Verzameling uitgewerkte examenopgaven t.b.v. de cursus "discrete mechanische systemen" (4A11.0)

"discrete mechanische systemen" (4A11.0)

Citation for published version (APA):

Schoofs, A. J. G. (1982). Verzameling uitgewerkte examenopgaven t.b.v. de cursus "discrete mechanische systemen" (4A11.0). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Published: 01/01/1982

Document Version:

Publisher’s PDF, also known as Version of Record (includes final page, issue and volume numbers)

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

VERZAMELING UITGEWERKTE EXAMENOPGAVEN

t.b.v. de cursus "Discrete Mechanische Systemen" ( 4 A 1 1 . 0 ) A. Schoofs okt. 1982

OPMERKINGEN

1 .

De opgaven stammen af van examens van de vroegere cursus Fysica 10.

Niet meer relevante opgaven zijn weggelaten.

De examens zijn genummerd : T (examennr.). (blz.nr.). De uitwerkingen lr It :

u

( I t ) . ( ) . Per examen kunnen "gaten" zitten in :

- de nummering der opgaven - de nummering der bladzijden.

2. De hier opgenomen opgaven zijn niet geheel in overeenstemming met de huidige collegestof.

Er is bijv. te veel aandacht voor :

-

snedemethode" bij vakwerken.

Er is weinig of geen aandacht voor bijv. : - speling

-

knik

-

manipuleren met stijfheidsmatrices (bij vakwerken). 11

3. De examens "Fysica 10" van jan.'82 en juni '82 zijn onverkort opgenomen teneinde een indruk te geven van de hoeveelheid werk wat een 3 uren durend examen kan omvatten. De voor de huidige cursus niet meer relevante vragen of onderdelen daarvan, zijn aangegeven.

4 . Notatie.

In deze opgaven worden vectoren aangeduid met bijv. - e in plaats van e (zoals in de huidige syllabus). -t

Gegeven is een systeem van t m e deeltjes met massa m1,respectievelijk Tussen de twee deeltjes bevindt zich een overdrachtselement waar- van de konstitutieve vergelijking gegeven wordt door:

m2 *

dk

. e . . , E,

E,

. . . a y t)=O dF

f ( F ,

E’

zie figuur

1

voor de definitie van

F

en R b i j her overdrachtselement.

fig. 1: overdrachtselement.

De positie van de deeltjes wordt gegeven door rl(t), respektievelijk r (t). Door de omgeving wordt op het systeem alleen een kracht uitge- -2

oefend op m2: F,,(t>) zie fig. 2 .

I c _ :IC, 2

x,L

, , t e e m

Ga na of de volgende beweringen korrekt zijn.

2

1.3.Stel

ri=

2

Cml en 8t .e 37 Cml

De Iconstitutieve vergelijking van het overdrachtselement luidt:

De verandering van de potentiele energie van de wisselwerking van t=O Csl tot t-1

[SI

bedraagt: 1024 C N d .

le4.De verandering van de kinetische energie van het systeem in een bepaald tijdsinterval, is gelijk aan de arbeid die door

F+,,

in dat-

zelf de tijdsinterval wordt verricht.

Gegeven i s een systeem, bestaande uit vier massa's, die alleen langs de x-as kunnen bewegen. (Zie figuur 3)

De plaats van het massamiddelpunt van dit systeem wordt aangegeven met x Em!.

Voor de massa's geldt: m I =

1

[kgl; m2= 2 Lieg!; z3= 3 [kg] en m4=

4

[kgl. m

Ga na of de volgende beweringen korrekt zijn.

4 2,2.Als op een zeker ogenblik de snelheid van het massamiddelpunt

Am=

4 Cms

1

dan moet de tataie in het systeem opgehoopte kinetische I energie ge-

A B C D

E

F G H I J K I L 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 II j I J K K K L

1

in positieve y-richting. in F: een kracht van 30 CkNI in positieve x-richtizig. in K: een kracht van 20 LkN1 in negatieve y-richting.

in

alle niet genoemde knooppunten en b i j de genoemde knooppunten in de niet genoemde richting: een kracht Van 0 CkNI.

Ga na o f de volgende beweringen korrekt zijn

3.1.0~ het vakwerk wordt in A een kracht uitgeoefend die een grootte heeft van 30

c

k N

1

3.2.In G werkt op het vakwerk een kracht van 60 CkNlin positieve x-richting,

I(

Tekenafspraken voor de staafkrachten worden gegeven door onderstaande figuur

.

Stel waar nodig:

fi=

1,4

II

3.3.FI4= +28 CkN1

3.4.Als F4= +30 LkN1; Fg= -20 CkNl; F I 6 = -28 CkNI; F I 7 = O CkNI en F I B = +28 CkWl dan is F3= +50 CkNI.

Het in figuur

1

geschetste systeem bestaat uit twee deeltjes met massa m 1> respectievelijk m 2; twee ideale veren met veerstijfheid kl,resp. k2 en ongespannen lengte il,resp. 2 2 en een overdrachtselement tussen de twee deeltjes.

De wisselwerking met de omgeving is zodanig dat de deeltjes louter in de richting

5

kunnen bewegen. Verder geldt dat de "wand" geen verplaat- sing toestaat. De omgeving oefent op de deeltjes de krachten P 1 resp. P2 uit.

Wet overdrachtselement wordt gekarakteriseerd door een konstitutleve vergelijking, waarin de

in

fig.2 gegeven kracht F en de werkafstand

dF dll'

(en eventuele afgeleiden) voorkomen: f (F,

af,.

.

-.

, t ,

-

dt'

. .

, , p t)=O

Beantwoord de volgende vragen.

S c h r i j f de nodige en voldoende (differentiaal) vergelijkingen op, waar- mee de beweging van beide deeltjes bepaald kan worden, indien de begin- kondities gegeven zouden zijn.

In het antwoord moet duidelijk worden aangegeven welke onbekende groot- heden en welke betrekkingen een rol spelen. Bet verdient aanbeveling

on het aantal onbekenden en het aantal betrekkingen zo klein mogelijk te houden.

Vraag 1

I >

Wij beschouwen een systeem dat bestaat uit een deeltje I met massa m een deeltje 2 met massa m2 en een overdrachtselement waarvan de konsti- tutieve vergelijking gegeven wordt door F = f

(%,a>

De grootheden

(de doorgeleide kracht) en R ( de werkafstand) zijn i n fig.2 weergegeven. F

De positie van de deeltjes wordt gegeven door (t), resp. 1: (t) Er geldt : -2 r l ( t ) = e + 4te Cm3 7L -Y

-

2 r (t) = 2te + 3t e Cml -2 -X 37

1 .

Bepaal de poçitievektor I r(t) van het massamiddelpunt.

2. Bepaal de kinetische energie van het systeem op tijdstip t=2CsI

3 , Als voor het overdrachtselement geldt: F= 2R-

1

[NI bepaal dan de elastische energie die op het tijdstip t=2 [ S I in het element is opgehoopt: a

4 . Als dezelfde konstítutieve vergelijking gehanteerd wordt als in de

voorgaande vraag, dus F=SR-

1

[NI, bepaal dan de arbeid die in het tijdsinterval van t=O Csl tot t=2 [slaan het systeem is toegevoegd.

Een vakwerk wordt gedefinieerd door onderstaande gegevens.

In

een orthogonaal x-y-koördinatensysteem is de geometrie van de knooppunten

(knptn) vastgesteld, benevens de topologie.

7

geometrie

I

-

cnp t _I A B

c

D E F G H I __I

-

x iml O 4 8 12 i6 O 4 8 1 2 _L__

-

I

t op0 log ie staaf knptn

1

2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1

12 13 14 15 .e__

AF

AB AG FG BG BC BH GH CH CD CI HI DI DE

IE

Kinernatische randvoorwaarden:

In A i s de verplaatsing in x- en y-r5chtlr.g enderdrukt. In F i s d e verplaatsing in x-richting onderdrukt.

~n PI, C, D , G, H en I: een kracht In F: een kracht van 5 CkNl

In E: een kracht van 3 CkNl

van 4

CkN1

alle in negatieve y-richting

De kracht i n de staaf E geven we aan met Si, waarbij Si positief is als in de staaf een trekkracht optreedt.

2.1. Bereken de kracht, door de omgeving in A op het vakwerk u i t -

geoef end.

2.2. Bereken S I .

2 , 3 . Bereken S I 3 .

2 . 4 , Bereken S 7 .

2.5. Wanneer de uitwendige kracht in E vervalt, hoe groot wordt dan S 7 1

Vraag 3

I n h e t systeem u i t f i g .

1

bevinden z i c h een d e e l t j e 1 en een d e e l t j e

2,

b e i d e met massa m. Deze d e e l t j e s kunnen a ï l é é n i n h e t vlak v a n t e k e n i n g

i n h o r i z o n t a l e r i c h t i n g (de r i c h t i n g

2)

bewegen. wand 7 ,

-Af

7 -ders&eaodfiy uiia

Aan d e e l t j e

1

i s een starre massaloze staaf AB bevestigd, d i e zodanig i s ondersteund d a t AB s t e e d s v e r t i k a a l (dus l o o d r e c h t op e> b l i j f t . Deze ondersteuning kan géén k r a c h t i n - e - r i c h t i n g u i t o e f e n e n . P

r e s p . d e e l t j e 2 worden u i t g e o e f e n d . D e p o s i t i e v a n d e d e e l t j e s w o r d t v a s t g e - legd m e t x I p r e s p . x2. De getekende v e r e n z i j n i d e a a l met veer-konstante k l ,

r e s p . k 2 en k _{Tussen d e e l t j e 2 en}

h e t punt A b e v i n d t z i c h een overdrachtselement ( z i e ook f i g . 2 ) . H e t verband tussen de i n fig.

2

getekende k r a c h t F en d e werkâfstmd 8 i s een r e l a t i e

en P

I 2 z i j n d e k r a c h t e n I n - r i c h t i n g , d i e door d e omgeving op d e e l t j e

1 ,

e n sngespznoien l e n g t e R I , r e s p . _{2 en gg}

3

van d e V Q E ~ f(F9$,---+R,Eo,----) = 0- Gegeven i s nog d a t de wanden i n f i g .

star z i j n en geen v e r p l a a t s i n g kunnen ondergaan en d a t d e a f s t a n d t u s s e n d i e wanden g e l i i j k is aan 2b.

I

3.1 Geef d e b e w e g i n g c v e r g e l i j k i n g e n Voor d e d e e l t j e s

1

en 2 .

3.2 A l s v o o r d e k o n s t i t u t i e v e v e r g e l i j k i n g van h e t o v e r d r a c h t s e l e m e n t g e l d t : F(t)=O b e p a a l dan d e p o s i t i e van d e d e e l t j e s

1

en 2 v o o r h e t g e v a l h e t systeem i n r u s t i s en bovendien g e l d t : P 1=P 2=O.

i . Een vakwerk wordt gedefinieerd door onderstaande gegevens. In een ortliogo- n a a l x

- y

-

koördinatensysteem is de geometrie van de knooppunten (knptn) vastgelegd, benevens de topologie.

topologie

-

staaf

-

1

2 3 4 5 6 7

a

9 10

1 1

12 13 14 15 1 6 i7 knp

tn

AE

EH

HK

KJ

JG GD AB

BE

EP

FH HJ

n

FG 6C CD BF FC -.IIL-

-Xn E , PB en K een kracht van 2 CkN] in positieve x

-

richting.

De kracht in staaf i geven we aan met Si, waarbij Si positief is als in de staaf een trekkracht optreedt.

Bereken de krachto door de omgeving in A op het vakwerk uitgeoefend. Bereken S 2 $ S 3 $ S9’ S l 0 en S l l .

2 . Het systeem uit fig.] bevat een wagentje (massa m) dat zonder wrijving kan bewegen over een horizontaal vlak, Dit wagentje is door een ideale veer

(veerkonstante 2k, ongespannen lengte 2Ro) verbonden met de "vaste" wereld. Over dit wagentje kan een deeltje met massa

M

wrijvingsloos bewegen; oak dit deeltje beweegt uitsluitend in horizontale richting. Het is door een ideale veer (veerkonstante k, ongespannen lengte R ) verbonden met het wa- gentje en door een overdrachtselement bovendien verbanden met de vaste wereld. De konctitutieve vergelijking van dit element (zie fig.2) is F=f (E,

i , .

.

. I ,

waarbij R de werklengte

is.

O

Fig.2.

Op het wagentje w2rkt. nog een uitwendige voorgeschreven kracht P=P(t>. De positie wan ket wagentje en van het deeltje worden vastgelegd met de koörcii- naten-x em y .

I. Stel de bewegingsvergenijklng voor het wagentje en die voor het deeltje O p ,

en wal zodanig dac is d i e vergelijkingen als onbekenden nog slechts x en y optreden.

2 . A l s F = k(R

-

E ),bepaal dan x ea y als het systeem in rust is en boven- o

Net deeltje met massa m in het systeem uit figuur 2 kan slechts

in

x-richting be- wegen. De door de omgeving van het systeem op het deeltje uitgeoefende kracht is gelijk aan nul. Aan het deeltje zijn twee ideale veren

1

en 2 bevestigd

met

stijf- heid 2k, resp. k en ongespannen lengte g o , resp. 2R0. Het linkeruiteinde van veer

1 kan geen verplaatsing ondergaan. Plet behulp van een kruk-sleuf-mechanisme kan de verplaatsing van het rechteruiteinde van veer 2 worden voorgeschreven. De niet getekende geleiding van de sleuf zorgt ervoor dat de sleuf uitsluitend in x-rich- tins kan bewegen. Als de krukhoek $(zie figuur 2) wordt ingesteld op de waarde

T ïradj en het deeltje in rust is zijn de veren ongespannen.

i. @ ~ ~ r d t kgesteld op een vaste waarde. Bepaal de rustpositie van het deeltje

-2

als @=O[radf en ook als $= zviradl.

2

B i j d e volgende vragen is gegeven dat de kruk draait met een konstante hoeksnel- heid w=5Crad.s”’1. Op het tijdstip t=OCsl geldt $=T Cradl.

2 , Laat x de koördinaat zijn van het rechteruiteinde van veer 2 . Bepaal xe als

e

funktie van 6 .

3 . S t e l d e beweeingsvergelijking voor het deeltje op. Zûrg d 2 t de koördinaat x

In d e getekende constfuctie zijn AB en BC starre lijnelementen met lengte R, onderling scharnierend verbonden. CD

is

een lineaire veer met veerkonstante

k

en ongespannen lengte R.

op B werkt een vertieale, in de

tijd

constante kracht F, Gevraagd wordt:

?r

a. F = F(4) voor O

2

@

2 7

b. De waardeb) van <p waarvoor geldt: F = O

I . 2 .

F

Van faee g ~ t e k ~ ~ ~ e vakwerk hebben de staven

1

t/m 6 een lengte van 4 [ml.

Staaf 7 is 9Cml Pan

Ten gevolge van wind treden vier krachten

F

op ter grootte van 600CN1 Deze krachten staan loodrecht op Be.

Gevraagd wordt :

a. De componenten X en YA van de kracht in

A,

uitgeoefend door de vaCte A

wereld.

b, De componenten XB en YB van de kracht

in

B, uitgeoefend door de vaste wereld,

c . De trekkracht in staaf 8 .

d. De trekkracht in staaf 9.

Vraagstuk 2.

2 . 1 .

Het getekende systeem bestaat uit twee lineair elastische veren (beide met veerstijfheid k en ongespannen lengte E) en twee deeltjes 1 en 2, beide met massa m. De deeltjes kunnen alleen verticaal bewegen. Hun po- sitie wordt vastgelegd met de coördinaten x 1 en x2, De versnelling van de zwaartekracht is g , De potentiële energie van het systeem U is gelijk aan nul als x = R en x = ZE. Als het systeem in r ~ s t

is

en blijft? be- paal dan:

1 2

a. x en x2 1

Het getekende systeem bestaat uit een deeltje met massa m, een massaloze

starre staaf (lengte a ) , eem ideale veer (veerstijfheid k, ongespannen leng-

t e

9 4 2 )

en een ideale visceuze demper (dempingsconstante b). De ondersteu- ningen zijn ideaal. Op- de constructie werkt een kracht F(t) zodanig dat de hoek 4 een lineaire functie van t is:$ = wt.

Bepaal F op het ogenblik waarop Q, = r(rad)

1

3 . Het deeltje met massa m is via de lijnelementen 1 en 2 met de vaste wereld verbonden.

Element

1

is star, terwijl element 2 een lineaire veer is met veerkan- stante k en ongespannen lengte Ro = o .

De beweging speelt zich af in het horizontale vlak.

Ten tijde t = o is

4

= o en

+

iets kleiner

Hoe luidt de bewegingsvergelijking van m?

dan T . (in de verdere berekening mag $(t=o) = 7~ gesteld worden).

4. Een race auto (massa = 4000Ckgl) rijdt met een snelheid vo = 100[m~-~]. De luchtweerstand bedraagt Fw = cv2, waarin c = 0,5CN~~m-~].

Wanneer d e bestuurder de auto vrij laat uitlopen, welke afstand zal hij dan nog afleggen, vóór zijn snelheid afgenomen is tot 50Cmc"ll?

Opmerking

De differentiaalvergelijking

-

dx = ay2 met konstante a heeft ais algemene oplossing:

1

Y dY ax i- C. - = - 5 . m = 0,iCkgl

Van het deeltje luidt de op- lossing van de bewegingsverge- lij king:

x = 0,01C3 s i n 20t -I- 4 COC 20t + 151 Cml

Gevraagd: a. k

b. Lo

1 .

( 2 0 )

IF

Getekend dakspant en b e l a s t door d e

is b i j A en B op d e aangegeven manier ondersteund, d r i e v e r t i c a l e k r a c h t e n F, i e d e r 6ckhTI. D e gegeven maten z i j n i n [ml. Gevraagd: de t r e k k r a c h t in d e staven 9 en

1 1 .

3 . (10)

?

Hoe l u i d t d e b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g van h e t d e e l t j e .

2 .

r n

S

Het massadeeltje kan wrijvingsloos bangs een vaste staaf s

glijden. Verder is het via een lineaire veer en een lineaire visceuze demper met de vaste wereld verbonden (zie figuur). Voor x = 0,9Cml is de veer ongespannen.

Verder is gegeven: m = 2Ckg1, k = 50CNm

Gevraagd wordt de bewegingsvergelijking van het deeltje voor kleine verplaatsingen ianirit d e evenwichtsstand

- 1 _{I ,}

-1

3 .

Het getekende stelsel bestaat uit twee massadeeltjes

1

en 2 ,

die in het zwaartekrachtveld onderling en met de vaste wereld zijn verbonden door lineaire veren.

De veerconstante van veer i noemen we k de ongespannen lengte i’ Ri 0 Er geldt: k , = 2k R I = R ks = 2k k3 = k R 2 = R R 3 = 2R - 1 waarin k = 1OOCNm

1

en R = 0,5Cml. Verder i s m = rn = 4Ckg1, g = 10Crns I . Voor x = R en x

systeem gelijk aan nul gesteld.

A i s heti systeem in rust i s en blijft, bepaal dan x l , x2 en U.

-2

1 2

4 .

Het stelsel ABC bestaat uit 3 starre lijnelementen met lengten

2R, 2R en 2 L J 2 , die in de punten A, €3 en C scharnierend met elkaar zijn verbonden.

Punt A is via een lineaire veer (veerstijfheid k, ongespannen lengte a) verbonden met 0 .

In C grijpt een tijdsafhankelijke kracht F aan, evenwijdig met A@.

Gevraagd :

a. De kracht F om het systeem in rust te houden in de stand, àie door de hoek 4 w o r d t gekarakteriseerd,

b. Een schets van het verloop van F als functie van (b.

c. De arbeid, door F verricht, als I$ varieert van arcsin 0,6 tot arcsin O,&.

2 .

1.

7

-

- I3 I E i3 I H -

I

L7

Getekend vakwerk is in de punten F en H ondersteund. Op punt B

werkt een verticale kracht van 12CkNI.

De gegeven afmetingen zijn in Cm].

&ML&

o h o b " . s ~ / L L c L . ~ -

* 4

////

Getekend stelsel bestaat uit de massadeeltjes 1 en 2, onderling, en met de vaste wereld verbonden v i a de 4 getekende lineaire veren

@

,@

$0

s

0.

Gegeven: m

₁

= 2Ckg1, m2 = iTkgl, g = 10Cms - 2 I.

-1

k 1 =k., = 5QCNm

k - k4 = 20QCNm

1,

ongespannen lengten: R o l = R O 2 = 0,3 [ml-

1,

ongespannen lengten: RO3 = RO4 = 0,T [ml.

-

-1

3-

I Bereken:

de waarden van x en x in de evenwichtsstand.

3 .

Een massadeeltje M,massa m , i s via een star lijnelement b i j A

scharnierend aan de vaste wereld verbonden. Tussen M en punt B

i s een lineaire veer aanwezig. Van deze veer is de'veerconstante

k = mg/2R en de ongespannen lengte R

wordt het massadeeltje zonder snelheid losgelaten. Welke maximale waarde bereikt I$?

= O. In de stand: 4 = O O

OPGAVE

1 .

v horizontaal

drie staven (1,2,3).Staaf 2 is star.

-

_{De staven}

₁

_{en 3 gedragen zich als lineaire elastische veren met}

stijfheid k. De staven zijn scharnierend met elkaar verbonden.. 2n de punten A, B, en C volgens bovenstaande figuur. Punt B is verbonden met de vaste wereld en punt C kan alleen een horizontale verplaatsing ondergaan,

Op punt A werkt een uitwendige kracht F (zie figuur).

Aangenomen mag worden dat de verplaatsingen zeer klein zijn.

1. Bereken de krachten in de staven 1, 2 en 3 . 2. Bereken de verplaatsing Van punt 2 .

OPGAVE 2 .

Y

-cl

Langs twee vast i n de ruimte opgestelde s t a v e n p en q z i j n de massadeeltjes

A en B (beide met massa m) w r i j v i n g s l o o s beweegbaar. A en B z i j n o n d e r l i n g verbonden door e e n star, massaloos l i j n e l e m e n t met l e n g t e II.

Tussen B en &e vaste wereld is een i d e a l e vesr aaïiwezfcj m e t v a e r k o n s t a n t e k

en ongespannen v e e r l e n g t e R. H e t geheel b e v i n d t z i c h onder i n v l o e d van

de zwaartekracht. Op h e t t i j d s t i p t=o geldt: +=O en +=O.

Gevraagd wordt :

1.

D e totale p o t e n t i e l e e n e r g i e van h e t systeem ( U(+) ) als f u n k t i e

van de hoek 4.

_.

2 . De totale: k i n e t i s c h e e n e r g i e 2.:: h e t systeem, T!4!, a l s f m k t i e van de hoeksnelheid

0.

3. D e hoeksnelheid

6

als f u n k t i e van de hoek

+

op basis v a n een e n e r g i e b e - schouwing.

4. De hoekversnelling in de positie die door de hoek @ wordt gekarakteri-

OPGAVE 4 .

Langs een horizontale l i j n kan een d e e l t j e met massa m wrijvingsloos g l i j d e n . Links is aan de vaste wereld een ideale, lineaire veer bevestigd

met een veerkonstante k en een ongespannen veerlengte 11. De veer kan alleen maar een kracht naar rechts (de positieve x-richting) op de massa uitoefenen. Het deeltje wordt i n de stand x=4Q zonder beginsnelheid %osgelaten.

Gevraagd :

1, De bawegingsvergelijking van het deeltje i n de v o r m a2 i- b#

+

cx = d, voor c

al x

2

I?.

b) x

2

R.

2.

Be kinetische energie in een willekeurige positie x..

2 . De puntmassa's A en B (mA =

%

= ni) zijn onderling verbonden door

middel van een massaloze staaf, lengte 2R.

A kan wrijvingslooc langs staaf p glijden.

( 1 1 1 I?

B " 9

p en q z i j n beide horizontaal opgesteld en staan loodrecht op

elkaar

In het midden M van AB grijpt een kracht F aan, waarvan di! w e r k l i j n evenwijdig i s met 4 .

i$ = u t , met w = constant

TI

2 .

E e n d e e l t j e m e t massa rn l i g t op een h o r i z o n t a a l v l a k V en i s met d e

vaste w e r e l d verbonden v i a een i d e a l e veer (k,

“o>

Tussen h e t d e e l t j e en V is droge w r i j v i n g met w r i j v i n g s c o ë f f i c i ë n t f. De p l a a t s van h e t d e e l t j e wordt v a s t g e l e g d door middel van d e a f s t a n d x.

Het d e e l t j e wordt a a n v a n k e l i j k op een zodanige p l a a t s (x = xo> v a c t - en s t i l g e h o u d e n , d a t h e t na l o s l a t e n (op t = O) naar r e c h t s g a a t bewegen.

Waar en wanneer komt h e t d e e l t j e v o o r h e t eerst weer t o t s t i l s t a n d ?

3 .

Langs d e v a s t o p g e s t e l d e s t a a f AB kan een d e e l t j e met massa m zonder wrijving heen en weer g l i j d e n . Het d e e l t j e is v i a een i d e a l e demper

(dempingsconstante b) met d e v a s t e wereld verbonden,

Als g e v o l g van k r a c h t F(t) g l i j d t h e t d e e l t j e naar rechts, w a a r b i j

ip = w = c o n s t a n t i s .

Druk zowel d e k r a c h t in h e t lijnelement a l s d e k r a c h t F u i t i n a, b 9

1 .

Geschetst systeem ABC bestaat uit 3 massaloze starre staven met lengten R , R en 2 4 2 , in de uiteinden scharnierend met elkaar verbonden, met in de punten A en B elk een deeltje met massa m.

Het systeem is vrij draaibaar in het verticale vlak om een horizontale vaste as door C . De stand wordt vastgelegd door hoek $ (zie figuur).

Het systeem bevindt zich in het zwaartekrachtveld en wordt bij Q = O zonder beginsnelheid losgelaten.

Bepaal als functie van $:

- de hoekversnelling ;b - de hoeksnelheid

6

2 .

Deeltje P met massa m i s vrij beweegbaar langs de verticaal opgestelde

staaf AB. Tussen P en het vaste punt C is een ideale demper -dempingSconstante b- aanwezig.

Na loslaten van het deeltje zal het langs de staaf naar beneden gaan bewegen. Gevraagd woriiri de beweglngsv9PgeligKing V O G ï P.

O p , : In de gevraagde vergelijking mogen als variabelen alleen x enlof zijn

I

x

B

AB i s een vast o p g e s t e l d e g l a d d e v e r t i c a l e s t a a f , waarlangs d e e l t j e P

(massa m) v r i j op en neer kan g l i j d e n .

B i j A i s een i d e a l e (massaloze) veer b e v e s t i g d , met

. .

k l = 100 CNm-'l en R

B i j 3 i s eveneens een i d e a l e veer aanwezig met k2 = 500 CNm

1

en R O 2 = 0 , 3 Cml. = 0 , 3 [ml o1 - I De l e n g t e v a n d e s t a a f i s 1 [ m l . P beweegt z i c h i n h e t z w a a r t e k r a c h t v e l d met g = 10 [ms

Het d e e l t j e wordt zonder b e g i n s n e l h e i d b i j x = 0,9[ml l o s g e l a t e n ( v e e r 1

h e e f t dan een l e n g t e v a n O , ] C m l ) . Bepaal : - d e k l e i n s t e waarde d i e x b e r e i k t . - de waarde v a n x w a a r b i j d e s n e l h e i d maximaal i s . - d e z e g r o o t s t e s n e l h e i d . -2

1.

m =

1

[ k g l .

Z a t e r d a g 1 6 j a n u a r i 1982 D i t werk b e s t a a t u i t 3 opgaven. Zwaarte d e r opgaven: opgave

1 :

3 punten opgave

2:

3 punten opgave 3 : 4 punten

In de hierboven getekende stand (y = O, P = O) verkeert het systeem

in

rust.

eltje met massa m kan alleen in y-richting bewegen. De staven zijn lineair elastisch. De ongespannen lengte van beide staven is 2a.

De veerstijfheid van staaf is k2.

is k l ; de veerstijfheid van staaf

-

Gevraagd:

1 . 1 .

Stel de bewegingsvergelijking voor het massadeeltje m op.

1 . 2 . Indien lyl voldoende klein is, is sprake van een geometrisch lineair probleem.

Past Een de hierdoor toegestane benaderingen toe dan kan de bewegingsvergelijking geschreven worden als:

waarin k een constaEte is.

Om het dynamisch gedrag van een automobiel te bestuderen wordt onderstaand model van de wielophanging gebruikt.

/ / /

/ / < / / / /

//////Y/' / / / / / Y / / / / /

De veren en de demper zijn lineair. De beweging die het wegdek voor- schrijft is bekend en wordt gegeven door de functie y = y(t).

Gevraagd 2 . 1 ,

2.2.

2 . 3 .

u

Stel de vergelijkingen op, die het gedrag van het systeem be- schrijven.

Voeg de vergelijkingen samen tot 2 bewegingsvergelijkingen. Geef hierbij duidelijk aan hoe U de beweging karakteriseert en welke grootheden worden geyntroduceerd.

Geef de UItdrUkking, waarzit -indien de beweging bekend zou z i j n - de kracht berekend kan worden die het wegdek

-

op het systeem uit- oefent.

Voor bepaalde beschouwingen is het systeem te vervangen door:

..

$an geldt "op den duur" voor de beweging van de rassa:

iut).

-

z(t) = Re(; e

,

met z een conplexe constante. Bepaal Z.

analyseerd,

Niet alle vakwerken zijn statisch bepaald.

De staven en de knooppunten zijn steeds genuximerd..

Af

sprak en :

*

de verplaatsingen van een knooppunt k worden aangeduid als:

*

de uitwendige belasting vaE een'knooppunt

k

wordt aangegeven als:

*

de staafkracht in een staaf i wordt S . 1 genoemd volgens Onderstaande t ekenaf spraak e

4 maten in [ml;

]

i

[

: staafnumer; : knooppunt -nun?me r.

3 +70,7

I

Tabel 3.1.

Bepaal uit bovenstaande staafkrachtentabel de uitwendige belasting van alle knooppunten. Gebruik een tabel zoals tabel 3.1. om Uw ge- gevens ,te noteren.

3.2.

Bij een andere belastingstoestand van hetzelfde vakwerk geldt:

S6 = -100 kN S8 = +50 kN H6 = O V6 =

o

H3 =

o

V3 = 5 0 kN Gevraagd S7 c 3.3

In d e figuur op bijlage I is een -benaderd- 2-dimensionaal model voor de

"Domelbrug" van de vakgroep Technische Mechanica weergegeven. De onder-

steuning en de aangenomen belasting op d e knooppunten i s eveneens weergegeven. Eelaas was de verticale belastingskracht V

Uit de berekeningen volgde o.a.: S 2 = 4870 N '13 onleesbaar. 3 S9 = 3816 N 1 = -2427 it S3 = 1 6 3 4 ?q 3 Bereken V

3 . 4 .

D e constructie zoals gegeven b i j 3 . 3 wordt onder dezelfde belastings- toestand nogniazls bekeken.

In de tabel der staafkrachten z i j n enige krachten "onleesbaar" ge-

22 *

worden, met name S 6 9

'14' ' 1 5 9 '16' '21 en

Bepaal de onleesbare staafkrachten.

3 . 5 ,

De constructie en de belasting i s dezelfde a l s b i j 3 , 3 en 3 . 4 .

1

Y

Q.

woensdag 1 6 j u n i 1982 D i t werk b e s t a a t u i t 3 opgaven. Zwaarte d e r opgaven : o p g a v e

1

: 3 punten o p g a v e 2 : 34 punten o p g a v e 3 : 34 punten

In bovenstaand 2-dimensionaal vakwerk grijpen alleen maar belasting- krachten aan in het punt A .

Bij de punten B en C zijn respectievelijk een scharnier en een rol- oplegging.

De t c r A l 1 7 - P " - LLSnhLCrLht In staaf

Gevraagd :

i

v e r d t Si gennemd.

1 . 1

Gegeven is dat de staafkracht S40 = +2080 N en de staafkracht

S41 = -2000 N. Bereken :

---

a. De belastingkrachten Ax en Ay;

b. De steunpuntreakties in beide steunpunten; c. De krachten in de staven 3 t/m 9;

d. De krachten in de staven 3 2 , 33 en 34.

1.2 Gegeven is dat de belastingkrachten A, en Ay zodanig zijn dat de steunpuntreaktiekracht By = o , terwijl de staafkracht SI = -300 N. a. Bepaal de belastingkrachten Ax en Ay.

b. Bereken de staafkrachten S i 0 t/m s16.

Vraag

1 .

1 . 1 . Positievector 1: van massamiddelpunt volgt uit: (mi+m2).r= ml. _rl

+

anz,, g 2 ,

dus : r=

1

.,{(ml

+

t.m2).e + (4tml+ 3t m ).e 2

1

2 - Y

-

m + mz -X I I 2

1.2. Kinetische energie Uk(t)= $.ml.&l(t)

+

gm2.i2(t) = 2.ml.4 +

i.rn2.

2 2 (22 + 6 .t )

Voor t = 2[s]geldt dus: Uk(t=2) = 8m 1

+

74m2[Nrn]

-I

1 . 3 , Overdrachtelement is lineaire veer met stijfheid k = 2 ~ N m

1

en ver- 2

lenging (a-&) metg2 = (2t-1)2 + (3t

U (t) g e l d t Ue(t) = f.2.(i-4)2. Op t=2CsJ volgt i=5[m] en dus lJe(t=S)+Nmm!

-

4 t ) 2 . Voor d e elastische energie 81

e

1.4, Behoud van energie geldt, dus voor toegevoerde arbeid A z a l gelden:

A = Uk(t=2)

-

U (t=o) +- Ue(t=2)

-

U (t=o) = 8 m l

+

74m2

-

8ml

-

2m2 +

-

4

-

4

A = 72.m2 C 2OCNml

81

k e

Vraag 2 .

2.1, Kracht van 6OLkNlin neg. x-richting en 32CkNlin pos. y-richting. De resul- terende kracht is

m=

68 CkNj, b 3,1, m _B.x _I = _I P + F

-

î k ( x I -

2.)

-+ 2k(T

-

x i > 2 2

..

m x

eat dus ook: m.%

= -P2 + F

-

4k(x2

-

b)

1

+ 4k.x1 = F

+

P I + 4b.k m.xs .a -+ 4k.x2 = F

-

P2 + 4b.k

3.2. Systeem in rust (dus %, =

x2

= O ) , P 1 = P2 = O en F ( t ) = O leidt t o t : x = b , x 2 = b

Y

+

2.2t)dt = IOtdt = 5 [Nm] o o I . 1. waar 2 2 1 1.2. onwaar ;

z

-

I m.;? = -.2. 1 ; F= 61' = 6 ( 8 t ) (2t) + -.3(i)2 ₂ = 4t + 1,5 f N d

_-

2 1-1 2 2 3 3 2 2 - d U - -- a

u=

2.2 +

c

= 2.(8t )

+

e

de.

'

AU= U(t=i)

-

U(t=O) = 1024 INm]

1.3 waar

1.4

_{onwaar ; effekten van het overdrachtcelement niet vergeten. 1}

2.1 waar ; x = 2xi.mi/smi = 30/10 = 3 [m]

m

I 2

1 . 2

2.2 onwaar ; T=

s(

7

mi.xi )

#

(i.h.a.)

2

2.3 waar ; "Newton" voor een systeem van deeltjes. (zmi).km 3. i . onwaar ;

+

20

-

20 = ()-A = 0 t.o.v. G: A .1,5

-

20.1,5

+

20.6 Y X 3 0 . I ,5 z0-A X =-9 3.2. waar ; Ax + Gx 9 30 =O + G =

-

30 + 90 = +bQ &NI w

3 . 3 . waar ; Vertikaal evenwicht knooppunt B (F "nulstaaf) of

13

Vertikaal evenwicht snede over staaf 2,

i4

en 7 ,

3 . 4 . onwaar ; F,= +70 LkN] (evenwicht van knooppunt D) 3

4 . 1 . Losgemaakt systeem:

- F k2(x2-12) F 2-

Y

Twee identieke starre pendelstangen met lengte 1 zijn met elkaar verbonden door middel van een ideale, lineaire veer met veerkonstante k.

De veer is op een afstand a vanaf het scharnierpunt aan de pendelstangen bevestigd. De ongespannen veerlengte is even groot als de afstand tussen de ophangpunten van de slingers.

Beneden aan elk der beide pendelstangen is een massadeeltje met massa m be- ves tigd.

Alle wrijvingen zijn te verwaarlozen.

Verwaarloos de massa's van de veer en de pendelstangen.

3.1 Geef de bewegingsvergelijkingen voor dit systeem voor kleine trillingen.

3 . 2 Veronderstel de beweging in x-richting voldoende klein, zodat er spra-

ke is van een geometrisch lineair probleem.

Geef de gelineariseerde bewegingsvergelijkingen in x-richting.

3 . 3 Bepaal de beide eigenfrequenties.

i

Langs een verticaal opgestelde staaf kan een deeltje met massa m op en neer glijden. Tijdens dit glijden treedt er een constante wrijvingskracht W op

tussen m en de staaf. Beneden aan de staaf i s een ideale, lineaire veer be- vestigd met veerkonstante

k

en een ongespannen lengte l. De veer kan uit-

sluitend een drukkracht op het massadeeltje uitoefenen.

Het massadeeltje beweegt zich in het zwaartekrachtveld met g = 10 m s - ~ . Het massadeeltje wordt zonder beginsnelheid bij de stand x =

1

1

losgelaten. Verder is gegeven : k = 1200 N/m ;

W

= 100 N

m = 2 k g ; 1 = l m

Onderstaande vragen dient U te beantwoorden uitgaande van energie-beschouwingen, en alleen voor de eerste opgaande beweging.

Bepaal :

---_--

2.1 De kinetische energie in een willekeurige positie x voor : a ) x s l ;

b ) x > l .

2.2 De nuximale hoogte %ax die wordt bereikt.

2.3 De snelheid wanneer voor de eerste keer geldt : x =

1.

2.4 De energiebalans in een willekeurige positie

x.

2.5 De waarde van x waarbij de snelheid maximaal is.

2.6 Een kwalitatief verloop van x als funktie van de tijd, voor de eerste opwaadse beweging e

4

2

CM om A: 2

+

4

+

6

-

6% = Q = 2 [kN] RAv = -2 CkN1 Rp Rm = -6 CkNI

EM

om F: 2 . 3

-

6 . 1

-

S2.\r2 =

Q

s2

=

o

I

k

fd---wvA+

I

Opgave 1 . 1

i . Steunpuntsreactíes -+

Voor het berekenen van de

2

staven 1 , 2 , 3 een snede aan-

brengen, en (bijv. ) het linkerdeel bekijken:

12

c

momenten om Q: 2.8

-

F 1 . 2 = O

verticale componenten: -2 + ~ F ~ J z = O

c

momenten om P: 2.10

+

F3.2 = O

2 . Krachten op punt B:

Uit het evenwicht volgt:

= -ZO[kN] en F5 = -2CkN1 E=

Fq ===

Krachten op punt C:

uit liet evenwicht volgt 1

3 . Krachten OP punt C:

a

F

2- -.zo

F3

s2.3

i

Ten gevolge van de lengteverandering van staaf 2 verplaatst C zich in +x- richting naar C'.

C' C" = verlenging van staaf 2 = 0,02 [ml

Verplaatsing van

c

= CC' = =&,,O == 02J2imI

5. Wanneer staaf 1 niet aanwezig was geweest en punt B zich (evenals C )

alleen slechts in +x-richting had kunnen verplaatsen, dan zou de ver- plaatsing van B tweemaal die van C geweest zijn (immers de verlenging van staaf 3 is gelijk aan die van 2 .

Dan was de volgende situatie ontstaan:

c c i CC' = 0,02J2[rnI BB' = 0,04J2~rnI \ \ \ I

- - - >

0 _ . _ - / I /

'

/'

1

p

I/

Moet echter AB zijn oorspronkelijke lengte behouden, en laten we de eis, dat B slechts in x-richring mag bewegen, vallen, dan zal B in B"

-

R o l

1 Cmlen cos 0) 4- c o s waarin 4 = 5t) j wordt dit- Ir

+

5t

Vraagstuk 1,

1.1.

Lossnijden punt B ( S I : trekkracht in

AB,

S :trekkracht in

AB)

2

5,

Horizontaal: S I cos $

-

S2C0S$ =

o

-+

s g

=

s2.

Verticaal: F

+

S sin $I + S sin $I = O -t F =

-

2Ssimd ~

I 2

Lossnijden punt C (V: trekkracht in veer, R: verticale ondersteuningskracht)

Horizontaal: V

-

S2 cos@ = O

Verticaal: R + S2 sin $ = O

Beschouw tenslotte de veer:

V = {2R

-

2R COS@)

-

R),k

-

(2~0s $

-

I)kR, sin Q 2s sin $ =

-

2v

-

vo 1 g t dan : p = - M@t

c2

= ITe--- B cos 9’ cos

9

F =

o

als sin (p (2 cos

4

-

I > =

o,

dus $I =

o

a

sin $ =

-

5 4 cos Q =

-

5 I I

30 a) C Mom t.o.v. B = O levert: 24YA

-

15*F

-

10*F

-

5F = O -+ YA = -F 2 4 =

5 5

4 F

t=

-

600 -+ YA 750CNI

4 .

3

C krachten in x-richtin$= O levert: X 1440CNl

-

4F sin 4 = O -+ XA = 4 . 6 0 0 . ~ ~

A

c ) Evenwicht van knooppunt B:

C8 sin 4

+

1170

-

600. cos 4 = O 5 4 S8 = $600.5

-

11701 = 800

..-

1950 = - 1 i5OCNl CM t.o.v. B = O -+ 8.Sg cos OL

+

6.Sg sin OL

+

600.10 i- 600.5 = O 6 6 3

m = J 4 . - i - 5 = m

COS OL = 4 2 sin a =

-

= 2V13 2.9 a en b.

Web: systeem is en b l i j f t in rust. Lossnijden van de deeltjes 1 en 2

( z i e f i g u u r ) en toepassing van de wetten van Newton levert vergeiijkingen

VOQ1: X &%I X 2 :

a )

-

k ( x l

-

R) + mg = 0 mg

-

k(x2

-

x

-

R) = O 1 w i j vinden dus: x 1 = R + 2 ? x2 = x 1

+ a . + ?

a >

=a+2p

= 2 R + 3 F = 2 R + 3 k x2

b > de verlenging van de veren:

E 1 = X I - R = 2 ?

c 2 - x 2 - x *

-

- R = k

I 2 1 2

De potantigle energie U bevat een bijdrage

7

kE1

+

-

2 kc2 t.g.v. de veren

-

2 Q ) t,g.v. Ret zwaartekrachtveld. Er ea een bijdrage -mg(xl

-

a>

-

mg

b2

e l d i dus:

2.2.

De ~ n ~ e ~ s ~ @ ~ ~ i ~ g e n kunnen alleen krachten loodrecht op het ondersteunings- vlak uitoefenen, de staaf kan alleen krachten met werklijn langs de staaf- as overdragen. Lossnijden van de diverse onderdelen levert:

Wij vinden dus: 1 3+i e

1

x

= Re

(r.

25

7

Fo

.

m u n O

P

De totale oplossing x = \(t) + x (t> moet voldoen aan de begincondities, dus aan:

P

x(0) = xh(0) + x ( O ) = O en %(O) = %(O)

+

X

(O) = O

P

P

%

en

P

levert: Invullen van F 55 3 48 2 m w - + B = - - - O

De totale oplossing is dus:

4 F

-

- w t c9 5 0 x = - - 48'--7 e m u O

F

3 3 5 o , i 6 2 m u

cos (-u t)+13 sin(-w t)l

+

-=

-

0

5 0 5 0 O

1

1

5 0 5 0 i3 cos(-wtj + sin(-wtjI 2.4.

W i j z i j n gehteresseerd in de eigenhoekfrequenties van het systeem. B i j

de berekening daarvan zijn de demping en de externe belasting niet van belang. Wij kunnen ons dus beperken tot de vergelijkingen:

.O 4 m +ex

-

-

c x 2 =

o

+ e x 2 =

o

.a 4 l Kur, --cx 2 5 1

Substitutie van x l =

3

''e en a = X2ext leidt tot:

3. 90-

a

r = a(cos+*ex + sin6.e ) -m -Y

k

= a+(-sin+ee + cos+*e ) - Ip. -x -Y

..

- 2 92

1: = a(-$ sin+-+. cos+)gx + a($ cos+-+ sin+)e

-an

-Y

+

2

+

-

cos

-

F = F 1

+

F 2

= F1(-cos+*e

-

sin+*e ) + F2(sin

7

.[

'

X -Y

-

-

+

4

2 2 -Y

= ka(2 sin2

$*ex

-

2 sin --cos

-

e ) =

F~ = 2ka s i n -+

F~

= kaC(1-cos4)-gx

-

sin+-e

3

2

-Y

F = in% -+ -F1 cos+ + ka(1-cos+) = -ma$ sin+

-

cos+

-m

-

F sin+ + ka sin+ = -ma$ cos+ + maQ2 sin+ 1

Eliminatie van F

₁

levert:

ka sin+ = -ma$

rn?

+

k sin+ = O of

- 4 . __p. e

-

L F = - c v 2 - cv = mv Beginvoorwaarde : v (t=O) = v O

1

1

1 c H i e r u i t v o l g t :

De t i j d , w a a r i n de s n e l h e i d afneemt van v O t o t v 1 i s t e vinden u i t A =

-

-

_en

-

=

-

t

+

-

V v m O V O m(vo-v

1

o 1

1

t + - -+ t =

1

C - = i cv v V O Beginvoorwaarde : x( t-O) = O m m C H i e r u i t v o l g t : B =

- -

Rn

-

cv O t 6 m cvot+m n = E o n 3 = i Rn

-

m m(vo-v

1

1

C --,a* m CVO

-

C Voor t = wordt cv v o 1 m(vo-vl> + m Vo c VI m v! = - E n - e x = - h

Voor rn = 4OOO[kg], c = 0,5LNs m

I,

vo = 1OOCms

1

en v 1 = 5 û [ m ~ - ~ I vinden w e : x = $000 Rn

- I

2 -2 2 = 5545rml.

5.

De krachten op het deeltje zijn:

F* de kracht, uitgeoefend door de veer: de zwaartekracht: FZ

e mg

-

k(x-llo) =

x +. IOkx = IOkRo + 10

Toepassing van de 2 wet van Newton levert:

of

De oplossing luidt:

x = 0 , 0 1 ( 3 sin 20t

+ 4

cos 2 0 t + 15) zodat

&

= 0,2(3 cos 20t

-

4

sin 20t)

j; = 4(-3 sin 20t

-

4

cos Zot) Substitutie in ( i ) levert:

(-12+0,3k)sin 20t

+

(-16+0,4k)cos 20t

+

(1,5k-10kRo-10) =

O

Dit moet waar zijn voor iedere waarde van t, zodat -12+0,3k = O

-16+0,4k

O

1,5k-10kRo-10 = O

Hieruit volgt: k = 40CNm-ll en Lo = 0,125Cm1, a sin ut + b cos ut kan ook geschreven worden als

A sin (ut+@>, waarin de amplitude A =

me

Evenwicht van het geheel C Mom om R = O: 6 . 1 2 + 6 . 8 + 6 . 6

-

12RA = RA = 13(kN) C Vert. = O = 18

-

13 = 5CltN-J RB O

Evenwicht van punt C C Vert. krachten = O -6 -0,6S2

-

0 , 6 S 3 = O C Hor. krachten = O -0,8S2 + 0,8S = O 3 Resultaat: S2 = -5ikNI

Snede over staaf 2 , 9, 6, 13 C Mom. om D = O

6 . 4

-

13.4

-

Sg.l

-

0,8S5

.

1

= O

Hieruit volgt: S9 = -24CkN1

Evenwicht van punt E

C krachten I AC = O

0,8.6 + 0,8Sll + 0,6 Sg = O Dus S t l = 12ckNI

3 . rng

-

F = m

2

-3 F

...

F = k(x

-

y - lo)* y = x

-

F

- -

l * 3

Y = X - , , # + -

F

mx k k Tevens i s F = by, z o d a t ..L mx mg

-

IG = b(X

+

-5 k '

wichtsstand naar rechts y, dan is de verlenging van de veer gelijk aan y sin a , zodat de trekkracht in de veer gelijk wordt aan ky sin a .

I s

9

de snelheid van het massadeeltje

naar rechts, dan zal de demper op het deeltje een kracht naar links uit- oefenen, die gelijk is aan b?.

~e krachten op het deeltje z i j m dan:

k y

5rn d

N is hier de kracht; uitgeoefend doorstaaf s .

ü e tweede wet van Newton toegepast op de positieve y-richting levert dan: 2

-by

-

ky sin 01 = an?,

o f , na invullen van de numerieke waarden:

3 .

a. In d e f i g u u r staan aangegeven de 2 deeltjes met d e erop werkende krachten ~ U i t het evenwicht v o l g t : mlg + 2k(x2

-

x I

-

2 )

-

2k(xI

-

a )

= O I

-

2 )

-

k(x2

-

2R) = O m2g

-

2k(x2

-

en Met m l = m2 = rn wordt d i t :

y

= 4xI

-

2x2 en -S _k = 3x2

-

2x1

-

4R Uitwerking l e v e r t : x

1

= g + 5 % = 8 k O, 75Cml I ,

b. De waarden van AR voor de 3 lieren zijn: A R l = 0,25Cml, AR2 = 0,05Cml, AR3 = 0,30Cml.

De totale potentiële energie in de veren bedraagt dan

u = u l + u 2 + u g =

100.0,25

+

100.0,05 + 50.0,302 = liCJ3.

De totale potentiële energie van de zwaartekracht is afgenomen met een bedrag van

2 2

40.0,25 + 40.0,30 = 22CJ1 en bedraagt in de eindsituatie -22cJ1.

De totale potentiële energie is dus -1iCJl.

4 .

a. De figuur toont ons het stelsel met de erop werkende krachten, nl. P,

Nm = kracht uitgeoefend door het verticale vlak - 8 8 11 11 het horizontale vlak

N* -

Uit het horizontaal evenwicht volgt: ?Ym =

o

Verder 3s V = k(2R sin (9

-

R) = kR(2 sin (9

-

i )

U i t het momentenevenwicht om B volgt dan: P.2R sin 4 = V . 2 R cos (9

2 sin 4-1

tan (9

b.

f t

0,s

k

I-

O

c . Noemen we d e a f s t a n d van C t o t d e l i j n OB: h, dan is

h = 2R cos $I en dh = -22 s i n

0

dQ D e g e v r a a g d e a r b e i d i s dan: 1 2 9 2 $ 1 = 2kR ( 2 s i n 4-1) C O S 4 d+ = = 2kR 2 ( s i n 2 9

-

s i n 9) $ 2 -

-

$1

2 2 2 2 = 2kR (O,$

-

0,8

-

0,6 i- 0,6) = 0,16 kR e Andere methode: De U O G ~ F i i e r ~ i c h t e ar b e i d is g e l i j k aan de t o e n a m van de p o t e n t i ë l e e n e r g i e (van d e veer).

Voor s i n $ = 0,6 is d e l e n g t e van d e veer 1,2R, z o d a t

A R = 0,2R en TJ =

4

k(0s2R)2 = 0,02 kR

.

Voor s i n Q = O,$ is de l e n g c e van de veer 1,6R, zodat

AR = û,6R en U =

4

l ~ ( 0 , 6 R ) ~ = 0,18 kR

.

2

2 2

I

l2

I .

Uit het evenwicht van het geheel volgt

Krachten op punt C:

Uit het evenwicht volgt: S 2 = O ; S7

o.

Krachten op punt H:

511

!-!

R,"

=fL

Uit het evenwicht volgt: S I 3 = O ; S I 1 = -6.

Krachten op punt E:

Krachten op punt B:

U i t h e t evenwicht v o l g t : S I = -4.

Krachten op punt A:

2 . De twee p a r a l l e l geschakelde v e r e n

0

en

@

mogen vervangen worden

-1

door één v e e r met k 5 =kl+k2= 100CNm

1

en ongespannen l e n g t e = 0,3Cml.

'05

De krachten op de d e e l t j e s z i j n dan:

U i t h e t evenwicht v o l g t :

S u b s t i t u t i e van de gegeven waarden l e v e r t :

3 . Door de omgeving worden op het systeem (behalve de zwaartekracht)

2 krachten uitgeoefend, nl. de reactiekracht in A, en die in B. Daar deze reactiekrachten geen arbeid leveren (hun aangrijpings- punten verplaatsen niet), zal van het systeem de som van de kine- tische en de potentiële energie constant zijn, of:

A(U + T) = O

AU + AT = O

Aan het begin en aan het eind van de beweging is de snelheid nul, zodat:

AT = O, dus ook: AU = O

Zwaartekracht: AU = -mgR sin 4

Veer: A u = $k(Li

-

RI), 2 waarin R = lengte van de veer in de eindtoestand. 2

R I = lengte van de veer in de begintoestand.

R Uitwerking geeft: sin ij

+

cos 4 = i 3

4

=

-

I

1.

De staafkrachten vinden we u i t de evenwichtsvergelijkingen voor de punten A en C. A F F

+

0.6F3 = 0 F

₂

+

0.8F = O. 3 hieruit : 3 F 3 = - - F 5 F C

I R

F

-

Fl

-

F

De verlenging van staaf 1 i s dus g e l i j k aan

-

k'

De verlenging van staaf

2

i s n u l (starre staaf). 5F

3k verkorting van staaf 3 i s

-.

2.

De horizontale verplaatsing ban C is een gevolg van de vervorming van F

k

staaf

1

en bedraagt dus

-.

3. Wanneer alleen staaf

1

zou vervormen, dan zou de volgende vervormde situatie ontstaan: (onvervormd i s gestippeld)

A

De horizontale verplaatsing b i j A i s dan gelijk

aan de horizontale verplaâtsiiìg bij C (kleine vex-

plaatsingen). De bijdrage van de vervorming van staaf 1 aan de verplaatsing b i j punt A i s dus

F g e l i j k aan

-

_k'

Wanneer alleen staaf 3 zou vervormen dan wordt de vervormde s i t u a t i e :

5F

Staaf 3 wordt -korter. _3k D i t resulteert i n een horizontale verplaatsing b i j A :

5 5F 2 5 F

- -

= - a

3'3k 9 k

D e totale horizontale komponent van de verplaatsing b i j A bedraagt dus:

25

-

34 F

A k'

(1

+ - $

- - -

9'k

F

1.

De p o t e n t i e l e e n e r g i e t e n gevolge van de zwaartekracht: U z = mgRcos4. De p o t e n t i e l e energie i n de veer is:

= %k(2R

-

&sin$

-

Rol

De t o t a l e p o t e n t i e l e energie i n h e t systeem is dus:

2

2

=+kg ( 1

-

s i n + )

' k

2 2

u($) = uz(b)

+

Uk(+) = mgllcos+

+

%kR ( i

-

.sin+)

B i j deze uitdrukking voor U(+) kan een w i l l e k e u r i g e konstante worden opgeteld.

2. De t o t a l e k i n e t i s c h e - energie is:

2.2

T =

+

+m(t&os4)2 =

+ma

4

3. De totale e n e r g i e b l i j f t konstant, omdat a l l e wisselwerkingen k o n s e r v a t i e f z i j n .

2

2.2

mgRcos+

+

$ka ( I

-

sin$I2

+

%mR

+

= C.

.

Voor t = O geldt: +=O en 4=0; w e vinden dan: 2

C = mgR

+

%kR

2

2.2

2

en mgRcos+

+

IlkR

(1

-

+

4m!L (9 = mgR

+

%ka

Hieruit: _{- _ _ .}

k

ia1

= J

%i 11

-

cos+)

+

-(2

m

-

sin4)sin+

4. D i f f e r e n t i e r e n van de uitdrukking voor Q2 levert:

1. De bewegingsvergelijkingen van het deeltje voor

F = k(R

-

X)

F = m x

..

m

z

_>

geen kracht op het massadeeltje:

2 . a) x 5

R

Doordat de energieomzetting koncervatief verloopt is de som van de potentiële en de kinetische energie konstant:

u +

T = G = ik(%

-

x ) ~

*

T

op t = 0 is de Kinetische energie T = O en x

_4%

2

1

T =

-

8 kR2

-

ik(%

-

X)

Voor x 2

R

is er geen energie omzetting meer, de kinetische energie

2 .

e,

B

D e krachten, d i e op h e t systeem werken z i j n : d e gegeven k r a c h t z

d e (normaal) kracht

Ni,

door p uitgeoefend d e (normaal) kracht N door q uitgeoefend.

-2'

Van de r e s u l t a n t e van deze 3 krachten i s bekend, d a t deze g e l i j k is m r waarin m d e t o t a l e massa v o o r s t e l t , en r de p l a a t s v e c t o r van

het massamiddelpunt.

Ook i s

5

=

een vast punt O, en

0

= t o t a a l impulsmoment van de m a s s a d e e l t j e s t e n o p z i c h t e van d a t z e l f d e vaste punt.

..

-m' -m

m e t

M

= resulterend moment van de 3 krachten (b.v.) om

We nemen O i n h e t snijpunt van d e s t a v e n en brengen eenheidsvectoren aan ( z i e figuur).

Vervolg 2

ResuL terende kracht i s :

(NI + F ) e 1 + N2

g2,

zodat F + N = 2 m . - R $ s i n $ N2 = 2 m . - R 4 C O S $ 2 2

1

Het resulterend moment om O bedraagt:

ZA x Iji+ gg x N2 +

Zm

x

2R cos Q

.

g2 x N I

el

+ 2R sin Q

el

x N2

e2

+ R(sin $ e l

+

=

+ cos $

.

e2) x F

el

=

= -R(2N, cos Q

-

2N2 sin

9

+ F cos $)

.

g 3 e 2 r = 22 cos Q

.

-A e2 = - 2 m R

4

sin 9

.

EA

EA

=

zA

x =

0.

O p d e z e l f d e manier:

EB

=

0,

z o d a t Q = g -+ D = O

-

-

+

M = g

O f 2N1 cos

4

-

2N2 sin

9

+ F cos $ = O Oplossing van ( I ) , ( 2 ) en (3) leidt tot:

2.

x

A

Het d e e l t j e g a a t naar rechts bewegen.

De w r i j v i n g s k r a c h t W, door het v l a k op h e t d e e l t j e uitgeoefen l i n k s g e r i c h t en g e l i j k aan fN = fmg.

De tweede w e t van Newton levert:

-k(x-IlO)

-

fmg =

rnx

of

r n x + k x = kRo

-

fmg

De oplossing van deze d i f f . verg. l u i d t :

- 3

met u

&

rn x = A cos u t + B s i n u t + R o met a l s beginvoorwaarden: voor

e

= 0 is x = x en

2

= O. e O Hieruit v o l g t : A = zodat x = - L o + ? en B = O , j , =