Hoofdstuk 4 Integreren

Hoofdstuk 4:

Integreren

V-1 a. 3 3 1 ( ) f x x x    c. 1 2 2 2 ( ) 5 5 h x  x x  x b. 4 4 1 5 5 4 1 ( ) 5 g x x x x      d. 12 1 2 1 1 1 3 1 3 1 1 ( ) 3 k x x x x x      V-2 a. _{f x( )} 3x4 5x2 2x _3x3 _{5x 2} x       b. 4 3 2 4 3 2 1 1 1 2 2 3 3 3 3 8 5 8 5 ( ) 4 2 2 2 2 2 x x x x x x g x x x x x x x           c. 3 2 2 2 1 1 2 2 3(2 3) 3(2 3)(2 3) ( ) 1 (2 3) 6 18 13 4 6 2(2 3) x x x h x x x x x x             d. 2 2 1 2 2 2 2( 5) 2 20 50 ( ) x x x 2 20 50 k x x x x x           V-3 a. _{f x( ) (2 x5)(2x 1) 4x}2_{8x5 f x'( ) 8 x8} 2 2 ( ) (2 2) 4 8 4 g x  x  x  x g x'( ) 8 x8 b. ( ) 1 (2 ) 2 1 (2 ) 2 1 2 1 ( ) 2 2 2 2 2 x x x h x k x x x x x x                       c. h x'( )k x'( ) V-4 a.





3_log(3,1) 3_log(3) 3, 3.1 0,2985 3,1 3 y x  _  _   b.





3_log(3,01) 3_log(3) 3, 3.01 0,3029 3,01 3 y x  _  _  



3, 3.001



3log(3,001) 3log(3) 0,3034 3,001 3 y x  _  _   c. De helling in (3, 1) is ongeveer 0,30 V-5 a.



4, 4.0001



log(4,0001) log(4) 0,1086 0,0001 y x      b.





4,0001 4 1,2 1,2 4, 4.0001 0,3781 0,0001 y x  _  _  c.



4, 4.0001



(4,0001) (4) 4,3334 0,0001 y h h x      d.



4, 4.0001



(4,0001) (4) 0,0400 0,0001 y k k x  _  _ 

V-6 a. u x( ) 2 x5 en _{f u( ) 3 u}4 _{f x'( ) 2 12  u}3 _{24(2x5)}3 b. u x( ) 5 x1 en h u( ) 3 3u 1 u    2 2 2 15 '( ) 5 3 15(5 1) (5 1) h x u x x            c. u x( ) 3 4  x en 1 2 ( ) g u  u 1 2 1 1 '( ) 4 2 3 4 g x u x        d. u x( ) 5 x6 en 4 12 3 4 ( ) 3 k u u u    21 1 2 1 4 1 3 2 1 10 '( ) 5 3(5 6) k x u x         V-7 a. _{f x( ) (2 x}3_1)2 _4x6_4x3_{1 f x'( ) 24 x}5_12x2 6 3 6 3 ( ) 4( ) 4 4 g x  x x  x  x _{g x'( ) 24 x}5_12x2

b. De afgeleiden zijn gelijk aan elkaar. De functies kunnen dan alleen een constante verschillen. c. zie a: c  1 V-8 a. 1 2 x  x c. _x2 _{  4 x 6} 2 1 4 2 1 4 1 4 0 ( 4) 0 0 4 x x x x x x x x         2 _{2 0} ( 2)( 1) 0 2 1 (2, 8) ( 1, 5) x x x x x x en            (0, 0) en (4, 2) b. 3 2 4 x x   d. 2 2 3 2 4 x x    2 ( 4)( 2) 3 6 5 0 ( 1)( 5) 0 1 5 x x x x x x x x               2 2 4 2 2 2 ( 4)( 2) 3 6 5 0 ( 1)( 5) 0 1 1 5 5 x x x x x x x x x x                   (-1, 1) en (-5, -3) (-1, -1) (1, -1) ( 5, 3) ( 5, 3)

1 a. 1 3 8 8 2 (1) 2 (3) 2 3 2 4 15 Opp f  f      b. 1 1 1 1 3 2 2 2 2 4 1 ( ) 1 (1 ) 1 (2 ) 1 (3 ) 14 Opp f  f  f  f 

c. Het antwoord van opdracht b is nauwkeuriger.

d. Als je de rechthoekjes nog smaller maakt krijg je een betere benadering. 2 a. Opp 2 (2) 2 (4) 52f  f  b. 1 1 1 3 1 3 1 1 3 1 3 1 2 (1 )4 2 (1 ) ...4 2 (4 ) sum(seq(4 2 , , 1 , 4 , )) 504 4 2 4 Opp f  f   f  y x  3 1 1 1 1 1 2 2 2 2 4 1 (1 ) 1 (2 ) 1 (3 ) 1 (4 ) 6 Opp f  f  f  f  4

a. De intervallen zijn dan 1 breed. Het midden van het eerste interval is 1 2

1 en van het laatste deelinterval 1

2

4 .

b. Elk interval is dan 0,4 breed. Het midden van het eerste deelinterval is 1,2 en het laatste 4,8.

c. Je neemt de som van de oppervlakte van de balkjes met breedte 0,4.

d. Opp0,4 (1,2) 0,4 (1,6) ... 0,4 (4,8) 0,2 ( (1,1)f  f   f   f f(1,3) ... f(4,9))

1

( (0,4 , , 1.2, 4.8, 0.4)) 30,72

Opp sum seq y x 

5

a. ( (1,2)f f(1,6) ... f(6,8)) 0,4 sum seq( (0,4y1, , 1.2, 6.8, 0.4)) 18,08x 

b. De grafiek daalt onder de x-as. Dus voor bepaalde waarden van x is de functiewaarde negatief. 6 a. De deelintervallen zijn 8 20 0,4 breed 1 0,4 ( 1,8) 0,4 ( 1,4) ... 0,4 (5,8) sum(seq(0.4 , , 1.8, 5.8, 0.4)) 130,56 Opp f f f y x               b. Opp0,08 ( 1,96) ... 0,08 (5,96) f   f  1 ( (0.08 , , 1.96, 5.96, 0.08)) 130,66 sum seq y x     7

a. 20 deelintervallen: de breedte is dan 0,25

0,25 (2,125) ... 0,25 (6,875) 68,36

Opp f   f  

b. De functiewaarden (lengte van de staven) liggen onder de x-as (zijn dus negatief) 8

a. 10 intervallen: Opp sum seq ( (0.3 , , 0.15, 2.85, 0.3)) 8,9775y1 x 

20 intervallen: Opp sum seq ( (0.15 , , 0.075, 2.925, 0.15)) 8,994375y1 x 

100 intervallen: Opp sum seq ( (0.03 , , 0.015, 2.985, 0.03)) 8,999775y1 x 

b. De oppervlakte zal steeds dichter bij 9 komen. c. Dezelfde berekeningen, alleen nu met y₁ x

10 intervallen: Opp3,473 20 intervallen: Opp3,467

9

a. F p(  p) is de oppervlakte van het gebied dat begrensd wordt door de grafiek van f en de lijnen x 0 en x   p p; het blauw en rood gekleurde gebied. F p( ) is het gebied onder de grafiek en links van de lijn xp; het blauw gekleurde vlak. Het verschil van deze twee is dus precies het rood gekleurde vlakdeel.

b. De bovensom wordt bepaald door een rechthoek met hoogte f p(  p) en de onder(som) door een rechthoek met hoogte f p( ). De breedte van de rechthoek is

p

 .

c. Als p naar 0 nadert krijg je: f p( )F p'( )f p( )

10 a. 1 2 1 2 6 2 '( ) 3 ( ) F p   p  p f p b. C0 c./d. 6 6 3 2 2 2 1 1 1 2 2 2 3 0 0 ( x dx)  ( x dx)  ( x dx F)  (6)F(3)







e. 6 6 2 3 1 1 1 1 2 6 ₃ 2 2 3 ( x dx) _ x _  6 4 1



11

a. 10 intervallen: sum seq( (0.3y1, , 1.15, 3.85, 0.3))x  1,5225

100 intervallen: sum seq( (0.03y1, , 1.015, 3.985, 0.3))x  1,5

b. MATH optie 9 (fnInt):

4 2 1 (x 7x10)dx  1,5



c. _{F x'( )x}2_7x10 d. 4 4 2 1 3 1 2 1 5 3 2 ₁ 3 6 1 (x 7x10)dx _ x 3 x 10x_ F(4)F(1) 5 6  1,5



12 a. _{F x( ) 3 x}3 _{b. G x( )x}4 _{c. H x( ) 5 x d. K x( ) 3 x}5 13 a. 3 3 2 1 3 3 ₀ 0 ( )x dx _ x _ 9



b. 2 2 121 3 3 ( ) G x  x x  x 1 2 2 1 3 2 '( ) 1 G x   x  x c. 3 ₃ 2 3 ₀ 0 ( x dx) _ x x_ 2 3



d. 2 3 3,464101... 14 _{6x x} 2 _0 6 6 2 2 1 3 3 ₀ 0 (6 ) 0 0 6 (6 ) 3 36 x x x x x x dx x x         _  _ 



15 a. 1 7 7 8 '( ) 8 ( ) F x   x  x f x b. 1 10 10 ( ) G x  x 16 a. f x( ) 1₃ x 3 x    b./c. 1 2 2 2 1 ( ) 2 F x x x     

17 p1 wordt dan 0 en delen door 0 is flauwekul! 18 a. 3 5 4 5 ( ) F x  x x b. _{g x( ) 2 x}2_3x4 2 3 3 2 3 3 3 3 1 ( ) G x x x x x      c. 1 3 2 2 3 ( ) h x x  x x 3 331 3 3 3 10 10 ( ) H x  x  x  x d. _{k x( ) ( x}2_2)2 _x4 _4x2 _4 1 5 1 3 5 3 ( ) 1 4 K x  x  x  x 19 a. 5 3 2 2 3 3 3 2 3 1 1 ( ) x x 2 3 2 3 f x x x x x x           b. 3 3 3 2 2 1 7 3 2 ₁ 9 1 ( ) 3 23 f x dx _ x _ x_ x _{ }  



20 a. F x1'( ) 3 x26x 3 f x( ) ( ) 1 u x  x en 3 2( ) F u u 2 2 2 2 2'( ) 1 3 3 ( 2 1) 3 6 3 ( ) F x   u  u  x  x  x  x f x b. F x2( ) ( x1)3 x33x23x 1 F x1( ) 1 c. 3 3 3 2 1 1 ( ) 3 3 63 7 56 f x dx _x  x  x_   



en 3 3 3 1 1 ( ) ( 1) 64 8 56 f x dx _ x _   



d. De constante verdwijnt door de aftrekking. e. _{F x( )x}3_3x2_{3x c} 21 a. 2 5 4 1 2 5 2 ( ) 3 F x  x x  x  x c b. 3 2 2 3 2 1 2 1 2 3 3 3 3 ( ) g x  x  x  x  x 1 3 4 221 9 15 ( ) G x  x  x c c. 5 5 1 3 3 3 1 ( ) 1 1 3 h x x x x x          1 6 1 2 6 6 ( ) H x _{ } x _ x _{ }x c d. 3 2 2 2 3 5 ( ) x x 3 5 k x x x x        1 2 1 1 2 2 2 5 ( ) 3 5 3 K x x x x x x x       

22

a. Bij het differentiëren van G(x) met de kettingregel wordt de exponent één lager en dus lijkt hij al heel erg op g(x).

b. 1 121 1 121 2 2 '( ) 2 (3 4) 3 7 c (3 4) G x  c x    x c. 1 2 7 c 1 2 15 c  d. 2 212 15 ( ) (3 4) G x  x 23 a. 1 5 2 ( ) ( 7) F x  a x b. _{g( ) 4(x  x2)}3 4 4 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 5 5 2 1 5 2 '( ) 5( 7) 2 ( 7) 2 1 ( ) ( 7) F x a x a x a a F x x            2 3 3 2 2 ( ) ( 2) '( ) 2( 2) 2 ( 2) 2 4 2 2 ( ) 2( 2) ( 2) G x a x G x a x a x a a G x x x                         c. _{h x( ) 2(1 6 )  x} 3 _d. 1 2 ( ) 3 5 (3 5) k x  x  x 2 3 3 1 6 2 1 6 2 ( ) (1 6 ) '( ) 2 (1 6 ) 6 12 (1 6 ) 12 2 1 ( ) (1 6 ) 6(1 6 ) H x a x H x a x a x a a H x x x                     1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 9 1 2 9 ( ) (3 5) '( ) 1 (3 5) 3 4 (3 5) 4 1 ( ) (3 5) K x a x K x a x a x a a K x x              24

a. Functie f is een vierdegraads-functie. Een primitieve van f is dan een vijfdegraads-functie. De grafiek die getekend is, is de grafiek van een evengraads-vijfdegraads-functie.

b. _{f x( ) 4( x}2_3)2 _4(x4 _6x2_{9) 4 x}4_24x2_36 4 5 3 5 ( ) 8 36 F x  x  x  x c 25 a. De oppervlakteF p( )F(0)F p( ) 0 F p( ) b. F(2) 8 , 1 2 (3) 13 F  , F(4) 16 en 1 2 (5) 12 F 

c. Omdat voor x 4 is f x( ) 0 en de oppervlakte onder de x-as wordt er dan vanaf getrokken.

d. De oppervlakte van het vlakdeel boven de x-as is dan even groot als de oppervlakte van het vlakdeel onder de x-as.

26 a. 3 3 2 1 3 1 2 1 3 2 ₀ 2 0 (x 3x2)dx _ x 1 x 2x_ 1



b. 5 5 2 1 1 (4x9)dx _2x 9x_ 12



c. 12 9 ₉ 2 2 2 5 5 4 4 84 x x dx_ x _ 



d. 4 ₄ 2 1 1 2 11 2 4 3 ₁ 12 1 ( x x dx) _ x  x x_  



e. 3 3 3 3 2 6 3 8 5 5 15 3 ₁ 1 1 6 5x dx x dx x  _  _   _{ } 





f. 21 12 4 4 ₄ 1 2 1 3 3 0 0 0 2 9 2 x dx  2(9 2 ) x dx  _ (9 2 ) x _ 17





27 a. 3 3 2 3 1 1 3x dx  _{ }x 26



, 6 6 2 3 3 3 3x dx  _{ }x 189



en 6 6 2 3 1 1 3x dx  _{ }x 215



b. 3 6 6 2 2 2 1 3 1 3x dx 3x dx  3x dx







c. 4 4 3 4 2 2 8x dx _2x _ 480



en 4 4 3 1 4 4 ₂ 2 60 x dx_ x _ 



4 3 4 3 2 2 8x dx  8 x dx





28 a. 3 3 2 3 1 1 3x dx  _{ }x 26



, 3 3 2 1 1 2x dx  _{ }x 8



en 3 3 2 3 2 1 1 (3x 2 )x dx _x x _ 34



b. 3 3 3 2 2 1 1 1 (3x 2 )x dx 3x dx 2x dx







29 a. 1 3 3 3 2 2 2 1 3 2 3 ₂ 3 2 1 2 (x 2)dx (x 2)dx (x 2)dx x 2x 1           _  _ 







b. 11 11 4 4 1 2 2 2 ₁ 1 4 1 4 4 4 (2 )dx (2 )dx (2 )dx 2x 4x 9 x x x         _  _ 







c. 5 5 5 5 2 2 2 2 2 1 1 (x )dx (x )dx 2x dx x 21 x x       _{ } 







30 a. v A t  , dus A v t  b. gemiddelde snelheid: (0) (6) 4 10 2 2 7 v v _  _{ m/s}

c. De afgelegde afstand is dan 7 6 42  m 1 2 6 4 6 6 42 Opp      d. -e. 6 6 2 3 1 1 3 9 ₀ 0 24 A

_

t dt _ t _  m 31 a. 3 3 2 0 0 (2x1)dx _x x_ 12



b. Waarschijnlijk denk hij dat

2 3 3 2 0 0 ( ) ( ) f x dx _{ } f x dx_  





c. 3 3 3 2 2 4 3 2 3 ₀ 0 0 (2x1) dx  (4x 4x1)dx _ x 2x x_ 57

d. 12 12 3 3 ₃ 1 1 1 1 3 3 3 0 0 0 2x1dx (2x1) dx _ (2x1) _ 2 7





32 a. 2 1 3 2 6x2x  x 3 2 2 1 1 1 2 2 6 2 ( 4 12) 2 ( 6)( 2) 0 0 6 2 x x x x x x x x x x x x                b. 2 2 2 2 2 3 2 3 ₀ 3 0 (6x2 )x dx_3x  x _ 6



c. 2 2 3 4 1 1 2 8 ₀ 0 2 x dx _ x _ 



d. 2 2 3 3 6 2 4 Opp   e. 2 2 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ( ) g(x)) Opp



f x dx



g x dx 



f x  dx 33 a. 2 2 2 3 2 3 2 1 4 2 3 2 2 4 3 ₀ 3 0 0 (x 8x 15x3 )x dx  (x 8x 12 )x dx_ x 2 x 6x _ 6





De totale oppervlakte is 1 3 49 b. 6 6 6 3 2 3 2 1 4 2 3 2 4 3 ₀ 0 0 (3 x ( x 8x 15 ))x dx  ( x 8x 12 )x dx _ x 2 x 6x _ 36





De grafiek van g x( )f x( ) ligt voor 0 x 2 onder de x-as en voor 2 x 6 boven de x-as. De uitkomst is de oppervlakte van het rechter gebied min de oppervlakte van het linker gebied.

34 7 2 x  3 x1 1 1 2 2 3 ₃ 1 1 1 2 3 3 1 1 ( 7 2 (3 1)) (7 2 ) 3 ( 1) 2 Opp x x dx x x x     



     _     _  35 _x3_{6x x}3_4x2_12x 3 2 2 0 3 3 3 2 3 2 3 1 0 0 3 3 2 3 2 1 0 0 3 4 3 2 4 3 2 1 1 1 1 1 2 3 ₁ 2 3 ₀ 6 2 4 6 2 ( 2 3) 2 ( 3)(x 1) 0 0 3 1 (( 6 ) ( 4 12 )) (( 4 12 ) ( 6 )) (2 4 6 ) ( 2 4 6 ) 1 3 1 3 1 x x x x x x x x x x x Opp x x x x x dx x x x x x dx x x x dx x x x dx x x x x x x                                            _   _  _   _  









1 2 2 3 22 23 36 a./b. 1 2 1 1 1,57 1dx x   



37 a. 4 3 2 1 2 3 21,15 x x dx    



c. 9 1 15 15,32 2 dx x x 



b. 3 2 2 3 log(x 1)dx 9,83   



5 5 (2x 2 )x _dx 0   



38 a. Voer in: 1 2 2 x y   en y₂  21x22 intersect: (-1, 1) en (2, 8) b./c. GR: 2 1 ( 21_x 22 2 2 )x _dx 6,12     



39 Voer in: y12sin(2 )x en y2  1 cos( )x

intersect: x 0,581  x1,194  x

1,194

0,581 1,194

(2sin(2 ) 1 cos( )) (1 cos( ) 2sin(2 )) 2,88

Opp x x dx x x dx  



  



   40 a. 5 5 2 0 0 9,8t dt _4,9t _ 122,5



meter.

b. Haar snelheid op tijdstip t 5 is v(5) 49 m/s. In 6 seconden is de snelheid afgenomen tot 4 m/s. De snelheid neemt dus per seconde af met 49 4

6 7,5m/s.

c. v t( ) 7,5t b

Deze gaat door (5, 49): 49 7,5 5   b 37,5b

b86,5 ( ) 7,5 86,5 v t   t d. 11 11 2 5 5 ( 7,5 t86,5)dt  _ 3,75t 86,5t_ 159



meter.

e. In totaal legt ze af: 122,5 159 70 4 561,5    meter. 41 a. f x'( ) 2x '(1) 2 (1) 3 3 2 1 2 5 : 2 5 f en f b b b k y x               1 1 2 2 0 0 1 3 2 1 1 3 ₀ 3 ( 2 5 (4 )) ( 2 1) G Opp x x dx x x dx x x x            _   _ 





42 a. 1 2 2 2 18 x x 6x18 2 1 1 2 2 1 6 1 ( 4) 0 0 4 (0, 18) (4, 10) x x x x x x en       

b./c. 1 2 2 18 x 0 0 4 6 2 2 2 1 1 2 2 6 0 4 (18 ) ( 6 18) (18 ) Opp x dx x x dx x dx  



 



  



 2 ₃₆ 6 6 x x x      0 4 6 3 3 2 3 1 1 1 6 ₆ 3 ₀ 6 ₄ 1 2 3 3 18 3 18 18 72 45 10 128 x x x x x x x        _  _ _   _ _  _      43 a. _{x x}2_{( 1)}2 _{x x}2₍ 2 _{2x 1) x}4_2x3_x2 b. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( 1) 2 1 2 1 ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) x x x x x x f x x x x x x x x x x x                 c. 2 2 2 2 2 4 3 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ( 1) ) 2 ( 1) x dx dx x x dx x x x x x    _{     }   







2 2 1 1 1 1 1 6 2 3 1 1 1 1 ( 1) 1 x x x x        _   _   _{ }         44 a. _{I   ( (0,1)) 0,2f} 2_{   ( (0,3)) 0,2 ...f} 2_{    ( (0,9)) 0,2f} 2_{ } 2 1 ( (0.2 , , 0.1, 0.9, 0.2)) 0,108 sum seq  y x    

b. De inhoud is de som van de inhoud van n cilinders met straal f m( _i) en hoogte x.

c. 2 1 ( (0.05 , , 0.025, 0.975, 0.05)) 0,105 I sum seq   y x  d. _{f x}2_{( ) ( x x )}2 _{ x 2x x x}2 e. 12 1 ₁ 2 2 1 2 4 1 3 1 2 5 3 30 0 0 (x 2x x x dx) x x x 

_

  _   _  

f. dan ontstaat er een kegel waarvan het grondvlak een cirkel is met straal 4 en de hoogte is 12. g. 12 12 12 2 2 3 1 1 1 3 9 27 ₀ 0 0 ( ) 64 I 



x dx 



x dx _ x _   h. 1 1 2 3 3 ( 4 ) 12 64 I     G h     en dat klopt!

Test jezelf

T-1

a./b. Opp 2 (1) 2 (3) 2 (5) 2 3 2 5 2f  f  f       57 16 2 57  31,1

c. De breedte van elke kolom is 0,1. Het midden van het eerste deelinterval is 0,05.

d. Opp0,1 (0,05) 0,1 (0,15) ... 0,1 (5,95) 31,32f  f   f  T-2 a. 3 3 2 2 3 3 ₃ 3 2x dx x 18 18 36     _{ }    



b. 5 5 2 1 2 ₁ 1 (3x5)dx _1 x 5x_ 16



c. 7 7 5 1 6 1 2 6 2 ₇ 7 (x 7x 1)dx x 3 x x 14       _   _ 



d. 5 5 5 2 2 4 2 1 5 3 5 ₀ 0 0 (x 3) dx  (x 6x 9)dx _ x 2x 9x_ 920





T-3 a. 2 2 1 3 3 3 1 ( ) 2 2 3 f x x x x x        2 3 1 2 2 3 3 6 3 2 1 ( ) 6 F x x x x x        b. g x( ) x x 3x2 x 2 x121 3x221 2x 21 x        1 1 1 2 2 2 2 6 3 2 6 3 2 2 5 7 5 7 ( ) 4 4 G x  x  x  x  x x  x x  x c. 1 4 10 ( ) (5 3) H x  x d. ( ) 6 6(4 1) 12 4 1 k x x x      1 2 ( ) 3(4 1) 3 4 1 K x  x  x T-4 a.

b. De grafiek van g is puntsymmetrisch in de oorsprong. c. ( ) ( ) 4 ₂ 1 ₂ 1 1 x x x f x g x x x         4 2 2 2 2 2 1 ( 1)( 1) 1 1 1 x x x x x x          d. 1 1 2 1 3 1 3 ₁ 3 1 (x 1)dx x x 1      _  _  



T-5 4 4 ₄ 2 2 3 1 1 1 2 1 8 8 24 3 ₀ 3 0 0 (( 2) (4 4)) ( 4 6) 2 6 5 Opp



x   x  dx 



x  x dx _ x  x x x_ 

T-6 a. f(1)_16₁3 en _{g(1) 1 } 2_{log(4) 3} 6 4 4 (4) 1 f  _  _{en g(4) 1 } 2_{log(1) 1} b./c. GR: 4 2 1 6 (1 log(5 ) ) 1,81 Opp x dx x x      



T-7 a. 8x₃ 6 2₂ x x  _ 2 3 3 2 2 (8 6) 2 6 6 6 ( 1) 0 x 0 1 (1, 2) x x x x x x x x          b. 4 4 4 4 2 3 1 2 11 16 3 2 2 3 ₁ 1 1 1 8 6 2 6 6 ( x ) ( ) (6 6 ) 6 3 1 Opp dx dx x x dx x x x x x x      _{ } 



 



 



  _  _  c. ₃ 2 3 1 2 ₂ 1 1 1 8 6 3 8 (8 6 ) 8 3 5 a a a onder f x Opp dx x x dx x x x a a      _{ } 







  _  _    1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 3 8 ( 5) 2 2 3 4 2 2 2 3 2 0 2 4 3 ( 1)( 3) 0 1 3 a a dx x a a x a a a a a a a a a a a        _{     }                



Extra oefening – Basis

B-1 a. b. 1 2 2 (1) 2 (3) 2 (5) 2 3 2 1f  f  f       2 1 11 c. sum seq y( ( , , 0.5, 5.5, 1) 11,461 x  B-2 a. 3 3 2 0 0 (2x3)dx _x 3x_ 18



b. 3 3 2 3 2 2 2 (3x 4 )x dx x 2x 45      _  _ 



c. 2 2 3 1 2 1 4 2 2 ₂ 2 ( x 6 )x dx x 1 x 0        _  _ 



d. 4 4 5 3 6 4 1 1 (12x 8 )x dx _2x 2x _ 7680



B-3 a. 2 3 2 3 2 3 ( ) 2 3 f x x x x x       1 3 2 2 2 2 3 ( ) 2 2 F x x x x x         b. _{g x( ) 4 (4 x x}2_{20x25) 16 x}3_80x2_100x 4 2 3 2 3 ( ) 4 26 50 G x  x  x  x c. h x( ) 4 (2  x5)121 1 2 4 ( ) 4 (2 5) 2 5 H x x x         d. h x( ) 3(5 2 )  x 12 H x( )  (5 2 )x 121 e. 3 3 1 ( ) (2 1) (2 1) l x x x      2 1 4 2 1 ( ) (2 1) 4(2 1) L x x x        f. 2 3 2 3 1 2 ( ) 2 m x x x x x       1 2 2 1 1 ( ) M x x x x x         B-4 a. 3 10 10 2 3 2 6 6 6 ( 2 5) ( 2 5) ( 2 5) 2x 5 x dx 2x 5 x dx 2x 5 x dx              







1 1 1 1 2 2 2 2 10 ₁₀ 1 1 2 1 1 3 ₂ 3 3 3 2 (6(2 x 5) (2x 5) )dx 6(2x 5) (2x 5) 71 6 65        _    _   



b. 3 3 3 3 2 2 2 2 1 2 1 3 2 2 3 ₁ 3 1 1 1 (x x 3)dx (x  x 3)dx  (x x dx ) _ x  x _  4







B-5 a. _x3_2x2_{7x x}2_3x 3 ₃ 2 _{4 (} 2 _{3 4) ( 4)( 1) 0} 0 4 1 x x x x x x x x x x x x                (0, 0) (4, 4) (-1, 4) x y 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 7

b. 0 0 0 3 2 2 3 2 1 4 3 2 3 3 4 ₁ 4 4 1 1 (x 2x 7x (x 3 ))x dx (x 3x 4 )x dx x x 2x 0             _   _    





4 4 4 2 3 2 3 2 1 4 3 2 4 ₀ 0 0 (x 3x(x 2x 7 ))x dx ( x 3x 4 )x dx  _ x x 2x _ 32





Extra oefening – Gemengd

G-1 a. 12 12 2 1 3 3 1 4 4 16 ₀ 0 (3 ) 432 Opp

_

x  x dx_x  x _  b. g x_a( ) 0 ( 12) 0 0 12 ax x x x      c. 12 0 ( (ax x 12))dx 432 

_

  d. 12 2 2 1 3 4 0 (ax 12ax3x  x dx) 432



12 2 0 12 3 2 1 3 ₀ ( 12 ) 432 6 576 864 432 288 432 1,5 ax ax dx ax ax a a a a      _  _      



_{3 2 3 4} 12 1 1 3 6 16 ₀ 432 288 432 432 288 864 3 ax ax x x a a a                G-2 a. 2 1( ) ( 1) 0 f x  x   x x x  b. _{( )} 2 _{( ) 0} b f x  x bx x x b  1 1 2 1 3 1 2 1 3 2 ₀ 6 0 0 1 ( ) x x O x x dx x x       



  _  _  2 0 0 ( ) 36 b x x b O x bx dx     



  3 2 3 1 1 1 3 2 ₀ 6 3 36 216 b x bx b b         c. f_b'( )x  2x b b6 '(0) b f b y bx   2 '( ) b f b b y bx b      2 2 1 2 2 bx bx b bx b x b     

De coördinaten van C zijn: 1 1 2

2 2

( b b, )

Oppervlakte van de driehoek: 1 1 2 1 3 2 b 2b  4b 3 3 1 1 6 12 : : 2 :1 onder boven

G-3 a. 4 7 3 1 1 2 3 0 4 8 (3 9 3 7) ( 4) Opp



x dx     



x dx b. 12 4 ₇ 1 4 3 5 1 1 1 2 1 3 2 12 ₄ 3 2 4 12 0 5 37 ( 4) 42 37 6 73 Opp_ x _  _ x _    

Uitdagende opdrachten

U-1 a. 1 2 6 6 ( ) (1 ) F x  x b. G x( )a(1x3)121 c. H x( )a(1x2)2 1 2 3 2 1 2 2 3 1 2 1 2 2 9 '( ) 1 (1 ) 3 4 1 ( ) 4 1 G x a x x ax x g x a a        2 3 2 3 4 (1 ) 1 4 '( ) 2 (1 ) 2 ( ) 4 1 ax x H x a x x h x a a             U-2 a. 5 5 1 4 5 5 2 1 1 1 1 1 Opp dx x x     _{ }       



b. 1 _{1 1} 1 k k Opp     

c. als k heel erg groot wordt, nadert 1

k naar 0. De oppervlakte nadert 1.

d. 1 1 1 1 2 1 1 1 _{k k} 1 k k Opp dx x x     _{ }        



e. als k naar 0 nadert wordt de oppervlakte heel erg groot. f. 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) 2 1 1 0,0002 k k k k k k k k k k k k k k dx x x           _{ }          



( 1) 5000

k k  . Dit geldt voor het eerst als k 71. U-3

a. Voor 0 x 1 is sin( ) 1x  en dus geldt:

1 1 1 2 2 1 3 1 3 ₀ 3 0 0 sin( ) x  x dx x dx _ x _ 





b. Zie a. 1,5 1,5 1,5 2 2 1 3 1 3 ₀ 8 0 0 sin( ) 1 x  x dx x dx _ x _ 





c. dit is niet uitdagend; door te proberen: k 1,51

U-4

2 2 2

2 2

0 0 0

(2x 4x )dx  2x dx 4x )dx







: de som van de oppervlakte van een

driehoek en een kwart cirkel: 1 1 2