Vaardigheden 2

(1)

Vaardigheden 2.

1. a. 3x 7 0 c. 1x 2  4 0



x x D en B 1 3 1 3 3 7 2 : 2 , : 5,      





x x D en B 1 2 4 8 : 8, : ,13       

b. De grafiek van g is een bergparabool met top (-3, 4). D:¡ en B: ,4



d. D:¡ en B: ,4 e. x2__{15 0}_



x x en x D en B 2 ₁₅ 15 15 : , 15 15 , : 3,         _{ }  

f. De grafiek van q is een hyperbool: D : ,1  1, en B : ,0  0, .

2. a. x   3 x 3 x x x x x x 2 2 2 3 ( 3) 6 9 7 6 0           b. (x6)(x 1) 0 x x en 6 1 6 3 9 3 3 6 3 1 3 4 2 1 3                 

Dus alleen x 1 is een oplossing.

3. a. x 8 5 b. 2x 9 13x x x 8 25 33    x x x x x x x x 2 2 2 2 9 (13 ) 169 26 28 160 ( 8)( 20) 0             x 8  x20 c. 5 6a15 2a d. ₅_{x x}_ 2 _₂_x _e. _x2_₄_x_{  }₅ _x ₃ a a a a a a a a a a a a a 2 2 2 1 2 6 15 2 5 6 15 (2 5) 6 15 4 20 25 4 26 40 0 (2 5)(2 8) 0 2 4                    x x x x x x x x x 2 2 2 5 4 5 5 0 5 ( 1) 0 0 1          x x x x x x x 2 ₄ _{5 (} ₃₎2 4 5 6 9 2 4 2            4. 4x 3 3 5 x x x 4 3 45 4 48 12    

(2)

5. a. _{(7 5)}2 __{49 5 245}_{ } _c. 1 2 1 1 2 4 2 ( 2)   2 b. 4 7 8 3 32 21 d. _{( 6 11)}_ 2 __{36 11 396}_ _ 6. a. 72  36 2 6 2 e. 75  25 3 5 3 b. 54  9 6 3 6 f. 507  169 3 13 3  c. 200  100 2 10 2  g. 125  25 5 5 5 d. 147  49 3 7 3 h. 1152  576 2 24 2 7. a. 32 2 4 2 2 3 2 b. 4 12 2 27  4 2 3 2 3 3 14 3   c. 7 45 500  7 3 5 10 5 11 5  d. 3 150 2 216   3 5 6 2 6 6   3 6 8. a. 5 5 1 7  7 7 35 d. 9 6 9 1 6 2 6  1 6 b. 3 3 1 1 8  ₈ 8 24  4 6 e. 8 3 8 15 4 12 8 15 15 3 5  3 5   15 c. 18 18 3 3 3  6 3 f. 24 2 24 6 3 2  4 2 9. a. 3 7 24 35 19 5 8 4040 140 d. 119    31 119 93 89 b. 5 1 20 9 11 9 4 36 36 36 e. 273121 2146 1147 31413 c. 6 21 13 1 7 7 7 7 3 1   1 f. 5 3 5 6 1 8 4 8 8 8 1 2 1 2 1       10. a. 6 3 6 21 6 21 7 7 7 7 b a b a a b ab ab ab      c. 8 4₂ 8x₂ 4₂ 8x ₂ 4 x x x x x      b. 10 7 20 21 1 3q2q  6q 6q  6q d. 2 3 10 27 37 9a 5a  45a45a  45a 11. a. 8 4 120 4 120 4 15 15 15 15 q q q q q q      d. 3 3 2 2 2 2 3 3 4 3 4 8 2 8 8 8 p q p q p q q q q q       b. 12₂ 1 36₂ ₂ 36 ₂ 3 3 3 3 a a a a a a a      e. 8₃ 7 24₃ 7 2₃ 24 7₃ 2 5 15 15 15 15 a a a a a a a      c. 2 2 5 20 20 4 4 4 4 a a b a b b a ab ab ab      f. 2 3 2 3 2 2 2 2 2 4 14 12 14 12 3 7 21 21 21 a b a b a b b a ab ab ab      12. a. 51 2 5 1 ₆ ₅ ₃ 5 22 11 4    b. 11 12 5 8 8 88 11 7 12 5 60 115     c. 157 7 1 7 10  15 10 150 2 Uitwerkingen 4 vwo wiskunde B, vaardigheden 2

(3)

13. a. 4 3 4 3( 5) 4 (3 15) 7 15 5 ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) a a a a a a a a a a a a a a a               b. 7 6 7 6( 3) 7 (6 18) 13 18 3 ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) x x x x x x x x x x x x x x x               c. 2 3 2( 1) 3( 1) (2 2) (3 3) 5 1 1 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) x x x x x x x x x x x x x x x                      d. 2 2 6 5 6 ( 3) 5 (3 4) (6 18 ) (15 20 ) 3 4 3 (3 4)( 3) (3 4)( 3) (3 4)( 3) a a a a a a a a a a a a a a a a a a                   2 9 38 (3 4)( 3) a a a a      14. a. 3 2 3 2 3 2 3 2 1 x x x x x x x        b. A. 5 4 5 4p 5 4p p p p p      B. 7 4₂ 21₂2 4₂ 21 2₂ 4 3 3 3 3 x x x x x x      C. 5 5 2 3 3 3 3 2 x 2 x 2 x x x x x      15. a. 2 2 5 5 2 p p  p d. 5 6 6 2 2 15 14 15 14 6 7 25 7 25 5 a ab a b a b b b  _ _   _    b. 5 6 5 6 x x   e. 1 1 3 13 13 1 2 3 2 3 2 2 1 4    6 c. 2 3 3 2 2 3 6 18 9 8 5 40 20 p q pq q  p  p q  p q f. 4 4 7 7 3 1 ( 5) 1 ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) a a a a a        

(4)

Extra oefening Basis.

B-1.

a. Alleen f(x) is symmetrisch in de y-as.

b. g x( ) 12 h x( ) 12 c. f x( ) 12 1 7 7 ₁₂ 12 x x   1 17 10 7 17 ₁₂ 12 x x x x     101 101 10 ₁₂ 12 12 x x x      B-2. a. ₃_{x x}2_ 3__{(2 ) 7}_x2 _ _x_₃_x5_₁₄_x3 _c. _{2 (7 )}_x_ _x 2 _₂_x_₄₉_x2 _₉₈_x3 b. 2 3 6 2 4 4 (3 ) 27 3 9 9 x x x x  x  d. 3 3 3 3 5 9 (2 ) 9 8 3 24 24 x x x x x x x  _  _ B-3. a. ₁₂__x3 _₀ _b. ₁₂__x3 _₁₀ 1 3 3 ₁₂ 12 x x     1 3 3 ₂ 2 x x     1 3 ( ) 10 0 2 f x  voor  x  B-4. a. D_f : 0 ,



 en B_f : 0 ,



 g g D B  ¡ b. f x( )g x( ) 1 1 2 7 0 1 x x x x     c. f x( ) 7 g x( ) 2 1 2 2 7 7 49 x x    1 7 7 2 2 128 x x       B-5. a. _x3_{ }_{5 12} _b. _{12 2}_ _x4 _₁₀ _c. 1 2 5t 20 d. ₄_x6 _₃_x4 1 3 3 ₇ 7 x x   4 4 2 2 1 x x   1 2 2 1 16 4 4 t t      6 4 4 2 4 3 0 (4 3) 0 x x x x     1 1 x   x  _x_₀ _ ₄_x2 _₃ 1 2 3 x  B-6. a.

b. De top van f ligt bij dezelfde waarde van x als de top van

2 ₈ _{17 (} ₄₎2 ₁

y  x  x  x 

Dus bij x 4. Top van f: (-4, 1) c. -4

4 Uitwerkingen 4 vwo wiskunde B, vaardigheden 2

x y 1 2 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 1 2 3 4 5 6 7 -1

(5)

d. _f_{( 4}_{ }_a₎_ _{( 4}_{ }_a₎2_{  }_{8( 4} _a_{) 17}_ _ _{16 8}_ _{a a}_ 2__{32 8}_ _a_₁₇ _ _a2_₁

2 2 2

( 4 ) ( 4 ) 8( 4 ) 17 16 8 32 8 17 1

f  a   a   a    a a   a  a  Dus inderdaad symmetrisch in x 4.

B-7.

a. h(x), k(x) en m(x) zijn dalend; de groeifactor van deze functies is kleiner dan 1.

b. f: (0, 2) g: (0, 0.5) h: (0, 2) k: (0, 10) m: (0, 5)

c. Het domein van deze functies is ¡ en het bereik: 0 ,

B-8. a. 1 1 3 (1) 3 f _  _ , dus grafiek B.

b. vermenigvuldigen ten opzichte van de y-as met factor -2.

c. ,1 3 3 ( 3) 3 3 3 3( 1) 3 1 1 1 27 ( ) 3 _x _{naar links} 3 _x 3 _x Vy as 3 _x 3 _x (3 )_x ( )_x f x _ y _{ } _{ }  y _ _ _ _ _ _ _          d. _,1 3 3 3 3( 3) 3 3 1 3 27 ( ) 3 _x Vy as 3 _x _{naar links} 3 _x (3 )_x ( )_x f x _  y _ y _ _ _ _ _        B-9. 1 1 1 1 2( 1) 2 2 2 ( ) 2 4 x 2 4 x 4 2 (4 ) 2 4 2x x f x            B-10. a. 1 2 2 ( ) x _8 _b. ₁ 27 ( 3)x _ _c. 1 4 4 x 12 1 2 2 3 1 2 1 2 (( ) ) 2 2 2 3 1 x x x x  _ _   1 2 3 3 1 3 1 2 (3 ) 3 3 6 x x x        2 2 3 4 8 (2 ) 2 2 2 3 x x x x         1 2 1 x  d. 8 9 3 3_ x _2 _e. 2 1 1 5 5x 125 ( ) x   f. 1 3 1 2 8 ( )x _4 x 2 1 9 3 3 2 x x  _{ }   2 3 5 5 5 2 3 x x x x  _ _     3 3 2 1 2 (2 ) (2 ) 3( 3) 2(1 2 ) x x x x   _      3 x   3 9 2 4 11 x x x      B-11. _{V t}( )__{T t}( ) 20 60 0,95_ _ _ t ( ) 20 60 0,95t T t   

(6)

Extra oefening Gemengd.

G-1. a. 4 4 2 2 2 2 2 16 16 16 ( ) x x f x x x x x x      

b. Als x in de buurt van de 0 komt, wordt _x2_{heel erg klein. De grafiek van f lijkt dan} steeds meer op y 16₂

x

  .

c. Voor grote waarden van x wordt 16₂

x heel erg klein. De grafiek van f lijkt dan steeds

meer op de grafiek van _y __x2_.

G-2. a. b. De lijn x3 is symmetrieas. 4 4 4 (3 ) (3 3) 5 ( ) 5 5 g a   a   a  a  4 4 (3 ) (3 3) 5 5 (3 ) g a   a  a  g a c. g x( ) 0 d. g x( ) 30 1 1 4 4 1 1 4 4 4 4 ( 3) 5 0 ( 3) 5 3 5 3 5 3 5 3 5 x x x x x x                 1 1 4 4 1 1 4 4 4 4 ( 3) 5 30 ( 3) 35 3 35 3 35 3 35 3 35 x x x x x x                 G-3. a. f x( ) 0 e. f x( ) 8 1 4 1 4 2 1 4 3 0 3 3 x x x x x       1 4 2 2 1 1 4 4 3 8 3 8 ( 32 12) 0 ABC formule x x x x x x         

En deze vergelijking heeft geen x 16 2 61  x16 2 61 (reële) oplossingen.

b. Voor grote waarden van x wordt de factor 3

x heel erg klein (vrijwel gelijk aan 0).

c. In de buurt van x 0wordt juist deze factor bepalend en nadert het lineaire deel naar 0.

d. De grafiek van f is puntsymmetrisch in de oorsprong:

1 1 1 4 4 4 3 3 3 ( ) ( ) ( ) f a a a a f a a a a               G-4. a. 1 3 0,4 2400 0,030 Z     ml/kg TZ0,030 2400 5 358,5   ml b. 1 3 0,4 20 0,147 Z     ml/kg TZ0,147 20 5 14,7   ml c. 1 3 0,4L 0,08 Voer in: 13 1 0,4 y  x en y2 0,08 intersect: x 125 kg 6

Uitwerkingen 4 vwo wiskunde B, vaardigheden 2

x y 1 2 3 4 5 5 10 15 -5 -10

(7)

G-5. a. 3 2 1 2 4 (0) 5 ( ) 11 f    S(0, 1 4 11 ) b. 3 , 5 3 2 3 2 2 2 2 ( ) ( )x Vx as 5 ( )x naar links ( ) 5 ( )x g x     y f x   

c. Spiegelen in de y-as is hetzelfde als een horizontale vermenigvuldiging met factor -1: 3 2 2 ( ) 5 ( ) x h x _{ }   d. 3 2 2 ( ) 5 ( )x j x _{  }  G-6. a. 1 1 2 1 3 1 2 1 1 8 2 2 2 2 ( ) ( )x ( ) ( )x ( )x f x _{ }  _ _  _  b. 1 1 1 1 1 2 ( ) ( )x (2 )x 2 x f x         c. 1 1 1 2 2 2 1 1 ( ) 2 x (4 ) x 4 x f x _   _   _   G-7. a. S(0) 1000 : _{b a}_{ }_2,70 _{  }_{b a} ₁₀₀₀

Voor grote waarden van t is S t( )b en nadert de grafiek de waarde 5000.

5000 4000 b en a b. S t( ) 4000 5000 4000 2,7 4000 4000 2,7 1000 2,7 0,25 1,4 t t t t maanden           G-8. a. ₂ _0,3 2 ₀ 2 x x _{ }1 2 2 2 3 2 0,3 (2 0,3 ) 0 0 0,3 2 6 x x x x x x x         b. 2 2 2 1 2 1 3 3 9 2x0,3x  0,3(x 6 x) 0,3((x3 ) 11 ) De top van de exponent ligt bij 1

3 3 x c. y 20,3 11 19 10,08 G-9. a. 12 1 1 5 ( 5) x _ _5x 1 1 1 2 2 2 1 1 4 2 1 1 1 4 2 1 1 4 2 2 5 (5 ) 5 5 5 5 1 x x x x x x x x           b. 2 5 ( ) ( ) f x g x voor x

(8)

Extra oefening Vaardigheden.

Rekenen met breuken V-1. a. 5 3 15 5 6 7 42 14 e. 161   47 67 47 23 b. 1 1 7 2 5 2 7 14 14 14 1  1  1 f. 3 3 3 6 9 10 25 10 210 210        c. 2 4 25 12 13 3 5 15 15 15 1     g. 5 5 15 10 25 18 27 54 54 54 2  2  2 d. 2 7 7 2 4 :     4 14 h. 2 1 1 14 9 1 21 1 37 7 3 9 2 3 10 2 5 2 10 10 4 :1        3 V-2. a. 6 6 2 2 3 ab ab a  a  b e. a23  32a b. 3 3 2 5 5 2 15 30 6 p q pq q p p p    _f. ₆ ₃_x ₆_y ₃_x2 ₆_y ₃_x2 x y xy xy xy      c. 2 ₁ 2 t 2 t t    t t t g. 2 2 2 3 3 3 3 3 1 1 1 1 p p 1 p p p p p p p p p         d. 5 4 15 8 15 8 2k 3m  6kmm6kmk  6mkm k h. 7( 7) 8 49 7 1 7 ( 7) ( 7) ( 7) a a a a a a a a a a a           Rekenen in driehoeken V-3. a. _AC_ ₁₃2_₁₂2 _ ₃₁₃ b. _EF _ ₁₅2_₁₁2 _ ₁₀₄ c. _PR _ ₈2_₁2 _ ₆₃ V-4. a. _BC _ ₁₅2_₁₂2 _ _{81 9}_ b. 2 12 1 1 2 4 2 6 4 56 7 PQ     V-5. a. tan 47o_ AC₉ _b. 11 cos 22o  AB 2 2 9 tan 47 9,7 9,7 9 13,2 AC BC       o 2 2 11 cos22 10,2 11 10,2 4,1 AB BC       o c. _AC_ ₁₄2_₉2 __10,7 _d. _{ }_B ₁₈₀o_₂₃o_₆₇o _₉₀o 9 14 cos 50 180 90 50 40 B B C          o o o o o 20 20 cos 23 2 2 cos23 21,7 21,7 20 8,5 AC AC BC       o o Domein en bereik V-6.

a. De grafiek van f is een dalparabool met top (4, -5) domein: ¡ bereik:



 5 , b. 9 3 x0 3 9 3 x x    

De grafiek van g heeft een randpunt (3, 14). Domein: , 3



bereik: , 14



8

(9)

c. x 2 0 2

x 

De grafiek van h is een hyperbool met asymptoten x 2 en y 3. domein:     , 2 2 , bereik: , 3  3 ,

d. k(x) is een exponentiële functie. Deze heeft een horizontale asymptoot: y  6

domein: ¡ bereik:  6 ,

Vergelijkingen exact oplossen V-7. a. ₃_x2_₇_x_{ }_{4 0} _b. ₅_x2 _₂₀₀ _c. ₍₂_x_₃₎2 _₄₉ 1 3 (3 4)( 1) 0 1 1 x x x x       2 ₄₀ 2 10 2 10 x x x      2 3 7 2 3 7 2 4 2 10 x x x x           2 5 x    x  d. ₂_x2_₃_x _₉ _e. ₍₂_x₅₎₍₃_x_{36) 0} _f. _x2_{ }_x _{20 0}_ 2 1 2 2 3 9 0 (2 3)( 3) 0 1 3 x x x x x x           1 2 2 12 x   x ( 5)( 4) 0 5 4 x x x x        g. _{36 4(}_ _x_₁₎2 _h. 2 48 3 (x4)  2 ( 1) 9 1 3 1 3 2 4 x x x x x             2 ( 4) 16 4 4 4 4 8 0 x x x x x             V-8. a. ₍₂_x_₇₎₍₃_x_{ }_{1) 6}_x2 _b. _x_₍₃_x_₈₎__x2 _c. ₅_x_₄₍₁__x_{) 5}_ _x_₄ 2 2 7 23 6 23 7 6 23 7 x x x x x      2 ₂ _{8 0} ( 4)( 2) 0 4 2 x x x x x x           5 4 4 5 4 4 0 0 x x x x x       d. ₍_x_₁₎₍_x2__{2) 2}_ _e. ₍₄_x_₃₎2_{ }_{1 0} _f. ₍₅_x_₇₎₍₅_x__{7) 1}_ 3 2 3 2 2 2 2 2 0 ( 2)( 1) 0 0 2 1 x x x x x x x x x x x x                 2 1 2 (4 3) 1 4 3 1 4 3 1 4 4 4 2 1 x x x x x x x                   2 2 2 25 49 1 25 50 2 2 2 x x x x x        

Berekeningen met de rekenmachine V-9.

a. Voer in: 2 1 5 14

y  x  en y2 20 5 x intersect: x  1,70  x 0,70 b. Voer in: y₁ 5 12x en y2 11x2 intersect: x  1,52  x1,67 c. Voer in: y1 0,2x230 en 2 2 15 x y   intersect: x  15,00  x5,30 V-10. a. top: (9, -41) nulpunten: (-2.09, 0) en (20.09, 0) b. top: (1.32, -11.49) nulpunten: (0, 0) en (2.70, 0) c. toppen: (-1.73, -7.39) en (1.73, 13.39) nulpunten: (-2.17, 0), (-0.89, 0) en (2.29, 0).

(10)

Transformaties

V-11. g(x): 8 naar beneden verschuiven.

h(x): vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as met factor 1

5 .

k(x): vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as met factor 1

3 . 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 ( ) omlaag 2 (2 5) f x x  y x   x  10 Uitwerkingen 4 vwo wiskunde B, vaardigheden 2