Dobrakov vs Lebesgue

Met die (abstrakte) Lebesgue integraal bedoel ons die klassieke integraal van ’n re¨eel- of komplekswaardige Borel meetbare funksie gedefinieer op ’n maatruimte (Ω, Σ, µ). Hier is µ : Σ → K ’n σ-additiewe betekende maat, waar K die komplekse of re¨ele getalle is. Aangesien dit maklik is om die komplekse geval uit die re¨ele

geval af te lei, neem ons K = R. Hierdie maat µ kan as ’n operatormaat ξ : Σ → L(R, R) beskou word (sien voorbeeld 2.1.3 op p.58). Dit is dus moontlik om die Lebesgue integraal met die Dobrakov integraal te vergelyk. Hier is µ = ξ dieselfde versamelingsfunksie, dit is naamlik ’n betekende maat. Ons sal egter ξ skryf wanneer ons in die konteks van operatormate of die Dobrakov integraal werk; en ons sal µ skryf wanneer ons in die konteks van die Lebesgue integraal werk. In voorbeelde 2.1.6 op p.59, 2.1.9 op p.60 en 2.1.12 op p.62 het ons gesien dat b

ξ = kξk = |ξ| = |µ| waar |µ| die totale variasie van die betekende maat µ is. Laat µ = ξ : Σ → R nou die betekende maat wees waarna ons in die vooraf- gaande deel gekyk het. In hierdie afdeling sˆ_{e ons f : Ω → R is µ-integreerbaar as} f Lebesgue integreerbaar met betrekking tot µ is. Soos reeds genoem sˆe ons f is ξ-integreerbaar as f Dobrakov integreerbaar is met betrekking tot ξ.

Die Lebesgue integraal word vir Borel meetbare funksies gedefinieer. As die funksie f ’n µ-integreerbare funksie is, dan is die draer Cf = {ω ∈ Ω : |f (ω)| > 0} ’n σ-eindige versameling. [[Definieer byvoorbeeld Cn := {ω ∈ Ω : |f (ω)| > 1/n} vir elke n ∈ N. Dan is (Cn) ’n stygende ry meetbare versamelings, want f is Borel meetbaar. Vir elke n is |µ(Cn)| < ∞, want

R

Cf|f | d|µ| < ∞; en Cf= S∞

n=1Cn]]. Stelling 7.2.1.

As µ : Σ → R ’n σ-additiewe betekende maat is, dan is f : Ω → R Lebesgue integreerbaar as en slegs as f Dobrakov integreerbaar is en die integrale stem ooreen. Bewys. Neem aan f : Ω → R is Lebesgue integreerbaar. Dan is f Borel meetbaar en Cfis ’n σ-eindige versameling met betrekking tot die betekende maat µ. Gevolg- lik is µ : Σf → R ’n σ-eindige betekende maat waar Σf die beperking van Σ tot Cf is. Verder is die Lebesgue integraal van f oor Ω gelyk aan die integraal van f oor Cf [[R_Ωf dµ = R_C

ff dµ + R

Ω\Cf0dµ = R

Cff dµ]]. Beskou µ as die operatormaat ξ soos tevore. In die geval stem die Borel meetbare funksies en die ξ-meetbare funksies ooreen (sien proposisie 6.1.8 op p.125). Aangesien f ’n µ-integreerbare funksie is, is Z Ω |f | d|µ| = Z Cf |f | d|ξ| < ∞.

Dus is die ξ-meetbare funksie f ’n ξ-integreerbare funksie oor Cf volgens stelling 6.3.9 op p.141. Maar die Dobrakov integraal is additief en f = 0 op Ω\Cf dus is f ook ξ-integreerbaar oor die hele Ω.

Andersom, as f ’n ξ-integreerbare funksie is, dan bestaan daar ’n ry defini¨erende funksies (fn) vir die Dobrakov integraal van f . Dan geld per definisie dat die ry (fn) ξ-byna oral na f konvergeer en dat as (µn) die ry mate deur (fn) voortgebring is, dan is (µn) gelykmatig σ-additief op Σ. Vir elke n is

Z E |fn| d|µ| = Z E |fn| d|ξ| = |µn|(En)

vir alle E ∈ Σ. Volgens gevolg 1.3.18 op p.33 is die ry variasies (|µn|) gelykmatig kontinu op Σ, want elke µn is ’n σ-additiewe betekende maat (stelling 6.2.2 op p.127). Dus, as (Ek) ’n ry van disjunkte meetbare versamelings is, dan is

|µn| ∞ [ k=1 Ek ! − m X k=1 |µn|(Ek) = |µn| ∞ [ k=m+1 Ek ! → 0

7.2. DOBRAKOV VS. ANDER INTEGRALE 149

as m → ∞, wantS∞_k=m+1Ek → ∅ as m → ∞. Dit wys dat die ry variasies (|µn|) gelykmatig σ-additief is. Laat Cndie draerversameling van elke trapfunksie fnwees en stel F =S∞_n=1Cn. Dan bestaan daar volgens stelling 6.3.1 op p.132 ’n meetbare versameling N ⊆ F en ’n stygende ry meetbare versamelings (Fk) sodanig dat

∞ [ k=1

Fk= F \N en µn(E ∩ N ) = 0

vir elke E ∈ Σf en sodanig dat (fn) gelykmatig na f konvergeer op elke Fk. Die Dobrakov integraal van f oor E ∈ Σ is gelyk aan die limiet van die ry (µn(E)). Dus is die Dobrakov integraal van f nul oor N ∩ E vir enige E ∈ Σ. Aangesien die integraal ook additief is, volg dat

Z F |f | d|ξ| = Z F \N |f | d|ξ| = Z F \N \Fk |f | d|ξ| + Z Fk |f | d|ξ| ≤ Z F \N \Fk |f | d|ξ| + Z Fk |f − fn| d|ξ| + |µn|(Fk).

Volgens Fatou se lemma is Z F \N \Fk |f | d|ξ| ≤ lim inf n Z F \N \Fk |fn| d|ξ| = lim inf n |µn|(F \N \Fk). Kies ’n  > 0. Uit die gelykmatige σ-additiwiteit van die ry variasies (|µn|) en die feit dat Fk ↑ F \N , kan ons ’n k kry sodanig dat lim infn|µn|(F \N \Fk) < /2 as k = k. Verder konvergeer (fn) gelykmatig na f op elke Fk en in die besonder ook op Fk. Ons kan dus ’n n kry sodanig dat

|fn− f |Fk <  |ξ|(Fk) as n ≥ n. As k = k en n ≥ n, dan is Z F |f | d|ξ| ≤ lim inf n |µn|(F \N \Fk) + Z Fk |f − fn| d|ξ| + |µn|(Fk) < 2+  |ξ|(Fk)|ξ|(Fk) + |µn|(Fk) =  + |µn|(Fk) < ∞. Dus is R Cf|f | d|µ| = R Ω|f | d|µ| = R

F|f | d|ξ| < ∞. Soos tevore volg dat Cf ’n σ-eindige versameling is en dat ξ : Σf → L(R, R) ’n σ-eindige operatormaat is. Per aanname is die ξ-integreerbare funksie ook ξ-meetbaar. Volgens proposisie 6.1.8 op p.125 is f : Cf → R ook Borel meetbaar. Aangesien Cf ’n meetbare versameling is, volg dat f = f IC_f+ 0IΩ\Cf self ook Borel meetbaar is. Dit tesame met die feit datR

Ω|f | d|µ| < ∞ verseker dat f Lebesgue integreerbaar is met betrekking tot µ. Ons wys nou dat die waardes van die Lebesgue en Dobrakov integrale ooreen- stem. As f Lebesgue integreerbaar is, dan is die integraal van f oor Ω dieselfde as die integraal oor Cf en die integrale van die positiewe funksies f+ en f− oor Cf is nie altwee oneindig nie. Verder bestaan daar stygende rye Borel meetbare trapfunksies (gn) en (hn) wat op Cf na f+ en f− onderskeidelik styg. Aangesien ξ = µ : Σf → R ’n σ-eindige betekende maat is, bestaan daar ’n ry ξ-trapfunksies wat oral na f konvergeer. [[Laat (Cn) ’n ry meetbare versamelings wees sodanig

dat ξ(Cn) < ∞ vir elke n en Cf =S∞_n=1Cn. Dan is elke fn := gnIC_n− hnIC_n ’n ξ-trapfunksie en fn(ω) → f+(ω) − f−(ω) = f (ω) as n → ∞ vir alle ω ∈ Cf]]. Laat (µn) die ry mate deur (fn) voortgebring wees. Vir elke E ∈ Σ geld

µn(E) = Z E∩Cn gndµ − Z E∩Cn hndµ → Z E∩Cf f+dµ − Z E∩Cf f−dµ = Z E f dµ

waar die integraal aan die regterkant die Lebesgue integraal van f is. Die ry mate (µn) konvergeer dus in elke versameling E ∈ Σ. Dus is (fn) ’n defini¨erende ry vir die Dobrakov integraal van f (sien stelling 6.3.2 op p.6.3.2). Per definisie is die Dobrakov integraal van f oor E gelyk aan die limiet van die ry (µn(E)), maar hierdie limiet is presies die Lebesgue integraal van f oor E. Die waardes van die Dobrakov en Lebesgue integrale stem dus ooreen.

Stelling 7.2.1 het vir ons gewys dat die Dobrakov integraal presies ooreenstem met die Lebesgue integraal as ons met skalaarwaardige funksies en skalaarwaardige mate werk. Natuurlik het die Dobrakov integraal dan ook al die eienskappe wat die Lebesgue integraal het in hierdie geval. Ons sien egter dat die Dobrakov integraal ook in die algemeen baie van die eienskappe van die Lebesgue integraal bewaar. Stelling 6.3.9 op p.141 wys dat die Dobrakov integraal die absoluut integreerbaar- heid van die Lebesgue integraal bewaar. Volgens stelling 6.3.4(3) is die Dobrakov integraal ’n σ-additiewe vektormaat op die σ-algebra Σ (dit is dus sterk additief). Gevolglik bewaar die Dobrakov integraal ook die onvoorwaardelike konvergensie van die Lebesgue integraal.