Hoofdstuk 2:
Functies en grafieken
V-1.a.
b. Het ‘startgetal’ is 4 en de richtingscoëfficiënt -3
c. Het ‘startgetal’ van formule B is 0.
d. De tabel bij formule B is een verhoudingstabel.
e. De grafiek van B is een rechte lijn door de oorsprong. V-2.
a. Je mag niet delen door 0. b.
c. Door links en rechts van het =-teken te vermenigvuldigen met p.
d. Als p twee keer zo groot wordt, wordt q twee keer zo klein.
V-3. a.
b. De grafiek is een dalparabool. c. De richtingscoëfficiënt is 16 10 2 4 1 a 16 1 2 2 14 14 y x b b b b y x V-4. a.
b. Je mag niet delen door 0.
c. x0,0001:y 50001 en x 0,0001:y 49999
d. De grafiek loopt in de buurt van x0 heel erg steil en is groot negatief of groot positief.
0
x is de vergelijking van de verticale asymptoot. e. Als x steeds groter wordt, wordt de y waarde steeds
kleiner (komt in de buurt van de 0) f.
V-5.
a. De blauwe grafiek hoort bij y x3.
b. De grafiek van y x4 is lijnsymmetrisch in de y-as.
c. V-6.
a. Voor x 2 geeft de formule uitkomsten. b. Alle uitkomsten zijn groter of gelijk aan 0.
x -2 -1 0 1 2 3 y 16 10 8 10 16 26 p q 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 -8 -10 x -10 -5 -1 0 1 5 10 y 0,5 0 -4 - 6 2 1,5 x y 5 10 15 20 25 -5 -10 -15 -20 -25 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 -8 -10 x y 1 2 3 -1 -2 -3 2 4 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -16 x -1 0 1 2 3 4 3 y x 7 4 1 -2 -5 3 y x -3 0 3 6 9
V-7.
a. A: 12
24 0,5 126 0,5 63 0,5 exponentieel verband.
B: De eerste verschillen zijn steeds 5: het verband is lineair. C: x y 6 het verband is omgekeerd evenredig.
D: 12 3 4 1248 4 19248 4 exponentieel verband. b. 24 0,5x A y yB 5x4 yC 6 x 0,75 4x D y V-8.
a. Grafiek A heeft een randpunt en is dus de grafiek van een wortelfunctie: y x 4
Grafiek B heeft een horizontale asymptoot en is een sterk stijgende grafiek. Deze hoort bij een exponentiële functie: y 5 1,5x
Grafiek C is een rechte lijn. De functie is lineair: y 0,5x2
Grafiek D heeft een horizontale en een verticale asymptoot. De grafiek is een hyperbool en hoort bij een gebroken functie: 1 1
6 4 y
x
.
b. P: de startwaarde van de wortelfunctie: x0 invullen: P(0, 4) Q: het snijpunt van de grafiek met de y-as, dus x0: Q(0, 5) R: het nulpunt van de lineaire functie, y 0: R(-4, 0)
S: snijpunt van de lineaire functie met de y-as, x0: S(0, 2)
1.
a. R 0,0075 70 2 36,75 meter.
b.
c. Bij een snelheid v 80 hoort de remweg R48
Bij een snelheid v 60 hoort de remweg R27
2. a. f(4) 6 4 4 en f(7) 6 7 3,35 b. >f(9) 3 >f(16) 2 >f(100) 4 v (in km/u) R (in meter) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 v 70 80 90 100 110 120 R 37 48 61 75 91 108
3. a.
b. Bij x 2 is de functiewaarde gelijk aan -9.
c. Bij x1 is de y-waarde 0 en snijdt de grafiek van f de x-as.
d. Bij x0,5 is g x( ) 2 e. 4 2 0 1 (0) 4 g 4. a. h(4) 1 4 3 en g(4) 1 4 5. b. h x( ) 4 1 4 3 9 x x x
c. h(25) 6 : Je krijgt bij h als uitkomst 6 als je x 25 invult; h(49) 8 ; De
functiewaarde van g bij x8 is 3.
d. Voor x 0 heeft de functie h geen uitkomsten: de wortel uit een negatief getal bestaat niet.
De functie g bestaat niet voor x 1. 5.
a. l(2) 3 2 16 22 en l(5) 3 5 16 31
Als er een gewicht van 2 kilogram aan de veer wordt gehangen, is de lengte van de veer 22 cm. Is het gewicht 5 kg, dan is de veer 31 cm.
b. Per kg wordt de veer 3 cm langer.
c. l m( ) 2 m20 d. 3m16 2 m20 4 m kg. 6. a. b. 11 3 8 4 0 4 2 a c. f x( ) 2 x3 7.
a/b/e.f(0) 10 en g(0) 3 ; de rode grafiek (A) hoort bij g en de groene grafiek (B) bij f. c. x27x10 0 ( 2)( 5) 0 2 5 x x x x
d. Bij b bereken je het snijpunt met de y-as en bij c de snijpunten met de x-as. f. x24x 3 0 ( 1)( 3) 0 1 3 x x x x
g. Kijk in de plot: g x( ) 0 voor 1 x 3.
x y 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 2 4 6 8 10 12 14 16 -2 -4 -6 -8 x 0 1 2 3 4 5 f(x) -1 0 7 26 63 124
8. a.
b. Als x 1 wordt x 4 0 en daarvan bestaat de wortel niet.
c. De functie bestaat niet als x 4 0, want je mag de wortel niet trekken uit een negatief getal.
Dus voor x 4 bestaat de functie niet.
d. Uit de wortel komt altijd een positief getal. De functiewaarden zijn dus altijd groter of gelijk aan 2. e. x 4 0 4 2 (4, 2) x en y R 9.
a. Je mag alle waarden van x invullen. b. x22x 8 0 ( 4)( 2) 0 4 2 (4, 0) ( 2, 0) x x x x en
c. De x-coördinaat van de top van de parabool ligt precies tussen de nulpunten in:
1
x . T(1, -9)
d. De grafiek van g is een dalparabool. Het bereik is dan y 9. 10. a. Domein: 1 2 1 x b. Bereik: y 3 c. 2x 3 0 1 2 1 2 2 3 1 3 ( 1 , 3) x x en y R 11. a. 1B 2D 3C b. , 1
2,4 1, 12.13. wortelfunctie (zwart): domein:
3, en bereik: , 2
gebroken functie (groen): domein: ,3 3, en bereik: ,2 2,
kwadratische functie (rood): domein: ¡ en bereik:
2, 14.a. f(0,3) 1 3 0,3 1 1 0,1 en dat bestaat niet.
b. Nee, 0,33 is ook nog te klein.
x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -1 1 2 3 4 5 6 7 -1 ongelijkheid 2 x 6 x 9 x0 2 x 1 getallenlijn interval
2,6 9, ,0 2,1
c. 3x 1 0 1 3 1 3 3 1 1 ( , 1) x x en y R d. Domein: 1 3, Bereik:
1, e. 37 6 x0 1 6 6 37 6 x x Domein: ,616 en bereik:
3, 15. a. 4 7 x 0 b. 8t45 0 c. 4u 1 0
4 7 4 7 7 4 : , : ,5 f f x x D en B
5 8 5 8 8 45 5 : 5 , : 18, g g t t D en B
1 4 1 4 4 1 : , : 12, K K u u D en B d. A(p) is een lineaire functie: DA:¡ en BA:¡e. h(t) is een derdegraads functie: Dh:¡ en Bh:¡
f. De grafiek van f is een dalparabool met top 1 1
4 8 ( , 3 ). Dus 1 8 : : 3 , f f D ¡ en B 16. a.
b. Voor x 3 wordt de noemer 0 en je mag niet delen door 0.
c. Dan wordt de noemer heel erg klein (bijna 0) en de breuk dus heel erg groot (positief of negatief).
d. Als x steeds groter wordt, wordt de noemer dus steeds groter en de breuk steeds kleiner.
e. k( 10) 0,46 en k( 100) 0,06 f. 6 1000 3 x 6 1000 3 0,006 2,994 x x
Dus voor 2,994 x 3 zijn de functiewaarden kleiner dan -1000. 17. a. b. 7 2 x0 1 2 2 7 3 x x
c. Als x in de buurt van de 1 2
3 komt, wordt de functiewaarde heel groot positief of negatief. d. Als x steeds groter wordt, komt de functiewaarde
steeds dichter bij 1. e. f. Verticale asymptoot: 1 2 3 x g. Domein: 1 1 2 2 ,3 3 , en bereik: ,1 1, x 0 1 2 2,9 3 3,1 10 100 y -2 -3 -6 -60 - 60 0,86 0,06 x -2 -1 0 1 2 3 4 5 y 1,09 1,11 1,14 1,2 1,33 2 0 0,67 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7
18.
a. De asymptoten zijn: x0 en y 0. b.
c. Als a positief is dan liggen de hyperbooltakken in het eerste en derde kwadrant.
d. g(2) 3 (2) 3 2 2 3 6 a g a 19. a.
b. Als x heel groot wordt dan nadert 1 2
( )x naar 0. De functiewaarde komt steeds dichter
bij -1. c. Nee. d. Domein: ¡ Bereik: 1, 20. a. 3x 6 0 3 6 2 4 ( 2, 4) x x en y R b. Domein:
2, Bereik:
4, c.d. Een wortelfunctie is een alsmaar stijgende functie, dus heeft geen horizontale asymptoot
21.
a. Bij gebroken functies heb je een verticale asymptoot. Je moet dan kijken waar de functie niet bestaat (waar de noemer 0 wordt).
2 2 4 0 4 x x 2 2 4 0 4 x x kan niet. x 2 x2
b. Horizontale asymptoten vindt je door hele grote waarden van x in te vullen. Voor grote waarden van x wordt de noemer van beide functies heel erg groot en nadert de functiewaarde naar 0. Zowel p als q heeft een horizontale asymptoot:
0 y . 22. a. x 3 60 20 200 invullen: 5 200 (200) 0,09 0,115 G
b. De prijs per belminuut € 0,115. De totale kosten per jaar zijn dan
0,115 200 € 23,
c. Als x steeds groter wordt, nadert de prijs per belminuut naar € 0,09 d. De horizontale asymptoot is G0,09.
e. De gemiddelde prijs per belminuut wordt niet lager dan € 0,09.
x y 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 a=2 a=2 x 0 1 2 3 4 10 100 p(x ) 3 1 0 -0,5 -0,75 -1,00 -1,00 x 0 1 2 3 4 10 100 g(x ) -1,55 -1 -0,54 -0,13 0,24 2 13,49
23.
a. Voer in: 2
1 4
y x x b. Een schets geeft de nulpunten aan en de top.
24. 25.
a. In de derde plot.
b. Die bovenste y-waarden heb je dus niet nodig, De Ymax moet dus lager worden. Bijvoorbeeld: Xmin 1,5, Xmax 1,5 en Ymin 15, Ymax 5 .
26.
a. Voer in: 2
1 3 3
y x x en kijk in de tabel. b. De x-coördinaat van de top is 1
2
1 . De coördinaten van de top zijn: 1 1
2 4 (1 , 5 ). c. 27. a. zie grafiek b. 2x100 0 2 100 50 0 ( 50, 0) x x en y R c. 55 x 5 en 0 y 15 28.
a. De tijd (x) is altijd positief en voor de hoogte (y) nemen we ook alleen maar positieve getallen.
b. 0 h 12 en 0 t 4
c.
29. Na het invoeren van de functie en de x-waarden in het window kun je met zoom optie 0 (zoomfit) de grafiek laten tekenen. De rekenmachine stelt dan zelf de y-waarden in, zodat de grafiek voor die x-y-waarden goed zichtbaar is. Daarna kun je in het window zelf de x- en y-waarden aanpassen.
a. 15 x 15 en 150 y 20
b. 5 x 5 en 2 y 15
c. 10 x 5 en 10 y 15
30.
a. Chris heeft de lineaire formule 1
1 2
y x ingevoerd en krijgt dus een rechte lijn.
b. Functie K is een gebroken functie. De grafiek moet een hyperbool zijn.
c. Omdat je 1 moet delen door 2 x . d. x y 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 4 8 12 16 -4 -8 -12 -16 -20 x y 5 10 -5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50 -55 2 4 6 8 10 12 14 16 -2 -4 t (in seconden) h (in meter) 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x y 1 2 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7
31. y1 (2x3) b. 2 1 2 / ( 4) y x c. y1 3 0,9 ^ (2x1) 32. 0 x 25 en 0 y 1100 33. a.
Bij de instelling van -2 tot 2 krijg je het beste beeld.
b. Met 2nd trace (calc) optie 3 (minimum) kun je de coördinaten van de top
berekenen: (-0,25; -9,375).
Met 2nd trace (calc) optie 2 (zero) de snijpunten van de grafiek met de x-as (de
nulpunten): (-1,5; 0) en (1, 0).
En met 2nd trace (calc) optie 1 (value) x 0 het snijpunt met de y-as: (0, -9).
c. zie a. 34.
a. De grafiek heeft drie snijpunten met de x-as.
b. 2nd trace (calc) optie 2 (zero): x 1,42 x 0,51 x 1,14 (De linker- en
rechtergrens kan ook ingetoetst worden in plaats van met de cursor de grafiek af te lopen.)
c./d. 2nd trace (calc) optie 4 (maximum): de coördinaten van de top zijn (-0,88; 3,61)
2nd trace (calc) optie 3 (minimum): de coördinaten van de top zijn (0,88; -0,61)
35.
a. Nulpunten: x0,20 x2,08
b. Top: (1,36; 4,09)
36.
a. Stel het window in met een grotere waarde voor Xmax; bijvoorbeeld 20. b. 2nd trace (calc) optie 2 (zero): x 1,79 x0 x16,79
37.
a. Stel het window in met een grotere waarde voor Ymax; bijvoorbeeld 20. b. 2nd trace (calc) optie 5 (intersect): x 7,52 x 1,04
38. Om een grafiek helemaal op het beeldscherm te krijgen kun je in het window de x-waarden instellen en vervolgens zoom optie 0 (zoomfit) te gebruiken. Daarna kun je in het window kijken wat de y-waarden zijn.
a. Nulpunten: x 5,32 x 1,32 Top: (-2, -11)
b. Nulpunten: x 0,5 x0 x 0,5 Toppen: (-0,29; 9,62) en (0,29; -9,62) c. Nulpunt: x12,61. Een exponentiële functie heeft geen toppen.
d. Nulpunten: x 14,76 x 20,06 Top: (2,65; 13,42) x y 2 4 6 8 10 12 -2 -4 -6 -8 -10 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 -8 -10 x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 -8 -10 x y 1 2 -1 -2 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 -8 -10
39. 7,52 x 1,04
40.
a. Voer in: y1(x2)3 en y2 2x10 intersect: x 4,18
b. Voer in: 1 5 y x en 2 2 12 y x intersect: x 0,41
c. Voer in: y13 x en y2 0,5x13 intersect en kijk in de plot: geen
oplossingen
d. Voer in: y1125 0,95 x en
2 80
y intersect en kijk in de plot: x 8,70
Stel bij de laatste ongelijkheid de y-waarden van je window in van 0 tot 160 om y2
goed in beeld te krijgen.
41. Annet geeft de exacte oplossingen en Yvonne benaderingen. 42. De antwoorden van Annet zijn goed (exacter).
43. a. 9x 1 0 b. 13x 7 6x1 c. 3x2 15 d. 0,5n2 9 17 1 9 9 1 0,11 x x 1 7 7 8 1 1,14 x x 2 5 5 2,24 x x 2 2 0,5 26 52 n n 5 2,24 x 52 7,21 52 7,21 n n 44. a. 20,5209 4,53 b. 150,2095 12,255999 45. a. 1 2 2 1 3 Omtrek en 12 1 2 4 1 2 Oppervlakte b. lengte evenaar26400 40212 km.
c. Op zo’n grote afstand is de lengte in kilometers nauwkeurig genoeg. 46.
a. Een kwadratische vergelijking heeft hoogstens twee nulpunten. Als er dus één oplossing is dan is er ook een tweede, tenzij de top van de parabool op de x-as ligt. b. Bij de vergelijking hoort een dalparabool. Het andere nulpunt ligt links van x0,8.
Je moet de tabel dus naar links uitbreiden. Het tweede nulpunt is: x 1,3. 47.
a. x 1,19 x 1,69
b. Deze manier is onnauwkeuriger en bewerkelijker.
c. 1 33 1 1 1 1
4 4 4 33 4 4 33
x x
48.
a. Voer in: y10,02x35 en y2 500 0,01 x intersect: x 15500
b. 0,02x35 500 0,01 x 0,03 465 15500 x x
c. De tweede was makkelijker omdat je niet weet hoe groot je het venster moet instellen.
d. De tweede en de derde kun je (nog) niet algebraïsch oplossen. De vierde kun je oplossen door te ontbinden in factoren of de ABC-formule.
e. 2. Voer in: 3 2
1 2
y x x en y2 15 intersect: x 1,95
3. Voer in: y123 3 1,5 x en y2 50 intersect: x 5,42
4. x23x 4 2 3 4 ( 4)( 1) 0 4 1 x x x x x x 49.
a. Voer in: y1 6x2 en y2 6 intersect en kijk in de plot: x5,67
b. omdat de oplossing niet exact is. c. 6x 2 6 2 3 6 2 36 6 34 5 x x x Kijk in de plot: 2 3 5 x . 50. a. t 0 :N 1500 815 0,89 0 685vliegjes.
b. Als t heel groot wordt, wordt 0,89t nagenoeg gelijk aan 0. Het aantal vliegjes nadert
het aantal van 1500. De horizontale asymptoot is N1500. c. Voer in: 1 1500 815 0,89
x
y , y2 900 en y3 1000 intersect: x2,628 en
4,193
x . Dat duurt ongeveer 1,565 dagen.
2 1300
y en y3 1400 intersect: x 12,055 en x18,004: ongeveer 5,949
dagen. Dat is dus ruim twee keer zo snel. 51.
a. f(x) is een kwadratische functie. De grafiek is een bergparabool, vanwege 1 x2,
dus de blauwe grafiek (C). g(x) is een gebroken functie. De grafiek van g is dus een hyperbool: de groene grafiek (B). De functie h is een wortelfunctie. De grafiek van een wortelfunctie heeft een randpunt; de zwarte grafiek (D). En m(x) is een
exponentiële functie. De bijbehorende grafiek is dus rood (A). b. Df :¡ en Bf : ,10
: ,4 4, : ,0 0, : ,5 : 0, : : 0, g g h h m m D en B D en B D en B ¡ 52.a. Met 5 x 5 en 10 y 10 heb je de grafieken mooi in beeld.
b. 3x28x 1 x22x1 2 1 2 4 6 2 (2 3) 0 0 1 x x x x x x c. f x( )g x( ) voor 1 2 0,1 x
53.
a. t 0 : (0) 25 65 0,8C 0 90oC
b. C(1) 25 65 0,8 177oC. De thee is dus 13°C afgekoeld.
En in de derde minuut is de thee met C(2)C(3) 8,32 oC afgekoeld.
c. "Op den duur" betekent dus als t heel groot is. Dan wordt 0,8t vrijwel gelijk aan 0 en
wordt de temperatuur van de thee ongeveer 25°C.
d. V t( )C t( ) 25 65 0,8 t. De groeifactor is 0,8, dat houdt in dat het verschil steeds
met 20% per minuut afneemt. 54.
a. functie invoeren en met VARS Y-VARS Function Y1 de waarden uit laten rekenen: f( 2) f(3) 0
b. De grafiek loopt (zoals bij iedere wortelfunctie) vrijwel verticaal in de randpunten (-2, 0) en (3, 0).
c. Voor x-waarden tussen –2 en 3 wordt 2x22x12
negatief. En we kunnen geen wortel trekken uit een negatief getal.
d. 55.
a. 0 t 15 en 0 h 60. De tijd zou eventueel wel groter kunnen zijn dan 15 minuten. De vazen stromen dan over, dus de hoogte blijft vanaf
15
t gelijk aan 60. b.
c. De hoogte in de linker vaas is dan 4 4 16 cm en de hoogte in de rechter vaas: 15,5 4 31 cm. d. 15,5 t 4t 10
Voer in: y115,5 x en y2 4x10 intersect: x 0,67 en x 9,35
56. a. x2 5 0 2 5 5 5 x x x
b. Dit zijn tevens de vergelijkingen van de verticale asymptoten.
c. Grote waarden voor x invullen: y 3 is de horizontale asymptoot.
d.
e. Als de vergelijking x2 a 0 geen
oplossingen heeft, zijn er geen verticale asymptoten. Dat is als a0.
57.
a. De grote gele vierkanten hebben een zijden van x cm. De breedte van het kruis is
dan 10 2x . b. R x( ) 4 x (10 2 ) 40 x x8x2 x y 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 t (in minuten) h (in cm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 -1 -2 -3 10 20 30 40 50 60 -10 x y 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4
c. De oppervlakte van het gele gedeelte is 4 keer de oppervlakte van een vierkant met zijde x (O4x2) en de oppervlakte van een vierkantje met zijde 10 2x (
2 (10 2 ) O x ) d. R x( )G x( ) 40 x8x24x2(10 2 ) x 240x8x24x2100 40 x4x2 100 e. R x( )G x( ) 50 2 2 1 2 40 8 50 8 40 50 0 2 ABC formule x x x x x f. G x( ) 4 R x( ) 2 2 2 4x (10 2 ) x 4(40x8 )x Voer in: 2 2 1 4 (10 2 ) y x x en 2 2 160 32 y x x intersect: x 0,56 x 4,44
T-1. a.
b. Bij x 2 en x 2 is de functiewaarde van f gelijk aan 4. Bij 1
2
1
x is de functiewaarde van g gelijk aan 4.
c. f x( ) 0 2 8 8 2,83 8 2,83 x x x T-2.
a. Het domein van f is ¡ . De grafiek van f is een bergparabool. De coördinaten van de top zijn: (10, 5). Het bereik van f is ,5
.b. 16 2 x0 2 16 8 x x
Het domein van g is ,8
en het bereik:
2, .c. De grafiek van h is een rechte lijn. Het domein en bereik is ¡ . d. 6 2 x 0 2 6 3 x x
Het domein van h is ,3 3, en het bereik: , 2 2, . T-3.
a. De verticale asymptoot is: x3 en de horizontale asymptoot: y 2. b. x23 is voor geen enkele waarde van x gelijk aan 0.
T-4. a. 5 x 10 en 10 y 20 b. 5 x 10 en 0 y 10 c. 10 x 5 en 0 y 1000 d. 3 x 3 en 15 y 5 T-5. a. 1 3 2x 3x 8 0 Voer in: 1 3 1 2 3 8 y x x zero: x 3,29 b. maximum: (-1,41; -5,17) minimum: (1,41; -10,83) c. 1 3 2x 3x 8 4 3 1 2x 3x 8 3x7 Voer in: 1 3 1 2 3 12 y x x Voer in: 1 3 1 2 3 8 y x x en y2 3x7 zero: x3,57 intersect: x 3,38 x 0,17 x 3,54 x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x) -1 4 7 8 7 4 -1
T-6.
a. vergelijking A, D, E en F kun je exact oplossen.
b. 3 4x 1 5 16x2 9 24x 8 4 x 10 (x25)(x7) 0 2 3 7 9 7 9 17 18 4 1 1 4 1 2 4 3 x x x x 2 3 4 16 24 9 0 ABC formule x x x 4 2 4 4 0 x x x 2 5 0 7 0 5 5 7 x x x x x c. Voer in: 2 1 8( 2) y x en 3 2 1
y x intersect: geen oplossingen. Voer in: 1 6 0,8 x y en y2 3 intersect: x 3,11 T-7. a. grafiek 1 is lineair: 1 2 ( ) 3
k x x; grafiek 2 is een exponentiële functie, dus
( ) 3 1,5x
f x ; grafiek 3 is een hyperbool, een gebroken functie en dus 1 ( ) 1 2 h x x
en grafiek 4 is een wortelfunctie: g x( ) 9 2 x . b. A(0, 3), B(6, 0), C(0, 3) en D( 1
2
4 , 0)
c. Grafiek 2 heeft een horizontale asymptoot: y 0 en grafiek 3 heeft een horizontale asymptoot: y 1. d. Dk :¡ en Bk :¡ Df :¡ en Bf : 0, : ,2 2, : , 1 1, h h D en B 1
2 : ,4 : 0, g g D en B e. Met intersect: x2,97 T-8.a. Redelijkerwijs kunnen we voor de snelheid v waarden nemen tussen 1 en 120. Daarna kunnen we met zoom en optie 0 (ZoomFit) de y-waarden bepalen.
0 x 120 en ook 0 y 120.
b. S 0,005 120 20,33 120 111,6 meter.
c. S 0,005 40 20,33 40 21,2 meter. Hij kan op tijd stoppen.
Extra oefening – Basis
B-1.
a. h(2) 0,4 2 5 12,8
b. De hoogte van de raket 2 seconden na lancering is 12,8 meter. c. Niet met de tabel!
Voer in: y10,4x5 en y2 1000 intersect: x 4,78 sec.
B-2. a. 7 5 x 0 b. domein: 2 5 , 1 en bereik: , 3
2 5 2 5 5 7 1 (1 , 3) x x R B-3. a. x2 b. y 4 c. y-as: 1 2 (0, 4 ) x-as: 1 4 (2 , 0) B-4. a. b. R1(0, 2) en R2(4, 1) domein:
0, 4
c. Voer in: y10,5 x 4x maximum: y 2,24
bereik:
1, 2.24
B-5.
a. h0 :R 3,6 0,8 3,22 km.
b. Voer in: y13,6 x0,8 en y2 10 intersect: x 6,92
Op 6,92 m is het zendbereik ongeveer 10 km.
c. h12 :R3,6 12,8 12,88 km en h15 :R3,6 15,8 14,31 km.
Het zendbereik neemt met ongeveer 1,43 km toe. B-6. a. 3( 2 p3) 4 (2 3 ) p 3x2 4 17 7 9 6 9 4 2 3 9 7 p p p p 2 2 3 21 7 7 7 x x x x
b. Voer in: y1(3x1)(4 2 ) x en y2 2x intersect: x 1,85
Voer in: 3 1 7 20 3 y x x zero: x 1,61 x 0,15 x1,76 x y 1 2 3 4 5 -1 1 2 3
Extra oefening – Gemengd
G-1. a. 1 4 (25) 1406 f en 1 4 ( 25) 1406 f b. In de buurt van x 0 is de grafiek onder de x-as. De grafiek zal, gezien de antwoorden bij a, moeten stijgen en dus de x-as snijden.
c. Xmin 25, Xmax 25, Ymin 500 en Ymax 1000
d. Voer in: 4 2 1 0,01 4 y x x minimum: (-14.14, -400) en (14.14, -400) maximum: (0, 0) G-2. a. 1 2 1 0,37 1,37 x x x c. x 0,19 x 1,92 b. x26,59 d. x 0,50 G-3. a. 4 3 x 0 c. 2 4 3 x 0 d. 2 4 3 x 3 1 3 1 3 3 4 1 (1 , 2) x x R 4 3 2 4 3 4 3 0 x x x 4 3 5 4 3 25 3 21 x x x 0 (0, 0) x x 7 b. 1 3 : , 1 g D en Bg : 2 ,
e. 2 4 3 x x 2 2 2 4 3 4 3 3 4 ( 4)( 1) 0 4 1 x x x x x x x x x x ( ) ( ) g x h x voor 1 3 4 , 1 x G-4.a. Xmin 10, Xmax 10, Ymin 200 en Ymax 200
b. Voer in: y1x348x minimum: (4, -128) en maximum: (-4, 128)
c. x348x95
Voer in: y2 95 intersect: x 5,56 x 2,20 x 7,76
d. Voer in: y2 125 intersect: x 7,98 x 3,49 x4,49
( ) 125 f x voor x , 7.98 3.49 , 4.49 e. x348x0 2 ( 48) 0 0 4 3 4 3 x x x x x x y 1 2 3 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4
Uitdagende opdrachten
U-1. a. f x( )bx x 2 0 ( ) 0 0 x b x x x b Dit zijn de nulpunten van fb. Dus bij grafiek D hoort b4.
b. ( ) 5 ( ) ( )2 5 2 E f x x x x x c. f( 3) 3b 9 15 3 24 8 b b
De nulpunten zijn (-8, 0) en (0, 0). De top ligt dus bij x 4: (-4, 16)
d. 1 2 T x b en 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 (2 ) 2 4 4 T y b b b b b 2 1 4 2 9 36 6 6 b b b b U-2. a. g(1) a 6 a 0 2 2 6 6 6 ( 3)( 2) 0 3 2 a a a a a a a a a a b. 2a 6 0 c. a 6 0 3 a a6 U-3. a. h(0) 2 c
Bij grafiek A hoort c 1 en bij grafiek B c1. b. Voor c 2 is het maximum 1.
c. x2 c 0 heeft dan twee oplossingen. Dat is voor c 0.
d. De grafiek ligt dan geheel boven de x-as: c0. De top is (0, 4): 1
2
