolg is van de aanname van essentiële spelers. In een stervormig netwerk is de centrale speler namelijk een essentiële schakel tussen alle spelers, resulterend in een hogere opbrengst voor zijn
tussenschakelpositie.
Naast de vraag welke netwerken stabiel zijn, is het ook van belang te onderzoeken welke netwerken efficiënt zijn. Efficiëntie is een maat voor in hoeverre de maatschappij profiteert van het netwerk. Hierbij gaat het niet om de individuele opbrengst, maar om de totale opbrengst (Jackson, 1996). Wanneer een netwerk wel stabiel is maar niet efficiënt, of andersom, betekent het dat het individuele belang niet overeenkomt met het algemene sociale belang (Buechel & Hellmann, 2012) en kan het raadzaam zijn maatregelen te treffen die ervoor zorgen dat spelers links gaan vormen/verwijderen om zo toch tot een efficiënte netwerkverdeling te komen. Efficiëntie wordt formeel als volgt gedefinieerd. Een netwerk 𝑔𝑔 is efficiënt wanneer ∑ 𝛱𝛱𝑖𝑖 𝑖𝑖(𝑔𝑔)≥ ∑ 𝛱𝛱𝑖𝑖 𝑖𝑖(𝑔𝑔′) voor alle 𝑔𝑔′ in het netwerk.
Voor het huidige onderzoek is het de vraag welke netwerken paarsgewijs stabiel en efficiënte zijn, wanneer het model van Goyal en Vega-Redondo wordt gecombineerd met de ‘mate van waardeafname’ van het connections model. Daarnaast is het de vraag onder welke condities van de parameterwaarden 𝛿𝛿 en c deze netwerken stabiel en efficiënt zijn.
5. Onderzoeksopzet
In het huidige onderzoek zal het bovengenoemde model met nutsfunctie (2.3) theoretisch onderzocht worden. Hierbij zal ten eerste analytisch onderzocht worden voor welke waarden van 𝛿𝛿 en 𝑐𝑐 het lege, complete, stervormige, cirkelvormige en het hybride-cirkel stervormige netwerk stabiel zijn. Hierbij zal worden gekeken naar paarsgewijze stabiliteit. Ten tweede zal
3 Goyal en Vega-Redondo gebruikten in hun onderzoek naast het concept paarsgewijze stabiliteit ook het
concept bilateraal evenwicht. De vergelijking die in het huidige onderzoek gemaakt wordt betreft enkel paarsgewijze stabiliteit.
10
bekeken worden voor welke waarden van 𝛿𝛿 en 𝑐𝑐 de genoemde netwerken efficiënt zijn. De gevonden resultaten zullen grafisch worden weergegeven in plots.
Naar verwachting zal het stervormige netwerk gevonden worden als het belangrijkste paarsgewijs stabiele netwerk, aangezien de ster de het enige netwerk is waarbij twee spelers maximaal twee links van elkaar verwijderd zijn. Bovendien zijn de totale kosten in een stervormig netwerk voor gevormde links minimaal, aangezien de spelers in een ster minimaal met elkaar verbonden zijn (Goyal, 2007). Daarom zal het stervormige netwerk naar
verwachting ook de belangrijkste efficiënte evenwichtsverdeling zijn.
Samenvattend is het waarschijnlijk dat het bereik van parameterwaarden waarvoor het stervormig netwerk stabiel is, groter zal zijn dan in het onderzoek van Goyal en
Vega-Redondo (2007). Bovendien zal het stervormige netwerk naar verwachting het belangrijkste efficiënte netwerk zijn. Oftewel, wanneer de ‘maat van waardeafname’ in acht wordt
genomen (en directe informatie dus waardevoller is dan indirecte informatie) zal er naar verwachting een opeenhoping ontstaan van spelers, waardoor het stervormige netwerk eerder voor zal komen (Goyal, 2007).
6. Resultaten
Aan de hand van de nutsfunctie (2.3) zijn het lege, complete, stervormige,
cirkelvormige en het hybride-cirkel stervormige netwerk geanalyseerd. Daarbij werd gekeken voor welke waarden van 𝑐𝑐 en 𝛿𝛿 deze netwerken stabiel en efficiënt zijn. De resultaten werden vergeleken met de resultaten van het model (2.1) van Goyal en Vega-Redondo (2007). De resultaten zijn bovendien grafisch weergegeven door middel van plots.
6.1 Stabiliteit
De stabiliteitsvoorwaarden voor het complete, stervormige en lege netwerk zijn samengevat in Stelling 6.1.1 en grafisch weergegeven in Figuur 6.1.1. 4
Stelling 6.1.1.
Neem aan dat de opbrengst voor elke speler gegeven wordt door (2.3). Dan zijn de volgende netwerken (onder de genoemde voorwaarden voor 𝛿𝛿 en 𝑐𝑐) paarsgewijs stabiel
4 Zie Appendix voor het bewijs van Stelling 6.1.1 t/m 6.1.4 in paragraaf 9.1.
11
(i) het complete netwerk voor 0 < 𝑐𝑐 <1 2𝛿𝛿 −
1 2𝛿𝛿2 ; (ii) het stervormige netwerk voor 1
2𝛿𝛿 − 1 3𝛿𝛿2 < 𝑐𝑐 < 1 2𝛿𝛿 + 1 3(𝑛𝑛 − 2)𝛿𝛿2 ; (iii) het lege netwerk voor 𝑐𝑐 >1
2𝛿𝛿.
Zoals in Stelling 6.1.1. is beschreven, blijkt het complete netwerk stabiel te zijn voor lage waarden van 𝑐𝑐. Dit is anders dan in het model van Goyal en Vega-Redondo (2.1), waarin het complete netwerk voor geen enkele waarde van 𝑐𝑐 stabiel is. In het laatstgenoemde model heeft een speler enkel minder kosten, wanneer hij een link verwijdert, terwijl deze afwijking hem dezelfde opbrengst oplevert. Door het verwijderen van de link zijn er namelijk nog steeds geen essentiële spelers. Hierdoor zal in model (2.1) iedere speler geneigd zijn om een link te verwijderen, waardoor het netwerk niet stabiel is. In model (2.3) van de huidige studie krijgt een speler daarentegen een opbrengst van 1
2𝛿𝛿2 in plaats van 1
2𝛿𝛿, wanneer hij een link verwijdert. Zolang de vermindering van de kosten door het verwijderen van een link niet opwegen tegen de (lagere) opbrengst die de speler in dat geval krijgt, is het complete netwerk stabiel. Wanneer de kosten zodanig toenemen dat deze wel opwegen tegen de veranderde opbrengst zal het voor een speler gunstig zijn om een link te verwijderen.
Het stervormige netwerk blijkt daarnaast voor alle waarden van 𝛿𝛿 een kleiner bereik van 𝑐𝑐 te hebben waarvoor het stabiel is dan model (2.1). Dit wordt veroorzaakt doordat in model (2.3) niet alleen de opbrengsten van een indirecte link met een factor 𝛿𝛿𝑑𝑑(𝑖𝑖,𝑖𝑖;𝑔𝑔) verlaagd worden ten opzichte van model (2.1), maar doordat ook de opbrengsten van een directe link met een factor 0 < 𝛿𝛿 ≤ 1 afnemen. Hierdoor wegen de opbrengsten voor een speler voor het vormen van een link niet op tegen kosten, wanneer deze hoog zijn. In dat geval zijn spelers niet geneigd een link te vormen, waardoor het lege netwerk vaker stabiel is dan in model (2.1).
Het stervormige netwerk blijkt daarnaast vaker stabiel te zijn, wanneer er meer spelers in het netwerk zijn. Dit komt door het feit dat de opbrengst voor iedere individuele speler stijgt, wanneer het aantal spelers in het netwerk groter is. Wanneer de centrale speler een link erbij krijgt met een nieuwe speler, krijgen de andere speler in het netwerk extra opbrengst doordat zij nu indirect met een extra verbonden zijn.
Figuur 6.1.1.
Stabiliteitsvoorwaarden voor 𝛿𝛿 en 𝑐𝑐 voor het complete (groene punten), stervormige (rode punten) en het lege (zwarte punten) netwerk (𝑛𝑛 = 7).
Naast de hierboven besproken netwerken zijn de stabiliteitscondities van het cirkelvormige en hybride-cirkel stervormige netwerk geanalyseerd. De resultaten van deze analyse zijn samengevat in Stelling 6.1.2 t/m 6.1.4.
Stelling 6.1.2.
Neem aan dat de opbrengst voor elke speler gegeven wordt door (2.3). In een cirkelvormig netwerk is het voor een speler het meest rendabel om een link te vormen met een speler die de grootste afstand van hem verwijderd is. Dan bestaat er gegeven 𝛿𝛿 ∈ (0,1) een 𝑐𝑐̃ =1
2𝛿𝛿 − 1 2𝛿𝛿𝑘𝑘 zodanig dat het cirkelvormige netwerk niet paarsgewijs stabiel is als tenminste 𝑐𝑐 < 𝑐𝑐̃
(uitgezonderd 𝑙𝑙𝑖𝑖𝑙𝑙𝛿𝛿→1𝛱𝛱𝑖𝑖(𝑔𝑔)).
Uit Stelling 6.2 blijkt een verschil tussen model (2.1) en het model van het huidige artikel (2.3). In tegenstelling tot in het huidige model, is het in model (2.1) voor een speler nooit rendabel in een cirkelvormig netwerk om een extra link toe te voegen. In het laatstgenoemde model krijgt iedere speler in het cirkelvormige netwerk een opbrengst van 1
2(𝑛𝑛 − 1) − 2𝑐𝑐. In het cirkelvormige netwerk zijn er namelijk geen essentiële spelers, waardoor een speler voor de verbinding met elke andere speler (in totaal 𝑛𝑛 − 1) een opbrengst van 1
2 krijgt. Daarnaast heeft elke speler twee directe links, waar hij de kosten 2𝑐𝑐 voor betaalt. Door het toevoegen
van een link zijn er nog steeds geen essentiële spelers, waardoor de opbrengst hetzelfde blijft plus extra kosten 𝑐𝑐, onafhankelijk van hoe ver de speler met wie de extra link gevormd wordt zich bevindt in het netwerk. Omdat er in het model van deze studie (2.3) wel rekening wordt gehouden met de afstand tussen spelers, kan het in dit model voor spelers rendabel zijn om een extra link te vormen. Hoe groter de afstand tussen de spelers in de cirkel (met de kosten laag genoeg), des te sneller zal het vormen van een extra link rendabel zijn en zal het
cirkelvormige netwerk niet paarsgewijs stabiel zijn. Hoe meer spelers er in het netwerk zijn, des te groter is de maximale afstand tussen spelers in het cirkelvormige netwerk. Het aantal waarden van 𝛿𝛿 waarvoor het netwerk paarsgewijs stabiel is blijkt dan ook af te nemen met 𝑛𝑛. Hierbij is de 𝑙𝑙𝑖𝑖𝑙𝑙𝛿𝛿→1𝛱𝛱𝑖𝑖(𝑔𝑔) een uitzondering, aangezien model (2.3) voor 𝛿𝛿 = 1 gelijk is aan het model van Goyal en Vega-Redondo (2.1). In dat geval is er niet of nauwelijks sprake van waardeafname van informatie en is de cirkel juist wel paarsgewijs stabiel voor grote 𝑛𝑛. In Figuur 6.2 is te zien dat voor 𝑛𝑛 = 10 het cirkelvormige netwerk in model (2.3) enkel stabiel is voor hoge waarden van 𝛿𝛿. Voor hoge waarden van 𝛿𝛿 zijn directe links relatief voordelig voor een speler. Voor 𝑛𝑛 > 10 blijkt het netwerk enkel voor 𝛿𝛿 = 0 en waarden rondom 𝛿𝛿 = 1 paarsgewijs stabiel te zijn.
Figuur 6.1.2.
Waarden van 𝛿𝛿 en 𝑐𝑐 waarvoor het cirkelvormige netwerk paarsgewijs stabiel is, voor
𝑛𝑛 = 6, 𝑛𝑛 = 8 𝑒𝑒𝑛𝑛 𝑛𝑛 = 10.
Ten tweede blijkt uit Stelling 6.1.2 dat het verwijderen van een link enkel voor hoge waarden van 𝑐𝑐 rendabel is. Het verwijderen van een link in het cirkelvormige netwerk zorgt er namelijk, net als in model (2.1), voor dat alle andere spelers essentieel worden. Hierdoor zal een speler slechts bij hoge kosten 𝑐𝑐 ervoor kiezen om een link te verwijderen. De exacte
waarden van 𝑐𝑐 waarvoor een speler kiest om een link te verwijderen zijn samengevat in Stelling 6.1.3.
Stelling 6.1.3.
Neem aan dat de opbrengst voor elke speler gegeven wordt door (2.3). In de volgende gevallen zal een speler in een cirkelvormig netwerk niet de neiging hebben om een link te verwijderen
(i) in een netwerk met oneven aantal spelers 𝑛𝑛 voor 0 < 𝑐𝑐 < ∑ 𝑘𝑘 𝑘𝑘+1𝛿𝛿𝑘𝑘− 1 2(𝑛𝑛−1) 𝑘𝑘=1 ∑(𝑛𝑛−1) 𝑘𝑘+11 𝛿𝛿𝑘𝑘 𝑘𝑘=12(𝑛𝑛+1) ;
(ii) in een netwerk met even aantal spelers 𝑛𝑛 voor 0 < 𝑐𝑐 < ∑ 𝑘𝑘 𝑘𝑘+1𝛿𝛿𝑘𝑘− 1 2𝑛𝑛−1 𝑘𝑘=1 ∑(𝑛𝑛−1)𝑘𝑘+11 𝛿𝛿𝑘𝑘 𝑘𝑘=12𝑛𝑛 + 1 2𝛿𝛿 1 2𝑛𝑛 .
Net als in het cirkelvormige netwerk, blijkt voor het hybride-cirkel stervormige netwerk (zie Figuur 4.2) te gelden dat een verbinding tussen spelers rendabel is wanneer de afstand tussen hen maximaal is. Voor spelers in het perifere deel van het netwerk zorgt de vorming van een dergelijke link ervoor dat de centrale speler, die het perifere deel met het cirkelvormige deel verbindt, niet langer essentieel is in de verbinding met het cirkelvormige deel. De extra link is het meest rendabel wanneer deze gevormd wordt met de speler die het verst van de perifere speler verwijderd is om dezelfde redenen als in het cirkelvormige netwerk. De genoemde resultaten zijn samengevat in Stelling 6.1.4.
Stelling 6.1.4.
Neem aan dat de opbrengst voor elke speler gegeven wordt door (2.3). Stel er is een hybride cirkel-stervormig netwerk met speler 𝑖𝑖 in het cirkelvormige deel en speler 𝑗𝑗 in het perifere deel van het netwerk met een afstand 𝑘𝑘 tussen deze twee spelers. Dan is het toevoegen van een link tussen beide spelers het meest rendabel wanneer afstand 𝑘𝑘 maximaal is. Dan bestaat er gegeven 𝛿𝛿 ∈ (0,1) een 𝑐𝑐̃ =1
2𝛿𝛿 − 1
3𝛿𝛿𝑘𝑘 zodanig dat het cirkelvormige netwerk niet paarsgewijs stabiel is als tenminste 𝑐𝑐 < 𝑐𝑐̃ (uitgezonderd 𝑙𝑙𝑖𝑖𝑙𝑙𝛿𝛿→1𝛱𝛱𝑖𝑖(𝑔𝑔)).
6.2 Efficiëntie
Naast de voorwaarden voor stabiliteit zijn ook de voorwaarden voor efficiëntie van model (2.3) geanalyseerd. De voorwaarden voor het complete, stervormige en lege netwerk zijn samengevat in Stelling 6.2.1.5
Stelling 6.2.1.
Neem aan dat de opbrengst voor elke speler gegeven wordt door (2.3). Dan zijn de volgende netwerken (onder de genoemde voorwaarden voor 𝛿𝛿 en 𝑐𝑐) de enige efficiënte netwerken
(i) Het complete netwerk voor 0 < 𝑐𝑐 <1 2𝛿𝛿 −
1 2𝛿𝛿2; (ii) Het stervormige netwerk voor 1
2𝛿𝛿 − 1 2𝛿𝛿2 < 𝑐𝑐 < 1 4(𝑛𝑛 − 2)𝛿𝛿2+ 1 2𝛿𝛿; (iii) Het lege netwerk voor 𝑐𝑐 >1
4(𝑛𝑛 − 2)𝛿𝛿2+ 1 2𝛿𝛿.
Zoals gesteld in Stelling 6.2.1 blijkt het complete netwerk efficiënt te zijn voor lage waarden van 𝑐𝑐. Dit is intuïtief op de volgende manier te beschouwen. Wanneer de kosten voor het vormen van een link laag zijn, zullen de baten van het vormen van een link opwegen tegen de kosten. Het voordeel van de afwezige kosten 𝑐𝑐 bij een indirecte verbinding, zal dan niet groot genoeg zijn om de waardeafname door de indirecte verbinding te compenseren. Dit zorgt ervoor dat voor lage waarden van 𝑐𝑐 het complete netwerk de hoogste totale opbrengst heeft.
Het stervormige netwerk blijkt daarnaast (voor 𝑛𝑛 groot genoeg) efficiënt te zijn voor het grootste bereik van 𝑐𝑐. Daarnaast blijkt dat het stervormige netwerk voor een groter bereik van 𝑐𝑐 efficiënt is naarmate 𝑛𝑛 groter wordt. Voor 𝑐𝑐 >14(𝑛𝑛 − 2)𝛿𝛿2+ 𝛿𝛿 is de totale opbrengst van het stervormige netwerk negatief. Dus naarmate het aantal spelers toeneemt in het stervormige netwerk, des te kleiner is het bereik van 𝑐𝑐 waarvoor het stervormige netwerk een negatieve opbrengst heeft.
Ten slotte blijkt het lege netwerk enkel efficiënt te zijn voor hoge waarden van 𝑐𝑐. Wanneer de kosten van een directe link 𝑐𝑐 zodanig hoog worden dat het stervormig netwerk een negatieve totale opbrengst heeft, is het lege netwerk het enige efficiënte netwerk.
5 Zie Appendix voor het bewijs van Stelling 6.2.1 in paragraaf 9.2.
16
Uit Stelling 6.2.1. blijkt ten slotte dat het cirkelvormige netwerk nooit efficiënt is6. Dit is geen onverwachts resultaat, aangezien iedere speler in de cirkel maar twee directe links en voor de rest indirecte verbindingen heeft. Hierdoor zal de totale opbrengst lager zijn dan die van het complete netwerk (met enkel directe verbindingen) en het stervormige netwerk (dat minimaal verbonden is). Dezelfde redenering gaat op voor het hybride-cirkel stervormige netwerk, waar zowel de perifere spelers als de spelers in het cirkelvormige deel veel indirecte verbindingen hebben.
De resultaten van stabiliteit en efficiëntie zijn hierboven apart geanalyseerd. Omdat het uit maatschappelijk oogpunt wenselijk is dat stabiliteit en efficiëntie overeenkomen, worden in Paragraaf 6.3 stabiliteit en efficiëntie vergeleken.
6.3 Stabiliteit vs. efficiëntie
Wanneer de voorwaarden voor efficiëntie vergeleken worden met de voorwaarden van stabiliteit, blijkt het complete netwerk voor alle stabiele waarden van 𝑐𝑐 ook efficiënt te zijn. Bij lage waarden van 𝑐𝑐 is het complete netwerk stabiel en heeft het netwerk een maximale totale opbrengst, hetgeen gunstig is voor het netwerk in zijn geheel. Het lege netwerk blijkt echter voor een kleiner bereik van 𝑐𝑐 efficiënt te zijn dan stabiel. Voor 1
2𝛿𝛿 < 𝑐𝑐 < 1 4(𝑛𝑛 − 2)𝛿𝛿2 + 1
2𝛿𝛿 is het lege netwerk wel stabiel, maar niet efficiënt.
Het stervormige netwerk blijkt een bereik van 𝑐𝑐 te hebben waarvoor het zowel stabiel als efficiënt is, te weten 1
2𝛿𝛿 − 1 3𝛿𝛿2 < 𝑐𝑐 < 1 2𝛿𝛿 + 1
4(𝑛𝑛 − 2)𝛿𝛿2. Zoals in Figuur 6.1. te zien is, overlappen de stabiliteitsvoorwaarden van het stervormige en het lege netwerk gedeeltelijk. Voor 1
2𝛿𝛿 < 𝑐𝑐 < 1 2𝛿𝛿 +
1
3(𝑛𝑛 − 2)𝛿𝛿2 zijn beide netwerken stabiel. Het stervormige netwerk is in dit interval voor de meeste waarden van 𝑐𝑐 efficiënt.
Het cirkelvormige netwerk kan voor kleine netwerken (𝑛𝑛 < 10) paarsgewijs stabiel zijn. Hoe kleiner het netwerk is, des te meer waarden bestaan er van 𝑐𝑐 en 𝛿𝛿 waarvoor het stabiel is. Toch is het cirkelvormige netwerk nooit efficiënt. Kleine netwerken blijken dus toch te ontstaan ondanks het feit dat dit de totale opbrengst niet ten goede komt.
6
Uitgezonderd het cirkelvormige netwerk voor 𝑛𝑛 = 3. In dat geval geldt Stelling 6.2.1, aangezien het netwerk dan ook compleet is.
17
7. Discussie
In deze studie is onderzocht welke netwerken paarsgewijs stabiel en efficiënt zijn wanneer wordt aangenomen dat mensen streven naar het overbruggen van structural holes. Hierbij wordt er vanuit gegaan dat mensen beslissingen nemen aan de hand van een nutsfunctie, die gebaseerd is op een combinatie van twee eerder onderzochten modellen. De ‘maat van
waardeafname’ van het connections model (Jackson & Wolinsky, 1996) is toegevoegd aan het model van Goyal en Vega-Redondo (2007), een model waarbij er concurrentie is tussen spelers en waarbij enkel opbrengst wordt verkregen door het hebben van een essentiële positie in het netwerk.
Uit de resultaten blijkt dat het stervormige netwerk het belangrijkste paarsgewijs stabiele en efficiënte netwerk is. Dit is in lijn met de verwachting dat er een opeenhoping van spelers ontstaat, wanneer waardeafname van informatie in het model wordt opgenomen. In het stervormige netwerk is er één speler die een structural holes positie inneemt, namelijk de centrale speler. De totale opbrengsten zijn in dit netwerk maximaal, aangezien alle spelers met uitzondering van de centrale speler maar de kosten van één link hebben, terwijl de afstand tussen spelers maximaal twee verbindingen is (Goyal, 2007). Tegen de verwachting blijkt het stervormige netwerk voor minder waarden van de kosten paarsgewijs stabiel dan in het onderzoek van Goyal en Vega-Redondo. Deze onderzoekers stelden dat het stervormige netwerk vaker stabiel zou zijn, wanneer de ‘maat van waardeafname’ aan hun model
toegevoegd zou worden (Goyal, 2007), hetgeen niet het geval blijkt te zijn. Dit kan verklaard worden door het feit dat door de toevoeging van de ‘maat van waardeafname’ niet alleen de opbrengst van indirecte links in waarde afneemt ten opzichte van het model van Goyal en Vega-Redondo, maar ook van directe links. Hierdoor is het voor minder waarden van de kosten nog gunstig om een link te vormen, waardoor het lege netwerk vaker stabiel is dan in het model van Goyal en Vega-Redondo. Daarnaast blijkt er overlap te zijn van stabiele waarden van het lege en het stervormige netwerk. Hierbij is het stervormige netwerk vaker efficiënt dan het lege netwerk. In dat geval zouden maatregelen die de vorming van links stimuleren, bijvoorbeeld door middel van subsidie, de totale opbrengst van de groep kunnen verhogen. Uit maatschappelijk oogpunt zou dat een meer voordelige situatie zijn.
Een ander opvallend resultaat dat naar voren komt in deze studie is dat het complete netwerk paarsgewijs stabiel is, wanneer de kosten voor het vormen van een link laag zijn. In het onderzoek van Goyal en Vega-Redondo (2007) is het complete netwerk namelijk nooit stabiel. Wanneer rekening wordt gehouden met waardeafname van informatie, is het complete
netwerk (voor bepaalde kosten) dus wel houdbaar. Dit is niet onverwacht, aangezien
waardeafname van informatie ervoor zorgt dat directe links de meeste opbrengst verschaffen voor een speler. Hierdoor is het voor een speler gunstig zo veel mogelijk directe links te hebben, wanneer de kosten voor het vormen van een link laag zijn. Daarnaast blijkt het complete netwerk ook efficiënt te zijn. Het complete netwerk is dus in geval van lage kosten het meest waarschijnlijke netwerk, met een gunstige verdeling van de opbrengst voor zowel de individuele spelers als voor de groep in zijn geheel.
Een resultaat dat anders is in deze studie dan in het onderzoek van Goyal en Vega-Redondo (2007) is dat het cirkelvormige netwerk niet paarsgewijs stabiel blijkt te zijn wanneer het netwerk bestaat uit meer dan tien spelers en er sprake is van waardeafname van informatie.7 In het cirkelvormige netwerk is het bovendien voor een speler het voordeligst om een link te vormen met een speler die de grootste afstand van hem verwijderd is in het
netwerk. De toevoeging van de ‘maat van waardeafname’ zorgt er klaarblijkelijk voor dat het voor een speler voordelig kan zijn om een extra link te vormen. Door deze linkvorming komt de speler met wie hij deze link vormt en zijn buren op een kortere afstand te liggen,
resulterend in een hogere opbrengst. Een soortgelijke redenering gaat op voor netwerken die een cirkelvormig deel bevatten. Daarentegen is cirkel nooit efficiënt, omdat er in dit netwerk veel informatie verloren gaat door de grote hoeveelheid indirecte verbindingen. Toch blijken individuen geneigd een kleine cirkel te vormen, terwijl dit de opbrengst van de groep niet ten goede komt. Het is daarom in het belang van de groep dat (kleine) cirkelvormige netwerken vermeden worden, wanneer er sprake is van concurrentie tussen individuen en waardeafname van informatie. Wanneer er toch kleine cirkelvormige netwerken bestaan is het wenselijk dat de overheid stimuleert dat er meer links gevormd worden.
Het onderzoek van Goyal en Vega-Redondo (2007) heeft, net als het huidige
onderzoek, als belangrijkste aanname dat individuen met elkaar concurreren om een structural holes positie in het netwerk. In bepaalde situaties kan het gunstig zijn om (als enige) uit verschillende delen van het netwerk informatie door te geven. Bijvoorbeeld bij informatie over belangrijke potentiële klanten voor een bedrijf, is het voordelig om de een van de weinigen te zijn die over de informatie beschikt. Wanneer dat het geval is kan een speler met een structural holes positie een hogere opbrengst verkrijgen door het doorgeven van deze waardevolle informatie. Bij Goyal en Vega-Redondo (en in de huidige studie) is de
bovengenoemde aanname gemodelleerd aan de hand van het feit dat alleen essentiële spelers 7 Wanneer er geen sprake is van waardeafname van informatie is het model (in de limiet) gelijk aan dat van
Goyal en Vega-Redondo en dan is de cirkel wel paarsgewijs stabiel voor grote 𝑛𝑛.
19
opbrengst verkrijgen uit het doorgeven van informatie. Hierbij blijkt het stervormige netwerk het belangrijkste paarsgewijs stabiele netwerk te zijn. In een ander onderzoek van Buskens en Van de Rijt (2008) wordt ook de aanname gedaan dat spelers de neiging hebben om een structural holes positie in te nemen, maar hierbij wordt de opbrengst van spelers op een andere manier gemodelleerd. De onderzoekers doen dit aan de hand van een constraint
measure. Dit is een maat in hoeverre de opbrengst van een speler in een structural holes
positie beperkt wordt doordat informatie ook via andere spelers doorgegeven kan worden. Dus hoe meer spelers een structural holes positie innemen, des te lager zal de opbrengst zijn voor het doorgeven van informatie. Het idee is dat de spelers in het netwerk ervoor kiezen om informatie te ontvangen van de speler die de laagste kosten rekent voor het doorgeven hiervan (Burt, 1992). In dat geval blijkt het stervormige netwerk niet houdbaar te zijn, aangezien de drang van iedere speler om een structural holes positie in te nemen nog groter wordt. Wanneer iedereen een dergelijke positie nastreeft, resulteert dat in een netwerk zonder structural holes posities. Hierbij zijn netwerken waarbij de opbrengst gelijk verdeeld over de spelers stabiel (Buskens en Van de Rijt, 2008).
Nu is het de vraag waarom de beide genoemde onderzoeken verschillende stabiele netwerken vinden. Volgens Buskens en Van de Rijt (2008) is dit verschil te verklaren doordat er in het model van Goyal en Vega-Redondo geen sprake is van waardeafname van
informatie. De onderzoekers stellen dat hierdoor de het stervormige netwerk, waarbij alle perifere spelers veel indirecte verbindingen hebben, stabiel is. Deze verklaring wordt echter door de resultaten uit het huidige onderzoek tegengesproken, aangezien het stervormige netwerk nog steeds stabiel is, wanneer rekening wordt gehouden met de waardeafname van informatie. Bovendien zorgt de constraint measure van Buskens en Van de Rijt (2008) ervoor dat het doorgeven van indirecte informatie geen enkele opbrengst meer oplevert. Dit is een vrij extreme aanname, iets wat de onderzoekers zelf ook benoemen in hun onderzoek.8 Wel blijkt uit onderzoek van Burt (2007) dat in de praktijk indirecte informatie fors in waarde daalt ten opzichte van directe informatie. De implicatie hiervan voor dit onderzoek is dat het waarschijnlijk realistischer is om een hoge mate van waardeafname aan te houden.9
Informatie mag echter niet teveel in waarde dalen, aangezien de opbrengst van directe links in het model van het huidige onderzoek dan ook erg laag wordt. Dit zou niet overeen komen met onderzoek dat laat zien dat spelers kunnen profiteren van hun directe links in het netwerk (o.a. Bala & Goyal (2000)).
8 Buskens en Van de Rijt (2008), p. 395.
9 Een hoge mate van waardeafname correspondeert met een lage waarde van 𝛿𝛿.
20
Samenvattend ontstaan er stervormige netwerken, wanneer het connections model wordt gecombineerd met het model van Goyal en Vega-Redondo. Deze stervormige
netwerken dienen gestimuleerd te worden, ten koste van het lege netwerk, aangezien dit het maatschappelijk belang bevordert. Naar verwachting zullen complete netwerken ontstaan wanneer de kosten van een link laag zijn en dit resulteert in een maximale opbrengst voor het totale netwerk. Cirkelvormige netwerken dienen echter vermeden te worden, aangezien deze vorm van het netwerk het groepsbelang niet ten goede komt.
8. Literatuur
Bala, V., & Goyal, S. (2000). A noncooperative model of network formation. Econometrica,
68, 1181-1229.
Buechel, B., & Hellmann, T. (2012). Under-connected and over-connected networks: The role of externalities in network formation. Springer, 16. Verkregen via
http:// link.springer.com/content/pdf/10.1007%2Fs10058-012-0114-x.pdf.
Burt, R. S. (1992). Structural holes: The social structure of competition. Cambridge: Harvard University Press.
Burt, R.S. (2007). Secondhand brokerage: Evidence on the importance of local structure for managers, bankers and analysts. Academy of Management Journal, 50, 119-148. Buskens, V., & Van de Rijt, A. (2008). Dynamics of networks if everyone strives for
structural holes. American Journal of Sociology, 114, 371-407.
Calvó-Amengol, A. (2004). Job contact networks. Journal of Economic Theory, 115, 191-206.
Goyal, S. (2007). Connections: An introduction to the economics of networks. Princeton: Princeton University Press.
Goyal, S., & Vega-Redondo, S. (2007). Structural holes in social networks. Journal of
Economic Theory, 137, 460-492.
Jackson, M. O. (1996). Social and economic networks. Princeton: Princeton University Press. Jackson, M. O., & Wolinsky, A. (1996). A strategic model of social and economic networks.
Journal of Economic Theory, 71, 44-74.
Jackson, M. O., & Rogers, B. W. (2007). Meeting strangers and friends of friends: How random are social networks? The American Economic Review, 97, 890-915.
9. Appendix
9.1 Bewijzen stabiliteit
Bewijs Stelling 6.1.1. Stelling (i). 10
Het complete netwerk is paarsgewijs stabiel voor 0 < 𝑐𝑐 <1 2𝛿𝛿 −
1 2𝛿𝛿2.
Bewijs.
De opbrengst voor elke speler in het complete netwerk is 𝛱𝛱𝑖𝑖(𝑔𝑔) =1
2(𝑛𝑛 − 1)𝛿𝛿 − (𝑛𝑛 − 1)𝑐𝑐. Wanneer een speler een link verwijdert, levert hem dat een opbrengst van 𝛱𝛱𝑖𝑖(𝑔𝑔) =
1 2(𝑛𝑛 − 2)𝛿𝛿 + 1 2𝛿𝛿2− (𝑛𝑛 − 2)𝑐𝑐. Dus zolang 1 2(𝑛𝑛 − 1)𝛿𝛿 − (𝑛𝑛 − 1)𝑐𝑐 > 1 2(𝑛𝑛 − 2)𝛿𝛿 + 1 2𝛿𝛿2− (𝑛𝑛 − 2)𝑐𝑐, oftewel 𝑐𝑐 <12𝛿𝛿 − 12𝛿𝛿2, zal een speler niet de neiging hebben een link te verwijderen.
Stelling (ii).
Het stervormige netwerk is paarsgewijs stabiel voor 1 2𝛿𝛿 − 1 3𝛿𝛿2 < 𝑐𝑐 < 1 2𝛿𝛿 + 1 3(𝑛𝑛 − 2)𝛿𝛿2. Bewijs.
In een stervormig netwerk verdient de centrale speler 𝛱𝛱𝑖𝑖(𝑔𝑔) =1
2(𝑛𝑛 − 1)𝛿𝛿 + 1 3
(𝑛𝑛−1)(𝑛𝑛−2)
2 𝛿𝛿2−
(𝑛𝑛 − 1)𝑐𝑐. De opbrengst van één link voor de centrale speler is 12𝛿𝛿 +13(𝑛𝑛 − 2)𝛿𝛿2− 𝑐𝑐. Deze speler heeft geen neiging om een link te verwijderen wanneer 𝑐𝑐 <1
2𝛿𝛿 + 1
3(𝑛𝑛 − 2)𝛿𝛿2. De opbrengst voor een perifere speler in het sternetwerk is 𝛱𝛱𝑖𝑖(𝑔𝑔) =1
2𝛿𝛿 + 1
3(𝑛𝑛 − 2)𝛿𝛿2−
𝑐𝑐.Wanneer deze een extra link vormt met een andere perifere speler verandert zijn opbrengst in 𝛱𝛱𝑖𝑖(𝑔𝑔) = 2 ∗1
2𝛿𝛿 + 1
3(𝑛𝑛 − 3)𝛿𝛿2− 2𝑐𝑐. Deze speler zal geen neiging hebben om een extra link te vormen indien het vormen van een extra link hem geen extra opbrengst zal opleveren. Er moet dus gelden 2 ∗1
2𝛿𝛿 + 1 3(𝑛𝑛 − 3)𝛿𝛿2− 2𝑐𝑐 < 1 2𝛿𝛿 + 1 3(𝑛𝑛 − 2)𝛿𝛿2− 𝑐𝑐, vereenvoudigd in 𝑐𝑐 > 12𝛿𝛿 − 13𝛿𝛿2. Daarnaast zal een perifere speler niet de neiging hebben om zijn link met de
10 Het bewijs van Stelling 6.1.1 is gebaseerd op de analyse van Goyal en Vega-Redondo (2007).
23
centrale speler te verbreken wanneer de opbrengsten van deze link hoger zijn dan de kosten, dus wanneer 𝑐𝑐 <1 2𝛿𝛿 + 1 3(𝑛𝑛 − 2)𝛿𝛿2. Stelling (iii).
Het lege netwerk is paarsgewijs stabiel voor 𝑐𝑐 >1 2𝛿𝛿.
Bewijs.
In een leeg netwerk is de opbrengst voor het vormen van een link 𝛱𝛱𝑖𝑖(𝑔𝑔) = 1
2𝛿𝛿 − 𝑐𝑐. Voor 𝑐𝑐 > 12𝛿𝛿 zal geen van de spelers geneigd zijn om een link te vormen.
Bewijs Stelling 6.1.2.
Neem aan dat de opbrengst voor elke speler gegeven wordt door (2.3). In een cirkelvormig netwerk is het voor een speler het meest rendabel om een link te vormen met een speler die de grootste afstand van hem verwijderd is. Dan bestaat er gegeven 𝛿𝛿 ∈ (0,1) een 𝑐𝑐̃ =1
2𝛿𝛿 − 1 2𝛿𝛿𝑘𝑘 zodanig dat het cirkelvormige netwerk niet paarsgewijs stabiel is als tenminste 𝑐𝑐 < 𝑐𝑐̃
(uitgezonderd 𝑙𝑙𝑖𝑖𝑙𝑙𝛿𝛿→1𝛱𝛱𝑖𝑖(𝑔𝑔)).
Bewijs.
Wanneer een speler 𝑖𝑖 een extra link vormt met een speler 𝑗𝑗 die 𝑘𝑘 verbindingen van hem verwijderd is, levert hem dat voor de verbinding met 𝑗𝑗 1
2𝛿𝛿 − 1
2𝛿𝛿𝑘𝑘− 𝑐𝑐 op. Door de vorming van deze extra link komen de buren van speler 𝑗𝑗 tenminste op een even grote afstand of een kortere afstand van speler 𝑖𝑖 te liggen. De opbrengst voor speler 𝑖𝑖 voor de verbinding met deze spelers zal daardoor gelijk blijven of toenemen. Wanneer er een link wordt gevormd met de speler die de grootste afstand van speler 𝑖𝑖 verwijderd ligt, komt het grootst mogelijke aantal spelers op een kortere afstand van speler 𝑖𝑖 te liggen en de opbrengst voor spelers 𝑖𝑖 zal dan het meest toenemen. Door de vorming van de extra link nemen de kosten toe met 𝑐𝑐. Hoe groter het netwerk, des te groter is de kans dat de extra opbrengsten groter zijn dan de bijkomende kosten en dus dat het vormen van een extra link rendabel is. Voor 𝑐𝑐 < 1
2𝛿𝛿 − 1
2𝛿𝛿𝑘𝑘 is het zeker rendabel voor speler 𝑖𝑖 om een link met 𝑗𝑗 te vormen, ook als de buren van 𝑗𝑗 na de linkvorming op een gelijke afstand van 𝑖𝑖 komen te liggen. Dus voor tenminste 𝑐𝑐 < 1
2𝛿𝛿 − 1
2𝛿𝛿𝑘𝑘 is het cirkelvormige netwerk niet paarsgewijs stabiel. Dezelfde redenatie geldt voor speler 𝑗𝑗,
aangezien het cirkelvormige netwerk symmetrisch is. Voor 𝑙𝑙𝑖𝑖𝑙𝑙𝛿𝛿→1𝛱𝛱𝑖𝑖(𝑔𝑔) geldt dat model (2.3) overeenkomt met model (2.1), waardoor dan de analyse van Goyal en Vega-Redondo (2007) opgaat. In dat geval is er niet of nauwelijks sprake van waardeafname van informatie en is het cirkelvormige netwerk stabiel voor grote 𝑛𝑛.
Bewijs Stelling 6.1.3 Stelling (i).
In een cirkelvormig netwerk met oneven aantal spelers 𝑛𝑛 zal een speler niet de neiging hebben om een link te verwijderen voor 𝑐𝑐 < ∑ 𝑘𝑘
𝑘𝑘+1𝛿𝛿𝑘𝑘− ∑ 1 𝑘𝑘+1𝛿𝛿𝑘𝑘 (𝑛𝑛−1) 𝑘𝑘=12(𝑛𝑛+1) 1 2(𝑛𝑛−1) 𝑘𝑘=1 . Bewijs.
In een cirkelvormig netwerk zijn er geen essentiële spelers en brengen alleen de twee directe verbindingen van een speler kosten met zich mee. Een willekeurige speler 𝑖𝑖 in een netwerk met oneven 𝑛𝑛 heeft twee directe verbindingen, twee indirecte verbindingen met afstand twee, twee indirecte verbindingen met afstand drie, en zo voort. Voor elk paar van deze
verbindingen op afstand 𝑘𝑘 ontvangt een speler 2 ∗1
2𝛿𝛿𝑘𝑘. De totale opbrengst voor deze speler is dan 𝛱𝛱𝑖𝑖(𝑔𝑔) = ∑ 𝛿𝛿𝑘𝑘− 2𝑐𝑐(=𝛿𝛿−𝛿𝛿 1 2(𝑛𝑛+1) 1−𝛿𝛿 1 2(𝑛𝑛−1)
𝑘𝑘=1 − 2𝑐𝑐). Wanneer deze speler een link verwijdert, ontstaat er een lijn netwerk met deze speler aan een van de uiteinden van de keten. De
opbrengst voor deze speler is dan 𝛱𝛱𝑖𝑖(𝑔𝑔)𝐴𝐴 = 1 2𝛿𝛿 + 1 3𝛿𝛿2+ 1 4𝛿𝛿3+ ⋯ + 1 𝑛𝑛+1𝛿𝛿𝑛𝑛 − 𝑐𝑐 = ∑(𝑛𝑛−1)𝑘𝑘+11 𝛿𝛿𝑘𝑘− 𝑐𝑐
𝑘𝑘=1 , aangezien er bij elke volgende verbinding een essentiële speler bij komt. Een speler zal niet de neiging hebben om een link te verwijderen wanneer ∑ 𝛿𝛿𝑘𝑘− 2𝑐𝑐 =
1 2(𝑛𝑛−1) 𝑘𝑘=1 𝛿𝛿−𝛿𝛿12(𝑛𝑛+1) 1−𝛿𝛿 − 2𝑐𝑐 > ∑ 1 𝑘𝑘+1𝛿𝛿𝑘𝑘− 𝑐𝑐 (𝑛𝑛−1)
𝑘𝑘=1 , hetgeen te herleiden is tot 𝑐𝑐 < ∑ 𝑘𝑘+1𝑘𝑘 𝛿𝛿𝑘𝑘− 1 2(𝑛𝑛−1) 𝑘𝑘=1 ∑(𝑛𝑛−1) 𝑘𝑘+11 𝛿𝛿𝑘𝑘 𝑘𝑘=12(𝑛𝑛+1) . Stelling (ii)
In een cirkelvormig netwerk met even aantal spelers 𝑛𝑛 zal een speler niet de neiging hebben om een link te verwijderen voor 𝑐𝑐 < ∑ 𝑘𝑘
𝑘𝑘+1𝛿𝛿𝑘𝑘− ∑ 1 𝑘𝑘+1𝛿𝛿𝑘𝑘 (𝑛𝑛−1) 𝑘𝑘=12𝑛𝑛 1 2𝑛𝑛−1 𝑘𝑘=1 +12𝛿𝛿 1 2𝑛𝑛. 25
Bewijs.
Een willekeurige speler 𝑖𝑖 in een netwerk met even aantal spelers 𝑛𝑛 heeft twee directe
verbindingen, twee indirecte verbindingen met afstand twee, twee indirecte verbindingen met afstand drie, en zo verder t/m de op één na grootste afstand in de cirkel. Er is daarnaast maar één speler die de grootste afstand van speler 𝑖𝑖 verwijderd is. De opbrengst voor speler 𝑖𝑖 in een even cirkelvormig netwerk is 𝛱𝛱𝑖𝑖(𝑔𝑔) = ∑ 𝛿𝛿𝑘𝑘+1
2𝛿𝛿 1 2𝑛𝑛− 2𝑐𝑐 1
2𝑛𝑛−1
𝑘𝑘=1 . Wanneer deze speler een link verwijdert is zijn opbrengst net als in een oneven cirkelvormig netwerk 𝛱𝛱𝑖𝑖(𝑔𝑔)𝐴𝐴 =
∑(𝑛𝑛−1)𝑘𝑘+11 𝛿𝛿𝑘𝑘− 𝑐𝑐
𝑘𝑘=1 . Hij zal niet de neiging hebben om een link te verwijderen wanneer ∑ 𝛿𝛿𝑘𝑘+1 2𝛿𝛿 1 2𝑛𝑛− 2𝑐𝑐 > 1 2𝑛𝑛−1
𝑘𝑘=1 ∑(𝑛𝑛−1)𝑘𝑘=1 𝑘𝑘+11 𝛿𝛿𝑘𝑘− 𝑐𝑐, hetgeen te herleiden is tot 𝑐𝑐 < ∑ 𝑘𝑘+1𝑘𝑘 𝛿𝛿𝑘𝑘−
1 2𝑛𝑛−1 𝑘𝑘=1 ∑(𝑛𝑛−1)𝑘𝑘+11 𝛿𝛿𝑘𝑘 𝑘𝑘=12𝑛𝑛 + 1 2𝛿𝛿 1 2𝑛𝑛. Bewijs Stelling 6.1.4.
Neem aan dat de opbrengst voor elke speler gegeven wordt door (2.3). Stel er is een hybride-cirkel stervormig netwerk met speler 𝑖𝑖 in het cirkelvormige deel en speler 𝑗𝑗 in het perifere deel van het netwerk met afstand 𝑘𝑘 tussen deze twee spelers. Dan is het toevoegen van een link tussen beide spelers het meest rendabel wanneer afstand 𝑘𝑘 maximaal is. Dan bestaat er gegeven 𝛿𝛿 ∈ (0,1) een 𝑐𝑐̃ =1
2𝛿𝛿 − 1
3𝛿𝛿𝑘𝑘 zodanig dat het cirkelvormige netwerk niet paarsgewijs stabiel is als tenminste 𝑐𝑐 < 𝑐𝑐̃ (uitgezonderd 𝑙𝑙𝑖𝑖𝑙𝑙𝛿𝛿→1𝛱𝛱𝑖𝑖(𝑔𝑔)).
Bewijs.
In een hybride-cirkel stervormig netwerk is de centrale speler, die de perifere spelers met de spelers in de cirkel met elkaar verbindt, de enige (mogelijke) essentiële speler. Wanneer er een link gevormd wordt tussen speler 𝑖𝑖 en 𝑗𝑗, verandert de opbrengst voor de verbinding met 𝑗𝑗 voor speler 𝑖𝑖 met 1
2𝛿𝛿 − 1
3𝛿𝛿𝑘𝑘− 𝑐𝑐. De centrale speler is dan namelijk niet meer essentieel in de verbinding tussen 𝑖𝑖 en 𝑗𝑗, waardoor de opbrengst niet meer gedeeld hoeft te worden met deze speler. Bovendien is voor speler 𝑗𝑗 de centrale speler niet langer essentieel in de verbinding tussen hem en alle andere spelers in het cirkelvormige deel, waardoor zijn opbrengst door de vorming van de link hoger zal zijn dan voor speler 𝑖𝑖. Voor beide spelers komen de buren van de andere speler op een tenminste even grote afstand of een kortere afstand te liggen. Omdat de afstand tussen 𝑖𝑖 en 𝑗𝑗 maximaal was voor de vorming van de nieuwe verbinding, wordt door de vorming hiervan de laagste opbrengst van een verbinding in het netwerk voor 𝑖𝑖 en 𝑗𝑗
vervangen door een maximale opbrengst van 1
2𝛿𝛿. Als de buren van 𝑖𝑖 en 𝑗𝑗 na de linkvorming op dezelfde afstand liggen als daarvoor (dit is bijvoorbeeld het geval voor 𝑛𝑛 = 5), zal het voor 𝑖𝑖 en 𝑗𝑗 rendabel zijn om een link tussen hen te vormen voor 𝑐𝑐 <12𝛿𝛿 −13𝛿𝛿𝑘𝑘. Als de buren op een kortere afstand komen te liggen, zal het rendabel zijn voor lagere waarden van 𝑐𝑐. Dus tenminste voor 𝑐𝑐 < 1
2𝛿𝛿 − 1
3𝛿𝛿𝑘𝑘 is het hybride-cirkel stervormige netwerk niet paarsgewijs stabiel. Voor 𝑙𝑙𝑖𝑖𝑙𝑙𝛿𝛿→1𝛱𝛱𝑖𝑖(𝑔𝑔) geldt dat model (2.3) overeenkomt met model (2.1), waardoor dan de analyse van Goyal en Vega-Redondo (2007) opgaat. In dat geval is er niet of nauwelijks sprake van waardeafname van informatie.
9.2 Bewijzen efficiëntie
Bewijs Stelling 6.2.1.11 Stelling (i)
Het complete netwerk is efficiënt voor 𝑐𝑐 < 1 2𝛿𝛿 −
1 2𝛿𝛿2;
Bewijs.
De opbrengst voor een indirecte verbinding met een afstand van twee links is maximaal 1 2𝛿𝛿2, wanneer er geen essentiële spelers zitten tussen de indirecte verbinding. Het vormen van een directe link met een speler die zich eerst op afstand twee bevond, levert een opbrengst van 1
2𝛿𝛿 − 𝑐𝑐. Dus voor 1 2𝛿𝛿2 <
1
2𝛿𝛿 − 𝑐𝑐 zullen alle niet-direct verbonden spelers de neiging hebben om een directe link te vormen met elkaar. Omdat 1
2𝛿𝛿2 < 1
2𝛿𝛿 − 𝑐𝑐, en dus een indirecte
verbinding van afstand twee minder opbrengst verschaft dan een directe verbinding, verhoogt de vorming van een directe verbinding de totale opbrengst. Wanneer iedereen direct
verbonden is met elkaar, is de totale opbrengst maximaal voor c <1
2δ −
1 2δ2.
Stelling (ii)
Het stervormige netwerk is efficiënt voor 1 2𝛿𝛿 −
1
2𝛿𝛿2 < 𝑐𝑐 < 1
2(𝑁𝑁 − 2)𝛿𝛿2+ 𝛿𝛿.
11 Stelling 6.2.1 is gebaseerd op de analyse van Jackson en Wolinsky (1996).
27
Bewijs.
Stel er is een deelnetwerk 𝑔𝑔* (bestaande uit 𝑛𝑛 spelers) van het complete netwerk 𝑔𝑔 (bestaande uit 𝑁𝑁 spelers), met het aantal (directe) links 𝑘𝑘 ≥ 𝑛𝑛 − 1. Elke directe link levert een opbrengst van 2 ∗1
2𝛿𝛿 − 2𝑐𝑐. De directe links leveren in totaal �2 ∗ 1
2𝛿𝛿 − 2𝑐𝑐� 𝑘𝑘 op en er zijn nog maximaal �𝑛𝑛2� − 𝑘𝑘 = 1
2𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 1) − 𝑘𝑘 indirecte links over. De waarde van een indirecte verbinding is maximaal 2 ∗1
2𝛿𝛿2, wanneer er geen essentiële spelers zijn. Het component 𝑔𝑔* heeft dus een maximale opbrengst van 𝛱𝛱𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(𝑔𝑔*) = (𝛿𝛿 − 2𝑐𝑐)𝑘𝑘 + (1
2𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 1) − 𝑘𝑘)𝛿𝛿2. In het stervormige netwerk zijn er (𝑛𝑛 − 1) directe links, die in totaal (𝛿𝛿 − 2𝑐𝑐)(𝑛𝑛 − 1) opleveren. Daarnaast zijn er �𝑛𝑛−12 � =1
2(𝑛𝑛 − 1)(𝑛𝑛 − 2) indirecte verbindingen over, waarbij elke indirecte verbinding 2 ∗1
3𝛿𝛿2 oplevert voor de perifere spelers die indirect met elkaar verbonden zijn en 1
3𝛿𝛿2 voor de centrale speler die essentieel is in de verbinding tussen de perifere spelers, hetgeen resulteert in een opbrengst van 2 ∗1
3𝛿𝛿2 + 1
3𝛿𝛿2 = 𝛿𝛿2. De totale opbrengst van een stervormig netwerk is dan
𝛱𝛱𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(𝑔𝑔𝑠𝑠𝑡𝑡𝑒𝑒𝑠𝑠*) = (𝛿𝛿 − 2𝑐𝑐)(𝑛𝑛 − 1) +12(𝑛𝑛 − 1)(𝑛𝑛 − 2)𝛿𝛿2. 𝛱𝛱𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(𝑔𝑔*) − 𝛱𝛱𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(𝑔𝑔𝑠𝑠𝑡𝑡𝑒𝑒𝑠𝑠*) = (𝛿𝛿 − 2𝑐𝑐)𝑘𝑘 + �12 𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 1) − 𝑘𝑘� 𝛿𝛿2− (𝛿𝛿 − 2𝑐𝑐)(𝑛𝑛 − 1) +1 2 (𝑛𝑛 − 1)(𝑛𝑛 − 2)𝛿𝛿2 = (𝛿𝛿 − 2𝑐𝑐)(𝑘𝑘 − (𝑛𝑛 − 1)) + ((𝑛𝑛 − 1) − 𝑘𝑘)𝛿𝛿2 = (𝛿𝛿 − 2𝑐𝑐 − 𝛿𝛿2)�𝑘𝑘 − (𝑛𝑛 − 1)�.
Deze vergelijking is maximaal gelijk aan 0, voor 𝑘𝑘 = 𝑛𝑛 − 1 en 𝑐𝑐 >1 2𝛿𝛿 −
1
2𝛿𝛿2. In dat geval is de totale opbrengst van het component gelijk aan die van de ster. Elk ander netwerk met 𝑘𝑘 = 𝑛𝑛 − 1 (inclusief het cirkelvormige netwerk) heeft minstens één indirecte verbinding die een grotere afstand heeft dan twee links en minstens één directe verbinding tussen de centrale speler en een perifere speler minder. De waarde van deze langere indirecte verbinding is lager dan de waarde van een indirecte verbinding in het sternetwerk (𝛿𝛿2), aangezien de grotere afstand zorgt voor waardeafname. Het feit dat deze langere verbinding kan resulteren in meerdere essentiële spelers dan enkel de centrale speler, heeft geen invloed op de totale opbrengst. De totale opbrengst wordt in dat geval op een andere manier verdeeld, over de twee indirect verbonden spelers en de essentiële spelers ertussen, maar de totale waarde
verandert niet. Het stervormige deelnetwerk 𝑔𝑔* is daarom het netwerk van grootte 𝑘𝑘 = 𝑛𝑛 − 1 met de hoogste opbrengst voor 𝑐𝑐 >1
2𝛿𝛿 − 1 2𝛿𝛿2.
Het blijkt dus zo te zijn dat elk deelnetwerk 𝑔𝑔* van een efficiënt netwerk stervormig is (Jackson & Wolinsky, 1996). Bovendien zorgt een enkele ster voor een hogere opbrengst dan meerdere sterren. De opbrengst van een enkele ster met 𝑛𝑛 + 𝑙𝑙 spelers, (𝛿𝛿 − 2𝑐𝑐)(𝑛𝑛 + 𝑙𝑙 − 1) +12(𝑛𝑛 + 𝑙𝑙 − 1)(𝑛𝑛 + 𝑙𝑙 − 2)𝛿𝛿2, is hoger dan twee aparte sterren met respectievelijk 𝑛𝑛 en 𝑙𝑙 spelers, (𝛿𝛿 − 2𝑐𝑐)(𝑛𝑛 + 𝑙𝑙 − 2) +12(𝑛𝑛 + 𝑙𝑙 − 2)(𝑛𝑛 + 𝑙𝑙 − 4)𝛿𝛿2.
Daarnaast moet een efficiënt netwerk bestaan uit positieve componenten. Dit is het geval voor 𝛱𝛱𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(𝑔𝑔𝑠𝑠𝑡𝑡𝑒𝑒𝑠𝑠) = (𝛿𝛿 − 2𝑐𝑐)(𝑁𝑁 − 1) +1
2(𝑁𝑁 − 2)𝛿𝛿2 > 0, hetgeen te herleiden is tot 𝑐𝑐 < 14(𝑁𝑁 − 2)𝛿𝛿2+ 1
2𝛿𝛿 (Jackson & Wolinsky, 1996).
Stelling (iii)
Het lege netwerk is efficiënt voor 𝑐𝑐 >1
4(𝑁𝑁 − 2)𝛿𝛿2+ 1 2𝛿𝛿.
Bewijs.
Zoals in het bewijs van Stelling (ii) genoemd is, zal een niet-leeg netwerk een negatieve totale opbrengst hebben voor 𝑐𝑐 >1
4(𝑁𝑁 − 2)𝛿𝛿2+ 1
2𝛿𝛿. In dat geval is het lege netwerk met een totale opbrengst van 0 het netwerk met de hoogste totale opbrengst en daarom het enige efficiënte netwerk.
