H2: Lijnen en vlakken

(1)

Hoofdstuk 2:

Lijnen en vlakken.

1. a. Hellingsgetal: 1 2 2  startgetal: 5 b. x-as: y0 y-as: x0 1 2 1 2 2 5 0 2 5 x x     1 2 2 0 5 5 (0, 5) y     2 (2, 0) x c. 1 2 : 3 m y  x . d. 1 2 : 2 k y x . 2. a. 1 2 : 3 2 6 m x y  x y b. 1 2 : 2 2 4 k  x y   x y 3.

a. De noemer is het snijpunt met de as.

b. : 1 6 3 x y m   : 1 6 2 x y k   

c. n snijdt de x-as in (-6, 0) en de y-as in (0, 3).

d. : 1 9 4 x y j    4 9 4 9 36 9 4 36 4 x y y x y x       4. a. 1 6 18 x y   b. 1 4 14 x y   c. 1 9 6 x y   3 18 3 18 x y y x      7 2 28 2 7 28 x y y x      2 3 18 3 2 18 x y y x      1 2 3 14 y  x 2 3 6 y  x d. 1 4 20 x _ y _  e. 1 2 1 5 7 x _ y _  f. 1 7 1 x _ y _   5 20 5 20 x y y x      3 2 15 2 3 15 x y y x      7 7 7 7 x y y x       1 1 2 2 1 7 y x

(2)

5.

a. Bij lijn m, die gaat namelijk door (2, 2)

b. 0 2 3 1 x y               _       c. : 0 2 5 5 x l y              _        0 2 : 2 1 x k y            _          6. a. 2 1 8 4 x y                       b. 2 1 1 3 8 4 4                        2 1 4 2 8 4 0                        2 1 1 1 8 4 12                       2 1 0 2 8 4 16                       2 1 1 3 8 4 20                       

c. Het hellingsgetal is –4 (steeds 1 naar rechts en 4 naar beneden). d. De lijn gaat door (0, 16): y  4x 16

e. 4x y 16 7.

a. De lijn gaat door (0, 2) en door (3, 6). De richting is dus 3 naar rechts en 4 omhoog. b. richtingsvector: a b       hellingsgetal: b a c. 0 3 18 2  4 26                     1 2 7 0 3 2  4 8         _{ } _     _       3 18 6     1 2 1 2 3 7 2       d. 2 4 0 f. 4 3 2 y x 1 2 4 2      4 3 2 4 3 6 x y x y       e. 1 1 2 2 0 3   1 1 2 ( 1 , 0) g. ₁ 2 1 1 2 x _{ }y  h.  4 (3 ) 3 (2 4 )      12 6 126 8.

a. Het hellingsgetal bestaat niet.

b. m heeft alleen een snijpunt met de x-as: (5, 0). Dus 1

5 x  c. x5 d. 5 0 0 1 x y                     

(3)

9.

a. O(0, 0, 0) A(5, 0, 0) B(5, 6, 0) C(0, 6, 0) D(0, 0, 4) E(5, 0, 4)

F(5, 6, 4) en G(0, 6, 4). b. 0 5 : 0 6 4 4 x DB y z           _ _             _        5 0 : 0 2 4 4 x EP y z           _ _             _        c. Ze moeten gelijk zijn of veelvouden van elkaar.

d. 0 2,5 : 2 4 4 4 x QM y z           _ _             _       

niet evenwijdig met DB.

e. 0 0 : 4 2 4 4 x RC y z           _ _             _       

. f. RC is evenwijdig aan EP.

10. a. 2 4 2 1 2 3 6           _ _{ }  _ _        . b. 4 2 16 0 1 6 1 3 17         _   _          _  _        6 4 6 2 16 en 1 6 3 17           c.  3 4 3 2 2 1 3 3 10 x      en z     

d. Ze gaan beide door (-2, -3, 10) en lopen evenwijdig. Ze vallen dus samen.

11. 7 21 3 3 9 2 6             _ _{ } _ _        Ligt (21, -11, -1) op m? 21 21 1 2 1 9 11 5 1 6 1 y en z                    Ze vallen samen. 12. a. 4 0 3 QP             uuur en 4 5 0 SR      _ _     uur b. Lijkt me duidelijk!

(4)

13.

a. De x-coördinaat van een willekeurig punt op lijn PQ voldoet aan 4 4 en op lijn RS aan 4 4

b. De richtingsvectoren zijn geen veelvouden van elkaar. 4 4 4 4 5 5 5 3 2              2 3 5 5 5            10  5 1 2    Klopt niet; DB en RS kruisen elkaar.

c. 4 4 : 0 2 0 3 x AP y z            _ _                     4 4 : 5 0 0 3 x BG y z            _ _                     4 4 4 4       1 2 2 5 2     3 3     Klopt: S(-6, 5, 712) 14. a. l, m en a lopen evenwijdig. b. 2  4   1  4 2 1 2 2 4 x en z       4 1 2 4 2 6 x en z            (1, 4, 4) ligt op l, dus l en m vallen samen. (1, 4, 4) ligt niet op a.

c./d. l en n: n en a: 1 1 2       2 5 3      1 1 2       5 5      

Invullen in 24 : klopt niet, Invullen in 4   2 2 , klopt: S(1, 5, 8) dus kruisend. 15. a. 2 0 1 OQ            uuur 0 2 0 OP            uuur b. 2 2 1 OQ OP      _{  }     uuur uuur c. S d. (4, 6, 2) e. M(4, 1, 2) f. V: 3 en  0 (6, 0, 3) T: 3 en  1 (6, 2, 3) R: 1 en  1 (2, 2, 1) K: 0 en  2 (0, 4, 0) U: 1 en 2 (2, 4, 1) L: 1 en  3 (2, 6, 1) W: 3 en  3 (6, 6, 3) 16. a. 0 0 2 OH            uuur 2 0 1 HQ            uuur 0 2 0 HP            uuur b. S.

(5)

c. M. d. F. e. V. f. T: 3 en  1 (6, 2, 5) P: 0 en  1 (0, 2, 2) R: 1 en 1 (2, 2, 3) K: 0 en  2 (0, 4, 2) U: 1 en 2 (2, 4, 3) L: 1 en  3 (2, 6, 3) W: 3 en  3 (6, 6, 5) 17. a. 2 4 0 OR            uuur b. 4 1 0 PQ      _{ }     uuur 2 3 4 PR        _    uur c. 2 4 2 4 1 3 0 0 4 x y z              _ _  _{ }                 _          18. KLM: 0 1 2 2 3 1 6 4 6 x y z               _ _  _               _  _          19. a. 2 3 0 2 3 0 5 0 1 0 3 2 0 0 6 6 1 2 3 1 2 9 6                _{ } _{    }      _ _  _                          _  _                b. 2 3 8   2 6 3 6 2     3  

Invullen: 1 2 2      3 3 4klopt, dus 2 en   3. c. 2 3 5   2 1 3 3 1     1 2    Invullen: 1 1 2 2

1 1 2     3 1 klopt niet, dus (5, 1, 8) ligt niet in vlak V. d. Een willekeurig punt van vlak V is:

2 3 2 1 2 3 x y z            _ _         _ _      A: 1 2 en 1     : 1 1 2 2 1 2 1 3    1 A ligt niet in V. B:  2 en  1: 1 2 1 3 2 5      B ligt niet in V. C:  0 en  1: 1 2 1 3 0      1 C ligt in V. D:  3 en  1: 1 2 1 3 3 8     D ligt in V.

(6)

20.

a. l en m lopen evenwijdig.

(4, 1, 1) ligt niet op m, dus ze vallen niet samen.

b. Een tweede richting is bijvoorbeeld van de ene steunvector naar de andere:

4 0 0 1 2 1 1 1 2 x y z              _ _  _  _                         c. 1 2 3 2  4 2 2 1 1 1 1 2 z         2 3 4 2 1 2 y z         Klopt. d. 4 0 1 1 2 0 1 1 1 x y z              _ _  _                  _         e. 4 1  2 3    3 3 9 1 2 3   1 1 3    1 2 4

  dus m en a zijn kruisend. f. Nee.

g. m en n zijn niet evenwijdig.

2 4 2      1 2 3 2 1     4 2 1 2 4     12  3 1 112 m en n zijn kruisend, dus er is geen vlak mogelijk.

21. a. 2 0 1 PQ         _   uuur en 2 3 0 PR             uur zijn de richtingsvectoren. b. 2 2 2 2 3 3 4 3              _      _        2 2 2 4 3 6 4 1              _      _        1 en 1     2 en 3 c. x-as: y0 ( 0) en z0 (4) :x     2 2 4 2 0 10 (10, 0, 0) y-as: z0 (4) en x0 (2 8 2   0  5) : y  3 5 15 (0, 15, 0) z-as: y0 ( 0) en x0 (2 2 0   1) :z   4 1 1 5 (0, 0, 5)

d. Uit de snijpunten met de coördinaatassen. e. 2 3 3 6 6 18 10     15 5 30 30 30 1 en 104      156 15 1230 1230 306 1 f. 30 30 30 30 10 15 5 x y z    3x2y6z30 22. a. 1 7 2 1 x_{ }y z _  2x y 14z14 b. 2 2 7     t 14 5 14 7t80 3 7 11 t

(7)

23. a. 1 2 1 2 1 0 1 1 0 0 1 1 2 0 1 0 1 1 0 1 1 0 x y z                     _ _{  } _{ }     _                               _               b. (1 2, 0, 0)

c. Een willekeurig punt van V is:

1 2 1 x y z            _ _         _      Met de y-as: x0 ( 1) en z0 ( 1) : y    1 2 1 1 (0, 1, 0) Met de z-as: x0 (1) en y0 ( 2  2) :z     1 2 1 1 (0, 0, -1) d. 1 0,5 1 1 x _{ }y z _  2x y z  1

e. 2 5 5 14 1    klopt, dus (5, 5, 14) ligt in V. 24. a. ABFE c. OAED b. z3 d. y10 e. (6, 0, 0) en (0, 10, 0) f./g. 1 6 10 x_ y _ 5x3y30 25. a. 3 2 1 1 12 y12z4 y6z1

Het vlak snijdt de y-as in (0, 4, 0), de z-as in (0, 0, 6) en is evenwijdig aan de x-as.

b. x-as: er staat geen x in de vergelijking.

c. 0 0 1 4 2 0 0 3 0 x y z              _ _ _{ }                           d. y-as e. 9 3 0 0 0 1 0 5 0 x y z               _ _  _                           26.

a. De snijpunten met de assen zijn (4, 0) en (0, 3): dus 1 4 3 x_{ }y b. (4, 0, 1) en (4, 0, 2): 4 0 4 3 1 (0, 3, 1) en (0, 3, 2): 0 3 4 3 1

c. Nee, de punten liggen boven l.

d. (4, 0, 3) (4, 0, 2007) (0, 3, 3) (0, 3, 2007) e. Een verticaal vlak waar l in ligt (evenwijdig aan de z-as).

(8)

27.

a. H ligt achter het vlak en F er voor.

b. 3 1 3 0 2 2 0 2 2 x y z                 _ _   _                          c./d. 2 (3 ) 4 2  212 1 2 1 2 6 2 8 2 6 12 12 12 6 (3 ,1,1) S               28. 4 1 4 : 0 3 3 5 2 5 2 x m y z                  _ _   _              _   _          4 ( 4 ) (3 ) 2 (5 2 ) 16 4 3 10 4 3 6 15 3 21 7 ( 11, 21,19) S                                 29. a. 3 (1 3 ) 2 2 2 (4 4 ) 3 9             4 8 8  7  12 5 (16, 2, 16) S    

b. 3 ( 3 2 ) 2       2 ( 2 )   9 624   9 12: m en W hebben geen snijpunt. c. 3 (2 2 ) 2       2 (3 2 ) 6 6    2  6 4 12 voor alle waarden van  .

d. lijn m loopt evenwijdig aan vlak V en lijn n ligt in V. 30. a. A(6, 0, 0): 2 6 2 0 3 0 12      D(0, 0, 4): 2 0 2 0 3 4 12      F(6, 6, 4): 2 6 2 6 3 4 12      b. 0 3 : 6 3 0 2 x CE y z           _ _ _                    c. 2 (3 ) 2 (6 3 ) 3 (2 ) 6           12 661812 12 1 3 2 3 18 24 1 (4, 2, 2 ) S    

(9)

d. 0 0 : 6 0 0 1 x CG y z           _ _                     e. 6 6 : 6 3 2 2 x PQ y z           _ _             _        2 0 2 6 3 12 3 12 3 24 8               2 (6 6 ) 2 (6 3 ) 3 (2 2 ) 12 12 12 6 6 6 6 12                       (0, 6, 8)

S Dus PQ loopt evenwijdig aan ADF.

31. a. V: 5 2 1 x y z            _         _{ }      x-as: y0 ( 0) en z0 (1  0   1) :x   5 1 4 (4, 0, 0) y-as: x0 (  5) en z0 ( 4   0  4) :y  2 4 8 (0, 8, 0) z-as: x0 (  5) en y0 ( 0) :z     1 0 5 4 (0, 0, -4) b. 1 4 8 4 x_{ }y z _  2x y 2z8 c. 2 ( 1 3 ) (2     ) 2 (3 2 )      2 6   2  6 4  6 98 5 9 9 14 1       l snijdt V. 32.

a. W bestaat uit de steunvector en de richtingsvectoren van beide lijnen.

b.     2 1 3 (3 ) (2 ) 13   2 (1 ) 3 3 (2 2 ) 13      2 9 3 ) 2 5 4 13 4 8 2 (1, 5, 0) A                  2 2 9 2 2 5 4 13 4 8 2 ( 1, 3, 2) B                    c. 1 1 5 1 0 1 x y z           _ _                     33. 2 (2 ) 3 (    ) (1 2 ) 12  2 2 3     (1 2 ) 12  4 2 ) 3 1 2 5 7 12 7 7 1 (3, 1, 3) A                 4 3 1 2 5 12 7 (2, 7, 13) B              

(10)

34.

a. Twee lijnen in W zijn:

2 1 0 2 1 0 x y z           _ _            _         en 2 0 0 1 1 1 x y z           _ _            _  _       2 (2 ) 3 2 1 7 4 2 6 1 5 4 7 4 12 3 (5, 6, 1) A                           2 2 3 ( 1 ) 7 4 3 1 5 2 7 2 12 6 (2, 6, 7) B                           De snijlijn van W en U is:

5 1 6 0 1 2 x y z           _ _            _         b. (2) 2 2    1 18 2 2     ( 1 ) 18 2 4 1 3 5 18 5 15 3 (5, 6, 1) A               2 2 1 3 3 18 3 15 5 (2, 5, 6) B               De snijlijn van W en V is:

5 3 6 1 1 5 x y z           _ _            _         c. Ze liggen alle twee in vlak W.

35. a. ABC: 1 6 2 4 x y z    2x6y3z12 b. DEF: 1 3 1 2 x_{  }y z 2x6y3z6 c. De coëfficiënten van x, y en z zijn gelijk. 36.

a. Ze hebben dezelfde richtingsvectoren; zijn evenwijdig of vallen samen. b. 1 2 2 2 1 5           _   _      _       

Uit de bovenste vergelijking volgt  1 en uit de onderste: 4. Invullen in de middelste: 4 2 1 2    : klopt.

(11)

37.

a. Punt A ligt ook in beide vlakken. De snijlijn is dus AQ:

4 2 0 0 0 1 x y z            _ _                     b. De vlakken AKL en PQG vallen samen.

c. De lijn BR ligt in het vlak BCGF, dat is dan ook de snijlijn:

4 2 6 0 0 1 x y z            _ _                     38. a. KN: 1 3 1 2 x y                     

b. P is het midden van KM: P(3, 4)

LP: 1 6 y  x b 1 1 1 1 6 2 2 3 1 2   (1 3 ) 4     4 1 1 6 2 1 2 1 1 6 2 4 3 4 4 b b b y x            1 1 2 3 1 3 2 3 2 3 1 (5, 3 ) S     c. Het midden van KL is (5, 2)

ML: 5 0 7 1 x y     _ _               snijden met LP: 1 1 6 2 1 3 2 3 7 5 4 3 (5, 3 ) S          39. a. P(2, 4, 0) Q(0, 4, 2) R(0, 2, 4) S(2, 0, 4) T(4, 0, 2) U(4, 2, 0) b. 1 4 4 4 x_{  }y z 4 x y z   c. QR: 0 0 4 2 2 2 x y z           _ _ _                   

d. met de y-as: (RQ verlengen) 4 2 0 2 4 2 2 2 2 6 z            2 2 0 1 4 1 2 6 (0, 6, 0) y            

(0, 0, 6) met de x-as: (ST verlengen): (6, 0, 0) e. x y z  6

(12)

40. a. B(8, 5, 0) 4 5 8 HB        _    uuur en 2 4 8 JK        _    uur

: ze zijn niet evenwijdig. b. Beide lijnen liggen in het vlak BCDE.

c. 8 8 : 0 5 5 8 x EC y z            _ _             _        en 4 4 : 0 5 8 8 x HB y z           _ _             _       

8 8  4 4 Uit de tweede vergelijking volgt:   5 5 5 8 8 8         8 8 4 4 12 4        1 3 1 2 1 3 3 3 (5 ,1 , 5 ) S  

d. Dat is vlak BCDE; een vlak evenwijdig aan de x-as snijdt de y-as in (0, 5, 0) en de z-as in (0, 0, 8): 1

5 8

y z

  ofwel 8y5z40. e. De z-as ligt in z’n geheel in dat vlak.

41. AC: 1 2 10 z  x , : 0 1 16 2 x DF y              _       , BC: 2 3 10 z  y , : 0 3 16 4 y EF z              _        1 2 1 2 1 16 2 10 1 6 4 (4, 0, 8) S            2 3 2 16 4 3 10 2 6 3 (0, 9, 4) S            1 2 4 4 : 0 9 8 4 x S S y z           _ _ _                    42. a. 1 10 8 4 x _{ }y z _  4x5y10z40 b. 10 5 5 0 4 0 0 0 2 x y z               _ _  _                           c. 4x5y10z0 43. a. AT 6 2 en BT 6 3 b. ABT: 1: 6 6 6 x z x z     BCT: 1: 6 6 6 y z y z     c. DEG: y z 4

(13)

d. AT: 6 1 0 0 0 1 x y z            _ _                     4  F(2, 0, 4) e. OM: 1 1 1 x y z       _               4     2 S(2, 2, 2) T_1. a. A (1) en E (4) liggen op de lijn. b.  3 0 3 1 2 7 3 3 1 0 x y                      _         c./e. 1 1 2 32 y  x 2 7 2 7 y x x y      d. ₁ 2 1 7 3 x y  

(14)

T_2. a. l en n lopen evenwijdig. b. l en m: c. n en m: (1) 2 1 2 (2) (3) 3 1 2            (3) : 2 2 1 (1) : 2 1 1 2 Uit In          (1) 1 2 1 (2) 1 (3) 1 2 3             (3) : 2 2 (2) :1 1 (1) :1 2 1 0 Uit In In         Klopt: S(3, 1, 3) Klopt niet, dus n en m kruisen elkaar. T_3. a. HJK: 3 0 0 0 1 0 0 0 1 x y z              _ _  _                           b. AC: 6 1 1 0 1 0 0 0 2 x y z                _ _  _                           c. 3 1 1 6 1 0 0 0 2 x y z                _ _  _                           T_4.

a. Het vlak ACI snijdt de z-as in (0, 0, 12) 1 6 6 12 x_{ }y z _ 2x2y z 12 b. 2x2y z 6 c. A(6, 0, 0) D(0, 0, 6) B(6, 6, 0)

d. Een vlak dat de x-as snijdt in (6, 0, 0), de z-as in (0, 0, 6) en evenwijdig loopt aan de y-as:

ABGD T_5. a. 0 1 : 0 1 8 1 x DB y z           _ _              _       b.    (8 ) 12 4 (4, 4, 4) S  

c. De richting van AC is gelijk aan de richting van UP in vlak PQR. d. Een willekeurig punt van l is (5, 4, 3)

(15)

T_6.

a./b. Lijnen in vlak V zijn:

2 0 3 1 2 1 x y z           _ _  _                   en 2 1 3 0 2 1 x y z           _ _                     1 2 1 1 1 2 2 2 8 (3 ) 4 (2 ) 20 2 24 8 8 4 20 12 6 (2, 3 ,1 ) S                         1 5 4 4 2 5 5 (2 ) 8 3 4 (2 ) 20 2 24 8 4 20 5 6 1 ( , 3, ) S                         1 1 2 2 1 2 2 12 : 3 5 7 1 x S S y z           _ _                    

Lijnen in vlak W zijn:

1 4 3 1 2 1 x y z           _ _                     en 1 0 3 1 2 2 x y z           _ _ _            _        (1 4 ) 8 (3 ) 4 (2 ) 20 1 4 24 8 8 4 20 15 20                        1 8 (3 ) 4 (2 2 ) 20 1 24 8 8 8 20 15 20                   

Deze lijn heeft geen punt gemeen met U Deze lijn heeft geen punt gemeen met U De vlakken U en W zijn evenwijdig.

T_7. a. DEM: 1 8 5 y_{  ofwel}z ₅_y_₈_z_₄₀ en AK: 6 6 0 6 0 5 x y z            _ _                     4 7 3 6 4 7 7 7 5 6 8 5 30 40 70 40 (2 , 3 , 2 ) S               b. 4 2 4 2 1 2 7 7 7 ( 2 ) (2 ) (2 ) 4, 22 KS     c. KL: 0 6 6 6 5 1 x y z           _ _              _       4 11 5 (6 6 ) 8 (5 ) 30 30 40 8 22 70 40 22 30 1                        KL snijdt het vlak DEM.

d. 6 1 0 12 0 8 4 0 5 x y z              _ _  _                 _         

T_8. In het platte vlak is x7 de vergelijking van een verticale lijn; in de 3-dimensionale ruimte is x7 de vergelijking van een vertikaal vlak evenwijdig aan de y-as.